Решение задач управления и идентификации на основе маломодового моделирования при исследовании процессов естественной конвекции
Рассмотрены вопросы построения маломодовых моделей для задач естественной конвекции. Показана эффективность и перспективность применения методов полиаргументных систем и ортогональной декомпозиции для решения задач идентификации и управления. Розглянуто питання побудови маломодових моделей для задач...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Промышленная теплотехника |
|---|---|
| Дата: | 2011 |
| Автори: | , , , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут технічної теплофізики НАН України
2011
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/60345 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Решение задач управления и идентификации на основе маломодового моделирования при исследовании процессов естественной конвекции / Н.М. Фиалко, Д.Г. Блинов, В.Г. Прокопов, Ю.В. Шеренковский, В.Л. Юрчук, А.Г. Сариогло // Промышленная теплотехника. — 2011. — Т. 33, № 4— С. 16-19. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859848096414957568 |
|---|---|
| author | Фиалко, Н.М. Блинов, Д.Г. Прокопов, В.Г. Шеренковский, Ю.В. Юрчук, В.Л. Сариогло, А.Г. |
| author_facet | Фиалко, Н.М. Блинов, Д.Г. Прокопов, В.Г. Шеренковский, Ю.В. Юрчук, В.Л. Сариогло, А.Г. |
| citation_txt | Решение задач управления и идентификации на основе маломодового моделирования при исследовании процессов естественной конвекции / Н.М. Фиалко, Д.Г. Блинов, В.Г. Прокопов, Ю.В. Шеренковский, В.Л. Юрчук, А.Г. Сариогло // Промышленная теплотехника. — 2011. — Т. 33, № 4— С. 16-19. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Промышленная теплотехника |
| description | Рассмотрены вопросы построения маломодовых моделей для задач естественной конвекции. Показана эффективность и перспективность применения методов полиаргументных систем и ортогональной декомпозиции для решения задач идентификации и управления.
Розглянуто питання побудови маломодових моделей для задач вільної конвекції. Показана ефективність та перспективність застосування методу поліаргументних систем та методу декомпозиції по ортогональним власним функціям для вирішення задач ідентифікації та управління.
The issues of low-dimensional models construction for natural convection problems are discussed. It is shown effectiveness and perspective applying the method of polyargumental systems and method of proper orthogonal decomposition for inverse and control problems .
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:40:05Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 0204-3602. Пром. теплотехника, 2011, т. 33, №416
ТЕПЛО- И МАССООБМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ
Розглянуто питання побудо-
ви маломодових моделей для
задач вільної конвекції. Пока-
зана ефективність та перспек-
тивність застосування методу по-
ліаргументних систем та методу
декомпозиції по ортогональним
власним функціям для вирішення
задач ідентифікації та управління.
Рассмотрены вопросы построе-
ния маломодовых моделей для за-
дач естественной конвекции. Пока-
зана эффективность и перспектив-
ность применения методов полиар-
гументных систем и ортогональной
декомпозиции для решения задач
идентификации и управления.
The issues of low-dimensional
models construction for natural
convection problems are discussed. It
is shown effectiveness and perspective
applying the method of polyargumental
systems and method of proper
orthogonal decomposition for inverse
and control problems .
УДК 536.25
Фиалко Н.М., Блинов Д.Г., Прокопов В.Г., Шеренковский Ю.В.,
Юрчук В.Л., Сариогло А.Г.
Институт технической теплофизики НАН Украины
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ УПРАВЛЕНИЯ И ИДЕНТИФИКАЦИИ НА ОСНОВЕ
МАЛОМОДОВОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ
ПРОЦЕССОВ ЕСТЕСТВЕННОЙ КОНВЕКЦИИ
a – коэффициент температуропроводности
жидкости,
g – ускорение силы тяжести,
l – длина зоны теплоподвода,
L – размер полости,
p – давление,
q – плотность подводимого теплового потока,
T – температура,
u, v – компоненты вектора скорости,
x, y – координаты,
X, Y – безразмерные координаты,
β – коэффициент объемного расширения,
ε – безразмерная длина зоны теплоподвода,
λ – теплопроводность,
ν – кинематическая вязкость,
θ – безразмерная температура,
ρ – плотность жидкости,
POD – метод ортогональной декомпозиции
(proper orthogonal decomposition),
Pr – число Прандтля,
Ra – число Релея,
ММ – маломодовая модель,
МПС – метод полиаргументных систем.
Индексы верхние:
* – размерный.
Индексы нижние:
ст – стенки.
Решение задач управления и идентифика-
ции, основанное на многократно решаемых
«полных» моделях, представляет значительные
трудности даже при современном уровне вы-
числительной техники. Так, время численного
решения может на порядки превышать время
протекания собственно физического процесса,
что создает непреодолимые трудности при ре-
шении задачи регулирования работы устрой-
ства в реальном режиме времени [1].
Один из эффективных путей уменьше-
ния ресурсоемкости решаемых задач состо-
ит в замене громоздких «полных» управляю-
щих уравнений приближенной постановкой,
адекватно описывающей изучаемый объект. Та-
кой цели служит формулировка маломодовой
модели (ММ) изучаемой задачи. Эффективны-
ми методами построения ММ являются метод
полиаргументных систем (МПС) [2] и метод
ортогональной декомпозиции (POD) [3].
В настоящей работе рассмотрена задача
естественной конвекции в замкнутой полости.
Такого рода задачи часто встречаются в раз-
личных приложениях – строительной тепло-
физике, задачах охлаждения радиоэлектрон-
ных устройств, системах солнечного нагрева,
пищевой промышленности и т.д. Простей-
шим примером (своего рода модельной
ISSN 0204-3602. Пром. теплотехника, 2011, т. 33, №4 17
ТЕПЛО- И МАССООБМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ
постановкой) может служить задача конвекции
в прямоугольной полости с боковым теплопод-
водом (рис. 1), описываемая следующей систе-
мой уравнений в приближении Буссинеска
Pr ,
Pr Ra Pr ,
0,
,
u u pu v u
x y x
v v pu v v
x y y
u v
x y
u v
x y
∂ ∂ ∂
⋅ + ⋅ = − + ⋅∇
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
⋅ + ⋅ = − + ⋅∇ + ⋅ ⋅Θ
∂ ∂ ∂
∂ ∂
+ =
∂ ∂
∂θ ∂θ
⋅ + ⋅ = ∇ Θ
∂ ∂
2
2
2
(1)
где x, y безразмерные координаты: x = x*/L,
y = y*/L,
2
2
* *
*u v Lu , p p ,
a / L a / L a
= ν = =
ρ⋅
,
3
ст Pr Ra ,
*T T q L g L T, T
T a a
− ⋅ ν β ∆
Θ = ∆ = = =
∆ λ ν
, ,
,
2
l L lh
L
−
ε = = ,
при следующих граничных условиях
0
y
∂Θ
=
∂
, u = v = 0 при y = 0, 0 ≤ x ≤ 1;
y = 1, 0 ≤ x ≤ 1;
Θ = 0, u = v = 0 при 0 ≤ y ≤ 1, x = 1;
u = v = 0 при 0 ≤ y ≤ 1, x = 0;
0
x
∂Θ
=
∂
при 0 ≤ y ≤ (1 – ε)/2, (1 + ε)/2 ≤ y ≤ 1,
x = 0;
1
x
∂Θ
= −
∂
при (1 – ε)/2 < y < (1 + ε)/2, x = 0.
Параметрами задачи выберем величины ε,
Ra, характеризующие размер и мощность теп-
лоподвода.
Моделирование этой задачи с помощью
стандартных вычислительных программ в
принципе не составляет труда. Однако уже
решение задачи идентификации или зада-
чи управления наталкивается на необходи-
мость многократного решения прямой поста-
новки (системы Буссинеска), двойственной
постановки для сопряженной функции и
проведения оптимизации целевого функци-
онала плохо обусловленного в пространстве
задачи. Для решения таких задач (ввиду их не-
корректности) применяют различные алгорит-
мы регуляризации. Один из таких алгоритмов,
так называемой естественной регуляризации,
состоит в рассмотрении обратной задачи (или
задачи управления) в пространстве функций, в
которых эта задача не является плохо обуслов-
ленной. Составление маломодовой модели с
меньшим числом свободных параметров явля-
ется также шагом в этом направлении.
В качестве базового метода составления
ММ выберем метод POD [3] в параметричес-
кой постановке. Первым шагом этого метода
является составление так называемого набора
«снепшотов» (от англ. snapshot – моменталь-
ный снимок) { , }, { }u v Θ – набора скоростных
и температурных полей, полученных при раз-
личных значениях параметров задачи (в дан-
ном случае ε, Ra). Для этого приведенная ра-
нее постановка была решена в диапазоне чисел
Релея 103 < Ra < 106 и разных размерах зоны
теплоподвода 0 < ε < 1 – всего 200 вариантов.
Качественное сходство гидродинамических и
тепловых полей при различных значениях па-
раметров позволило надеяться на возможность
выявления базисных функций, описывающих
характер температурных полей во всем рассма-
триваемом диапазоне.
Представим анализируемые поля в виде
разложения по пространственным базисам:
Рис. 1. К постановке задачи.
ISSN 0204-3602. Пром. теплотехника, 2011, т. 33, №418
ТЕПЛО- И МАССООБМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ
( ,Ra) (x,y), ( ,Ra) (x,y)i i i i
i i
a b= ε Θ = ε ϕ∑ ∑U F , (2)
где U, Fi – векторы скорости и базисных функ-
ций для компонентов скорости соответственно,
Θ, φi – температура и базисные функции для
нее.
Для определения Fi(x,y), φi(x,y) в методе
POD надо решить интегральное уравнение на
собственные функции [3]. В более простой
формулировке Сировича учитывается тот факт,
что в силу вырожденности ядра интегрально-
го уравнения искомую собственную функцию
представляют в виде разложения по наборам
«снепшотов» [4]:
,
1
( , ) ( ,Ra ) ( , ),
N
i i k k k k
k
x y a x y
=
= ε∑F U
(3)
,
1
( , ) ( ,Ra ) ( , ).
N
i i k k k k
k
x y b x y
=
ϕ = ε Θ∑
Подставив эти разложения в основное инте-
гральное уравнение метода POD получим ал-
гебраическую задачу на собственные вектора
матрицы вида i i ib b= λ ⋅C , где { }, 1
i N
k i k i
b b
=
=
= –
k-тый собственный вектор матрицы. Здесь
,
1
k i ik
C dxdy
N
= ⋅∫∫U U для скоростного поля и
,
1
k i k iC dxdy
N
= Θ ⋅Θ∫∫ для температурного поля
(N – число снепшотов).
Для определения зависимости амплитуд-
ных коэффициентов от параметров выписыва-
ются следующие соотношения:
,k k k ka dxdy b dxdy= ⋅ = Θ⋅ϕ∫∫ ∫∫U F . (4)
Проведенные по описанной методологии
расчеты показали, что использование уже че-
тырех членов в приближении (2) обеспечива-
ет среднеквадратичную погрешность порядка
1 % (рис. 2). Можно сказать, что для представ-
ления всей картины движения и теплообмена
(включая структуру вихревых образований и
особенности погранслоя) в проанализирован-
ном диапазоне параметров достаточно четырех
пространственных и амплитудных функций
вместо 200 исходных полей.
Рис. 2. Зависимость среднеквадратичной
погрешности δ в % от числа членов N
в ММ для различных Ra: a – Ra = 103,
b – Ra = 105, c – Ra =106.
Фактически первый этап анализа состоял
в решении задачи аппроксимации. Для полу-
чения ММ справедливой при значениях пара-
метров (ε, Ra), отличающихся от «реперных»
(т.е. тех значений, при которых были получены
снепшоты), возможны несколько путей. Наи-
более простой и алгоритмически и вычисли-
тельно метод интерполяционного POD. В этом
методе для анализа в промежуточных точках
(по ε, Ra) проводят интерполяцию коэффици-
ентов, a(ε, Ra), b(ε, Ra) и затем пересчет ряда
(2) с новыми значениями амплитуд и теми же
пространственными функциями. Такой метод
можно назвать методом физической интерпо-
ляции, т.к. пересчет полевых величин проис-
ходит путем предварительного выделения глав-
ных пространственных особенностей полей,
описывающих задачу. Более трудоемкий (и в
общем случае более корректный) подход за-
ключается в использовании метода Галеркина
для проецирования исходной системы урав-
нений (системы Буссинеска) на построенный
при аппроксимации пространственный базис.
В данном приложении ограничимся первым
подходом.
ISSN 0204-3602. Пром. теплотехника, 2011, т. 33, №4 19
ТЕПЛО- И МАССООБМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ
Перейдем к решению задач управления и
идентификации для рассматриваемой ситуа-
ции. Один из возможных вариантов обратной
задачи (задачи идентификации) формулирует-
ся следующим образом. Пусть задано темпе-
ратурное поле в исследуемой области (рис. 1)
tz(xi , yi); необходимо восстановить подводимый
к ее боковой грани тепловой поток q, т.е., в без-
размерных переменных, определить значение
параметра Ra, при котором было получено это
поле. Целевой функцией, характеризующей
отклонение поля от заданного, является функ-
ционал
2
1
[ ( , ) ( , )] min,
K
i i z i i
i
J x y t x y
=
= Θ − →∑ (5)
где xi , yi – точки, в которых задано температур-
ное поле tz (например, измеренное в экспери-
менте), K – число точек.
Фактически к такому же виду целевого
функционала можно привести и задачу управ-
ления, заключающуюся в определении тепло-
вого потока, при котором температура в задан-
ной точке не превышает некоторого значения
tz,max.
Целевая функция (5), переписанная в тер-
минах базисных функций имеет вид
2
,max
1 1
( , ) ( , ) min .
K M
i m m z m m
m i
J b x y t x y
= =
= ⋅ϕ − →
∑ ∑ (6)
Таким образом, задачи идентификации и
управления, построенные на ММ, свелись к
достаточно простой проблеме конечномерной
оптимизации, в отличие от полной постановки,
представляющей собой систему уравнений в
частных производных (прямой и двойственной
формулировки), которую необходимо много-
кратно решить в процессе минимизации функ-
ционала.
В качестве примера рассматривается за-
дача восстановления мощности теплоподвода.
Рис. 3 иллюстрирует изменение погрешности
восстановления в зависимости от числа чле-
нов в модели. Как видно, достаточно уже пяти
членов ряда в модели (2) для обеспечения
погрешности восстановления в 1 %. Показа-
тельным является также сравнение времени
Рис. 3. Зависимость среднеквадратичной
погрешности восстановления δ в % от
числа членов N для различных Ra:
a – Ra = 1,2·103, b – Ra = 9·104, c – Ra = 4,5·105.
решения задачи на основе ММ и «полных»
уравнений Буссинеска. Оценки показывают,
что время счета сокращается в 50…100 раз.
Выводы
Результаты, приведенные в статье, сви-
детельствуют о том, что использование ММ
позволяет эффективно решать задачи иденти-
фикации и управления, возникающие при изу-
чении процесса естественной конвекции.
ЛИТЕРАТУРА
1. Моисеев Н.Н. Математические задачи си-
стемного анализа. – М.: Наука, 1981. – 488 с.
2. Прокопов В.Г., Беспалова Е.И., Шерен-
ковский Ю.В. Метод разделения переменных
Фурье и методы полных систем для решения
многомерных задач теплофизики // Пром. теп-
лотехника. – 1981. – Т. 3, № 3. – С. 57-63.
3. Berkooz G., Holmes P., Lumley J.L. The
proper orthogonal decomposition in the analysis of
turbulent flow // Annu. Rev. Fluid Mech. 1993. –
Т. 25. – С. 539-575.
4. Sirovich L., Rodriguez J.D. Coherence
structures and chaos: a model problem // Physics
Letters A. 1987. – V. 120, № 5. – P. 211.
Получено 10.06.2010 г.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-60345 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0204-3602 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:40:05Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Інститут технічної теплофізики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Фиалко, Н.М. Блинов, Д.Г. Прокопов, В.Г. Шеренковский, Ю.В. Юрчук, В.Л. Сариогло, А.Г. 2014-04-14T16:28:19Z 2014-04-14T16:28:19Z 2011 Решение задач управления и идентификации на основе маломодового моделирования при исследовании процессов естественной конвекции / Н.М. Фиалко, Д.Г. Блинов, В.Г. Прокопов, Ю.В. Шеренковский, В.Л. Юрчук, А.Г. Сариогло // Промышленная теплотехника. — 2011. — Т. 33, № 4— С. 16-19. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 0204-3602 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/60345 536.25 Рассмотрены вопросы построения маломодовых моделей для задач естественной конвекции. Показана эффективность и перспективность применения методов полиаргументных систем и ортогональной декомпозиции для решения задач идентификации и управления. Розглянуто питання побудови маломодових моделей для задач вільної конвекції. Показана ефективність та перспективність застосування методу поліаргументних систем та методу декомпозиції по ортогональним власним функціям для вирішення задач ідентифікації та управління. The issues of low-dimensional models construction for natural convection problems are discussed. It is shown effectiveness and perspective applying the method of polyargumental systems and method of proper orthogonal decomposition for inverse and control problems . ru Інститут технічної теплофізики НАН України Промышленная теплотехника Тепло- и массообменные процессы Решение задач управления и идентификации на основе маломодового моделирования при исследовании процессов естественной конвекции Solving of problems of control and identification on basis of low-dimensional models for natural convection simulation Article published earlier |
| spellingShingle | Решение задач управления и идентификации на основе маломодового моделирования при исследовании процессов естественной конвекции Фиалко, Н.М. Блинов, Д.Г. Прокопов, В.Г. Шеренковский, Ю.В. Юрчук, В.Л. Сариогло, А.Г. Тепло- и массообменные процессы |
| title | Решение задач управления и идентификации на основе маломодового моделирования при исследовании процессов естественной конвекции |
| title_alt | Solving of problems of control and identification on basis of low-dimensional models for natural convection simulation |
| title_full | Решение задач управления и идентификации на основе маломодового моделирования при исследовании процессов естественной конвекции |
| title_fullStr | Решение задач управления и идентификации на основе маломодового моделирования при исследовании процессов естественной конвекции |
| title_full_unstemmed | Решение задач управления и идентификации на основе маломодового моделирования при исследовании процессов естественной конвекции |
| title_short | Решение задач управления и идентификации на основе маломодового моделирования при исследовании процессов естественной конвекции |
| title_sort | решение задач управления и идентификации на основе маломодового моделирования при исследовании процессов естественной конвекции |
| topic | Тепло- и массообменные процессы |
| topic_facet | Тепло- и массообменные процессы |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/60345 |
| work_keys_str_mv | AT fialkonm rešeniezadačupravleniâiidentifikaciinaosnovemalomodovogomodelirovaniâpriissledovaniiprocessovestestvennoikonvekcii AT blinovdg rešeniezadačupravleniâiidentifikaciinaosnovemalomodovogomodelirovaniâpriissledovaniiprocessovestestvennoikonvekcii AT prokopovvg rešeniezadačupravleniâiidentifikaciinaosnovemalomodovogomodelirovaniâpriissledovaniiprocessovestestvennoikonvekcii AT šerenkovskiiûv rešeniezadačupravleniâiidentifikaciinaosnovemalomodovogomodelirovaniâpriissledovaniiprocessovestestvennoikonvekcii AT ûrčukvl rešeniezadačupravleniâiidentifikaciinaosnovemalomodovogomodelirovaniâpriissledovaniiprocessovestestvennoikonvekcii AT sariogloag rešeniezadačupravleniâiidentifikaciinaosnovemalomodovogomodelirovaniâpriissledovaniiprocessovestestvennoikonvekcii AT fialkonm solvingofproblemsofcontrolandidentificationonbasisoflowdimensionalmodelsfornaturalconvectionsimulation AT blinovdg solvingofproblemsofcontrolandidentificationonbasisoflowdimensionalmodelsfornaturalconvectionsimulation AT prokopovvg solvingofproblemsofcontrolandidentificationonbasisoflowdimensionalmodelsfornaturalconvectionsimulation AT šerenkovskiiûv solvingofproblemsofcontrolandidentificationonbasisoflowdimensionalmodelsfornaturalconvectionsimulation AT ûrčukvl solvingofproblemsofcontrolandidentificationonbasisoflowdimensionalmodelsfornaturalconvectionsimulation AT sariogloag solvingofproblemsofcontrolandidentificationonbasisoflowdimensionalmodelsfornaturalconvectionsimulation |