Тригонометрические вычисления в системах компьютерной математики учебного назначения
В работе изложены алгоритмы тригонометрических вычислений, основанные на построениях канонических форм. Эти алгоритмы используются при программировании стандартных задач школьного курса тригонометрии: задачи упрощения выражения, доказательства тождества, решения уравнения и неравенства. У роботі роз...
Saved in:
| Published in: | Штучний інтелект |
|---|---|
| Date: | 2011 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України
2011
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/60488 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Тригонометрические вычисления в системах компьютерной математики учебного назначения / М.С. Львов // Штучний інтелект. — 2011. — № 4. — С. 417-423. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859481909909782528 |
|---|---|
| author | Львов, М.С. |
| author_facet | Львов, М.С. |
| citation_txt | Тригонометрические вычисления в системах компьютерной математики учебного назначения / М.С. Львов // Штучний інтелект. — 2011. — № 4. — С. 417-423. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Штучний інтелект |
| description | В работе изложены алгоритмы тригонометрических вычислений, основанные на построениях канонических форм. Эти алгоритмы используются при программировании стандартных задач школьного курса тригонометрии: задачи упрощения выражения, доказательства тождества, решения уравнения и неравенства.
У роботі розглянуто алгоритми реалізації тригонометричних обчислень, основані на побудовах канонічних форм тригонометричних виразів, що застосовуються, зокрема, при програмуванні стандартних задач
шкільного курсу тригонометрії: задачі спрощення тригонометричного виразу, доведення тригонометричної
тотожності, розв’язання тригонометричного рівняння та нерівності.
The algorithms of trigonometric computations, based on the construction of canonical forms of trigonometric expressions, which are in particular used at programming of standard tasks of trigonometry school course, i.e.
simplifications of expression, proving of identity, solving of equation and inequality, are considered in the work.
|
| first_indexed | 2025-11-24T13:57:13Z |
| format | Article |
| fulltext |
«Штучний інтелект» 4’2011 417
7Л
УДК 004.421.6
М.С. Львов
Херсонский государственный университет, г. Херсон, Украина
lvov@ksu.ks.ua
Тригонометрические вычисления
в системах компьютерной математики
учебного назначения
В работе изложены алгоритмы тригонометрических вычислений, основанные на построениях канонических
форм. Эти алгоритмы используются при программировании стандартных задач школьного курса тригоно-
метрии: задачи упрощения выражения, доказательства тождества, решения уравнения и неравенства.
Введение
Разработка алгоритмов алгебраических вычислений – одна из основных задач,
возникающих при разработке систем компьютерной математики. Математическая
модель задачи построения алгоритмов алгебраических вычислений – многосортные
алгебраические системы (МАС). Практика разработки даже достаточно простых систем
компьютерной математики учебного назначения (СКМУН) [1-3] показала, что реали-
зация алгебраических вычислений нуждается в тщательном предварительном проекти-
ровании МАС путем разработки иерархий сортов МАС и спецификаций интерпрета-
торов многосортных алгебраических операций [4], [5].
Тригонометрия как учебная дисциплина занимает особое место. Тригонометрию
изучают как отдельный раздел школьной алгебры и широко используют в приложениях.
Поэтому и СКМУН должны поддерживать тригонометрические вычисления. Для реали-
зации вычислений мы используем систему алгебраического программирования APS [6-9].
Целью данной работы является разработка методов тригонометрических вычисле-
ний, основанных на построении канонических форм тригонометрических выражений.
1 Каноническая форма целых тригонометрических
выражений
Определение 1. Зафиксируем множество переменных Variable и будем считать,
что на Variable введен линейный порядок. Целыми тригонометрическими атомами
(функциями) будем называть выражения вида ),(),( YCosXSin где YX , – линейные ком-
бинации переменных и константы Pi с рациональными коэффициентами (аргументы
тригонометрических функций). Векторное пространство аргументов тригонометри-
ческих атомов обозначим через TArg . Векторное пространство линейных комби-
наций перeменных с рациональными коэффициентами обозначим через 0TArg .
Тригонометрическим мономом (Т-мономом) будем называть произведение несколь-
ких тригонометрических атомов. Полугруппу Т-мономов обозначим через TMon .
Целым тригонометрическим выражением (Т-полиномом) будем называть линейную ком-
бинацию Т-мономов с коэффициентами из некоторого расширения TCoef поля рацио-
нальных чисел Rat . На множестве Т-полиномов определены операции кольца и умно-
жения на константу, то есть операции линейной алгебры. Эту алгебру обозначим
через TPol .
Львов М.С.
«Искусственный интеллект» 4’2011 418
7Л
Замечание. Точное определение Т-полинома в терминах алгебраического про-
граммирования задается спецификациями алгебр аргументов, тригонометрических
функций, поля коэффициентов и собственно алгебры Т-полиномов.
Конструктивная реализация алгебры Т-полиномов. Рассмотрим атом Fi(a,
b, X), который определяется формулой
0,,),()(),,( TArgXTCoefbaXbSinXaCosXbaFi . (1)
Для CArgX пусть
niinn xxxVariablexRatccxcxcX ...,,,... 21011 . (2)
Введем такие обозначения: 01,)( cFreeCfcXLeadCf .
Теорема 1. Любой Т-полином )(XP над полем TCoef можно представить в
виде суммы Fi-атомов
),,(...),,()( 111 mmm XbaFiXbaFiXP , (3)
где jj ba , принадлежат некоторому алгебраическому расширению поля TCoef ,
причем, если 0)(,0)( jj XFreeCfXLeadCf , такое представление единственно с
точностью до перестановки Fi-атомов mjXbaFi jjj ,...1),,,( .
Доказательство основано на формуле понижения степени
),
2
,
2
(),
2
,
2
(),,(),,( YX
adbcbdac
FiYX
adbcbdac
FiYdcFiXbaFi
.
Легко видеть, что (3) – сокращенная форма записи полинома Фурье
m
j
jjjjmmm XSinbXCosaXbaFiXbaFi
1
111 )()(),,(...),,( .
Таким образом,
),0,1()cos(),,1,0()sin( xFixxFix . (4)
Расширение поля TCoef заключается в присоединении алгебраических чисел
)(),( nkSinnkCos к полю Rat . Вычисления в этих расширениях будут рассмот-
рены ниже. Множество выражений вида (3) обозначим FiPol . Алгебра FiPol изо-
морфна алгебре TPol .
Основная идея тригонометрических вычислений в алгебре Т-полиномов состоит в
изоморфном переходе от выражения в сигнатуре TPol к выражению в сигнатуре
FiPol (4), построению канонической формы этого выражения в FiPol и обратному
переходу (1) в сигнатуру TPol .
2 Каноническая форма рациональных
тригонометрических выражений
Определение 2. Пусть GF , – Т-полиномы от одной переменной x. Рациональ-
ное выражение
G
F
H будем называть рациональным тригонометрическим выражением
(TR-выражением).
Приведя GF , к канонической форме в FiPol , получим:
011
011
),,(...),,(
),,(...),,(
)(
cxdcFimxdcFi
axbaFikxbaFi
xH
mm
kk
.
Тригонометрические вычисления в системах компьютерной математики…
«Штучний інтелект» 4’2011 419
7Л
Легко показать, что это представление не является каноническим. Зафиксируем, во-
первых, поле коэффициентов TCoef поля TR-выражений TRat . Во-вторых, определим
и зафиксируем структуру этого расширения над полем TСoef. Пусть TCoef = Q – поле ра-
циональных чисел или некоторое его вещественное алгебраическое расширение (напри-
мер, поле ,...),...,3,2( jpRaTRad ). Тогда поле NkTCoefbakxbaFiQTRat ,,)),,,(( .
Рассмотрим последовательность расширений
))())((())(( xSinxCosTCoefxCosTCoefTCoef , (5)
присоединяя к Tcoef последовательно элементы ).(),( xSinxCos Для краткости введем
обозначение TRatFxFFxFFTCoef 21100 ))(sin(,))(cos(, . Тогда расширение 10 FF
является трансцендентным, а расширение 21 FF – алгебраическим. Поэтому элемент
H поля 2F можно представить в виде
)(
)(
xg
xf
H , где )]([, 1 xSinFgf . Многочлены gf ,
записаны в виде суммы мономов от степеней )(cos xj , формулами понижения степени
могут быть переписаны в многочлены от ).( jxCos
kk axCosakxCosaxf )(...)()( 10 , mm bxCosbmxCosbxg )(...)()( 10 ,
поэтому элемент 1FH можно представить в виде:
mm
kk
bxCosbmxCosb
axCosakxCosa
xg
xf
H
)(...)(
)(...)(
)(
)(
10
10 . (6)
При этом Т-полиномы gf , взаимно просты: 0),gcd( Fgf . Это представление
однозначно с точностью до коэффициентов: для каноничности знаменатель дроби (6)
нужно нормализовать, разделив числитель и знаменатель на 0)( bglc :
''
1
''
1
'
0
)(...)(
)(...)(
)(
)(
mm
kk
bxCosbmxCos
axCosakxCosa
xg
xf
H
,
0
'
0
' ,
b
b
b
b
a
a l
l
j
j . (7)
Полученное представление уже канонично. Далее, поскольку 1)()( 22 xSinxCos ,
степень расширения 21 FF равна 2. Поэтому элемент поля 2F можно представить
в виде линейного двучлена:
110102 ,,)( FGGGxSinGHFH . (8)
Итак, справедлива.
Теорема 2. Канонической формой ТR-выражения является его представление в виде
1)(,1)(,1),gcd(,1),gcd(
)),(cos(,,,,
)(
)(
)sin(
)(
)(
101100
011100
1
1
0
0
glcglcgfgf
xFFgfgf
xg
xf
x
xg
xf
H
. (9)
Для решения задачи осталось привести алгоритм обращения целого тригоно-
метрического выражения, то есть алгоритм построения канонической формы выраже-
ния вида
1)(),(,
)()()sin(
1
)( Fxgxf
xgxfx
xH
(10)
Львов М.С.
«Искусственный интеллект» 4’2011 420
7Л
Положим )(),(),(),( xSinvxCosuxgBxfA . Тогда
1,,
1
FQPQvP
BvA
. (11)
Уравнение (11) относительно QP, решим в поле }1/{),( 22
02 uvvuFF , умно-
жив обе части на BvA :
.
)1( 222222222222222222 AuAB
A
v
AuAB
B
AuAB
vAB
AuB
vAB
AvB
vAB
Отсюда
.,
22222222 AuAB
A
Q
AuAB
B
P
(12)
Формулы (12) представляют правило обращения выражения (10).
Канонические формы ТR-выражений многих переменных можно построить, испо-
льзуя рекурсивные представления. Пусть VariablexxX k },...,{ 1 и kxx ...1 . Через
0F обозначим поле TCoef , а через )(xFtr – поле рациональных тригонометрических вы-
ражений от переменной x над полем .F Тогда возрастающая последовательность полей
kjj FFFFF ...... 110 ,
в которой )( 11 jtrj xFF определяет алгоритм построения канонических форм в поле
рациональных тригонометрических выражений многих переменных.
3 Определение поля коэффициентов ТR-выражений
Выше мы определили поле TCoef как поле коэффициентов Т-полиномов.
В простейшем случае RatTCoef . Однако даже в простых примерах тригономе-
трических задач школьного типа коэффициентами могут быть квадратные радикалы:
2/3/3)Sin(,2/2/4)Sin( .
Использование поля Rad квадратных радикалов уже позволяет расширить класс
тригонометрических задач, поддерживаемых программной системой. Однако наиболее
приемлемым является расширение поля Rad тригонометрическими функциями
от числовых аргументов вида Nnknk ,,/ . Обозначим через TCoef поле
N)n k, /n),Cos(k /n),Rad(Sin(k . Поскольку )2/()( CosSin ,
N).nk,/n,Rad(Cos(kTCoef (14)
Поскольку число )/( nkCos алгебраично, для )/( nCos над полем Rat су-
ществует минимальный полином, то есть полином ][)( xRatxPc минимальной степени
такой, что 0))/(( nCosPc . Преобразованиями понижения степени вида
kk
k cxCoscxkCosckxCoscxCos )(...))1(()()( 110 (15)
полиному )(xPc можно поставить в соответствие Т-полином, который естественно
называть минимальным Т-полиномом числа )/( nCos .
Определение 3. Минимальным Т-полиномом числа NnnCosa ),/( над полем
Rat называется Т-полином минимальной степени m вида
Тригонометрические вычисления в системах компьютерной математики…
«Штучний інтелект» 4’2011 421
7Л
QccxCoscxmCoscmxCosxT jmm ,)(...))1(()()( 11 , (16)
такой, что 0)( aT .
Следующая теорема устанавливает соотношение между минимальным полиномом
алгебраического числа )/2sin()/2cos( ninen и минимальным Т-полиномом его
действительной части )2/()Re( nCosen .
Теорема 3. Пусть )/2()/2( niSinnCosen – первоначальный корень степени
n из единицы ][)( zRatzPn – минимальный многочлен ne над полем Rat , )(xTn – мини-
мальный тригонометрический полином числа )/2()( nCosere n над Rat и )deg( nPm .
Тогда для любого 1, zz , имеет место соотношение
))(()( 2/ zreTzzP n
m
n . (17)
Доказательство мы опускаем.
Следствие. Если 1...)( 1
1
1
zczczzP m
mm
e – минимальный полином перво-
образного корня )/2()/2( niSinnCosen , lm 2 , минимальный Т-полином числа
)/2( nCos имеет вид
ll cxCoscxlCosclxCosxT ))(...))1(()((2)( 11 .
Таким образом, для nx /2 имеет место соотношение
2/)/2(.../)1(2()/2( 11 ll cnCoscnlCoscnlCos . (18)
Пример. Построение минимального тригонометрического полинома числа
)5/(Cos . Рассмотрим первообразный корень числа )10/2()10/2(10 iSinCose .
Построим минимальный многочлен числа 10e . Поскольку это число – корень степени
10 из 1, его характеристический многочлен равен 110 z .
)1)(1)(1()1)(1(1 52345510 zzzzzzzzz
Отсюда 1)( 234
10 xxxxxP . Итак, .2,4)deg( 10 lmP
1)cos(2)2cos(2)(10 xxxT
01)5/cos(2)5/2cos(2 .
Формула (18) используется для построения канонической формы числового целого
Т-полинома.
Определение 4. Числовым тригонометрическим полиномом называется выра-
жение вида
))/(),...,/(),/(( 2211 mm nkCosnkCosnkCosF , ],...,[),...,( 11 mm xxQxxF . (19)
Определение 5. Канонической формой (стандартным видом) выражения (19)
называется линейная комбинация вида
M
j
j nMnjcFL
0
2/),/cos()( .
Алгоритм вычислений в поле TCoef редуцирует числовые Т-полиномы к кано-
нической форме с помощью (18). Алгоритм построения минимального Т-полинома
числа )/2cos( n использует алгоритм построения минимального полинома перво-
образного корня )/2sin()/2cos( ninen и (17).
Львов М.С.
«Искусственный интеллект» 4’2011 422
7Л
Операция деления в поле Tcoef. Выше мы определили алгоритмы операций
сложения, вычитания и умножения элементов поля TCoef . Мы выяснили, что нетри-
виальной для реализации является операция умножения двух элементов поля, являю-
щихся значениями тригонометрических полиномов вида
QccxCoscxmCoscmxCosxT jmm ,)(...))1(()()( 11
при
n
x
2
. Осталось определить алгоритм операции деления двух элементов TCoef , то
есть алгоритм вычисления коэффициентов полинома
)(
)(
)(
2
1
xT
xT
xT . Поскольку поле
TCoef является алгебраическим расширением поля Q , мы можем применить стан-
дартный алгоритм, который состоит в следующем:
Находим элемент TCoef , обратный к )(2 xT . Для этого применяем расширенный
алгоритм Евклида к паре полиномов )(),( 2 yTyM , где )(yM – минимальный многочлен
числа
n
xx
2
),cos( . Расширенный алгоритм Евклида вместе с ))(T НОД(M(y), 2 y нахо-
дит такие многочлены )(),( 21 yDyD , которые 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )D y M y D y T y 2( ( ), ( ))НОД M y T y .
Поскольку )(yM неприводимый над Q и ))(deg())(deg( 2 yMyT , имеем
1))(T НОД(M(y), 2 y . Итак, 1)()()()( 221 yTyDyMyD . Поскольку 0)( xM ,
1)()( 22 xTxD , или )(/1)( 22 xTxD .
Этот метод можно модифицировать для тригонометрических многочленов. Для
этого рассмотрим тригонометрическое тождество
)cos(
2
1
)cos(
2
1
)cos()cos( bababa .
Пусть xmnbmxa )(, . Тогда ))2cos(
2
1
)cos(
2
1
))cos(()cos( xnmnxxmnmx ,
или
))2cos(()cos()))cos(2()cos( xnmmxxmnnx . (20)
Равенство (20) используется в расширенном алгоритме Евклида для выравни-
вания степеней тригонометрических многочленов, старшие члены которых мы обозна-
чаем через nmmxnx ),cos(),cos( .
Модифицированный расширенный алгоритм Евклида для T-полиномов.
Вход: P, Q – тригонометрические многочлены от переменной .x
ncxncnxcP 11110 ...))1cos(()cos(
mcxmcmxQ 221 ...))1cos(()cos(
Выход: D, T1 T2 – тригонометрические многочлены от переменной .x
Инвариантные соотношения
),( QPGCDD , DQTPT 21
Система переписывающих правил
Exttriggcd = rs(P,Q,U1, V1, U2, V2, M)
{
(P, Q) = (P,Q,1,0,0,1), //P = 1*P + 0*Q, Q = 0*P + 1*Q
(0,Q,U1,V1,U2,V2)=(Q, U2, V2), //Q = НОД(P,Q), T1 = U2, T2 = V2
Deg(P) <= Deg(Q)
(P,Q,U1,V1,U2,V2)=(Q-M*P, P, U2-M*U1, V2-M*V1, U1, V1),
Deg(P) > Deg(Q) (
Тригонометрические вычисления в системах компьютерной математики…
«Штучний інтелект» 4’2011 423
7Л
(P,Q,U1,V1,U2,V2)=(Q, P, U2, V2, U1, V1)
};
Т-моном M (правило 3) вычисляется по формуле
)deg(),deg(),)cos((
10
20 PmQnxmn
c
c
M . (21)
Отметим еще раз, что алгоритм ExtTrigGcd отличается от расширенного алгоритма
Евклида для многочленов лишь формулой (21) вычисления дополнительного множителя
M и интерпретацией умножения как умножения тригонометрических многочленов.
Выводы
Методы тригонометрических вычислений, основанные на построении канонических
форм целых и рациональных тригонометрических выражений и использующие вычис-
ления в поле коэффициентов N)nk,/n,Rad(Cos(kTCoef позволяют разрабаты-
вать эффективные алгоритмы решения стандартных тригонометрических задач – задач
на упрощения тригонометрических выражений, доказательство тригонометрических
тождеств и решения тригонометрических уравнений в системах компьютерной матема-
тики учебного назначения.
Литература
1. Lvov M. Applied Computer Support of Mathematical Training / M. Lvov, A. Kuprienko, V. Volkov //
Proc. of Internal Work Shop in Computer Algebra Applications. – Kiev, 1993. – Р. 25-26.
2. Lvov M. AIST: Applied Computer Algebra System / M. Lvov // Proc. of ICCTE’93. – Kiev. – Р. 25-26.
3. Lvov M.S. Term-VII – shkolnyaja sistema kompjuternoj algebry / M. Lvov // Kompjuter v shkole i
semje. – 2004. – № 7. – С. 27-30.
4. Peschanenko V.S. Rasshyrehie standartnych modulej sistemy algebraicheskogo programmirovanija APS
dlya ispolzovanija v sistemah uchebnogo naznachenija./ V.S. Peschanenko// Nauchnaja gazeta NPU im.
Dragomanova. Serija № 2. Kompjuterno-orientirovannye sistemy obuchenija. Sb. Nauk. Pr. K.: NPU im.
Dragomanova. – 2005. – №3 (10). – C. 206-215.
5. Lvov M.S. Sintez interpretatorov algebraichtskyh operatcij v rasshirehijayh mhogosortnyh algebr /
M.S. Lvov // Vesthik Harkovskogo natcionalnogo universiteta im. Karazina. Serija «Matematicheskoje
modelirovanie. Informatcionnye tehnologii». – 2009. – № 847. – С. 221-238.
6. Algebraic programming system APS (user manual) Glushkov Institute of Cybernetics, National Acad. of
Sciences of Ukraine / [Letichevsky A., Kapitonova J., Volkov V., Chugajenko A., Chomenko V.]. –
Kiev, Ukraine, 1998.
7. Peschanenko V.S. Ob odnom podhode k proektirovaniju algebraicheskih tipov dannyh / V.S. Pescha-
nenko // Problemy programmirovanija. – 2006. – № 2-3. – С. 626-634.
8. Kapitonova J. Deduktivnyje sredstva sistemy algebraicheskogo programmirovanija. / J. Kapitonova,
A. Letichevsky, V. Volkov // Kibernetika i sistemnyj analiz. – 2000. – № 1. – C. 17-35.
9. Tools for solving problems in the scope of algebraic programming / [Kapitonova J., Letichevsky A.,
Lvov M., Volkov V.] // Lectures Notes in Computer Sciences. – 1995. – № 958. – Р. 31-46.
М.С. Львов
Реалізація тригонометричних обчислень в системах комп’ютерної математики
навчального призначення
У роботі розглянуто алгоритми реалізації тригонометричних обчислень, основані на побудовах канонічних
форм тригонометричних виразів, що застосовуються, зокрема, при програмуванні стандартних задач
шкільного курсу тригонометрії: задачі спрощення тригонометричного виразу, доведення тригонометричної
тотожності, розв’язання тригонометричного рівняння та нерівності.
M.S. Lvov
Trigonometric Computations in Mathematical Educational Software
The algorithms of trigonometric computations, based on the construction of canonical forms of trigonometric
expressions, which are in particular used at programming of standard tasks of trigonometry school course, i.e.
simplifications of expression, proving of identity, solving of equation and inequality, are considered in the work.
Статья поступила в редакцию 10.06.2011.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-60488 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1561-5359 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-24T13:57:13Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Львов, М.С. 2014-04-15T18:27:28Z 2014-04-15T18:27:28Z 2011 Тригонометрические вычисления в системах компьютерной математики учебного назначения / М.С. Львов // Штучний інтелект. — 2011. — № 4. — С. 417-423. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1561-5359 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/60488 004.421.6 В работе изложены алгоритмы тригонометрических вычислений, основанные на построениях канонических форм. Эти алгоритмы используются при программировании стандартных задач школьного курса тригонометрии: задачи упрощения выражения, доказательства тождества, решения уравнения и неравенства. У роботі розглянуто алгоритми реалізації тригонометричних обчислень, основані на побудовах канонічних форм тригонометричних виразів, що застосовуються, зокрема, при програмуванні стандартних задач шкільного курсу тригонометрії: задачі спрощення тригонометричного виразу, доведення тригонометричної тотожності, розв’язання тригонометричного рівняння та нерівності. The algorithms of trigonometric computations, based on the construction of canonical forms of trigonometric expressions, which are in particular used at programming of standard tasks of trigonometry school course, i.e. simplifications of expression, proving of identity, solving of equation and inequality, are considered in the work. ru Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України Штучний інтелект Обучающие и экспертные системы Тригонометрические вычисления в системах компьютерной математики учебного назначения Реалізація тригонометричних обчислень в системах комп’ютерної математики навчального призначення Trigonometric Computations in Mathematical Educational Software Article published earlier |
| spellingShingle | Тригонометрические вычисления в системах компьютерной математики учебного назначения Львов, М.С. Обучающие и экспертные системы |
| title | Тригонометрические вычисления в системах компьютерной математики учебного назначения |
| title_alt | Реалізація тригонометричних обчислень в системах комп’ютерної математики навчального призначення Trigonometric Computations in Mathematical Educational Software |
| title_full | Тригонометрические вычисления в системах компьютерной математики учебного назначения |
| title_fullStr | Тригонометрические вычисления в системах компьютерной математики учебного назначения |
| title_full_unstemmed | Тригонометрические вычисления в системах компьютерной математики учебного назначения |
| title_short | Тригонометрические вычисления в системах компьютерной математики учебного назначения |
| title_sort | тригонометрические вычисления в системах компьютерной математики учебного назначения |
| topic | Обучающие и экспертные системы |
| topic_facet | Обучающие и экспертные системы |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/60488 |
| work_keys_str_mv | AT lʹvovms trigonometričeskievyčisleniâvsistemahkompʹûternoimatematikiučebnogonaznačeniâ AT lʹvovms realízacíâtrigonometričnihobčislenʹvsistemahkompûternoímatematikinavčalʹnogopriznačennâ AT lʹvovms trigonometriccomputationsinmathematicaleducationalsoftware |