Про деякі узагальнення наближено нормальних підгруп
A subgroup H of the group G is called almost polycyclically approximate to a normal one (in G), if H includes a subgroup L normal in H^G such that a factor-group H^G /L is almost polycyclic. A group G is said to be an anti PC-group, if every its non-polycyclic-by-finite subgroup is almost polycyclic...
Gespeichert in:
| Datum: | 2008 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2008
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6088 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Про деякі узагальнення наближено нормальних підгруп / М.М. Семко, М.М. Пискун // Доп. НАН України. — 2008. — № 10. — С. 23-27. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-6088 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-60882025-02-23T19:48:50Z Про деякі узагальнення наближено нормальних підгруп Семко, М.М. Пискун, М.М. Математика A subgroup H of the group G is called almost polycyclically approximate to a normal one (in G), if H includes a subgroup L normal in H^G such that a factor-group H^G /L is almost polycyclic. A group G is said to be an anti PC-group, if every its non-polycyclic-by-finite subgroup is almost polycyclically approximate to a normal one. The study of generalized soluble anti PC- groups is finished in the present paper. 2008 Article Про деякі узагальнення наближено нормальних підгруп / М.М. Семко, М.М. Пискун // Доп. НАН України. — 2008. — № 10. — С. 23-27. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6088 519.41/47 uk application/pdf Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Семко, М.М. Пискун, М.М. Про деякі узагальнення наближено нормальних підгруп |
| description |
A subgroup H of the group G is called almost polycyclically approximate to a normal one (in G), if H includes a subgroup L normal in H^G such that a factor-group H^G /L is almost polycyclic. A group G is said to be an anti PC-group, if every its non-polycyclic-by-finite subgroup is almost polycyclically approximate to a normal one. The study of generalized soluble anti PC- groups is finished in the present paper. |
| format |
Article |
| author |
Семко, М.М. Пискун, М.М. |
| author_facet |
Семко, М.М. Пискун, М.М. |
| author_sort |
Семко, М.М. |
| title |
Про деякі узагальнення наближено нормальних підгруп |
| title_short |
Про деякі узагальнення наближено нормальних підгруп |
| title_full |
Про деякі узагальнення наближено нормальних підгруп |
| title_fullStr |
Про деякі узагальнення наближено нормальних підгруп |
| title_full_unstemmed |
Про деякі узагальнення наближено нормальних підгруп |
| title_sort |
про деякі узагальнення наближено нормальних підгруп |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2008 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6088 |
| citation_txt |
Про деякі узагальнення наближено нормальних підгруп / М.М. Семко, М.М. Пискун // Доп. НАН України. — 2008. — № 10. — С. 23-27. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT semkomm prodeâkíuzagalʹnennânabliženonormalʹnihpídgrup AT piskunmm prodeâkíuzagalʹnennânabliženonormalʹnihpídgrup |
| first_indexed |
2025-11-24T19:16:15Z |
| last_indexed |
2025-11-24T19:16:15Z |
| _version_ |
1849700411266564096 |
| fulltext |
(ii) 2 /∈ Π(L) i кожна силовська p-пiдгрупа L скiнченна i є силовською p-пiдгрупою всiєї
групи G для будь-якого p ∈ Π(L);
(iii) пiдгрупа L абелева;
(iv) будь-яка пiдгрупа L є G-iнварiантною.
Навпаки, якщо G — перiодична FC-група, яка задовольняє умови (i)–(iv), то G —
PST -група.
Наслiдок. Нехай G — перiодична локально розв’язна PST -група. Якщо G — FC-група,
то будь-яка пiдгрупа G буде PST -групою.
1. Schmidt R. Subgroups lattices of groups. – Berlin: Walter de Gruyter, 1994. – 572 p.
2. Zacher G. I gruppi risolubili finite in cui i sottogruppi di composizione coincidono con i sottogruppi quasi –
normali // Atti Accad. naz. Lincei. Rend. Cl. sci. fis, mat. e natur. – 1964. – 37, No 8. – P. 150–154.
3. Robinson D. J. S. The structure of finite groups in which permutability is a transitive relation // J. Austral.
Math. Soc. – 2001. – 70. – P. 143–159.
4. Beidleman J. C., Brewster B., Robinson D. J. S. Criteria for permutability to be transitive in finite groups //
J. Algebra. – 1999. – 222. – P. 400–412.
5. Kegel O.H. Sylow – Gruppen und Subnormalteiler endlicher Gruppen // Math. Z. – 1962. – 78. – P. 205–
221.
6. Agrawal R.K. Finite groups whose subnormal subgroups permute with all Sylow subgroups // Proc. Amer.
Math. Soc. – 1975. – 47. – P. 77–83.
7. Alejandre V. J., Ballester-Bolinches A., Pedraza-Aguilera M.C. Finite soluble groups with permutable
subnormal subgroups // J. Algebra. – 2001. – 240. – P. 705–722.
8. Ballester-Bolinches A., Esteban-Romero R. Sylow permutable subnormal subgroups of finite groups //
Bull. Austral Math. Soc. – 2001. – 64, No 3. – P. 479–486.
9. Ballester-Bolinches A., Esteban-Romero R. Sylow permutable subnormal subgroups of finite groups //
J. Algebra. – 2002. – 251, No 2. – P. 727–738.
Надiйшло до редакцiї 31.03.2008Днiпропетровський нацiональний унiверситет
УДК 519.41/47
© 2008
М. М. Семко, М. М. Пискун
Про деякi узагальнення наближено нормальних пiдгруп
(Представлено академiком НАН України А.М. Самойленком)
A subgroup H of the group G is called almost polycyclically approximate to a normal one (in G),
if H includes a subgroup L normal in HG such that a factor-group HG/L is almost polycyclic.
A group G is said to be an anti PC-group, if every its non-polycyclic-by-finite subgroup is almost
polycyclically approximate to a normal one. The study of generalized soluble anti PC- groups
is finished in the present paper.
Нехай G — група. Її пiдгрупа H називається наближено нормальною в G, якщо H має
скiнченний iндекс у своєму нормальному замиканнi K = HG. У цьому випадку H включає
нормальну в K пiдгрупу L, для якої факторгрупа K/L скiнченна. Такого роду пiдгрупи були
введенi в розгляд Б. Нейманом [1]. У вказанiй роботi вiн описав групи, усяка пiдгрупа яких
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №10 23
є наближено нормальною. Такi групи мають скiнченний комутант, зокрема, вони є FC-гру-
пами. Вивчення впливу властивостей наближено нормальних пiдгруп на структуру групи
було продовжено iншими дослiдниками. Так, у роботi Л.А. Курдаченка, М.Ф. Кузенного
i М.М. Семка [2] розглянутi групи, у яких система всiх наближено нормальних пiдгруп буде
щiльною. Досить недавно iталiйськими алгебраїстами розпочалося активне вивчення впли-
ву системи наближено нормальних пiдгруп на будову групи (див., напр., [3–6]). У роботi [7]
було введено нижчеподане узагальнення наближено нормальних пiдгруп. Пiдгрупа H групи
G називається майже полiциклiчно наближеною до нормальної (в G), якщо H мiстить у со-
бi нормальну в HG пiдгрупу L, для якої факторгрупа HG/L буде майже полiциклiчною.
Цi пiдгрупи будуть природним узагальненням наближено нормальних пiдгруп. Першим
природним завданням тут є опис груп, усi пiдгрупи яких майже полiциклiчно наближенi
до нормальної. Тут має мiсце повний аналог результату Б. Неймана — такi групи мають
майже полiциклiчний комутант. Цей результат можна отримати з результатiв роботи [8].
У роботi [8] було розглянуто iнше розширення поняття наближено нормальної пiдгрупи.
Таким розширенням були пiдгрупи H групи G, для яких впорядкована за включенням сис-
тема пiдгруп {L | H 6 L 6 G} задовольняє умову максимальностi. Зразу вiдзначимо, що
це поняття не буде еквiвалентним поняттю, яке введене вище. У цьому можна впевнитись,
розглянувши нижченаведений приклад.
Нехай p — просте число, 〈a〉 — циклiчна група порядку p, 〈g〉 — нескiнченна циклiчна
група,
G = 〈g〉wr〈g〉 = Aλ〈g〉 —
вiнцевий добуток цих двох циклiчних груп, A — базова пiдгрупа цього вiнцевого добутку. За
конструкцiєю A буде нескiнченною елементарною абелевою p-пiдгрупою, а отже, група G
не є (майже) полiциклiчною. Ми можемо розглядати A як циклiчний модуль над груповим
кiльцем J = Fp〈g〉 нескiнченної циклiчної групи над простим полем Fp. Це тягне за собою
iзоморфiзм A ∼= J/Ann
J
(a). У свою чергу, Ann
J
(a) буде iдеалом у кiльцi J . Оскiльки кожний
ненульовий iдеал кiльця J має скiнченний iндекс в J , то нескiнченнiсть A доводить рiвнiсть
Ann
J
(a) = 〈0〉. Зокрема, звiдси випливає, що i CA(g) = 〈1〉. Нехай тепер H — нормальне
замикання пiдгрупи 〈g〉 у групi G. Припустимо, що H є полiциклiчною. З наслiдку 1.5
роботи [7] отримаємо включення g ∈ PC(G), яке у свою чергу доводить той факт, що
i факторгрупа A/CA(g) повинна бути полiциклiчною. Оскiльки A є перiодичною, то це
означає, що A/CA(g) мусить бути скiнченною. Але ж у цьому випадку CA(g) 6= 〈1〉. Однак,
як ми вже бачили вище, це є неможливим. Отримане протирiччя показує, що пiдгрупа
H не може бути полiциклiчною. Iнакше кажучи, пiдгрупа 〈g〉 не є майже полiциклiчно
наближеною до нормальної. Нехай тепер
K1 6 K2 6 · · · 6 Kn 6 · · · —
довiльна зростаюча послiдовнiсть пiдгруп, що мiстять у собi 〈g〉. З включення 〈g〉 6 Kn
отримаємо напiвпрямий розклад Kn = Bnλ〈g〉. Це приводить нас до iншої зростаючої по-
слiдовностi пiдгруп:
B1 6 B2 6 · · · 6 Bn 6 · · · ,
кожна з яких мiститься в A та буде 〈g〉-iнварiантною. Оскiльки групове кiльце Fp〈g〉 є не-
теровим, то i циклiчний Fp〈g〉-модуль A буде нетеровим. Це означає, що A не мiстить у собi
24 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №10
строго зростаючих послiдовностей 〈g〉-iнварiантних пiдгруп. Таким чином, знайдеться та-
кий номер m, що Bm = Bm+k для кожного натурального k. У свою чергу, тодi матимемо
Km = Km+k для кожного натурального k. Отже, впорядкована за включенням система
пiдгруп {L | 〈g〉 6 L 6 G} задовольняє умову максимальностi.
Цей приклад також показує, що введене поняття пiдгрупи, майже полiциклiчно набли-
женої до нормальної, є бiльш робочим i ефективним. За допомогою поняття майже полi-
циклiчно наближених до нормальних пiдгруп може бути отримана будова класу PC-груп,
що є значним розширенням класу FC-груп. Але спочатку нагадаємо деякi необхiднi для
подальшого означення (див. [9, роздiл 3]).
Нехай X — клас груп. Будемо говорити, що група G має X-класи спряжених елементiв
або що G є XC-групою, якщо факторгрупа G/CG (gG) належить до класу X для кожного
елемента g групи G. Тут через gG позначається клас усiх елементiв, якi спряженi з елемен-
том g, тобто пiдмножина {gx = x−1gx | x ∈ G}.
Природними розширеннями класу скiнченних груп є клас C усiх чернiковських груп та
клас P усiх майже полiциклiчних груп. Тому якщо X = C, то клас усiх CC-груп — це точнi-
сiнько клас усiх груп з чернiковськими класами спряженних елементiв, який був введений
у розгляд Я.Д. Половицьким [10]. Якщо ж X = P , то приходимо до класу PC-груп або
до класу всiх груп з майже полiциклiчними класами спряженостi. Вивчення цього класу
тiльки починається [8, 11]. Цей клас допускає таку характеристику. Якщо G — PC-група,
то з теореми 2.2 роботи [8] отримуємо, що для будь-якого елемента g ∈ G нормальне зами-
кання Hg = 〈g〉G є майже полiциклiчною пiдгрупою. Звiдси отримуємо, що i для будь-якої
майже полiциклiчної пiдгрупи F групи G ї ї нормальне замикання FG є майже полiцик-
лiчною пiдгрупою. Iншими словами, всяка майже полiциклiчна пiдгрупа F групи G майже
полiциклiчно наближена до нормальної. Бiльше того, ця властивiсть є характеристичною
для PC-груп. Тому природно виникає питання про будову групи G, в якiй усi пiдгрупи, крiм
майже полiциклiчних, майже полiциклiчно наближенi до нормальних. Такi групи назива-
тимемо анти-PC-групами. Вiдзначимо, що аналогiчним чином виникали анти-FC-групи.
Нагадаємо, що FC-групу можна охарактеризувати як групу, усi скiнченно породженi пiд-
групи яких є майже нормальними (вiдзначимо, що кожна скiнченно породжена пiдгрупа
FC-групи є майже полiциклiчною). Анти-FC-групи — це групи, в яких кожна нескiнченно
породжена пiдгрупа є майже нормальною. Цi групи вивчались у роботi [12]. Iнший приклад
такого пiдходу — групи, дуальнi до груп Бера. Групи Бера можна визначити як групи,
кожна скiнченно породжена (полiциклiчна) пiдгрупа яких є субнормальною. Їх антипо-
дами будуть групи, кожна нескiнченно породжена пiдгрупа яких є субнормальною. Такi
групи вивчались у роботi [13].
Вивчення анти-PC-груп було почато в роботi [7]. Основний результат цiєї роботи пока-
зує, що при деяких природних обмеженнях анти-PC-групи вичерпуються групами з майже
полiциклiчними комутантами i мiнiмаксними групами. Випадок мiнiмаксних груп вимагав
окремого розгляду. Вивченню мiнiмаксних анти-PC-груп i присвячена дана робота.
Теорема 1. Нехай G — локально скiнченна група. Якщо G — анти-PC-група, то G —
група одного з таких типiв:
(1) G — група зi скiнченним комутантом;
(2) G — майже квазiциклiчна група.
Нехай G — абелева група скiнченного спецiального рангу. Виберемо в нiй таку скiнченно
породжену пiдгрупу без скруту H, що G/H є перiодичною. Позначимо через D/H подiльну
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №10 25
частину G/H i покладемо Sp(G) = Π(D/H). Якщо K — iнша скiнченно породжена пiдгрупа
без скруту, що визначає перiодичну факторгрупу G/K, то обидва фактора H/(H
⋂
K) та
K/(H
⋂
K) скiнченнi. Це означає, що подiльнi частини G/H та G/K iзоморфнi, так що
множина Sp(G) є iнварiантом групи G.
Якщо G — розв’язна група скiнченного спецiального рангу, то Sp(G) визначається як
об’єднання спектрiв факторiв її ряду комутантiв.
Група G називається узагальнено радикальною, якщо вона має зростаючий ряд пiдгруп,
фактори якого або локально нiльпотентнi, або локально скiнченнi.
Теорема 2. Нехай G — неперiодична узагальнено радикальна група, яка мiстить у собi
нескiнченну перiодичну пiдгрупу. Група G тодi i тiльки тодi буде анти-PC-групою, коли
G — група одного з таких типiв:
(1) G — група, усi пiдгрупи якої полiциклiчно наближенi до нормальних, зокрема, вона
має майже полiциклiчний комутант.
(2) [G,G] мiстить у собi таку нормальну в G квазiциклiчну пiдгрупу D, що G/D май-
же полiциклiчна.
(3) G задовольняє такi умови:
(3A) центр групи G мiстить у собi таку квазiциклiчну пiдгрупу D, що G/D не мiс-
тить у собi нескiнченних перiодичних пiдгруп;
(3B) [G/D,G/D] = K/D — майже полiциклiчна пiдгрупа;
(3C) G/D є добутком двох нормальних пiдгруп A/D та L/D, де L/D — майже по-
лiциклiчна, а A/D — абелева мiнiмаксна група без скруту, у якої Sp(G/K) = {p}, де
{p} = Π(D);
(3D) якщо A — PC-пiдгрупа групи G, то A/(A
⋂
D) буде скiнченно породженою. Зокре-
ма, кожна пiдгрупа G, що не має скiнченної системи породжувальних елементiв, мiс-
тить у собi D.
Через P (G) будемо позначати максимальну нормальну перiодичну пiдгрупу групи G.
Теорема 3. Нехай G — неперiодична майже розв’язна мiнiмаксна група, у якої P (G) =
= 〈1〉. Якщо G є анти-PC-групою, то G — група одного з таких типiв:
(1) G — група, усi пiдгрупи якої полiциклiчно наближенi до нормальних, зокрема, вона
має майже полiциклiчний комутант.
(2) G задовольняє такi умови:
(2A) G мiстить у собi таку нормальну рацiонально G-незвiдну абелеву пiдгрупу D без
скруту, що G/D майже полiциклiчна;
(2B) якщо U — пiдгрупа G, що не має скiнченної множини породжувальних елементiв,
то U
⋂
D також не має скiнченної множини породжувальних елементiв.
(3) G задовольняє такi умови:
(3 A) G мiстить у собi таку нормальну рацiонально G-незвiдну абелеву пiдгрупу D без
скруту, що G/D є добутком двох нормальних пiдгруп A/D та Q/D, де Q/D — скiнченно
породжена, а A/D — абелева мiнiмаксна група без скруту;
(3B) якщо U — пiдгрупа G, що не має скiнченної множини породжувальних елементiв,
то U
⋂
D також не має скiнченної множини породжувальних елементiв.
Для деяких частинних випадкiв теорему 3 можна деталiзувати. Зокрема має мiсце
Теорема 4. Нехай G — неперiодична майже розв’язна мiнiмаксна група, у якої P (G) =
= 〈1〉. Припустимо також, що ζ(G) не має скiнченної системи породжувальних елемен-
тiв. Група G тодi i тiльки тодi буде анти-PC-групою, коли G — група одного з таких
типiв:
26 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №10
(1) G — група, усi пiдгрупи якої полiциклiчно наближенi до нормальних, зокрема, вона
має майже полiциклiчний комутант.
(2) G має ряд нормальних пiдгруп B 6 Z 6 G, що Z — сервантна пiдгрупа центру, B —
скiнченно породжена пiдгрупа, Z/B — квазiциклiчна p-група, G/Z — скiнченно породже-
на. Бiльше того, якщо U — пiдгрупа Z, що не має скiнченної множини породжувальних
елементiв, то U має в Z скiнченний iндекс.
(3) G має ряд нормальних пiдгруп B 6 Z 6 G, якi задовольняють такi умови:
(3A) Z — сервантна пiдгрупа центру групи G, B — скiнченно породжена пiдгрупа,
Z/B — квазiциклiчна p-група, p — просте число;
(3B) якщо U — пiдгрупа G, що не має скiнченної множини породжувальних елементiв,
то U ∩ Z має в Z скiнченний iндекс;
(3C) G/Z є добутком двох нормальних пiдгруп A/Z та L/Z, де L/Z — скiнченно по-
роджена, а A/Z — абелева мiнiмаксна група без скруту, у якої Sp(G/K) = {p}.
1. Neumann B.H. Groups with finite classes of conjugate subgroups // Math. Z. – 1955. – 63, No 1. –
P. 76–96.
2. Курдаченко Л.А., Кузенний М.Ф., Семко М.М. Групи з щiльною системою нескiнченних пiдгруп //
Доп. АН УРСР. Сер. А. – 1985. – № 3. – С. 7–9.
3. Franciosi S., de Giovanni F. Groups satisfying the minimal condition on certain non-normal subgroups //
“Groups – Korea 94”. – Berlin: Walter de Gruyter, 1995. – P. 107–118.
4. Galoppo A. Groups satisfying the maximal condition on non-nearly normal subgroups // Ric. mat. – 2000. –
49, No 2. – P. 213–220.
5. Franciosi S., de Giovanni F., Kurdachenko L.A. Groups with restrictions on non-subnormal subgroups //
Ibid. – 1997. – 46, No 2. – P. 307–320.
6. Musella C. Isomorphisms between lattices of nearly normal subgroups // Note mat. – 2000/2001. – 20,
No 1. – P. 43–52.
7. Пискун М.М. О строении групп с некоторыми системами подгрупп, близких к нормальным // Наук.
часопис НПУ iм. М. П. Драгоманова. Сер. фiз.-мат. наук. – 2006. – Вип. 7. – С. 24–34.
8. Franciosi S., de Giovanni F., Tomkinson M. J. Groups with polycyclic-by-finite conjugacy classes // Boll.
Unione mat. ital. – 1990. – 4B, No 7. – P. 35–55.
9. Kurdachenko L.A., Otal J., Subbotin I.Ya. Artinian modules over group rings. – Basel: Birkhauser, 2007. –
245 p.
10. Половицкий Я.Д. Локально экстремальные и слойно экстремальные группы // Мат. сб. – 1962. – 58,
№ 2. – С. 685–694.
11. Kurdachenko L.A., Otal J., Soules P. Groups with polycyclic-by-finite conjugate classes of subgroups //
Communs Algebra. – 2004. – 32, No 12. – P. 4769–4784.
12. Franciosi S., de Giovanno F., Kurdachenko L.A. On groups with many almost normal subgroups // Ann.
mat. pura ed Appl. – 1995. – 169, No 4. – P. 35–65.
13. Heineken H., Kurdachenko L.A. Groups with subnormality for all sub-groups that are not finitely genera-
ted // Annali Mat. – 1995. – 169. – P. 203–232.
Надiйшло до редакцiї 12.03.2008Нацiональний унiверситет державної
податкової служби України, Iрпiнь
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №10 27
|