Аналитические функции с особенностями и N-свойство
It is proved that if the image of the eventual singular set of an analytic function of measure zero is also of measure zero, and the function is zero-dimensional on it, then it is analytic everywhere.
Saved in:
| Date: | 2008 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2008
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6090 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Аналитические функции с особенностями и N-свойство / Ю.Ю. Трохимчук // Доп. НАН України. — 2008. — № 10. — С. 32-34. — Бібліогр.: 1 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859765244262350848 |
|---|---|
| author | Трохимчук, Ю.Ю. |
| author_facet | Трохимчук, Ю.Ю. |
| citation_txt | Аналитические функции с особенностями и N-свойство / Ю.Ю. Трохимчук // Доп. НАН України. — 2008. — № 10. — С. 32-34. — Бібліогр.: 1 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | It is proved that if the image of the eventual singular set of an analytic function of measure zero is also of measure zero, and the function is zero-dimensional on it, then it is analytic everywhere.
|
| first_indexed | 2025-12-02T05:25:14Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
© 2008
Член-корреспондент НАН Украины Ю.Ю. Трохимчук
Аналитические функции с особенностями и N -свойство
It is proved that if the image of the eventual singular set of an analytic function of measure
zero is also of measure zero, and the function is zero-dimensional on it, then it is analytic
everywhere.
Известно уже много примеров аналитических функций с совершенным множеством особых
точек, которые непрерывно продолжаются на это множество [1]; при этом такое множество
может иметь и нулевую (плоскую) меру, а сама функция быть даже однолистной в его
окрестности. Но в последнем случае образ множества ее особенностей всегда оказывался
уже положительной меры.
Мы покажем, что это не случайно, а именно, что имеет место следующая теорема:
Теорема. Пусть функция f : D → C непрерывна в области D и P ⊂ D — замкнутое
множество (плоской) меры нуль. Если f аналитична в D \ P , нульмерна на P 1 и образ
множества P также меры нуль, то она аналитична всюду в D.
Перед доказательством напомним определение линейной меры Хаусдорфа.
Пусть E — плоское точечное множество и пусть σε — система кругов, содержащих все
точки E , причем радиус каждого круга из σε не превышает ε. Через ν(σε) обозначим сумму
диаметров всех кругов σε. Положим νε(E) = inf ν(σε), где нижняя грань берется по все-
возможным системам σε. Монотонно возрастающая функция νε(E) имеет (конечный или
бесконечный) предел ν(E) = lim
ε→0
νε(E), который называется внешней линейной мерой Хаус-
дорфа.
Известные условия меры Каратеодори выполняются для внешней линейной меры Ха-
усдорфа, поэтому всякое B-множество линейно измеримо по Хаусдорфу и для него ν(E)
называется просто линейной мерой E . Иногда линейную меру множества называют его
длиной.
Доказательство теоремы. Так как замкнутые множества меры нуль нигде не плотны
на плоскости, то из условий теоремы следует, что функция f осуществляет внутреннее
отображение области D [1], а потому при нашем доказательстве мы можем предположить f
однолистной в этой области, а саму область — замкнутым прямоугольником [a, b; c, d] со
сторонами, параллельными осям координат.
Мы докажем, что f(z) обладает N -свойством почти на всех сечениях этого прямоуголь-
ника прямыми, параллельными его сторонам. Этим, как известно, и будет доказана вся
теорема: ведь тогда в силу суммируемости (даже с квадратом) производной f ′(z) одно-
листной функции f она оказывается абсолютно непрерывной на этих сечениях, значит,
справедлива формула Грина∫
Γ
f(z)dz =
∫∫
(Γ)
fzdz ∧ dz,
равенство нулю соответствующих контурных интегралов, а значит, и аналитичность f .
1
Т.е. ни один подконтинуум из P не стягивается в точку.
32 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №10
Достаточно провести доказательство N -свойства на прямолинейных сегментах
z1(y)z2(y), соединяющих точки z1(y) = a + iy, z2(y) = b + iy, для почти всех y ∈ [c, d].
Предположим, что этого свойства нет; тогда для каждого значения y из некоторого мно-
жества e ⊂ [c, d] положительной внешней меры:
∗
mes e = d > 0, существует на сегменте
z1(y)z2(y) совершенное множество π(y) меры нуль, образ которого q(y) при отображении
w = f(z) = u + iv имеет положительную длину. Так как вне P ⊂ D функция f(z) анали-
тична и, следовательно, обладает N -свойством, то π(y) ⊂ P , y ∈ e.
Нетрудно убедиться, что найдутся такие λ > 0 и e′ ⊂ e, что
∗
mes e′ >
d
2
,
длина q(y) > λ для всех y ∈ e′.
Идея дальнейшего доказательства состоит в том, чтобы, покрывая “достаточно боль-
шую” часть множества
⋃
y∈e′
q(y) ⊂ f(P ) попарно непересекающимися кругами и оценивая
совокупную их площадь, получить для последней значение, всегда ограниченное снизу фик-
сированным положительным числом, зависящим только от d и λ, что приведет к противо-
речию с нулевой мерой образа P .
Образ сегмента z1(y)z2(y) есть простая дуга L(y), которая представляет собой уровень
мнимой части обратной функции f−1(w) = x(u, y) + iy(u, v) и q(y) ⊂ L(y). Для каждой
точки w ∈ q(y) и каждого δ > 0 при |z′ − z′′| 6 δ имеет место |f(z′) − f(z′′)| 6 ω(δ), где
ω(δ) — модуль непрерывности f в D; напомним, что ω(δ), δ > 0, — монотонно возрастающая
непрерывная функция и ω(0) = 0.
Пусть δ столь мало, что ν4ρ(q(y)) > λ/2 при ρ = max{ω(δ), δ}. Опишем вокруг каждой из
точек q(y), как вокруг центра, круг радиуса ρ. Здесь максимальная подсистема
∑
(y) непе-
ресекающихся кругов имеет сумму диаметров > λ/12. Действительно, если утроить радиус
каждого из кругов системы
∑
(y), то такая система покроет все q(y) и радиусы кругов
будут 6 3ρ < 4ρ, поэтому сумма их диаметров превышает λ/2, а сумма диаметров первона-
чальных кругов превышает, следовательно, λ/6. Оценим площадь объединения кругов из∑
(y). Она составит Sy = nπρ2, где n — число кругов, и, очевидно, n > λ/(12ρ). Поэтому
Sy > πρ2λ/(12ρ) > λρ/4. Так как ρ = max{ω(δ), δ}, то все точки из
∑
(y) принадлежат
уровням интервала Iy = [y − δ, y + δ].
Проделав такое построение для каждого y ∈ e′, выберем из интервалов Iy конечную сис-
тему непересекающихся с суммой длин не менее d/4. Пусть эти интервалы будут Iy1
, . . . , Iyk
.
Сумма S площадей кругов по всем
∑
(ys) (s = 1, 2, . . . , k) оценивается теперь так:
S >
k∑
s=1
λρs
4
>
λ
4
k∑
s=1
ρs.
Но ρs не меньше полудлины δs интервала Iys
, поэтому
S >
λ
4
d
8
=
λd
32
.
Другими словами, как и указывалось выше, любое конечное покрытие образа f(P ) сис-
темой непересекающихся кругов дает для их совокупной площади величину, большую не-
которого фиксированного числа, чего нет, так как мера f(P ) по условию равна нулю.
Теорема доказана.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №10 33
Приведем еще пару замечаний.
Во-первых, можно заметить из доказательства теоремы, что мы фактически нигде (кро-
ме последнего момента) не пользовались тем, что само множество P имеет меру нуль. Дру-
гими словами, доказанное нами N -свойство вдоль почти всех координатных прямых имеет
место всегда при условии, что образ f(P ) имеет меру нуль. И все же, если P положительной
меры, функция f может не быть абсолютно непрерывной на этих прямых, хотя ее произ-
водная суммируема по объединению смежных интервалов на пересечении этих прямых с P .
Во-вторых, по поводу условия теоремы о нульмерности f на P рассмотрим пример.
Пусть Ω — дополнение верхней полуплоскости Im z > 0 к канторовому “гребешку” P0 × I
над отрезком I0 ≡ [0, 1] действительной оси (P0 — канторово совершенное множество на
этом отрезке). Пусть, далее, w = f(z) = u + iv конформное отображение Ω на верхнюю
полуплоскость Im w > 0. Легко видеть, что f непрерывно продолжается на “гребешок”, при
этом каждый граничный отрезок его над концом смежного к P0 интервала (так сказать,
“открытый” с одной стороны) отображается на некоторый отрезок действительной оси Ou,
все же остальные — стягиваются в точку. Из нашей теоремы легко следует, что образ P0 на
оси Ou есть нульмерное совершенное множество P1 на оси Ou, причем линейной положи-
тельной меры — иначе функция f была бы аналитической всюду в верхней полуплоскости
Im z > 0, чего нет, хотя бы в силу отсутствия нульмерности на P0 × I. Кстати, это следует
и из других соображений; именно, функция f по принципу симметрии продолжается через
“открытые” отрезки “гребешка” и притом бесконечно кратным образом, так как при такой
симметрии возникают все новые отрезки. Так что однозначной и аналитической в полу-
плоскости Im z > 0 она и не могла бы быть.
1. Трохимчук Ю.Ю. Устранимые особенности аналитических функций. – Киев: Наук. думка, 1992. –
223 с.
Поступило в редакцию 06.05.2008Институт математики НАН Украины, Киев
34 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №10
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-6090 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-02T05:25:14Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Трохимчук, Ю.Ю. 2010-02-16T16:12:03Z 2010-02-16T16:12:03Z 2008 Аналитические функции с особенностями и N-свойство / Ю.Ю. Трохимчук // Доп. НАН України. — 2008. — № 10. — С. 32-34. — Бібліогр.: 1 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6090 517.5 It is proved that if the image of the eventual singular set of an analytic function of measure zero is also of measure zero, and the function is zero-dimensional on it, then it is analytic everywhere. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Математика Аналитические функции с особенностями и N-свойство Article published earlier |
| spellingShingle | Аналитические функции с особенностями и N-свойство Трохимчук, Ю.Ю. Математика |
| title | Аналитические функции с особенностями и N-свойство |
| title_full | Аналитические функции с особенностями и N-свойство |
| title_fullStr | Аналитические функции с особенностями и N-свойство |
| title_full_unstemmed | Аналитические функции с особенностями и N-свойство |
| title_short | Аналитические функции с особенностями и N-свойство |
| title_sort | аналитические функции с особенностями и n-свойство |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6090 |
| work_keys_str_mv | AT trohimčukûû analitičeskiefunkciisosobennostâmiinsvoistvo |