Дискретные аналоги интегральных уравнений Вольтерра II рода
Предлагается класс математических моделей процессов в линейных системах с фиксированными состояниями. Такие математические модели являются дискретными аналогами интегральных уравнений 
 Вольтерра ІІ рода. Рассмотрены методы аналитического решения предложенных уравнений на основе 
 от...
Saved in:
| Published in: | Штучний інтелект |
|---|---|
| Date: | 2011 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України
2011
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/60446 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Дискретные аналоги интегральных уравнений Вольтерра II рода / В.Ф. Миргород, И.М. Гвоздева // Штучний інтелект. — 2011. — № 4. — С. 326-334. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860244821865660416 |
|---|---|
| author | Миргород, В.Ф. Гвоздева, И.М. |
| author_facet | Миргород, В.Ф. Гвоздева, И.М. |
| citation_txt | Дискретные аналоги интегральных уравнений Вольтерра II рода / В.Ф. Миргород, И.М. Гвоздева // Штучний інтелект. — 2011. — № 4. — С. 326-334. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Штучний інтелект |
| description | Предлагается класс математических моделей процессов в линейных системах с фиксированными состояниями. Такие математические модели являются дискретными аналогами интегральных уравнений 
Вольтерра ІІ рода. Рассмотрены методы аналитического решения предложенных уравнений на основе 
отыскания решений соответствующих уравнений, связывающих ядро и резольвенту. Рассмотрена и 
доказана теорема, устанавливающая аналитический вид резольвенты по заданному ядру для ряда 
важных частных случаев, а именно при сепарабельном виде ядра. Рассмотрены эквивалентные 
преобразования предложенных математических моделей к линейным разностным уравнениям.
У статті пропонується клас математичних моделей процесів у лінійних системах з фіксованими станами. Такі математичні моделі є дискретними аналогами інтегральних рівнянь Вольтера ІІ роду. Розглянуті 
методи аналітичного розв’язання запропонованих рівнянь на основі відшукання рішень відповідних 
рівнянь, що пов’язують ядро та резольвенту. Розглянута та доведена теорема, що встановлює аналітичний 
вигляд резольвенти за заданим ядром для низки важливих окремих випадків, а саме при сепарабельному 
вигляді ядра. Розглянуті еквівалентні перетворення пропонованих математичних моделей до лінійних 
різницевих рівнянь.
The class of mathematical models of processes in the linear systems with the fixed states is offered in the paper. Such mathematical models are the discrete analogues of Volterra integral equations of the second kind. The 
methods of analytical solutions of the offered equations on the basis of finding of solutions of corresponding 
equations binding the kernel and resolvent are considered. The theorem, defining the analytical kind of resolvent 
on the given kernel for some important special cases, namely at the separable type of kernel, is considered 
and proved. Equivalent transformations of the offered mathematical models to the linear difference equations 
are considered.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:35:25Z |
| format | Article |
| fulltext |
«Искусственный интеллект» 4’2011 326
5М
УДК 681.3.06:518.12
В.Ф. Миргород, И.М. Гвоздева
ОАО «Элемент», г. Одесса, Украина
odessa@element.od.ua
Дискретные аналоги интегральных
уравнений Вольтерра II рода
Предлагается класс математических моделей процессов в линейных системах с фиксированными
состояниями. Такие математические модели являются дискретными аналогами интегральных уравнений
Вольтерра ІІ рода. Рассмотрены методы аналитического решения предложенных уравнений на основе
отыскания решений соответствующих уравнений, связывающих ядро и резольвенту. Рассмотрена и
доказана теорема, устанавливающая аналитический вид резольвенты по заданному ядру для ряда
важных частных случаев, а именно при сепарабельном виде ядра. Рассмотрены эквивалентные
преобразования предложенных математических моделей к линейным разностным уравнениям.
Введение
Проблема исследования управляемого изменения состояния сложных динами-
ческих систем в настоящее время решается путем построения их математических
моделей (ММ), как правило, в виде моделей пространства состояний, как отвеча-
ющих в наибольшей степени методам и средствам современной теории управления.
Однако далеко не все процессы в реальных объектах управления могут быть описаны
указанными математическими моделями пространства состояния (ММПС), что требует
отыскания новых форм математического описания их движения.
Важная научно-прикладная задача состоит в отыскании таких форм ММ, которые
при сохранении адекватности реальным процессам позволили бы осуществить их
численную реализацию.
Известные преимущества интегральных моделей, в частности интегральных урав-
нений Вольтерра ІІ рода, предопределяет необходимость и практическую значимость
рассмотрения методов отыскания различных форм их аналитических решений, на
основе решения соответствующих уравнений, связывающих ядро и резольвенту.
1 Постановка проблемы и цель исследования
Теоретические основы решения интегральных уравнений рассмотрены в ряде
фундаментальных работ [1-3]. Методы и алгоритмы их численного решения пред-
ложены в справочной литературе [3], [4]. Особенности интегро-дифференциальных
уравнений и программные средства их решения изложены в [5], [6]. Для отдельных
частных случаев интегральных уравнений в [1-3] предлагаются также некоторые
аналитические решения. В [7], [8] предложены такие решения для ряда важных
прикладных задач.
В то же время необходимость численной реализации ММ непосредственно в
составе систем управления требует систематического рассмотрения вопросов отыс-
кания решений интегральных уравнений и их дискретных аналогов, применяемых
в качестве математических моделей исследуемых объектов. В первую очередь это
Дискретные аналоги интегральных уравнений Вольтерра II рода
«Штучний інтелект» 4’2011 327
5М
касается интегральных уравнений Вольтерра ІІ рода, имеющих широкую область
применения в прикладных задачах и для которых разработаны эффективные методы
численного решения [3].
Целью настоящей работы является разработка методов аналитического решения
дискретных аналогов интегральных уравнений Вольтерра ІІ рода на основе отыскания
решений соответствующих уравнений, связывающих ядро и резольвенту.
2 Основные результаты исследования
Интегральное уравнение Вольтерра ІІ рода
, ,
x
a
y x f x K x s y s ds (1)
где y x – неизвестная, f x – функция, удовлетворяющая ограничению
1 1, ,
x
a
f x dx C C const
,K x s – ядро, непрерывное в пределах треугольника as.bxb,sa,x ,
,x s – независимые переменные, a = const, имеет следующее решение в анали-
тическом виде
, ,
x
a
y x f x r x s f s ds (2)
где ,r x s – резольвента, удовлетворяющая уравнению
, , , , ,
x
a
r x s k x s k x t r t s dt (3)
Известные [1-3] условия существования и единственности решения уравне-
ния (1) заключаются в непрерывности ядра s)K(x, на сторонах и внутри треугольника
as.bxb,sa,x , а также в условиях ограниченности функции f(x) .
Решение уравнения для резольвенты (3) имеет важное значение как для теории
интегральных уравнений, так и для прикладных задач, поскольку отыскание резоль-
венты по известному ядру из (3) предоставляет возможность решить тем самым целый
класс интегральных уравнений Вольтерра ІІ рода с различными правыми частями в
виде функций f(x) .
Рассмотрим дискретный аналог уравнения (1)
1
, ,
nx
n n n j j
j x
y x f x K x s y s
(4)
где , , .n j N j n
Уравнение (4) может рассматриваться, с одной стороны, как приближенная квад-
ратурная реализация уравнения (1). С другой стороны, (4) может использоваться как
математическая модель процессов в системах с дискретными состояниями, например,
в цифровых системах управления, моделирования потока отказов, отражения сигнала
от дискретных рассеивателей и др. В первом случае нахождение аналитического
решения (4) позволяет избежать известных проблем численного решения уравнений
с переменным верхним пределом. Во втором случае нахождение решений уравнений
Миргород В.Ф., Гвоздева И.М.
«Искусственный интеллект» 4’2011 328
5М
вида (4) имеет важное самостоятельное значение, поскольку дает возможность по-
строить алгоритмы нерекурсивного типа, соответствующие требованиям реального
времени. В последующем (4) будет определяться как -уравнение.
Будем полагать далее, что справедливы следующие условия
1
2 2,
n
i
x
i
x x
f x C C const
(5)
1 3 3, , ,n j n jr x s r x s C C const (6)
1 4 4, , ,n j n jr x s r x s C C const (7)
В дальнейшем переменные-аргументы опускаются и используются следующие
обозначения
, ,
,
n j nj
n n n n
r x s r
y x y f x f
Решение уравнения (1) будем отыскивать по аналогии с (2) в форме
1
,
n
n n nj j
j
y f r f
(8)
Из (4) и (8) следует уравнение для резольвенты
1
n
kj kj kj ij
i j
r k k r
(9)
Вывод уравнения (9) может быть получен следующим образом
1 1
1 1 2
1 1
, ,
, , ,
, , ,
n n
j j
n n n
j i j
n n n
j j i j
x x
n j j n j j
s x s x
x x x
n j j i n j j i
s x v x s v
x x x
n j j j n i i j
s x s x v s
r x s f s k x s y s
k x s f s f v k x s r s v
k x s f s f s k x v r v s
С учетом (5) из последнего соотношения следует (9).
Для исследования свойств и нахождения решений -уравнения типа Вольтерра
рассмотрим первоначально следующую Лемму.
Лемма. Для однородного -уравнения Вольтерра ІІ рода решением является
0-последовательность.
Действительно, для уравнения
1
n
n nj j
j
y k y
решение есть
0, ,ny n N
что непосредственно следует из (8) при 0,nf n N .
Решения уравнения для резольвенты (9) устанавливает следующая теорема.
Теорема. Если ядро является разделяющимся (сепарабельным) и имеет вид
,T
nj n jk
(11)
Дискретные аналоги интегральных уравнений Вольтерра II рода
«Штучний інтелект» 4’2011 329
5М
где 1 2 1 2, ,..., , , ,...,n n n nm j j j jmcol col
и справедливы условия
(5 – 7), то решением уравнения для резольвенты является решетчатая функция
,T
nj n nj jr F
(12)
где матрица njF определяется из соотношения
1
.
n
T
nj i i
i j
F E
(13)
Необходимость. Прямой подстановкой (12) в (9) получаем
1, ,T
nj n j n n njF F F
(14)
Откуда непосредственно следует (12) и (13).
Достаточность. Пусть (9) имеет два решения
(1) (1)
1
(2) (2)
1
,
,
n
nj nj ni ij
i j
n
nj nj ni ij
i j
r k k r
r k k r
тогда
(1) (2)
1
.
n
nj nj nj ni ij
i j
r r r k r
(15)
Уравнение (15) является однородным уравнением и согласно Лемме имеет нуле-
вое решение по координате nx .
Рассмотрим решение по координате is . Пусть 1n , тогда ,ij ij ijr k r отсюда
0ijr .
Далее получаем
1,
1, , 1, 1,
,
.
nj n j nn nj
n j n j n n n j
r r k r
r r k r
В предположении, что 0njr , следует 1, 0.n jr По индукции устанавливаем
0njr . Следовательно, решение (9) единственно и определяется (12) и (13).
Следствие. Если njk и njr – ядро и резольвента уравнения (9), то nj j njk k и
nj n njr k также являются решением (9) при 0,n n N .
Рассмотрим -уравнение Вольтерра ІІ рода с разделяющимся ядром:
1
.
n
n n n j j
j
y f y
(16)
Обозначая
1
,
n
n j j
j
v y
(17)
получаем следующее разностное уравнение, эквивалентное (16) при нулевых началь-
ных условиях
1.n n n n n nv v f v (18)
Миргород В.Ф., Гвоздева И.М.
«Искусственный интеллект» 4’2011 330
5М
Из (16) и (18) следует дискретная математическая модель
1
1
1
,
1 1n n n
n n n n
n n n n
v v f
y v f
(19)
с решением
1
,
n
n n n nj j j
j
y f F f
(20)
где
1
1 .
n
nj i j
i j
F
(21)
Рассмотрим более сложное, по сравнению с (16), -уравнение Вольтерра ІІ рода
с разделяющимся ядром
1
.
n
T
n n n j j
j
y f y
(22)
Обозначим
1
.
n
n j j
j
v y
Отсюда следует дискретная математическая модель пространства состояний в виде
1 1
1 ,
.
T T
n n n n n n n n
T
n n n n
v E v E f
y v f
(24)
фундаментальная матрица которой имеет вид
1
, .
n
T
nj n n nj ii
i j
E F
Решение системы (24) определяется соотношением
1
.
n
T
n n n nj j j
j
y f F f
В силу эквивалентности (22) и (24), это решение одновременно является реше-
нием -уравнение Вольтерра ІІ рода с разделяющимся ядром.
Возможности предлагаемого подхода иллюстрируют следующие примеры.
Пример 1. Пусть ядро в уравнении (16) задано в виде
1 n j
nj
a
k a a
a
.
Используя результат доказанной теоремы, получаем резольвенту
1njr a .
При задании «правой части» следующей решетчатой функцией
n
nf k r
получаем решение в виде: 1, .ny k N
Настоящий пример является дискретным аналогом уравнения, рассмотренного
в [3] с тем же решением, полученным методом квадратур.
Пример 2. Пусть ядро в уравнении (16) задано в виде
1 1 n jn j
njk a a a a a .
Дискретные аналоги интегральных уравнений Вольтерра II рода
«Штучний інтелект» 4’2011 331
5М
На основании установленных аналитических результатов получаем резольвенту
1 1n jn j
njF a a a
22 2 1
1 / n jn i
nj
a
r a a a a a
a
При задании «правой части» следующей решетчатой функцией
n
nf k a
получаем следующее решение: 2nk
ny a .
Пример 3. В условиях примера 2
1 n j
njk a a a ,
2 21 /n j
njr a a a a ,
зададим другой вид «правой части»: 1nf . В этом случае решение имеет вид:
21 1 .
1
n
n
a
y a
a
Последний пример иллюстрирует важное достоинство резольвентного решения:
могут быть получены решения классов Σ-интегральных уравнений с различными «пра-
выми частями». На рис. 1 и рис. 2 представлены ядро и резольвента для а = 2.
-5
0
5
-5
0
5
-8000
-6000
-4000
-2000
0
gi
-2-n 2gi
n
Рисунок 1 – Разностное ядро для примера 3
0
2
4
6
-6
-4
-2
0
-2
-1.5
-1
-0.5
0
x 10
7
gi
-2-2 n+2 gi-1
n
Рисунок 2 – Резольвента для примера 3
Миргород В.Ф., Гвоздева И.М.
«Искусственный интеллект» 4’2011 332
5М
Если nj n jk k – разностное ядро, то в силу линейности Σ-интегрального уравне-
ния nj n jr r – резольвента также является разностной. Отсюда уравнение для резоль-
венты имеет вид
1
n
n j n j n i i j
i j
r k k r
. (25)
Полагая, что sr и sk удовлетворяют условиям существования их z-преобразо-
ваний, где s n j , из (25) следует операторное уравнение:
,R z K z K z R z (26)
где ,R z K z – z-изображения ядра и резольвенты соответственно. Отсюда
следует аналитическое решение уравнения для резольвенты в виде
1 ,sr Z R z (27)
где
.
1
K z
R z
K z
(28)
Решение (27) и (28) обобщают операционный метод решения интегрального
уравнения Вольтерра ІІ рода с разностным ядром на соответствующие Σ-уравнения.
Пример 4. Пусть
1
, 1 .
n j
nj n j nj n jk k a r r n a
(29)
Определим изображение ядра
.
1
z
K z a
z
Согласно (28) получим изображение резольвенты
1
,
11 1 1
1
az a z
R z
a z a z
a
Используя обратное преобразование, получим окончательный результат
11 1
1 1 ,
1 1 1
s
s sa a
Z R z a a a
a a a
который полностью соответствует (29) при .s n j
Пример 5. В условиях примера 1 имеют место следующие соотношения:
1
1, .n j
nj n j nj n j
a
r r a k k a a
a
(30)
Отсюда
1 .
1
z
R z a
z
Согласно (26)
1
,
11
R z a z
K z
R z a z
a
Дискретные аналоги интегральных уравнений Вольтерра II рода
«Штучний інтелект» 4’2011 333
5М
используя обратное преобразование, получим окончательный результат
1 1
,sa
Z K z a
a
который полностью соответствует (30) при s n j .
Для оценки полученных результатов по обобщению решений указанных типов
дискретных аналогов интегральных уравнений Вольтерра ІІ рода и исследованию
новых их решений использованы программные средства пакета Symbolic Math Toolbox
Matlab 6.5, который базируется на применении ядра символьной математики системы
компьютерной алгебры Maple V R4 [9]. Приведенные выше утверждения и примеры про-
верены с использованием языка символической математики и полностью подтверждены.
Заключение
Предлагаемый подход к установлению решений дискретных аналогов некоторых
типов интегральных уравнений Вольтерра ІІ рода на основе отыскания решений соот-
ветствующих уравнений, связывающих ядро и резольвенту, дает возможность иссле-
довать новые классы решений таких уравнений и упростить алгоритмы численной
реализации при таблично заданных входных данных, что определяет существенные
преимущества предлагаемых моделей при решении прикладных задач. Перспективы
дальнейших исследований связаны с расширением круга возможных типов интеграль-
ных уравнений Вольтерра ІІ рода и их дискретных аналогов, для которых могут быть
получены аналитические решения.
Литература
1. Смирнов В.И. Курс высшей математики / Смирнов В.И. – М. : Наука, 1974. – Т. 4, ч. 1. – 336 с
2. Забрейко П.П. Интегральные уравнения / Забрейко П.П., Кошелев А.И., Красносельский М.А. – М. :
Наука, 1968. – 448 с
3. Верлань А.Ф. Справочник по интегральным уравнениям / А.Ф. Верлань, В.С. Сизиков. – К. : Техника,
1986. – 700 с.
4. Иванов В.В. Методы вычислений на ЭВМ / Иванов В.В. – К. : Наук. думка, 1986. – 584 с.
5. Верлань А.Ф. Моделирование систем автоматического управления с реальными обратными связями
на основе интегро-дифференциальных уравнений Вольтера / А.Ф. Верлань, В.Ф. Миргород, Д.Э. Конт-
рерас // Тр. Одесск. гос. политехн. ин-та. – 2000. – Вып. 3(12). – С. 120-123.
6. Миргород В.Ф. Квадратурно-разностные алгоритмы моделирования нелинейных динамических объек-
тов / В.Ф. Миргород, Д.Э. Контрерас, А.Б. Волощенко // Сб. научн. тр. ИПМЭ НАН Украины «Моде-
лирование и информационные технологии». – 2000. – Вып. 6. – С. 152156.
7. Миргород В.Ф. Обобщение методов аналитического решения некоторых типов интегральных уравне-
ний Вольтерра второго рода / В.Ф. Миргород // Искусственный интеллект. – 2009. – № 3. – С. 68-80.
8. Миргород В.Ф. Эквивалентные преобразования интегральных и дифференциальных математиче-
ских моделей / В.Ф. Миргород, И.М. Гвоздева // Материалы международной научной конференции
«Интеллектуальные системы принятия решений и проблемы вычислительного интеллекта», (Евпа-
тория, 18 – 22 мая 2009 г.). – 2009. – Т. 1. – С. 88-91.
9. Дьяконов В.П. Matlab 6.0 : учебный курс / Дьяконов В.П. – СПб. : Питер, 2001. – 592 с.
10. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям / Камке Э. – М. : Наука,
1971. – 576 с.
Literatura
1. Smirnov V.I. Kurs vysshej matematiki. T. 4. Ch. 1. M. : Nauka. 1974. 336 s.
2. Zabrejko P.P. Integral’nye uravnenija. M. : Nauka. 1968. 448 s.
3. Verlan’ A.F. Spravochnik po integral’nym uravnenijam. K. : Tehnika. 1986. 700 s.
4. Ivanov V.V. Metody vychislenij na JeVM. K. : Nauk. dumka. 1986. 584 s.
Миргород В.Ф., Гвоздева И.М.
«Искусственный интеллект» 4’2011 334
5М
5. Verlan’ A.F. Tr. Odessk. gos. politehn. in-ta. Vyp. 3 (12). 2000. S. 120-123.
6. Mirgorod V.F. Sb. nauchn. tr. IPMJe NAN Ukrainy “Modelirovanie i informacionnye tehnologii”. Vyp. 6.
2000. S. 152-156.
7. Mirgorod V.F. Iskusstvennyj intellekt. 2009. № 3. S. 68-80.
8. Mirgorod V.F. Materialy mezhdunarodnoj nauchnoj konferencii “Intellektual’nye sistemy prinjatija reshenij
i problemy vychislitel’nogo intellekta”, (Evpatorija, 18 – 22 maja 2009 g.). 2009. T. 1. S. 88-91.
9. D’jakonov V.P. Matlab 6.0: uchebnyj kurs. SPb. : Piter. 2001. 592 s.
10. Kamke Je. Spravochnik po obyknovennym differencial'nym uravnenijam. M. : Nauka. 1971. 576 s.
В.Ф. Миргород, І.М. Гвоздева
Дискретні аналоги інтегральних рівнянь Вольтера ІІ роду
У статті пропонується клас математичних моделей процесів у лінійних системах з фіксованими станами.
Такі математичні моделі є дискретними аналогами інтегральних рівнянь Вольтера ІІ роду. Розглянуті
методи аналітичного розв’язання запропонованих рівнянь на основі відшукання рішень відповідних
рівнянь, що пов’язують ядро та резольвенту. Розглянута та доведена теорема, що встановлює аналітичний
вигляд резольвенти за заданим ядром для низки важливих окремих випадків, а саме при сепарабельному
вигляді ядра. Розглянуті еквівалентні перетворення пропонованих математичних моделей до лінійних
різницевих рівнянь.
V.F. Mirgorod, I.M. Gvozdeva
The Discrete Analogues of Volterra Integral Equations of the Second Kind
The class of mathematical models of processes in the linear systems with the fixed states is offered in the paper.
Such mathematical models are the discrete analogues of Volterra integral equations of the second kind. The
methods of analytical solutions of the offered equations on the basis of finding of solutions of corresponding
equations binding the kernel and resolvent are considered. The theorem, defining the analytical kind of resolvent
on the given kernel for some important special cases, namely at the separable type of kernel, is considered
and proved. Equivalent transformations of the offered mathematical models to the linear difference equations
are considered.
Статья поступила в редакцию 12.07.2011.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-60446 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1561-5359 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:35:25Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Миргород, В.Ф. Гвоздева, И.М. 2014-04-15T17:14:00Z 2014-04-15T17:14:00Z 2011 Дискретные аналоги интегральных уравнений Вольтерра II рода / В.Ф. Миргород, И.М. Гвоздева // Штучний інтелект. — 2011. — № 4. — С. 326-334. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 1561-5359 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/60446 681.3.06:518.12 Предлагается класс математических моделей процессов в линейных системах с фиксированными состояниями. Такие математические модели являются дискретными аналогами интегральных уравнений 
 Вольтерра ІІ рода. Рассмотрены методы аналитического решения предложенных уравнений на основе 
 отыскания решений соответствующих уравнений, связывающих ядро и резольвенту. Рассмотрена и 
 доказана теорема, устанавливающая аналитический вид резольвенты по заданному ядру для ряда 
 важных частных случаев, а именно при сепарабельном виде ядра. Рассмотрены эквивалентные 
 преобразования предложенных математических моделей к линейным разностным уравнениям. У статті пропонується клас математичних моделей процесів у лінійних системах з фіксованими станами. Такі математичні моделі є дискретними аналогами інтегральних рівнянь Вольтера ІІ роду. Розглянуті 
 методи аналітичного розв’язання запропонованих рівнянь на основі відшукання рішень відповідних 
 рівнянь, що пов’язують ядро та резольвенту. Розглянута та доведена теорема, що встановлює аналітичний 
 вигляд резольвенти за заданим ядром для низки важливих окремих випадків, а саме при сепарабельному 
 вигляді ядра. Розглянуті еквівалентні перетворення пропонованих математичних моделей до лінійних 
 різницевих рівнянь. The class of mathematical models of processes in the linear systems with the fixed states is offered in the paper. Such mathematical models are the discrete analogues of Volterra integral equations of the second kind. The 
 methods of analytical solutions of the offered equations on the basis of finding of solutions of corresponding 
 equations binding the kernel and resolvent are considered. The theorem, defining the analytical kind of resolvent 
 on the given kernel for some important special cases, namely at the separable type of kernel, is considered 
 and proved. Equivalent transformations of the offered mathematical models to the linear difference equations 
 are considered. ru Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України Штучний інтелект Интеллектуальные системы планирования, управления, моделирования и принятия решений Дискретные аналоги интегральных уравнений Вольтерра II рода Дискретні аналоги інтегральних рівнянь Вольтера ІІ роду The Discrete Analogues of Volterra Integral Equations of the Second Kind Article published earlier |
| spellingShingle | Дискретные аналоги интегральных уравнений Вольтерра II рода Миргород, В.Ф. Гвоздева, И.М. Интеллектуальные системы планирования, управления, моделирования и принятия решений |
| title | Дискретные аналоги интегральных уравнений Вольтерра II рода |
| title_alt | Дискретні аналоги інтегральних рівнянь Вольтера ІІ роду The Discrete Analogues of Volterra Integral Equations of the Second Kind |
| title_full | Дискретные аналоги интегральных уравнений Вольтерра II рода |
| title_fullStr | Дискретные аналоги интегральных уравнений Вольтерра II рода |
| title_full_unstemmed | Дискретные аналоги интегральных уравнений Вольтерра II рода |
| title_short | Дискретные аналоги интегральных уравнений Вольтерра II рода |
| title_sort | дискретные аналоги интегральных уравнений вольтерра ii рода |
| topic | Интеллектуальные системы планирования, управления, моделирования и принятия решений |
| topic_facet | Интеллектуальные системы планирования, управления, моделирования и принятия решений |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/60446 |
| work_keys_str_mv | AT mirgorodvf diskretnyeanalogiintegralʹnyhuravneniivolʹterraiiroda AT gvozdevaim diskretnyeanalogiintegralʹnyhuravneniivolʹterraiiroda AT mirgorodvf diskretníanalogiíntegralʹnihrívnânʹvolʹteraíírodu AT gvozdevaim diskretníanalogiíntegralʹnihrívnânʹvolʹteraíírodu AT mirgorodvf thediscreteanaloguesofvolterraintegralequationsofthesecondkind AT gvozdevaim thediscreteanaloguesofvolterraintegralequationsofthesecondkind |