Претендент на третью интегральную теорему о среднем - Мироненко, Л.П.; Петренко, И.В.; Рубцова, О.А. (Штучний інтелект, 2012)
Подобно тому, как формула Лагранжа является частным случаем формулы Коши о среднем в дифференциальном исчислении, также можно показать, что первая теорема о среднем является частным случаем интегральной теоремы Коши. В работе рассмотрены две формы интегральной теоремы Коши. Первая из них следует непосредственно из дифференциальной формулы Коши о среднем, а вторая является ее обобщением, подобно тому, как существует первая и вторая интегральные теоремы о среднем и их обобщенные варианты. У статті розглянуто дві теореми про середнє в інтегральному численні. Перша з них є інтегральним аналогом теореми Коші у диференціальному численні. Друга теорема є узагальненням першої теореми Коші і проводитися з використанням властивостей інтегральної міри. Теореми розширюють поняття про середнє функції. Згідно нашої теорії середнє у загальному сенсі є середнім функції відносно іншої функції. У частковому випадку відносне середнє перетворюється у звичайне середнє. Третя теорема про середнє може бути використана для оцінки визначних інтегралів. Two mean value theorems in the integral calculus have been considered in the article. The first theorem is an integral analogue of the Cauchy’s theorem from differential calculus. The second one is a generalization of the Cauchy’s first theorem. These theorems expend our imagination about the function mean value. The mean value concept is a function mean value with respect to the other function. The third integral mean value theorem can be used for estimation of some definite integrals.