Ренормализационно-групповой анализ турбулентного горения
На основе ренормализационной техники проведен анализ дифференциального уравнения диффузии при турбулентном горении. Получены ренормализационные коэффициент диффузии и константа скорости реакции. На основі ренормалізаційної техніки проведено аналіз диференційного рівняння дифузії при турбулентному го...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Промышленная теплотехника |
|---|---|
| Datum: | 2011 |
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут технічної теплофізики НАН України
2011
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/60346 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Ренормализационно-групповой анализ турбулентного горения / А.А. Авраменко, Т.В. Сорокина, В.В. Алексеенко // Промышленная теплотехника. — 2011. — Т. 33, № 4— С. 20-31. — Бібліогр.: 24 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859653509013569536 |
|---|---|
| author | Авраменко, А.А. Сорокина, Т.В. Алексеенко, В.В. |
| author_facet | Авраменко, А.А. Сорокина, Т.В. Алексеенко, В.В. |
| citation_txt | Ренормализационно-групповой анализ турбулентного горения / А.А. Авраменко, Т.В. Сорокина, В.В. Алексеенко // Промышленная теплотехника. — 2011. — Т. 33, № 4— С. 20-31. — Бібліогр.: 24 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Промышленная теплотехника |
| description | На основе ренормализационной техники проведен анализ дифференциального уравнения диффузии при турбулентном горении. Получены ренормализационные коэффициент диффузии и константа скорости реакции.
На основі ренормалізаційної техніки проведено аналіз диференційного рівняння дифузії при турбулентному горінні. Отримані ренормалізаційні коефіцієнти дифузії та константи швидкості реакції.
The analysis of diffusion differential equation for turbulent combustion is carried out renormalization technique. Renormalization coefficients of diffusion and affinity coefficients (kinetic constants) are obtained.
|
| first_indexed | 2025-12-07T13:36:55Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 0204-3602. Пром. теплотехника, 2011, т. 33, №420
ТЕПЛО- И МАССООБМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ
На основі ренормалізаційної
техніки проведено аналіз дифе-
ренційного рівняння дифузії при
турбулентному горінні. Отримані
ренормалізаційні коефіцієнти ди-
фузії та константи швидкості
реакції.
На основе ренормализацион-
ной техники проведен анализ диф-
ференциального уравнения диф-
фузии при турбулентном горении.
Получены ренормализационные
коэффициент диффузии и константа
скорости реакции.
The analysis of diffusion differen-
tial equation for turbulent combustion
is carried out renormalization technique.
Renormalization coefficients of dif-
fusion and affinity coefficients (kinetic
constants) are obtained.
УДК 532.5: 536.24
Авраменко А.А., Сорокина Т.В., Алексеенко В.В.
Институт технической теплофизики НАН Украины
РЕНОРМАЛИЗАЦИОННО–ГРУППОВОЙ АНАЛИЗ ТУРБУЛЕНТНОГО ГОРЕНИЯ
а – температуропроводность;
В – величина, пропорциональная скорости дис-
сипации;
D0 – коэффициент диффузии;
d – размерность пространства;
Е – энергии активации;
KT – температурная константа скорости реак-
ции;
R – универсальная газовая постоянная;
T – температура;
ua – компоненты скорости, соответствующие
координатам ;
t – время;
y и yox – концентрации горючего и окислителя
соответственно;
xa – координата;
k, β, σ – волновое число;
χ, ϖ , ω – частота;
ε – параметр, равный четырем;
λ – параметр возмущения;
ν – кинематическая вязкость.
Комплексы:
Le a
D
= – число Льюиса;
Pr
a
ν
= – число Прандтля;
0
0
Sc
D
ν
= – число Шмидта;
( )0
2Ze b
b
E T T
RT
−
= – число Зельдовича;
0
0b
T T
T T
−
θ =
−
– безразмерная температура.
Индексы:
→ – вектор;
b – величина соответствующая термодинами-
чески равновесным продуктам сгорания;
t – турбулентные параметры;
0 – начальное значение.
Вступление
Процесс горения является сложным хи-
мическим превращением, которое сопровож-
дается тепло- и массообменом и, как прави-
ло, имеет турбулентный характер. Развитие
вычислительной техники помогло решению
множества задач о горении с использовани-
ем численного моделирования [1]. Однако та-
кой подход не применим для решения общей
физико-химической и гидродинамической за-
дачи о горении. Во-первых, из-за сложно-
сти химической кинетики реального горения,
представляющего собой огромное количество
элементарных реакций, во-вторых, для мо-
делирования турбулентного пламени следует
досконально изучить само явление турбулент-
ности. К сожалению, по причине различных
математических и вычислительных сложнос-
тей строгой теории турбулентного горения
пока нет. Поэтому, вместо прямого численно-
го моделирования, довольно часто при реше-
нии задач о горении для описания турбулент-
ного потока используется гипотеза Тейлора
о «стационарной» турбулентности [2-7, 24].
ISSN 0204-3602. Пром. теплотехника, 2011, т. 33, №4 21
ТЕПЛО- И МАССООБМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ
В соответствии с гипотезой пульсации турбу-
лентного потока во времени пренебрежимо
малы по сравнению с пульсациями, возни-
кающими из-за распространения пламени, и
их можно не учитывать. В работе [8] показана
адекватность применения гипотезы для пламе-
ни с реальным значением коэффициента теп-
лового расширения θ = 5...10, типичного для ла-
бораторного и промышленного горения. Влия-
ние коэффициента теплового расширения при
θ = 5...10 гораздо слабее, чем в случае искус-
ственного приближения θ = 1 [9]. Роль пульса-
ций во времени значительна лишь для случая,
когда масштаб турбулентности близок к длине
волны отсечки неустойчивости Дарье-Ландау
[8]. Такого рода неустойчивость широко изу-
чена для ламинарного горения [10, 11] и тур-
булентного в [12]. Автором [13] исследовано
влияние турбулентности на скорость пламени
с тепловым расширением. Также применяет-
ся ренормализационно-групповой анализ [14]
для исследования горения, позволяющий по-
лучить строгую аналитическую модель турбу-
лентного горения без эмпирических коэффици-
ентов. Впервые этот подход использовался для
теории горения в работе [15], впоследствии и
в других [13]. Оржег [15] применил процедуру
ренормализации к пламени с нулевым тепло-
вым расширением, используя в отдельности
для каждой полосы в турбулентном спектре
формулу Клавена-Вильямса [2], и полагая, что
вклад турбулентных вихрей различного мас-
штаба в увеличение скорости горения не за-
висит от масштаба вихря. Недостатком метода
[15] является нестрогое описание автомодель-
ных свойств пламени, однако метод Поше [16]
лишен такого недостатка. В работе [13] прове-
дено сравнение результатов, полученных на ос-
новании ренормализационных методов Яхота и
Поше. Результаты, полученные Яхотом, явля-
ются заниженными, по отношению к результа-
там, полученным Поше.
В представленном исследовании предпри-
нята попытка построить модель турбулентно-
го горения на основании ренормализационно-
группового подхода, позволяющего получить,
перенормированные коэффициент диффузии
(D) и константу скорости реакции (K).
Базовые уравнения
Исходное уравнение диффузии с нелиней-
ным стоком горючего и окислителя в реакциях
горения имеет следующий вид [17]
( ) ( )
( ) ( )
2 2
0 0
2 2
0 0
exp[ ] 1 Ze ,
exp[ ] 1 Ze .
ox T ox
ox
ox ox ox ox T ox
y Eu y D y yy A D y K yy
t x RT
y Eu y D y y yA D y K y y
t x RT
α
α
α
α
∂ ∂
+ λ = ∇ −λ − = ∇ −λ − ⋅θ
∂ ∂
∂ ∂
+ λ = ∇ −λ − = ∇ −λ − ⋅θ
∂ ∂
(1)
где t – время, ua – компоненты скорости, соот-
ветствующие координатам xa, λ – параметр воз-
мущения, y и yox – концентрации горючего и
окислителя соответственно, D0 – коэффициент
диффузии, KT – температурная константа ско-
рости реакции.
Под KT подразумевается соответствующая
всей совокупности реакций горения аррениу-
совская температурная зависимость KT с эф-
фективными значениями предэкспонента А и
энергии активации Е (R – универсальная газовая
постоянная, T – температура). Воспользуемся
преобразованием арренисуовской экспоненты
в константе скорости KT по Д.А. Франк-Ко-
менецкому [23].
Разложим в ряд по Т в пределах Т∈[Tg, 1]
нижеприведенное выражение
( ) ( )
( ) ( )0
2
0
Ze
exp[ ] exp[ ] exp[ ] exp[ ] 1 Zeb b
b b b
E T T T TE E E E
RT RT RT RT T T RT
θ
− −
− = − − − = − − ⋅θ
−
,
где Tb > T > T0.
ISSN 0204-3602. Пром. теплотехника, 2011, т. 33, №422
ТЕПЛО- И МАССООБМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ
Фурье преобразование базовых уравнений
Операция перенормировки проводится в
пространстве волновых чисел и частоты. Для
«перевода» уравнения (1) в это пространство
необходимо воспользоваться комплексным
преобразованием Фурье [18]. Фурье-образы
слагаемых в (1) имеют вид:
( )
( ) ( )1
1 Y , exp
2 c
d
d k k
y d k d k ik x i t+ ≤
= ω ω ⋅ − ω
π ∫ ∫
. (2)
( )
( ) ( )1
1 , exp
2 c
d
n nd k k
u d k d U k ik x i t+ ≤
= ω ω ⋅ − ω
π ∫ ∫
. (3)
1
1 ( , ) exp( )
(2 )
c
d
d
k k
u y d k d W k ik x i tα +
≤
= ω ω ⋅ − ω
π ∫ ∫
. (4)
( )
( ) ( )1
1 , exp
2 c
d
ox md k k
yy d k d W k ik x i t+ ≤
= ω ω ⋅ − ω
π ∫ ∫
. (5)
( )
( ) ( )1
1 , exp
2 c
d
ox mnd k k
yy d k d W k ik x i t+ ≤
θ = ω ω ⋅ − ω
π ∫ ∫
, (5,а)
где k – волновое число, k
– вектор волнового
числа, x – вектор координаты точки, d – размер-
ность пространства, ω – частота, W – Фурье-об-
раз произведения двух (5) компонент концен-
траций горючего и окислителя или трех (5, а)
компонент с учетом θ, 0
0b
T T
T T
−
θ =
−
– безразмер-
ная температура, Tb – теоретическая температу-
ра горения, соответствующая термодинамиче-
ски равновесным продуктам сгорания. В (2)-(5)
kс представляет собой величину ультрафиоле-
тового обрезания в пространстве волновых чи-
сел. Допущение, что моды скорости исчезают
при kс > k [14] равносильно предположению,
что влияние отбрасываемых при этом мелко-
масштабных мод сводится к замене коэффи-
циента диффузии D0 или константы скорости
реакции K0 на некоторые, зависящие от пара-
метра обрезания, перенормированные значения
D0 = D0(kс) или KT KT (kс).
Преобразования для первого и второго
уравнений системы (1) аналогичны, поэтому
рассмотрим подробно только первое из них.
Подставим образы (2)-(5, a) в исходное урав-
нение (1), предварительно продифференциро-
вав их.
( )
( ) ( )1
1 , exp
2 c
d
d k k
y i d k d Y k ik x i t
t + ≤
∂
= − ω⋅ ω ω ⋅ − ω
∂ π ∫ ∫
. (6)
( )
( )
( ) ( )1
1 , exp
2 c
m d
d k k
u y
ik d k d W k ik x i t
x
α
α + ≤
α
∂
= ω ω ⋅ − ω
∂ π ∫ ∫
. (7)
Согласно теореме о свертке [64],
( )
( ) ( ), ,
22c
d
dk k
d dW Y U kα≤
σ ϖ
= σ ω −σ ω−ϖ
ππ∫ ∫
, (7, a)
ISSN 0204-3602. Пром. теплотехника, 2011, т. 33, №4 23
ТЕПЛО- И МАССООБМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ
( )
( ) ( ), ,
22c
d
m oxdk k
d dW Y Y k
≤
σ ϖ
= σ ω −σ ω−ϖ
ππ∫ ∫
, (7, б)
( )
( ) ( ) ( )2 2 , , ,
2
c
d d
mn oxd
k k
d dW d d Y Y k+
≤
σ β
= ϖ χ σ ϖ β χ θ −σ−β ω−ϖ−χ
π∫∫ ∫∫
. (7, в)
Подставив (7, а) в (7), получим
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )1
1 , , exp
22 2c c
d
d
d dk k k k
u y d dik d k d Y k U ik x i t
x
α
α α+ ≤ ≤
α
∂ σ ϖ
= ω −σ ω−ϖ σ ω ⋅ − ω
∂ ππ π∫ ∫ ∫ ∫
. (8)
Производная от следующего слагаемого в первом уравнении системы (1) равна
( )
( ) ( )2 2
1
1 , exp
2 c
d
d k k
y k d k d Y k ik x i t+ ≤
∇ = − ω ω ⋅ − ω
π ∫ ∫
. (9)
Подставив (7, б) в (5) и (7, в) в (5, а) имеем
( ) ( )
( ) ( ) ( )1
1 , , exp
22 2c c
d
d
ox oxd dk k k k
d dyy d k d Y Y k ik x i t+ ≤ ≤
σ ϖ
= ω σ ϖ −σ ω−ϖ ⋅ − ω
ππ π∫ ∫ ∫ ∫
, (9, а)
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )ox1 2 2
1 Y , Y , , exp x
2 2c
c
d d
d
ox d dk k
k k
d dyy d k d d d k ik i t+ +≤
≤
σ β
θ = ω ϖ χ σ ϖ β χ θ −σ−β ω−ϖ−χ ⋅ − ω
π π∫ ∫ ∫∫ ∫∫
.(9, б)
Подставив образы (2) и их производные (6), (8)–(9, б) в исходное уравнение (1) в результате полу-
чим
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )( )
2
0
2 2
, , ,
22
, , ,
22
Ze , , , 0
2
c
c
c
d
dk k
d
T oxdk k
d d
T oxd
d di Y k ik Y k U
d dD k Y k K Y Y k
d dK d d Y Y k
α α≤
≤
+
κ≤κ
σ ϖ
− ω⋅ ω + λ −σ ω−ϖ σ ϖ +
ππ
σ ϖ
+ ω − λ σ ϖ −σ ω−ϖ +
ππ
σ β
+ λ ⋅ ϖ χ σ ϖ β χ θ −σ−β ω−ϖ−χ =
π
∫ ∫
∫ ∫
∫∫ ∫∫
.
Введем обозначения ( ) ( ) ( ), , , , , ,k kσ→ σ ϖ → ω β→ β χ
а dd d dσ = σ ϖ .
После преобразования получим
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
0
-1
1 1
2 2
2 2
Ze ,
2
c c
c
T
D oxd dk k k k
T
oxd k k
ik KG Y k d Y k U d Y Y k
K d Y Y k
α
α+ +≤ ≤
+ ≤
λ λ
= − σ −σ σ + σ σ −σ −
π π
λ
− σ β σ θ −σ−β
π
∫ ∫
∫
(10)
где
0
1 2
0DG i D k− = − ω+ – пропогатор нулевого порядка.
Ренормализационная процедура
и ренормализация уравнений диффузии
Перейдем к непосредственной процедуре
ренормализационного анализа, основы которой
разработаны в работе [19]. Согласно идеологии
этой работы данная процедура включает два
этапа:
1. Разбиение поля скоростей и концентраций на
медленную и быструю части
ISSN 0204-3602. Пром. теплотехника, 2011, т. 33, №424
ТЕПЛО- И МАССООБМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ
( ) ( ) ( )
( ) ( )
, , 0 exp ,
,
, , exp ,
c
c c
U k k k
U k
U k k k k
<
>
ω < < −τω =
ω −τ < <
(11)
( ) ( ) ( )
( ) ( )
, , 0 exp ,
,
, , exp ,
c
c c
Y k k k
Y k
Y k k k k
<
>
ω < < −τω =
ω −τ < <
(12)
( ) ( ) ( )
( ) ( )
, , 0 exp ,
,
, , exp ,
c
c c
k k k
k
k k k k
<
>
θ ω < < −τθ ω =
θ ω −τ < <
(13)
(где τ – положительный параметр) с последу-
ющим исключением высокочастотных мод Y<
путем решения уравнения для них и подста-
новкой полученного решения в уравнение для
медленных мод Y>.
2. Перенормировка U, Y, θ и kс таким образом,
чтобы вновь полученное уравнение выгляде-
ло как исходное дифференциальное уравнение
диффузии. На этом этапе производится ренор-
мализация коэффициентов диффузии и кон-
станты скорости реакции.
Подставим (11)-(13) в (10). При этом разобьем
уравнение (10) на быстрые и медленные моды
Уравнение для медленных мод имеет вид:
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
0
-1
1
1
2 2
2
2
Ze
2
c
c
c
D d k k
T
ox oxd k k
ox ox
T
oxd
k k
ikG Y k d Y k U Y k U
KY k U Y k U d Y Y k Y Y k
Y Y k Y Y k
K d d Y Y
< < < < >α
α α+ ≤
> < > > < < > <
α α + ≤
> > < >
> > >
+
≤
λ = − σ −σ σ + −σ σ +π
λ + −σ σ + −σ σ + σ σ −σ + σ −σ + π
+ σ −σ + σ −σ −
λ − σ β β σ θπ
∫
∫
∫∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .
ox ox
ox ox ox
ox ox
k Y k Y Y Y k
k Y Y Y Y k Y Y k
Y Y k Y Y k
> > < < > >
> < < > > < > < <
> < < < < <
−σ −β + σ θ −σ−β β + σ β θ −σ−β +
+θ −σ−β β σ + β σ θ −σ−β + σ β θ −σ−β +
+ β σ θ −σ−β + β σ θ −σ−β
Уравнение для быстрых мод:
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
0
-1
1
1
2 2
2
2
Ze
2
c
c
c
D d k k
T
ox oxd k k
ox ox
T
oxd
k k
ikG Y k d Y k U Y k U
KY k U Y k U d Y Y k Y Y k
Y Y k Y Y k
K d d Y Y
> < < < >α
α α+ ≤
> < > > < < > <
α α + ≤
> > < >
> > >
+
≤
λ = − σ −σ σ + −σ σ +π
λ + −σ σ + −σ σ + σ σ −σ + σ −σ + π
+ σ −σ + σ −σ −
λ − σ β β σ θπ
∫
∫
∫∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .
ox ox
ox ox ox
ox ox
k Y k Y Y Y k
k Y Y Y Y k Y Y k
Y Y k Y Y k
> > < < > >
> < < > > < > < <
> < < < < <
−σ −β + σ θ −σ−β β + σ β θ −σ−β +
+θ −σ−β β σ + β σ θ −σ−β + σ β θ −σ−β +
+ β σ θ −σ−β + β σ θ −σ−β
(14)
(15)
Теперь необходимо исключить быстрые моды
из уравнения для медленных мод (15). С этой
целью вводим ряды для быстрых мод по па-
раметру λ. Вместо этого для быстрых мод
ISSN 0204-3602. Пром. теплотехника, 2011, т. 33, №4 25
ТЕПЛО- И МАССООБМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ
вводим нижние числовые индексы, обозна-
чающие порядок в ряде возмущения. Таким
образом, имеем
( ) ( ) ( ) ( )
0 0
, ,s s
s s
s s
U k U k Y k Y k
∞ ∞
> > > >
α α
= =
= λ = λ∑ ∑
(16)
( ) ( )
0
.s
s
s
k k
∞
> >
=
θ = λ θ∑
В окончательном результате следует принять
λ = 1.
Подставим (16) в (15) и сгруппируем члены при
одинаковых степенях λ.
Это дает -s = 0: ( )0
-1
0 0DG Y k> = .
Для второго уравнения соответственно:
( )0
-1
0 0D oxG Y k> = , cледовательно:
( ) ( )0 00, 0oxY k Y k> >= = . (17)
( )0 0k>θ = , что является известным из уравнения
энергии.
-s = 1:
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
0
-1
1 01
1 2 2
2
Ze .
2 2
c
c c
D d k k
T T
ox oxd d k k
ikG Y k d Y k U Y k U
K Kd Y Y k d d Y Y k
> < < < >α
α α+ ≤
< < < < <
+ +κ≤κ ≤
= − σ −σ σ + −σ σ +π
+ σ σ −σ − σ β β σ θ −σ−β
π π
∫
∫ ∫∫
(18)
Следующий шаг – это исключение быстрых
мод из уравнения (14) для медленных мод, пу-
тем подстановки ряда (16) в (14). Используя
правила осреднения, подробно описанные в
[18], исключим эффекты быстрых мод.
Учитывая выражение (17) получим:
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
0
-1 2
0 0 1 0 1 11
2
0 1 1 01 2 2
2
2 2
c
c c
D d k k
I II
T T
ox oxd dk k k k
III
ikG Y k d Y k U U Y k U Y k
K K Zed Y Y k Y Y k d d
< < < > > > >α
α α α+ ≤
< < > >
+ +≤ ≤
λ = − σ −σ σ + λ σ −σ + λ σ −σ +
π
λ λ + σ σ −σ + λ σ −σ − σ β λ
π π
∫
∫ ∫∫
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
1 1
2 2
0 1 1 0 1 1 .
ox
IV
ox ox ox
V VI
Y k Y
Y Y k Y Y k Y Y k
> > <
< > > > > < < < <
σ θ −σ−β β +
+λ σ β θ −σ−β + λ β σ θ −σ−β + β σ θ −σ−β
(19–20)
Получение ренормализационных
константы скорости реакции
и коэффициента диффузии
Рассмотрим подынтегральное выражение
слагаемых I – VI уравнения (19-20).
Подставим в слагаемое I вместо 1Y 〉 , полу-
ченное выражение и, учитывая правила осред-
нения, имеем:
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
0
1 0
-1
0 01 .
2 c
D d k k
Y U
ik
G k d Y k q U q U
> >
α
β < > >
β α+ ≤
−σ σ =
= − −σ σ −σ− σ
π ∫
При ренормализации уравнений Навье-
Стокса получено [14]:
( ) ( ) ( )0 0U k G k F k> >= , (22)
(21)
где ( )F k> – случайная сила, корреляция кото-
рой определяется по формуле [14]
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
'
1
'
4 *
, ,
2 2
.
n m
d
nmd
F k F k
BM k k k
k
+
− +ε
′ω ω =
π
′= δ + δ ω+ω
. (23)
где дельта-функция Дирака δ гарантирует ста-
тистическую однородность корреляционной
функции в пространстве и времени. В – вели-
чина, пропорциональная скорости диссипации,
ε – параметр, равный четырем, 2
q q
M
q
α β
αβ αβ= δ − .
Преобразуем (21) с учетом (22) и (23). По-
лученное выражение проинтегрируем, исполь-
зуя свойство дельта-функции Дирака
ISSN 0204-3602. Пром. теплотехника, 2011, т. 33, №426
ТЕПЛО- И МАССООБМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
0
0
1
2-1
1 0 01 4 *
2
04 *
2 2
2
2
.
c
d
D d dk k
Dd
ik
Y k U G k d Y k q G BM q
ik
G k G BM Y k
+
β> > <
α αβ+ − +ε≤
β 〈
αβ− +ε
π
−σ σ = − −σ σ −σ− σ σ δ σ+ =
σπ
= − −σ σ σ
σ
∫
Слагаемым II уравнения (19-20) пренебрегаем, т.к. в нем не учтены процессы горения.
Преобразуем подынтегральное выражение III уравнения (19-20). Для этого используем выраже-
ния (22), (23) и (24).
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
0 0
0 1 0 1
1 1
0 0
0 0
14 *
2
,
2
ox
ox
D D ox
dd
U k Y U Y k
Y Y k
U k U
k k G G k G k G BM Y k Y k
k
〉 〉 〉 〉
β α〉 〉
〉 〉
β α
〈 〈
α β αβ
+− +ε
− σ σ σ −σ
σ −σ = =
−σ σ
σ −σ −σ σ σ
= −
σ π δ
(24, a)
IV преобразуем аналогичным образом. Выражение для ( )1
>θ κ −σ−β используем из уравнений
для температур [22].
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0 0
1 0 1 0
1 1
0 0
0 0
4 * 1
.
2
ox
ox
n D T ox
d d
Y U k k U Y
Y k Y
U k U
k k G G k G k G BM Y k k Y
k
> > > > <
β α> > <
> >
β α
< < <
β αβ
− +ε +
σ −σ θ −σ−β σ+β β
σ θ −σ−β β = =
−σ σ+β
σ −σ −σ−β σ+β σ+β θ β
= −
σ+β π δ +β
(25)
V и VI подынтегральные выражения преобразовываются аналогично слагаемым IV и III соответ-
ственно.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0 0
1 0 1 0
1 1
0 0
0 0
4 * 1
.
2
ox
ox
n D T ox ox
d d
Y k U Y U k
Y k Y
U k U
k k G G k G k G BM Y k k Y
k
< > > > >
α β< > >
> >
β α
< < <
γ αβ
− +ε +
σ θ −σ−β σ+β β −β
σ θ −σ−β β = =
−β σ+β
β −β −σ−β σ+β σ+β θ σ
= −
σ+β π δ +β
(25, а)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0 0
1 0 1 0
1 1
0 0
0 0
4 * 1
2 -
.
2 2 - -
ox
ox
D D ox
d d
Y U k Y U k k
Y Y k
U k U k
k k G G k G G k BM k Y k Y k k
k k
> > > > <
β α> > <
> >
β α
< < <
γ β αβ
− +ε +
β −β σ −σ θ −σ−β
σ β θ −σ−β = =
−β −σ
σ −σ β β −β θ −σ−β
= −
−β π δ σ β
(25, б)
Подставим (24), (24, а), (25), (25, а), (25, б) в (19-20) вместо подынтегральных выражений I – VI
соответственно, получим
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0
2-1
0 01 4 *
2
2 c
D Dd dk k
I
ikikG Y k d Y k U G k G BM Y kβ< < < 〈α
α αβ+ − +ε≤
λ = − σ −σ σ −λ −σ σ σ + σπ
∫
(24)
ISSN 0204-3602. Пром. теплотехника, 2011, т. 33, №4 27
ТЕПЛО- И МАССООБМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
0 0
0 0
0 02
01 14 *
0 02
02 2
2
2 2
Ze
2
c
c
D D oxT
oxd ddk k
III
n D TT
d k k
k k G G k G k G BM Y k Y kK d Y Y k
k
k k G G k G k GK d d
〈 〈
α β αβ< <
+ +− +ε≤
β
+ ≤
σ −σ −σ σ σλ + σ σ −σ −λ −
π σ π δ
σ −σ −σ−β σ+βλ
− σ β −λ
π
∫
∫∫
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0 0
4 * 1
0 02
0 4 * 1
2
2
ox
d d
IV
n D T ox ox
d d
V
BM Y k k Y
k
k k G G k G k G BM Y k k Y
k
< < <
αβ
− +ε +
< < <
γ αβ
− +ε +
σ +β θ β − σ +β π δ +β
β −β −σ−β σ+β σ+β θ σ
−λ
σ+β π δ +β
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )0 00 02
0 4 * 1
2 -
.
2 2 - -
D D ox
oxd d
VI
k k G G k G G k BM k Y Y k k
Y Y k
k k
< < <
γ β αβ < < <
− +ε +
−
σ −σ β β −β κ θ −σ−β
−λ + β σ θ −σ−β −β π δ σ β
( ) 12
0 ,DG i k D D
−
= − ω+ + ∆
где
( )
( ) ( ) ( )
0
2
2
01 4 *2
2 1
2 c
Dd dk k
k k
D d G k G BM
k
α β
αβ+ − +ε≤
λ ∆ = σ − −σ σ σ σ π ∫
(26)
– поправка, ренормализующий коэффициент
диффузии. Вычисление интеграла этой поправ-
ки в пределе k → 0, ω → 0, дает следующее вы-
ражение:
( )
( )*2
0
2 * *
0 0 0
exp 11 .
2
d
d
c
Sd BD
d D ε
ε τ −ν− λ
∆ =
ν ν + κ επ
Где
( )
/22
/ 2
d
dS
d
π
=
Γ
.
Следовательно, эффективный ренормализован-
ный коэффициент диффузии будет иметь вид
( )
( )*2
0
0 2 * *
0 0 0
exp 11
2
d
d
c
Sd BD D
d D ε
ε τ −ν− λ
= +
ν ν + κ επ
.
Продифференцируем это выражение по τ в пре-
деле τ → 0 [14].
( ) ( )
2
*
1 1
2
d
d
c
SdD d B
d d Dε
− λ
=
τ κ ν ν +π
.
Вводя турбулентное число Шмидта получим
1
1 1
1
Sc 1 1 1 Sc
1 Sc
t
d t
t
d d d A
d d d
−
− −
−
ν −
= − τ ν τ +
.
Решив это дифференциальное уравнение
для трехмерного пространства [14] имеем
0,6321 0,36791 1
0
1 1
Sc 1,3929 Sc 2,3929
Sc 1,3929 Sc 2,3929
t t
− −
− −
− + ν
=
− + ν
.
Для получения ренормализационного коэф-
фициента константы скорости реакции ΔK не-
обходимо проинтегрировать предпоследнее и
последнее слагаемые в (26), первоначально ин-
тегрируя по частоте, а затем по волновым чис-
лам. Интегрирование слагаемых IV, V, VI сна-
чала по частоте, затем по волновым числам с
последующим упрощением получившихся вы-
ражений дает ноль. Распишем все входящие в
предпоследнее слагаемое выражения (26) про-
погаторы для получения ренормализационной
константы скорости реакции:
ISSN 0204-3602. Пром. теплотехника, 2011, т. 33, №428
ТЕПЛО- И МАССООБМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
0 0
3
0 02
01 14 *
3
1 2 2 2
0 0
2
2 2
1 1 1
2
1
с
c
D D oxT
oxd dd
k k
III
T
d k k
k k G G k G k G BM Y k Y kK d Y Y k
k
K d
i D ii D k
< <
α β αβ< <
+ +− +ε
≤
+ ≤
σ −σ −σ σ σλ − σ σ −σ −λ =
π σ π δ
λ = − σ − ⋅ ⋅ ⋅
− ϖ + σ − ϖ+ νσπ − ω−ϖ + −σ
⋅
−
∫
∫
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )12 4 *
2
.
2
ox
dd
k k BM Y k Y k
ki k
< <
α β αβ
+− +ε
σ
⋅
σ π δω−ϖ + ν −σ
(28)
Подинтегральная функция имеет полюса:
2
1 0 ,iDϖ = − σ (29)
( )2
2 0 ,iD kϖ = ω+ −σ (30)
2
3 iϖ = − νσ , (31)
( )2
4 ,i kϖ = ω+ ν −σ (32)
из них в верхней полуплоскости находятся
(30) и (32). Интеграл по частоте равен произ-
ведению коэффициента 2πi и суммы вычетов
подынтегральной функции в особых точках
верхней полуплоскости. Интеграл по волно-
вым числам получен на основе формул, приве-
денных в статье [20]. В результате, проинтег-
рировав (28), имеем
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
0 0
3
0 0
1 14 *
-
2 4
3
1 1 74 *
0 0
2
2 2
2 Re , Re ,
2 3
2 2
c
D D oxdT
d ddk k
oxT
d dd
k k G G k G k G BM Y k Y kK d d
k
f d i s f s f
k k BY k Y k kK
D Dk
< <+∞
α β αβ
+ +− +ε≤
∞
∞
−∞
〈 〈
α β α β
αβ+ +− +ε
σ −σ −σ σ σλ − σ ω − =
π σ π δ
= ϖ ϖ = π ϖ ϖ + ϖ ϖ =
σ σπ σ+λ
= − δ −
σ ν + νπ σ π δ
∫ ∫
∫
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
2
exp( )
3
6 8
2
exp( )0 0
3
7
2
exp( )0 0
3
2 2
1
2 2
2
c
c
c
c
c
c
k
d
k
k
T ox y y d
d
k
k
T ox d d y
d
k
T ox
d
K k k BY k Y k
d
k D D
K k k BY k Y k d S
d
dD D
K k k BY k Y k
−τ
< <
α β − − − −
αβ α β
−τ
< <
α β αβ − + −
−τ
< <
α β αβ
σ = σ
λ
= δ σ −σ σ σ σ = π π δ ν + ν
λ δ −
= σ σ =
π π δ κ ν + ν
λ δ
=
π
∫
∫
∫
( ) ( ) ( )
( )
( )** 22
2 *
0 0
11
.
22
c
d
d
k ed S
dD D
τ ε +−ε − − −
ε +π δ κ ν + ν
Ренормализационная константа скорости реакции будет определяться формулой
( ) ( ) ( )
( )
( )** 22
3
2 *
0 0
11
.
22 2
c
T d
d
k eK k k B d S
K
dk D D
τ ε +−ε −
α β αβ αβ
− λ δ δ − ∆ =
ε +π π δ ν + ν
(33)
ISSN 0204-3602. Пром. теплотехника, 2011, т. 33, №4 29
ТЕПЛО- И МАССООБМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ
Для получения дифференциального урав-
нения константы скорости реакции продиф-
ференцируем (33) по τ в пределе τ → 0 [14],
т.е. устремляя разницу между локальными
волновыми числами обрезания к нулю в соот-
ветствии с ( )' ' expc c ck k k k= −τ < < . В результа-
те:
1 1 .
2
bT
dK dD
K d D d
λ
=
τ π τ (34)
В левой части этого уравнения скорость
реакции записана без Tb, так как на каждом
шаге итерационного исключения быстрых мод
ренормализуется, то значение температурной
константы скорости реакции, которое получе-
но на предыдущем шаге. При условии τ → 0
значение константы скорости реакции в обеих
частях (34) одно и то же.
Решим дифференциальное уравнение (34),
положив λ = 1. Это дает
1
2
0
.
bT
K D
K D
π
=
(35)
Ренормированная скорость реакции K+K0
будет иметь вид
1
2
0
1 .
b bT T
DK K K
D
π
+ = +
Существует другой путь получения диффе-
ренциального уравнения константы скорости
реакции, который рассмотрен ниже.
( )
( )
( )1
2Sc1 .
Sc 1 2b
t
d
T
ddK
K d d−
ΞΛ
λ +
=
τ + π π
Используя замену ' 1 '
c cd k dk−τ = − получим
'
'
b
c
T c
dkdK
K k
= −Λ ⋅Ξ .
Начальные условия: K = K0 при kc→kd, следо-
вательно
0
d
c
kK K
k
Λ⋅Ξ
=
. (36)
Выразим соотношение kd /kc из выражения для
эффективной вязкости [22] и подставим в (36).
1
33
эф
0 0
1 1t d
c
k
k
∗−ε ν ν = + ⋅ − ν ν
.
Получим
3
0
0 3 3
эф
0 0
1
t
t
K K
∗
Λ⋅Ξ
ε ν ν = ν ν − + ν ν
.
Учитывая, что эф
0 0
tν ν
≈ ν ν
, окончательно по-
лучим
3
0
0
.tK K
∗
Λ⋅Ξ
ε ν
= ν
Были рассмотрены и другие варианты пре-
образований уравнений (1), а именно послед-
него члена с последующей перенормировкой и
получением ренормализационных коэффици-
ентов. Все полученные коэффициенты сведены
в табл. 1.
Выводы
В результате проведенного исследования
при использовании ренормализационного ана-
лиза получены перенормированные константа
скорости реакции и коэффициент диффузии.
Теоретический анализ показал, что рост кон-
станты скорости реакции напрямую зависит от
уровня турбулентности, что выражается зави-
симостью этой константы от турбулентной вяз-
кости или коэффициента диффузии. При этом
показатель степени в зависимости для констан-
ты скорости реакции является функцией либо
теплофизических свойств (числа Прандтля,
Льюиса, Шмидта) либо энергии активации и
температуры (число Зельдовича).
ISSN 0204-3602. Пром. теплотехника, 2011, т. 33, №430
ТЕПЛО- И МАССООБМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ
ЛИТЕРАТУРА
1. Туник Ю.В. Распространение турбулентно-
го горения метановоздушных смесей в трубах //
Физика горения и взрыва. –Т. 36, № 3, – 2000.
2. P. Clavin, F.A. Williams. Theory of pre-
mixed-flame propagation inlarge-scale turbu-
lence, J. Fluid Mech. – 1979, N. 3, V. 90. – P. 589-
604.
3. V. Yakhot. Propagation velocity of premixed
turbulent flames, Combust. Sci. Technol. – 1988,
V. 60. – P. 191-214.
4. R.C. Aldredge. Premixed flame propagation
in a high-intensity, large-scale vertical flow,
Combust.Flame. – 1996, V. 106, N. 1-2, – P. 29-40.
5. B.T. Helenbrook and C.K. Law, The role of
Landau-Darrieus instability in large-scale flows,
Combust. Flame, – 1999, V. 117, N. 1-2, – P. 155-
169.
6. B.Denet. Frankel equation for turbulent
flames in the presence of a hydrodynamic instabi-
lity, Phys. Rev. E, – 1997, V. 55, N. 6. – P. 6911-
6916.
Исходное
выражение
последнего
слагаемого
уравнения (1)
Перенорми-
рованные
члены
Коэффициенты переноса
KTλyyox y, yox
1
21
2
0 0
; 1
b b
b
T T
T
K D DK K K
K D D
π
π
= + = +
T ox
b
EK yy
RT
λ θ y, θ
А)
*
3
0b
t
T
K
K
ΩΞ
ε ν
= ν
, где
( )( )( )
( )
( )
*1 1
3
11 1 1 1
2 22 Pr Sc ,
Pr Sc Pr 1 Sc 1 3 2 d
b
d E
RT
− −
+− − − −
⋅ ε ⋅ ++ +
Ω = Ξ = λ
+ + + ⋅ π
Б)
0
1
M
b bT T
DK K K
D
+ = +
, где
( )( )
11 2Pr Le
1 Le 1 Pr
M
−+ +
=
+ +
( )1 ZeT oxK yyλ − ⋅θ y, θ
А)
*
3 Ze
0b
t
T
K
K
ΩΞ
ε ν
= ν
, где
( )( )( )
( )
( )
*1 1
3
11 1 1 1
2 22 Pr Sc ,
Pr Sc Pr 1 Sc 1 3 2 d
d− −
+− − − −
⋅ ε ⋅ ++ +
Ω = Ξ = λ
+ + + ⋅ π
Б)
0
1
M
b bT T
DK K K
D
+ = +
, где
( )( )
11 2Pr Le
1 Le 1 Pr
M
−+ +
=
+ +
Табл. 1. Ренормализационная константа скорости реакции
ISSN 0204-3602. Пром. теплотехника, 2011, т. 33, №4 31
ТЕПЛО- И МАССООБМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ
7. L. Kagan and G. Sivashinsky. Flame
propagation and extinction in large-scale vertical
flows, Combust. Flame, – 2000, V. 120, N. 1-2, –
P. 222-232.
8. В.Б. Аккерман, В.В. Бычков. Пламя с
реальным тепловым расширением в нестацио-
нарном турбулентном потоке // Физика горения
и взрыва, – 2005, Т. 41, № 4.
9. V.V. Bychkov and B. Denet. Effect of tempo-
ral pulsations of a turbulent flow on the flame
velocity, Combust. Theory Modelling, – 2002,
V. 6, N. 2, – P. 209-222.
10. P. Pelce and P. Clavin. Influence of
hydrodynamics and diffusion upon the stability
limits of laminar premixed flames, J. Fluid
Mech.,124, P. 219-237 (1982).
11. V.V. Bychkov and M.A. Liberman.
Dynamics and stability of premixed flames,
Phys. Rep., 325, Nos. 4-5, P. 115-237 (2000).
12. V. Bychkov. Importance of the Darrieus-
Landau instability for strongly corrugated turbu-
lent flames, Physical Review E 68, 066304, 2003.
13. Б.В. Аккерман. Математическая теория
турбулентного и ламинарного горения в пред-
варительно перемешанной газовой смеси. –
Диссертация, 2005.
14. Yakhot V, Orszag S.A. Renormalization
group analysis of turbulence. I. Basic theory //
J. Sci. Соmp. – 1986. – 1, № 1. – Р. 3-51.
15. V. Yakhot, Combust. Sci. Technol. 60 191
(1988).
16. A. Pocheau, Phys. Rev. E 49 1109 (1994).
17. Ши Д. Численные методы в задачах теп-
лообмена. – М.: Мир, 1988. – 544 с.
18. McComb W.D. The physics of fluid
turbulence. – Oxford: Clarendon Press, 1990.
19. Forster D., Nelson D.R., Stephen M.J.
Large-distance and longtime properties of a
randomly stirred fluid // Phys. Rev. А. – 1977. –
16, № 2. – P. 732-749.
20. S. Sukorianskiy et al. J. Fluid Dynamics
Reseach 33 (2003). – P. 319-331.
21. Диткин В.А., Прудников А.П. Интеграль-
ные преобразования и операционное исчисле-
ние – М.: Наука, 1974. – 542 с.
22. Авраменко А.А., Басок Б.И., Кузнецов А.В.
Групповые методы в теплофизике. К.: Наукова
думка, 2003. – 483 с.
23. Д.А. Франк-Коменецкий. Диффузия и теп-
лопередача в химической кинетике. М.: Наука,
1947. – 367 с.
24. B. Denet. Possible role of temporal
correlations in the bending of turbulent flame
velocity // Comb. Theory Modelling, 1999, V. 3,
P. 585-589.
Получено 12.04.2011 г.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-60346 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0204-3602 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T13:36:55Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Інститут технічної теплофізики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Авраменко, А.А. Сорокина, Т.В. Алексеенко, В.В. 2014-04-14T16:30:24Z 2014-04-14T16:30:24Z 2011 Ренормализационно-групповой анализ турбулентного горения / А.А. Авраменко, Т.В. Сорокина, В.В. Алексеенко // Промышленная теплотехника. — 2011. — Т. 33, № 4— С. 20-31. — Бібліогр.: 24 назв. — рос. 0204-3602 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/60346 532.5: 536.24 На основе ренормализационной техники проведен анализ дифференциального уравнения диффузии при турбулентном горении. Получены ренормализационные коэффициент диффузии и константа скорости реакции. На основі ренормалізаційної техніки проведено аналіз диференційного рівняння дифузії при турбулентному горінні. Отримані ренормалізаційні коефіцієнти дифузії та константи швидкості реакції. The analysis of diffusion differential equation for turbulent combustion is carried out renormalization technique. Renormalization coefficients of diffusion and affinity coefficients (kinetic constants) are obtained. ru Інститут технічної теплофізики НАН України Промышленная теплотехника Тепло- и массообменные процессы Ренормализационно-групповой анализ турбулентного горения Renormalization group analysis of turbulence combustion Article published earlier |
| spellingShingle | Ренормализационно-групповой анализ турбулентного горения Авраменко, А.А. Сорокина, Т.В. Алексеенко, В.В. Тепло- и массообменные процессы |
| title | Ренормализационно-групповой анализ турбулентного горения |
| title_alt | Renormalization group analysis of turbulence combustion |
| title_full | Ренормализационно-групповой анализ турбулентного горения |
| title_fullStr | Ренормализационно-групповой анализ турбулентного горения |
| title_full_unstemmed | Ренормализационно-групповой анализ турбулентного горения |
| title_short | Ренормализационно-групповой анализ турбулентного горения |
| title_sort | ренормализационно-групповой анализ турбулентного горения |
| topic | Тепло- и массообменные процессы |
| topic_facet | Тепло- и массообменные процессы |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/60346 |
| work_keys_str_mv | AT avramenkoaa renormalizacionnogruppovoianalizturbulentnogogoreniâ AT sorokinatv renormalizacionnogruppovoianalizturbulentnogogoreniâ AT alekseenkovv renormalizacionnogruppovoianalizturbulentnogogoreniâ AT avramenkoaa renormalizationgroupanalysisofturbulencecombustion AT sorokinatv renormalizationgroupanalysisofturbulencecombustion AT alekseenkovv renormalizationgroupanalysisofturbulencecombustion |