Гидродинамическая неустойчивость эластичной жидкости с памятью
На основе метода линейных возмущений получено уравнение для определения критерия гидродинамической неустойчивости эластичной жидкости. Исследование данного уравнения на собственные значения методом коллокаций позволило проанализировать влияние возмущающих факторов на критерий устойчивости. На основі...
Saved in:
| Published in: | Промышленная теплотехника |
|---|---|
| Date: | 2010 |
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут технічної теплофізики НАН України
2010
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/60583 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Гидродинамическая неустойчивость эластичной жидкости с памятью / А.А. Авраменко, Т.В. Сорокина, Д.Г. Блинов, Н.П. Дмитренко // Промышленная теплотехника. — 2010. — Т. 32, № 4. — С. 15-20. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859941440450199552 |
|---|---|
| author | Авраменко, А.А. Сорокина, Т.В. Блинов, Д.Г. Дмитренко, Н.П. |
| author_facet | Авраменко, А.А. Сорокина, Т.В. Блинов, Д.Г. Дмитренко, Н.П. |
| citation_txt | Гидродинамическая неустойчивость эластичной жидкости с памятью / А.А. Авраменко, Т.В. Сорокина, Д.Г. Блинов, Н.П. Дмитренко // Промышленная теплотехника. — 2010. — Т. 32, № 4. — С. 15-20. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Промышленная теплотехника |
| description | На основе метода линейных возмущений получено уравнение для определения критерия гидродинамической неустойчивости эластичной жидкости. Исследование данного уравнения на собственные значения методом коллокаций позволило проанализировать влияние возмущающих факторов на критерий устойчивости.
На основі методу лінійних збурень отримано рівняння для знаходження критерія гідродинамічної нестійкості еластичної рідини. Дослідження даного рівняння на власні значення методом колокацій дозволило проаналізувати вплив збурюючих факторів на критерій стійкості.
On the basis of method of linear disturbance the equation for determination of hydrodynamic instability of elastic liquid is obtained. Investigation this equation to eigenvalue by the collocation method is allowed to analyze influence of disturbance factors on stability criterion.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:11:08Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 0204-3602. Пром. теплотехника, 2010, т. 32, №4 15
ТЕПЛО- И МАССООБМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ
УДК 621.186.1
Авраменко А.А., Сорокина Т.В., Блинов Д.Г., Дмитренко Н.П.
Институт технической теплофизики НАН Украины
ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ
ЭЛАСТИЧНОЙ ЖИДКОСТИ С ПАМЯТЬЮ
На основі методу лінійних
збурень отримано рівняння для
знаходження критерія гідро-
динамічної нестійкості еластичної
рідини. Дослідження даного
рівняння на власні значення
методом колокацій дозволило
проаналізувати вплив збурюючих
факторів на критерій стійкості.
На основе метода линейных
возмущений получено уравнение
для определения критерия гидро-
динамической неустойчивости
эластичной жидкости. Исследова-
ние данного уравнения на
собственные значения методом
коллокаций позволило проанализи-
ровать влияние возмущающих
факторов на критерий устойчивости.
On the basis of method of
linear disturbance the equation for
determination of hydrodynamic
instability of elastic liquid is obtained.
Investigation this equation to eigenva-
lue by the collocation method is allowed
to analyze influence of disturbance
factors on stability criterion.
D – тензор напряжения;
h – половина ширины канала;
– давление основного течения;
P – обезразмеренное давление;
– время;
t – обезразмеренное время;
− скорость в центре канала;
− скорость;
U – безразмерная скорость;
, − компоненты вектора скорости;
, − координаты;
x, y – обезразмеренные координаты;
– волновое число;
– время релаксации по тензору деформации;
– время релаксации по тензору напряжения,
μ – динамический коэффициент вязкости;
ν – кинематический коэффициент вязкости;
ρ – плотность;
− компоненты напряжения;
– обезразмеренные компоненты
напряжения;
− амплитуда;
− обезразмеренная амплитуда.
p%
t%
u∞%
U%
u% v%
x% y%
α%
γ%
λ%
, ,x yσ σ τ% % %
, ,x yσ σ τ
ϕ%
ϕ
Введение
Исследованиям неустойчивости неньюто-
новской эластичной жидкости посвящено ряд
публикаций [1-5]. В работе [1] рассмотрено не-
устойчивость коротких волн в потоке концен-
трированной полимерной жидкости с помощью
модели Максвела. Показано, что короткие вол-
ны неустойчивости в сильновязких жидкостях
пропорциональны для больших волновых чи-
сел и доказано, что такого рода неустойчивость
появляется в системах с низким значением по-
верхностного натяжения, таких как растворы
полимеров.
Авторами работы [2] изучена поверхност-
ная линейная неустойчивость между слоями
эластичной жидкости типа UCM в канале при
больших значениях числа Вейзенберга (Wi) с
незначительной инерцией. По данным исследо-
вания определено эластичную неустойчивость
для коротких волн возмущений при отсутствии
поверхностного натяжения. Пульсации течения
такой жидкости распадались по экспоненци-
альному закону в направлении от поверхно-
сти. Показано, что такого рода неустойчивость
при больших числах Wi сохраняется во всем
канале. В [3, 4] рассмотрено неустойчивость
Oldroyd-B жидкости течения Пуазеля. В рабо-
те [5] представлено аналитическое описание
вязкого течения в каналах прямолинейной и
цилиндрической конфигурации, a также пока-
ISSN 0204-3602. Пром. теплотехника, 2010, т. 32, №416
ТЕПЛО- И МАССООБМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ
зано изменение решения уравнения Кармана
для пластины и расширено вывод нелинейных
уравнений для тонкой цилиндрической оболоч-
ки.
Авторами работы [6] рассмотрена тер-
моэластичная динамическая неустойчивость
(TEDI) в скользящих фракциях потока. Снача-
ла рассмотрены отдельно на примере одномер-
ных моделей термоэластичная и динамическая
неустойчивости, а затем изучено их совместное
влияние на основании созданной так называе-
мой TEDI модели.
В последнее время в различных аппаратах
и технологических процессах получил ши-
рокое распространение принцип дискретно-
импульсного ввода энергии (ДИВЭ), важной
особенностью которого является турбулизация
потока. Рабочей средой в технологиях и аппа-
ратах ДИВЭ часто бывают неньютоновские
жидкости, в том числе и эластичные, такие как
эластичные растворы полимеров. Для коррект-
ного проектирования и эксплуатации аппаратов
подобного рода важно уметь определить значе-
ние критерия, характеризующего начало пере-
хода ламинарного течения в турбулентное.
Основные уравнения
Для определения критерия гидродинамиче-
ской неустойчивости используем метод линей-
ных возмущений. Согласно этому методу пара-
метры течения представим в следующем виде:
(1)( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
, , , , , , , , , , , , , , , ,
, , , , , , , , , , , , , ,x x x y y y
u t x y U y u t x y v t x y v t x y p t x y P x y p t x y
t x y y t x y t x y y t x y t x y y t x y
′ ′ ′= + = = +
′ ′ ′σ = σ +σ σ = σ +σ τ = τ + τ
% % % % % %% % % % % % % % % % % % % % %
% % % % % %% % % % % % % % % % % % % % %
Форма возмущающего движения выбирается в виде продольной волны (волны Толлмина-
Шлихтинга), удовлетворяющей уравнению неразрывности:
, (2)
где , − круговая частота колебания, − коэффициент нарастания колебаний. Пара-
метры со штрихом указывают на возмущенные составляющие. Зависимость между тензорами
напряжения и деформации для данного типа жидкости выглядит так:
. (3)
После подстановки выражения (1) в уравнение Навье-Стокса
(4)
и пренебрежения квадратичными членами относительно малых возмущений получено:
( ) ( ), , expu v y i x t
y x
∂ψ ∂ψ ′ ′= = − ψ = ϕ α −β ∂ ∂
% %% % %
r iiβ = β + β% % %
rβ% iβ%
2 DD
t t
∂τ ∂ λ + τ = µ + γ ∂ ∂
%% %%
% %
1 ,
1 ,
0
x
y
u u u Pu v
t x y x x y
v v PU
t x y y x
u v
x y
∂σ∂ ∂ ∂ ∂ ∂τ
+ + = − + + ∂ ∂ ∂ ρ ∂ ∂ ∂
∂σ ∂ ∂ ∂ ∂τ
+ = − + + ∂ ∂ ρ ∂ ∂ ∂
∂ ∂
+ =
∂ ∂
% %% % % %
% %
% % % % % %
% %% % %
% % % % %
% %
% %
ISSN 0204-3602. Пром. теплотехника, 2010, т. 32, №4 17
ТЕПЛО- И МАССООБМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ
1 ,
1 ,
0.
x
y
u u U pU v
t x y x x y
v v pU
t x y y x
u v
x y
′′ ′ ′ ′ ∂σ∂ ∂ ∂ ∂ ∂τ′+ + = − + + ∂ ∂ ∂ ρ ∂ ∂ ∂
′∂σ′ ′ ′ ′ ∂ ∂ ∂ ∂τ
+ = − + + ∂ ∂ ρ ∂ ∂ ∂
′ ′∂ ∂
+ =
∂ ∂
%
%
% (5)
С учетом (2), а также последующим обезразмериванием получаем аналог уравнения Орра-
Зоммерфельда для неньютоновской эластичной жидкости:
, (6)
где , – скорость распространения волн возмущений, – инкремент нарастания
возмущений. < 0 соответствует затуханию, > 0 − нарастанию возмущений в потоке,
− безразмерное число Рейнольдса, − безразмерное волновое число,
( ) ( ) ( )2 2 2 4 21 14 2 0
Re
icc U U c U i
i c
− αγ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′′′ϕ − α +α + + − ϕ + α ϕ + α ϕ+ α ϕ +ϕ = α + αλ
/ r ic c ic= β α = +% %% % % rc% ic%
ic% ic%
Re u h∞=
ν
%
hα = α%
2 2 2
2
, , , , .U U l cU c
P h P U Uh h hh
x
µ µ ϕ λν γν
= = = ϕ = λ = γ =
∂ ∆ − ∂
%% % % % % %%
% %
Значение ci = 0 соответствует смене режи-
мов течения. При значениях λ = 0, γ = 0 выраже-
ние (6) трансформируется в классическое урав-
нение Орра-Зоммерфельда.
Как видно, в выражении (6) отсутствуют
члены, учитывающие касательные и нормаль-
ные напряжения. Они были заменены на выра-
жения, полученные из уравнений для каждой
отдельной составляющей тензора скорости де-
формации.
Для определения области устойчивости
уравнение (6) исследовалось на собственные
значения при нулевом инкременте нарастания
возмущений, который отвечает нейтральной
кривой. Граничные условия соответствуют ну-
левым пульсациям скорости и на стенках кана-
ла и имеют вид
φ = φ' = 0 при . (7)
Результаты расчета
Невозмущенные профили скорости получе-
ны на основе численного решения уравнения
Навье-Стокса методом контрольных объемов
[7] и представлены на рис. 1.
Из рис. 1 видно, что профили скорости для
ньютоновской жидкости менее заполнены по
сравнению с профилями для неньютоновской
жидкости. С течением времени заполненность
профилей убывает для данных типов жидкости
с указанными параметрами λ и γ.
Решение задачи на собственные значения
производилось, используя метод коллокаций.
Это обусловлено тем, что воздействие на по-
ток возмущающих факторов приводит к увели-
чению области устойчивости (растет критерий
устойчивости), а это в свою очередь влечет за
собой необходимость увеличения количества
пробных функций в расчетах. При этом возни-
кают трудности в расчете при использовании
метода Галеркина [8], связанные с необходимо-
стью интегрирования рядов, содержащих боль-
шое количество слагаемых. Метод коллокаций
имеет меньшую точность расчета, по сравне-
нию с классическим методом Галеркина, но за
счет использования дельта функции удается из-
бежать интегрирования и сразу перейти к по-
1y = ±%
ISSN 0204-3602. Пром. теплотехника, 2010, т. 32, №418
ТЕПЛО- И МАССООБМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ
строению системы алгебраических уравнений.
Наблюдается хорошее совпадение критерия
устойчивости с расчетными данными других
авторов [9], которые использовали для расчетов
метод коллокаций при большом числе исполь-
зуемых уравнений.
Приближение Галеркина для данного тече-
ния взято в следующем виде [8]:
. (8)
В качестве пробных функций использова-
лись следующее выражения:
, (9,a)
, (9,б)
которые удовлетворяют граничным условиям,
приведенным выше.
− полиномы Чебышева первого рода.
Тестирование программы расчета показало
хорошее согласование с данными работы [3],
которая считается классической в этой области.
При тестировании задача на собственные зна-
чения решалась для уравнения (6) при условии,
что λ = 0 и γ = 0.
В результате проведенных исследований
получено влияние λ и γ на критерий устойчи-
вости (рис. 2-5). Из рис. 2 видно, что с увеличе-
нием параметра λ критерий устойчивости убы-
вает, так как увеличивается время релаксации
по времени, а с ростом γ наоборот возрастает
(см. также рис. 3-5).
На рис. 2 представлено зависимость крите-
рия устойчивости от безразмерного времени,
которое, по сути, является безразмерным чис-
лом Фурье . Из рисунка видно, что
при разных значениях λ и γ критическое число
Рейнольдса стремительно убывает до опреде-
Рис. 1. Сравнение профилей скорости для ньютоновской (λ = 0, γ = 0) и неньютоновской
жидкости (λ = 1,37, γ = 0,55). 1, 3, 5 – соответствуют неньютоновской жидкости;
2, 4, 6 – ньютоновской; линии 1, 2 − соответствуют t = 0,2; 3, 4 – t = 0,3; 5, 6 – t = 0,7.
2Fo tt
h
ν
= =
% %
( )
1
N
a f yj jj
υ= ∑
=
( )
2 2( 1)21 jf y y yi
−= −
( ) ( )
221 2f y y T yj j
= −
( )T yj
ISSN 0204-3602. Пром. теплотехника, 2010, т. 32, №4 19
ТЕПЛО- И МАССООБМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ
ленного значения t, лежащего в пределах от
0,8 до 0,9. Далее кривая выходит на так назы-
ваемый «стационарный режим», где тенденция
убывания критерия устойчивости сохраняется,
но не так явно.
На рис. 3, 4 представлены зависимости γ и
λ от критерия устойчивости. Рис. 3 указывает
на то, что при увеличении безразмерного па-
раметра, характеризующего время релаксации
по тензору деформации, значение Reкр возрас-
тает, а увеличение безразмерного параметра
времени релаксации (рис. 4) приводит к резко-
му уменьшению критерия устойчивости. Это
обусловлено тем, что при увеличении параме-
тра γ профиль становится более заполненным и
устойчивость возрастает, а это в соответствии
со второй теоремой Релея об устойчивости дви-
жения потока [10] ведет к увеличению крити-
ческого числа Рейнольдса. При увеличении λ
профиль скорости становится менее заполнен-
ным, что приводит к потере устойчивости.
Выводы
В работе на основе метода линейных воз-
мущений проведен анализ влияния времен ре-
лаксации по тензору деформации λ и по тен-
зору напряжения γ на критерий устойчивости.
Данный анализ дал возможность проследить
за динамикой развития профиля скорости при
Рис. 2. Влияние λ, γ и профиля скорости на критерий устойчивости:
1 – λ = 1, γ = 0; 2 − λ = 0,1, γ = 0; 3 − λ = 0, γ = 0; 4 − λ = 0, γ = 1.
Рис. 3. Влияние γ на критерий
устойчивости.
Рис. 4. Влияние λ на критерий
устойчивости.
ISSN 0204-3602. Пром. теплотехника, 2010, т. 32, №420
ТЕПЛО- И МАССООБМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ
разных значениях λ и γ в разные моменты вре-
мени. Получено графические зависимости по-
казывающие, что при увеличении γ увеличива-
ется область устойчивости течения, тогда как
увеличение λ приводит к потере устойчивости.
ЛИТЕРАТУРА
1. Kang Ping Chen, Daniel D. Joseph.
Elastic short wave instability in extrusion flows
of viscoelastic liquids. Journal of Non-Newtonian
Fluid Mechanics, 42. – 1992. – P. 189 − 211.
2. J.C. Miller, J.M. Rallison. Interfacial
instability between sheared elastic liquids in a
channel. J. Non-Newtonian Fluid Mech. 143. –
2007. – Р. 71 – 87.
3. S. Scotto, P. Laure. Linear stability of three-
layer Poiseuille flow for Oldroyd-B fluids. J. Non-
Newtonian Fluid Mech. 83. – 1999.– Р. 71 − 92.
4. P. Laure, H.Le Meur, Y. Demay, J.C. Saut,
S. Scotto. Linear stability of multilayer plane
Poiseuille flows of Oldroyd B fluids. J. Non-
Newtonian Fluid Mech. 71. – 1997.– Р. 1 − 23.
5. H. F. Tiersten. On the Analytical Description
of the Elastic Stability of Rectilinear and Cylindrical
Configurations. 2007; 12; 277 originally published
online Nov 23, 2005; Mathematics and Mechanics
of Solids.
6. L.Afferrante, M.Ciavarella. Thermo-elastic
dynamic instability (TEDI) in frictional sliding of
two elastic half-spaces. Journal of the Mechanics
and Physics of Solids 55. – 2007.– Р. 744 – 764.
7. Патанкар С. Численные методы реше-
ния задач теплообмена и динамики жидкости.
− М.: Энергоатомиздат, 1984. − 152 с.
8. Флетчер К. Численные методы на осно-
ве метода Галеркина. – М.: Мир, 1988. – 352.
9. Luther S., Rensen J.M., T.H. van den Berg,
Lohse D. The effect of bubbles on developed
turbulence. Advances in Turbulence X. Proceedings
of the Tenth European Turbulence Conference.
H.I. Andersson & P.-A. Krogstad (Eds.). CIMNE,
Barcelona 2004.
10. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя.
− М.: Издательство иностранной литературы,
1956. – 528 с.
Получено 12.01.2010 г.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-60583 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0204-3602 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:11:08Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Інститут технічної теплофізики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Авраменко, А.А. Сорокина, Т.В. Блинов, Д.Г. Дмитренко, Н.П. 2014-04-17T12:03:42Z 2014-04-17T12:03:42Z 2010 Гидродинамическая неустойчивость эластичной жидкости с памятью / А.А. Авраменко, Т.В. Сорокина, Д.Г. Блинов, Н.П. Дмитренко // Промышленная теплотехника. — 2010. — Т. 32, № 4. — С. 15-20. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 0204-3602 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/60583 621.186.1 На основе метода линейных возмущений получено уравнение для определения критерия гидродинамической неустойчивости эластичной жидкости. Исследование данного уравнения на собственные значения методом коллокаций позволило проанализировать влияние возмущающих факторов на критерий устойчивости. На основі методу лінійних збурень отримано рівняння для знаходження критерія гідродинамічної нестійкості еластичної рідини. Дослідження даного рівняння на власні значення методом колокацій дозволило проаналізувати вплив збурюючих факторів на критерій стійкості. On the basis of method of linear disturbance the equation for determination of hydrodynamic instability of elastic liquid is obtained. Investigation this equation to eigenvalue by the collocation method is allowed to analyze influence of disturbance factors on stability criterion. ru Інститут технічної теплофізики НАН України Промышленная теплотехника Тепло- и массообменные процессы Гидродинамическая неустойчивость эластичной жидкости с памятью Hydrodynamic instability of elastic fluid with memory Article published earlier |
| spellingShingle | Гидродинамическая неустойчивость эластичной жидкости с памятью Авраменко, А.А. Сорокина, Т.В. Блинов, Д.Г. Дмитренко, Н.П. Тепло- и массообменные процессы |
| title | Гидродинамическая неустойчивость эластичной жидкости с памятью |
| title_alt | Hydrodynamic instability of elastic fluid with memory |
| title_full | Гидродинамическая неустойчивость эластичной жидкости с памятью |
| title_fullStr | Гидродинамическая неустойчивость эластичной жидкости с памятью |
| title_full_unstemmed | Гидродинамическая неустойчивость эластичной жидкости с памятью |
| title_short | Гидродинамическая неустойчивость эластичной жидкости с памятью |
| title_sort | гидродинамическая неустойчивость эластичной жидкости с памятью |
| topic | Тепло- и массообменные процессы |
| topic_facet | Тепло- и массообменные процессы |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/60583 |
| work_keys_str_mv | AT avramenkoaa gidrodinamičeskaâneustoičivostʹélastičnoižidkostispamâtʹû AT sorokinatv gidrodinamičeskaâneustoičivostʹélastičnoižidkostispamâtʹû AT blinovdg gidrodinamičeskaâneustoičivostʹélastičnoižidkostispamâtʹû AT dmitrenkonp gidrodinamičeskaâneustoičivostʹélastičnoižidkostispamâtʹû AT avramenkoaa hydrodynamicinstabilityofelasticfluidwithmemory AT sorokinatv hydrodynamicinstabilityofelasticfluidwithmemory AT blinovdg hydrodynamicinstabilityofelasticfluidwithmemory AT dmitrenkonp hydrodynamicinstabilityofelasticfluidwithmemory |