Радиационный перенос энергии на границе неоднородных (анизотропных) сред
Представляется однозначная связь свойств анизотропной среды (тензора преломления) с формой регулярных лучей, их кривизны и кручения с переносом энергии излучения в непрерывной среде и на границе двух сред. Рассмотрены граничные условия, законы на поверхности разрыва регулярности лучей и различные их...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Промышленная теплотехника |
|---|---|
| Дата: | 2010 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут технічної теплофізики НАН України
2010
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/60610 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Радиационный перенос энергии на границе неоднородных (анизотропных) сред / В.М. Репухов, С.В. Сигорских // Промышленная теплотехника. — 2010. — Т. 32, № 5. — С. 79-87. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859979083489738752 |
|---|---|
| author | Репухов, В.М. Сигорских, С.В. |
| author_facet | Репухов, В.М. Сигорских, С.В. |
| citation_txt | Радиационный перенос энергии на границе неоднородных (анизотропных) сред / В.М. Репухов, С.В. Сигорских // Промышленная теплотехника. — 2010. — Т. 32, № 5. — С. 79-87. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Промышленная теплотехника |
| description | Представляется однозначная связь свойств анизотропной среды (тензора преломления) с формой регулярных лучей, их кривизны и кручения с переносом энергии излучения в непрерывной среде и на границе двух сред. Рассмотрены граничные условия, законы на поверхности разрыва регулярности лучей и различные их формы.
Подано однозначний зв'язок властивостей анізотропного середовища (тензора переломлення) з формою регулярних променів, їх кривизною та крученням з переносом енергії випромінювання в неперервному середовищі і на мережі двох середовищ. Розглянуто граничні умови, закони на поверхні розриву регулярності променів і різноманітні їх форми.
The unique connection of the aelotropic medium properties (refraction thensor) with the ray regulary form, it’s curvature and twist with transport of the energy radiation in the continious medium and on the boundary surfase of two mediums are established. The boundary conditionals, the laws on the ray regularity discontinuty surface and it’s different forms are considerated.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:24:47Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 0204-3602. Пром. теплотехника, 2010, т. 32, №5 79
ТЕРМОДИНАМИКА И ПРОЦЕССЫ ПЕРЕНОСА
1. Введение
Для описания переноса энергии излуче-
ния в астрофизике, теплофизике, динамике
излучающего газа и других областях широко
используются методы геометрической оптики
в предположении прямолинейности луча с пос-
тоянной скоростью света в среде, характеризуе-
мой показателем преломления [1-4]. Они обоб-
щаются и существенно расширяются на неод-
нородные (анизотропные) среды, если влияние
сплошной среды на скорость распространения
излучения (света) на регулярном криволиней-
ном луче (в малой окрестности простая дуга)
учитывается с помощью тензора преломления
второго ранга, элементы которого в общем слу-
чае зависят от времени и которому соответству-
ет векторный показатель преломления. При
этом направление луча в общем случае среды
отличается от направления опорного прямого
луча в вакууме [5-7].
2. Основные результаты
2.1. Тензор преломления и уравнения излу-
чения
Тензор преломления второго ранга Nν с ма-
трицей [nνij], трехмерные единичные векторы
УДК 536.24:533:532.526:533.001.16
Репухов В.М.,1 Сигорских С.В.2
1Институт технической теплофизики НАН Украины
2Украинская академия наук
РАДИАЦИОННЫЙ ПЕРЕНОС ЭНЕРГИИ НА ГРАНИЦЕ
НЕОДНОРОДНЫХ (АНИЗОТРОПНЫХ) СРЕД
Подано однозначний зв'язок
властивостей анізотропного сере-
довища (тензора переломлення) з
формою регулярних променів, їх
кривизною та крученням з пере-
носом енергії випромінювання
в неперервному середовищі і на
мережі двох середовищ. Розгля-
нуто граничні умови, закони на
поверхні розриву регулярності
променів і різноманітні їх форми.
Представляется однозначная
связь свойств анизотропной среды
(тензора преломления) с формой
регулярных лучей, их кривизны и
кручения с переносом энергии из-
лучения в непрерывной среде и на
границе двух сред. Рассмотрены
граничные условия, законы на по-
верхности разрыва регулярности
лучей и различные их формы.
The unique connection of the
aelotropic medium properties (refrac-
tion thensor) with the ray regulary
form, it’s curvature and twist with
transport of the energy radiation in the
continious medium and on the bounda-
ry surfase of two mediums are
established. The boundary conditionals,
the laws on the ray regularity
discontinuty surface and it’s different
forms are considerated.
– трехмерные единичные
векторы;
Iντ – спектральная яркость транспортируемого
излучения в направлении луча света;
k1(s) и k2(s) – кривизна и кручение луча в виде
функций его длины s (натуральное уравне-
ние);
LV(a*) и RD(a*) – функционалы левой и правой
части транспортного уравнения;
– спектральные тензор второго ранга и
трехмерный вектор преломления с проек-
циями в ортонормированном базисе
Френе (Декарта) и его полная проекция
по направлениям и частотам;
t, x, y и z – координаты четырехмерного
ортонормированного базиса Декарта;
– трехмерные векто-
ры скорости с проекциями на координат-
ные оси в текущей точке, скорости
света в среде и вакууме;
un – полная плотность энергии излучения по
направлениям и частотам;
α и α* – координаты, принимающие t, x, y и z,
причем вторая в соответствии с индексом;
Σ=сnun – (полная) падающая энергия на еди-
нице площади границы элемента объема.
( , )e n s , ,
→ → → → → →
= τ ν β
0 0( , , ), иV u w V c V c
→ → → → →
νν ≡ ≡
( ) их y z nN ,LN ,LN ,LN ,LN , LN ,LN ,LN , LN
→
ν ν ν ν ν ντ νν νβ
ISSN 0204-3602. Пром. теплотехника, 2010, т. 32, №580
ТЕРМОДИНАМИКА И ПРОЦЕССЫ ПЕРЕНОСА
( , , , )e n s
→ → → → → →
= τ ν β , четырех (1, , , )TV u w
→
ν и трехмерные в среде V c
→ →
ν≡ и вакууме 0 0V c
→ →
≡ скорости
позволяют записать связи скоростей, вектор показателя преломления, условия прямолинейности
лучей и постоянства скорости излучения в вакууме, а также закон Кирхгофа соответственно
0N c E c
→ →
ν ν = или 0/n c c N
→ → →
ν ντ ν≡ = τ , 0div ( ) div 0N c c
→ →
ν ν = = и 2
0(mod ) bN I
k
→
ν
ν ν
ν
η
= τ , (1)
где в общем случае опорный луч в вакууме отличается от луча в неоднородной среде; обобща-
ются понятия плотности объемного излучения ην, показатель преломления nυ и коэффициент по-
глощения kυ, а локальное термодинамическое равновесие рассматривается вдоль каждого луча.
Из этих уравнений следуют вектор-столбец преломления, уравнение неразрывности спек-
трального луча в неоднородной среде и матричное равенство для дивергенции скорости в виде
1divE LN N N
→
−
ν ν ν≡ , 1div div 0N N c E c
→ →
−
ν ν ν ν+ = и , (2)
где тензор преломления согласно второму уравнению имеет диагональную матрицу, что строго
следует при четырехмерных векторах скорости и тензоре третьего ранга с диагональной матри-
цей, которая имеет единичный первый элемент. Тогда возможен переход к трехмерным векторам
и тензору второго ранга, элементы которого имеют параметр время, так как
( ) 1T T tN c
→
ν ν = и div ( ) div( ) 0T T TN c N c
→ →
ν ν ν ν= = , (3)
а индекс T – относится к упрощающим запись условным четырехмерным характеристикам [5].
В ортонормированном базисе Декарта ( , ,i j k
→ → →
) тензор с диагональной матрицей, его дивер-
генция, обратная матрица, вектор-столбец преломления и дивергенция скорости заданы:
[ ] [ , , ], div ( , , )yyxx zz
ij xx yy zz
nn nN n n n n N
x y z
νν ν
ν ν ν ν ν ν
∂∂ ∂
≡ = =
∂ ∂ ∂
, 1 1 1 1[ , , ]
xx yy zz
N
n n n
−
ν
ν ν ν
= , (4)
lnln ln( , , )yyxx zznn nE LN
x y z
→
νν ν
ν
∂∂ ∂ ′=
∂ ∂ ∂
и
lnln ln( ) divyyxx zz
x y z
nn nc c c c
x y z
→
νν ν
ν ν ν ν
∂∂ ∂
+ + = −
∂ ∂ ∂
, (5)
в изотропной среде направление луча опорного и в среде совпадают (конгруэнтные лучи) [3,6]:
N Enν ν= , , то есть 0grad ln , (grad ln ) div иv vLN n n c c n c c
→ → → → →
ν ν ν ν ν= = − =o . (6)
В базисе Декарта движение трехгранника и связанного с ним ортонормированного базиса
Френе , ,
→ → →
τ ν β рассматривается как сумма переносного поступательного вдоль луча
→
τ со ско-
ростью c
→
ντ и двух относительных с угловыми скоростями вращения 1k
→ →
βΩ = β и 2k
→ →
τΩ = τ , где
k1(s) и k2(s) – кривизна и кручение, в виде функций длины луча s однозначно задающие форму
луча (натуральное уравнение), а вместе с направлением в точке P(s0) луч в пространстве [1,8].
Скорости , ,c c c
→ → →
ντ νν νβ на характерных лучах в направлении ортов базиса Френе имеют связь
divc LN c LN c LN c
→
ντ ντ νν νν νβ νβ ν= = = − , (7)
которая обращается в тождество для однородной среды; а рассеяние на частицах в среде без влия-
ния на кривизну и кручение луча учитывается сферической индикатрисой рассеяния.
( ) div 0eLN c c
→ → →
ν ν ν+ =o
n nν ναα=
ISSN 0204-3602. Пром. теплотехника, 2010, т. 32, №5 81
ТЕРМОДИНАМИКА И ПРОЦЕССЫ ПЕРЕНОСА
Если спектральная яркость (интенсивность) излучения вдоль луча ( , , )I P s tντ , причем изме-
нение вектора скорости излучения происходит без изменения формы движения и связано с об-
меном энергии излучения между криволинейными лучами, тогда в соприкасающейся плоскости
и плоскости с бинормалью транспортные уравнения яркости излучения имеют вид
0( ) ( grad ) ( )V T T T DL I V I I c LN R I
→
ντ ντ ντ ντ ντ ντ≡ = +o , 1LN kνν ν= , 2LN kνβ ν= ; (8)
а для полной плотности энергии излучения un(P,t) получается интегрированием уравнения спек-
тральной яркости в точке пространства по всем направлениям и частотам в виде [5-7]
0( ) ( grad ) ( )V n T T n n D nL u V u LN R u
→
≡ = Σ +o ; (9)
где LV(Iντ), LV(un), RD0(Iντ) и RD0(un) – функционалы, которые совпадают по форме с функционалами
уравнений однородной среды; LNn и Σ = cnun – полная проекция на ось τ вектора преломления и
полная падающая энергия на единице площади границы элемента объема;
1 1
( ) [ div ( ) ] [ ( grad ln ) ( )
( )] [ ( grad ln ) ( ) ( )
T eT e eT T
e
T T
e
d e E I V d ee c I I c V e c I c LN c LN c LN
dt ds
e e ec c c I V c I c LN k c LN k
s s s → →
→ →
→ → → → → → →
ντ
ν ντ ντ ν ν ντ ντ ντ νν νν νβ νβ
→ → →
→ → → → →
ντ νν νβ ντ ντ ντ ντ ντ νν νν
→ τ
τ ν β
∆
= + ∆ = − τ + ν + β +
∂ ∂ ∂
+ + + ∆ → τ − τ − ν − ν − −
∂ ∂ ∂
o
o
остаток
2 ,( ) ]c cc LN k I V
νν νβ
→ →
νβ νβ ντ− λ β − + ∆ ∆
(10)
– производная, приводящая к равенствам (8) с потерей решений 1 20 и 0LN k LN kνν νβ− = − = ;
1 1 2 2, ,d d dk k k k
ds ds ds
→ → →
→ → → →τ ν β
= ν = − τ+ β = − ν (уравнения Френе без индекса частоты ν ); (11)
1 2 1 2 1 2 2 1и
e e
s s s s
e e dk k k k k k k k
s s s ds→ → ν ν → → β β
→ τ → τ
→ → → →
→ → → → → → → →
ν ν β β
∂ ∂ τ ∂ τ
= = − ν− β = ν+ λ β = − β+ ν = = λ β+ ν
∂ ∂ ∂
(12)
– уравнения (11) для характерных лучей с координатами sν и sβ, когда исходный луч sτ главная
нормаль к остальным, а в общем случае указанные решения (8) выделяются при аналогичном
рассмотрении проекций
→
τ на главные нормали характерных лучей и порядка малости остатка в
уравнении (10); 1 1 2 2 1 2 2, , и ( )s s s sk k k k k k k s
τ τ β ν τ≡ ≡ = = −λ λ = λ – переменные на луче.
Углы Эйлера ,i
→ →
φ = ∠ ξ , ,
→ →
ϕ = ∠ξ τ и ,k
→ →
χ = ∠ β связывают ортонормированные базисы текущий
Френе и абсолютный Декарта при трехмерной группе вращения 1[ ] ([ ] )B A −′= и матрице 1[ ] [ ]A A −=
ортогонального преобразования базиса с помощью равенства ( , , ) ( , , )[ ]i j k A
→ → → → → →
τ ν β = , что прове-
ряется непосредственно, где
→
ξ -орт на пересечении плоскостей ( 0 ) и ( 0 )i j
→ → → →
τ ν ;
cos cos sin sin cos , (cos sin sin cos cos ), sin sin
[ ] sin cos cos sin cos , (sin sin cos cos cos ), cos sin
sin sin cos sin , cos
A
,
φ ϕ− φ ϕ χ − φ ϕ+ φ ϕ χ φ χ
= φ ϕ+ φ ϕ χ − φ ϕ− φ ϕ χ − φ χ
ϕ χ ϕ χ χ
, (13)
( ) ( ) ( ) 0 и 12 2 2
→ → → → → →
τ⋅ ν = ν⋅β = β⋅ τ = τ = ν = ν = – матрица и шесть соотношений ортогональности, причем
для оставшихся трех из девяти связей углов ортов можно написать три уравнения связи, диффе-
ренцируя уравнения Френе [1,8]. Тогда при начальных углах в точке P0 и s = s0, касательном орте
ISSN 0204-3602. Пром. теплотехника, 2010, т. 32, №582
ТЕРМОДИНАМИКА И ПРОЦЕССЫ ПЕРЕНОСА
1 d r d r
c dt ds
→ →
→
ντ
τ = = и его проекциях
c
c
να
α
ντ
τ = следуют шесть известных уравнений интегрирова-
ния натурального уравнения кривой с единственным решением задачи Коши для проекций каса-
тельного орта и углов Эйлера в базисе Декарта в виде [1,8]
cos cos sin sin cos sin cos cos sin cos , sin sindx dy dz,
ds ds ds
= φ ϕ− φ ϕ χ = φ ϕ+ φ ϕ χ = ϕ χ (14)
и 2 1 2 2
sin , sin ctg cos
sin
d d dk k k , k
ds ds ds
φ ϕ ϕ χ
= = − ϕ χ = ϕ
χ
;
а с учетом матриц [A] и [B] уточненная однозначная связь проекций вектора преломления
( , , ) [ ] ( , , )x y zLN LN LN B LN LN LNντ νν νβ ν ν ν′ ′ ′= (15)
в виде линейной системы и, наоборот, для LNνx, LNνy, LNνz [5-7,9].
Однозначность определения трехмерной группы вращения с матрицей (13) следует из одноз-
начности формы луча, представленного натуральным уравнением кривой; однозначности связи
такой кривой с углами Эйлера и проекциями касательного орта в базисе Декарта (уравнения (14)
и (15)); а задание координат и проекций касательного орта на луче по уравнениям (14), в част-
ности, методом ломаных позволяет определить углы Эйлера и проекции вектора преломления в
базисе Френе, включая кривизну и кручение, с последующим уточнением задания.
Пространственный луч в общем случае можно представлять мгновенной суммой двух лучей:
прямого с кручением и плоского с кривизной при заданной суммарной матрице тензора прелом-
ления и трехмерной группе вращения. Пучок плоских лучей (плоскостей) содержит лучи с нуле-
вым кручением (k2 = 0, LNνβ = 0), любой кривизной и постоянными углами плоскости 0φ = φ и
χ = χ0, в которой расположен, а также переменный φ и в пределе прямые лучи без кручения. Пучок
прямых лучей содержит лучи с нулевой кривизной (k1 = 0, LNνν= 0), любым кручением и постоян-
ными углами Эйлера, а лучи без кручения имеют LNνν = LNνβ = 0.
2.2. Граничные условия двух неоднородных сред
При различных тензорах преломления граничные поверхности образуют точки разрыва ре-
гулярности криволинейных лучей света, где луч теряет свойства простой дуги (топологическая
эквивалентность отрезку прямой и непрерывное вращение касательной [1,7,8]).
В точке границы Р с касательной плоскостью и нормалью, индексом падающего n = 1, отра-
женного n = 2 и преломленного n = 3 лучей, свойствами границы (скольжение луча на плоскости,
изотропная симметрия, принцип Ферма) уравнения (1) и (2), представленные в виде [7]
2
0 0 0 0
0
idem, 1 и div( )y2 2 2 x z
z 0x 0y 0z x y z
xx yy zz
LNLN LN cK D
n n n c
→
νν ν ν
ν ν
ν ν ν
τ = τ + τ = − τ ≡ τ + τ = − τ − ≡ , (16)
позволяют определить вектор скорости на отраженном и преломленном лучах с углами сферичес-
кой системы координат, отсчитываемыми от проекции скорости падающего луча на касательную
плоскость 1n=∆φ = φ−φ и плоскости θ с учетом sin sin sinzντ = θ = ϕ χ и однозначной связи лучей в
базисах Френе (общее начало всех базисов, ось z совпадает с нормалью к плоскости).
Скорости излучения в точке границы можно искать, используя ортогональные преобразова-
ния типа (13) поля скоростей падающих лучей к полям отраженных и преломленных лучей, при
наличии соответственно тензоров скольжения Mνk и Λνk, элементы которых следует задавать.
На каждой стороне касательной плоскости первое уравнение (16) можно считать заданием
ISSN 0204-3602. Пром. теплотехника, 2010, т. 32, №5 83
ТЕРМОДИНАМИКА И ПРОЦЕССЫ ПЕРЕНОСА
квадрата параметра, второе суммой квадратов проекций единичного вектора опорного луча
0 0
0 0 0
0 0 0 0 0 0
при sin sin параметрz z
0 z zz zz
c c c c c cN n n n
c c c c c c
→ →
ντ α να ν ντ
ν α ναα ν ν ν
τ = τ τ ≡ = τ ≡ = θ = = θ −
(17)
и третье его скалярным произведением с вектором, типа преломления.
При этом уравнения (16) представляются квадратным алгебраическим уравнением с пара-
метром, его решения дают проекции единичного вектора опорного луча на оси касательной пло-
скости, определяющие полностью все его характеристики соответственно в виде:
2 2
2 2 2 2
2 2
00
2 2 2 2
2 2
0 0 0 0
0
( ) [( ) ( ) ] 1 ( ) [( ) ( ) ] 1
, ,
( ) ( ) ( ) ( )
( ) 1 и (
y y y yx x x x
xx yy xx yy yy xx xx yyyx
y yx x
xx yy xx yy
z
z zz x y xy
LN LN LN LNLN LN K LN LN K
n n n n D n n n n D
LN LNLN LND D
n n n n
cn n
c
ν ν ν νν ν ν ν ν ν
ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν
ν νν νν ν
ν ν ν ν
ν
ν ν
± + − + −
ττ
= =
+ +
τ ≡ = − τ − τ τ ≡
m
2 2
0 0
0
) ,xy
xy x y
c
c
ν = τ + τ
(18)
а также 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0cos и sin , или tg / / и tg / /x z y x y x z xy z xyc c c c∆φ = τ θ = τ ∆φ = τ τ = θ = τ τ = ;
как и единичного вектора луча в среде, включая показатель преломления вдоль проекции луча:
0 00 0 0 0 0 0, , и ,y y xy xyx x z z
x y z xy
xx yy zz xy
c cc c c c c c
c c n c c n c c n c c n
ν νν ν
ν ν ν ν
ντ ντ ν ντ ντ ν ντ ντ ν ντ ντ ν
τ ττ τ
τ = = τ = = τ = = τ = = (19)
а также 0 2 2 2 2
0 0 2
, ,0 0 0 0
1tg tg , tg tg , ( ) ( ) , ( ) 1 (1 )( )xy xy xyxx
xy
x y zyy zz
n c cn c cn n
n n c c c n c
ν νν ντ να
ν ν ν ναα
α=ν ν ναα
∆φ = ∆φ θ = θ = = − −∑
и
изотроп-
2 2 2 2 2 2 2ная среда
2
,
1( ) 1 (1 )( ) ( cos sin )
n
,
xy xx yy n
x y xy
cn n n n n
n c ναα= ν
να
ν ναα ν ν ν ν ν
α= ναα ν
= + − = ∆φ + ∆φ =∑ , (20)
где знаки перед радикалами определяются по второму уравнению (16); а одноименные лучи од-
ной среды (падающие, отраженные) имеют равные модули параметров. Совпадение решений (16)
для падающих лучей первой среды соответствует нулевому значению детерминантов; а полное
внутреннее отражение отсутствию решений второй и, наоборот.
В специальной системе координат с осями τ0α решения (16) в общем случае интерпретиру-
ются четырьмя узловыми точками k = 1;2;3;4 на поверхности единичного радиуса сферы, которые
выделяются пересечением плоскостей, из которых две наклоненных и симметричных с заданной
дивергенцией скорости, а две горизонтальны с различными искомыми параметрами в уравнени-
ях; или круговых конусов с вершинами в начале координат, из которых один наклоненный двупо-
лостный с осью на векторе типа преломления, а два однополостных с искомыми параметрами и
осями на нормали. Односторонние падающие и отраженные лучи объединяются в пары и обра-
зуют ломаные лучевые линии со знаками плюс перед радикалами в узловых точках k = 1 (n = 1) и
k = 2 (n = 2), а минус в точках k = 4 и k = 3 для проекций τ0x и, наоборот, τ0y.
Отсчет углов Δφνk задается главным падающим лучом (k = 1) при условии τ0y = τνy = 0, или
2 2 2 2 2 2 21( ) при [( ) ( ) ] 0, ( ) ( ) 0 и 0,y yx x x
xx yy xx yy xx
LN LNLN LN LND K D D K
n n n D n n
ν νν ν ν
ν ν ν ν ν
ν ν ν ν ν ν
= + ≠ = = = = = что вместе с норма-
лью определяет локальный базис Декарта, параметр τ0z и τ0xy (скорости в среде и вакууме лежат в
одной плоскости, 0 0ν∆φ = ∆φ = ), а также второй падающий луч k = 4.
ISSN 0204-3602. Пром. теплотехника, 2010, т. 32, №584
ТЕРМОДИНАМИКА И ПРОЦЕССЫ ПЕРЕНОСА
На обеих сторонах касательной плоскости при одном общем направлении координатной оси
вдоль нормали и положительном отсчете углов узловые точки нумеруются и располагаются ана-
логично на сферах первой (z > 0) и второй (z < 0) среды: в первой среде четырем параметрам соот-
ветствует по два опорных луча падающих (k = 1 и k = 4, параметр отрицательный) и отраженных
(k = 2 и k = 3, параметр положительный); во второй то же при противоположных знаках параме-
тров, где отраженные лучи второй среды являются преломленными для первой.
Заданный падающий в точке P на границе луч первой среды (n =1) содержит параметр уз-
ловой точки k = 1 и при наличии трех соответствующих отношений параметров восьми узловых
точек двух сред позволяет определить четыре ломаных лучевых линии, связанных с указанным
падающим лучом. Очевидно, что три неизвестных отношения параметров связаны с углами θ на
граничной поверхности в узловых точках, как законы отражения и преломления.
Проекции одноименных единичных опорных векторов двух сред узловой точки k связыва-
ются тензором скольжения преломленных лучей Λ0k, а разноименных одной среды соседних
k = 1 и k +1 = 2 (k = 4 и k +1 = 3) тензором отраженных M0k, имеющих диагональные матрицы
[λ0αα]k и [μ0αα]k, а связи лучей в среде тензорами Λνk и Mνk с матрицами [λναα]k и [μναα]k.
Поле скоростей излучения в точке границы можно искать, используя ортогональные преоб-
разования поля падающих лучей к полям отраженных и преломленных при наличии соответст-
вующих тензоров скольжения лучей на границе второго ранга [Mνk] и [Λνk].
Базис Френе каждого падающего луча в первой среде k = 1 (k = 4) при переходе к отраженным
лучам k = 2 и k = 3 необходимо развернуть в исходном базисе Декарта на соответствующие углы
2 2 1∆φ = φ −φ , Δχ2 = χ2 - χ1 и Δφ2 = φ2 - φ1 с учетом матрицы скольжения [Mνk]; затем аналогично
во второй среде развернуть базис Френе каждого падающего луча k = 1 (k = 4) и определить углы
разворота отраженных (преломленных) лучей k = 2 и k = 3 с учетом матрицы скольжения [Λνk];
причем необходимо совпадение конечных углов поворота содержащих оси z плоскостей отражен-
ных и преломленных частей ломаных лучей в обеих средах.
Коэффициенты скольжения – элементы матриц дают связи скоростей-столбцов в виде:
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0( ) [ ] ( ) и ( ) [ ] ( ) при [ ] [ ] [ ] [ ]z z z z z z
k k k k k k k k k kc c c c n n< > < > > <
α αα α να ναα να αα ναα ναα ναα′ ′ ′ ′= λ = λ λ = λ ; (21)
idem idem idem idem
0 1 0 0 1 0( ) [ ] ( ) и ( ) [ ] ( ) при [ ] [ ]z z z z
k k k v k k v k k kc c c c= = = =
α + αα α α + ναα α αα ναα′ ′ ′ ′= µ = µ µ = µ ; (22)
а ввиду симметрии уравнений (22) при различном направлении обхода четырех узловых точек
0 0 0 0
0 0 0 0 1 1[ [ ] [ ] [ ] и [ [ ] [ ] [ ]z z z z
k k k k xy k xy k xy k xy k
< > < >
αα αα αα αα + ν ν ν ν +µ λ = µ λ µ λ = µ λ , (23)
где 0 0и ; иz z z z
k k xy k xy kc c c cα να ν – проекции скоростей на оси и плоскость, а 0 0, 1 0k k k+∆ ≡ ∆φ −∆φ –
углы поворота; idem, и z
kx, y z =α = – координаты точки и индексы узловой точки со средой. Связь
коэффициентов скольжения и углов поворота дается равенствами вида (20) соответственно:
2 2 2 2 2 2 2 0 2 0
0 0 , 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0, 1 0 0 0 0, 1 0 0
0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
cos sin и cos sin
при cos cos , sin sin и
cos cos , sin sin
2 z 2 z
xyk xx k k yyk k xyk xxk k yyk k
xyk k xxk k xyk k yyk k
z 0 z z
xyk k xxk k xyk k yyk
> >
+ +
< > <
µ = µ ∆φ +µ ∆φ λ = λ ∆φ + λ ∆φ
µ ∆φ = µ ∆φ µ ∆φ = µ ∆φ
λ ∆φ = λ ∆φ λ ∆φ = λ ∆φ 0 .z
k
>
Условия: 0 0 0 0 0 0иxxk yyk k xxk yyk kλ = λ = λ µ = µ = µ – дают углы 0 0
0 0 0, 1 0, ,z z
k k k k
< >
+∆φ = ∆φ ∆φ = ∆φ
соответствующие лучи в одной плоскости; ( )0 0 0 0, ,xxk yyk k xxk yyk k k kν ν ν ναα ααλ = λ = λ λ = λ = λ µ µ –
одновременно существуют при изотропных средах, а все лучи в одной плоскости – однородных.
ISSN 0204-3602. Пром. теплотехника, 2010, т. 32, №5 85
ТЕРМОДИНАМИКА И ПРОЦЕССЫ ПЕРЕНОСА
Для соседних узловых точек k и k+1 с одним тензором преломления в среде, четырьмя про-
екциями на нормаль, учетом связей (19) и (22), а также дивергенции падающих и отраженных
скоростей третье уравнение (16) можно записать в обобщенном виде
0 0 10 при ,k xy k z k k k kLN MT N MT DC DC DC DCµ µ µ µ µ µ ++ − = ≡ − = (24)
аналогично в узловых точках k среды с двумя различными тензорами преломления записать
0
0 00 при z
k xy k z k k kLN MT N MT DC DC DC <
λ λ λ λ λ λ+ − = ≡ − ; (25)
где 0 0 0 , 1 0 0 0 , 1 , 1 , 1, , / / ,xy xyk xyk xy k z zzk zk z k k z k zz k zk zzkMT MT N LN n LN nµ + µ + µ ν + ν + ν ν≡ µ τ = τ ≡ µ τ = τ ≡ =
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0, 1 0 00, 1 0 0
0 0
0
, , / ,
sin sincos cos ,
cos
z z z z z z
xy xyk xy k xy k z zzk z k z k k z k zz k
yk k yk yyk kxk k xk xxk k
k
xxk yyk xxk xyk yyk xyk
x
k
xx
MT MT N LN n
LN LNLN LNLN
n n n n
LNLN
n
> < > < > >
λ λ λ ν ν
ν + νν + ν
µ
ν ν ν ν
ν
λ
ν
≡ λ τ = τ ≡ λ τ = τ ≡
∆φ µ ∆φ∆φ µ ∆φ
≡ + = +
µ µ
∆φ
≡ + 0 0 00 00 0
0 0 0
sin sincos и div .y y yyz zx xx k
k k k
yy xx xy yy xy
LN LNLN cDC
n n n c
→
ν ν< >ν ν
ν ν ν
∆φ λ ∆φλ ∆φ
= + ≡
λ λ
Тогда опуская индексы μ и λ, а также используя первое уравнение и проекции единичного
вектора MTz и MTxy при его модуле 2 21 xy zMT MT= + , можно найти величины
2 2 2 2 2 2
0 0 0 0
2 2 2 2и ,k k k k k k k k k k k k
xy z
k k k k
DC LN N N LN DC DC N LN N LN DC
MT MT
N LN N LN
± + − + −
= =
+ +
m (26)
где MTxy – задаются коэффициентами 0xykµ и 0xykλ ; 2
0( 1 ) /k k k xy xyLN DC N MT MT= − − и 21z xyMT MT= −
– определяют ( )0
0, 1 0 0 0, ,z
k zzk k zzk
<
+∆φ µ ∆φ λ , знаки радикалов уравнения модуля.
Задавая последовательно 00, 0 и 0k k kN LN DC= = = , можно получить частные решения (26)
соответственно, 2 2 2
0 0/ , 1 /xy k k xy k kMT DC LN MT DC N= = − и неопределенность 0 / 0xyMT = . Так, с коэф-
фициентами скольжения 0 0 0 1xxk yyk xykµ = µ = µ = уравнения (24) и (26) допускают существование:
во-первых, при div 0 0 и 0k z zkc LN LN c
→ →
νν ν ν
≠ ≠ ≠
только двух лучей в одной вертикальной пло-
скости неоднородной среды с кручением и 0 1 2div / ( )zzk k z zkc LN c
→
ν ν νµ = + , в частности,
( )2 idem idem
0 0 ; 1 0 ; 11 idem, idem2 z 2 z
zzk z k k xy k k
= =
+ +µ = τ = τ = и ; 1v k vk+λ = λ с интерпретацией решений (18) и одном
вертикальном двуполостном конусе; во-вторых, предельных при div 0 0kc LN
→ →
νν
= =
лучей без
кручения и прямолинейных с постоянной скоростью и неопределенными 0 kααµ в однородной сре-
де или с постоянными элементами тензора преломления в неоднородной.
В результате, решения уравнений (16) по известному параметру заданного падающего луча
(n = k = 1) позволяют определить параметры остальных падающих лучей, ввиду совпадения их
модулей или уравнений (19) и (22); а по проекциям единичных векторов опорных лучей одной
среды и по представляющим свойства границы их коэффициентам скольжения λ0xyk и μ0xyk, как и
лучей в среде λνααk и μνxyk, можно согласовать параметры и определить по уравнениям (25) и (26)
проекции таких же векторов в другой среде; причем 0 0 1z z
xy k xy k
> <
ν νµ = µ = и , 1 1xyk xy kν ν +λ = λ = – усло-
вия симметричного («зеркального») продолжения на касательной плоскости соответствующих
решений с параметром уравнений (16) и (19) для лучей двух сред.
Уравнения (22) и (26) дают отношения трех параметров двух сред в точке границы, а также
связь углов, которые образуют лучи с касательной плоскостью (нормалью) и переписываются как
ISSN 0204-3602. Пром. теплотехника, 2010, т. 32, №586
ТЕРМОДИНАМИКА И ПРОЦЕССЫ ПЕРЕНОСА
обобщенные законы отражения (27) и преломления (28) для опорных лучей и лучей в среде:
0, 2 , 1
0, 2 1 0 0 1 2 1 1
0 , 1 0
( / )
sin ( sin ) и [ ](sin ) ( ) (sin )zn n
n z n zz n n n n
zz n zz zz
c MTc c
MT
c n
µντ = ντ =
= µ = = ν = = ν =
= ντ ν
θ = = µ θ θ = = θ
µ µ
, (27)
, 3 , 11
0 , 2 0, 3 1 0 0 1 3 1
0 , 1 0 , 2
( / )
cos ( cos ) и [ ]( cos ) ( cos )
( )
n n
xy n n xy n xy n xy n xy n
xy n xy n
c c
MT n nντ = ντ =−
= = λ = = ν ν = ν ν =
= =
λ θ = = µ θ θ = θ
µ λ
; (28)
2 0 , 10 , 1
2, 3 22 изотропное правильное 22 1
отражение 1
0 1 0 , 1 0 , 2 0 , 1 3
( cos )( / )( )
[ ] 1 и [ ] [ ] 1
( ) ( cos ) xy nzz n
xy nn n 2,n ,n
zz,n xy n xy n xy n xy n
nc cc / c
n ==
ν ν =ντ = ντ =ντ = ντ =
µµ =
= = = = ν ν =
θ
= = =
µ µ λ µ θ , (29)
где равенства (29) следуют при частных значениях коэффициентов скольжения ( idem idem
, 1
z z
k kn n= =
ναα + ναα= ).
Последние уравнения (28) и (27) обобщают обычные (правильные [1-4]) законы преломления и
отражения, когда модуль множителя в квадратных скобках единица, что соответствует 0 , 1 1xy n=µ =
и в изотропном пространстве 2
0 , 1 1zz n=µ = , включая предельный случай однородной первой среды
при одновременном выполнении обоих условий.
В неоднородных изотропных пространствах при разделении луча на границе и единичных
коэффициентах скольжения μ0zz модули скорости в среде не зависят от направления, а углы ∆φ
и θ определяются уравнениями (22), (23) и решениями (26). Однородные пространства представ-
ляются предельными решениями изотропных пространств, когда третье уравнение (16) с дивер-
генцией тождество и совпадают опорные лучи вакуума и среды, как и плоскости падающего,
преломленного и отраженного лучей (полная изотропная симметрия). При этом на граничной
поверхности справедливы известные методы расчета геометрической оптики с использованием
двух показателей преломления (закон Снеллиуса, принцип Ферма) [1-4].
Пример, винтовой луч – геодезическая линия на цилиндрической поверхности (прямая,
модифицированный принцип Ферма), имеет k1 = λk2, λ = ctgα = const и единичный вектор
cos sin constn
→ → →
= τ α + β α = , где касательная к лучу и параллельная вектору образующая поверх-
ности имеют постоянный угол пересечения α [6-8]. При известных двух тензорах преломле-
ния в точке границы P со свойствами 0 , 1 0 , 1 1xy n zz n= =µ = µ = можно выбрать главный падающий луч
(n = k = 1) в среде с углами Эйлера φ = −α ( 0∆φ = – изначально ось x и образующая сов-
падают), φ = θ и χ = -π/2 при параметре τvz =sinφsinχ = -sinθ, что позволяет найти α, k1, k2 и
LNντ по уравнению винтовой линии, проекциям вектора преломления в базисе Декарта
и (15) α = arctg(k1/k2), k1 = -LNνxsinαcosθ + LNνysinαsinθ + LNνzcosα, k2 = -LNνxsinθ - LNνycosθ,
LNντ = LNνxcosαcosθ - LNνycosαsinθ + LNνzsinα и наоборот. При изотропной первой среде показа-
тели преломления и скорости в ней во всех направлениях равны, а законы (27) - (29) на границе
0, 2 0, 1 , 2 , 2 0 , 2 0, 3 0, 1, , cos cosn n n n xy n n n= = ν = ν = = = =θ = θ θ = θ λ θ θ и 3 1( cos ) ( cos )xy n xy nn nν ν = ν ν =θ = θ , что обеспечивается
поворотом отраженных и преломленных лучей согласно (24) - (26) для опорных лучей
первой среды (n = k = 1, k = 4 – падающих; n = k = 2, k = 3 – отраженных) и второй (падаю-
щих; преломленных) с поворотом вокруг оси z ( 0,k 1+∆φ ), которые определяют направления лу-
чей в средах по (20), а по (14) и (15) углы Эйлера и винтовые лучи, даже в изотропной вто-
рой среде; в частности, когда 2
0 1zzkµ = и ; 1v k vk+λ = λ совпадают направления одноименных лучей,
причем xxk yyk kν ν νµ = µ = µ и 0 0 0xxk yyk kλ = λ = λ сводят все лучи в одну вертикальную плоскость.
3. Заключение
Тензор преломления неоднородной среды, а также тензоры скольжения отраженных и пре-
ломленных лучей на границе двух сред должны задаваться; так как определяют транспортные
ISSN 0204-3602. Пром. теплотехника, 2010, т. 32, №5 87
ТЕРМОДИНАМИКА И ПРОЦЕССЫ ПЕРЕНОСА
уравнения переноса энергии излучения, законы
отражения и преломления на границе; причем:
1. Влияние неоднородной (анизотропной)
сплошной среды на скорость распростране-
ния излучения (света) учитывается с помощью
тензора преломления второго ранга, элементы
которого в общем случае зависят от времени и
которому соответствует векторный показатель
преломления, направление скорости отличает-
ся от опорного прямого луча в вакууме, а ме-
тоды традиционной геометрической оптики
обобщаются; при этом обычные свойства ва-
куума обеспечивают тензору преломления диа-
гональную матрицу, уравнение неразрывности
луча и закон Кирхгофа с локальным термоди-
намическим равновесием вдоль каждого луча.
2. В транспортных уравнениях спектральной
яркости и полной плотности энергии излучения
используются проекции вектора преломления в
базисе Френе, которые однозначно связаны с
кривизной и кручением регулярного луча, а так-
же обменом энергии излучения между лучами.
3. Существует однозначная связь натураль-
ного уравнения криволинейного луча в базисе
Френе с тензором преломления в базисе Декар-
та и взаимосвязь лучей в транспортных уравне-
ниях, исчезающая в случае однородной среды;
причем пространственный луч представляет-
ся мгновенной суммой прямого с кручением
и плоского при сохранении матрицы тензора
преломления; рассмотрены случаи криволи-
нейного плоского и прямолинейного луча с
кручением и без него, трехмерного в виде гео-
дезической (прямой) линии на цилиндрической
поверхности.
4. Граничные поверхности определяются
точками разрыва регулярности лучей двух сред,
а граничные условия – двумя коэффициента-
ми скольжения отраженных и преломленных
лучей, включая симметричное («зеркальное»)
продолжение решений уравнений скоростей на
границе.
5. В общем случае тензоров преломления су-
ществуют по два аналитических решения урав-
нений скоростей излучения отраженных и пре-
ломленных лучей на граничной поверхности,
которым дана геометрическая интерпретация,
включая решения в изотропном пространстве.
6. Приведены обобщенные законы отражения
и преломления опорных лучей и лучей в сре-
де; показан частный характер принципа Фер-
ма, используемого в геометрической оптике.
Представленный выше подход исследова-
ния излучения позволяет получить новые и ин-
терпретировать существующие представления
в различных разделах физики и динамике из-
лучающего газа, в частности, объяснить неста-
ционарный эффект неопознанных летающих
объектов.
ЛИТЕРАТУРА
1. Основные формулы физики // Под редак-
цией Мензела Д. – М.: ИЛ, 1957. – 658 с.
2. Кутателадзе С.С. Основы теории тепло-
обмена. – М.: Атомиздат, 1979. – 416 с.
3. Сивухин Д.В. Оптика (Общий курс физи-
ки). – М.: Наука, 1985. – 752 с.
4. Бай-Ши-И. Динамика излучающего газа.
– М.: Мир, 1968. – 350 с.
5. Репухов В.М. Система уравнений-
условий преобразования общих транспортных
уравнений сложного (радиационного и кон-
вективного) тепломассопереноса к простей-
шему виду // Проблемы газодинамики и тепло-
массообмена в ракетно-космической технике:
Тр. XVII школы-семинара молодых ученых
и специалистов – М.: МЭИ, 2009. – Т. 1. –
С. 34-37.
6. Репухов В.М., Сигорских С.В. Перенос
энергии излучения в неоднородной среде //
Новi технології. – 2009. – вып. 25, № 3. – С. 3-8.
7. Репухов В.М., Сигорских С.В. Радиацион-
ный перенос энергии в неоднородной среде //
Пром. теплотехника. – 2009. – вып. 31, № 5. –
С. 88-96.
8. Фиников С.П. Дифференциальная геоме-
трия. – М.: Изд. МГУ, 1961. – 158 с.
9. Гельфанд И.М. Лекции по линейной ал-
гебре. – М.: Наука, 1971. – 280 с.
Получено 01.10. 2009 г.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-60610 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0204-3602 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:24:47Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Інститут технічної теплофізики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Репухов, В.М. Сигорских, С.В. 2014-04-17T17:38:28Z 2014-04-17T17:38:28Z 2010 Радиационный перенос энергии на границе неоднородных (анизотропных) сред / В.М. Репухов, С.В. Сигорских // Промышленная теплотехника. — 2010. — Т. 32, № 5. — С. 79-87. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 0204-3602 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/60610 536.24:533:532.526:533.001.16 Представляется однозначная связь свойств анизотропной среды (тензора преломления) с формой регулярных лучей, их кривизны и кручения с переносом энергии излучения в непрерывной среде и на границе двух сред. Рассмотрены граничные условия, законы на поверхности разрыва регулярности лучей и различные их формы. Подано однозначний зв'язок властивостей анізотропного середовища (тензора переломлення) з формою регулярних променів, їх кривизною та крученням з переносом енергії випромінювання в неперервному середовищі і на мережі двох середовищ. Розглянуто граничні умови, закони на поверхні розриву регулярності променів і різноманітні їх форми. The unique connection of the aelotropic medium properties (refraction thensor) with the ray regulary form, it’s curvature and twist with transport of the energy radiation in the continious medium and on the boundary surfase of two mediums are established. The boundary conditionals, the laws on the ray regularity discontinuty surface and it’s different forms are considerated. ru Інститут технічної теплофізики НАН України Промышленная теплотехника Термодинамика и процессы переноса Радиационный перенос энергии на границе неоднородных (анизотропных) сред Radiation transfer of the energy on the surface nonunifom (aelotropic) mediums Article published earlier |
| spellingShingle | Радиационный перенос энергии на границе неоднородных (анизотропных) сред Репухов, В.М. Сигорских, С.В. Термодинамика и процессы переноса |
| title | Радиационный перенос энергии на границе неоднородных (анизотропных) сред |
| title_alt | Radiation transfer of the energy on the surface nonunifom (aelotropic) mediums |
| title_full | Радиационный перенос энергии на границе неоднородных (анизотропных) сред |
| title_fullStr | Радиационный перенос энергии на границе неоднородных (анизотропных) сред |
| title_full_unstemmed | Радиационный перенос энергии на границе неоднородных (анизотропных) сред |
| title_short | Радиационный перенос энергии на границе неоднородных (анизотропных) сред |
| title_sort | радиационный перенос энергии на границе неоднородных (анизотропных) сред |
| topic | Термодинамика и процессы переноса |
| topic_facet | Термодинамика и процессы переноса |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/60610 |
| work_keys_str_mv | AT repuhovvm radiacionnyiperenosénergiinagraniceneodnorodnyhanizotropnyhsred AT sigorskihsv radiacionnyiperenosénergiinagraniceneodnorodnyhanizotropnyhsred AT repuhovvm radiationtransferoftheenergyonthesurfacenonunifomaelotropicmediums AT sigorskihsv radiationtransferoftheenergyonthesurfacenonunifomaelotropicmediums |