Тепломассообмен при различных режимах течения в канале с пористыми стенками
Излагаются метод математического моделирования динамики тепломассообмена при различных режимах течения жидкости в каналах с пористыми стенками на базе уравнений Навье-Стокса и метода торможения скоростей изменения искомых функций в некоторых узловых точках разностной сетки. Выполнено сопоставление р...
Saved in:
| Published in: | Промышленная теплотехника |
|---|---|
| Date: | 2006 |
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут технічної теплофізики НАН України
2006
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/61362 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Тепломассообмен при различных режимах течения в канале с пористыми стенками / Н.И. Никитенко, Ю.Ф. Снежкин, Н.Н. Сороковая, Ю.Н. Кольчик // Промышленная теплотехника. — 2006. — Т. 28, № 1. — С. 7-17. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860020475136049152 |
|---|---|
| author | Никитенко, Н.И. Снежкин, Ю.Ф. Сороковая, Н.Н. Кольчик, Ю.Н. |
| author_facet | Никитенко, Н.И. Снежкин, Ю.Ф. Сороковая, Н.Н. Кольчик, Ю.Н. |
| citation_txt | Тепломассообмен при различных режимах течения в канале с пористыми стенками / Н.И. Никитенко, Ю.Ф. Снежкин, Н.Н. Сороковая, Ю.Н. Кольчик // Промышленная теплотехника. — 2006. — Т. 28, № 1. — С. 7-17. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Промышленная теплотехника |
| description | Излагаются метод математического моделирования динамики тепломассообмена при различных режимах течения жидкости в каналах с пористыми стенками на базе уравнений Навье-Стокса и метода торможения скоростей изменения искомых функций в некоторых узловых точках разностной сетки. Выполнено сопоставление результатов моделирования с известными экспериментальными данными.
Викладено метод математичного моделювання динаміки тепломасообміну при різноманітних режимах течії рідини в каналах з пористими стінками на базі рівнянь Нав'є -Стокса та методу гальмування швидкостей зміни шуканих функцій в деяких вузлових точках різницевої сітки. Виконано зіставлення результатів моделювання з відомими експериментальними даними.
It is stated a method of mathematical modeling of dynamics heat and mass transfer at various modes of current of a liquid in channels with porous walls on the basis of equations Navier-Stokes and of the method of braking speeds of change of required functions in some points in nodes of finite-difference grids. Comparison of results of modelling to known experimental data is executed.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:47:29Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 0204�3602. Пром. теплотехника, 2006, т. 28, № 1 7
ТЕПЛО� И МАССООБМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ
Викладено метод математичного
моделювання динаміки тепломасо)
обміну при різноманітних режимах течії
рідини в каналах з пористими стінками
на базі рівнянь Нав'є )Стокса та методу
гальмування швидкостей зміни шуканих
функцій в деяких вузлових точках різни)
цевої сітки. Виконано зіставлення ре)
зультатів моделювання з відомими екс)
периментальними даними.
Излагаются метод математичес)
кого моделирования динамики теп)
ломассообмена при различных режи)
мах течения жидкости в каналах с
пористыми стенками на базе уравне)
ний Навье)Стокса и метода торможе)
ния скоростей изменения искомых
функций в некоторых узловых точках
разностной сетки. Выполнено сопос)
тавление результатов моделирова)
ния с известными эксперименталь)
ными данными.
Are stated a method of mathematical
modeling of dynamics heat and mass
transfer at various modes of current of a
liquid in channels with porous walls on the
basis of equations Navier)Stokes and of
the method of braking speeds of change
of required functions in some points in nodes
of finite)difference grids. Comparison of
results of modelling to known experimental
data is executed.
УДК 519.6: 536.24
НИКИТЕНКО Н.И.1, СНЕЖКИН Ю.Ф.1, СОРОКОВАЯ Н.Н.1, КОЛЬЧИК Ю.Н.2
1Институт технической теплофизики НАН Украины
2Киевский национальный университет строительства и архитектуры
ТЕПЛОМАССООБМЕН ПРИ РАЗЛИЧНЫХ РЕЖИМАХ
ТЕЧЕНИЯ В КАНАЛЕ С ПОРИСТЫМИ СТЕНКАМИ
a – температуропроводность;
bW – доля узлов, в которых осуществляется тор;
можение скоростей изменения искомых
функций во времени;
С – объемная концентрация компонента смеси;
d – диаметр;
D – коэффициент диффузии;
gx, gy – проекции создаваемого массовыми сила;
ми ускорения g на оси x и y;
G – расход жидкости;
Gr – число Грасгофа;
GrD – диффузионное число Грасгофа;
hx, hy – размер шагов разностной сетки по прост;
ранственным координатам x и y;
I – число шагов разностной сетки вдоль оси х;
M – число шагов разностной сетки вдоль оси у;
J – плотность потока массы;
l – размер шага разностной сетки по времени t;
L – масштаб длины;
Р – давление;
Pr – число Прандтля;
Re – число Рейнольдса;
Sc – число Шмидта;
t – время;
Т – температура;
u, v – проекции вектора скоростии на оси x и y;
V – масштаб скорости;
Vη и Vτ – проекции вектора скоростии на оси η и τ;
x, y – декартовы координаты;
X – половина ширины щелевого канала;
Y – длина канала;
βT – коэффициент объемного термического рас;
ширения;
βj – коэффициентами объемного расширения
вследствие изменения объемной концент;
рации j;го компонента;
η и τ – нормаль и касательная к граничной по;
верхности;
θ – весовой параметр разностного уравнения;
λ – коэффициент теплопроводности;
ν – кинематический коэффициент вязкости;
ρ – плотность;
ψ – функция тока;
ω – функция вихря;
– оператор Гамильтона.
Индексы:
гр –граничные точки;
н – начальные значения функций;
т – турбулентность;
э – эквивалентная величина;
∇
Введение
Процессы тепломассообмена в каналах с по;
ристыми стенками при ламинарном, переход;
ном и турбулентном режимах течения представ;
ляют интерес для ряда отраслей современной
техники в связи с процессами сушки, испаре;
ния, конденсации, горения, адсорбции, порис;
того охлаждения.
Численное моделирование течения и тепло;
обмена в каналах с проницаемыми стенками
обычно [1,2] проводится на базе уравнений по;
граничного слоя. В работе [3] предложен сеточ;
ный метод расчета ламинарного течения и тепло;
обмена однокомпонентной вязкой несжимаемой
жидкости в каналах при наличии вдува на базе
уравнений Навье – Стокса и двухслойной пере;
счетной явной разностной схемы.
В настоящей работе излагается метод модели;
рования гидродинамики и тепломассообмена
при ламинарном, переходном и турбулентном
режимах течения в канале с пористыми стенка;
ми с использованием неусредненных уравнений
Навье;Стокса и трехслойной пересчетной яв;
ной разностной схемы. Для расчета переходного
и турбулентного режимов течения дополнитель;
но привлекается метод торможения скоростей из;
менения компонентов вектора скорости, темпе;
ратуры и объемных концентраций в некоторых
узловых точках области, идея которого сформу;
лирована в [4] в связи с задачами естественной
конвекции.
Математическая модель
Для моделирования течения и тепломассо;
обмена во внутренних точках канала использу;
ется система двумерных уравнений Навье –
Стокса в дивергентной безразмерной форме,
которая в переменных функция тока ψ, функ;
ция вихря ω, температура Т и объемная кон;
центрация Сj компонентов смеси, j = 1,2,...,jk,
имеет вид:
+
, (1)
, (2)
, (3)
, (4)
, , . (5)
где Re=VL/ν; Gr = gβL3ΔT/ν2; Grdj = gβjL
3ΔCj/ν2 –
диффузионное число Грасгофа для j;го компо;
нента смеси; Pr = ν/a; Sc = ν/D; ;
.
Уравнения переноса вихря (1), энергии (2), массы
компонентов (3) и тока (4) записаны в предположе;
нии, что в каждый момент времени t относительное
отклонение плотности смеси ρ(t, x, y) и кинематиче;
ской вязкости ν(t, x, y) от их средних значений для
рассматриваемой области пространства в тот же мо;
мент времени являются малыми. Распределения
давления жидкости в канале может быть найдено
путем решения следующего уравнения типа Пуассо;
на, вытекающего из уравнений Навье – Стокса:
8 ISSN 0204�3602. Пром. теплотехника, 2006, т. 28, № 1
ТЕПЛО) И МАССООБМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ
эф – эффективные параметры;
і, m и n – порядковые номера шагов разностной
сетки по координатам x, y и t;
j – порядковый номер компонента смеси;
k – порядковый номер итераций;
W – функция, принимающая значения и, v, Т, Сj , ψ, ω.
. (6)
Для уравнений (1)–(3) требуется задание как
начальных, так и граничных условий, а для (4) –
только граничных. Начальное распределение
скоростей, температуры и объемной концентра;
ции в общем случае имеет вид
W (0, x, y) = Wн (x, y), W = u, ν, Т, Сj. (7)
В том случае, когда требуется найти нестацио;
нарное решение системы уравнений (1)–(5), по;
ле функции вихря в момент времени t = 0 при;
ближенно может быть найдено путем решения
уравнений (1) и (4) методом установления при
условиях (7) и произвольном задании функции ω
для первой итерации.
Ниже для простоты граничные условия тепло;
и массообмена приводятся для щелевого канала
–X < x < X.
Для входного сечения канала y = 0 задаются
условия
W(t, x, 0) = W0(t, x), W = u, ν, Т, Сj . (8)
На проницаемой границе x = X задаются плот;
ности потоков вдуваемых компонен;
тов, уравнения их состояния и условия теплооб;
мена, которые могут быть первого, второго или
третьего рода. Результирующая нормальная со;
ставляющая скорости потока u (t, X, y) на этой
границе связана с расходами и объемными кон;
центрациями компонентов соотношением
, (9)
причем объемная концентрация Cj(t, X, y) компо;
нента j на границе x = X находится из уравнения
сохранения массы
. (10)
В простейшем случае можно положить, что на
этой границе продольная составляющая скоро;
сти равна нулю, а условия теплообмена – перво;
го рода
, . (11)
Когда поля скоростей, температуры и объем;
ной концентрации компонентов являются сим;
метричными относительно средней плоскости
канала x = 0, то на этой плоскости выполняются
условия
;
0. (12)
В предположении, что длина канала Y доста;
точно велика (Y / X >> 1) и вблизи границы y = Y
течение и тепломассообмен стабилизируются,
граничные условия при y = Y принимаются в виде:
, W = u, ν, Т, Сj , ψ, ω; s = 1,2,... . (13)
С целью обеспечения более высокой точности
решения для периода установления течения и
теплообмена целесообразно дополнительно ис;
пользовать уравнения баланса массы для каждо;
го из компонентов системы:
– +
+ –
– =0. (14)
Если в некоторой граничной точке В0 значе;
ние функции тока есть ψ0, то ее значение ψ1 в
точке В1 на той же границе определяется через
интеграл по контуру области
, (15)
где компоненты u и v вектора скорости на грани;
цах области считаются заданными.
Граничные условия для уравнения переноса
вихря (1) в таком виде, как, например, для урав;
нения переноса энергии, отсутствуют. В работе
[5] сделан анализ различных способов нахожде;
ния ωгр в данной точке граничной поверхности
( )
1
0
1 0
B
B
udy vdxψ = ψ + −∫
0
( , , ) ( , , )
Y
jC t X y u t X y dy∫
0
( , ,0) ( , ,0)
X
jC t x v t x dx∫
0
( , , ) ( , , )
X
jC t x Y v t x Y dx∫
0
( ,0, ) ( ,0, )
Y
jC t y u t y dy∫
=
0),0,( =ytv
),('),,( ytTyXtT =( , , ) 0v t X y =
( , , ) ' ( , , ) / ( , , )j j
j j
u t X y J t X y C t X y= ∑ ∑
),,(' yXtJ j
ISSN 0204�3602. Пром. теплотехника, 2006, т. 28, № 1 9
ТЕПЛО) И МАССООБМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ
через значения функции тока в отдельных точках
нормали к этой поверхности. Ниже излагается
способ нахождения ωгр на граничных поверхно;
стях, которые могут быть не координатными, а
также для случая неортогональных сеток. В каче;
стве граничного условия для (1) используется
уравнение
, (16)
которое вытекает из (4). Предполагается, что для
произвольной точки граничной поверхности
задан вектор скорости жидкости, а также для
одной или нескольких внутренних точках,
расположенных в ее окрестности, известны
значения функции тока ψ. При этих условиях
правая часть уравнения (16) определяется с ис;
пользованием разложения функции ψ в указан;
ных внутренних точках в ряд Тейлора. Для част;
ного случая, когда нормаль к граничной
поверхности параллельна оси x, vгр = v, uгр = u ,
ψгр = ψ(x, y) = ψ0, ψ(x + Δx1, y) = ψ1, функция ωгр
может быть найдена с погрешностью порядка Δx1
следующим образом. Согласно первому из условий
(5) . Производная
находится из разложения функции ψ(x +Δx1, y) в ряд
Тейлора по степеням Δx1. Оставляя в ряду три пер;
вых члена и учитывая второе из условий (5), находим,
что = 2 (ψ1 – ψ0 + vгрΔx1) / Δx1
2 + O (Δx1).
Таким образом, выражение для определения ωгр
с погрешностью порядка O (Δx1) принимает вид
ωгр= . (17)
Для нахождения более точного значения ωгр с
погрешностью порядка O (Δx2) достаточно допол;
нительно задать еще для одной точки нормали
значение функции тока ψ(x + Δx2, y) = ψ2. Тог;
да, удерживая в разложениях в ряд функций
ψ(x + Δx1, y) и ψ(x + Δx2, y) четыре первых члена
и комбинируя этими разложениями, получаем
ωгр = ,
. (18)
Когда граничная поверхность не параллельна
координатной плоскости или разностная сетка
не является ортогональной, следует считать, что
внутренние узловые точки, которые находятся в
окрестности данной граничной точки, не лежат
на нормали к граничной поверхности. В таких
случаях нахождение значения ωгр осуществляет;
ся в такой последовательности. Строится декар;
това система координат с началом в рассматрива;
емой граничной узловой точке Р0. Одна из осей
координат направлена вдоль внутренней норма;
ли η к граничной поверхности в точке Р0, а вто;
рая – вдоль касательной . В окрестности Р0 выби;
рается некоторое число S узловых точек Рs с
координатами ηs, τs (s = 1,2,...,S), которые связа;
ны с координатами x и y этих точек в исходной
системe координат соотношениями:
= ,
= .
Для каждой из точек Рs функция тока ψs выра;
жается через значения функции и ее производ;
ные по координатам η, τ в точке Р0 путем разло;
жения в ряд Тейлора, в котором удерживается
некоторое конечное число членов. Если вектор
скорости V на границах области является задан;
ным, то для точки Р0 его проекции Vη и Vτ , а также
их производные вдоль касательной τ, следует счи;
тать известными величинами. Это позволяет при
помощи соотношений , ,
, аналогичных (5), выразить
часть из входящих в разложения производных от
функции ψ в точке Р0 через компоненты скоро;
сти Vη и Vτ. Далее в результате варьирования пре;
образованных разложений находится выражение
для производной 2ψ / η2⎪Р0
, а затем по уравнению
ωР0
= 2ψ / η2⎪Р0
+ 2ψ / τ2⎪Р0
и значение ωгр = ωР0
.
Для нахождения ωгр с погрешностью порядка
O(Δη1 + Δτ1) достаточно располагать значением
функции тока ψ(η + Δη1, τ + Δτ1) = ψ1 в одной точ;
ке с координатами η + Δη1 и τ + Δτ1. Из разложе;
ния функции ψ1 в ряд Тейлора по степеням Δη1 и
Δτ1, в котором удерживаются члены, содержа;
щие производные от функции ψ по координатам
η и τ не выше второго порядка, после соответст;
вующих преобразований находим выражение
τ
sτ
sη
1
2
x
x
Δϕ =
Δ
10 ISSN 0204�3602. Пром. теплотехника, 2006, т. 28, № 1
ТЕПЛО) И МАССООБМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ
2ψ / η2⎪Р0
в функции от ψ0, ψ1, Vη и Vτ. После
подстановки значений 2ψ / η2⎪Р0
и 2ψ / τ2⎪Р0
в уравнение для функции тока находим
ωР0
=
. (19)
Для случая непроницаемой неподвижной
стенки, когда Vη⎪гр = Vτ⎪гр = 0, полученное выра;
жение переходит в известную формулу Тома [5].
Для определения ωР0
с погрешностью порядка
O(Δη2 + Δτ2) в разложении функции ψ требуется
удерживать члены, содержащие производные от
функции ψ по координатам η и τ до третьего поряд;
ка. Такое разложение имеет три неизвестные функ;
ции – 2ψ / η2⎪Р0
, 3ψ / η3⎪Р0
и 3ψ /( η2 τ)⎪Р0
,
поэтому в окрестности точки Р0 необходимо вы;
брать три внутренних точки. В результате комби;
нирования разложений функции тока для этих то;
чек вначале находится 2ψ / η2⎪Р0
, а затем и ωР0
.
ωР0
=
,
где
;
;
;
; ; ; s =1,2,3.
Разностный метод расчета
тепломассообмена в канале
Реализация системы уравнений (1)–(5) воз;
можна на базе численных методов. Решение
уравнений переноса вихря (1), энергии (2) и мас;
сы (3), содержащих конвективные члены, прово;
дится на основе явной трехслойной пересчетной
разностной схемы [6]. В соответствии с этим
каждому дифференциальному уравнению пере;
носа ставится в соответствие два разностных, и
искомая функция на каждом временном слое вы;
числяется в двух приближениях.
Разностные уравнения для первого приближе;
ния аппроксимируют неполное уравнение перено;
са, в котором сохраняются только конвективные
члены и временная производная. Разностные
уравнения для определения искомой функции во
втором приближении строится путем аппрокси;
мации всех членов исходного дифференциально;
го уравнения переноса.
На сетке
, i = 1,2, ...,I, , ,
, m = 1,2, ...,M, , ,
, n = 1,2, ... , , ,
разностные уравнения, которые служат для опре;
деления приближенных значений функций
W (tn, xi, ym), W = ω, Т, Cj, и аппроксимируют
уравнения (1)–(3) с погрешностью
, имеют вид
, (21)
, (22)
, (23)
, (24)
, (25)( ) ( ) 0t j x j y jC uC vCδ + δ + δ =
( ) ( ) 0t x yT uT vTδ + δ + δ =
d
2
Gr
Re
j y x
x j y j
j
g gC C
g g
⎛ ⎞
+ δ + δ⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑
( ) ( ) 0t x yu vδ ω+ δ ω + δ ω =
2 2( )n xi ymO l h h+ +
n
imW
t0 0=0>nlnnn ltt += −1
y yM = "y y0 = '1,1 −− += mymm hyy
"xxI ='0 xx =1,1 −− += ixii hxx
2
3 / 2s s sa = Δη Δτ3
2 / 6s sa = Δη2
1 / 2s sa = Δη
3 1 31 33 2 32 33/ /b b a a b a a= − −
( ) ( )2 1 21 23 31 33 22 23 32 33/ / /b b a a a a a a a a= − − −
( ) ( )21 23 31 33 32 23 32 33/ / /a a a a a a a a ⎤− − ⎦
( ) ( )1 11 13 31 33 12 13 32 331/ / / b a a a a a a a a⎡= − + −⎣
τ
τ
τ τ
τ
ISSN 0204�3602. Пром. теплотехника, 2006, т. 28, № 1 11
ТЕПЛО) И МАССООБМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ
×
×
(20)
. (26)
В разностных уравнениях (21)–(26) сеточные
функции , (W = u, ν, Т, Сj, ψ, ω) для уз;
ловой точки (xi, ym, tn) записаны для простоты без
индексов, т.е. = , = ; θ – весовой
множитель, который позволяет устранить огра;
ничение на шаг по времени, обусловленное диф;
фузионными членами в уравнениях (1)–(3), θ ≥ 0;
; ;
.
Необходимые условия устойчивости решения
разностных уравнений (21)–(26) находятся при
помощи метода условного задания некоторых ис;
комых функций системы [1]. При = 0, γ = ω,
T, С, когда уравнения (22), (24), (26) являются
двухслойными, шаг по времени выбирается
исходя из следующего условия устойчивости чис;
ленного решения
, (27)
где ;
;
;
. Если lV > lγ, то
благодаря параметру можно выбрать более
крупный шаг ln > ln
0 в соответствии с условием
lV ≥ ln > lγ, γ = ω, T, U . При этом параметр
находится по условиям, которые обеспечивают
устойчивость решения уравнений (21)–(26):
= (ln / lγ – 1)/2, ln / lγ > 1,
= 0, ln / lγ 1. (28)
Уравнение для функции тока (4) решается на
каждом временном слое n методом установления
с использованием явной трехслойной разност;
ной схемы [6]. На сетке, отличающейся от (20)
тем, что вместо реального времени tn вводится
дискретная переменная tk = tk–1 + lk (k = 1,2,...,
lk > 0, t0 = 0) , разностная аппроксимация уравне;
ния (4) c погрешностью порядка lk + за;
писывается следующим образом:
, (29)
где – весовой параметр, ≥ 0. После
произвольного выбора шагов lk, hxi, hym, опреде;
ляются значения весового параметра в со;
ответствии с условиями устойчивости уравнения
(14)
, lk > lψ,
= 0, lk ≤ lψ, (30)
причем . Результаты чис;
ленных экспериментов показали, что минималь;
ные затраты машинного времени на установле;
ние решения для функции тока достигаются при
значении параметра = 2...2,5. Ему отвечает
пяти;шестикратное увеличение временного шага
по сравнению с максимальным шагом для обыч;
ной явной двухслойной разностной схемы.
Процесс установления решения (14) считается
завершенным, если удовлетворяется условие
, где – малое положитель;
ное число. В этом случае полагается, что
. Следует отметить, что поскольку из;
менение последнего члена в правой части уравне;
ния (29) в течение одного временного шага имеет
порядок lk , число итераций для установления ре;
шения уравнения (29) является незначительным.
В качестве начального приближения, отвечающе;
го значению k = 0, принимается .
Составляющие вектора скорости и
определяются по разностным уравнениям, выте;
кающим из соотношений (5):
1n
imv +1n
imu +
k
imψθ
k
imψθk
imψθ
22
ymxi hh +
≤n
imγθ
n
imγθ
n
imγθ
n
imγθ
{ }0 min , , ,n V T Cl l l l lω≤
0
nl
n
imγθ
1, 1,
1 1
n n
i m i m
x
i i
W W
W
x x
+ −
+ −
−
δ =
−
1n n
im im
t
n
W WW
l
+ −δ =
n
imWWn
imWW
1+n
imWn
imW
12 ISSN 0204�3602. Пром. теплотехника, 2006, т. 28, № 1
ТЕПЛО) И МАССООБМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ
, . (31)
Численное решение задачи течения и тепло;
массопереноса в канале проводится в такой по;
следовательности. На временном слое n = 0 зна;
чения искомых сеточных функций u, ν, Т, Сj, ψ,
ω определяются условиями (7) и соотношениями
(5). Если для момента t = 0 функции uн, νн, ψн, ωн
равны нулю, а Тн и Сjн постоянные величины, то
0, Тн,
Сjн. (32)
Предположим, что значения сеточных функ;
ций для временных слоев 1,2,...,n уже найдены и
требуется определить их для слоя n. Вначале по
разностным уравнениям (21), (23), (25) вычисля;
ются предварительные значения функций ,
и во внутренних узловых точках
; , причем x0 = 0, xI = X,
y0 = 0, yM = Y. В граничных узловых точках при;
нимается
= , = , = . (33)
Далее по уравнениям (22), (24) и (26) находят;
ся окончательные значения сеточных функций
, и во внутренних узловых точках.
Функции , , , в узловых точках
входного сечения (m = 0) канала определяются
согласно (8) и (25):
= , ν, Т, Сj; =0;
. (34)
В узлах на проницаемой стенке (i = I) сеточ;
ные функции определяются по разностным ап;
проксимациям уравнений (9)–(11), (15):
=0; ,
,
, ,
. (35)
В узлах, лежащих в плоскости симметрии ка;
нала (i = 0) , согласно (12)
, ν, Т, Сj; 0. (36)
В узлах выходного сечения (m = M) сеточные
функции находятся на базе условий (12) при s = 1
и (15):
= , u, ν, Т, Сj;
, i = 1,2,...,I –1. (37)
Повышение точности решения на основе
уравнения баланса массы (14) может быть до;
стигнуто следующим образом. Найденные со;
гласно (37) значения продольных скоростей ν
рассматриваются как их первое приближение
, i = 1,2,...,I. Они используются для нахожде;
ния (с использованием, например, формулы тра;
пеций) приближенного расхода жидкости
через сечение m = M. Точное значение расхода
через это сечение находится по уравнению (14).
Окончательные значения скоростей нахо;
дятся по уравнению
. (38)
Значение определяется по последнему
уравнению системы (37).
Нахождение искомых функций на слое n + 1
завершается вычислением функции вихря ω в
граничных узловых точках по соотношениям, ко;
торые получены путем аппроксимации уравне;
ний вида (13) и (17):
,
, , (39)
.
Для задач естественной конвекции в областях
с непроницаемыми стенками алгоритм решения
упрощается, поскольку в этом случае для гранич;
ных узловых точек u = ν = ψ = 0.
01
,0 =ω +n
m
1
2,
1
1,
1
, 2 +
−
+
−
+ ω−ω=ω n
mi
n
Mi
n
Mi
1 1
, ,
n n M
i M i M
M
Gv v
G
+ +=
1
,
+n
Miv
MG
1
,
+n
Miv
=W1
1,
+
−
n
MiW1
,
+n
MiW
=ω +1
,0
n
m=+1
,0
n
mu=W1
,1
+n
mW=+1
,0
n
mW
Mm ,...,2,1=
11
, ' ++ = n
m
n
mI TT
=+1
,,
n
mIjC∑∑ ++ =
j
n
mIj
j
n
mj
n
mI CGu ,,
1
,
1
, /)'1
,
+n
mIv
1
0
+n
mu=W)( ,10 in xtW +
1
0
+n
iW
1
0
+n
mjC1
0
+n
mT1
0
+n
mv1
0
+n
mu
1+n
jimC1+n
imT
n
jimC1+n
jimCn
imT1+n
imT
1,...,2,1 −= Mm1,...,2,1 −= Ii
1+n
imjC1+n
imT
=0
imjC
=0
imT=ω0
im=0
imv=0
imu
ISSN 0204�3602. Пром. теплотехника, 2006, т. 28, № 1 13
ТЕПЛО) И МАССООБМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ
Как показали численные эксперименты, на;
чиная с некоторого числа Рейнольдса ,
после переходных фаз начального периода воз;
никает нестационарность решения. Если не
применять процедуру сглаживания численного
решения, то при дальнейшем увеличении числа
Re, когда его значение превысит предельную ве;
личину , происходит нарушение устой;
чивости решения. Последнее выражается в том,
что скорость и другие характеристики процесса
стремятся к бесконечности. Значение при
достаточно большом числе узловых точек прост;
ранственной разностной сетки находится в соответ;
ствии с критическим числом Рейнольдса, начиная
с которого режим течения и тепломассообмена ста;
новится турбулентным.
При изучении турбулентных режимов конвек;
ции обычно мгновенные значения скорости,
температуры концентрации представляются сум;
мами их средних значений и отклонений от сред;
них значений, называемых пульсациями.
Исследования турбулентных режимов конвек;
ции обычно базируются на предложении Рей;
нольдса об усреднении уравнений Навье;Сто;
кса, в соответствии с которым мгновенные
значения скорости, давления, плотности и тем;
пературы представляются суммами их средних и
пульсационных значений.
При этом исходные уравнения Навье;Стокса с
использованием некоторых дополнительных ус;
ловий, называемых постулатами Рейнольдса,
преобразуются в уравнения относительно осред;
ненных значений искомых функций. В послед;
них в выражения для тензора напряжений вклю;
чаются члены, зависящие от пульсационных
составляющих скорости, давления, плотности и
температуры. Эти уравнения оказываются неза;
мкнутыми. Чтобы их замкнуть требуется установ;
ление взаимосвязи между характеристиками ос;
редненного и пульсационного переносов.
Обычно вместо истинных значений кинематиче;
ских коэффициентов вязкости, теплопроводнос;
ти и диффузии D в уравнения течения и тепло;
массообмена подставляются их эффективные
значения νэф = ν + νт, λэф= λ +λт и Dэф = D + Dт,
причем νт ≥ 0, λт ≥ 0 и Dт ≥ 0 и их определение
связано с необходимостью использования боль;
шого объема эмпирической информации. Это
обстоятельство приводит к снижению достовер;
ности и универсальности получаемых результа;
тов расчетов турбулентной конвекции.
Для численного решения задач естественной
конвекции при значительных числах Re (Re > Re*)
в работе [4] предлагается другой подход. Он бази;
руется непосредственно на уравнениях Навье;
Стокса с константами переноса, которые не за;
висят от режима течения, и методе торможения
скоростей изменения искомых функций ω , Т, С
в некоторых узловых точках области, в которых
эти скорости превышают допустимые значения с
физической точки зрения и по условиям устой;
чивости решения. Необходимость операции
торможения скоростей обусловлена следующим
обстоятельством. Проблемы возникновения
неустойчивости при численном решении урав;
нений Навье;Стокса и при протекании физичес;
кого процесса конвекции, когда значения чисел
Пекле или Рейнольдса достаточно велики,
имеют общие черты. Однако, при возникнове;
нии численной неустойчивости значение, на;
пример, скорости жидкости стремится к беско;
нечности, тогда как во всех реальных процессах
течения и тепломассообмена все физические
параметры потока (скорость, температура, кон;
центрация компонентов), как и их временные
производные, остаются ограниченными (на;
пример, скорость течения не может достигнуть
скорости света). Устранение указанного несо;
ответствия в характере развития неустойчивости
может быть достигнуто путем наложения на вре;
менные производные от функций ω, Т, C, ψ в
некоторых узловых точках области, в которых
эти скорости превышают допустимые по усло;
виям устойчивости значения, ограничения сле;
дующего вида:
=AW / , если > AW,
W = ω, ψ, Т, С. (40)
Здесь AW – положительная величина, которая
может быть выбрана исходя из требования мини;
мизации числа узловых точек BW, в которых на
временном слое в момент установления решения
реализуется согласно (40) коррекция скорости
, W =, ψ, Т, C.
Re*
Re'*Re >
Re'Re =
14 ISSN 0204�3602. Пром. теплотехника, 2006, т. 28, № 1
ТЕПЛО) И МАССООБМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ
Процедура торможения скоростей может рас;
сматриваться как отвод избыточной энергии в
некоторых точках рассматриваемой области. Эта
энергия в реальных системах переходит в энер;
гию турбулентных пульсаций, масштаб которых
меньше масштаба разностной сетки, и поэтому
они не могут проявиться при численном реше;
нии. Таким образом, можно считать, что проце;
дура торможения скоростей изменения функций
ω, ψ, Т, C позволяет исключить из рассмотрения
мелкомасштабные турбулентные пульсации.
Результаты численного
моделирования
Результаты численного решения непосредствен;
но уравнений Навье;Стокса при числах Рейнольдса,
отвечающих ламинарному режиму течения, хорошо
согласуются с известными экспериментальными
данными. При более высоких значениях Re возни;
кает необходимость применения процедуры тормо;
жения скоростей изменения искомых функций в со;
ответствии с условием (40).
Как показали численные эксперименты, вели;
чина AW слабо зависит от числа узловых точек
пространственной сетки B = I · M и числа Re. Это
обстоятельство позволяет выбирать AW неизмен;
ной в достаточно широком диапазоне чисел Рей;
нольдса. С увеличением числа Re при прочих не;
изменных условиях величина BW возрастает,
причем практически во всех случаях выполняет;
ся условие Bω> BT > BC . При расчете турбулент;
ного переноса относительное число bW = BW / B
узлов, в которых осуществляется коррекция ско;
рости, вначале достаточно быстро растает, а за;
тем, достигнув максимума, монотонно снижает;
ся и в дальнейшем стабилизируется. Как видно
из таблицы, при дроблении шагов разностной
сетки величина bω, отвечающая моменту стаби;
лизации решения, монотонно снижается. По ме;
ре уменьшения шагов разностной сетки все более
мелкомасштабные вихри оказываются учтенны;
ми при численном решении уравнений (1)–(5) и
это дает основание полагать, что способ тормо;
жения скоростей на достаточно мелкой сетке
позволяет получать решение уравнений Навье ;
Стокса для турбулентного течения и тепломассо;
обмена с высокой степенью точности.
На базе изложенного численного метода про;
ведено решение задачи течения и тепломассооб;
мена парогазовой смеси в плоском щелевом ка;
нале – X < x < X и вдуве пара через проницаемые
стенки в широком диапазоне изменения числа
Рейнольдса. Условия однозначности были при;
няты симметричными относительно средней
плоскости щели. Вдоль оси y разностная сетка
принималась равномерной. В поперечном на;
правлении сетка сгущается вблизи стенок кана;
ла. Сгущение носит ступенчатый характер. На
каждой ступени размер шага остается неизмен;
ным. В направлении к стенке канала на каждой
последующей ступени шаг вдвое меньше, чем на
предыдущей. Это позволяет сохранить второй
порядок погрешности аппроксимации относи;
тельно шагов пространственной разностной сет;
ки для всех узловых точек.
На рис. 1 представлены для сопоставления зави;
симости Nu от Re при Pr = 1 для каналов с непрони;
цаемыми стенками, построенные на базе численно;
го решения, по эмпирическому уравнению [2]
ISSN 0204�3602. Пром. теплотехника, 2006, т. 28, № 1 15
ТЕПЛО) И МАССООБМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ
Значения bω в зависимости от числа Re и минимального относительного шага = min( )/X.ihminh
Nu = 0,021Re0,8Pr0,43, (41)
для круглой трубы, по эмпирическому уравне;
нию [2]
Nu = 0,017Re0,8Pr0,4(d2 / d1)0,18 при
dэ = d2 – d1 и d2 / d1 → 1 (42)
для кольцевого канала, по приближенному ана;
литическому решению для щелевого канале с не;
проницаемыми стенками при заданном парабо;
лическом профиле скорости [7]:
Nu = 1,85(Pe dэ/Yк)1/3, Pedэ/L > 70;
Nu = 7,50, Pedэ/L < 70, (43)
где Pe = RePr; dэ = 4X – эквивалентный диаметр
щели. Как видно из рисунка, представленные за;
висимости удовлетворительно согласуются. Ис;
ходя из результатов численного моделирования
на рис. 2 показано, как изменяется относитель;
ное число Нуссельта NuJ / Nu (где NuJ – число
Нуссельта при , а Nu – при )
в зависимости от относительной плотности пото;
ка массы через проницаемую стенку.
Видно, что возрастание плотности вдуваемого
пара приводит к уменьшению числа NuJ , а возра;
стание плотности отсасываемого газа – к его
увеличению.
Выводы
1. Результаты проведенных вычислительных
экспериментов свидетельствуют о том, что разра;
ботанные математическая модель и численный
метод расчета позволяют рассчитать процессы
течения и тепломассообмена в канале с прони;
цаемыми стенками при различных режимах тече;
ния жидкости.
2. Сопоставление результатов численных и
физических экспериментов свидетельствуют о
том, что применяемая в работе процедура тормо;
жения скоростей изменения функции вихря,
функции тока, температуры и концентрации ком;
понентов дает возможность непосредственно на
базе уравнений Навье;Стокса с константами пере;
носа, которые не зависят от режима течения, удов;
летворительно описать тепломассоперенос при
переходном и турбулентном режимах течения.0/' JJ
0'=J0'' ≠= ∑
j
jJJ
16 ISSN 0204�3602. Пром. теплотехника, 2006, т. 28, № 1
ТЕПЛО) И МАССООБМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ
Рис. 1. Зависимость числа Nu от числа Re при Pr = 1
для каналов с непроницаемыми стенками:
1 – расчет по формуле (34) для круглой трубы;
2 – результаты численного решения для плоского
щелевого канала; 3 – расчет по (35) для
кольцевого канала; 4 – расчет по (36) для
щелевого канала.
Рис. 2. Зависимости относительного числа
Нуссельта NuJ / Nu от относительной
плотности потока массы J' / J0 через
проницаемую стенку при различных числах
Рейнольдса:
1 – Re = 103; 2 – 104; 3 – 105.
ЛИТЕРАТУРА
1. Никитенко Н.И. Теория тепломассопере;
носа. Киев: Наук. думка, 1983.
2. Теория тепломассообмена. Под редакцией
А. И. Леонтьева. М.: МГТУ им. Баумана. 1997.
3. Никитенко Н.И. Сеточный метод расчета
течения и теплообмена вязкой несжимаемой
жидости. // ИФЖ. 1986. T. 50, N 3. С. 476 – 482.
4. Никитенко Н.И., Кольчик Ю.Н., Сороковая
Ю.Н. Метод канонических элементов для моде;
лирования гидродинамики и тепломассообмена
в областях произвольной формы. // ИФЖ. 2002.
T. 75, N 6. С. 74–80.
5. Роуч П. Вычислительная гидродинамика.
М.: Мир, 1980.
6. Никитенко Н.И. Сопряженные и обрат;
ные задачи тепломассопереноса. Киев: Наук.
думка, 1988.
7. Исаченко В.П., Осипова В.А, Сукомел А.С.
Теплопередача. М. : Энергоиздат, 1981.
Получено 15.11.2005 г.
ISSN 0204�3602. Пром. теплотехника, 2006, т. 28, № 1 17
ТЕПЛО) И МАССООБМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ
Розглянуто числове моделювання ае)
родинаміки в топці водогрійного котла.
Наведено поля векторів швидкості та ти)
ску в різні моменти часу. Обговорено ре)
зультати проведеного числового дослід)
ження.
Рассмотрено численное моделиро)
вание аэродинамики в топке водогрей)
ного котла. Представлены поля векто)
ров скорости и давления в различные
моменты времени. Обсуждены резуль)
таты проведенного численного иссле)
дования.
The numerical modeling of aerody)
namic at hot)water boiler furnace is con)
sidered. Fields of magnitude velocity and
pressure at different time moment are pre)
sented. The results of relevant numerical
data are discussed.
УДК 536.24:697.32
БАСОК Б.И., ДЕМЧЕНКО В.Г., МАРТЫНЕНКО М.П.
Институт технической теплофизики НАН Украины
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ
АЭРОДИНАМИКИ В ТОПКЕ ВОДОГРЕЙНОГО КОТЛА СО
ВТОРИЧНЫМ ИЗЛУЧАТЕЛЕМ
C – константы;
D – диаметр топочной камеры;
d – диаметр;
Gk – генерация турбулентной кинетической
энергии, обусловленная градиентом сред;
ней скорости;
H – длина топочной камеры;
h – глубина погружения горелки;
K – отношение расхода газов, идущих на повтор;
ный дожог к расходу газа в горелке;
k – кинетическая энергия турбулентности;
L – геометрический параметр, включающий пе;
ремещение огневой трубы относительно жа;
ровой, изменение глубины погружения го;
релки и ширину плоскости выхода;
l – расстояние от трубы излучателя до фронталь;
ной стенки котла;
p – статическое давление;
t – время;
u – скорость;
x –координата;
α – коэффициент избытка воздуха;
ε – скорость диссипации;
μ – коэффициент эффективной вязкости;
ρ – плотность;
σ – число Прандтля;
τ – касательное напряжение.
Индексы
k – обусловленное кинетической энергией турбу;
лентности;
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-61362 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0204-3602 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:47:29Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Інститут технічної теплофізики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Никитенко, Н.И. Снежкин, Ю.Ф. Сороковая, Н.Н. Кольчик, Ю.Н. 2014-05-04T15:18:24Z 2014-05-04T15:18:24Z 2006 Тепломассообмен при различных режимах течения в канале с пористыми стенками / Н.И. Никитенко, Ю.Ф. Снежкин, Н.Н. Сороковая, Ю.Н. Кольчик // Промышленная теплотехника. — 2006. — Т. 28, № 1. — С. 7-17. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 0204-3602 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/61362 519.6: 536.24 Излагаются метод математического моделирования динамики тепломассообмена при различных режимах течения жидкости в каналах с пористыми стенками на базе уравнений Навье-Стокса и метода торможения скоростей изменения искомых функций в некоторых узловых точках разностной сетки. Выполнено сопоставление результатов моделирования с известными экспериментальными данными. Викладено метод математичного моделювання динаміки тепломасообміну при різноманітних режимах течії рідини в каналах з пористими стінками на базі рівнянь Нав'є -Стокса та методу гальмування швидкостей зміни шуканих функцій в деяких вузлових точках різницевої сітки. Виконано зіставлення результатів моделювання з відомими експериментальними даними. It is stated a method of mathematical modeling of dynamics heat and mass transfer at various modes of current of a liquid in channels with porous walls on the basis of equations Navier-Stokes and of the method of braking speeds of change of required functions in some points in nodes of finite-difference grids. Comparison of results of modelling to known experimental data is executed. ru Інститут технічної теплофізики НАН України Промышленная теплотехника Тепло- и массообменные процессы Тепломассообмен при различных режимах течения в канале с пористыми стенками Heat- and маss transfer under various modes of tlow in a channel with porous walls Article published earlier |
| spellingShingle | Тепломассообмен при различных режимах течения в канале с пористыми стенками Никитенко, Н.И. Снежкин, Ю.Ф. Сороковая, Н.Н. Кольчик, Ю.Н. Тепло- и массообменные процессы |
| title | Тепломассообмен при различных режимах течения в канале с пористыми стенками |
| title_alt | Heat- and маss transfer under various modes of tlow in a channel with porous walls |
| title_full | Тепломассообмен при различных режимах течения в канале с пористыми стенками |
| title_fullStr | Тепломассообмен при различных режимах течения в канале с пористыми стенками |
| title_full_unstemmed | Тепломассообмен при различных режимах течения в канале с пористыми стенками |
| title_short | Тепломассообмен при различных режимах течения в канале с пористыми стенками |
| title_sort | тепломассообмен при различных режимах течения в канале с пористыми стенками |
| topic | Тепло- и массообменные процессы |
| topic_facet | Тепло- и массообменные процессы |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/61362 |
| work_keys_str_mv | AT nikitenkoni teplomassoobmenprirazličnyhrežimahtečeniâvkanalesporistymistenkami AT snežkinûf teplomassoobmenprirazličnyhrežimahtečeniâvkanalesporistymistenkami AT sorokovaânn teplomassoobmenprirazličnyhrežimahtečeniâvkanalesporistymistenkami AT kolʹčikûn teplomassoobmenprirazličnyhrežimahtečeniâvkanalesporistymistenkami AT nikitenkoni heatandmasstransferundervariousmodesoftlowinachannelwithporouswalls AT snežkinûf heatandmasstransferundervariousmodesoftlowinachannelwithporouswalls AT sorokovaânn heatandmasstransferundervariousmodesoftlowinachannelwithporouswalls AT kolʹčikûn heatandmasstransferundervariousmodesoftlowinachannelwithporouswalls |