Построение маломодовых моделей для задач естественной конвекции с зависяшими от времени граничными условиями
Обсуждены вопросы построения маломодовых моделей для задач естественной конвекции с зависящими от времени граничными условиями. Показана эффективность и перспективность применения методов полиаргументных систем и ортогональной декомпозиции для решения рассматриваемого класса задач. Розглянуті питанн...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Промышленная теплотехника |
|---|---|
| Datum: | 2011 |
| Hauptverfasser: | , , , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут технічної теплофізики НАН України
2011
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/60327 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Построение маломодовых моделей для задач естественной конвекции с зависяшими от времени граничными условиями / Н.М. Фиалко, Д.Г. Блинов, В.Г. Прокопов, Ю.В. Шеренковский, В.Л. Юрчук, А.Г. Сариогло // Промышленная теплотехника. — 2011. — Т. 33, № 3 — С. 20-24. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-60327 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Фиалко, Н.М. Блинов, Д.Г. Прокопов, В.Г. Шеренковский, Ю.В. Юрчук, В.Л. Сариогло, А.Г. 2014-04-14T13:34:10Z 2014-04-14T13:34:10Z 2011 Построение маломодовых моделей для задач естественной конвекции с зависяшими от времени граничными условиями / Н.М. Фиалко, Д.Г. Блинов, В.Г. Прокопов, Ю.В. Шеренковский, В.Л. Юрчук, А.Г. Сариогло // Промышленная теплотехника. — 2011. — Т. 33, № 3 — С. 20-24. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. 0204-3602 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/60327 536.25 Обсуждены вопросы построения маломодовых моделей для задач естественной конвекции с зависящими от времени граничными условиями. Показана эффективность и перспективность применения методов полиаргументных систем и ортогональной декомпозиции для решения рассматриваемого класса задач. Розглянуті питання побудови маломодових моделей для задач вільної конвекції з граничними умовами, що залежать від часової змінної. Показана ефективність та перспективність застосування методу поліаргументних систем та методу декомпозиції по ортогональним власним функціям для вирішення задач, що розглядаються в роботі. The issues of construction of low-dimensional models for natural convection problems with time-depended boundary conditions are discussed. It is shown effectiveness and perspective applying the method of polyargumental systems and method of proper orthogonal decomposition for transient natural convection problems. ru Інститут технічної теплофізики НАН України Промышленная теплотехника Тепло- и массообменные процессы Построение маломодовых моделей для задач естественной конвекции с зависяшими от времени граничными условиями Low mode patterns formation for natural convection problems with time dependent boundary conditions Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Построение маломодовых моделей для задач естественной конвекции с зависяшими от времени граничными условиями |
| spellingShingle |
Построение маломодовых моделей для задач естественной конвекции с зависяшими от времени граничными условиями Фиалко, Н.М. Блинов, Д.Г. Прокопов, В.Г. Шеренковский, Ю.В. Юрчук, В.Л. Сариогло, А.Г. Тепло- и массообменные процессы |
| title_short |
Построение маломодовых моделей для задач естественной конвекции с зависяшими от времени граничными условиями |
| title_full |
Построение маломодовых моделей для задач естественной конвекции с зависяшими от времени граничными условиями |
| title_fullStr |
Построение маломодовых моделей для задач естественной конвекции с зависяшими от времени граничными условиями |
| title_full_unstemmed |
Построение маломодовых моделей для задач естественной конвекции с зависяшими от времени граничными условиями |
| title_sort |
построение маломодовых моделей для задач естественной конвекции с зависяшими от времени граничными условиями |
| author |
Фиалко, Н.М. Блинов, Д.Г. Прокопов, В.Г. Шеренковский, Ю.В. Юрчук, В.Л. Сариогло, А.Г. |
| author_facet |
Фиалко, Н.М. Блинов, Д.Г. Прокопов, В.Г. Шеренковский, Ю.В. Юрчук, В.Л. Сариогло, А.Г. |
| topic |
Тепло- и массообменные процессы |
| topic_facet |
Тепло- и массообменные процессы |
| publishDate |
2011 |
| language |
Russian |
| container_title |
Промышленная теплотехника |
| publisher |
Інститут технічної теплофізики НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Low mode patterns formation for natural convection problems with time dependent boundary conditions |
| description |
Обсуждены вопросы построения маломодовых моделей для задач естественной конвекции с зависящими от времени граничными условиями. Показана эффективность и перспективность применения методов полиаргументных систем и ортогональной декомпозиции для решения рассматриваемого класса задач.
Розглянуті питання побудови маломодових моделей для задач вільної конвекції з граничними умовами, що залежать від часової змінної. Показана ефективність та перспективність застосування методу поліаргументних систем та методу декомпозиції по ортогональним власним функціям для вирішення задач, що розглядаються в роботі.
The issues of construction of low-dimensional models for natural convection problems with time-depended boundary conditions are discussed. It is shown effectiveness and perspective applying the method of polyargumental systems and method of proper orthogonal decomposition for transient natural convection problems.
|
| issn |
0204-3602 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/60327 |
| citation_txt |
Построение маломодовых моделей для задач естественной конвекции с зависяшими от времени граничными условиями / Н.М. Фиалко, Д.Г. Блинов, В.Г. Прокопов, Ю.В. Шеренковский, В.Л. Юрчук, А.Г. Сариогло // Промышленная теплотехника. — 2011. — Т. 33, № 3 — С. 20-24. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT fialkonm postroeniemalomodovyhmodeleidlâzadačestestvennoikonvekciiszavisâšimiotvremenigraničnymiusloviâmi AT blinovdg postroeniemalomodovyhmodeleidlâzadačestestvennoikonvekciiszavisâšimiotvremenigraničnymiusloviâmi AT prokopovvg postroeniemalomodovyhmodeleidlâzadačestestvennoikonvekciiszavisâšimiotvremenigraničnymiusloviâmi AT šerenkovskiiûv postroeniemalomodovyhmodeleidlâzadačestestvennoikonvekciiszavisâšimiotvremenigraničnymiusloviâmi AT ûrčukvl postroeniemalomodovyhmodeleidlâzadačestestvennoikonvekciiszavisâšimiotvremenigraničnymiusloviâmi AT sariogloag postroeniemalomodovyhmodeleidlâzadačestestvennoikonvekciiszavisâšimiotvremenigraničnymiusloviâmi AT fialkonm lowmodepatternsformationfornaturalconvectionproblemswithtimedependentboundaryconditions AT blinovdg lowmodepatternsformationfornaturalconvectionproblemswithtimedependentboundaryconditions AT prokopovvg lowmodepatternsformationfornaturalconvectionproblemswithtimedependentboundaryconditions AT šerenkovskiiûv lowmodepatternsformationfornaturalconvectionproblemswithtimedependentboundaryconditions AT ûrčukvl lowmodepatternsformationfornaturalconvectionproblemswithtimedependentboundaryconditions AT sariogloag lowmodepatternsformationfornaturalconvectionproblemswithtimedependentboundaryconditions |
| first_indexed |
2025-11-24T21:03:23Z |
| last_indexed |
2025-11-24T21:03:23Z |
| _version_ |
1850497343730745344 |
| fulltext |
ISSN 0204-3602. Пром. теплотехника, 2011, т. 33, №320
ТЕПЛО- И МАССООБМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ
Корректный анализ реальных технических
объектов требует совместного рассмотрения
ряда различных по природе процессов, прин-
ципиально отличающихся своей математиче-
ской формулировкой. Согласование этих про-
цессов на основе полных моделей (чаще всего
представляющих собой системы нелинейных
уравнений в частных производных) представ-
ляет значительные трудности с вычислитель-
ной точки зрения. Еще более важной возника-
ющей при этом проблемой является трудность
системного рассмотрения анализируемого
устройства в целом. Традиционным подходом
решения таких проблем является рассмотре-
ние процессов, протекающих в элементах
устройств, на основе упрощенных моделей с
меньшим числом степеней свободы. Факти-
чески все модели инженерной физики служат
этим целям. Можно сказать, что модель низкой
размерности является связующим звеном меж-
ду системным и физическим уровнем рассмо-
трения устройства.
Учитывая вышесказанное, составление
маломодовых моделей (ММ) для технических
устройств и их элементов представляет со-
бой актуальную прикладную задачу. В данной
Розглянуті питання побудо-
ви маломодових моделей для за-
дач вільної конвекції з гранич-
ними умовами, що залежать від
часової змінної. Показана ефек-
тивність та перспективність засто-
сування методу поліаргументних
систем та методу декомпозиції по
ортогональним власним функціям
для вирішення задач, що розгляда-
ються в роботі.
Обсуждены вопросы построе-
ния маломодовых моделей для задач
естественной конвекции с завися-
щими от времени граничными усло-
виями. Показана эффективность и
перспективность применения ме-
тодов полиаргументных систем и
ортогональной декомпозиции для
решения рассматриваемого класса
задач.
The issues of construction of
low-dimensional models for natural
convection problems with time-
depended boundary conditions are
discussed. It is shown effectiveness
and perspective applying the method
of polyargumental systems and method
of proper orthogonal decomposition for
transient natural convection problems.
УДК 536.25
Фиалко Н.М., Блинов Д.Г., Прокопов В.Г., Шеренковский Ю.В., Юрчук В.Л., Сариогло А.Г.
Институт технической теплофизики НАН Украины
ПОСТРОЕНИЕ МАЛОМОДОВЫХ МОДЕЛЕЙ ДЛЯ ЗАДАЧ ЕСТЕСТВЕННОЙ
КОНВЕКЦИИ С ЗАВИСЯШИМИ ОТ ВРЕМЕНИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ
a – коэффициент температуропроводности
жидкости;
g – ускорение свободного падения;
l – длина зоны теплоподвода;
L – размер полости;
p – давление;
Pr – число Прандтля;
q – плотность подводимого теплового потока;
Ra – число Рэлея;
T – температура;
u, v – компоненты вектора скорости;
x, y – координаты;
X, Y – безразмерные координаты;
β – коэффициент объемного расширения;
ε – безразмерная длина зоны теплоподвода;
λ – теплопроводность;
θ – безразмерная температура;
ν – кинематическая вязкость;
ρ – плотность жидкости;
τ – безразмерное время;
POD – метод ортогональной декомпозиции
(proper orthogonal decomposition);
ММ – маломодовая модель;
МПС – метод полиаргументных систем.
Индексы верхние:
* – размерный.
Индексы нижние:
ст – стенки.
ISSN 0204-3602. Пром. теплотехника, 2011, т. 33, №3 21
ТЕПЛО- И МАССООБМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ
работе рассмотрен один из современных подхо-
дов к составлению моделей малой размернос-
ти, опирающийся на процедуру Кархунена-
Лоева (методы POD [1] и МПС [2]), состоя-
щую в выделения главных пространствен-
но-временных особенностей анализируемого
устройства и процессов в нем.
В настоящей работе рассматривается по-
строение ММ для процесса естественной кон-
векции в замкнутой полости с боковым тепло-
подводом, зависящим от времени. Такого рода
задачи часто встречаются в различных обла-
стях техники (радиоэлектроника, строительная
теплофизика и пр.). Модельной постановкой
может служить задача конвекции в квадратной
полости с боковым теплоподводом (рис. 1),
описываемая следующей системой уравнений
Pr ,
Pr Ra Pr ,
0,
,
u u u pu u
x y x
v v v pu v
x y y
u v
x y
u v
x y
∂ ∂ ∂ ∂
+ ⋅ + ν ⋅ = − + ⋅∇
∂τ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂
+ ⋅ + ν ⋅ = − + ⋅∇ + ⋅ ⋅θ
∂τ ∂ ∂ ∂
∂ ∂
+ =
∂ ∂
∂θ ∂θ ∂θ
+ ⋅ + ⋅ = ∇ θ
∂τ ∂ ∂
2
2
2
(1)
где x, y, τ – безразмерные координаты и время
соответственно: x = x*/L, y = y*/L, τ = a·τ*/L2,
2
ст
2, , , ,
** *
* T Tu Lu p p
a / L a / L a T
−ν
= ν = = θ =
ρ⋅ ∆
3
, Pr , Ra , , ,
2
q L g L T l L lT h
a a L
⋅ ν β ∆ −
∆ = = = ε = =
λ ν
при следующих граничных условиях
0,
y
∂θ
=
∂
u = v = 0 при y = 0, 0≤ x ≤1; y = 1, 0 ≤ x ≤ 1
θ = 0, u = v = 0 при 0 ≤ y ≤ 1, x =1,
u = v = 0 при 0 ≤ y ≤ 1, x =0,
0
x
∂θ
=
∂
при 0 ≤ y ≤ (1–ε)/2, (1+ε)/2 ≤ y ≤ 1, x = 0
(1 sin(2 ))
x
∂θ
= − + πτ
∂
при (1–ε)/2 < y < (1+ε)/2, x = 0
и начальном
θ = 0, u = v = 0 при 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ x ≤1, τ = 0.
Несколько слов собственно о методе POD.
В зависимости от области применения этот
метод обработки данных известен под раз-
личными наименованиями – метод главных
компонентов, метод сингулярного разложе-
ния, преобразованием Хотеллинга (Hotelling
transform), Кархунена-Лоэва (Karhunen–Loeve
decomposition). По своей сути это статисти-
ческий метод второго порядка, позволяющий
выявить доминирующую структуру в бесконеч-
ном пространстве исследуемого процесса с по-
мощью ограниченного числа мод.
В отличие от таких широко известных ме-
тодов как метод Фурье или вейвлетов этот ме-
тод не требует предварительной информации
об изучаемых процессах, а целиком основан на
имеющихся данных. Несмотря на линейность
формы представления, основываясь на данных,
которые моделировали нелинейную постанов-
ку, он автоматически включает нелинейные
эффекты. В силу специфики построения бази-
са метод POD можно назвать эмпирическим
спектральным анализом, в результате которого
осуществляется декомпозиция по ортогональ-
ным базисным функциям и согласованным с
ними ортогональным (некоррелированным)
амплитудным коэффициентам, что позволяет
говорить о членах такой аппроксимации как
о невзаимодействующих в среднем модах (но
это не означает отсутствие взаимодействия
Рис. 1. К постановке задачи.
ISSN 0204-3602. Пром. теплотехника, 2011, т. 33, №322
ТЕПЛО- И МАССООБМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ
локально во времени). В отличие от традици-
онных подходов полученный эмпирический ба-
зис является не априорным, а индивидуальным
для данной задачи.
В основе POD лежит процедура Кархунена-
Лоева [3], состоящая в нахождении по имеюще-
муся набору полей (случайных или детермини-
рованных) особых базисных функций, наиболее
точно отражающих исследуемые данные. Пер-
вым шагом этого метода является составление
так называемого набора «снепшотов» (от англ.
snapshot – моментальный снимок), в данном
случае набора температурных и скоростных
полей в различные моменты времени. Далее,
как следует из теории метода POD [1], наиболее
типичные или характерные структуры среди
всего набора «снепшотов» можно найти, решая
проблему собственных функций следующего
интегрального уравнения
' ' ' ' ' '( , , , ) ( , ) ( , )K x y x y x y dx dy x y
Ω
⋅ϕ ⋅ = λϕ∫ , (2)
где ' '( , , , )K x y x y – ядро интегрального урав-
нения, определяемое как ' '( , , , )K x y x y =
= ' '
1
1 ( , ) ( , )
M
i i
i
x y x y
M =
θ ⋅θ∑ , θi – поле температур в
момент времени i (для краткости приводим
выкладки только для температурного поля),
M – число «снепшотов» по температурным
полям. Учитывая вырожденность ядра, соб-
ственная функция φk может быть определена
путем разложения по «снепшотам» θi:
,
1
( , ) ( , )
M
k i k i
i
x y a x y
=
ϕ = θ∑ . Подставив это соотно-
шение в (2), получим алгебраическую задачу на
собственные вектора:
i i ia a⋅ = λ ⋅C , где { } 1
M
k ik i
a a
=
= – k-тый собствен-
ный вектор матрицы ,
1
k i k iC dxdy
N
= θ ⋅θ∫∫ .
Матрица C по построению симметричная
и положительно определенная. Ввиду этого
λ1 ≥ λ1 ≥...≥ 0, lim 0ii→∞
λ = . Наибольшему соб-
ственному числу соответствует наиболее ти-
пичная структура в анализируемом наборе
«снепшотов». Так как ядро интегрального урав-
нения симметричное, найденные собственные
функции являются взаимно ортогональными.
Использовав собственные функции в каче-
стве базисных в методе Галеркина, получим
маломодовую систему (или ММ), представля-
ющую исходную задачу (систему полных урав-
нений) минимальным числом степеней свобод.
Для рассматриваемой задачи ММ имеет вид
1 1
( ) (x,y), ( ) (x,y),
N M
N i i M i i
i i
u a b
= =
= τ θ = τ ϕ∑ ∑F (3)
1 2 3 ,
1 2 ,
T
T
d A A A
d
d B B
d
= + +
τ
= + +
τ
a a a a b
b b a b s
a(0) = 0, b(0) = 0, (4)
( ) ( )
( ) ( )
( )
0
1 , , 1 , ,
2 Pr , , 2 , ,
3 Pr Ra , , ( , ) (0, ) .
ijp i j p ikm i k m
ip i p km k m
L
kp k p m m
A B
A B
A s q y y dy
= − ×∇ = − ×∇ϕ ϕ
= − ⋅ ∇ ∇ = − ∇ϕ ∇ϕ
= ⋅ ⋅ϕ = τ ⋅ϕ∫
F F F F
F F
F
Первым этапом построения такой системы
является определение базисных функций φ и
F. Для этого поставленная задача (1) была ре-
шена при нескольких вариантах временной за-
висимости бокового теплоподвода q(τ): посто-
янной, синусоидальной и экспоненциальной.
Безразмерное время изменялось в пределах
0 ≤ τ ≤ 2. Всего было «снято» 300 «снепшотов»
(по 100 для каждого варианта) при следующих
значениях безразмерных параметров Pr = 0,72,
Ra = 5·104, ε = 0.4.
После обработки набора «снепшотов» по
описанной методологии получены базисные
функции. Расчеты показали, что уже 10 членов
в приближении (3) (M = N = 10) обеспечивают
среднеквадратичную погрешность аппрокси-
мации порядка 1 % (рис. 2). При этом необхо-
димо отметить, что погрешность уменьшается
по мере увеличения времени. Это по-видимому
связано с более сложной структурой решения
в начальные моменты времени (типа погран-
слоя).
Отмеченная быстрая сходимость аппрокси-
мирующих рядов и связанная с этим информа-
ционная емкость найденных базисных функ-
ций обусловила и высокую эффективность
ISSN 0204-3602. Пром. теплотехника, 2011, т. 33, №3 23
ТЕПЛО- И МАССООБМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ
маломодовой модели (4). Проведенные по ней
расчеты показали, что, например, для условий
Ra = 5·104 при M = N локальная погрешность
в определении максимальной температуры сис-
темы уже при N = 9 составляет 2,4 %, а при
N = 12 – 1,0 %; погрешности в определении
максимальной скорости составляет при этом
1,8 % и 0,6 % соответственно.
Основной рабочей гипотезой изложенного
подхода является предположение о возмож-
ности и эффективности использования модели,
которая была построена на основе эмпиричес-
кого базиса, найденного при каком-либо одном
наборе режимных и управляющих параметров,
для широкого диапазона этих параметров. Про-
веденные исследования подтвердили справед-
ливость указанного предположения. В част-
ности, расчеты, выполненные по маломодовой
модели при различных значениях параметра
Ra, отличающихся в 2…10 раза от номинально-
го значения, при котором определялись базис-
ные функции, показали хорошее согласование
с точным решением соответствующих задач.
Так, погрешность в определении максималь-
ных температур и скорости при расчетах для
Ra = 5·105, проведенных на основе базиса, най-
денного для Ra = 5·104, уже при N = 12 состав-
ляла соответственно 1,8 и 2,1 %. Соответствие
температурных полей, рассчитанных при этих
условиях по маломодовой модели (3) и полной
модели (1) иллюстрирует рис. 3. Варьирование
характера временной зависимости теплоподво-
да также не ухудшает возможности модели.
Рис. 2. Зависимость среднеквадратичной
погрешности δ в % от числа членов N
для различных моментов времени.
a) б)
Рис. 3. Сопоставление температурных полей, полученных на основе полной (а)
и маломодовой (б) моделей.
ISSN 0204-3602. Пром. теплотехника, 2011, т. 33, №324
ТЕПЛО- И МАССООБМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ
Выводы
Проведенное в работе исследование проде-
монстрировало эффективность и перспектив-
ность изложенного подхода к построению ма-
ломодовой модели для процесса естественной
конвекции с зависящими от времени граничны-
ми условиями.
ЛИТЕРАТУРА
1. Park H.M., D.H. Cho D.H. Low dimensional
modeling of flow reactors // Int. J. Heat Mass
Trans. – 1996. – V 39, – С. 3311-3323.
2. Прокопов В.Г., Беспалова Е.И., Шеренков-
ский Ю.В. Применение методов полиаргумент-
ных систем для решения нелинейных много-
мерных задач теплопереноса // Известия ВУЗов,
«Энергетика». – 1986. – № 3, – С. 84 – 89.
3. Lumley J.L. Atmospheric Turbulence and
Radio Wave Propagation.– M.: Nauka, – 1967. –
166 c.
Получено 26.04.2011 г.
|