Теплообмен в каналах сложной конфигурации
В статье предложена методика решения линейных дифференциальных уравнений второго порядка, часто встречающихся в задачах математической физики, в частности в задачах тепломассообмена в каналах сложной конфигурации. В статті запропоновано методику розв’язання лінійних диференційних рівнянь другого пор...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Промышленная теплотехника |
|---|---|
| Datum: | 2007 |
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут технічної теплофізики НАН України
2007
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/61327 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Теплообмен в каналах сложной конфигурации / А.М. Павленко, А.В. Кошлак, Б.И. Басок // Промышленная теплотехника. — 2007. — Т. 29, № 7. — С. 85-87. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859903470293745664 |
|---|---|
| author | Павленко, А.М. Кошлак, А.В. Басок, Б.И. |
| author_facet | Павленко, А.М. Кошлак, А.В. Басок, Б.И. |
| citation_txt | Теплообмен в каналах сложной конфигурации / А.М. Павленко, А.В. Кошлак, Б.И. Басок // Промышленная теплотехника. — 2007. — Т. 29, № 7. — С. 85-87. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Промышленная теплотехника |
| description | В статье предложена методика решения линейных дифференциальных уравнений второго порядка, часто встречающихся в задачах математической физики, в частности в задачах тепломассообмена в каналах сложной конфигурации.
В статті запропоновано методику розв’язання лінійних диференційних рівнянь другого порядку, що часто зустрічаються у задачах математичної фізики, зокрема в задачах тепломасообміну в каналах складної конфігурації.
In the article the method of decision of linear differential equalizations of the second order is offered, is frequent meeting in the tasks of mathematical physics, in particular in the tasks of teplomassoobmena in the channels of the complicated configuration.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:58:54Z |
| format | Article |
| fulltext |
В современных условиях большое внимание в
теплоэнергетике уделяется исследованию кон;
вективного теплообмена в каналах сложной кон;
фигурации. Такие конструктивные элементы на;
ходят применение при разработке компактных
теплообменных систем. Особенный интерес
представляют задачи нестационарного теплооб;
мена при течении теплоносителей в каналах
сложной формы. В литературных источниках
приводятся данные, относящиеся к исследова;
нию стационарных условий теплообмена. При
этом большинство решений получено путем ин;
тегрирования упрощенных уравнений переноса.
Для нестационарных процессов получены реше;
ния только для простых форм сечений (круглый,
кольцевой и щелевой каналы).
Рассмотрим данную задачу в общем виде. Тем;
пературное поле в потоке жидкости описывается
уравнением энергии, которое получено из балан;
сового соотношения энергии элемента объема
жидкости: изменение полной энергии объема
обусловлено притоком тепла через граничную
поверхность.
Ниже приведена модель процесса. Считаем, что
на стенке канала заданы граничные условия треть;
его рода, причем внешняя температура постоянна.
; (1)
; (2)
; (3)
; (4)
; (5)[ ] [ ]0;1 ; Fo 0;z∈ ∈ +∞
[ ]4
1
Bi ( , ,Fo); 0;1 ;
y
x z x
y
∈
=
∂Θ⎛ ⎞
γ + Θ = η⎜ ⎟∂⎝ ⎠
[ ] [ ]0;1 ; Fo 0;z∈ ∈ +∞
[ ]3
0
( , ,Fo); 0;1 ;
y
x z y
y
∈
=
∂Θ
= η
∂
[ ] [ ]0;1 ; Fo 0;z∈ ∈ +∞
[ ]2
1
Bi ( , ,Fo); 0;1 ;
x
y z y
x
∈
=
∂Θ⎛ ⎞+ Θ = η⎜ ⎟∂⎝ ⎠
[ ] [ ]0;1 ; Fo 0;z∈ ∈ +∞
[ ]1
0
( , ,Fo); 0;1 ;
x
y z y
x
∈
=
∂Θ
= η
∂
2 2
2
2 2Fo
W
z x y
∂Θ ∂Θ ∂ Θ ∂ Θ
+ = + γ
∂ ∂ ∂ ∂
ISSN 0204�3602. Пром. теплотехника, 2007, т. 29, № 7 85
В статті запропоновано методику
розв’язання лінійних диференційних
рівнянь другого порядку, що часто
зустрічаються у задачах математичної
фізики, зокрема в задачах тепломасо)
обміну в каналах складної конфігурації.
В статье предложена методика реше)
ния линейных дифференциальных урав)
нений второго порядка, часто встречаю)
щихся в задачах математической физики,
в частности в задачах тепломассообмена
в каналах сложной конфигурации.
In the article the method of decision of
linear differential equalizations of the second
order is offered, is frequent meeting in the
tasks of mathematical physics, in particular
in the tasks of teplomassoobmena in the
channels of the complicated configuration.
УДК 621.01.216
ПАВЛЕНКО А.М.1,
КОШЛАК А.В.1, БАСОК Б.И.2
1Днепродзержинский государственный технический университет
2Институт технической теплофизики НАН Украины
ТЕПЛООБМЕН В КАНАЛАХ СЛОЖНОЙ
КОНФИГУРАЦИИ
Θ – безразмерная температура;
W – скорость потока;
Fo – число Фурье;
Вi – число Био;
х, у, z – координаты.
; (6)
; (7)
. (8)
Решение граничной задачи (2);(7) с началь;
ными условиями (8) для уравнения (1) ищем в
виде
(9)
, (10)
где αm – корни трансцендентного уравнения
, βn – корни трансцендентного уравнения
,
. (11;13)
После решения задачи имеем
. (14)
Найденную функцию Θmnk(Fo) подставим в
формулу (9) и получим решение задачи (1);(8).
Это решение можно записать в виде
Bi
tgβ =
γβ
Bi
tgα =
α
( , , ,Fo)sinx y z k zdzπ
1 1 1
, ,
0 0 0
(Fo) cos cosm n k m nxdx ydyΘ = χ α β Θ∫ ∫ ∫
(Fo)cos cos sin ;m nx y k zdzα β π
, ,
1 1 1
( , , ,Fo) m n k
m n k
x y z
∞ ∞ ∞
= = =
Θ = Θ∑∑∑
[ ] [ ] [ ]7Fo 0
( , , ); 0;1 ; 0;1 ; 0;1x y z x y z∈ ∈ ∈=
Θ = η
[ ] [ ]0;1 ; Fo 0;y∈ ∈ +∞
[ ]61
( , ,Fo); 0;1 ;
z
x y x∈=
Θ = η
[ ] [ ]0;1 ; Fo 0;y∈ ∈ +∞
[ ]50
( , ,Fo); 0;1 ;
z
x y x∈=
Θ = η
86 ISSN 0204�3602. Пром. теплотехника, 2007, т. 29, № 7
×
×
×
×
(15)
В качестве примера рассмотрим случай, когда
Подставив эти функции в решение (15), получим:
( )7 , , 1.x y zη =
( )6 , ,Fo 1; x yη =( )5 , ,Fo 1; x yη =
( )4 , ,Fo 0;x zη =( )3 , ,Fo 0; x zη =
( )2 , ,Fo 0; y zη =( )1 , ,Fo 0;y zη =
Таким образом, в настоящей работе предлага;
ется алгоритм, позволяющий решать подобные
задачи путем сведения уравнений к квадратному
алгебраическому уравнению с переменными ко;
эффициентами. Для этого вводится вспомога;
тельная функция , которая связана
с решением y(х) и коэффициентами р(х) и g(х) и
может принимать различный вид. При этом не;
обходимо учесть, что
Например, если , тогда
или , где
. (16;17)
Уравнение (16) – квадратное алгебраическое
уравнение относительно t, решая которое, получим
и, учитывая (17),
. (18)
На функцию α(х) необходимо наложить условие
или
, (19)
которое можно записать в виде
(20)
При этом α(х) – произвольная функция, и ее
можно выбрать следующим образом:
. (21)
Подставляя функцию (21) в условия (20), при;
дем к дифференциальному уравнению Бернулли:
, (22)
решая которое, получим
.
Из курса дифференциальных уравнений из;
вестно, что уравнение (1) можно привести к
уравнению с постоянными коэффициентами
при помощи замены независимой переменной
, (24)
а учитывая (23), (25)
Задавая определенные выражения для α(х),
мы будем получать конкретные дифференциаль;
ные или трансцендентные уравнения.
Выводы
1. Вариантов выбора функции r(х) можно
предложить более десяти.
2. Предложенную методику можно успешно
использовать при решении уравнения Риккати и
систем двух линейных однородных дифференци;
альных уравнений первого порядка.
3. Незначительно видоизменив предложенную
методику, можно найти решения дифференциаль;
ных уравнений третьего и четвертого порядков.
3 1ln ( ) .z C C W x dx C= +∫
( )z C g x dx= ∫
( ) ( )
( )
2
2
2
*
1
( )
( )
4
( )
C W x
g x
C f p x
f p x W x dx C
f p x
=
⎧ ⎫⎡ ⎤ +⎪ ⎪⎣ ⎦⎡ ⎤ +⎨ ⎬⎣ ⎦ ⎡ ⎤⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭
∫
[ ]
[ ] [ ]( )
*
3 / 2( ) 4
2 ( ) ( )
( )
C f p x
g x f p x
f p x
+
=
[ ]( ) [ ]( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( )g x f p x p x g x f p x
′
+ =
[ ]{ }( )1
( ) ln ( ) ( )
2
x g x f p x
′
α =
( )2* 2 ( )
4 0.
x dxC e p g− α∫ ⎡ ⎤= + α − ≠
⎣ ⎦
( )2( )
4
x dxC e p g− α∫= + α −
[ ] ( )2( ) ( )( )
( ) 4
p x x dxp x dxW x Ce e p g
− +α− ∫∫= = + α −
( ) ( )1 2
4
2
1,2( )
p p g dx
y x e
⎛ ⎞
− +α ± +α −∫ ⎜ ⎟
⎝ ⎠=
( ) ( )2
1,2
1 1
4
2 2
t p p g= − + α ± + α −
( )
( )
( )
y x
t t x
y x
′
= =
2
( ) 0t p t q+ + α + =
2
( )
t pt q
х
t
+ +
α = −
( )
( )
( )
y x
r x
y x
′
=
( )
( ).
( )
r x
x
r x
′
= α
( )
( )
x dxr x e α∫=
ISSN 0204�3602. Пром. теплотехника, 2007, т. 29, № 7 87
.
(23)
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-61327 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0204-3602 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:58:54Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Інститут технічної теплофізики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Павленко, А.М. Кошлак, А.В. Басок, Б.И. 2014-04-30T16:25:29Z 2014-04-30T16:25:29Z 2007 Теплообмен в каналах сложной конфигурации / А.М. Павленко, А.В. Кошлак, Б.И. Басок // Промышленная теплотехника. — 2007. — Т. 29, № 7. — С. 85-87. — рос. 0204-3602 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/61327 621.01.216 В статье предложена методика решения линейных дифференциальных уравнений второго порядка, часто встречающихся в задачах математической физики, в частности в задачах тепломассообмена в каналах сложной конфигурации. В статті запропоновано методику розв’язання лінійних диференційних рівнянь другого порядку, що часто зустрічаються у задачах математичної фізики, зокрема в задачах тепломасообміну в каналах складної конфігурації. In the article the method of decision of linear differential equalizations of the second order is offered, is frequent meeting in the tasks of mathematical physics, in particular in the tasks of teplomassoobmena in the channels of the complicated configuration. ru Інститут технічної теплофізики НАН України Промышленная теплотехника Теплообмен в каналах сложной конфигурации Heat exchange in the channels of the complicated configuration Article published earlier |
| spellingShingle | Теплообмен в каналах сложной конфигурации Павленко, А.М. Кошлак, А.В. Басок, Б.И. |
| title | Теплообмен в каналах сложной конфигурации |
| title_alt | Heat exchange in the channels of the complicated configuration |
| title_full | Теплообмен в каналах сложной конфигурации |
| title_fullStr | Теплообмен в каналах сложной конфигурации |
| title_full_unstemmed | Теплообмен в каналах сложной конфигурации |
| title_short | Теплообмен в каналах сложной конфигурации |
| title_sort | теплообмен в каналах сложной конфигурации |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/61327 |
| work_keys_str_mv | AT pavlenkoam teploobmenvkanalahsložnoikonfiguracii AT košlakav teploobmenvkanalahsložnoikonfiguracii AT basokbi teploobmenvkanalahsložnoikonfiguracii AT pavlenkoam heatexchangeinthechannelsofthecomplicatedconfiguration AT košlakav heatexchangeinthechannelsofthecomplicatedconfiguration AT basokbi heatexchangeinthechannelsofthecomplicatedconfiguration |