О численном моделировании пространственного деформирования среды с сосредоточенной массой и расклинивающим давлением на пересекающихся включениях
A problem of modeling of the dynamic equilibrium of a medium with a localized mass and a disjoining pressure on thin intersecting inclusions is considered. The discontinuous FEM function classes are used to find the approximate generalized solution. Error estimates of the approximate solutions and t...
Saved in:
| Date: | 2008 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2008
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6091 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | О численном моделировании пространственного деформирования среды с сосредоточенной массой и расклинивающим давлением на пересекающихся включениях / В.С. Дейнека, М.В. Белоус // Доп. НАН України. — 2008. — № 10. — С. 35-41. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-6091 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Дейнека, В.С. Белоус, М.В. 2010-02-16T16:13:33Z 2010-02-16T16:13:33Z 2008 О численном моделировании пространственного деформирования среды с сосредоточенной массой и расклинивающим давлением на пересекающихся включениях / В.С. Дейнека, М.В. Белоус // Доп. НАН України. — 2008. — № 10. — С. 35-41. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6091 519.6 A problem of modeling of the dynamic equilibrium of a medium with a localized mass and a disjoining pressure on thin intersecting inclusions is considered. The discontinuous FEM function classes are used to find the approximate generalized solution. Error estimates of the approximate solutions and the results of solving a model problem are presented. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Інформатика та кібернетика О численном моделировании пространственного деформирования среды с сосредоточенной массой и расклинивающим давлением на пересекающихся включениях Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
О численном моделировании пространственного деформирования среды с сосредоточенной массой и расклинивающим давлением на пересекающихся включениях |
| spellingShingle |
О численном моделировании пространственного деформирования среды с сосредоточенной массой и расклинивающим давлением на пересекающихся включениях Дейнека, В.С. Белоус, М.В. Інформатика та кібернетика |
| title_short |
О численном моделировании пространственного деформирования среды с сосредоточенной массой и расклинивающим давлением на пересекающихся включениях |
| title_full |
О численном моделировании пространственного деформирования среды с сосредоточенной массой и расклинивающим давлением на пересекающихся включениях |
| title_fullStr |
О численном моделировании пространственного деформирования среды с сосредоточенной массой и расклинивающим давлением на пересекающихся включениях |
| title_full_unstemmed |
О численном моделировании пространственного деформирования среды с сосредоточенной массой и расклинивающим давлением на пересекающихся включениях |
| title_sort |
о численном моделировании пространственного деформирования среды с сосредоточенной массой и расклинивающим давлением на пересекающихся включениях |
| author |
Дейнека, В.С. Белоус, М.В. |
| author_facet |
Дейнека, В.С. Белоус, М.В. |
| topic |
Інформатика та кібернетика |
| topic_facet |
Інформатика та кібернетика |
| publishDate |
2008 |
| language |
Russian |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| format |
Article |
| description |
A problem of modeling of the dynamic equilibrium of a medium with a localized mass and a disjoining pressure on thin intersecting inclusions is considered. The discontinuous FEM function classes are used to find the approximate generalized solution. Error estimates of the approximate solutions and the results of solving a model problem are presented.
|
| issn |
1025-6415 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6091 |
| citation_txt |
О численном моделировании пространственного деформирования среды с сосредоточенной массой и расклинивающим давлением на пересекающихся включениях / В.С. Дейнека, М.В. Белоус // Доп. НАН України. — 2008. — № 10. — С. 35-41. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT deinekavs očislennommodelirovaniiprostranstvennogodeformirovaniâsredyssosredotočennoimassoiirasklinivaûŝimdavleniemnaperesekaûŝihsâvklûčeniâh AT belousmv očislennommodelirovaniiprostranstvennogodeformirovaniâsredyssosredotočennoimassoiirasklinivaûŝimdavleniemnaperesekaûŝihsâvklûčeniâh |
| first_indexed |
2025-11-26T02:44:59Z |
| last_indexed |
2025-11-26T02:44:59Z |
| _version_ |
1850608965193302016 |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
10 • 2008
IНФОРМАТИКА ТА КIБЕРНЕТИКА
УДК 519.6
© 2008
Академик НАН Украины В.С. Дейнека, М. В. Белоус
О численном моделировании пространственного
деформирования среды с сосредоточенной массой
и расклинивающим давлением на пересекающихся
включениях
A problem of modeling of the dynamic equilibrium of a medium with a localized mass and
a disjoining pressure on thin intersecting inclusions is considered. The discontinuous FEM
function classes are used to find the approximate generalized solution. Error estimates of the
approximate solutions and the results of solving a model problem are presented.
В работах [1–4] рассмотрены вопросы численного моделирования динамического деформи-
рования тел с прослоями сосредоточенных масс и тел, ослабленных трещинами, слабопроч-
ными включениями, на берегах которых равномерно распределены массы соответствующих
плотностей.
На практике, например для грунтовых сред, возникает необходимость в моделировании
динамического деформирования тел, содержащих несколько произвольно расположенных
в пространстве различных тонких включений.
В работе [3] исследован вопрос численного моделирования динамического деформиро-
вания тела, содержащего два непересекающихся прослоя, где один из них — слабопрочное
включение, а на втором равномерно распределена масса плотности m.
В данной работе рассматривается вопрос численного моделирования динамического де-
формирования среды, содержащей два пересекающихся включения, на одном из которых
равномерно распределена сосредоточенная масса, а второе — трещина, на которой задано
расклинивающее давление.
Постановка задачи. Предположим, что тело, занимающее объем Ω (рис. 1), содержит
пересекающиеся разрез γ1, вдоль которого возможно проскальзывание без расхождения бе-
регов и задано давление p, и тонкое включение γ2, вдоль которого равномерно распределена
масса плотностью m. Считаем, что для каждой из областей Ωi, i = 1, 4, справедлив закон
Гука. Тогда уравнения равновесия имеют вид
ρ
∂2ui
∂t2
=
3∑
k=1
∂σik
∂xk
+ fi, (x, t) ∈ ΩT , (1)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №10 35
Рис. 1
где ρ — плотность; u = u(x, t), (x = (x1, x2, x3), u = (u1, u2, u3)
T , ui — проекция вектора
смещений u на i-ю, i = 1, 3, ось декартовой системы координат); σik — компоненты тензора
напряжений; f = {fi(x, t)}
3
i=1 — вектор массовых сил; ΩT = Ω × (0, T ], Ω =
4⋃
i=1
Ωi.
Краевые условия следующие:
u = ϕ̃(x, t), (x, t) ∈ Γ × (0, T ], (2)
условия сопряжения —
[un] = 0, (x, t) ∈ γ1T
⋃
γ2T , (3)
[us] = 0, (x, t) ∈ γ2T , (4)
[σn] = m
∂2un
∂t2
, [τs] = m
∂2us
∂t2
, (x, t) ∈ γ2T , (5)
[τs] = 0, τs = r[us], (x, t) ∈ γ1T , (6)
σn0
= −p, (x, t) ∈ γ+
1T
⋃
γ−1T , (7)
где
γiT = γi × (0, T ]; γ2 = (Ω4
⋃
Ω3)
⋂
(Ω1
⋃
Ω2), γ1 = (Ω3
⋃
Ω2)
⋂
(Ω4
⋃
Ω1),
Γ =
(
4⋃
i=1
∂Ωi
)
\ (γ1
⋃
γ2), [ϕ]|γi
= ϕ+ − ϕ−, ϕ±|γi
= ϕ(x± 0, t),
начальные условия —
u(x, 0) = u0(x), x ∈
4⋃
i=1
Ωi, (8)
∂u
∂t
(x, 0) = ψ0(x), x ∈
4⋃
i=1
Ωi. (9)
Определение 1. Обобщенным решением начально-краевой задачи (1)–(9) называется
функция u = u(x, t) ∈ H, которая ∀ v ∈ H0 удовлетворяет тождествам
〈〈
∂2u
∂t2
, v
〉〉
+ a(u, v) = l(v), t ∈ (0, T ]; (10)
36 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №10
(u, v) = (u0, v), t = 0; (11)
〈〈
∂u
∂t
, v
〉〉
= 〈〈ψ0, v〉〉, t = 0, (12)
где
H =
{
v(x, t) : v|Ωi
∈W 1
2 (Ωi), i = 1, 4;
∂2v
∂t2
∈ L2(Ω);
∂2vn
∂t2
,
∂2vs
∂t2
∈ L2(γ2);
∂2vn
∂t2
,
∂2v±s
∂t2
∈ L2(γ1); v|ΓT
= ϕ̃(x, t); [vn]|γ1
= 0; [v]|γ2
= 0, t ∈ (0, T ]
}
;
H0 = {v(x) : v|Ωi
∈W 1
2 (Ωi), i = 1, 4; v|Γ = 0, [v]|γ2
= 0, [vn]|γ1
= 0},
W 1
2 (Ωi) — пространство функций Соболева, определенных на области Ωi, i = 1, 4;
l(v) = (f, v) − 2
∫
γ1
pvndγ1, (ϕ,ψ) =
∫
Ω
3∑
i=1
ϕiψidx, ϕ = {ϕi}
3
i=1, ψ = {ψi}
3
i=1;
〈〈ϕ,ψ〉〉 = (ϕ,ψ) + (mϕn, ψn)L2(γ2) + (mϕs, ψs)L2(γ2), (ϕ,ψ)L2(γi)=
∫
γi
ϕψdγi, i = 1, 2;
a(u, v) =
∫
Ω
3∑
i,k,l,m=1
ciklmεik(u)εlm(v)dx+ r
∫
γ1
[us][vs]dγ1.
Приближенное обобщенное решение. Введем обозначения
HN
0 ⊂ H0, HN ⊂ H;
HN
0 =
{
vN (x) : vN (x) =
N∑
i=1
βiϕi(x), βi = const, i = 1, N ; N < 3n1; v
N (x)|Γ = 0,
[vN
n (x)]|γ1
= 0, [vN (x)]|γ2
= 0
}
,
HN =
{
uN (x, t) : uN (x, t) =
N∑
i=1
αi(t)ϕi(x) + ψ̃(x, t), αi ∈ C2([0, T ]), i = 1, N ; N < 3n1;
uN (x, t)
∣∣
ΓT
= ϕ̃(x, t), [uN
n (x, t)]
∣∣
γ1T
= 0, [uN (x, t)]
∣∣
γ2T
= 0
}
,
где ψ̃(x, t) — фиксированная известная функция изH; ϕi(x) — базисные функции, построен-
ные с помощью вектор–функций вида (ψi(x), 0, 0)
T , (0, ψi(x), 0)
T , (0, 0, ψi(x))
T ; {ψi(x)}
n1
i=1 —
система линейно-независимых скалярных функций, определенных на Ω, ψi|Ωl
∈ W 1
2 (Ωl),
l = 1, 4.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №10 37
Определение 2. Приближенным обобщенным решением начально–краевой задачи (1)–
(9) называется вектор-функция uN (x, t) ∈ HN , которая ∀ vN (x) ∈ HN
0 удовлетворяет тож-
дествам
〈〈
∂2uN
∂t2
, vN
〉〉
+ a(uN , vN ) = l(vN ), t ∈ (0, T ]; (13)
(uN , vN ) = (u0, v
N ), t = 0; (14)
〈〈
∂u
∂t
N
, vN
〉〉
= 〈〈ψ0, v
N 〉〉, t = 0. (15)
Тождества (13)–(15) с учетом определения пространств HN , HN
0 можно записать таким
образом:
Mα̈+Kα = F, t ∈ (0, T ]; (16)
M0α(0) = F0; (17)
M1α̇(0) = F1, (18)
где
M = {mij}
N
i,j=1, M0 = {m0
ij}
N
i,j=1, M1 = {m1
ij}
N
i,j=1,
F = {f i}
N
i=1, F0 = {f i0}
N
i=1, F1 = {f i1}
N
i=1, K = {kij}
N
i,j=1,
mij = 〈〈ϕi, ϕj〉〉, m0
ij = (ϕi, ϕj), m1
ij = 〈〈ϕi, ϕj〉〉, fi0 = (u0, ϕi) − (ψ̃, ϕi)(0),
f i = l(ϕi) −
〈〈
∂2ψ̃
∂t2
, ϕi
〉〉
− a(ψ̃, ϕi), fi1 = 〈〈ψ0, ϕi〉〉 −
〈〈
∂ψ̃
∂t
, ϕi
〉〉
, kij = a(ϕi, ϕj).
Сходимость приближенных решений. Каждой функции
u(x, t) ∈ L =
{
v(x, t) : v|ΩiT
∈ C1,0(ΩiT )
⋂
C2,0(ΩiT )
⋂
C0,2(ΩiT ), i = 1, 4, t ∈ [0, T ];
v|ΓT
= ϕ̃, [vn]|γ1T
= 0, [v]|γ2T
= 0
}
поставим в соответствие функцию uN ∈ HN , удовлетворяющую следующему интегрально-
му тождеству:
a(u− uN , vN ) = 0, ∀ vN (x) ∈ HN
0 , ∀ t ∈ (0, T ]. (19)
Тогда
a(uN , vN ) = a(u, vN ),
или
Kα = F, (20)
где матрица K определена в (16); F = {f i}
N
i=1, f i = a(u, ϕi) − a(ψ̃, ϕi). Здесь матрица K —
симметрична и положительно определена. Тогда из (20) следует
α = K−1F, ∀ t ∈ (0, T ].
38 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №10
Тем самым установлено существование единственного элемента uN ∈ HN , удовлетворяю-
щего тождеству (19).
Следуя [4, 5], с учетом (19) и оценок интерполяции [6] легко установить справедливость
такого утверждения.
Теорема 1. Пусть компоненты классического решения u(x, t) начально-краевой зада-
чи (1)–(9) достаточно гладкие на областях ΩiT = Ωi × (0, T ], i = 1, 4. Тогда для прибли-
женного обобщенного решения U(x, t) ∈ HN
k имеет место оценка
‖u− U‖L2×L∞
6 chk,
где ‖ψ‖L2×L∞
= sup
t∈(0,T )
‖ψ‖L2
(t); c = const; h — наибольший из диаметров всех конечных
элементов; k — степень полиномов конечных элементов регулярного семейства на каждой
из областей Ωi, i = 1, 4.
Схема Кранка–Николсона. Приближенное решение задачи Коши (16)–(18) будем
искать с помощью схемы Кранка–Николсона [1–5]:
α0 = α(0) = M−1
0 F0, β0 = M−1
1 F1, (21)
(
M +
τ2
4
K
)
βj+1 =
(
M −
τ2
4
K
)
βj − τKαj +
τ
2
(F j+1 + F j), (22)
αj+1 = αj +
τ
2
(βj+1 + βj), j = 0,m− 1. (23)
Здесь по переменной t на отрезке [0, T ] введена регулярная сетка
ωτ =
{
tj = jτ : j = 0, 1, 2, . . . ,m; τ =
T
m
}
.
В силу высказанных предположений относительно коэффициентов рассматриваемой за-
дачи и базисных функций ϕi(x), матрицы M , K, M0, M1 — постоянные, симметричные,
положительно определенные. Следовательно, при t = tj+1 приближенное решение зада-
чи (1)–(9) определим выражением
U j+1(x) =
N∑
i=1
αj+1
i ϕi(x) + ψ̃(x, tj+1), j = 0,m− 1. (24)
Пусть u(x, t) — классическое решение начально-краевой задачи (1)–(9), а uN — его един-
ственный образ из HN
k (в смысле скалярного произведения (19)).
Лемма 1. Пусть u(x, t) — обобщенное решение задачи (1)–(9), которое достаточно
гладкое на ΩiT , i = 1, 4. Тогда имеет место неравенство
max
j
〈〈U j − uNj〉〉 6 c(〈〈U0 − uN0〉〉 + hk + τ2). (25)
Доказательство леммы проводится на основании работ [1, 4, 5].
Теорема 2. Пусть u(x, t) — классическое решение задачи (1)–(9), которое удовлетво-
ряет условиям леммы 1 и каждая из компонент которого имеет ограниченные (k + 1)-е
производные по пространственным переменным на Ωi, i = 1, 4, а {U j(x)}m
j=0 — решение,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №10 39
Рис. 2
получаемое с помощью множества HN
k и схемы Кранка–Николсона. Тогда имеет место
оценка
max
j=0,m
〈〈uj − U j〉〉 6 c(hk + τ2).
Теорема доказывается на основании работ [1, 4, 5].
Результаты решения модельного примера. Область Ω =
4⋃
i=1
Ωi состоит из четырех
подобластей (рис. 2), на каждой из которых определена система уравнений (1) с параметра-
ми: ρ = 1000, λ = 3600, µ = 1400; массовая сила f = (1400, 0, 0)T . На включении γ1 заданы
условия сопряжения (3), (6), (7), где r = 1000, p = 0. На включении γ2 заданы условия со-
пряжения (3)–(5), где m = 2000. На границе области для t ∈ (0, T ] заданы краевые условия:
u = 1,9x+ 0,6z − 5 + 0,7t2,
v = 0,18y + z + 1,
w = 0,4x− 1,17z + 4,5,
u = 1,9x+ 0,6z − 3,6 + 0,7t2,
v = 0,18y + z + 2,4,
w = 0,4x− 1,17z + 4,5,
x ∈ ∂Ω1 \ (γ1
⋃
γ2); x ∈ ∂Ω2 \ (γ1
⋃
γ2);
u = 1,1x+ 2,4 + 0,7t2,
v = 0,18y + z + 2,4,
w = x− 0,72z,
u = 1,1x+ 1 + 0,7t2,
v = 0,18y + z + 1,
w = x− 0,72z,
x ∈ ∂Ω3 \ (γ1
⋃
γ2); x ∈ ∂Ω4 \ (γ1
⋃
γ2).
Начальные условия при t = 0 имеют вид:
40 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №10
u = 1,9x+ 0,6z − 5,
v = 0,18y + z + 1,
w = 0,4x− 1,17z + 4,5,
x ∈ Ω1;
u = 1,9x+ 0,6z − 3,6,
v = 0,18y + z + 2,4,
w = 0,4x− 1,17z + 4,5,
x ∈ Ω2;
u = 1,1x+ 2,4,
v = 0,18y + z + 2,4,
w = x− 0,72z,
x ∈ Ω3;
u = 1,1x+ 1,
v = 0,18y + z + 1,
w = x− 0,72z,
x ∈ Ω4.
∂u
∂t
∣∣∣∣
t=0
=
∂v
∂t
∣∣∣∣
t=0
=
∂w
∂t
∣∣∣∣
t=0
= 0.
Классическое решение u = u(x, t) = (u(x, t), v(x, t), w(x, t))T имеет вид
u = 1,9x+ 0,6z − 5 + 0,7t2,
v = 0,18y + z + 1,
w = 0,4x− 1,17z + 4,5,
u = 1,9x+ 0,6z − 3,6 + 0,7t2,
v = 0,18y + z + 2,4,
w = 0,4x− 1,17z + 4,5,
x ∈ Ω1; x ∈ Ω2;
u = 1,1x+ 2,4 + 0,7t2,
v = 0,18y + z + 2,4,
w = x− 0,72z,
u = 1,1x+ 1 + 0,7t2,
v = 0,18y + z + 1,
w = x− 0,72z,
x ∈ Ω3; x ∈ Ω4.
Модельный пример решен численно с использованием кусочно-линейных функций ме-
тода конечных элементов. Область разбита на 3900 тетраэдров (узловых точек — 1080),
размерность результирующей системы линейных алгебраических уравнений — 3240, по-
луширина ленты матрицы — 636. При T = 5 для τ = 0,5 максимальная δ% по всем
точкам δ(u1)% = 6E−7, δ(u2)% = 4E−7, δ(u3)% = 2E−6, средняя δ% по всем точкам
δ(u1)% = 1E−8, δ(u2)% = 1E−8, δ(u3)% = 3E−8, где относительная погрешность δ% =
= |(uт − uпр)/uт| · 100%; uт, uпр — соответственно точное (классическое) и приближенное
решения.
1. Сергиенко И.В., Дейнека В. С. О численном решении задачи динамической теории упругости для
тел с сосредоточенными массами // Прикл. механика. – 2004. – 40, № 12. – С. 65–75.
2. Дейнека В. С., Белоус М.В. Численное решение задачи динамической теории упругости с сосредото-
ченной массой // Компьютерная математика. – 2004. – № 2. – С. 89–98.
3. Сергиенко И.В., Дейнека В. С. О численном решении задачи динамической теории упругости с со-
средоточенной массой и слабопрочным включением // Доп. НАН України. – 2004. – № 6. – С. 60–69.
4. Дейнека В. С., Сергиенко И.В. Анализ многокомпонентных распределенных систем и оптимальное
управление. – Киев: Наук. думка, 2007. – 703 с.
5. Garth A. Baker. Error estimates for finite element methods for second order hyperbolic equations // SIAM
J. Numer. Anal. – 1976. – 13, No 4. – P. 564–576.
6. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. – Москва: Мир, 1980. – 512 с.
Поступило в редакцию 04.04.2008Институт кибернетики им. В.М. Глушкова
НАН Украины, Киев
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №10 41
|