Чебишовське наближення раціональним виразом із точним відтворенням значення функції та її похідних у заданих точках
The problem of Chebyshev (uniform) approximation of a discrete function by a rational expression with Hermite interpolation is considered. The characteristic property of a Chebyshev approximation with exact reproduction of a function and its derivatives to the r order at given points is established....
Saved in:
| Date: | 2008 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2008
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6092 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Чебишовське наближення раціональним виразом із точним відтворенням значення функції та її похідних у заданих точках / П.С. Малачiвський // Доп. НАН України. — 2008. — № 10. — С. 42-45. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859772217822281728 |
|---|---|
| author | Малачівський, П.С. |
| author_facet | Малачівський, П.С. |
| citation_txt | Чебишовське наближення раціональним виразом із точним відтворенням значення функції та її похідних у заданих точках / П.С. Малачiвський // Доп. НАН України. — 2008. — № 10. — С. 42-45. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| description | The problem of Chebyshev (uniform) approximation of a discrete function by a rational expression with Hermite interpolation is considered. The characteristic property of a Chebyshev approximation with exact reproduction of a function and its derivatives to the r order at given points is established. A Remez algorithm to determine the parameters of this approximation is proposed.
|
| first_indexed | 2025-12-02T06:32:33Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 518.5+531.2
© 2008
П.С. Малачiвський
Чебишовське наближення рацiональним виразом
iз точним вiдтворенням значення функцiї та її похiдних
у заданих точках
(Представлено членом-кореспондентом НАН України Я.Й. Бураком)
The problem of Chebyshev (uniform) approximation of a discrete function by a rational expres-
sion with Hermite interpolation is considered. The characteristic property of a Chebyshev
approximation with exact reproduction of a function and its derivatives to the r order at given
points is established. A Remez algorithm to determine the parameters of this approximation
is proposed.
Властивостi чебишовського наближення функцiй рацiональним виразом вивчаються в ро-
ботах [1, 2]. Характеристична властивiсть чебишовського наближення функцiй рацiональ-
ним виразом з iнтерполюванням встановлена Б.А. Поповим в [3]. Дана робота присвячена
подальшому розвитку iдей [3] щодо чебишовського наближення функцiї з точним вiдтворе-
нням її значень i значень її похiдних у заданих точках.
Нехай неперервно диференцiйовна до r-го порядку функцiя f(x) (f(x) ∈ Cr[α, β]) задана
в (n + k) рiзних точках x та u вiдрiзка [α, β]
Xk = {x, u ∈ Xk : α 6 x1 < x2 < · · · < xj1 < u1 < xj1+1 < · · ·
< xjk
< uk < xjk+1 < · · · < xn 6 β}, (1)
де 1 6 j1 < j2 < · · · < jk 6 n − 1, i вiдомо, що в точках ui (i = 1, k) функцiя f(x) та її
похiднi f (ri)(x) до ri-го порядку набувають таких значень:
f(ui) = vi,0, f (j)(ui) = vi,j , j = 1, ri, i = 1, k; (2)
вагова функцiя w(x) неперервна на вiдрiзку [α, β] (w(x) ∈ C[α, β]) i не набуває на ньому
нульового значення (w(x) 6= 0, x ∈ [α, β]). Необхiдно функцiю f(x) наблизити рацiональним
виразом
Rm,l(a;x) =
Pm(a;x)
Ql(b;x)
=
m
∑
i=0
aix
i
l−1
∑
j=0
bjx
j + xl
(3)
так, щоб у точках ui (i = 1, k) значення функцiї f(x) та її похiдних f (ri)(x) до ri-го порядку
включно вiдтворювалися точно
Rm,l(a;ui) = vi,0, R
(j)
m,l(a;ui) = vi,1, j = 1, ri, i = 1, k, (4)
42 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №10
а найбiльша похибка наближення з ваговою функцiєю w(x)
∆(a) = max
x∈Xk
∣
∣
∣
∣
f(x) − Rm,la;x)
w(x)
∣
∣
∣
∣
(5)
була найменшою з можливих на множинi точок Xk (1).
Рацiональний вираз Rm,l(a
∗;x), який задовольняє умови (4) i для якого найбiльше зна-
чення абсолютної величини зваженої похибки (5) на множинi точок Xk (1) досягає наймен-
шого значення, називається чебишовським наближенням функцiї f(x) рацiональним вира-
зом Rm,l(a;x) на множинi точок Xk з вагою w(x) й ермiтовим iнтерполюванням у точках ui
(i = 1, k). При цьому величину ∆(a∗) (5) називають похибкою чебишовського наближен-
ня функцiї f(x) рацiональним виразом Rm,l(a;x) на множинi точок Xk iз вагою w(x) й
ермiтовим iнтерполюванням у точках ui (i = 1, k).
Пiд час дослiдження чебишовського наближення рацiональним виразом з iнтерполяцiй-
ними умовами використовуватимемо властивiсть щодо похiдних рацiонального виразу
R(x) =
P (x)
Q(x)
. (6)
Нехай функцiї P (x) i Q(x), якi є чисельником та знаменником рацiонального виразу (6),
диференцiйовнi до n-го порядку включно i Q(x) не набуває нульового значення. Тодi для
n-ї похiдної рацiонального виразу R(x) (6) справджується формула
R(n)(x) =
P (n)(x)
Q(x)
−
n
∑
i=1
Ci
n
Q(i)(x)
Q(x)
R(n−i)(x), (7)
де Ci
n — число комбiнацiй з n по i, а R(0)(x) = R(x).
Доведення справедливостi формули (7) отримано за методом математичної iндукцiї.
Характеристичну властивiсть чебишовського наближення рацiональним виразом (3) iз
точним вiдтворенням значень функцiї та її похiдних до r-го порядку в заданих точках
сформулюємо у виглядi теореми.
Теорема. Нехай неперервно диференцiйовна до r-го порядку (r = max
16i6k
ri) функцiя f(x)
(f(x) ∈ Cr[α, β]) задана на множинi точок Xk (1), вагова функцiя w(x) неперервна i не
набуває нульового значення на [α, β], а степiнь чисельника m i знаменника l рацiонального
виразу Rm,l(a;x) (3) задовольняють нерiвностi
m + l > k +
k
∑
i=1
ri
i
n > m − k −
k
∑
i=1
ri + l + 2.
Тодi iснує не бiльше одного обмеженого на вiдрiзку [α, β] рацiонального виразу Rm,l(a;x),
який є чебишовським наближенням функцiї f(x) на множинi точок Xk iз ваговою функ-
цiєю w(x) i точним вiдтворенням в точках ui (i = 1, k) значення функцiї та її похiдних
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №10 43
f (ri)(ui) до ri-го порядку включно. Якщо такий рацiональний вираз Rm,l(a;x) iснує, то вiн
характеризується альтернансною властивiстю
Rm,l(a;ui) = f(ui), i = 1, k,
P
(j)
m (a;ui)
Ql(b;ui)
−
j
∑
s=1
Cs
j
Q
(s)
l
(b;ui)
Ql(b;ui)
f (j−s)(ui) = f (j)(ui), j = 1, ri, i = 1, k,
f(zi) − Rm,l(a; zi)
w(zi)
= (−1)
i+
k
∑
j=1
(rj+1)Θ(zi−uj)
µ, i = 1, p,
(8)
де
|µ| = max
16i6n
∣
∣
∣
∣
f(xi) − Rm,l(a;xi)
w(xi)
∣
∣
∣
∣
, (9)
p = m − k −
k
∑
i=1
ri + l + 2, (10)
f (0)(x) = f(x),
Θ(x) — функцiя Хевiсайда
Θ(x) =
{
0, якщо x < 0,
1, якщо x > 0,
(11)
zi (i = 1, p) — впорядкованi за зростанням точки чебишовського альтернансу, P (j)
m (a;x) —
j-та похiдна чисельника рацiонального виразу Rm,l(a;x), Ql(b;x) — його знаменник,
а Q
(j)
l
(b;x) — j-та похiдна знаменника.
Доведення. Доведення цiєї теореми грунтується на характеристичнiй властивостi чеби-
шовського наближення рацiональним виразом з iнтерполюванням [3]. Його можна провести
подiбно до доведення характеристичної теореми чебишовського наближення функцiй мно-
гочленом iз точним вiдтворенням значення функцiї та її похiдної в заданих точках [4, 5].
Характеристична властивiсть (8) чебишовського наближення рацiональним виразом
Rm,l(a;x) (3) функцiї f(x) з ваговою функцiєю w(x) на множинi точок Xk i точним вiд-
творенням значень функцiї та її похiдних в точках ui (i = 1, k) записана з врахуванням
значень похiдних рацiонального виразу вiдповiдно до формули (7).
Iз цiєї теореми випливає, що характеристична властивiсть чебишовського наближен-
ня рацiональним виразом Rm,l(a;x) (3) функцiї f(x) iз точним вiдтворенням у точках ui
(i = 1, k) значень функцiї та її похiдних f (ri)(ui) до ri-го порядку включно за суттю збiга-
ється з характеристичною властивiстю вiдповiдного чебишовського наближення многочле-
ном [5]. Кiлькiсть точок альтернансу p (10) у цьому разi також залежить вiд кiлькостi па-
раметрiв, точок iнтерполювання й порядку похiдних. Знаки похибки апроксимацiї в точках
альтернансу, сусiднiх iз точками iнтерполювання ui (i = 1, k), для парних значень ri збi-
гаються, а для непарних — чергуються. Для визначення точок чебишовського альтернансу
можна застосувати схему Ремеза [3, 6] з уточненням наближення до них за модифiкованим
алгоритмом Валле-Пуссена [7].
Для знаходження значень параметрiв ai (i = 0,m) i bi (i = 0, l − 1) чебишовського на-
ближення рацiональним виразом Rm,l(a;x) (3) iз системи рiвнянь (8) можна використати
44 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №10
методи, якi застосовуються пiд час знаходження значень параметрiв чебишовського набли-
ження рацiональним виразом без iнтерполювання [6].
На закiнчення зробимо такi висновки.
Якщо iснує чебишовське наближення для неперервно диференцiйовної до r-го порядку
(r = max
16i6k
ri) функцiї f(x) рацiональним виразом Rm,l(a;x)
(
m + l > k +
k
∑
i=1
ri, n > m− k −
−
k
∑
i=1
ri+ l+2
)
з точним вiдтворенням значень функцiї та її похiдних до ri (i = 1, k) порядку
в заданих точках ui (i = 1, k), то воно єдине, а його параметри задовольняють альтернансну
властивiсть (8). Вiдповiдно до цiєї властивостi така чебишовська апроксимацiя має
(
m +
+ l − k −
k
∑
i=1
ri + 2
)
-тi точки альтернансу, в яких спосiб змiни знаку похибки апроксимацiї
залежить вiд порядку похiдної. Для знаходження параметрiв такої апроксимацiї можна
використати схему Ремеза з одноточковою замiною наближення до точок альтернансу за
модифiкованим алгоритмом Валле-Пуссена.
Чебишовське наближення з точним вiдтворенням значення функцiї та її похiдної в край-
нiх точках вiдрiзка застосовується пiд час побудови неперервних i гладких мiнiмаксних
сплайн-апроксимацiй, в яких кожна з ланок є чебишовським наближенням. Практично цi-
кавим є також застосування такого наближення для апроксимацiї розв’язкiв диференцiаль-
них рiвнянь.
1. Baratchart L., Stahl H., Wielonsky F. Non-uniqueness of rational best approximants // J. Comput. Appl.
Math. – 1999. – 105, No 1–2. – P. 141–154.
2. Blatt H.-P., Grothmann R., Kovacheva R.K. On the distribution of alternation points in uniform rational
approximation // C. R. Acad. Bulg. Sci. – 2002. – 55, No 8. – P. 5–10.
3. Попов Б.А. Pавномерное приближение сплайнами. – Киев: Наук. думка, 1989. – 272 с.
4. Малачiвський П.С. Рiвномiрне наближення з точним вiдтворенням значень функцiї та похiдної в
заданих точках // Доп. НАН України. – 2006. – № 9. – С. 80–85.
5. Малачiвський П. Рiвномiрне наближення з точним вiдтворенням значень функцiї та її похiдних у
заданих точках // Фiз.-мат. моделювання та iнформац. технологiї. – 2007. – Вип. 5. – С. 119–126.
6. Fike C.T. Computer evaluation of mathematical function. – Englewood Cliffs: Prentice-Hall, 1968. – 228 p.
7. Малачiвський П. Модифiкований алгоритм Валле-Пуссена // Фiз.-мат. моделювання та iнформац.
технологiї. – 2005. – Вип. 2. – С. 159–166.
Надiйшло до редакцiї 31.03.2008Центр математичного моделювання
Iнституту прикладних проблем механiки
та математики iм Я.С. Пiдстригача
НАН України, Львiв
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №10 45
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-6092 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-02T06:32:33Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Малачівський, П.С. 2010-02-16T16:15:02Z 2010-02-16T16:15:02Z 2008 Чебишовське наближення раціональним виразом із точним відтворенням значення функції та її похідних у заданих точках / П.С. Малачiвський // Доп. НАН України. — 2008. — № 10. — С. 42-45. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6092 518.5+531.2 The problem of Chebyshev (uniform) approximation of a discrete function by a rational expression with Hermite interpolation is considered. The characteristic property of a Chebyshev approximation with exact reproduction of a function and its derivatives to the r order at given points is established. A Remez algorithm to determine the parameters of this approximation is proposed. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Інформатика та кібернетика Чебишовське наближення раціональним виразом із точним відтворенням значення функції та її похідних у заданих точках Article published earlier |
| spellingShingle | Чебишовське наближення раціональним виразом із точним відтворенням значення функції та її похідних у заданих точках Малачівський, П.С. Інформатика та кібернетика |
| title | Чебишовське наближення раціональним виразом із точним відтворенням значення функції та її похідних у заданих точках |
| title_full | Чебишовське наближення раціональним виразом із точним відтворенням значення функції та її похідних у заданих точках |
| title_fullStr | Чебишовське наближення раціональним виразом із точним відтворенням значення функції та її похідних у заданих точках |
| title_full_unstemmed | Чебишовське наближення раціональним виразом із точним відтворенням значення функції та її похідних у заданих точках |
| title_short | Чебишовське наближення раціональним виразом із точним відтворенням значення функції та її похідних у заданих точках |
| title_sort | чебишовське наближення раціональним виразом із точним відтворенням значення функції та її похідних у заданих точках |
| topic | Інформатика та кібернетика |
| topic_facet | Інформатика та кібернетика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6092 |
| work_keys_str_mv | AT malačívsʹkiips čebišovsʹkenabližennâracíonalʹnimvirazomíztočnimvídtvorennâmznačennâfunkcíítaíípohídnihuzadanihtočkah |