О взаимодействии между неструктурными частицами при внутренней суффозии в увлажняемом несвязном грунте
A mathematical model of hydrodynamical deformations of cohesiveless soils is generalized taking the interaction between moving particles into account. Based on the sedimentation models of suspended particles under hindered conditions, an expression is developed for the interaction function in porous...
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2008
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6108 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О взаимодействии между неструктурными частицами при внутренней суффозии в увлажняемом несвязном грунте / В.Л. Поляков // Доп. НАН України. — 2008. — № 10. — С. 69-76. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860079633768120320 |
|---|---|
| author | Поляков, В.Л. |
| author_facet | Поляков, В.Л. |
| citation_txt | О взаимодействии между неструктурными частицами при внутренней суффозии в увлажняемом несвязном грунте / В.Л. Поляков // Доп. НАН України. — 2008. — № 10. — С. 69-76. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | A mathematical model of hydrodynamical deformations of cohesiveless soils is generalized taking the interaction between moving particles into account. Based on the sedimentation models of suspended particles under hindered conditions, an expression is developed for the interaction function in porous media. An analysis of the effect of the given factor on deformation characteristics is performed.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:15:44Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 532.546:626.862.9
© 2008
В.Л. Поляков
О взаимодействии между неструктурными частицами
при внутренней суффозии в увлажняемом несвязном
грунте
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины А.Я. Олейником)
A mathematical model of hydrodynamical deformations of cohesiveless soils is generalized ta-
king the interaction between moving particles into account. Based on the sedimentation models
of suspended particles under hindered conditions, an expression is developed for the interacti-
on function in porous media. An analysis of the effect of the given factor on deformation
characteristics is performed.
Как известно [1, 2], мобилизованные под действием гидродинамической силы неструктур-
ные частицы суффозионного грунта могут транспортироваться жидкостью или к границам
области движения (контуры разгрузки, дренажные устройства) с последующим их удале-
нием (внешняя суффозия), или вглубь грунта с перераспределением и накоплением на от-
дельных участках фильтрационного потока (внутренняя суффозия). Вынос суффозионных
частиц способствует постепенному снижению их содержания в области деформаций. А так
как исходное количество неструктурного вещества в природных пористых средах обычно
невелико, то взаимодействие между подвижными частицами при внешней суффозии ока-
зывается минимальным и может не приниматься во внимание. Иная картина наблюдается
при внутренней суффозии, когда образуется аккумулирующая зона с их повышенным со-
держанием [3]. Тогда частые контакты между движущимися частицами способны стать зна-
чимым фактором для деформационного и фильтрационного процессов, а их равномерное
перемещение во взаимосвязанных порах благодаря трем основным силам — фильтрацион-
ной Fh, а также противодействующим и уравновешивающим ее силам трения о скелет Ff
и внутреннего взаимодействия Fi. Анализ механической обстановки в суффозионных грун-
тах, деформируемых при работе дрен-осушителей, позволил, опираясь на первые две силы
и их известные представления, разработать и обосновать математическую модель дефор-
маций при низком содержании взвеси [4]. Что касается третьей силы, то она применительно
к пористым средам до сих пор не изучалась ввиду сложности и выделения ее из системы
сил, и измерения.
Поэтому ниже предлагается косвенный путь определения Fi, базирующийся на результа-
тах экспериментальных и теоретических исследований осаждения взвешенных частиц в не-
подвижной жидкости (отстойниках при водоочистке). Следует подчеркнуть, что в литерату-
ре приводятся многочисленные формулы для расчета разделения суспензий седиментацией
в неограниченной и ограниченной жидкостях, которые выражают зависимость между их
скоростью и концентрацией [5–7]. Большинство из них легко преобразовать и представить
в форме связи между скоростями стесненного uc и свободного uf осаждения, т. е. с учетом
и без учета взаимного влияния подвижных частиц,
uc = ufg(m), (1)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №10 69
где m — объемная концентрация взвеси. В вышеупомянутых аппаратах массовое осаждение
частиц осуществляется, по существу, при сохранении баланса между результирующей Fgl
сил тяжести Fg, Архимеда Fl и силами сопротивления Fr, Fi (Fi можно трактовать в дан-
ных условиях как дополнительную силу сопротивления). Очевидно, что силы сопротивле-
ния, рассчитанные с позиций стесненного и свободного осаждения, должны быть равны
результирующей Fgl и равны между собой. Поэтому в рамках Стоксова приближения мож-
но составить равенство
3πdcµmuf = 3πdcµmuc + Fi, (2)
где dc — (эквивалентный) радиус частиц; µ — динамическая вязкость. Вообще нижней
границей диапазона чисел Рейнольдса, характерных для фильтрации в деформируемых
несвязных грунтах с однородной суффозионной компонентой, является значение
Rek =
ukdc
ν
=
k0Ikdc
n0ν
. (3)
Здесь uk, Ik — критические средняя скорость в порах и градиент напора [8, 9]; ν — кинема-
тическая вязкость; k0, n0 — коэффициент фильтрации и пористость недеформированного
грунта. Так как ν ∼ 10−6 м2/с, Ik ∼ 10−1, k0 ∼ 10−4 м/с, dc ∼ 10−3 м, то Rek даже для
крупнозернистых песков будет порядка 10−2, что и оправдывает применение закона Стокса
даже в задачах с осевой и радиальной симметрией.
Из (2) прежде всего следует, что
Fi = 3πdcµm(uf − uc). (4)
Тогда отношение между силами сопротивления будет иметь вид
Fi
Fr
=
uf − uc
uc
=
1 − g(m)
g(m)
, (5)
а значит, их сумма составит Fr + Fi = Fr/g(m). Так как в пористой среде роль силы сопро-
тивления Fr играет сила трения Ff , то, согласно (5), получается, что
Fh =
Ff
g(m)
. (6)
Силы Fh, Ff при линейной фильтрации пропорциональны разности между действитель-
ными средними скоростями в порах жидкости u и частиц uc, а также критической uk [1].
Коэффициенты же пропорциональности зависят от геометрии порового пространства, фи-
зических свойств жидкости и совпадают. Поэтому из (6) вытекает, что указанные скорости
связаны соотношением
uc = u −
uk
g(m)
. (7)
С учетом (7) система уравнений неразрывности для жидкости и суффозионных частиц
принимает вид [10]
∂n
∂t
=
∂
∂z
(nu), (8)
70 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №10
∂m
∂t
=
∂
∂z
[
m
(
u −
uk
g(m)
)]
, (9)
где n — текущая пористость, координатная ось с началом на поверхности грунта направлена
вверх. Интенсивное промачивание грунта обусловлено нисходящим насыщенным (или по-
чти насыщенным) потоком жидкости за счет инфильтрации переменной интенсивностью ε.
Тогда из (8), (9), имея в виду n = 1 − ms − m, несложно получить
(1 − ms)u −
ukm
g(m)
= ε(t), (10)
где ms — объемная концентрация структурных частиц. Наконец, уравнение массопереноса
в безразмерной форме относительно концентрации m следует из (9), (10)
∂m
∂t
=
∂
∂z
[
m
(
ε̃ −
1 − βm
g(m)
)]
, (11)
где
m =
m
m0
, t =
ukt
Z0
, z =
z
Z0
; ε̃ =
ε
uk(1 − ms)
, β =
m0
1 − ms
,
Z0 — линейный масштаб.
Теперь математическую задачу внутренней суффозии для промачиваемого грунта с уче-
том взаимовлияния подвижных частиц можно сформулировать следующим образом:
∂m
∂t
−
∂
∂z
ϕ(m, t) = 0, (12)
z = z∗,
m
g(m)
=
ε̃(t)
1 − β
. (13)
Здесь ϕ = ε̃m − (m − βm2)/g(m); z∗ = z∗/Z0, z∗ — глубина фронта промачивания, усло-
вие (13) обосновывается в [10]. Строгое решение задачи (12), (13) строится методом харак-
теристик. Характеристическая система имеет вид
dz
dt
= −
∂ϕ
∂m
(m, t),
dm
dt
= 0. (14)
Выражение для искомой интегральной кривой находится в параметрической форме, а па-
раметры задачи ξ, η, ζ в соответствии с (13) связаны между собой таким образом:
η =
1
1 − β
ξ∫
0
ε̃(τ)dτ,
ζ
g(ζ)
=
ε̃(ξ)
1 − β
. (15)
В итоге для расчетов величины m предлагаются зависимости
m
g(m)
=
ε̃(ξ)
1 − β
, (16)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №10 71
z =
1
1 − β
ξ∫
0
ε̃(τ)dτ +
t∫
ξ
ε̃(τ)dτ + G(m)(t − ξ), (17)
где
G(m) = m(1 − βm)
g′(m)
g2(m)
−
1 − 2βm
g(m)
.
В распространенном случае ε = ε0 = const из (16), (17) получается
m
g(m)
=
ε̃0
1 − β
. (18)
Относительная же глубина верхней границы аккумулирующей зоны zm находится на основе
баланса суффозионных частиц в пределах области деформаций (увлажнения), а именно:
−zm∫
−z∗
mdz = z∗, (19)
так что
zm = z∗
m − 1
m
. (20)
В практике расчетов осаждения взвесей широко используется следующая формула [6]:
uc = ufe−αm. (21)
Следовательно, свободное осаждение, согласно (21), реализуется только в пределе при
m → 0. В разработанных же моделях фильтрационных деформаций полагалось, что взаи-
модействие между мобильными частицами отсутствует или присутствует лишь в качестве
составляющей Ff при m = 1. Поэтому с учетом (21) функцию g следует представить в виде
g(m) = e−α(m−1), (22)
где α = m0α. Тогда вспомогательные функции будут
ϕ = m[ε̃ − (1 − βm)e−α(m−1)], (23)
G = [αβm2 + (2β − α)m − 1]e−α(m−1). (24)
При ε̃ = ε̃0 из (18), (20) следуют расчетные уравнения
meα(m−1) =
ε̃0
1 − β
, (25)
zm =
ε̃0t
1 − β
(
1 −
1
m
)
. (26)
72 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №10
В другом интересном для практики случае интенсивность ε возрастает со временем по
линейному закону, так что
ε̃ = λ0 + λ1t. (27)
Таким образом, согласно (16), (22) и (27),
ξ(m) =
1
λ1
[(1 − β)meα(m−1)
− λ0], (28)
G(m) = eα(m−1)[αβm2 + (α − 2β)m − 1] (29)
и основная расчетная зависимость принимает вид
z =
β
1 − β
[
λ0ξ(m) +
λ1
2
ξ2(m)
]
+ λ0t +
λ1
2
t2 + G(m)[t − ξ(m)]. (30)
Чтобы найти глубину zm как функцию от относительного времени, в первую очередь уста-
навливается изменение на этой границе концентрации mm = m(−zm, t) в результате реше-
ния уравнения
mm∫
m∗
m
{[
βλ0
1 − β
+
βλ1ξ(m)
1 − β
− G(m)
]
dξ
dm
+ (t − ξ(m))
dG
dm
}
dm =
2λ0t + λ1t
2
2(1 − β)
, (31)
где
dξ
dm
=
1 − β
λ1
(1 + αm)eα(m−1),
dG
dm
= [2β − 2α + (4αβ − α2)m + α2βm2]eα(m−1).
Относительная концентрация на фронте увлажнения m∗ = m(−z∗) вычисляется из урав-
нения
m∗e
α(m∗−1) =
λ0 + λ1t
1 − β
. (32)
Затем при известном mm по (28), (29) находятся ξ(mm), G(mm) и, наконец, по форму-
ле (30) — положение второй границы аккумулирующей зоны. Итак, указанная зона распо-
ложена в пределах от −z∗ до −zm, причем
z∗ =
2λ0t + λ1t
2
2(1 − β)
. (33)
В принятой обобщенной математической модели увлажнения суффозионного грунта
в соответствии с (22) взаимодействие между подвижными частицами контролируется един-
ственным параметром α. Количественный анализ выполнялся на ряде характерных приме-
ров с целью оценки значимости этого фактора для внутренней суффозии. Поэтому основные
деформационные характеристики (относительные концентрация m и глубина zm) рассчи-
тывались при изменяющемся в широких пределах коэффициенте α. Показательным здесь
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №10 73
Рис. 1. Графики зависимости m(α):
1–3, 5, 6 — β = 0,1; 4 — β = 0,2; 1 — ε̃0 = 10; 2 — ε̃0 = 8; 3 — ε̃0 = 6; 4, 5 — ε̃0 = 4; 6 — ε̃0 = 2
есть убывание относительной величины m с ростом α, определявшееся при фиксирован-
ных характерных значениях ε̃0 по формуле (25). Тем самым обеспечивается равномерное
распределение неструктурных частиц в вышеупомянутой зоне. Данные вычислений посто-
янной по высоте m в зависимости от α при разных значениях β, ε̃0 представлены на рис. 1
и свидетельствуют об ощутимом снижении накопления мобилизованных частиц даже при
незначительном увеличении α, причем в большей степени при интенсивной инфильтрации.
Скорость инфильтрации ε в суффозионных грунтах определяет и увлажнительный,
и деформационный (суффозионный, кольматационный) процессы. В то же время столкно-
вения подвижных частиц между собой при заданной ε отражаются исключительно на де-
формационных характеристиках и лишь при взаимодействии поверхностных и инфильтра-
ционных вод сказываются на скорости промачивания среды. Для непосредственной оцен-
ки вклада силы взаимодействия Fi в динамику суффозионной компоненты предлагаются
рис. 2, 3, где изображены графики зависимостей относительных сокращений концентрации
∆m(α) =
m(0) − m(α)
m(0)
(рис. 2) и глубины
∆zm(α) =
zm(0) − zm(α)
zm(0)
(рис. 3) также в случае ε = const. Здесь
m(0) =
ε̃0
1 − β
, zm(0) =
ε̃0t
1 − β
,
∆zm(α) =
ε̃0 − (1 − β) · m(α)
m(α)(ε̃0 − 1 + β)
.
74 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №10
Рис. 2. Графики зависимости ∆m(α):
1 — ε̃0 = 10; 2 — ε̃0 = 8; 3 — ε̃0 = 6; 4 — ε̃0 = 4;
5 — ε̃0 = 2
Рис. 3. Графики зависимости ∆zm(α):
1 — ε̃0 = 2; 2 — ε̃0 = 4; 3 — ε̃0 = 6; 4 — ε̃0 = 8
Рис. 4. Профили относительной объемной концентрации подвижных частиц:
1 — α = 0; 2 — α = 0,1; 3 — α = 0,2
При меньших ε0 величины m и zm демонстрируют одинаковую чувствительность к ко-
эффициенту α. Однако с усилением инфильтрации m намного резче реагирует на прира-
щение α, причем это особенно заметно при малых α. Вместе с тем исходное содержание
неструктурных частиц слабо отражается на обеих характеристиках. И в заключение по
формулам (30)–(34) вычислялись профили концентрации m(z) на момент t = 1 (рис. 4).
В отличие от предыдущих примеров они имеют нетривиальную форму из-за линейного уве-
личения ε (27). Выбраны типичные значения λ0 = 2, λ1 = 1. Семейство профилей получено
благодаря дискретному изменению α. В качестве базовой при выяснении роли взаимодей-
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №10 75
ствия между мобильными частицами в суффозионном процессе служит кривая 1, отвечаю-
щая α = 0. Рост инфильтрации не влечет за собой серьезных изменений в поведении кривых
m(α) и zm(α). Действительно, и в более сложных фильтрационных условиях при α > 0,1
наблюдается ощутимое снижение концентрации подвижных частиц и за счет этого менее
значимое уменьшение глубины аккумулирующей зоны (положение ее нижней границы не
зависит от α).
1. Дмитриев А.Ф., Хлапук Н.Н., Дмитриев Д.А. Деформационные процессы в несвязных грунтах
в придренной зоне и их влияние на работу осушительно-увлажнительных систем. – Ровно: Изд-во
РГТУ, 2002. – 145 с.
2. Кондратьев В.Н. Фильтрация и механическая суффозия в несвязных грунтах. – Симферополь:
Крымиздат, 1958. – 76 с.
3. Поляков В.Л. О фильтрационных деформациях грунта с образованием аккумулирующих зон //
Прикл. гiдромеханiка. – 2003. – 5(77), № 2. – С. 45–56.
4. Хлапук М.М. Математичне моделювання процесу фiльтрацiї в середовищах, де вiдбувається меха-
нiчна суфозiя // Гiдромелiорацiя та гiдротехнiчне будiвництво. – 1998. – Вип. 23. – С. 92–98.
5. Cho S.H., Colin F., Sardin M., Prost C. Settling velocity model of activated sludge // Water Res. – 1993. –
27, No 7. – P. 1237–1242.
6. Thomas D.G. Transport characteristics of suspensions. Relation of hindered settling floc characteristics to
rheological parameters // AIChE. – 1963. – 9. – P. 310–316.
7. Wilson T.E., Lee J. S. Comparison of final clarifier design technique // J. Wat. Pollut. Control. Fed. –
1982. – 54. – P. 1376–1381.
8. Lennoz-Gratin Ch. Effect of envelopes on flow pattern near drain pipe // J. Irrig. and Drain. Div., ASCE. –
1989. – 115, No 4. – P. 626–641.
9. Ojha C. SP., Singh V. P., Adrian D.D. Determination of critical head in soil piping // J. Hydraul. Eng. –
2003. – 129, No 7. – P. 511–518.
10. Поляков В.Л. Промачивание суффозионных грунтов. 1. Суффозия // Прикл. гiдромеханiка. – 2003. –
5(77), № 3. – С. 72–82.
Поступило в редакцию 31.03.2008Институт гидромеханики НАН Украины, Киев
76 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №10
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-6108 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:15:44Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Поляков, В.Л. 2010-02-16T16:56:26Z 2010-02-16T16:56:26Z 2008 О взаимодействии между неструктурными частицами при внутренней суффозии в увлажняемом несвязном грунте / В.Л. Поляков // Доп. НАН України. — 2008. — № 10. — С. 69-76. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6108 532.546:626.862.9 A mathematical model of hydrodynamical deformations of cohesiveless soils is generalized taking the interaction between moving particles into account. Based on the sedimentation models of suspended particles under hindered conditions, an expression is developed for the interaction function in porous media. An analysis of the effect of the given factor on deformation characteristics is performed. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Механіка О взаимодействии между неструктурными частицами при внутренней суффозии в увлажняемом несвязном грунте Article published earlier |
| spellingShingle | О взаимодействии между неструктурными частицами при внутренней суффозии в увлажняемом несвязном грунте Поляков, В.Л. Механіка |
| title | О взаимодействии между неструктурными частицами при внутренней суффозии в увлажняемом несвязном грунте |
| title_full | О взаимодействии между неструктурными частицами при внутренней суффозии в увлажняемом несвязном грунте |
| title_fullStr | О взаимодействии между неструктурными частицами при внутренней суффозии в увлажняемом несвязном грунте |
| title_full_unstemmed | О взаимодействии между неструктурными частицами при внутренней суффозии в увлажняемом несвязном грунте |
| title_short | О взаимодействии между неструктурными частицами при внутренней суффозии в увлажняемом несвязном грунте |
| title_sort | о взаимодействии между неструктурными частицами при внутренней суффозии в увлажняемом несвязном грунте |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6108 |
| work_keys_str_mv | AT polâkovvl ovzaimodeistviimeždunestrukturnymičasticamiprivnutrenneisuffoziivuvlažnâemomnesvâznomgrunte |