Достовірність результатів опрацювання геодезичних даних методом скінченних елементів
Проаналізовано проблеми достовірності результатів опрацювання геодезичних даних методом
 скінченних елементів. Розкрито деякі оптимізаційні рішення і перспективи методу. Проанализированы проблемы достоверности результатов обработки геодезических данных
 методом конечных...
Saved in:
| Published in: | Геодинаміка |
|---|---|
| Date: | 2012 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут геофізики ім. С.I. Субботіна НАН України
2012
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/60658 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Достовірність результатів опрацювання геодезичних даних методом скінченних елементів / О.О. Тадєєва, О.А. Тадєєв, П.Г Черняга // Геодинаміка. — 2012. — № 2(13). — С. 28–33. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860196968668594176 |
|---|---|
| author | Тадєєва, О.О. Тадєєв, О.А. Черняга, П.Г. |
| author_facet | Тадєєва, О.О. Тадєєв, О.А. Черняга, П.Г. |
| citation_txt | Достовірність результатів опрацювання геодезичних даних методом скінченних елементів / О.О. Тадєєва, О.А. Тадєєв, П.Г Черняга // Геодинаміка. — 2012. — № 2(13). — С. 28–33. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Геодинаміка |
| description | Проаналізовано проблеми достовірності результатів опрацювання геодезичних даних методом
скінченних елементів. Розкрито деякі оптимізаційні рішення і перспективи методу.
Проанализированы проблемы достоверности результатов обработки геодезических данных
методом конечных элементов. Раскрыты некоторые оптимизационные решения и перспективы метода.
The problems of reliability of results of processingof geodetic data by finite element method are 
analyzed. Some optimized solutions and prospects of the method are disclosed.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:09:11Z |
| format | Article |
| fulltext |
Геодинаміка 2(13)/2012
© О.О. Тадєєва, О.А. Тадєєв, П.Г. Черняга, 2012 28
УДК 551.24:528.2/3 О.О. Тадєєва1, О.А. Тадєєв1, П.Г Черняга2
ДОСТОВІРНІСТЬ РЕЗУЛЬТАТІВ ОПРАЦЮВАННЯ ГЕОДЕЗИЧНИХ ДАНИХ
МЕТОДОМ СКІНЧЕННИХ ЕЛЕМЕНТІВ
Проаналізовано проблеми достовірності результатів опрацювання геодезичних даних методом
скінченних елементів. Розкрито деякі оптимізаційні рішення і перспективи методу.
Ключові слова: модель; суцільне середовище; лінійна деформація; метод скінченних елементів;
надлишкові виміри; метод найменших квадратів.
Постановка проблеми
та її зв’язок з важливими науковими
та практичними завданнями
Вивчення сучасного деформованого стану зем-
ної кори та її фізичної поверхні – один з акту-
альних напрямів геодинамічних досліджень, які
проводяться з метою опису та прогнозування су-
часних геологічних процесів і встановлення зако-
номірностей розвитку структур земної кори. Гео-
динамічні дослідження спираються на результати
різностороннього моніторингу верхніх горизонтів
земної кори. Геодезичний моніторинг – основне
джерело кількісної інформації про сучасні рухи
земної поверхні. Традиційно його результати
подають картами векторів зміщень або
швидкостей руху фізичної поверхні Землі. Такі
результати забезпечують наочність та числове
представлення рухів геологічних структур, але не
задовольняють умову інваріантності: величини та
різні співвідношення, які мають геометричний чи
фізичний зміст, не повинні залежати від вибору
системи координат або її початку. У зв’язку з
необхідністю дотримання цієї умови впродовж
останніх десятиліть під час опрацювання та інтер-
претації геодезичних даних широкого застосу-
вання набув метод скінченних елементів. Його
запровадження відкрило нові перспективи інтер-
претації результатів геодезичних спостережень і
опису деформованого стану земної поверхні.
Аналіз попередніх досліджень
В аспекті поставленої проблеми метод скін-
ченних елементів вперше використали японські
вчені для інтерпретації результатів повторних
спостережень тріангуляційної мережі після ката-
строфічного землетрусу Канто-Токай у 1929 р.
[Terada, 1929; Tsuboi, 1933]. На пострадянських
теренах метод масово застосовується з 1979 р.
завдяки науковим напрацюванням М.П. Єсікова
[Есиков, 1979]. З того часу запропоновано різні
модифікації методу, які стосуються, здебільшого,
розширення можливостей його використання для
опрацювання різних вихідних даних, зокрема, не
лише координат пунктів, а й прямих результатів
вимірювань. Серед вітчизняних досліджень потріб-
но виділити теоретичні розробки і деякі практичні
результати, які узагальнено в [Марченко, 2012].
Постановка завдання
Метою роботи є аналіз аспектів інтерпретації
геодезичних даних методом скінченних елементів,
визначення умов, які знижують інформативність
та достовірність результатів і спричиняють
формальні наслідки, а також обґрунтування
оптимізаційних рішень за таких умов.
Методика досліджень
Метод скінченних елементів ґрунтується на
класичній теорії лінійної деформації суцільного
середовища. Суцільне середовище є спрощеною
моделлю фізичних тіл, яка передбачає неперерв-
ність розподілу речовини у нескінченно малому
об’ємі. Гранично, якщо об’єм прямує до точки,
маємо матеріальну частинку суцільного середови-
ща з його середніми фізико-механічними власти-
востями. Вона є точкою простору і переміщується
внаслідок деформації. Такій матеріальній частинці
притаманні одночасно властивості точки, і тіла.
Фізичний зміст має не деформація у точці, а се-
редня деформація елементарного об’єму. Матема-
тичний опис переміщень і деформацій нескінчен-
но малих об’ємів здійснюється методами механіки
суцільного середовища [Ландау, 1953]. Переміщен-
ня нескінченно малого об’єму iju – це границя
j
i
l
ij l
u
u
0
lim , (1)
де l відстань між точками фізичного тіла;
u їх відносне переміщення. За умовою теорії
лінійної деформації, якщо зменшується l ,
відношення Δu/Δl змінюється несуттєво і такою
зміною можна нехтувати Тоді порядок відстані
визначає величину об’єму та його середню
лінійну деформацію. За таких умов деформація є
однорідною – площини і прямі залишаються
такими ж після деформації, а просторові фігури,
які вони утворюють, зберігають свою
геометричну подібність. Однорідна деформація
постійна для усіх точок об’єму у визначеному
напрямі. Деформацію елементарного тіла довіль-
ної геометричної форми повністю визначають
переміщення його вершин. Вони утворюють
векторне поле і є функціями координат вершин.
Такі функції лінійні, якщо деформація однорідна.
Уніфікованим носієм інформації про однорідну
лінійну деформацію тіла скінченних гео-
метричних розмірів є тензор деформації –
фізичний та геометричний об’єкт, сформований
сукупністю коефіцієнтів лінійного перетворення
вигляду
Геодезія
29
n
i
iii lulfu
1
)( , (2)
де u – вектор переміщення вершини; il – осі
ортонормованого базису ),,,( 21 nlll евклідового
простору nL ; iu – скалярні складові вектора у
цьому базисі. Симетрична складова частина тен-
зора деформації різними параметрами описує змі-
ну метричних властивостей елементарного об’єму.
Зокрема, ізотропні властивості описує дилатація
, а девіаторні – головні параметри деформації,
які називають зсувними: максимальне розширення
1E в азимуті , мінімальне розширення 2E та
зсув m . Кососиметрична складова тензора ве-
личиною кута виражає обертання елемента
середовища в площинах прийнятого координат-
ного простору.
Тензор, як математичний об’єкт, існує неза-
лежно від системи координат. Його компоненти
можуть мати різні значення у різних системах.
Але якщо вони задані в одній системі, то будуть
визначені і в будь-якій іншій, оскільки визначення
цього об’єкта містить у собі закон перетворення
його компонент. Тензор можна сформувати не
лише для лінійного перетворення, а й для білі-
нійних чи інших нелінійних форм, але це потребує
зміни умови (1). Використання тензорного аналізу
для опису деформації середовища забезпечує від-
ділення ефектів, пов’язаних з його геометричними
формами, від ефектів, зумовлених випадковим
вибором координатних систем. Така властивість
тензора визначає принцип інваріантності [Мак-
Коннел, 1963].
Суцільне середовище вивчають, встановлюючи
співвідношення середніх значень величин,
пов’язаних з його нескінченно малими еле-
ментами. Якщо збільшується кількість елементів,
такі співвідношення перетворюються на системи
диференціальних чи інтегральних рівнянь, які
описують стан середовища загалом. Оскільки це
елементи скінченних розмірів, то можна вважати,
що середовище апроксимується дискретною
моделлю. Тут найчастіше залучають метод
скінченних елементів – систематичний спосіб
апроксимації неперервної функції дискретною
моделлю, яка є множиною значень функції у
деякому скінченному числі точок області її
визначення спільно з кусковим представленням
цієї функції на скінченній кількості підобластей.
Такі підобласті називаються скінченними
елементами, а їх найпростішою моделлю є симп-
лекс. При симплексному представленні однорідні
локальні поля переміщень вершин апроксимують
лінійними функціями їх координат, а відповідні
тензори відносять до геометричних центрів
симплексів. Кускова апроксимація функції на
скінченних елементах дозволяє розглядати їх
незалежно один від одного, а сполучення вершин
сусідніх елементів забезпечує неперервність і
сумісність деформації на їх спільній границі
[Есиков, 1979].
Розкриті елементи загальної теорії лінійної де-
формації суцільного середовища застосовують в
умовах земної кори. Ця теорія розроблена без-
відносно до властивостей середовища, вона є
виключно геометричною теорією. Єдиною необ-
хідною умовою є неперервність і сумісність де-
формації. Якщо припустити, що верхні горизонти
земної кори деформуються, то потрібно брати до
уваги, що в ній не виникають порушення суціль-
ності, а точки, які в початковому стані були су-
міжними, залишаються такими і після деформації.
За таких умов під деформацією кори розуміють
зміну форми та об’єму її структур, які асоціюють-
ся зі скінченними елементами. Скінченні елементи
є фізично малими величинами. Разом з тим, вони
мають бути представницькими. Отже, їх власти-
вості не повинні залежати від розмірів. Надмірним
зменшенням розмірів елементів в умовах земної
кори можна описати лише локальні деформації,
зумовлені екзогенними процесами, а виявити за-
гальні тенденції досить складно. Протилежний
результат забезпечують розміри елементів вели-
кого порядку. Тож практично, встановлюючи
розміри скінченних елементів приймають ком-
промісне рішення, з урахуванням змісту поставле-
ного завдання, детальності досліджень і умови
однорідності деформації (1).
Геодезичні способи моніторингу геодинаміч-
них процесів наклали відбиток на вибір
скінченних елементів. Здебільшого для опрацю-
вання беруть результати повторних спостережень
державних мереж, побудованих методами тріан-
гуляції чи трилатерації. За геометричними фор-
мами скінченних елементів такі мережі цілком
відповідають критеріям симплексної моделі –
основною геометричною фігурою таких мереж є
трикутник. З приводу розмірів трикутників
спостерігаються явні невідповідності. Адже дер-
жавні мережі створюють, щоб задовольнити прак-
тичні потреби координатування та картографу-
вання територій з відстанями між пунктами
відповідно до чинних нормативів. Такі нормативи
несумісні з критеріями фізично малих елементів і
не враховують геологічної і тектонічної будови
земної кори. Винятком є спеціальні мережі на
геодинамічних полігонах, де розміри скінченних
елементів встановлюють за апріорною інформа-
цією про будову території та перебіг геодинаміч-
них процесів. В обох випадках моделлю скінчен-
них елементів є симплекс.
Результати досліджень
Наслідки застосування методу скінченних еле-
ментів для тектонофізичної інтерпретації резуль-
татів спостережень геодезичних мереж довели йо-
го достатню інформативність. Разом з тим, від-
значаються окремі недоліки, які за граничних
Геодинаміка 2(13)/2012
30
умов знижують достовірність і формалізують
результати опрацювання вихідних даних. Вони
спричинені факторами практичного втілення
методу і їх невідповідністю теоретичним засадам,
котрі розкрито вище. Ці недоліки, їх наслідки, а
також шляхи ліквідації, можна сформулювати так.
1. Специфіка геодезичних способів реєстрації
переміщень земної поверхні зумовлює дискрет-
ність результатів. Надмірне згущення пунктів не
завжди доцільне з огляду на відсутність апріорної
інформації про характер деформації і високу вар-
тість прецизійних геодезичних робіт. Наслідком є
безсистемне, з погляду лінійної теорії деформації,
розміщення геодезичних пунктів. З метою по-
дальшого опрацювання результатів спостережень
на цих пунктах поверхню поділяють на симп-
лекси. Це породжує першу проблему, суть якої
полягає у невідповідності утворених симплексів
теоретичним засадам методу скінченних еле-
ментів. Якщо маємо справу з суцільними гео-
дезичними мережами у вигляді ланцюжків три-
кутників або центральних систем, то вибір скін-
ченних елементів хоча й не обґрунтований, але
однозначний. Однак навіть така однозначність від-
сутня під час аналізу спостережень, наприклад, у
геодезичному чотирикутнику або на перманент-
них супутникових станціях. Однозначного прин-
ципу поділу земної поверхні на симплекси у таких
ситуаціях не існує.
2. В умовах довільно встановленого симплексу
лінійна модель деформації необґрунтована. Цей
недолік є наслідком першого, але сформульований
окремо з таких міркувань. Застосування лінійної
моделі передбачає істинність гіпотези локально-
однорідної деформації. Гіпотезу потрібно підтвер-
дити, тоді окресленої проблеми не виникає, або
відхилити. У цьому випадку відзначається
невідповідність умові (1) лінійної теорії
деформації і виникає інша проблема. Вона
зводиться до необхідності вираження нелінійного
закону деформації. Вирішити цю проблему в
межах симплексної моделі можна лише за умови
nk , (3)
де k – кількість невідомих коефіцієнтів функції,
яка описує закон деформації; n – кількість
вершин симплексу. Кількість функцій, котрі задо-
вольняють умову (8), дуже обмежена. Це засвідчує
недосконалість симплексної моделі і зумовлює
необхідність застосування складніших моделей
скінченних елементів, які б задовольняли цю
умову. Вони повинні відповідати будь-якому
класу функцій, які б відповідно до встановленого
критерію виражали закон деформації (зокрема
лінійний, якщо деформація однорідна).
Отже, з метою вирішення обох означених про-
блем необхідною умовою і складовою частиною
розв’язання завдання повинна бути перевірка гі-
потези однорідності поля деформації. Її результати
повинні бути визначальними для встановлення гео-
метричних форм і розмірів скінченних елементів.
3. У класичній постановці задачі компоненти
тензора деформації визначають аналітичним
способом за переміщеннями мінімально необхід-
ної кількості вершин скінченного елемента.
Переміщення пунктів, які окреслюють скінченний
елемент, обтяжені неминучими похибками
геодезичних вимірів. Порядок похибок змінюється
залежно від класу мережі, але навіть з резуль-
татами найвищого класу точності неможливо
уникнути помилок параметрів деформації. Це
зумовлює третю проблему, яка полягає у вста-
новленні надійності, а, у підсумку, й репрезента-
тивності параметрів деформації. Формально
точність параметрів деформації можна оцінити
середніми квадратичними похибками, оскільки
вони виражаються аналітично як лінійні функції
координат геодезичних пунктів, наприклад, як у
роботі [Есиков, 1979]. Такий підхід забезпечує
лише оцінку точності параметрів, проте не вирі-
шує проблеми їх надійності. За теорією похибок,
опрацювання результатів вимірів має здійснюва-
тись за обов’язкової наявності надлишкових ви-
міряних величин. Ця умова підвищує надійність
кінцевих результатів опрацювання і забезпечує
оцінку їх точності за чіткими усталеними крите-
ріями методом найменших квадратів [Мазмишви-
ли, 1968]. Класичний аналітичний розв’язок задачі
методом скінченних елементів цієї обставини не
враховує: модель лінійної деформації у рамках
симплексу передбачає рівність числа k коефіці-
єнтів лінійної функції і кількості n вершин
симплексу. З геодезичного погляду таку задачу
зараховують до розряду некоректно поставлених
задач. Тому для вирішення проблеми надійності
потрібно забезпечити строге виконання умови (3):
nk . (4)
Практично це зводиться до встановлення опти-
мальних геометричних форм скінченних елемен-
тів з кількістю вершин, яка забезпечить емпіричне
встановлення закону деформації апроксимацією
функцій способом найменших квадратів.
Якщо нехтувати окресленими проблемами, то
одержимо результати опрацювання із заниженою
достовірністю. Такий висновок можна підтверди-
ти прикладами опрацювання даних у геодезично-
му чотирикутнику. Подібні ситуації виникають
під час аналізу спостережень у мережах пер-
манентних супутникових станцій. Достатньо змо-
делювати типові деформації поверхні, виражені
зміщеннями вершин чотирикутника у плоскій
прямокутній системі координат. Нижче на схемах
показано три такі моделі. Суцільними лініями
зображено межі елемента земної поверхні до
деформації, пунктиром – після деформації. Змі-
щення вершин відображено векторами, скалярні
складові яких, виражені в метрах, вказано поряд з
номерами вершин.
Передусім для кожної моделі розраховано ха-
рактеристики лінійної деформації поверхні у межах
чотирикутника за двома комбінаціями симплексів:
Геодезія
31
1) трикутники № 1, 2 з вершинами 1, 3, 4 та 1, 2, 3;
2) трикутники № 3, 4 з вершинами 1, 2, 4 та 2, 3, 4.
Середнє значення характеристик у кожній
комбінації виражає сумарну лінійну деформацію в
межах чотирикутника. Результати розрахунку
наведено у табл. 1. Порядок числових значень
характеристик визначається виключно порядком
зміщень вершин і розмірами трикутників. Змен-
шення на один порядок значень характеристик
може бути зумовлене або збільшенням на порядок
розмірів трикутників, або зменшенням на порядок
зміщень вершин. Результати одержано за умови,
що довжини сторін – це перші сотні метрів.
Далі за тими ж вихідними даними розраховано
характеристики лінійної деформації поверхні у
межах геодезичного чотирикутника без поділу його
на симплекси – моделлю скінченного елемента
вибрано звичайний геометричний чотирикутник.
Якщо допустити, що деформація в його межах
лінійна, то є перспектива лінійної апроксимації
зміщень вершин способом найменших квадратів.
Адже в рамках такої моделі виникають надлишкові
виміри і задовільняється умова (4).
Результати розрахунку характеристик для усіх
трьох моделей деформації зведено в табл. 2. Крім
числових значень характеристик тут наведено
відповідні їм середні квадратичні похибки. Оцінку
точності здійснено методом найменших квадратів
[Мазмишвили, 1968].
Порівняльний аналіз результатів опрацювання
вихідних даних у кожній моделі дає підстави зро-
бити певні висновки.
Модель 1. Результати опису деформованого ста-
ну поверхні різними характеристиками не зале-
жать від вибору методу опрацювання і моделі
скінченних елементів. Тому таку модель можна
визнати класичним прикладом лінійної дефор-
мації.
Моделі 2, 3. Одержані результати свідчать, що
гіпотеза однорідної лінійної деформації поверхні
малоймовірна. Значення сумарних компонент де-
формації, зумовлені ізотропною складовою тензора
деформації і тензором обертання, рівні у межах
будь-якої з комбінацій симплексів і чотири-
кутника загалом (зокрема геометричного).
Моделі деформації земної поверхні у межах геодезичного чотирикутника
Таблиця 1
Результати розрахунку характеристик деформації поверхні у межах геодезичного чотирикутника
№ Значення характеристик деформації
моделі трикутника вершин m 1E 2E
1 1-3-4 0,01 0,014 0,012 -0,002 22,5 0,3
2 1-2-3 0,01 0,014 0,012 -0,002 22,5 0,3
середнє значення 0,01 0,014 0,012 -0,002 22,5 0,3
3 1-2-4 0,01 0,014 0,012 -0,002 22,5 0,3
4 2-3-4 0,01 0,014 0,012 -0,002 22,5 0,3
1
середнє значення 0,01 0,014 0,012 -0,002 22,5 0,3
1 1-3-4 -0,05 0,032 -0,009 -0,041 35,8 -0,3
2 1-2-3 0,04 0,122 0,081 -0,041 40,3 -0,6
середнє значення -0,005 0,077 0,036 -0,041 38,0 -0,4
3 1-2-4 -0,01 0,085 0,038 -0,048 -34,7 -1,7
4 2-3-4 0 0,092 0,046 -0,046 24,7 0,9
2
середнє значення -0,005 0,088 0,042 -0,047 5,0 -0,4
1 1-3-4 0,01 0,014 0,012 -0,002 22,5 -0,9
2 1-2-3 0,09 0,103 0,096 -0,006 30,5 -2,0
середнє значення 0,05 0,058 0,054 -0,004 26,5 -1,4
3 1-2-4 0,03 0,071 0,050 -0,020 -40,9 -2,6
4 2-3-4 0,07 0,076 0,073 -0,003 11,6 -0,3
3
середнє значення 0,05 0,074 0,062 -0,012 -14,6 -1,4
Геодинаміка 2(13)/2012
32
Таблиця 2
Результати розрахунку характеристик деформації поверхні у межах геометричного чотирикутника
та їхніх похибок
С.к.п.апроксимації, м Значення характеристик та їх середні квадратичні похибки
№ моделі
xm ym m 1E 2E
1 0 0
0,01
0
0,014
0
0,012
0
-0,002
0
22,5
0
0,3
0
2 ±2,5 ±2,0
-0,005
±0,032
0,076
±0,064
0,036
±0,036
-0,041
±0,036
39,3
±12,0
-0,4
±0,9
3 ±3,0 ±1,0
0,05
±0,03
0,058
±0,063
0,054
±0,035
-0,004
±0,035
29,5
±15,5
-1,4
±0,9
Це свідчить про те, що дилатація і обертання
чотирикутника не залежать від закону деформації
Якщо ж аналізувати деформований стан поверхні
окремо в межах симплексів, то маємо різні резуль-
тати залежно від вибору їх комбінації. Яку ж ком-
бінацію взяти за основу? Критерію вибору опти-
мальної комбінації симплексів не існує. Отже, ре-
зультати аналізу формальні. Останній висновок
стосується також аналізу зсувних компонент де-
формації, які виражає девіаторна складова частина
тензора. Причому це рівною мірою стосується і
аналізу сумарних деформацій поверхні в межах
чотирикутника (геодезичного і геометричного) і,
тим більше, їх опису окремо у симплексах.
Виявлені факти неоднозначності результатів ана-
лізу більшою мірою стосуються моделі 3. Це
закономірно, оскільки тут зміщення вершин май-
же вдвічі перевищують такі у моделі 2.
На завершення варто звернути увагу на зна-
чення середніх квадратичних похибок апроксима-
ції. Для чотирикутника різниця kn мінімальна,
тому загалом очікуються значні за величиною
середні квадратичні похибки. Однак точність ап-
роксимації для моделі 1 абсолютна, що засвідчує
лінійний закон деформації. Для моделей 2 і 3
похибки апроксимації перевищують абсолютні
значення зміщень. Це зумовлює низьку точність
параметрів деформації і може свідчити про те, що
закон деформації нелінійний.
Сформульовані висновки можна підтвердити
перевіркою гіпотези про однорідність зміщень
земної поверхні. Істинність гіпотез перевірено
ймовірнісно-статистичними способами за зада-
ного рівня значущості. Такий рівень визначає
достовірність результатів майбутнього аналізу.
Найпоширеніший спосіб перевірки статистичних
гіпотез ґрунтується на властивостях функції
F розподілу. Його практична цінність зводиться
до того, що він забезпечує перевірку рівності двох
незалежних статистичних вибірок порівнянням
оцінок їх дисперсій. Якщо вибірки підпорядковані
нормальному законові розподілу і для них
встановлено оцінки дисперсій, то гіпотеза про
рівність вибірок вважається істинною за умови,
що співвідношення дисперсій вибірок менше від
критичного значення функції F -розподілу за
заданого рівня значущості [Большев, 1983]. У
табл. 3 наведено результати розрахунку оцінок
xD та yD дисперсій скалярних складових xu та
yu зміщень вершин симплексів у межах
геодезичного чотирикутника, а також їх попарні
співвідношення iDD /max . Порівняння
співвідношень для моделі 1 з критичними
значеннями функції F розподілу засвідчує
однорідність зміщень вершин. Для моделі 2 маємо
чотири випадки, де співвідношення дисперсій
перевищують критичні значення )2,2;(QF =3 за
рівня значущості Q =25 %. Для моделі 3 таких
випадків маємо п’ять для складових yu , а для
складових xu – три випадки перевищення кри-
тичних значень )2,2;(QF =19, якщо Q =5 %. Вели-
чина Q визначає мінімальний поріг ймовірності
100
2
1
Q
p , за якої гіпотеза про рівність дисперсій
спростовується. В усіх випадках ймовірність пере-
вищує 0,5 (або 0,9 при Q =5%). Це дає підстави
стверджувати, що для моделей 2 та 3, хоча й з
різною ймовірністю, гіпотезу про рівність диспер-
сій зміщень слід відхилити як неправдоподібну, а
деформацію вважати однорідною недопустимо.
Висновки
У роботі розглянуто аспекти опрацювання гео-
дезичних даних методом скінченних елементів з
метою опису деформованого стану земної повер-
хні. Враховуючи невідповідність умов теоретич-
ним засадам, виділено проблеми, які знижують
інформативність та надійність кінцевих резуль-
татів і гранично зумовлюють формальні розв’язки.
З метою забезпечення достовірності результатів
опрацювання геодезичних даних рекомендується:
1) здійснювати попередню перевірку однорідності
деформації земної поверхні; 2) узагальнити метод
на випадок визначення параметрів деформації у
межах скінченних елементів будь-якої геометрич-
ної форми, не обмежуючись лише симплексною
моделлю; 3) узагальнити метод на випадок
визначення параметрів нелінійної деформації.
Геодезія
33
Таблиця 3
Результати розрахунку співвідношень оцінок дисперсій складових зміщень
№
Оцінки дисперсій,
м2
Співвідношення оцінок дисперсій
)((max) / ixx DD )((max) / iyy DD
моделі трикутника вершин xD yD
1 2 3 4 1 2 3 4
1 1-3-4 0,33 0,33 1 1 1 1 1 1 1 1
2 1-2-3 0,33 0,33 1 1 1 1 1 1 1 1
3 1-2-4 0,33 0,33 1 1 1 1 1 1 1 1
1
4 2-3-4 0,33 0,33 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1-3-4 4 4,3 1 1 4,3
2 1-2-3 12,3 7 3,1 1 2,0 1,6 1 7 1,1
3 1-2-4 13 1 3,2 1,1 1 2,1
2
4 2-3-4 6,3 6,3 1,6 1 1,5 6,3 1
1 1-3-4 1 0,3 1
2 1-2-3 19 1 19,0 1 3,3 1 1 3,3
3 1-2-4 24,3 1 24,3 1,3 1 1,1 3,3 1 1 3,3
3
4 2-3-4 22,3 0,3 22,3 1,2 1
Література
Большев Л.Н. Смирнов Н.В. Таблицы математи-
ческой статистики. – М.: Наука, 1983. – 416 с.
Есиков Н.П. Тектонофизические аспекты анализа
современных движений земной поверхности. –
Новосибирск: Наука, 1979. – 173 с.
Ландау Л.Д. Лифшиц Е.М. Механика сплошных
сред. – М.: Гостехиздат, 1953. – 788 с.
Мазмишвили А.И. Способ наименьших квадра-
тов. – М.: Недра, 1968. – 440 с.
Мак-Коннел А.Д. Введение в тензорный анализ. –
М.: Физматгиз, 1963. – 411 с.
Марченко О., Третяк К., Кульчицький А. та ін. До-
слідження гравітаційного поля, топографії океа-
ну та рухів земної кори в регіоні Антарктики. –
Львів: Львівська політехніка, 2012. – 308 с.
Terada T. Miyabe N. Deformation of the earth crust in
Kwansai districts and its relation to the orographic
feature // Bull. Earthquake Res. Inst. – Univ.
Tokyo. – 1929. – № 7. – Р. 223–239.
Tsuboi C. Investigation on the deformation of the
earths crust found by precise geodetic means //
Japan J. Astron. and Geophys. – 1933. – №10. –
Р. 93–248.
ДОСТОВЕРНОСТЬ РЕЗУЛЬТАТОВ ОБРАБОТКИ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ДАННЫХ
МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
О.А. Тадеева, А.А. Тадеев, П.Г. Черняга
Проанализированы проблемы достоверности результатов обработки геодезических данных
методом конечных элементов. Раскрыты некоторые оптимизационные решения и перспективы метода.
Ключевые слова: модель; сплошная среда; линейная деформация; метод конечных элементов;
избыточные измерения; метод наименьших квадратов.
RELIABILITY OF RESULTS OF PROCESSING OF GEODETIC DATA
BY FINITE ELEMENT METHOD
O.О. Таdyeyeva, O.А. Tadyeyev, P.G. Chernyaha
The problems of reliability of results of processing of geodetic data by finite element method are
analyzed. Some optimized solutions and prospects of the method are disclosed.
Key words: model; solid medium; linear deformation; finite element method; redundant measurements;
least squares method.
1Національний університет водного господарства та природокористування,
м. Рівне
2Національний університет “Львівська політехніка”, м. Львів
Надійшла 18.12.2012
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-60658 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1992-142X |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:09:11Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Інститут геофізики ім. С.I. Субботіна НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Тадєєва, О.О. Тадєєв, О.А. Черняга, П.Г. 2014-04-18T14:55:53Z 2014-04-18T14:55:53Z 2012 Достовірність результатів опрацювання геодезичних даних методом скінченних елементів / О.О. Тадєєва, О.А. Тадєєв, П.Г Черняга // Геодинаміка. — 2012. — № 2(13). — С. 28–33. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. 1992-142X https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/60658 551.24:528.2/3 Проаналізовано проблеми достовірності результатів опрацювання геодезичних даних методом
 скінченних елементів. Розкрито деякі оптимізаційні рішення і перспективи методу. Проанализированы проблемы достоверности результатов обработки геодезических данных
 методом конечных элементов. Раскрыты некоторые оптимизационные решения и перспективы метода. The problems of reliability of results of processingof geodetic data by finite element method are 
 analyzed. Some optimized solutions and prospects of the method are disclosed. uk Інститут геофізики ім. С.I. Субботіна НАН України Геодинаміка Геодезія Достовірність результатів опрацювання геодезичних даних методом скінченних елементів Достоверность результатов обработки геодезических данных методом конечных элементов Reliability of results of processing of geodetic data by finite element method Article published earlier |
| spellingShingle | Достовірність результатів опрацювання геодезичних даних методом скінченних елементів Тадєєва, О.О. Тадєєв, О.А. Черняга, П.Г. Геодезія |
| title | Достовірність результатів опрацювання геодезичних даних методом скінченних елементів |
| title_alt | Достоверность результатов обработки геодезических данных методом конечных элементов Reliability of results of processing of geodetic data by finite element method |
| title_full | Достовірність результатів опрацювання геодезичних даних методом скінченних елементів |
| title_fullStr | Достовірність результатів опрацювання геодезичних даних методом скінченних елементів |
| title_full_unstemmed | Достовірність результатів опрацювання геодезичних даних методом скінченних елементів |
| title_short | Достовірність результатів опрацювання геодезичних даних методом скінченних елементів |
| title_sort | достовірність результатів опрацювання геодезичних даних методом скінченних елементів |
| topic | Геодезія |
| topic_facet | Геодезія |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/60658 |
| work_keys_str_mv | AT tadêêvaoo dostovírnístʹrezulʹtatívopracûvannâgeodezičnihdanihmetodomskínčennihelementív AT tadêêvoa dostovírnístʹrezulʹtatívopracûvannâgeodezičnihdanihmetodomskínčennihelementív AT černâgapg dostovírnístʹrezulʹtatívopracûvannâgeodezičnihdanihmetodomskínčennihelementív AT tadêêvaoo dostovernostʹrezulʹtatovobrabotkigeodezičeskihdannyhmetodomkonečnyhélementov AT tadêêvoa dostovernostʹrezulʹtatovobrabotkigeodezičeskihdannyhmetodomkonečnyhélementov AT černâgapg dostovernostʹrezulʹtatovobrabotkigeodezičeskihdannyhmetodomkonečnyhélementov AT tadêêvaoo reliabilityofresultsofprocessingofgeodeticdatabyfiniteelementmethod AT tadêêvoa reliabilityofresultsofprocessingofgeodeticdatabyfiniteelementmethod AT černâgapg reliabilityofresultsofprocessingofgeodeticdatabyfiniteelementmethod |