Характеризація FC-груп, в яких умова переставності є транзитивною
A subgroup H of the group G is said to be permutable (or quasinormal) in G, in symbols H per G, if HK = KH for all subgroups K of G. We consider periodic locally soluble FC-groups, in which the permutability is a transitive relation. S-permutability is a rather wide generalization of the usual permu...
Saved in:
| Date: | 2008 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2008
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6087 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Характеризація FC-груп, в яких умова переставності є транзитивною / Л.А. Курдаченко, Н.А. Турбай // Доп. НАН України. — 2008. — № 10. — С. 20-23. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859676845633437696 |
|---|---|
| author | Курдаченко, Л.А. Турбай, Н.А. |
| author_facet | Курдаченко, Л.А. Турбай, Н.А. |
| citation_txt | Характеризація FC-груп, в яких умова переставності є транзитивною / Л.А. Курдаченко, Н.А. Турбай // Доп. НАН України. — 2008. — № 10. — С. 20-23. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| description | A subgroup H of the group G is said to be permutable (or quasinormal) in G, in symbols H per G, if HK = KH for all subgroups K of G. We consider periodic locally soluble FC-groups, in which the permutability is a transitive relation. S-permutability is a rather wide generalization of the usual permutability. We show some properties of S-permutability for infinite periodic FC-groups.
|
| first_indexed | 2025-11-30T16:25:38Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 512.544
© 2008
Л.А. Курдаченко, Н. А. Турбай
Характеризацiя FC-груп, в яких умова переставностi
є транзитивною
(Представлено членом-кореспондентом НАН України В. П. Моторним)
A subgroup H of the group G is said to be permutable (or quasinormal) in G, in symbols H
per G, if HK = KH for all subgroups K of G. We consider periodic locally soluble FC-groups,
in which the permutability is a transitive relation. S-permutability is a rather wide generaliza-
tion of the usual permutability. We show some properties of S-permutability for infinite periodic
FC-groups.
Iстотний вплив на будову групи мають системи її нормальних пiдгруп або пiдгруп, у тому
чи iншому сенсi близьких до нормальних. Такими важливими природними узагальнення-
ми нормальних пiдгруп є системи субнормальних та висхiдних пiдгруп, майже нормальних
та наближено нормальних пiдгруп i т. iн. Природним узагальненням нормальних пiдгруп
є i пiдгрупи, що виникають при вивченнi граткових властивостей системи пiдгруп гру-
пи. Такими пiдгрупами будуть переставнi та модулярнi пiдгрупи. Пiдгрупа H називається
переставною в групi G, якщо вона переставна з будь-якою пiдгрупою K групи G, тобто
HK = KH. Вивчення властивостей таких пiдгруп почалося досить давно i виявилося до-
статньо плiдним. Дуже детально були вивченi властивостi переставних пiдгруп i їх вплив
на структуру групи в межах теорiї скiнченних груп; цiлу серiю вiдповiдних результатiв
можна знайти в монографiї [1]. Зокрема, будова груп (як скiнченних, так i нескiнченних),
усi пiдгрупи яких переставнi, виявилася достатньо простою (див., напр., [1, 2.4]). Власти-
вiсть “бути переставною пiдгрупою” подiбно властивостi “бути нормальною пiдгрупою” не
є транзитивною. Д. Цахером [2] було почато вивчення скiнченних груп, в яких переставнiсть
є транзитивною властивiстю. Такi групи були названi PT -групами. Д. Цахер отримав опис
скiнченних розв’язних PT -груп. Нерозв’язнi скiнченнi PT -групи були вивченi Д. Робiнсо-
ном [3]. Властивiсть переставностi не є властивiстю, яку мають тiльки скiнченнi групи. Її
означення носить загальний характер. Тому той факт, що вивчення її iстотно просунулося
тiльки в теорiї скiнченних групп, можна пояснити лише тiєю обставиною, що скiнченнiсть
групи є дуже сильним обмеженням, i це дало можливiсть для глибокого i сильного розвитку
теорiї скiнченних груп. У теорiї нескiнченних груп ситуацiя зовсiм iнша. Тому природним
є вивчення PT -груп у тих класах нескiнченних (перiодичних) груп, якi наслiдують важливi
властивостi скiнченних груп. Одним з таких класiв є клас перiодичних FC-груп. Пригада-
ємо, що група G називається FC-групою або групою iз скiнченними класами спряжених
елементiв, якщо кожний її елемент має скiнченну множину спряжених елементiв. Перiодич-
нi FC-групи можна охарактеризувати як групи, в яких кожна скiнченна множина елементiв
породжує скiнченну нормальну пiдгрупу. Перiодичнi FC-групи є одним з небагатьох кла-
сiв нескiнченних груп, на якi можуть бути розширенi бiльшiсть базових результатiв теорiї
скiнченних груп. А отже, буде природним почати розгляд властивостей, структури i харак-
теристик нескiнченних PT -груп та їх узагальнень саме в цьому класi.
20 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №10
Першим результатом роботи є нижченаведена структурна теорема, яка поширює на
перiодичнi FC-групи теорему Д. Цахера, що згадувалася вище.
Нехай G — група. Перетин усiх її нормальних пiдгруп H, що визначають локально нiль-
потентнi факторгрупи G/H, будемо називати локально нiльпотентним резидуалом групи G.
Теорема 1. Нехай G — перiодична локально розв’язна PT -група i L — її локально
нiльпотентний резидуал. Якщо G — FC-група, то G задовольняє такi умови:
(i) G = LλD, де D — гiперцентральна пiдгрупа, усi пiдгрупи якої переставнi;
(ii) 2 /∈ Π(L) i кожна силовська p-пiдгрупа L скiнченна та є силовською p-пiдгрупою
всiєї групи G для будь-якого p ∈ Π(L);
(iii) будь-яка пiдгрупа L буде G-iнварiантною.
Навпаки, якщо G — перiодична FC-група, яка задовольняє умови (i) — (iii), тодi G
є PT -групою.
Як згадувалося вище, будова груп, усi пiдгрупи яких переставнi, була описана (див.,
напр., [1, теорема 2.4.14].
Нехай p — просте число. Будемо казати, що група G належить класу Xp, якщо G за-
довольняє таку умову:
для будь-якої силовської p-пiдгрупи P групи G кожна її пiдгрупа буде переставною
в NG(P ).
У роботi [4] для скiнченних розв’язних груп були отриманi зв’язки цього класу груп
з класом PT -груп. Наведена нижче теорема поширює теорему А вказаної роботи на перi-
одичнi FC-групи.
Теорема 2. Нехай G — перiодична локально розв’язна FC-група. Включення G ∈ Xp
має мiсце для всiх простих чисел p тодi i тiльки тодi, коли G — PT -група.
Зауважимо один важливий наслiдок. Нехай p — просте число.
Будемо казати, що група G належить класу Cp, якщо вона задовольняє таку умову:
якщо P — силовська p-пiдгрупа G, тодi кожна пiдгрупа P нормальна в NG(P ).
Наслiдок. Нехай G — перiодична локально розв’язна FC-група. Включення G ∈ Cp
має мiсце для всiх простих чисел p тодi i тiльки тодi, коли G — T -група з дедекiндовою
силовською 2-пiдгрупою.
Нехай p — просте число. Будемо казати, що група G належить класу Pp, якщо G
задовольняє двi умови:
(i) кожна силовська p-пiдгрупа G модулярна;
(ii) якщо P — силовська p-пiдгрупа G, тодi кожна нормальна пiдгрупа P пронормальна
в G.
Нагадаємо, що пiдгрупа H групи G називається пронормальною в G, якщо для кожного
g ∈ G пiдгрупи H, Hg спряженi в 〈H,Hg〉.
Група G називається модулярною, якщо гратка її всiх пiдгруп буде модулярною, тобто
для всiх пiдгруп X,Y ,Z групи G таких, що X 6Z має мiсце рiвнiсть 〈X,Y 〉
⋂
Z =〈X,Y
⋂
Z〉.
За теоремою Iвасави [1, теорема 2.4.14] локально скiнченна p-група, p — просте число,
буде модулярною тодi i тiльки тодi, коли будь-яка її пiдгрупа переставна в G.
У статтi [4, теореми A, D] було доведено, що скiнченна розв’язна група G буде PT -гру-
пою тодi i тiльки тодi, коли G ∈ Pp для всiх p ∈ Π(G). Тому природно виникає питання
i про нескiнченнi групи з класу Pp.
Ми будемо розглядати не тiльки клас Pp, але i таке його розширення:
нехай p — просте число. Будемо казати, що група G належить класу Pp∗, якщо G
задовольняє двi умови:
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №10 21
(i) кожна силовська p-пiдгрупа G модулярна;
(ii) якщо P — силовська p-пiдгрупа G, тодi кожна скiнченна нормальна пiдгрупа P
пронормальна в G.
Теорема 3. Нехай G — перiодична локально розв’язна FC-група. Включення G ∈ Pp∗
має мiсце для всiх простих чисел p тодi i тiльки тодi, коли G — PT -група.
Наслiдок 1. Нехай G — перiодична локально розв’язна FC-група. Якщо G ∈ Pp для
всiх простих чисел p, тодi G — PT -група.
Використовуючи теорему 2, ми отримуємо такий результат.
Наслiдок 2. Нехай G — перiодична локально розв’язна FC-група. Тодi еквiвалентними
є такi твердження:
(i) G є PT -групою;
(ii) якщо p — просте число i P — силовська p-пiдгрупа G, тодi кожна пiдгрупа P
переставна в NG(P );
(iii) якщо p — просте число i P — силовська p-пiдгрупа G, тодi P модулярна, i кожна
нормальна пiдгрупа P пронормальна в G для всiх p.
Нехай G — перiодична група i π — пiдмножина Π(G). Згiдно з O. Keгелем [5], пiдгрупу H
групи G будемо називати π-переставною в G, якщо для кожного p ∈ π i кожної силовської
p-пiдгрупи S групи G має мiсце рiвнiсть HS = SH (при цьому якщо π = ∅, то < 1 > —
єдина π-пiдгрупа G i кожна пiдгрупа G буде π-переставною).
Пiдгрупа H групи G називається S-переставною або силовськи переставною в G, якщо
H π-переставна для π = Π(G).
S-переставнiсть є достатньо широким узагальненням звичайної переставностi. О. Ке-
гель показав [5], що всяка S-переставна пiдгрупа скiнченної групи буде субнормальною.
Звiдси випливає, що скiнченна група тодi i тiльки тодi нiльпотентна, коли всяка її пiдгру-
па S-переставна. Цей результат показує, що S-переставнi пiдгрупи iстотно впливають на
будову скiнченної групи. У теорiї скiнченних груп цей вплив вивчався багатьма дослiдни-
ками з рiзних точок зору. Що ж стосується нескiнченних груп, то досi S-переставнi пiдгрупи
в них не вивчались. Це обумовлено такими обставинами. По-перше, саме означення показує,
що S-переставнi пiдгрупи є сенс вивчати тiльки в перiодичних групах. По-друге, вивчен-
ня S-переставних пiдгруп може бути ефективним лише при наявностi в групi розвинутої
силовської структури. Ранiше вже зазначалося, що перiодичнi FC-групи мають достатньо
розвинуту силовську структуру, тому є сенс починати вивчення властивостей S-перестав-
ностi в таких групах.
Група G називається PST -групою, якщо S-переставнiсть є транзитивним вiдношенням
в G, тобто з того факту, що H — S-переставна в G i K — S-переставна в H, завжди ви-
пливає, що K буде S-переставною пiдгрупою в G. З самого означення маємо, що всяка
S–переставна пiдгрупа PST -групи сама буде PST -групою, зокрема такою буде всяка нор-
мальна пiдгрупа G.
Будова скiнченних розв’язних PST -груп описана Р.К. Агравалем [6]. Рiзнi важливi
властивостi скiнченних розв’язних PST -груп отриманi iспанськими математиками [7–9].
У данiй роботi основний результат роботи [6] поширений на клас нескiнченних перiодичних
локально розв’язних FC-груп.
Теорема 4. Нехай G — перiодична локально розв’язна PST -група i L — її локально
нiльпотентний резидуал. Якщо G — FC-група, то G задовольняє такi умови:
(i) G = LλD, де D — гiперцентральна пiдгрупа;
22 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №10
(ii) 2 /∈ Π(L) i кожна силовська p-пiдгрупа L скiнченна i є силовською p-пiдгрупою всiєї
групи G для будь-якого p ∈ Π(L);
(iii) пiдгрупа L абелева;
(iv) будь-яка пiдгрупа L є G-iнварiантною.
Навпаки, якщо G — перiодична FC-група, яка задовольняє умови (i)–(iv), то G —
PST -група.
Наслiдок. Нехай G — перiодична локально розв’язна PST -група. Якщо G — FC-група,
то будь-яка пiдгрупа G буде PST -групою.
1. Schmidt R. Subgroups lattices of groups. – Berlin: Walter de Gruyter, 1994. – 572 p.
2. Zacher G. I gruppi risolubili finite in cui i sottogruppi di composizione coincidono con i sottogruppi quasi –
normali // Atti Accad. naz. Lincei. Rend. Cl. sci. fis, mat. e natur. – 1964. – 37, No 8. – P. 150–154.
3. Robinson D. J. S. The structure of finite groups in which permutability is a transitive relation // J. Austral.
Math. Soc. – 2001. – 70. – P. 143–159.
4. Beidleman J. C., Brewster B., Robinson D. J. S. Criteria for permutability to be transitive in finite groups //
J. Algebra. – 1999. – 222. – P. 400–412.
5. Kegel O.H. Sylow – Gruppen und Subnormalteiler endlicher Gruppen // Math. Z. – 1962. – 78. – P. 205–
221.
6. Agrawal R.K. Finite groups whose subnormal subgroups permute with all Sylow subgroups // Proc. Amer.
Math. Soc. – 1975. – 47. – P. 77–83.
7. Alejandre V. J., Ballester-Bolinches A., Pedraza-Aguilera M.C. Finite soluble groups with permutable
subnormal subgroups // J. Algebra. – 2001. – 240. – P. 705–722.
8. Ballester-Bolinches A., Esteban-Romero R. Sylow permutable subnormal subgroups of finite groups //
Bull. Austral Math. Soc. – 2001. – 64, No 3. – P. 479–486.
9. Ballester-Bolinches A., Esteban-Romero R. Sylow permutable subnormal subgroups of finite groups //
J. Algebra. – 2002. – 251, No 2. – P. 727–738.
Надiйшло до редакцiї 31.03.2008Днiпропетровський нацiональний унiверситет
УДК 519.41/47
© 2008
М. М. Семко, М. М. Пискун
Про деякi узагальнення наближено нормальних пiдгруп
(Представлено академiком НАН України А.М. Самойленком)
A subgroup H of the group G is called almost polycyclically approximate to a normal one (in G),
if H includes a subgroup L normal in HG such that a factor-group HG/L is almost polycyclic.
A group G is said to be an anti PC-group, if every its non-polycyclic-by-finite subgroup is almost
polycyclically approximate to a normal one. The study of generalized soluble anti PC- groups
is finished in the present paper.
Нехай G — група. Її пiдгрупа H називається наближено нормальною в G, якщо H має
скiнченний iндекс у своєму нормальному замиканнi K = HG. У цьому випадку H включає
нормальну в K пiдгрупу L, для якої факторгрупа K/L скiнченна. Такого роду пiдгрупи були
введенi в розгляд Б. Нейманом [1]. У вказанiй роботi вiн описав групи, усяка пiдгрупа яких
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №10 23
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-6087 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-11-30T16:25:38Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Курдаченко, Л.А. Турбай, Н.А. 2010-02-16T16:06:53Z 2010-02-16T16:06:53Z 2008 Характеризація FC-груп, в яких умова переставності є транзитивною / Л.А. Курдаченко, Н.А. Турбай // Доп. НАН України. — 2008. — № 10. — С. 20-23. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6087 512.544 A subgroup H of the group G is said to be permutable (or quasinormal) in G, in symbols H per G, if HK = KH for all subgroups K of G. We consider periodic locally soluble FC-groups, in which the permutability is a transitive relation. S-permutability is a rather wide generalization of the usual permutability. We show some properties of S-permutability for infinite periodic FC-groups. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Математика Характеризація FC-груп, в яких умова переставності є транзитивною Article published earlier |
| spellingShingle | Характеризація FC-груп, в яких умова переставності є транзитивною Курдаченко, Л.А. Турбай, Н.А. Математика |
| title | Характеризація FC-груп, в яких умова переставності є транзитивною |
| title_full | Характеризація FC-груп, в яких умова переставності є транзитивною |
| title_fullStr | Характеризація FC-груп, в яких умова переставності є транзитивною |
| title_full_unstemmed | Характеризація FC-груп, в яких умова переставності є транзитивною |
| title_short | Характеризація FC-груп, в яких умова переставності є транзитивною |
| title_sort | характеризація fc-груп, в яких умова переставності є транзитивною |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6087 |
| work_keys_str_mv | AT kurdačenkola harakterizacíâfcgrupvâkihumovaperestavnostíêtranzitivnoû AT turbaina harakterizacíâfcgrupvâkihumovaperestavnostíêtranzitivnoû |