Претендент на третью интегральную теорему о среднем

Подобно тому, как формула Лагранжа является частным случаем формулы Коши о среднем в дифференциальном исчислении, также можно показать, что первая теорема о среднем является частным случаем интегральной теоремы Коши. В работе рассмотрены две формы интегральной теоремы Коши. Первая из них следует неп...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2012
Main Authors:	Мироненко, Л.П., Петренко, И.В., Рубцова, О.А.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України 2012
Series:	Штучний інтелект
Subjects:	Интеллектуальные системы планирования, управления, моделирования и принятия решений
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/60526
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Претендент на третью интегральную теорему о среднем / Л.П. Мироненко, И.В. Петренко, О.А. Рубцова // Штучний інтелект. — 2012. — № 2. — С. 46-53. — Бібліогр.: 8 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-60526
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-605262025-02-23T18:03:38Z Претендент на третью интегральную теорему о среднем Претендент що до третьої інтегральної теореми про середнє A Contender to Be the Third Integral Mean Value Theorem Мироненко, Л.П. Петренко, И.В. Рубцова, О.А. Интеллектуальные системы планирования, управления, моделирования и принятия решений Подобно тому, как формула Лагранжа является частным случаем формулы Коши о среднем в дифференциальном исчислении, также можно показать, что первая теорема о среднем является частным случаем интегральной теоремы Коши. В работе рассмотрены две формы интегральной теоремы Коши. Первая из них следует непосредственно из дифференциальной формулы Коши о среднем, а вторая является ее обобщением, подобно тому, как существует первая и вторая интегральные теоремы о среднем и их обобщенные варианты. У статті розглянуто дві теореми про середнє в інтегральному численні. Перша з них є інтегральним аналогом теореми Коші у диференціальному численні. Друга теорема є узагальненням першої теореми Коші і проводитися з використанням властивостей інтегральної міри. Теореми розширюють поняття про середнє функції. Згідно нашої теорії середнє у загальному сенсі є середнім функції відносно іншої функції. У частковому випадку відносне середнє перетворюється у звичайне середнє. Третя теорема про середнє може бути використана для оцінки визначних інтегралів. Two mean value theorems in the integral calculus have been considered in the article. The first theorem is an integral analogue of the Cauchy’s theorem from differential calculus. The second one is a generalization of the Cauchy’s first theorem. These theorems expend our imagination about the function mean value. The mean value concept is a function mean value with respect to the other function. The third integral mean value theorem can be used for estimation of some definite integrals. 2012 Article Претендент на третью интегральную теорему о среднем / Л.П. Мироненко, И.В. Петренко, О.А. Рубцова // Штучний інтелект. — 2012. — № 2. — С. 46-53. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1561-5359 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/60526 51 (071) ru Штучний інтелект application/pdf Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Интеллектуальные системы планирования, управления, моделирования и принятия решений Интеллектуальные системы планирования, управления, моделирования и принятия решений
spellingShingle	Интеллектуальные системы планирования, управления, моделирования и принятия решений Интеллектуальные системы планирования, управления, моделирования и принятия решений Мироненко, Л.П. Петренко, И.В. Рубцова, О.А. Претендент на третью интегральную теорему о среднем Штучний інтелект
description	Подобно тому, как формула Лагранжа является частным случаем формулы Коши о среднем в дифференциальном исчислении, также можно показать, что первая теорема о среднем является частным случаем интегральной теоремы Коши. В работе рассмотрены две формы интегральной теоремы Коши. Первая из них следует непосредственно из дифференциальной формулы Коши о среднем, а вторая является ее обобщением, подобно тому, как существует первая и вторая интегральные теоремы о среднем и их обобщенные варианты.
format	Article
author	Мироненко, Л.П. Петренко, И.В. Рубцова, О.А.
author_facet	Мироненко, Л.П. Петренко, И.В. Рубцова, О.А.
author_sort	Мироненко, Л.П.
title	Претендент на третью интегральную теорему о среднем
title_short	Претендент на третью интегральную теорему о среднем
title_full	Претендент на третью интегральную теорему о среднем
title_fullStr	Претендент на третью интегральную теорему о среднем
title_full_unstemmed	Претендент на третью интегральную теорему о среднем
title_sort	претендент на третью интегральную теорему о среднем
publisher	Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України
publishDate	2012
topic_facet	Интеллектуальные системы планирования, управления, моделирования и принятия решений
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/60526
citation_txt	Претендент на третью интегральную теорему о среднем / Л.П. Мироненко, И.В. Петренко, О.А. Рубцова // Штучний інтелект. — 2012. — № 2. — С. 46-53. — Бібліогр.: 8 назв. — рос.
series	Штучний інтелект
work_keys_str_mv	AT mironenkolp pretendentnatretʹûintegralʹnuûteoremuosrednem AT petrenkoiv pretendentnatretʹûintegralʹnuûteoremuosrednem AT rubcovaoa pretendentnatretʹûintegralʹnuûteoremuosrednem AT mironenkolp pretendentŝodotretʹoííntegralʹnoíteoremiproserednê AT petrenkoiv pretendentŝodotretʹoííntegralʹnoíteoremiproserednê AT rubcovaoa pretendentŝodotretʹoííntegralʹnoíteoremiproserednê AT mironenkolp acontendertobethethirdintegralmeanvaluetheorem AT petrenkoiv acontendertobethethirdintegralmeanvaluetheorem AT rubcovaoa acontendertobethethirdintegralmeanvaluetheorem
first_indexed	2025-11-24T07:53:23Z
last_indexed	2025-11-24T07:53:23Z
_version_	1849657448811462656
fulltext	«Искусственный интеллект» 2’201246 3М УДК 51 (071) Л.П. Мироненко, И.В. Петренко, О.А. Рубцова Донецкий национальный технический университет, Украина Украина, 83001, г. Донецк, ул. Артема, 58, mironenko.leon@yandex.ru, eagor0@mail.ru Претендент на третью интегральную теорему о среднем L.P. Mironenko, I.V. Petrenko, O.A. Rubtsova Donetsk National Technical University (DonNTU), Ukraine Ukraine, 83001, c. Donetsk, Artema st., 58 A Contender to Be the Third Integral Mean Value Theorem Л.П. Мироненко, І.В. Петренко, О.О. Рубцова Донецький національний технічний університет, Україна Україна, 83001, м. Донецьк, вул. Артема, 58 Претендент що до третьої інтегральної теореми про середнє Подобно тому, как формула Лагранжа является частным случаем формулы Коши о среднем в дифференциальном исчислении, также можно показать, что первая теорема о среднем является частным случаем интегральной теоремы Коши. В работе рассмотрены две формы интегральной теоремы Коши. Первая из них следует непосредственно из дифференциальной формулы Коши о среднем, а вторая является ее обобщением, подобно тому, как существует первая и вторая интегральные теоремы о среднем и их обобщенные варианты. Ключевые слова: интеграл, теоремы о среднем, обобщенная теорема, среднее значение функции, интегральное среднее. Two mean value theorems in the integral calculus have been considered in the article. The first theorem is an integral analogue of the Cauchy’s theorem from differential calculus. The second one is a generalization of the Cauchy’s first theorem. These theorems expend our imagination about the function mean value. The mean value concept is a function mean value with respect to the other function. The third integral mean value theorem can be used for estimation of some definite integrals. Key Words: integral, mean value theorem, generalized theorem, function mean value, integral measure, average value. У статті розглянуто дві теореми про середнє в інтегральному численні. Перша з них є інтегральним аналогом теореми Коші у диференціальному численні. Друга теорема є узагальненням першої теореми Коші і проводитися з використанням властивостей інтегральної міри. Теореми розширюють поняття про середнє функції. Згідно нашої теорії середнє у загальному сенсі є середнім функції відносно іншої функції. У частковому випадку відносне середнє перетворюється у звичайне середнє. Третя теорема про середнє може бути використана для оцінки визначних інтегралів. Ключові слова: інтеграл, теорема про середнє, узагальнена теорема, середнє значення функції, інтегральне середнє. Введение Напомним, что в классическом курсе математического анализа преимущест- венно используются две интегральные теоремы о среднем, каждая из которых несет свою практическую ценность и активно используется в различных разделах мате- mailto:mironenko.leon@yandex.ru mailto:eagor0@mail.ru Претендент на третью интегральную теорему о среднем «Штучний інтелект» 2’2012 47 3М матики [1-4]. Эти теоремы, не вдаваясь в подробности, можно кратко записать в виде формул: 1. ),,(,)()()()( badxxgfdxxgxf b a b a    (Т1) 2. ).,(,)()()()()()( badxxgbfdxxgafdxxgxf b a b a      (Т2) Это обобщенные теоремы о среднем, которые часто записываются при 1)( xg и на- зываются усеченными формами обобщенных интегральных теорем [1-3]. Как известно, теорема Коши в дифференциальном исчислении относится к так называемым теоремам о среднем в дифференциальном исчислении [1], [2]. Она ис- пользуется в математическом анализе для доказательства ряда математических поло- жений, в частности, для формулировки и обоснования правила Лопиталя раскрытия неопределенностей при вычислении пределов [3], [4]. Вместе с тем эта теорема яв- ляется обобщением теоремы Лагранжа, роль которой исключительна, не только в дифференциальном исчислении, но и во всем математическом анализе. Обратим внимание на то, что интегральный аналог теоремы Лагранжа приво- дит к первой интегральной теореме о среднем [6]. Поскольку теорема Коши является обобщением теоремы Лагранжа, то следует ожидать, что ее интегральный аналог приведет к одному из вариантов интегральной теоремы о среднем. Мы ее называем претендентом на третью теорему о среднем. Она может быть записана в виде формулы 3. ),,(,)()()()()()( badxxqxgfdxxqxfg b a b a    (Т3) Это обобщенная теорема о среднем, а частная теорема получается при 1)( xq ( ) ( ) ( ) ( ) , ( , ). b b a a g f x dx f g x dx a b     (1) Для доказательства интегральной теоремы Коши (Т3) потребуется понятие и свойства интегральной меры измеримого множества. Свойства меры E измеримого множества E : 1. Неотрицательность: 0E . 2. Монотонность: если 21 EE  , то 21 EE   . 3. Аддитивность: если ,,...,2,1, mjiEE ji  то i m i i m i EE          11  . Например, если рассматривается определенный интеграл, то интегральная мера dxxQxQdE )())((  , где )(xQ – дифференцируемая функция. В этом случае, первое свойство меры – неотрицательность, не является обязательным. Это свойство является важным для кратных интегралов. Второе свойство меры – монотонность, означает, что функция )()( xqxQ  должна сохранять знак на заданном интервале интегрирования (величина 0dx по определению). Третье свойство меры очевидно и не требует комментария, ибо в однократном интеграле Римана мера по определе- нию аддитивна. 1 Теорема Коши и ее интегральный аналог Напомним содержание теоремы Коши в дифференциальном исчислении. Если функции )(xf и )(xg непрерывны на отрезке ],[ ba , дифференцируемы на интер- Мироненко Л.П., Петренко И.В., Рубцова О.А. «Искусственный интеллект» 2’201248 3М А вале ),( ba и 0)(  xg во всех точках интервала ),( ba , то существует точка ),( ba , такая, что имеет место формула )( )( )()( )()(   g f agbg afbf      . (2) Если функция )(xF является первообразной функции )(xf на отрезке ],[ ba , а функция )(xG является первообразной функции )(xg на ],[ ba , то, учитывая фор- мулу Ньютона-Лейбница dxxfaFbF b a )()()(  ,  b a dxxgaGbG )()()( и )()(  fF  , )()(  gG  , формула (2) примет вид , )( )( )( )(   g f dxxg dxxf b a b a    откуда следует формула (1). Полученный результат формулируем в виде теоремы. Интегральная теорема Коши. Если функции )(xf и )(xg непрерывны на от- резке ],[ ba и 0)( xg во всех точках интервала ),( ba , то существует точка ( , ) ,a b такая, что имеет место формула (1). Приведем строгое доказательство теоремы. Пусть функции )(xF и )(xG являют- ся первообразными функций )(xf и )(xg на отрезке ],[ ba . Тогда, на отрезке ],[ ba определенны функции )(xF и )(xG в виде интегралов с переменными верхними пределами )()(  x a dxxfxF и )()(  x a dxxgxG , (3) По теореме об интегралах с переменным верхним пределом ]1[ функции )(xF и )(xG непрерывно-дифференцируемы на ),( ba и выполняются равенства )()( xfxF  , )()( xgxG  . Остается применить формулу Коши (2) к функциям )(xF и )(xG , и использовать равенства (3) и )()(  fF  , )()(  gG  . Замечание. Одним из условий дифференциальной теоремы Коши является условие 0)(  xG во всех точках интервале ),( ba , а в силу равенства )()( xgxG  во всех точках интервал ),( ba выполняется неравенство 0)( xg . Второй способ доказательства. Рассмотрим функцию   x a dttgtfx ))()(()(  с не- определенным множителем  и определим его так, чтобы )()( ab  , т.е. . ))( ))( 0)(,)()())()(()(     b a b a b a b a b a dttg dttf adttgdttfdttgtfb  Для функции )(x выполнены условия теоремы Ролля 1) она непрерывна на отрезке ],[ ba ; 2) она дифференцируема на интервале ),( ba и 3) )()( ab  , поэтому ),( ba , в которой  )()()(  gf )(/)(  gf . Откуда следует фор- мула (1). Следствие. При 1)( xg на ],[ ba имеем частный случай первой теоремы о среднем ))(()()( abfdxfdxxf b a b a    . При )()( xgxf  равенство (3) вырождается в тождество. Претендент на третью интегральную теорему о среднем «Штучний інтелект» 2’2012 49 3М 2 Сравнение первой и третьей теорем о среднем Может создаться впечатление, что теорема Т3 является следствием первой теоремы Т1, если последнюю применить повторно к функции )(xg . Одним из условий теоремы Т1 является требование, чтобы функция )(xg не меняла знак на заданном отрезке ],[ ba . Если, кроме того, функция )(xf не меняет знак на ],[ ba , то первую теорему Т1 можно применить к функции )(xg . Другими словами, существует точка ),( ba , такая, что dxf(x)gdxxxf b a b a )()g()(    . Сравнивая с формулой Т1, получим равенство .)()g()( dxf(x)gdxxf b a b a    (4) Это равенство имеет сходство с формулой Коши Т3, но отличается от последней тем, что точки  и  , вообще говоря, различные. Но это не единственное отличие. Дело в том, что в первой теореме о среднем значение )(f имеет смысл среднего значения функции )(xf на отрезке ],[ ba . Среднее значение функции понимается в интегральном смысле . 1 )( dxf(x) ab f b a  В обобщенном смысле среднее значение определяется как среднее «взвешенное» с весовой функцией ,)(xg а именно . )( )()( )( dxxg dxxgxf f b a b a   В нашем случае, как видно из равенства (Т3), речь идет только об отношении двух интегралов, и найдется точка на отрезке ],[ ba , в которой отношение интегралов равно отношению значений подын- тегральных функций. Даже, если переписать равенство (Т3) в виде , ))(( ))(( )( )( abg abf dxxg dxxf b a b a        то, вообще говоря, dxxfabf b a )())((  , dxxgabg b a )())((  и не являются средними значениями функций )(xf и )(xg . 3 Обобщенная интегральная теорема Коши Теорема. Пусть 1) функции )(xf и )(xg непрерывные на отрезке ],[ ba , 2) функция 0)( xq непрерывна на ],[ ba и имеет первообразную )(xQ и 3) функция )(xq не меняет знак на ],[ ba . Тогда, существует точка ),( ba такая, что выполняется ра- венство (Т3) Следствие 1. При 1)( xq на ],[ ba имеем частный случай (1) обобщенной теоремы. Следствие 2. При Cxgxq  )(,1)( имеем первую теорему о среднем ))(()( abfdxxf b a   в усеченном виде. Доказательство теоремы проведем как обобщение формулы (1). В интегральной теореме Коши для функций )(xf и )(xg произведем замену интегральной меры dx на меру )(xdQE  . Обоснование такой замены представлено в работах [7], [8]. Заметим, что мера dxxqdxxQxdQ )()()(  будет монотонной на отрезке ],[ ba , если функция )(xq не меняет знак на ],[ ba . В результате такой замены меры, получим .)()()()()()( xdQxgfxdQxfg b a b a    Учитывая, что dxxqxdQ )()(  , получим формулу (Т3). Мироненко Л.П., Петренко И.В., Рубцова О.А. «Искусственный интеллект» 2’201250 3М А 4 Геометрический и вероятностный смысл третьей теоремы о среднем Рассмотрим непрерывные функции 0)( xf и 0)( xg на отрезке ],[ ba . Для простоты, примем )()( xgxf  . Обозначим dxxfS b a f )( и dxxgS b a g )( площади криволинейных трапеций, ограниченных графиками функций )(xf и )(xg . Согласно интегральной формуле Коши (1) существует точка ( , ),a b такая, что )(/)(/  gfSS gf  – отношение площадей криволинейных трапеций, ограниченных графиками функций )(xf и )(xg , равно отношение )(/)(  gf ; или всегда найдется точка ( , ),a b такая, что отношение площадей криволинейных трапеций равно отношению функ- ций )(f и )(g . Следует отметить, что значения функций )(f и )(g не являются средними значениями функций )(xf и на отрезке ],[ ba . Как уже было отмечено, значения функций )(f и )(g являются средними значениями функций )(xf и )(xg в том случае, когда одна из них постоянная. Если функция )(xq имеет смысл плотности (не нормированной) вероятности, то dxxq dxxqxf f b a b a )( )()(   является средним значением функции )(xf на отрезке ],[ ba . Тогда, обобщенная теорема Коши, записанная в форме )(/)(/  gfgf  , имеет сле- дующий смысл: всегда найдется точка ),( ba , в которой отношение средних зна- чений функций )(xf и )(xg на ],[ ba равно отношению значений функций )(f и )(g . Если функции )(xf и )(xg равны в интегральном смысле dxxqxf b a )()(  dxxqxgdx b a )()( , то существует точка ),( ba , такая, что )()(  gf  . В частном случае равномерного распределения ab xq   1 )( и xx )g( . 2 )( )( )()( )( )()( 22 abf dxxf f xdx dxxf dxxxq dxxqxf b a b a b a b a b a            Применим первую теорему о среднем к левой части равенства . 2 )( )( 2 )( )()( 22 abf f abf abf           где )(f – «истинное» среднее, а )(f – среднее по Коши. Например, если )(xf линейная функция xxf )( , то   .2/ab Если )(xf квадратичная функ- ция 2)( xxf  , то   .2/ab  В частном случае constCxg )( , формула (1) переходит в первую обобщен- ную теорему о среднем и определяет среднее значение функции )(f с ненормиро- ванной плотностью распределения вероятности )(xq . Третья теорема о среднем может быть использована для оценки интегралов. Претендент на третью интегральную теорему о среднем «Штучний інтелект» 2’2012 51 3М Пример. Оценить интеграл dxex xb a 22  . Интеграл не вычисляется в элементарных функциях. Возьмем в качестве xg  , а 2xeq  . Тогда третья теорема о среднем имеет вид   22/ 22 2 22 2 2 2 2 222 ba xb aba xb a xb a xb a ee dxex ee dxex dxxe dxex                  , ),( ba . Отсюда следует оценка ., 2 22 22 ba ee bdxex ba xb a      Выводы В работе рассмотрены две формы интегральной теоремы Коши. Первая из них следует непосредственно из дифференциальной формулы Коши о среднем, а вторая является ее обобщением. Приведены доказательства обоих теорем. Подобно тому, как формула Лагранжа является частным случаем формулы Коши, также показано, что первая теорема о среднем является частным случаем третьей интегральной теоремы (интегральной теоремы Коши). Обобщенная теорема Коши доказывается с использованием элементов теории меры и опирается на работы [6-8]. Эффективность подхода заключается в том, что все обобщенные теоремы получены в одной манере и очень просто. Все три теоремы о среднем можно сформулировать и доказать в единой манере. Геометрический и вероятностный смысл интегральной теоремы Коши имеет самостоятельное значение, отличное от смысла первой и второй теорем о среднем. Это означает, что теорема Коши может рассматриваться в интегральном исчислении как еще одна теорема о среднем. Более того, теорема расширяет понятие среднего. Следует отметить также, что природа среднего различная во всех трех теоремах. Кратко можно их охарактеризовать так. Первая теорема о среднем является класси- ческим средним, можно сказать является обобщением среднего арифметического, а обобщенная первая теорема о среднем совпадает с вероятностной трактовкой сред- него. Вторая теорема о среднем имеет дело со средним с весовыми множителями на границах интервала. Третья теорема является обобщением первой и имеет смысл относительного среднего, точнее, среднее значение функции вычисляется относи- тельно среднего значения другой функции. Только в случае, когда последняя функция равна единице или является постоянной (равномерное распределение случайной ве- личины), то относительное среднее совпадает с абсолютным и тогда совпадает со средним «взвешенным» как в первой теореме о среднем. Третья теорема о средне позволяет оценивать определенные интегралы, причем аналогичные оценки невозможны с помощью первой и второй теорем. Более того, относительно произвольный выбор функции )(xg позволяет делать оценки интегра- лов dxxf b a )( в широком диапазоне, как изменения переменной x , так и изменения функции )(xf . Литература 1. Кудрявцев Л.Д. Математический анализ / Кудрявцев Л.Д. – М. : Наука,1970. – Том I. – 571 с. 2. Ильин В.А. Основы математического анализа / В.А. Ильин, Э.Г. Поздняк. – М. : Изд-во ФМЛ, Москва, 1956. – Т. 1. – 472 с. Мироненко Л.П., Петренко И.В., Рубцова О.А. «Искусственный интеллект» 2’201252 3М А 3. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления / Фихтенгольц Г.М. – М. : Наука, Изд-во ФМЛ, 1972. – Т. 2. –795 с. 4. Apostol T.M. Calculus. One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra / Apostol T.M. – John Wilay and Sons, Inc., 1966. – Vol 1. – 667 p. 5. Wrede R. Theory and Problems of Advanced Calcolus. – Schaum’s Series / R. Wrede, M. Spiegel. –The MacGraw-Hill Companies Inc., 2002 (First Edition 1966). – 433. 6. Мироненко Л.П. Интегральная форма теоремы Лагранжа и ее применение к определенному интегралу / Л.П. Мироненко, Н.А Прокопенко // Сборник научно-методических работ. – Донецк, 2009. – Вып. 6. – С.119-126. 7. Мироненко Л.П. Интегральные теоремы о среднем. Подход, основанный на свойствах интегральной меры / Л.П. Мироненко, И.В. Петренко, О.А Рубцова // Искусственный интеллект. – 2010. – № 4. – С. 617-622. 8. Мироненко Л.П. Простой способ доказательства теоремы о среднем в интегральном исчислении / Л.П. Мироненко, О.А. Рубцова, Т. Табаленкова // Математическая культура инженера : мат-лы региональной студенческой конференции. – Донецк, 2010. – С. 233-237. Literatura 1. Kudrjavcev L.D. Matematicheskij analiz. Tom I. M.: Nauka.1970. 571 s. 2. Il’in V.A.Osnovy matematicheskogo analiza. Tom 1. M.: Izd-vo FML. 1956. 472 s. 3. Fihtengol’c G.M. Kurs differencial’nogo i integral’nogo ischislenija. Tom 2. M. : Nauka, Izd-vo FML. 1972. 795 s. 4. Apostol T.M. Calculus. One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra. Vol 1. John Wilay and Sons, Inc. 1966. 667s. 5. Wrede R. Theory and Problems of Advanced Calcolus. Schaum’s Series. The MacGraw-Hill Companies Inc. 2002 (First Edition 1966). 433s. 6. Mironenko L.P. Sbornik nauchno-metodicheskih rabot. Vyp. 6. Doneck. 2009. S.119-126. 7. Mironenko L.P. Iskusstvennyj intellect. № 4. 2010. S. 617-622. 8. Mironenko L.P. Materialy regional’noj studencheskoj konferencii. Matematicheskaja kul’tura inzhenera. Doneck. 2010. S. 233-237. L.P. Mironenko, I.V. Petrenko, O.A. Rubtsova A Contender to Be the Third Integral Mean Value Theorem Lagrange’s theorem or so called Lagrange’s formula in the differential calculus produces the mean value theorem in the integral calculus. Cauchy’s theorem generalizes the Lagrange’s theorem. These facts point to us that there is an integral analogue of Cauchy’s theorem. We have called it a contender to be the third mean value integral theorem. Let the functions )(xF and )(xG are primitives of the continuous functions )(xf and )(xg in a segment ],[ ba . If the function 0)( xg in each point of the ],[ ba then there is a point ),( ba such that: )( )( )()( )()(   G F aGbG aFbF      . This is Cauchy’s theorem. From one hand dxxfaFbF b a )()()(  and from the other hand )()(  fF  , then we have the third mean value integral theorem: ).,(, )( )( )( )( ba g f dxxg dxxf b a b a       Претендент на третью интегральную теорему о среднем «Штучний інтелект» 2’2012 53 3М Replacing the integral measure dx with the measure dxxQxdQ )()(  where 0)()(  xqxQ , we will get a general form of the third mean value integral theorem: ).,(, )( )( )()( )()( ba g f dxxqxg dxxqxf b a b a       Lagrange’s theorem is a private case of the third mean value integral theorem when constxg )( : ).,(,)()()()( badxxqfdxxqxf b a b a    At last, at constxq )( we will get the first mean value integral theorem: ).,(),)(()( baabfdxxf b a   If the function )(xq is the probability density (maybe non-normalized) then dxxq dxxqxf f b a b a )( )()(   is the average value of the function )(xf in the segment ],[ ba . In this case, Cauchy’s theorem, which is written in the form )(/)(/  gfgf  , has geometric sense: there is a point ),( ba such that the ratio of the average values of the functions )(xf and )(xg in the segment ],[ ba is equal to the ratio of the function values: )(f and )(g . The third theorem expands our imagination about the average value. Only when the second function is equal to one or a constant (at the distribution with a constant density) then the relative average value coincides with the absolute value of the average. The third theorem can be used for estimation of some definite integrals. Статья поступила в редакцию 06.04.2012.

Претендент на третью интегральную теорему о среднем

Institution

Similar Items