Неустойчивость парового пузыря
Исследована устойчивость парового пузырька. Получены критерии монотонной и осциллирующей неустойчивости, формулы Томсона и Лапласа для критического радиуса парового пузырька. Досліджено стійкість парової бульбашки. Отримані критерії монотонної та осцилюючої нестійкості, формули Томсона і Лапласа для...
Saved in:
| Published in: | Промышленная теплотехника |
|---|---|
| Date: | 2005 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут технічної теплофізики НАН України
2005
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/61491 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Неустойчивость парового пузыря / А.А. Авраменко, Т.В. Сорокина // Промышленная теплотехника. — 2005. — Т. 27, № 6. — С. 12-15. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860216703730843648 |
|---|---|
| author | Авраменко, А.А. Сорокина, Т.В. |
| author_facet | Авраменко, А.А. Сорокина, Т.В. |
| citation_txt | Неустойчивость парового пузыря / А.А. Авраменко, Т.В. Сорокина // Промышленная теплотехника. — 2005. — Т. 27, № 6. — С. 12-15. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Промышленная теплотехника |
| description | Исследована устойчивость парового пузырька. Получены критерии монотонной и осциллирующей неустойчивости, формулы Томсона и Лапласа для критического радиуса парового пузырька.
Досліджено стійкість парової бульбашки. Отримані критерії монотонної та осцилюючої нестійкості, формули Томсона і Лапласа для критичного радіуса парової бульбашки.
Stability of a steam bubble has been studied. Criteria of monotonous and oscillating instability, the Thomson and the Laplas equations for the critical radius of bubble have been obtained.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:16:12Z |
| format | Article |
| fulltext |
Образование и схлопывание паровых пузырьков
приводит к всплескам в их окрестности мощных ди;
намических импульсов, что способствует интенсифи;
кации тепломассообмена. Эти процессы носят суще;
ственно нестационарный характер и по сути являются
неустойчивыми процессами. Поэтому принципиаль;
ное значение при исследовании процессов дискретно;
импульсного ввода энергии имеет учет неустойчивос;
ти подобных физических процессов. В настоящей
работе проведен анализ устойчивости парового пу;
зырька в нелинейной постановке задачи Релея [1].
Пузырек рассматривается как динамическая
система, подверженная воздействию различных
возмущающих факторов. В отличие от большин;
ства предыдущих работ основное внимание уде;
лено исследованию различных типов неустойчи;
вости, что позволит более глубоко проникнуть в
физику происходящих процессов.
Математическая модель содержит уравнение
Релея, описывающее рост парового пузыря и
уравнение Клапейрона;Клаузиуса, которое опи;
сывает связь между температурой и давлением на
линии фазового перехода (линии насыщения):
Начальные условия:
. (2)
12 ISSN 0204�3602. Пром. теплотехника, 2005, т. 27, № 6
ТЕПЛО+ И МАССООБМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ
Досліджено стійкість парової буль+
башки. Отримані критерії монотонної та
осцилюючої нестійкості, формули Том+
сона і Лапласа для критичного радіуса
парової бульбашки.
Исследована устойчивость парового
пузырька. Получены критерии монотон+
ной и осциллирующей неустойчивости,
формулы Томсона и Лапласа для крити+
ческого радиуса парового пузырька.
Stability of a steam bubble has been
studied. Criteria of monotonous and oscil+
lating instability, the Thomson and the
Laplas equations for the critical radius of
bubble have been obtained.
УДК 536.24
АВРАМЕНКО А.А., СОРОКИНА Т.В.
Институт технической теплофизики НАН Украины
НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ПАРОВОГО ПУЗЫРЯ
H– удельная теплота фазового перехода жидкость;пар;
p – давление;
Δp – разность давлений фаз;
R0 – начальный радиус паровой полости;
R – текущий радиус;
r – теплота парообразования;
t – время;
Тs – температура насыщения;
ΔТ – перегрев жидкости относительно темпера;
туры насыщения;
υ – удельный объем;
ν – кинематический коэффициент вязкости;
ρ – плотность;
σ12 – поверхностное натяжение.
Комплексы:
– число фазового перехода;
– число Лапласа;
– безразмерное давление;
– безразмерный радиус полости;
– число Вебера;
– безразмерное время.
Индексы:
0 – начальное состояние;
1, 2 – соответственно относятся к жидкой фазе и
паровой.
1
1
0 ρ
τ
p
R
t=
0R
RR =
2
1
pp
p
=
1
0 1
Lp
R p
ρν=
( )1 1 2
1 2
K s
p
H
ρ − ρ
=
ρ ρ
(1)
Приведенная модель учитывает вязкостные си;
лы, силы поверхностного натяжения на границе
жидкость;пар и силы давления на паровой пузырек.
При исследовании устойчивости парового пу;
зыря на основании предложенной математичес;
кой модели могут иметь место три вида аттракто;
ров: стационарное состояние, предельный цикл
или странный аттрактор, которые могут быть как
устойчивые, так и неустойчивые [2].
Для изучения устойчивости парового пузырька та;
кую систему уравнений удобно обезразмерить и при;
вести к системе дифференциальных уравнений пер;
вого порядка. В результате после обезразмеривания и
приведения к автономному виду система примет вид:
(3)
Методы исследования подобных систем диф;
ференциальных уравнений описаны в [2].
Для определения особых точек (стационарных
состояний) необходимо решить систему:
(4)
Решение уравнений (4) дает точки стационар;
ных состояний:
. (5)
В приведенных значениях и система
уравнений (4) превращается в тождество при лю;
бом значении . Однако было выбрано значе;
ние , исходя из физики процесса, потому
что именно это значение соответствует стацио;
нарной точке системы (4), что видно из начальных
условий (2). Параметры в
формулах (4) и (5) являются управляющими пара;
метрами. От их значений зависит устойчивость
системы дифференциальных уравнений (3) в точ;
ках стационарного состояния.
Матрица взаимодействия (матрица Якоби)
имеет вид:
. (6)
Для нахождения собственных значений мат;
рицы (6) необходимо определить нетривиальные
решения характеристического уравнения
. (7)
Это уравнение имеет решения:
(8)
Полученные собственные значения позволяют
проанализировать два вида неустойчивости — мо;
нотонную и осциллирующую (колебательную). Мо;
нотонная неустойчивость возникает при условии
. (9)
Для β1 и β3 условие (9) не выполнимо. Для β2
на основе критерия (9) находим условие моно;
тонной неустойчивости
(10)
или в размерном виде
. (11)
Возникающий паровой пузырек не может
иметь размер меньше, чем предсказывает форму;
ла (11). Если учесть, что ρ1 >> ρ2, то из (11) следу;
ет формула Томсона для минимального радиуса
-12K Wes
s
T
T
Δ <
{ } 0keℜ β >
0 1 0
2We 4Lp- 1 0
0 0
K s s
T
T
−β
− β =
Δ− −β
0 1 0
J 2We 4Lp 1
0 0
K s s
T
T
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
= ⎜ − ⎟
⎜ ⎟Δ⎜ ⎟−⎜ ⎟⎝ ⎠
TTss Δ− ,,K,We,Lp 1
1=R
0R ≠
pϑ
-11, 0, 2We 1R p= ϑ = = +
2 -1
2 2
,
3 Lp We 14 2 ,
2
.
K s s
dR
d
d p
d R R R R
dp T
d T R
= ϑ
τ
ϑ ϑ ϑ −= − − − +
τ
ϑ Δ= −
τ
ISSN 0204�3602. Пром. теплотехника, 2005, т. 27, № 6 13
ТЕПЛО+ И МАССООБМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ
возникающего пузырька, которая была получена
на основе приближенного рассмотрения физики
процесса. В тоже время формула (11) выведена из
строгого анализа устойчивости.
Осциллирующая неустойчивость возникает
при условии
. (12)
Анализ корней характеристического детерминан;
та показывает, что это условие выполняется, если
. (13)
Переходя к размерным величинам, получим
значение радиуса парового пузырька, при кото;
ром возникают осцилляции
, (14)
где Rmin определяется по формуле (11).
В отличие от начального радиуса R0 радиус
Rosc, при котором возникают колебания межфаз;
ной поверхности, зависит от вязкости. Из (14)
видно, что чем больше вязкость, тем больше Rosc.
Вязкость демпфирует осцилляции, поэтому для
начала колебаний паровому пузырю необходимо
иметь более развитую поверхность раздела фаз,
чем и обусловлен рост Rosc.
Для случая исчезающей вязкости (Lp → 0), ког;
да подкоренное выражение в формулах для собст;
венных значений (8) меньше нуля, возникает би;
фуркация Хопфа. При этом, как следует из
формулы (14), Rosc = Rmin. Это означает, что осцил;
ляции парового пузырька начинаются с момента
его возникновения. Таким образом, можно сделать
вывод о том, что вязкость является основным дем;
пфирующим фактором при возникновении коле;
баний пузыря. При этих условиях траектория ре;
шений в фазовом пространстве ( ) отходит
от предельного цикла по спирали, который изобра;
жен на рис. 1 вместе со своими проекциями на ко;
ординатные плоскости. При условии Lp>0 форма
траекторий решений в фазовом пространстве мо;
дифицируется в сходящуюся по спирали траекто;
рию. Это означает, что возникают затухающие ко;
лебания и степень затухания зависит от числа Lp.
Частным случаем системы (3) является случай,
когда перепад давлений Δр = const. Такое условие
может быть реализовано при резком сбросе дав;
ления в системе. При этом математическая мо;
дель (3) редуцируется к виду:
(15)
2 -1
2 2
,
3 Lp We4 2 .
2
dR
d
d p
d R R R R
= ϑ
τ
ϑ ϑ ϑ Δ= − − − +
τ
, , R pϑ
( )
2 2
min 2 1
2
1 2
1 1 4
2osc
s s
R T HR
T
⎛ ⎞Δ ρ ν ρ> + +⎜ ⎟⎜ ⎟ρ − ρ σ⎝ ⎠
-1 22K We 4K Lps s
s
T
T
Δ > +
14 ISSN 0204�3602. Пром. теплотехника, 2005, т. 27, № 6
ТЕПЛО+ И МАССООБМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ
Рис. 1 Неустойчивый предельный цикл: а) его проекции на фазовые плоскости; б) проекция
в фазовой плоскости R, ϑϑ.
a б
Из анализа устойчивости уравнений (15) нахо;
дится точка стационарного состояния:
. (16)
Выражение (16), по сути, представляет собой
уравнение Лапласа для критического радиуса пу;
зырька, что свидетельствует об адекватности
предложенной модели и методики исследования.
Как упоминалось ранее, существует три типа
аттракторов [2]. Стационарное состояние и пре;
дельный цикл изучены выше. Однако, если раз;
мерность системы больше двух, то в её фазовом
пространстве может возникнуть странный ат;
трактор, который также имеет размерность боль;
ше двух. Результаты численного исследования
показывают отсутствие в фазовом пространстве
системы (3) странного аттрактора. Траектория
решений в фазовом пространстве имеет ярко вы;
раженный двухмерный характер (рис. 1 (а)), что
свидетельствует о том, что нет никаких предпо;
сылок зарождения странного аттрактора. Это
обусловлено тем, что в физической системе
“жидкость – паровой пузырек”, как показывают
эксперименты [1], существует только два вида
неустойчивости – монотонная (стационарное
состояние) и осциллирующая (предельный
цикл). В этом состоит отличие исследуемой сис;
темы от системы Лоренца [3], в которой сущест;
вует три типа неустойчивости.
Выводы
В результате проведенного исследования
предложенная математическая модель изучена
на наличие трех типов аттракторов. Из строгого
анализа устойчивости получены формулы Томсо;
на и Лапласа для критического радиуса парового
пузырька, что свидетельствует об адекватности
предложенной модели и методики исследования.
ЛИТЕРАТУРА:
1. Долинский А.А., Басок Б.И., Гулый С.И.,
Накорчевский А.И., Шурчкова Ю.А. Дискретно;
импульсный ввод энергии в теплотехнологиях. —
Киев: ИТТФ НАНУ, 1996, 208c.
2. Николис Дж. Динамика иерархических си;
стем. Эволюционное представление. — М.: Мир,
1989 – 486 с.
3. Lorenz E.N. Deterministic nonperiodic flow //
J. Atmos. Sci. – 1963. – 20. – P. 130;147.
Получено 27.08.2005 г.
-12WeR
p
=
Δ
ISSN 0204�3602. Пром. теплотехника, 2005, т. 27, № 6 15
ТЕПЛО+ И МАССООБМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-61491 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0204-3602 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:16:12Z |
| publishDate | 2005 |
| publisher | Інститут технічної теплофізики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Авраменко, А.А. Сорокина, Т.В. 2014-05-06T15:15:53Z 2014-05-06T15:15:53Z 2005 Неустойчивость парового пузыря / А.А. Авраменко, Т.В. Сорокина // Промышленная теплотехника. — 2005. — Т. 27, № 6. — С. 12-15. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. 0204-3602 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/61491 536.24 Исследована устойчивость парового пузырька. Получены критерии монотонной и осциллирующей неустойчивости, формулы Томсона и Лапласа для критического радиуса парового пузырька. Досліджено стійкість парової бульбашки. Отримані критерії монотонної та осцилюючої нестійкості, формули Томсона і Лапласа для критичного радіуса парової бульбашки. Stability of a steam bubble has been studied. Criteria of monotonous and oscillating instability, the Thomson and the Laplas equations for the critical radius of bubble have been obtained. ru Інститут технічної теплофізики НАН України Промышленная теплотехника Тепло- и массообменные процессы Неустойчивость парового пузыря Instability of steam bubble Article published earlier |
| spellingShingle | Неустойчивость парового пузыря Авраменко, А.А. Сорокина, Т.В. Тепло- и массообменные процессы |
| title | Неустойчивость парового пузыря |
| title_alt | Instability of steam bubble |
| title_full | Неустойчивость парового пузыря |
| title_fullStr | Неустойчивость парового пузыря |
| title_full_unstemmed | Неустойчивость парового пузыря |
| title_short | Неустойчивость парового пузыря |
| title_sort | неустойчивость парового пузыря |
| topic | Тепло- и массообменные процессы |
| topic_facet | Тепло- и массообменные процессы |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/61491 |
| work_keys_str_mv | AT avramenkoaa neustoičivostʹparovogopuzyrâ AT sorokinatv neustoičivostʹparovogopuzyrâ AT avramenkoaa instabilityofsteambubble AT sorokinatv instabilityofsteambubble |