Расчет актуарных показателей в эпидемиологической модели страхования
В работе для эпидемиологической компартментной модели введены и получены аналитические представления для актуарных текущих стоимостей. Такие величины введены для каждого из компартментов 
 SLIAR-модели. При этом рассматриваются два вида страховых планов – как с непрерывной выплатой 
...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Штучний інтелект |
|---|---|
| Datum: | 2011 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України
2011
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/60444 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Расчет актуарных показателей в эпидемиологической модели страхования / В.П. Марценюк, Н.Я. Климук // Штучний інтелект. — 2011. — № 4. — С. 310-316. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860072337559257088 |
|---|---|
| author | Марценюк, В.П. Климук, Н.Я. |
| author_facet | Марценюк, В.П. Климук, Н.Я. |
| citation_txt | Расчет актуарных показателей в эпидемиологической модели страхования / В.П. Марценюк, Н.Я. Климук // Штучний інтелект. — 2011. — № 4. — С. 310-316. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Штучний інтелект |
| description | В работе для эпидемиологической компартментной модели введены и получены аналитические представления для актуарных текущих стоимостей. Такие величины введены для каждого из компартментов 
SLIAR-модели. При этом рассматриваются два вида страховых планов – как с непрерывной выплатой 
страховой суммы в течение лечения, так и с разовой выплатой. Для каждого из планов получено 
представление для уровней премии.
У роботі для епідеміологічної компартментної моделі введено та отримано аналітичні представлення для актуарних поточних вартостей. Такі величини введено для кожного з компартментів SLIAR-моделі. При цьому розглядаються два види страхових планів – як з неперервною виплатою страхової 
суми протягом лікування, так і з разовою виплатою. Для кожного з планів отримано представлення 
для рівнів премії.
In the work there are determined and obtained analytic presentations of actuarial present values for epidemiological compartmental model. Such values are determined for each compartment of SLIAR-model. Here there are considered 
two kinds of annuities both continuous insurance benefits during treatment and one lump sum. For each of annuities 
there are obtained presentations for levels of premium.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:11:09Z |
| format | Article |
| fulltext |
«Искусственный интеллект» 4’2011 310
5М
УДК 364.3:61
В.П. Марценюк, Н.Я. Климук
Тернопольский государственный медицинский университет имени И.Я. Горбачевского,
г. Тернополь, Украина
Расчет актуарных показателей
в эпидемиологической модели страхования
В работе для эпидемиологической компартментной модели введены и получены аналитические
представления для актуарных текущих стоимостей. Такие величины введены для каждого из компартментов
SLIAR-модели. При этом рассматриваются два вида страховых планов – как с непрерывной выплатой
страховой суммы в течение лечения, так и с разовой выплатой. Для каждого из планов получено
представление для уровней премии.
Введение
В последние годы был внесен значительный вклад в математическое моделирование
переносимых заболеваний [1]. В этом заслуга организаторов здравоохранения, специ-
алистов по математической эпидемиологии и статистике [1-3]. Спектр исследований
охватывает диапазон от анализа экспериментальных данных [1] до теории диф-
ференциальных уравнений [3]. Был достигнут определенный прогресс в анализе кли-
нических данных и эффективном прогнозировании. В то же время не было уделено
адекватного внимания моделированию медицинского страхования на случай ин-
фекционных заболеваний.
Главной идеей данного исследования является внедрение экономической состав-
ляющей в эпидемиологические модели с целью финансовых и медицинских прогнозов
в процессе защиты застрахованного населения от инфекционных заболеваний.
В эпидемиологических исследованиях вся популяция разделяется на компартменты,
которые обозначаются как .,,,, RAILS Класс S обозначает группу индивидуумов
без иммунитета, т.е. уязвимых для определенного заболевания. Класс L обозначает
группу латентных лиц, то есть таких, в организм которых вследствие контакта с
симптоматически или асимптоматически инфицированными попал вирус, который
сейчас находится в латентном состоянии и не может быть распространен на другие
организмы. Классы I и A обозначают группы симптоматически и асимптоматически
инфицированных лиц, R – лица, которые выздоровели.
Делаются следующие биологические предположения.
1. В модели считается, что смертность в результате заболевания является ис-
ключительно малой и ею можно пренебречь, а естественная смертность полностью
покрывается естественной рождаемостью .
2. Размер популяции считается постоянным, т.е.
0,)()()()()( tconstNtRtAtItLtS .
Расчет актуарных показателей в эпидемиологической модели страхования
«Штучний інтелект» 4’2011 311
5М
3. Произвольное лицо делает определенное среднее постоянное число кон-
тактов с другими индивидуумами за единицу времени. На основании таких предпо-
ложений приходим к эпидемиологической модели:
)),()(()())(()( tAtItStSNtS
),()())()(()()( tLtAtItStL (1)
),()()()( tItLtI
),()()()1()( tAtLtA
.0),()()()()( ttAtItLtSNtR
Целью данного исследования является разработка актуарной модели. Заметим,
что введенные выше компартменты играют существенно различные роли в модели
страхования. Так, уязвимые индивидуумы сталкиваются с риском инфицирования во
время эпидемии и каждый из них платит определенную страховую премию в страхо-
вой фонд с целью будущего покрытия расходов на лечение в результате инфициро-
вания. Во время заболевания симптоматически инфицированные лица требуют страховой
суммы, предусмотренной в полисе. В результате летального исхода страховая сумма
будет выплачена бенефициару, указанному в полисе. Цель состоит в надлежащем
управлении страховым фондом на определенном уровне.
S L
A
I
R
Страховой фонд
инвестиции
)( AIS
L
I
L)1(
I
A
S
L
A
R
Оплата
страховых
премий
Выплата
страховой
суммы
N
Рисунок 1 – Диаграмма переходных состояний в эпидемиологической модели
страхования
Актуарный анализ
Идея полиса на случай инфекционного заболевания является подобной страхованию
жизни и элементарного страхования.
Сначала перейдем в эпидемиологической модели подобно тому, как это
делается в демографии, от абсолютных величин )(),(),(),(),( tRtAtItLtS к их частям
)(),(),(),(),( trtatitlts от общего размера популяции N . Имеем модель:
Марценюк В.П., Климук Н.Я.
«Искусственный интеллект» 4’2011 312
5М
)),()(()())(1()( tatitNststs
),()())()(()()( tltatitNstl
),()()()( titlti (2)
),()()()1()( tatlta
,0),()()()(1)( ttatitltstr
,)0(,)0(,)0(,)0( 0000 aaiillss
10000 ails
Поскольку все эти долевые функции изменяются в пределах от 0 до 1, то можно
интерпретировать )(),(),(),(),( trtatitlts как вероятности индивидуума быть в момент
времени t уязвимым, латентным, симптоматически или асимптоматически инфици-
рованным, выздоровевшим. Однако следует иметь в виду, что согласно закону
действия масс перемещение между компартментами зависит от размеров каждого из
них. Следовательно, такие вероятности представляют собой взаимосвязанные риски
в противоположность независимым рискам, которые можно увидеть в моделях страхо-
вания жизни. Далее с помощью этих вероятностных функций )(),(),(),(),( trtatitlts
будут предложены актуарные методы для страхования на случай инфекционных за-
болеваний.
Аннуитет с непрерывной выплатой страховой премии
в течение всего периода лечения
Предположим, что план защиты на случай инфекционного заболевания работает
в форме простого аннуитета. А именно, индивидуальные страховые премии собираются
постоянно до тех пор, пока застрахованное лицо остается несимптоматически ин-
фицированным, тогда как страховая сумма непрерывно выплачивается каждому
симптоматически инфицированному владельцу полиса в течение всего периода лечения.
Когда индивидуум выздоравливает, страховая защита сразу же прекращается. В соответ-
ствии с международными актуарными обозначениями введем понятие актуарной текущей
стоимости (АТС).
Определение 1. Обозначим через T случайную величину времени до наступления
страхового случая (в нашем случае – инфицирования) для индивидуума возраста x .
Тогда случайной величиной текущей стоимости совокупной страховой услуги при
условии разовой выплаты при наступлении страхового случая называется величина:
TeTZ )( ,
где – сила заинтересованности.
Определение 2. Актуарной текущей стоимостью для человека в возрасте x
называется математическое ожидание случайной величины текущей стоимости Z
обозначается xA . Она может быть вычислена как:
dttfedttftZZEA T
t
Tx )()()()(
00
где Tf – функция плотности распределения T .
Обозначим АТС страховых премий от застрахованного лица за все время
эпидемии через
class
A0 , где class – указывает на компартмент лица, участвующего в
страховых платежах или выплатах.
Расчет актуарных показателей в эпидемиологической модели страхования
«Штучний інтелект» 4’2011 313
5М
АТС страховых выплат симптоматически инфицированных пациентов от стра-
ховщика обозначим через
i
A0 .
Итак, с точки зрения дебита страхового продукта совокупные будущие выплаты
задаются как
dttieA ti
)(
0
0
. (3)
С другой стороны, совокупные будущие премии состоят из:
dttseA ts
)(
0
0
,
dttleA tl
)(
0
0
, (4)
dttaeA ta
)(
0
0
.
Основным принципом актуарной математики для установления уровня премии
является принцип эквивалентности, который требует:
E [текущая стоимость страховых расходов] =
= E [текущая стоимость страховых платежей].
Следовательно, уровень премии для страхового плана по выплатам на про-
тяжении всего периода лечения составляет:
als
i
AAA
A
P
000
0
. (5)
Утверждение 1. Для системы (2) имеет место следующее соотношение:
1)1()1()1()1( 0000
ails
AAAA . (6)
Доказательство. Из уравнения модели (2) имеем:
0),()()()()())(1(
)()()()()(
ttatitlts
trtatitlts
(7)
Интегрируя (7) от 0до t , получаем:
.0,)()()()()()(
1)()()()(
0000
tdadidldst
tatitlts
tttt
(8)
Далее умножаем (8) на te и проинтегрируем относительно t в пределах от 0
до .
Имеем:
.
)(
1
00
000000
ai
lsails
AA
AAAAAA
(9)
Марценюк В.П., Климук Н.Я.
«Искусственный интеллект» 4’2011 314
5М
Здесь, в правой части (9), использовано изменение порядка интегрирования и
интегрирование по частям. А именно:
.
1
)()(
1
)()(
1
)()(
0
0 0
0 00000
st
t
t
tt
t
t
t
Aedds
dedsdtdsedtdse
(10)
Для других слагаемых в (9) использованы те же преобразования. Из (9) непо-
средственно вытекает (6). Из утверждения 1 непосредственно вытекают следующие
результаты.
Следствие 1. Имеет место следующее соотношение для определения уровня
премии для страхового плана по выплате в течение всего периода лечения, которое
не зависит от АТС выплат:
.
))(1(1
),,(
000
0000
000 als
alsa
als
AAA
AAAA
AAAPP
(11)
Следствие 2. В общем случае системы (2) уровень премии для страхового плана с
выплатами в течение всего периода лечения является функцией только от
i
A0 и
a
A0 , а
именно:
ia
i
ai
AA
A
AAPP
00
0
00
)1(1
)1(
),(
. (12)
Следствие 3. В случае, если 0 , то уровень премии для страхового плана с
выплатами в течение всего периода лечения является функцией только от iA0 :
.
)1(1
)1(
)(
0
0
0
i
i
i
A
A
APP
(13)
Заметим, что следствие 3 может иметь такие актуарные трактовки: условие
0 может рассматриваться не как отсутствие выздоровевших из числа асимпто-
матически инфицированных, а, скорее, описывает ситуацию, когда индивидуумы не
попадают в копмартмент R в связи с незнанием своего собственного диагноза при
отсутствии симптомов и дальше продолжают платить страховые платежи (премии).
Аннуитет с разовой выплатой страховой суммы
Аналог такого плана происходит также в страховании жизни. Если застрахованное
лицо диагностируется как инфицированное и подлежит госпитализации, то выплаты
на лечение выплачиваются в виде страховой суммы немедленно, и страхование на этом
прекращается. В таком случае АТС страховых выплат симптоматически инфицирован-
ным лицам может быть вычислена как:
,)()]()()([ˆ
00
0
0
ilti AAdttitleA
(14)
Расчет актуарных показателей в эпидемиологической модели страхования
«Штучний інтелект» 4’2011 315
5М
поскольку вероятность быть симптоматично инфицированным во время t
определяется из третьего уравнения системы (2).
Утверждение 2. АТС определяется через начальные значения 0s и 0l
следующим соотношением:
.)()()(
)(
ˆ
0000000
ilssi AAAlsAA
(15)
Доказательство. Следует из (14), представив
l
A0 таким образом:
.
111
)(
1
)()(
1
)()(
11
)(
1
)(
1
)(
111
)]()())(1([
1
)]())()()(([
)(
1
)(
00000
00
00
0
00
0
0
0
00
0
lss
tt
tts
ttst
t
ttl
AlAsA
dtetltle
dtetstseA
dttledttseAdte
dttltstse
dttltatitNsedttleA
Здесь использованы первые два уравнения системы (2) и интегрирование по
частям.
Следствие 4. Уровень премии для страхового плана с разовой выплатой страховой
суммы зависит от 0s и 0l и составляет:
].)()(
)(
)(
[
1ˆ
000
000
000000
0
ils
s
alsals
i
AAA
lsA
AAAAAA
A
P
(16)
Выводы
Итак, в работе предложены методики разработки страховых планов путем расс-
мотрения детерминированной эпидемиологической модели распространения инфекцион-
ного заболевания. Введены определения АТС страховых выплат и платежей для различ-
ных компартментов эпидемиологической модели. Предложены методики расчета уровня
премии для двух типов страховых планов – с непрерывными выплатами в течение всего
лечения и разовой выплатой страховой премии.
Литература
1. Андрейчин М.А. Проблемы гриппа A/H1N1: прошлое и современность / М.А. Андрейчин,
В.С. Копча // Инфекционные болезни. – № 4. – 2009. – С. 5-19.
2. Марценюк В.П. Информационно-статистический подход к моделированию распространения
инфекционного заболевания на примере эпидемии ОРЗ в период октябрь – ноябрь 2009 года в
Марценюк В.П., Климук Н.Я.
«Искусственный интеллект» 4’2011 316
5М
Тернопольской области / В.П. Марценюк, Н.В. Цяпа, М.О. Кашуба // Инфекционные болезни. –
2009. – № 4. – С. 50-59.
3. Марценюк В.П. SIR-моделирования эпидемии острых респираторных заболеваний / В.П. Мар-
ценюк, Н.В. Цяпа // Медицинская информатика и инженерия. – 2009. – № 4. – С. 65-69.
Literatura
1. Andreichin M.A. Problemy grippa A/H1N1: proshloe i sovremennost' / M.A. Andreichin, V.S. Kopcha
Infekcionnye bolezni. № 4. 2009. S.5-19.
2. Marcenyuk V.P. Informacionno-statisticheskii podhod k modelirovaniyu rasprostranenie infekcionnogo
zabolevaniya na primere epidemii ORZ v period oktyabr'-noyabr' 2009 goda v Ternopol'skoi oblasti /
V.P. Marcenyuk, N.V. Cyapa, M.O. Kashuba // Infekcionnye bolezni. № 4. 2009. S. 50-59.
3. Marcenyuk V.P., Cyapa N.V. SIR-modelirovaniya epidemii ostryh respiratornyh zabolevanii Medicin-
skaya informatika i injeneriya. № 4. 2009. S. 65-69.
В.П. Марценюк, Н.Я. Климук.
Розрахунок актуарних показників в епідеміологічній моделі страхування
У роботі для епідеміологічної компартментної моделі введено та отримано аналітичні представлення
для актуарних поточних вартостей. Такі величини введено для кожного з компартментів SLIAR-
моделі. При цьому розглядаються два види страхових планів – як з неперервною виплатою страхової
суми протягом лікування, так і з разовою виплатою. Для кожного з планів отримано представлення
для рівнів премії.
V.P. Martsenyuk, N.Ya. Klymuk
On Actuarial Indices in Epidemiological Insurance Model
In the work there are determined and obtained analytic presentations of actuarial present values for epidemiological
compartmental model. Such values are determined for each compartment of SLIAR-model. Here there are considered
two kinds of annuities both continuous insurance benefits during treatment and one lump sum. For each of annuities
there are obtained presentations for levels of premium.
Статья поступила в редакцию 08.08.2011.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-60444 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1561-5359 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:11:09Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Марценюк, В.П. Климук, Н.Я. 2014-04-15T17:11:46Z 2014-04-15T17:11:46Z 2011 Расчет актуарных показателей в эпидемиологической модели страхования / В.П. Марценюк, Н.Я. Климук // Штучний інтелект. — 2011. — № 4. — С. 310-316. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. 1561-5359 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/60444 364.3:61 В работе для эпидемиологической компартментной модели введены и получены аналитические представления для актуарных текущих стоимостей. Такие величины введены для каждого из компартментов 
 SLIAR-модели. При этом рассматриваются два вида страховых планов – как с непрерывной выплатой 
 страховой суммы в течение лечения, так и с разовой выплатой. Для каждого из планов получено 
 представление для уровней премии. У роботі для епідеміологічної компартментної моделі введено та отримано аналітичні представлення для актуарних поточних вартостей. Такі величини введено для кожного з компартментів SLIAR-моделі. При цьому розглядаються два види страхових планів – як з неперервною виплатою страхової 
 суми протягом лікування, так і з разовою виплатою. Для кожного з планів отримано представлення 
 для рівнів премії. In the work there are determined and obtained analytic presentations of actuarial present values for epidemiological compartmental model. Such values are determined for each compartment of SLIAR-model. Here there are considered 
 two kinds of annuities both continuous insurance benefits during treatment and one lump sum. For each of annuities 
 there are obtained presentations for levels of premium. ru Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України Штучний інтелект Интеллектуальные системы планирования, управления, моделирования и принятия решений Расчет актуарных показателей в эпидемиологической модели страхования Розрахунок актуарних показників в епідеміологічній моделі страхування On Actuarial Indices in Epidemiological Insurance Model Article published earlier |
| spellingShingle | Расчет актуарных показателей в эпидемиологической модели страхования Марценюк, В.П. Климук, Н.Я. Интеллектуальные системы планирования, управления, моделирования и принятия решений |
| title | Расчет актуарных показателей в эпидемиологической модели страхования |
| title_alt | Розрахунок актуарних показників в епідеміологічній моделі страхування On Actuarial Indices in Epidemiological Insurance Model |
| title_full | Расчет актуарных показателей в эпидемиологической модели страхования |
| title_fullStr | Расчет актуарных показателей в эпидемиологической модели страхования |
| title_full_unstemmed | Расчет актуарных показателей в эпидемиологической модели страхования |
| title_short | Расчет актуарных показателей в эпидемиологической модели страхования |
| title_sort | расчет актуарных показателей в эпидемиологической модели страхования |
| topic | Интеллектуальные системы планирования, управления, моделирования и принятия решений |
| topic_facet | Интеллектуальные системы планирования, управления, моделирования и принятия решений |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/60444 |
| work_keys_str_mv | AT marcenûkvp rasčetaktuarnyhpokazateleivépidemiologičeskoimodelistrahovaniâ AT klimuknâ rasčetaktuarnyhpokazateleivépidemiologičeskoimodelistrahovaniâ AT marcenûkvp rozrahunokaktuarnihpokaznikívvepídemíologíčníimodelístrahuvannâ AT klimuknâ rozrahunokaktuarnihpokaznikívvepídemíologíčníimodelístrahuvannâ AT marcenûkvp onactuarialindicesinepidemiologicalinsurancemodel AT klimuknâ onactuarialindicesinepidemiologicalinsurancemodel |