Наближене обчислення подвійних інтегралів від швидкоосцилюючих функцій з використанням лагранжевої поліномінальної інтерлінації
У статті досліджуються кубатурні формули обчислення подвійних інтегралів від швидкоосцилюючих функцій з використанням лагранжевої поліноміальної інтерлінації на класі диференційовних функцій. Інформація про функцію задана її слідами на системі взаємно перпендикулярних прямих. Отримані оцінки похибки...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Штучний інтелект |
|---|---|
| Дата: | 2012 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України
2012
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/60509 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Наближене обчислення подвійних інтегралів від швидкоосцилюючих функцій з використанням лагранжевої поліномінальної інтерлінаці / О.М. Литвин, О.П. Нечуйвітер // Штучний інтелект. — 2012. — № 2. — С. 17-23. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-60509 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Литвин, О.М. Нечуйвітер, О.П. 2014-04-15T19:39:20Z 2014-04-15T19:39:20Z 2012 Наближене обчислення подвійних інтегралів від швидкоосцилюючих функцій з використанням лагранжевої поліномінальної інтерлінаці / О.М. Литвин, О.П. Нечуйвітер // Штучний інтелект. — 2012. — № 2. — С. 17-23. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. 1561-5359 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/60509 621.391:517.518:510.52 У статті досліджуються кубатурні формули обчислення подвійних інтегралів від швидкоосцилюючих функцій з використанням лагранжевої поліноміальної інтерлінації на класі диференційовних функцій. Інформація про функцію задана її слідами на системі взаємно перпендикулярних прямих. Отримані оцінки похибки наближення. В статье исследуются кубатурные формулы приближенного вычисления интегралов от быстроосцилли- рующих функций двух переменных с использованием лагранжевой полиномиальной интерлинации на классе дифференцируемых функций. Информация о функции задана её следами на системе оптимально выбранных взаимно перпендикулярных линий. Получены оценки погрешности кубатурных формул. Cubature formulas of approximate calculation of ddouble integrals of highly oscillatory functionswith use the Lagrange polynomial interlineation of functions at the class of differentiable functions are investigated in the article. Information about function is set of values on the optimal perpendicular lines. The estimations of error of approaching to the cubature formulas are presented. uk Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України Штучний інтелект Алгоритмическое и программное обеспечение параллельных вычислительных интеллектуальных систем Наближене обчислення подвійних інтегралів від швидкоосцилюючих функцій з використанням лагранжевої поліномінальної інтерлінації Приближенное вычисление двойных интегралов от быстроосциллирующих функций с использованием лагранжевой полиномиальной интерлинации Approximate Calculation of Double Integrals of Highly Oscillatory Functions with Use of the Lagrange Polynomial Interlineation Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Наближене обчислення подвійних інтегралів від швидкоосцилюючих функцій з використанням лагранжевої поліномінальної інтерлінації |
| spellingShingle |
Наближене обчислення подвійних інтегралів від швидкоосцилюючих функцій з використанням лагранжевої поліномінальної інтерлінації Литвин, О.М. Нечуйвітер, О.П. Алгоритмическое и программное обеспечение параллельных вычислительных интеллектуальных систем |
| title_short |
Наближене обчислення подвійних інтегралів від швидкоосцилюючих функцій з використанням лагранжевої поліномінальної інтерлінації |
| title_full |
Наближене обчислення подвійних інтегралів від швидкоосцилюючих функцій з використанням лагранжевої поліномінальної інтерлінації |
| title_fullStr |
Наближене обчислення подвійних інтегралів від швидкоосцилюючих функцій з використанням лагранжевої поліномінальної інтерлінації |
| title_full_unstemmed |
Наближене обчислення подвійних інтегралів від швидкоосцилюючих функцій з використанням лагранжевої поліномінальної інтерлінації |
| title_sort |
наближене обчислення подвійних інтегралів від швидкоосцилюючих функцій з використанням лагранжевої поліномінальної інтерлінації |
| author |
Литвин, О.М. Нечуйвітер, О.П. |
| author_facet |
Литвин, О.М. Нечуйвітер, О.П. |
| topic |
Алгоритмическое и программное обеспечение параллельных вычислительных интеллектуальных систем |
| topic_facet |
Алгоритмическое и программное обеспечение параллельных вычислительных интеллектуальных систем |
| publishDate |
2012 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Штучний інтелект |
| publisher |
Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Приближенное вычисление двойных интегралов от быстроосциллирующих функций с использованием лагранжевой полиномиальной интерлинации Approximate Calculation of Double Integrals of Highly Oscillatory Functions with Use of the Lagrange Polynomial Interlineation |
| description |
У статті досліджуються кубатурні формули обчислення подвійних інтегралів від швидкоосцилюючих функцій з використанням лагранжевої поліноміальної інтерлінації на класі диференційовних функцій. Інформація про функцію задана її слідами на системі взаємно перпендикулярних прямих. Отримані оцінки похибки наближення.
В статье исследуются кубатурные формулы приближенного вычисления интегралов от быстроосцилли- рующих функций двух переменных с использованием лагранжевой полиномиальной интерлинации на классе дифференцируемых функций. Информация о функции задана её следами на системе оптимально выбранных взаимно перпендикулярных линий. Получены оценки погрешности кубатурных формул.
Cubature formulas of approximate calculation of ddouble integrals of highly oscillatory functionswith use the Lagrange polynomial interlineation of functions at the class of differentiable functions are investigated in the article. Information about function is set of values on the optimal perpendicular lines. The estimations of error of approaching to the cubature formulas are presented.
|
| issn |
1561-5359 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/60509 |
| citation_txt |
Наближене обчислення подвійних інтегралів від швидкоосцилюючих функцій з використанням лагранжевої поліномінальної інтерлінаці / О.М. Литвин, О.П. Нечуйвітер // Штучний інтелект. — 2012. — № 2. — С. 17-23. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT litvinom nabliženeobčislennâpodvíinihíntegralívvídšvidkooscilûûčihfunkcíizvikoristannâmlagranževoípolínomínalʹnoíínterlínacíí AT nečuivíterop nabliženeobčislennâpodvíinihíntegralívvídšvidkooscilûûčihfunkcíizvikoristannâmlagranževoípolínomínalʹnoíínterlínacíí AT litvinom približennoevyčisleniedvoinyhintegralovotbystrooscilliruûŝihfunkciisispolʹzovaniemlagranževoipolinomialʹnoiinterlinacii AT nečuivíterop približennoevyčisleniedvoinyhintegralovotbystrooscilliruûŝihfunkciisispolʹzovaniemlagranževoipolinomialʹnoiinterlinacii AT litvinom approximatecalculationofdoubleintegralsofhighlyoscillatoryfunctionswithuseofthelagrangepolynomialinterlineation AT nečuivíterop approximatecalculationofdoubleintegralsofhighlyoscillatoryfunctionswithuseofthelagrangepolynomialinterlineation |
| first_indexed |
2025-11-27T02:05:57Z |
| last_indexed |
2025-11-27T02:05:57Z |
| _version_ |
1850792728852430848 |
| fulltext |
«Штучний інтелект» 2’2012 17
1Л
УДК 621.391:517.518:510.52
О.М. Литвин, О.П. Нечуйвітер
Українська-інженерно-педагогічна академія
Україна, м. Харків, 61003, вул. Університетська, 16
Наближене обчислення подвійних інтегралів
від швидкоосцилюючих функцій з використанням
лагранжевої поліномінальної інтерлінації
O.N. Lytvyn, O.P. Nechuiviter
Ukrainian Engineering and Pedagogical Academy
Ukraine, 61003, Kharkiv, Universytetska St., 16
Approximate Calculation of Double Integrals
of Highly Oscillatory Functions with Use
of the Lagrange Polynomial Interlineation
О.Н. Литвин, О.П. Нечуйвитер
Украинская инженерно-педагогическая академия
Украина, 61003, г. Харьков, ул. Университетская, 16
Приближенное вычисление двойных интегралов
от быстроосциллирующих функций с использованием
лагранжевой полиномиальной интерлинации
У статті досліджуються кубатурні формули обчислення подвійних інтегралів від швидкоосцилюючих
функцій з використанням лагранжевої поліноміальної інтерлінації на класі диференційовних функцій.
Інформація про функцію задана її слідами на системі взаємно перпендикулярних прямих. Отримані
оцінки похибки наближення.
Ключові слова: інтеграли від швидкоосцилюючих функцій двох змінних,
кубатурні формули, лагранжева поліноміальна інтерлінація функцій.
Cubature formulas of approximate calculation of ddouble integrals of highly oscillatory functionswith use the
Lagrange polynomial interlineation of functions at the class of differentiable functions are investigated in the
article. Information about function is set of values on the optimal perpendicular lines. The estimations of
error of approaching to the cubature formulas are presented.
Key Words: integrals of highly oscillatory functions, cubature formulas, Lagrange polynomial
interlineation of functions.
В статье исследуются кубатурные формулы приближенного вычисления интегралов от быстроосцилли-
рующих функций двух переменных с использованием лагранжевой полиномиальной интерлинации на
классе дифференцируемых функций. Информация о функции задана её следами на системе оптимально
выбранных взаимно перпендикулярных линий. Получены оценки погрешности кубатурных формул.
Ключевые слова: интегралы от быстроосциллирующих функций двух переменных,
кубатурные формулы, лагранжевая полиномиальная интерлинация функций.
Вступ
Задача наближеного обчислення подвійних інтегралів від швидкоосцилюючих
функцій є однією з найбільш важливих задач цифрової обробки сигналів. На даний
час виникає необхідність наближеного обчислення таких інтегралів за допомогою
Литвин О.М., Нечуйвітер О.П.
«Искусственный интеллект» 2’201218
1Л
інформаційних операторів різних типів. Як дані можуть бути значення функції у вузлових
точках, сліди функцій на системі взаємно перпендикулярних ліній тощо. Таку задачу
ефективно дозволяє розв’язувати апарат інтерлінації функцій [1], [2]. В [3] вперше роз-
глядалась задача наближеного обчислення інтегралів від шидкоосцилюючих функцій у
випадку, коли інформація про функцію задана значеннями у вузлових точках, а в [4], [5]
представлена задача наближеного обчислення 2D-коефіцієнтів Фур’є за допомогою
інтерлінації функцій у випадку, коли інформація про ( , )f x y задається слідами на
системі взаємно перпендикулярних прямих. Більш детально з такими кубатурними
формулами, а також з їх тестуванням, можна познайомитись в [6], [7].
Мета даної статті – дослідити питання оптимального вибору вузлів та ліній для
запропонованих кубатурних формул.
В [8] вперше було згадано про обчислення подвійних інтегралів від швидко
осцилюючих функцій як повторних, з оптимальним вибором, вузлів. Питання побудови
кубатурних формул для наближення подвійних інтегралів від швидкоосцилюючих
функцій у випадку, коли інформація про функцію ( , )f x y , задана слідами на системі
оптимально вибраних взаємно перпендикулярних прямих, розглядається в даній статті
вперше.
Постановка задачі: побудувати кубатурну формулу наближеного обчислення
інтеграла
1 1
1 2 1 2 1 2
1 1
, , sin sinI f f x x x x dx dx
з використанням лагранжевої поліноміальної інтерлінації функцій на класі дійсних
функцій, визначених на 2
1,1G , і таких, що 1 2, ( , )p pf x y M . Отримати оцінку
похибки кубатурної формули.
1 Найкраща в 2[ 1,1] , = ,1,2qL q лагранжева поліноміальна інтерлінація.
Наведемо деякі теореми.
Теорема 1. [2] Нехай 1( ) ( ), = [0,1], 1 , ( )r
ng t C I I r n L g t інтерполяційний по-
ліном Лагранжа степеня 1n функції ( ),g t
1 1, 1,
=1 =1,
( ) = ( ) ( ), ( ) = , = 1,
nn
i
n k n k n k
k i i k k i
t t
L g t g t t t k n
t t
із властивостями
1 1 2 1( ) = ( ), =1, , < < < ... < < < .n k k n nL g t g t k n a t t t t b
Тоді для залишку 1( ) := ( ) ( )n nR g t g t L g t справедливе інтегральне зображення
1
( )
1,
=1
( )
( ) = ( ) ( )
( 1)!
rn
r k
n n k
k tk
t t
R g t t g d
r
.
При знаходженні найкращої в 2[ 1,1] , = ,1,2qL q лагранжевої поліноміальної
інтерлінації на системі взаємно перпендикулярних прямих слід враховувати, що:
1) залишок наближення інтерлінації дорівнює операторному добуткові залишків по
кожній змінній окремо;
2) поліноми степеня n з найменшим відхиленням від нуля в метриці [ 1,1]qL –
це поліноми з коефіцієнтом одиниця при старшому степені, що є розв’язанням екс-
тремальної задачі
Наближене обчислення подвійних інтегралів від швидкоосцилюючих функцій...
«Штучний інтелект» 2’2012 19
1Л
1
[ 1,1] =0 0 1
, = ,max min
,...,
n
n k
k
ct k n
t c t q
c
1 1
=01 0 1
,1 < .min
,...,
qn
n k
k
ck n
t c t dt q
c
Для них справедлива наступна теорема.
Теорема 2. [9] При = ,1,2q поліномами найкращого наближення є відповідно
поліноми Чебишова 1-го роду
,Ґ -1
cos( arccos )
( ) ,
2n n
n t
T t
поліноми Чебишова 2-го роду
,1 2
( 1)
( ) = ,
2 1
n n
sin n arccost
T t
t
поліноми Лежандра
2
,2
!
( ) = ( 1) .
(2 )!
n
n
n n
n d
T t t
n dt
Це означає, що при побудові поліноміальних інтерлінантів треба вибирати
прямі інтерлінації , 1, ; , 1,i jx x i m y y j n так, щоб числа , 1, ; , 1,i jx i m y j n
були коренями відповідних поліномів з найменшим відхиленням. Зокрема, при = 1q
справедлива наступна теорема.
Теорема 3. [10] Нехай 2
1 2 1 2= ( , ), ( , ) ( ), = [ 1,1],pp p p f x x C J J
1 2
1 2
1 2
= ,
p p
p
p p
D
x x
2= ( ) | ( ), = 0p p pB g x g C J D g , ( )E f – величина найкращого наближення функції f
множиною pB за нормою *
2
1
= ;( )
p
L
g BJ – елемент найкращого наближення;
1 1 1 1 11
= cos( /( 1)), = 1,ix i p i p , 2 2 2 2 22
= cos( /( 1)), = 1,ix i p i p – нулі поліномів
1 2
,p pU U
Чебишова 2-го роду відповідно степеня 1p та 2p :
sin( 1)
( ) = , cos = , = 0,1, ,
sinm
m
U t t m
kpk k
l i – базисні поліноми Лагранжа, ( ) =kp i ki i ik k k k k
l x ,
1 2
*
1 2 1 1 2 2 211 2 2 21 11 11 2
( ) = ( , ) ( ) ( , ) ( )i i p ip
i i
p p
g x f x x l x f x x l xi
(1)
1 2
1 2 1 1 2 21 2 11 2 2
1 11 2
( , ) ( ) ( ).i i p i p i
i i
p p
f x x l x l x
Для ( )f x існує єдиний, найближчий до ( )f x за нормою , елемент * pg B і цей
елемент має вигляд (1), тобто є інтерлінантом, який інтерлінує ( )f x на лініях
= , = 1, ; = 1,2.k ki k kk
x x i p k
Залишок наближення функції ( )f x найкращим елементом має наступний вид.
1 2 ,* 21 2 1 2
1 2 1 2
1 2
1 2
( ) ( )
( ) ( ) = ( , ), ( , ) ,
2 ! !
p p p p
p p
U x U x
f x g x f J
p p
(2)
Литвин О.М., Нечуйвітер О.П.
«Искусственный интеллект» 2’201220
1Л
де 1 2( , ) – деяка точка, що залежить від 2
1 2( , )x x J . Тому найменше значення
величини *( ) ( )f x g x досягається на тих *g , для яких величина
2
=1 1
( )
kp
k kik
k ik
x x
є
найменшою. Цю умову задовольняють поліноми, вузли яких є нулями поліномів
Чебишова 2-го роду.
2 Обчислення інтеграла від швидкоосцилюючих функцій двох змінних з викори-
станням лагранжевої поліноміальної інтерлінації функцій. Для наближеного обчис-
лення інтеграла
1 1
1 2 1 2 1 2
1 1
, , sin sinI f f x x x x dx dx
пропонується кубатурна формула
1 1
1 2 1 2 1 2
1 1
, , sin sinI f Lf x x x x dx dx
,
де
1 2
1 2 1 2 1 1 2 2 211 2 2 21 11 11 2
( , ) = ( , ) ( ) ( , ) ( )i i p ip
i i
p p
Lf x x f x x l x f x x l xi
1 2
1 2 1 1 2 21 2 11 2 2
1 11 2
( , ) ( ) ( ).i i p i p i
i i
p p
f x x l x l x
В розгорнутому вигляді кубатурна формула має вид:
1 1 2 11 2
1 21 2
1
1 1 1 1 2 2 21 11 111
, = ( )sin ( , )sin
i i
i i
x x
ip
i x x
p
I f l x x dx f x x x dxi
2 1 1 12 1
2 12 1
2
2 2 2 2 1 2 1 12 2 2
12
( )sin ( , )sin
i i
i i
x x
p i i
i x x
p
l x x dx f x x x dx
1 1 2 11 2
1 21 2
1 2
1 2 1 1 1 2 2 2 211 2 2 21 11 11 2
( , ) ( )sin ( )sin
i i
i i
x x
i i p ip
i i x x
p p
f x x l x x dx l x x dxi
.
Теорема 4. Справедлива наступна оцінка похибки наближення інтеграла ( , )I f
кубатурною формулою ,I f
2
1 2
1 2
1 2
, ,
2 ( 1)!( 1)!
p p
Mp p
I f I f
p p
.
Доведення. Знайдемо оцінку похибки наближення. Маємо
1 1
1 2 1 2 1 2
1 1
, , , ,I f I f f x x Lf x x dx dx
1 1 2 11 2
1 21 2
1 2 1 2 ,1 2 1 2
1 2 1 2
1 21 1 1 21 2
( ) ( )
( , )
2 ! !
i i
i i
x x
p p p p
p p
i i x x
p p U x U x
f dx dx
p p
1 1 2 11 2
1 21 2
1 2 1 21 2
1 2
1 21 1 1 21 2
( ) ( )
2 ! !
i i
i i
x x
p p
p p
i i x x
p p U x U x
M dx dx
p p
1 1 2 11 2
1 21 2
1 2
1 1 2 21 21 2 1 11 2 1 2
( ) ( )
2 ! !
i i
i i
x x
p pp p
i i x x
p pM
U x dx U x dx
p p
Наближене обчислення подвійних інтегралів від швидкоосцилюючих функцій...
«Штучний інтелект» 2’2012 21
1Л
1 1 2 11 2
1 21 2
1 2
1 1 2 2
1 22 21 2 1 11 2 1 2 1 2
sin 1 arccos sin 1 arccos
2 ! ! 1 1
i i
i i
x x
p p
i i x x
p p p x p xM
dx dx
p p x x
1 1 2 11 2
1 21 2
1 2
1 2
2 21 2 1 11 2 1 2 1 22 ! ! 1 1
i i
i i
x x
p p
i i x x
p p dx dxM
p p x x
1 1 2 11 2
1 21 2
1 2
1 2
1 2 1 11 2 1 2
arccos arccos
2 22 ! !
i i
i i
x x
p p x xi i
p pM
x x
p p
1 1 2 2
1 2
1 1 1 2 2 1
1 2 1 11 2 1 2
arccos arccos arccos arccos
2 ! !
i i i ip p
i i
p pM
x x x x
p p
1 2
1 21 2
1 2 1 1 1 1 2 21 2 1 2
1 1
1 1 1 12 ! !
p p
i i
p p i ii iM
p p p pp p
21 2
1 2
1 2 1 21 1 1 21 2 1 21 2
1 12 ! ! 2 ( 1)!( 1)!
p p p p
i i
p p Mp pM
p pp p p p
.
Теорема доведена.
3 Чисельний експеримент. Для функції 1 2 1 2, cosf x x x x , у якої 1 2, ( , ) 1p pf x y ,
наведені в табл. 1 наближені значення інтегралів ,I f за кубатурною формулою
,I f для різних значень 1 2p p та m , 1,2,...m .
Таблиця 1 – Обчислення ,I f за кубатурною формулою ,I f
1p 2p ,I f , ,I f I f
3 6 4 -0.032615945938263 0.000000000292593 0.000000382471649
6 -0.032615946229612 0.000000000001244 0.000000003414925
8 -0.032615946230859 0.000000000000003 0.00000000001581
9 -0.032615946230853 0.000000000000003 0.000000000000889
10 -0.032615946230856 0 0.000000000000045
3 7 4 -0.032615945817734 0.000000000413122 0.000000027888558
6 -0.0326159462291 0.000000000001756 0.000000000249005
8 -0.032615946230861 0.000000000000004 0.000000000001153
9 -0.032615946230852 0.000000000000003 0.000000000000065
10 -0.032615946230856 0 0.000000000000003
3 8 4 -0.03261594623163 0.000000000000774 0.000000001770702
6 -0.032615946230859 0.000000000000003 0.00000000001581
8 -0.032615946230856 0 0.000000000000073
4 6 6 -0.018165043732214 0.000000000000182 0.000000003414925
7 7 -0.018165043732261 0.000000000000135 0.000000000018157
8 8 -0.018165043732396 0 0.000000000000073
Нехай
2
1 2
1 2
1 22 ( 1)!( 1)!
p p
p p
p p
. Наведемо точні значення інтегралів:
,3 -0.032615946230856I f ; , 4 -0.018165043732396I f .
Литвин О.М., Нечуйвітер О.П.
«Искусственный интеллект» 2’201222
1Л
Висновки
Побудована кубатурна формула наближеного обчислення інтеграла від швидкоос-
цилюючих функцій двох змінних з використанням лагранжевої поліноміальної інтерлінації
функцій на класі дійсних функцій, визначених на 2
1,1G , і таких, що 1 2, ( , )p pf x y M .
Отримана оцінка похибки кубатурної формули. Чисельний експеримент підтверджує те-
оретичний результат.
Література
1. Литвин О.М. Інтерлінація функцій та деякі її застосування / Литвин О.М. – Харків : Основа, 2002. – 544 с.
2. Литвин О.М. Методи обчислень. Додаткові розділи : [навчальний посібник] / Литвин О.М. – К. : Наукова
думка, 2005. – 331 с.
3. Литвин О.М. Кубатурні формули для обчислення коефіцієнтів Фур’є функцій двох змінних з
використанням сплайн-інтерлінації / О.М. Литвин, О.П. Нечуйвітер // Доповіді НАН України. – 1998 р. –
Київ. – № 1. – С. 23-28.
4. Литвин О.М. Оптимальна за порядком точності кубатурна формула обчислення подвійних інтегралів від
швидкоосцилюючих функцій на основі сплайн-інтерлінації / О.М. Литвин, О.П. Нечуйвітер // Доповіді
НАН України. – 2006 р. – Київ. – № 6. – С. 9-13.
5. Lytvyn Oleg N. Methods in the multivariate digital signal processing with using spline-interlineation /
Oleg N. Lytvyn, Olesya P. Nechuyviter // Proceeding of the IASTED International Conferences on Automation,
Control, and Information Technology (ASIT 2010) (June 15 – 18 2010). – Novosibirsk. – 2010. – P. 90-96.
6. Оптимальні алгоритми обчислення інтегралів від швидкоосцилюючих функцій та їх застосування /
[Сергієнко І.В., Задірака В.К., Литвин О.М., Мельникова С.С., Нечуйвітер О.П.]. – Київ : Наукова думка,
2011. – Т. 1 : Алгоритми. – 2011. – 447 с.
7. Оптимальні алгоритми обчислення інтегралів від швидкоосцилюючих функцій та їх застосуван-
ня / [Сергієнко І.В., Задірака В.К., Литвин О.М., Мельникова С.С., Нечуйвітер О.П.]. – Київ : Наукова
думка, 2011. – Т. 2 : Застосування. – 2011. – 348 с.
8. Бахвалов Н.С. Вычисление интегралов от осцилирующих функций при помощи интерполяции по узлам
квадратур Гаусса / Н.С. Бахвалов, Л.Г. Васильева // ЖВМ и МФ. – 1968. – № 1. – С. 175-181.
9. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений / Тихомиров В.М. – М. : МГУ, 1976. – 304 с.
10. Haussmann W. Blending interpolation and the best L1- approximation / W. Haussmann, K. Zeller // Arch. Math.
(Basel). – 1983. – Vol. 40, № 6. – P. 545-552.
Literatura
1. Lytvyn O.M. Іnterlіnacіja funkcіj ta dejakі ii zastosuvannja. Harkіv: Osnova. 2002. 544 s.
2. Lytvyn O.M. Metody obchyslen’. Dodatkovі rozdіly. Navchal’nyj posіbnik. K.: Naukova dumka. 2005.
331s.
3. Lytvyn O.M. Dopovіdі NAN Ukrainy. Kyiv. № 1. 1998. S. 23-28.
4. Lytvyn O.M. Dopovіdі NAN Ukrainy. Kyiv. № 6. 2006. S. 9-13.
5. Lytvyn Oleg N. Proceeding of the IASTED International Conferences on Automation, Control, and Infor-
mation Technology (ASIT 2010) (June 15 – 18 2010). Novosibirsk. 2010. P. 90-96.
6. Sergіjenko І.V. Optymal’nі algorytmy obchyslennja іntegralіv vіd shvydkooscyljujuchih funkcіj ta ih zastosu-
vannja. T. 1. Algorytmy. Kyiv: Naukova dumka. 2011. 447 s.
7. Sergіjenko І.V., Optymal’nі algorytmy obchyslennja іntegralіv vіd shvydkooscyljujuchih funkcіj ta ih
zastosuvannja. T. 2. Algorytmy. Kyiv: Naukova dumka. 2011. 348 s.
8. Bahvalov N.S. ZhVM i MF. 1968.-8. №1.S.175-181.
9. Tihomirov V.M. Nekotorye voprosy teorii priblizhenij. M.: MGU. 1976. 304 s.
10.Haussmann W. Arch. Math. (Basel). 1983. Vol. 40. № 6. P. 545-552.
Наближене обчислення подвійних інтегралів від швидкоосцилюючих функцій...
«Штучний інтелект» 2’2012 23
1Л
O.N. Lytvyn, O.P. Nechuiviter
Approximate Calculation of Double Integrals of Highly
Oscillatory Functions with Use of the Lagrange
Polynomial Interlineation
Modern problems of digital signal processing need the solutions with new forms of data.
It means that information about function is set of values on the set of flats or set of lines or set
of knots. The theory of interlineations and interflatation of functions is the most effective in
this case.
In the work, cubature formulas of approximate calculation of ddouble integrals of highly
oscillatory functionswith use the Lagrange polynomial interlineation of functions at the class of
differentiable functions are investigated in the article. Information about function is set of
values on the optimal perpendicular lines. The estimations of error of approaching to the
cubature formulas are presented.
Стаття надійшла до редакції 25.01.2012.
|