Компьютерное моделирование задачи о нелинейном флаттере вязкоупругой пластины из композиционного материала с сосредоточенными массами
Рассмотрена задача о флаттере вязкоупругой прямоугольной пластины с сосредоточенными массами в геометрически нелинейной постановке. Математическая модель задачи с помощью метода Бубнова—Галеркина сведена к решению систем нелинейных интегро-дифференциальных уравнений Вольтерры, для решения которых пр...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Электронное моделирование |
|---|---|
| Дата: | 2010 |
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
2010
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/61674 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Компьютерное моделирование задачи о нелинейном флаттере вязкоупругой пластины из композиционного материала с сосредоточенными массами / X. Эшматов, А. Ходжаевд, Б.X. Эшматов, О.Р. Кучаров // Электронное моделирование. — 2010. — Т. 32, № 5. — С. 3-10. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859648664849350656 |
|---|---|
| author | Эшматов, Х. Ходжаевд, А. Эшматов, Б.Х. Кучаров, О.Р. |
| author_facet | Эшматов, Х. Ходжаевд, А. Эшматов, Б.Х. Кучаров, О.Р. |
| citation_txt | Компьютерное моделирование задачи о нелинейном флаттере вязкоупругой пластины из композиционного материала с сосредоточенными массами / X. Эшматов, А. Ходжаевд, Б.X. Эшматов, О.Р. Кучаров // Электронное моделирование. — 2010. — Т. 32, № 5. — С. 3-10. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Электронное моделирование |
| description | Рассмотрена задача о флаттере вязкоупругой прямоугольной пластины с сосредоточенными массами в геометрически нелинейной постановке. Математическая модель задачи с помощью метода Бубнова—Галеркина сведена к решению систем нелинейных интегро-дифференциальных уравнений Вольтерры, для решения которых применен численный метод, основанный на использовании квадратурных формул. Расчеты проведены для реальных композиционных материалов в среде программирования Delphi.
Розглянуто задачу про флатер в’язкопружної прямокутної пластини з зосередженними масами у геометричній нелінійній постановці. Математичну модель задачі за допомогою метода Бубнова—Гальоркіна зведено до розв’язання систем нелінійних інтегро-диференціальних рівнянь Вольтери, для розв’язку яких застосовано чисельний метод, базований на використанні квадратурних формул. Розрахунки проведено для реальних композиційних мате ріалів у середовищі програмування Delphi.
The paper deals with a problem on a flatter of a viscoelastic, rectangular plate with concentrated masses in geometrically nonlinear setting. Mathematical model of the problem is reduced, using the Bubnov-Galerkin method, to solution of the system of nonlinear integro-differential Volterra equations, a numerical method based on the use of quadrature formulae being used for their solution. Calculations were carried out for real composite materials in the Delphi programming environment.
|
| first_indexed | 2025-12-07T13:30:44Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 539.3
Õ. Ýøìàòîâ, ä-ð òåõí. íàóê, Ä. À. Õîäæàåâ, êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê
Òàøêåíòñêèé èíñòèòóò èððèãàöèè è ìåëèîðàöèè
(Ðåñïóáëèêà Óçáåêèñòàí, 100000, Òàøêåíò, óë. Êàðû Íèÿçîâà, 39,
òåë. (99871) 2371948, E-mail: heshmatov@mail.ru; dhodjaev@mail.ru),
Á. Õ. Ýøìàòîâ
Department of Mechanical and Aerospace Engineering, University at Buffalo
(318 Jarvis Hall, Buffalo, NY 14260-4400, USA,
Å-mail: ebkh@mail.ru),
Î. Ð. Êó÷àðîâ
Òàøêåíòñêèé èíñòèòóò èððèãàöèè è ìåëèîðàöèè
(òåë. (99871) 2371986, Å-mail: olimjon_kucharov@mail.ru)
Êîìïüþòåðíîå ìîäåëèðîâàíèå çàäà÷è
î íåëèíåéíîì ôëàòòåðå âÿçêîóïðóãîé ïëàñòèíû
èç êîìïîçèöèîííîãî ìàòåðèàëà
ñ ñîñðåäîòî÷åííûìè ìàññàìè
(Ñòàòüþ ïðåäñòàâèë ä-ð òåõí. íàóê Â. Ô. Âåðëàíü)
Ðàññìîòðåíà çàäà÷à î ôëàòòåðå âÿçêîóïðóãîé ïðÿìîóãîëüíîé ïëàñòèíû ñ ñîñðåäîòî÷åííûìè
ìàññàìè â ãåîìåòðè÷åñêè íåëèíåéíîé ïîñòàíîâêå. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü çàäà÷è ñ ïîìîùüþ
ìåòîäà Áóáíîâà—Ãàëåðêèíà ñâåäåíà ê ðåøåíèþ ñèñòåì íåëèíåéíûõ èíòåãðî-äèôôåðåí-
öèàëüíûõ óðàâíåíèé Âîëüòåððû, äëÿ ðåøåíèÿ êîòîðûõ ïðèìåíåí ÷èñëåííûé ìåòîä, îñíî-
âàííûé íà èñïîëüçîâàíèè êâàäðàòóðíûõ ôîðìóë. Ðàñ÷åòû ïðîâåäåíû äëÿ ðåàëüíûõ êîìïî-
çèöèîííûõ ìàòåðèàëîâ â ñðåäå ïðîãðàììèðîâàíèÿ Delphi.
Ðîçãëÿíóòî çàäà÷ó ïðî ôëàòåð â’ÿçêîïðóæíî¿ ïðÿìîêóòíî¿ ïëàñòèíè ç çîñåðåäæåííèìè ìàñà-
ìè ó ãåîìåòðè÷í³é íåë³í³éí³é ïîñòàíîâö³. Ìàòåìàòè÷íó ìîäåëü çàäà÷³ çà äîïîìîãîþ ìåòîäà
Áóáíîâà—Ãàëüîðê³íà çâåäåíî äî ðîçâ’ÿçàííÿ ñèñòåì íåë³í³éíèõ ³íòåãðî-äèôåðåíö³àëüíèõ
ð³âíÿíü Âîëüòåðè, äëÿ ðîçâ’ÿçêó ÿêèõ çàñòîñîâàíî ÷èñåëüíèé ìåòîä, áàçîâàíèé íà âèêî-
ðèñòàíí³ êâàäðàòóðíèõ ôîðìóë. Ðîçðàõóíêè ïðîâåäåíî äëÿ ðåàëüíèõ êîìïîçèö³éíèõ ìàòå-
ð³àë³â ó ñåðåäîâèù³ ïðîãðàìóâàííÿ Delphi.
K ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à: ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü, ÷èñëåííûé ìåòîä, èíòåãðî-äèôôåðåí-
öèàëüíûå óðàâíåíèÿ, íåëèíåéíûé ôëàòòåð..
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü. Ðàññìîòðèì âÿçêîóïðóãóþ ïðÿìîóãîëüíóþ
ïëàñòèíó òîëùèíîé h ñî ñòîðîíàìè a è b, èçãîòîâëåííóþ èç îäíîðîäíîãî
èçîòðîïíîãî ìàòåðèàëà, ñ ñîñðåäîòî÷åííûìè ìàññàìè Mi, íàõîäÿùèìèñÿ â
òî÷êàõ ( , )x yi i , i I�1 2, , ..., , è îáòåêàåìóþ ñâåðõçâóêîâûì ïîòîêîì ãàçà ñî
ñêîðîñòüþ V (ðèñ. 1).
ISSN 0204—3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2010. Ò. 32. ¹ 5 3
����������� ��
���
��
�
�
����
Ôèçè÷åñêèå ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó íàïðÿæåíèÿìè â ñðåäèííîé ïîâåðõ-
íîñòè � x , � y , � xy è äåôîðìàöèÿìè � x , � y , � xy , ñîãëàñíî ìîäåëè Áîëüö-
ìàíà—Âîëüòåððû, ïðèìåì â âèäå [1]
�
�
� ��x x y
E
�
�
�
1
1
2
( )( )*
, ( )x y� , �
�
�xy xy
E
�
�
2 1
1
( )
( )*
, (1)
ãäå E — ìîäóëü óïðóãîñòè; � — êîýôôèöèåíò Ïóàññîíà;
* — èíòåãðàëüíûé
îïåðàòîð ñ ÿäðîì ðåëàêñàöèè
�(t ,
* ( ) ( )
�
� �� ��
0
t
t d ; ñèìâîë ( )x y�
óêàçûâàåò íà òî, ÷òî îñòàëüíûå ñîîòíîøåíèÿ ïîëó÷àþòñÿ êðóãîâîé ïåðå-
ñòàíîâêîé èíäåêñîâ.
Ñâÿçü ìåæäó äåôîðìàöèÿìè â ñðåäèííîé ïîâåðõíîñòè � x , � y , � xy è
ïåðåìåùåíèÿìè u, v, w èìååò âèä [2]
�
�
�
�
�
x
u
x
w
x
� �
�
� �
�
�
1
2
2
, �
�
�
�
�
y
v
y
w
y
� �
�
�
�
�
�
1
2
2
, �
�
�
�
�
�
�
�
�
xy
u
y
v
x
w
x
w
y
� . (2)
Èçãèáàþùèå è êðóòÿùèå ìîìåíòû M x , M y , è H âÿçêîóïðóãîé ïðÿìî-
óãîëüíîé ïëàñòèíû èìåþò âèä [3]
M D
w
x
w
y
x � � �
�
�
��
�
�
��( )*1
2
2
2
2
�
�
�
�
�
, M D
w
y
w
x
y � � �
�
�
��
�
�
��( )*1
2
2
2
2
�
�
�
�
�
,
H D
w
x y
� � � �( ) ( )*1 1
2
�
�
� �
,
(3)
ãäå D — öèëèíäðè÷åñêàÿ æåñòêîñòü ïëàñòèíû ïðè èçãèáå.
Õ. Ýøìàòîâ, Ä. À. Õîäæàåâ, Á. Õ. Ýøìàòîâ, Î. Ð. Êó÷àðîâ
4 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2010. V. 32. ¹ 5
z
a
x
y
V
b
Mi
M1 M2
M5
Ðèñ.1. Âÿçêîóïðóãàÿ ïðÿìîóãîëüíàÿ ïëàñòèíà ñ ñîñðåäîòî÷åííûìè ìàññàìè, îáòåêàåìàÿ
ñâåðõçâóêîâûì ïîòîêîì ãàçà
Ïðè âûâîäå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ýëåìåíòà âÿçêîóïðóãîé ïðÿìîóãîëü-
íîé ïëàñòèíû ñ ñîñðåäîòî÷åííûìè ìàññàìè, îáòåêàåìîé ñâåðõçâóêîâûì
ïîòîêîì ãàçà, áóäåì èñõîäèòü èç óðàâíåíèé [2, 4]
��
�
��
�
x xy
x y
�0,
��
�
��
�
xy y
x y
�0,
1
2
2
2
2 2
2h
M
x
H
x y
M
y x
w
x
wx y
x xy
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�y
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�y
w
x
w
y
p
h
m
h
w
t
xy y
� 2
2
0 ,
(4)
� �
�
� �
�
� �
� �
2
2
2
2
2
1
2
x y xy
y x x y
L w w � � � ( , ),
ãäå �p — èçáûòî÷íîå äàâëåíèå.
Ðàññìîòðèì óñòàíîâèâøååñÿ äâèæåíèå òîíêîñòåííîé êîíñòðóêöèè ñî
ñâåðõçâóêîâîé ñêîðîñòüþ V. Ïîëå ñêîðîñòåé â êàæäîé òî÷êå îêàçûâàåòñÿ
çàâèñÿùèì îò íîðìàëüíîé ñîñòàâëÿþùåé ñêîðîñòè � âî âñåõ òî÷êàõ ïî-
âåðõíîñòè òåëà. Ïðè âåñüìà áîëüøèõ ñâåðõçâóêîâûõ ñêîðîñòÿõ êàæäàÿ
÷àñòèöà ãàçà äâèæåòñÿ ïðàêòè÷åñêè ëèøü â íàïðàâëåíèè, ïåðïåíäèêó-
ëÿðíîì ê ñêîðîñòè V [4, 5].
 ñëó÷àå ëèíåàðèçèðîâàííîãî òå÷åíèÿ ãàçà âäîëü ïëàñòèíû, ïî êîòî-
ðîé ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ óïðóãèå âîëíû, íîðìàëüíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ ñêîðîñ-
òè � èìååò âèä [4, 5]
� �
�
�
�
�
w
t
V
w
x
,
è, ñëåäîâàòåëüíî, èçáûòî÷íîå äàâëåíèå �p ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
�p p p
p
V
w
t
V
w
x
� � �
�
� �
�
��
�
�
�
�
�
�
�
. (5)
Çäåñü — ïîêàçàòåëü ïîëèòðîïû; p — äàâëåíèå íà ïîâåðõíîñòè òåëà; p� è
V� — äàâëåíèå è ñêîðîñòü â íåâîçìóùåííîì ãàçå.
Âëèÿíèå ñîñðåäîòî÷åííûõ ìàññ íà âÿçêîóïðóãóþ ïëàñòèíó èìååò èíåð-
öèîííûé õàðàêòåð è ó÷èòûâàåòñÿ â óðàâíåíèè äâèæåíèÿ (4) c ïîìîùüþ
�-ôóíêöèè Äèðàêà [6]:
m x y h M x x y yi i
i
I
i( , ) ( ) ( )� � �
�
�� � �
1
,
(6)
Êîìïüþòåðíîå ìîäåëèðîâàíèå çàäà÷è î íåëèíåéíîì ôëàòòåðå
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2010. Ò. 32. ¹ 5 5
ãäå � — ïëîòíîñòü ìàòåðèàëà ïëàñòèíû. Ñ ó÷åòîì (5) è (6), ïîäñòàâëÿÿ (1),
(2) è (3) â (4) è ââîäÿ ôóíêöèþ íàïðÿæåíèé â âèäå [2]
�
�
�
x
F
y
�
2
2
, �
�
�
y
F
x
�
2
2
, �
�
� �
xy
F
x y
� �
2
,
äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïðîãèáà w w x y t� ( , , ) è ôóíêöèè íàïðÿæåíèé F F x y t� ( , , )
ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé òèïà Êàðìàíà:
D
h
w L w F
p
hV
w
t
V
w
x
( ) ( , )*1 4� � � � �
�
� �
�
� ��
�
�
�
�
�
� � �
�
�
�
!
"
�
�� � �
�
�
1
1
2
2h
M x x y y
w
t
i i
i
I
i( ) ( ) ,
(7)
1 1
2
14
E
F L w w� �� �( ) ( , ).*
Ýòà çàäà÷à â ðàçëè÷íûõ ïîñòàíîâêàõ ðàññìîòðåíà â ðàáîòàõ [7—9].
Ðàñ÷åò íåëèíåéíîãî ôëàòòåðà âÿçêîóïðóãîé ïðÿìîóãîëüíîé ïëàñ-
òèíû ñ ñîñðåäîòî÷åííûìè ìàññàìè. Ïóñòü âÿçêîóïðóãàÿ ïëàñòèíà øàð-
íèðíî îïåðòà ïî âñåì êðàÿì. Ðåøåíèå ñèñòåìû (7), óäîâëåòâîðÿþùåå ãðà-
íè÷íûì óñëîâèÿì çàäà÷è, áóäåì èñêàòü â âèäå
w x y t w t
n x
a
m y
bn
N
m
M
nm( , , ) ( ) sin sin�
� �
��
1 1
# #
,
(8)
ãäå w w tnm nm� ( ) — íåèçâåñòíûå ôóíêöèè âðåìåíè. Ïîäñòàâëÿÿ (8) â óðàâ-
íåíèå (7) è âûïîëíÿÿ ïðîöåäóðó Áóáíîâà—Ãàëåðêèíà, îòíîñèòåëüíî íåèç-
âåñòíûõ w w tkl kl� ( ) ïîëó÷èì ñèñòåìó íåëèíåéíûõ èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëü-
íûõ óðàâíåíèé. Ââåäÿ â ïîëó÷åííóþ ñèñòåìó áåçðàçìåðíûå âåëè÷èíû x a/ ,
y b/ , M Mi / 0, w hkl / , ( ) /V t a� , a t V
( ) / � è ñîõðàíèâ ïðè ýòîì ïðåæíèå îáîç-
íà÷åíèÿ, ïîëó÷èì ñëåäóþùóþ ñèñòåìó íåëèíåéíûõ èíòåãðî-äèôôåðåí-
öèàëüíûõ óðàâíåíèé:
n
N
m
M
k l m nm p kl
EB w M w
M k
� �
� � �
�1 1
4 2
2n �� �$�
# $
%& '%�� �� $& � �
�
�
�
�
�
!
" �
2
2
2
1l wkl( )*
�
�
��2
1
M M n wp
n
N
n k n k nl
* ( )$� � �
�
� �
� �
M
a w w wE
n i j
N
m r s
M
kl nmirjs nm ir j
# $
�
2 2
2
1 1
1
, , , ,
*( )
s, (9)
w wkl kl( )0 0� , � ( ) �w wkl kl0 0� , k N�1 2, ,..., ; l M�1 2, , ..., ,
Õ. Ýøìàòîâ, Ä. À. Õîäæàåâ, Á. Õ. Ýøìàòîâ, Î. Ð. Êó÷àðîâ
6 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2010. V. 32. ¹ 5
ãäå B M k x l ykl nm
i
I
i i i�
�
�1 4
1
2 2sin sin# # ïðè n k� è m l� , â äðóãèõ ñëó÷àÿõ
B M k x n x l y m ykl nm
i
I
i i i i i�
�
�4
1
sin sin sin sin# # # # ; M ab h0 � � — ìàññà âñåé ïëàñ-
òèíû; � � b h/ ; � (k k k� / ; ( k �1, åñëè k íå÷åòíîå, åñëè k ÷åòíîå èëè ðàâíî
íóëþ, òî ( k � 0 è � k �0; êîýôôèöèåíòû ak mirjsln îïðåäåëåíû â [10];
M p Vp � � �/� 2, M E VE � �/� 2, M V V* /� � .
Ñèñòåìó íåëèíåéíûõ èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé (9) ïðî-
èíòåãðèðóåì ñ ïîìîùüþ ÷èñëåííîãî ìåòîäà, îñíîâàííîãî íà èñïîëüçîâà-
íèè êâàäðàòóðíûõ ôîðìóë [10], ïðè ýòîì â êà÷åñòâå ÿäðà ðåëàêñàöèè
èñïîëüçóåì ñëàáî-ñèíãóëÿðíûå ÿäðà Êîëòóíîâà—Ðæàíèöûíà [1]:
( )t Ae tt� � �) ( 1, (0 1* *( ). (10)
 ðàáîòå [11] èññëåäîâàíû ðåëàêñàöèîííûå ñâîéñòâà ðåàëüíûõ âÿçêî-
óïðóãèõ ìàòåðèàëîâ ñòåêëîïëàñòèêîâ ÊÀÑÒ-Â, ÝÄÔ, ÑÂÀÌ è òåêñòîëèòà
ñ ðàçëè÷íûì íàïðàâëåíèåì âîëîêîí äëÿ ÿäðà ðåëàêñàöèè Êîëòóíîâà—
Ðæàíèöûíà (10). Ïàðàìåòðû A, ) è (, à òàêæå ìîäóëü óïðóãîñòè E íàéäåíû
ìåòîäîì ëîãàðèôìè÷åñêèõ ñäâèãîâ [1]. Çíà÷åíèÿ A, ), ( è E äëÿ óêàçàí-
íûõ ìàòåðèàëîâ ïðèâåäåíû â ðàáîòå [11].
Ðåçóëüòàòû âû÷èñëåíèé íåëèíåéíîãî ôëàòòåðà âÿçêîóïðóãîé ïðÿìî-
óãîëüíîé ïëàñòèíû ñ ñîñðåäîòî÷åííûìè ìàññàìè, îáòåêàåìîé ñâåðõçâó-
êîâûì ïîòîêîì ãàçà, ïðèâåäåíû â òàáëèöå è íà ðèñ. 2, 3. Äëÿ èññëåäîâàíèÿ
ïîâåäåíèÿ âÿçêîóïðóãîé ïëàñòèíû ïðè ðàçëè÷íûõ ôèçè÷åñêèõ è ãåîìåò-
Êîìïüþòåðíîå ìîäåëèðîâàíèå çàäà÷è î íåëèíåéíîì ôëàòòåðå
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2010. Ò. 32. ¹ 5 7
Ìàòåðèàë � $ ME
M p Mi
Çíà÷åíèå Vêð ôëàòòåðà
ëèíåéíîãî
íåëèíåé-
íîãî
N � 2 N � 3 N � 7 N � 11 N � 13 N � 11
Óïðóãèé
ÝÄÔ 0
0
ÑÂÀÌ 0
0
ÊÀÑÒ-Â 0
0
Òåêñòîëèò 0
0
ÊÀÑÒ-Â 45
0
" "
" "
" "
" "
" "
" "
133
133
133
133
133
133
120
150
133
133
133
133
3
3
3
3
3
3
3
3
4
3
3
3
4,71
4,71
4,71
4,71
4,71
4,71
4,71
4,71
4,71
6
4,71
4,71
0,003
0,003
0,003
0,003
0,003
0,003
0,003
0,003
0,003
0,003
0,004
0,003
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
—
1256,3
1262,4
1216,1
1163,5
1004,4
1092,6
1485,1
763,1
949,7
1776,2
774,4
698,5
973
982,1
953,4
933,5
788,3
852,7
1163,2
592,1
537,1
1392,1
599
906,1
1537
1589
1670
1665
1563,8
1628,2
2372,4
1128,3
1134,4
2728,8
1101,1
1250,8
1565
1623
1702,7
1725
1597,3
1718,2
2423,2
1152,6
1158,7
2914
1148,8
1249
1570
1626,8
1705
1727,5
1600
1721,3
2426,7
1155
1161
2921
1150,9
1248,9
1933,4
1949,1
2023,4
2041,3
1891,5
2017,2
2813,1
1366,2
1388,5
3385,3
1373,1
1478,2
ðè÷åñêèõ ïàðàìåòðàõ ñêîðîñòü ïîòîêà ãàçà ïðèíÿòà ðàâíîé 400 ì/ñ, â
êà÷åñòâå èñõîäíûõ ïðèíÿòû ñëåäóþùèå äàííûå: $ �3, � �133, �14, ,
M E � 4 71, , M p �0003, .
Õ. Ýøìàòîâ, Ä. À. Õîäæàåâ, Á. Õ. Ýøìàòîâ, Î. Ð. Êó÷àðîâ
8 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2010. V. 32. ¹ 5
Ðèñ. 3. Çàâèñèìîñòü ïðîãèáà ïëàñòèíû îò âðåìåíè äëÿ ìàòåðèàëà ÊÀÑÒ-Â 450: 1 — M1 = 0;
2 — M1 = 0,1; 3 — M1 = 0,2
Ðèñ. 2. Çàâèñèìîñòü ïðîãèáà îò âðåìåíè äëÿ ïëàñòèí èç ðàçëè÷íûõ ìàòåðèàëîâ: 1 —
óïðóãèé; 2 — ÑÂÀÌ 00; 3 — òåêñòîëèò 00
 òàáëèöå ïðèâåäåíû ÷èñëåííûå çíà÷åíèÿ êðèòè÷åñêèõ ñêîðîñòåé V êð
ïîòîêà ãàçà ëèíåéíîãî è íåëèíåéíîãî ôëàòòåðîâ ïðÿìîóãîëüíîé ïëàñòèíû
ïðè ðàçëè÷íûõ ôèçèêî-ìåõàíè÷åñêèõ è ãåîìåòðè÷åñêèõ ïàðàìåòðàõ. Äëÿ
êàæäîãî ñëó÷àÿ èçó÷åíà ñõîäèìîñòü ìåòîäà Áóáíîâà—Ãàëåðêèíà. Ïðèâåäåí-
íûå ðåçóëüòàòû ñâèäåòåëüñòâóþò î òîì, ÷òî ïðè âû÷èñëåíèè çíà÷åíèé V êð â
ðÿäå ðàçëîæåíèÿ Áóáíîâà—Ãàëåðêèíà íåîáõîäèìî óäåðæèâàòü, ïî êðàéíåé
ìåðå, 11 (N = 11, M = 1) ïåðâûõ ãàðìîíèê. Êàê âèäíî èç òàáëèöû, âåëè÷èíû,
ïîëó÷åííûå ïðè äâó÷ëåííîé àïïðîêñèìàöèè, äëÿ ðàñ÷åòà ôëàòòåðà íå äàþò
îæèäàåìûõ ðåçóëüòàòîâ. Çíà÷åíèÿ Vêð, ïîëó÷åííûå ïðè äâóõ÷ëåííîé (N = 2) è
ìíîãî÷ëåííîé àïïðîêñèìàöèè (N = 11), ñóùåñòâåííî ðàçëè÷àþòñÿ êàê äëÿ
óïðóãîé, òàê è äëÿ âÿçêîóïðóãîé ïëàñòèíû (áîëåå ÷åì íà 25—80 %).
 ðåçóëüòàòå ðàñ÷åòîâ óñòàíîâëåíî, ÷òî èçìåíåíèå áåçðàçìåðíûõ ïà-
ðàìåòðîâ æåñòêîñòè M E , äàâëåíèÿ M p è ñîñðåäîòî÷åííîé ìàññû M i òàê-
æå îêàçûâàåò ñóùåñòâåííîå âëèÿíèå íà ïîâåäåíèå âÿçêîóïðóãîé ïëàñòèíû.
Êàê ïîêàçûâàþò ðåçóëüòàòû èññëåäîâàíèÿ, óâåëè÷åíèå ïàðàìåòðîâ M E è M i
ïðèâîäèò ê óâåëè÷åíèþ êðèòè÷åñêîé ñêîðîñòè, à óâåëè÷åíèå ïàðàìåòðà Mp
ïðèâîäèò ê åå èíòåíñèâíîìó óìåíüøåíèþ.
Íà ðèñ. 2 ïðåäñòàâëåíà çàâèñèìîñòü ïðîãèáà ñðåäèííîé òî÷êè óïðóãîé
è âÿçêîóïðóãèõ ïëàñòèí èç ðàçëè÷íûõ ìàòåðèàëîâ îò âðåìåíè. Êàê âèäíî
èç ðèñ. 2, ó÷åò âÿçêîóïðóãèõ ñâîéñòâ ìàòåðèàëà ïëàñòèíû ïðèâîäèò ê çàòó-
õàíèþ êîëåáàòåëüíîãî ïðîöåññà. Ïðè ýòîì ðåøåíèÿ óïðóãîé è âÿçêîóïðó-
ãîé çàäà÷ ñíà÷àëà íåçíà÷èòåëüíî îòëè÷àþòñÿ îäíî îò äðóãîãî, íî ñ òå÷åíèåì
âðåìåíè âÿçêîóïðóãèå ñâîéñòâà îêàçûâàþò ñóùåñòâåííîå âëèÿíèå.
Íà ðèñ. 3 ãðàôè÷åñêè ïðåäñòàâëåíî âëèÿíèå ñîñðåäîòî÷åííîé ìàññû â
öåíòðå ïëàñòèíû íà êîëåáàòåëüíûé ïðîöåññ. Âèäíî, ÷òî óâåëè÷åíèå ñîñðå-
äîòî÷åííîé ìàññû ïðèâîäèò ê óìåíüøåíèþ àìïëèòóäû êîëåáàíèé.
Âûâîäû. Ðåçóëüòàòû èññëåäîâàíèÿ íåëèíåéíîãî ôëàòòåðà âÿçêîóïðó-
ãîé ïðÿìîóãîëüíîé ïëàñòèíû èç êîìïîçèöèîííîãî ìàòåðèàëà ñ ñîñðåäîòî-
÷åííûìè ìàññàìè ïîçâîëÿþò ñäåëàòü ñëåäóþùèå âûâîäû:
ó÷åò âÿçêîóïðóãèõ ñâîéñòâ ìàòåðèàëà ïðèâîäèò ê ñóùåñòâåííîìó
èçìåíåíèþ çíà÷åíèÿ V êð ;
ó÷åò ñîñðåäîòî÷åííûõ ìàññ êàê äëÿ óïðóãîé, òàê äëÿ âÿçêîóïðóãîé
ïëàñòèíû ïðèâîäèò ê óâåëè÷åíèþ çíà÷åíèÿ V êð ;
ó÷åò íåëèíåéíûõ ñâîéñòâ ïðèâîäèò ê óâåëè÷åíèþ çíà÷åíèÿ V êð ;
ïðè ðàñ÷åòàõ ìåòîäîì Áóáíîâà—Ãàëåðêèíà íåîáõîäèìî âûáèðàòü
ìíîãî÷ëåííóþ àïïðîêñèìàöèþ ïðîãèáà;
ïðè ðàñ÷åòàõ â çàâèñèìîñòè îò ðàçëè÷íûõ ãåîìåòðè÷åñêèõ è ôèçè-
÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ ïðÿìîóãîëüíîé ïëàñòèíû íåîáõîäèìî âûáèðàòü ñîîò-
âåòñòâóþùóþ òåîðèþ (ëèíåéíóþ èëè íåëèíåéíóþ).
The paper deals with a problem on a flatter of a viscoelastic, rectangular plate with concentrated
masses in geometrically nonlinear setting. Mathematical model of the problem is reduced, using
the Bubnov-Galerkin method, to solution of the system of nonlinear integro-differential Volterra
Êîìïüþòåðíîå ìîäåëèðîâàíèå çàäà÷è î íåëèíåéíîì ôëàòòåðå
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2010. Ò. 32. ¹ 5 9
equations, a numerical method based on the use of quadrature formulae being used for their solu-
tion. Calculations were carried out for real composite materials in the Delphi programming
environment.
1. Êîëòóíîâ Ì. À. Ïîëçó÷åñòü è ðåëàêñàöèÿ. — Ì. : Âûñøàÿ øêîëà, 1976. — 276 ñ.
2. Âîëüìèð À. Ñ. Íåëèíåéíàÿ äèíàìèêà ïëàñòèíîê è îáîëî÷åê. — Ì. : Íàóêà, 1972. —
432 ñ.
3. Âåðëàíü À. Ô., Ýøìàòîâ Õ., Ýøìàòîâ Á. Õ. è äð. Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå
íåëèíåéíûõ êîëåáàíèé è èññëåäîâàíèå äèíàìè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè âÿçêîóïðóãèõ
ïðÿìîóãîëüíûõ ïëàñòèí è öèëèíäðè÷åñêèõ ïàíåëåé. I // Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. —
2009. — 31, ¹ 3. — Ñ. 3—19.
4. Áîëîòèí Â. Â. Íåêîíñåðâàòèâíûå çàäà÷è òåîðèè óïðóãîé óñòîé÷èâîñòè. — Ì. :
Ôèçìàòãèç, 1961. — 340 ñ.
5. Èëüþøèí À. À. Çàêîí ïëîñêèõ ñå÷åíèé â àýðîäèíàìèêå áîëüøèõ ñâåðõçâóêîâûõ ñêîðîñ-
òåé // Ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà è ìåõàíèêà. — 1956. — ÕÕ, âûï. 6. — Ñ. 733—755.
6. Amba-Rao C. L. On the Vibration of a Rectangular Plate Carrying a Concentrated Mass // J.
Applied Mech. — 1964. — 31. — P. 550—551.
7. Eshmatov B. Kh., Khodjaev D. A. Nonlinear Vibration and Dynamic Stability of a Viscoelastic
Cylindrical Panel with Concentrated Mass // Acta Mechanica. — 2007. — ¹ 1—4 (190). —
P. 165—183.
8. Khodjaev D. A., Eshmatov B. Kh. Nonlinear Vibration of Viscoelastic Plate with Concentrated
Mass // J. of Applied Mech. and Technical Physics. — 2007. — ¹ 6 (48). — P. 905—914.
9. Eshmatov B. Kh., Khodjaev D. A. Dynamic Stability of a Viscoelastic Plate with Concen-
trated Masses // International Applied Mechanics. — 2008. — ¹ 2 (44). — P. 208—216.
10. Ýøìàòîâ Õ. Èíòåãðàëüíûé ìåòîä ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ çàäà÷ äèíàìèêè
âÿçêîóïðóãèõ ñèñòåì: Äèñ... äîê-ðà òåõí. íàóê. — Êèåâ, 1991. —337 ñ.
11. Òþíååâà È. Ì. Ðåëàêñàöèîííûå õàðàêòåðèñòèêè ñòåêëîïëàñòèêîâ // Ìåõàíèêà ïîëè-
ìåðîâ. — 1970. — ¹ 3. — Ñ. 560—562 ( ã. Ðèãà).
Ïîñòóïèëà 26.03.10
ÝØÌÀÒÎÂ Õàñàí, ä-ð òåõí. íàóê, çàâ. êàôåäðîé èíôîðìàöèîííûõ òåõíîëîãèé Òàøêåíòñêîãî
èí-òà èððèãàöèè è ìåëèîðàöèè.  1969 ã. îêîí÷èë Ñàìàðêàíäñêèé ãîñóíèâåðñèòåò. Îáëàñòü
íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå.
ÕÎÄÆÀÅÂ Äàäàõàí Àêìàðõàíîâè÷, êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê, ñò. ïðåïîäàâàòåëü êàôåäðû èíôîð-
ìàöèîííûõ òåõíîëîãèé Òàøêåíòñêîãî èí-òà èððèãàöèè è ìåëèîðàöèè.  1996 ã. îêîí÷èë
Òàøêåíòñêèé ãîñóíèâåðñèòåò. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — ìåõàíèêà äåôîðìèðóåìîãî
òâåðäîãî òåëà.
ÝØÌÀÒÎÂ Áàõòèåð Õàñàíîâè÷, êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê, ïðîô. ôàêóëüòåòà ìåõàíèêè è êîñ-
ìè÷åñêîé òåõíèêè óíèâåðñèòåòà Áóôôàëî (ÑØÀ).  1997 ã. îêîí÷èë Òàøêåíòñêèé ãîñóíè-
âåðñèòåò. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå.
ÊÓ×ÀÐΠÎëèìæîí Ðóçèìóðàòîâè÷, ñò. ïðåïîäàâàòåëü êàôåäðû âûñøåé ìàòåìàòèêè Òàø-
êåíòñêîãî èí-òà èððèãàöèè è ìåëèîðàöèè.  1994 ã. îêîí÷èë Òàøêåíòñêèé ãîñóíèâåðñèòåò.
Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå.
Õ. Ýøìàòîâ, Ä. À. Õîäæàåâ, Á. Õ. Ýøìàòîâ, Î. Ð. Êó÷àðîâ
10 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2010. V. 32. ¹ 5
<<
/ASCII85EncodePages false
/AllowTransparency false
/AutoPositionEPSFiles true
/AutoRotatePages /None
/Binding /Left
/CalGrayProfile (Dot Gain 20%)
/CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CalCMYKProfile (U.S. Web Coated \050SWOP\051 v2)
/sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CannotEmbedFontPolicy /Error
/CompatibilityLevel 1.4
/CompressObjects /Tags
/CompressPages true
/ConvertImagesToIndexed true
/PassThroughJPEGImages true
/CreateJDFFile false
/CreateJobTicket false
/DefaultRenderingIntent /Default
/DetectBlends true
/DetectCurves 0.0000
/ColorConversionStrategy /CMYK
/DoThumbnails false
/EmbedAllFonts true
/EmbedOpenType false
/ParseICCProfilesInComments true
/EmbedJobOptions true
/DSCReportingLevel 0
/EmitDSCWarnings false
/EndPage -1
/ImageMemory 1048576
/LockDistillerParams false
/MaxSubsetPct 100
/Optimize true
/OPM 1
/ParseDSCComments true
/ParseDSCCommentsForDocInfo true
/PreserveCopyPage true
/PreserveDICMYKValues true
/PreserveEPSInfo true
/PreserveFlatness true
/PreserveHalftoneInfo false
/PreserveOPIComments true
/PreserveOverprintSettings true
/StartPage 1
/SubsetFonts true
/TransferFunctionInfo /Apply
/UCRandBGInfo /Preserve
/UsePrologue false
/ColorSettingsFile ()
/AlwaysEmbed [ true
]
/NeverEmbed [ true
]
/AntiAliasColorImages false
/CropColorImages true
/ColorImageMinResolution 300
/ColorImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleColorImages true
/ColorImageDownsampleType /Bicubic
/ColorImageResolution 300
/ColorImageDepth -1
/ColorImageMinDownsampleDepth 1
/ColorImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeColorImages true
/ColorImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterColorImages true
/ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG
/ColorACSImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/ColorImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/JPEG2000ColorACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/JPEG2000ColorImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/AntiAliasGrayImages false
/CropGrayImages true
/GrayImageMinResolution 300
/GrayImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleGrayImages true
/GrayImageDownsampleType /Bicubic
/GrayImageResolution 300
/GrayImageDepth -1
/GrayImageMinDownsampleDepth 2
/GrayImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeGrayImages true
/GrayImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterGrayImages true
/GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG
/GrayACSImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/GrayImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/JPEG2000GrayACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/JPEG2000GrayImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/AntiAliasMonoImages false
/CropMonoImages true
/MonoImageMinResolution 1200
/MonoImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleMonoImages true
/MonoImageDownsampleType /Bicubic
/MonoImageResolution 1200
/MonoImageDepth -1
/MonoImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeMonoImages true
/MonoImageFilter /CCITTFaxEncode
/MonoImageDict <<
/K -1
>>
/AllowPSXObjects false
/CheckCompliance [
/None
]
/PDFX1aCheck false
/PDFX3Check false
/PDFXCompliantPDFOnly false
/PDFXNoTrimBoxError true
/PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXSetBleedBoxToMediaBox true
/PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXOutputIntentProfile ()
/PDFXOutputConditionIdentifier ()
/PDFXOutputCondition ()
/PDFXRegistryName ()
/PDFXTrapped /False
/Description <<
/CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e9ad88d2891cf76845370524d53705237300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002>
/CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc9ad854c18cea76845370524d5370523786557406300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002>
/DAN <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>
/DEU <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>
/ESP <FEFF005500740069006c0069006300650020006500730074006100200063006f006e0066006900670075007200610063006900f3006e0020007000610072006100200063007200650061007200200064006f00630075006d0065006e0074006f00730020005000440046002000640065002000410064006f0062006500200061006400650063007500610064006f00730020007000610072006100200069006d0070007200650073006900f3006e0020007000720065002d0065006400690074006f007200690061006c00200064006500200061006c00740061002000630061006c0069006400610064002e002000530065002000700075006500640065006e00200061006200720069007200200064006f00630075006d0065006e0074006f00730020005000440046002000630072006500610064006f007300200063006f006e0020004100630072006f006200610074002c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000200079002000760065007200730069006f006e0065007300200070006f00730074006500720069006f007200650073002e>
/FRA <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>
/ITA <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>
/JPN <FEFF9ad854c18cea306a30d730ea30d730ec30b951fa529b7528002000410064006f0062006500200050004400460020658766f8306e4f5c6210306b4f7f75283057307e305930023053306e8a2d5b9a30674f5c62103055308c305f0020005000440046002030d530a130a430eb306f3001004100630072006f0062006100740020304a30883073002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee5964d3067958b304f30533068304c3067304d307e305930023053306e8a2d5b9a306b306f30d530a930f330c8306e57cb30818fbc307f304c5fc59808306730593002>
/KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020ace0d488c9c80020c2dcd5d80020c778c1c4c5d00020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e>
/NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken die zijn geoptimaliseerd voor prepress-afdrukken van hoge kwaliteit. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.)
/NOR <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>
/PTB <FEFF005500740069006c0069007a006500200065007300730061007300200063006f006e00660069006700750072006100e700f50065007300200064006500200066006f0072006d00610020006100200063007200690061007200200064006f00630075006d0065006e0074006f0073002000410064006f0062006500200050004400460020006d00610069007300200061006400650071007500610064006f00730020007000610072006100200070007200e9002d0069006d0070007200650073007300f50065007300200064006500200061006c007400610020007100750061006c00690064006100640065002e0020004f007300200064006f00630075006d0065006e0074006f00730020005000440046002000630072006900610064006f007300200070006f00640065006d0020007300650072002000610062006500720074006f007300200063006f006d0020006f0020004100630072006f006200610074002000650020006f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002000650020007600650072007300f50065007300200070006f00730074006500720069006f007200650073002e>
/SUO <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>
/SVE <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>
/ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents best suited for high-quality prepress printing. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.)
>>
/Namespace [
(Adobe)
(Common)
(1.0)
]
/OtherNamespaces [
<<
/AsReaderSpreads false
/CropImagesToFrames true
/ErrorControl /WarnAndContinue
/FlattenerIgnoreSpreadOverrides false
/IncludeGuidesGrids false
/IncludeNonPrinting false
/IncludeSlug false
/Namespace [
(Adobe)
(InDesign)
(4.0)
]
/OmitPlacedBitmaps false
/OmitPlacedEPS false
/OmitPlacedPDF false
/SimulateOverprint /Legacy
>>
<<
/AddBleedMarks false
/AddColorBars false
/AddCropMarks false
/AddPageInfo false
/AddRegMarks false
/ConvertColors /ConvertToCMYK
/DestinationProfileName ()
/DestinationProfileSelector /DocumentCMYK
/Downsample16BitImages true
/FlattenerPreset <<
/PresetSelector /MediumResolution
>>
/FormElements false
/GenerateStructure false
/IncludeBookmarks false
/IncludeHyperlinks false
/IncludeInteractive false
/IncludeLayers false
/IncludeProfiles false
/MultimediaHandling /UseObjectSettings
/Namespace [
(Adobe)
(CreativeSuite)
(2.0)
]
/PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK
/PreserveEditing true
/UntaggedCMYKHandling /LeaveUntagged
/UntaggedRGBHandling /UseDocumentProfile
/UseDocumentBleed false
>>
]
>> setdistillerparams
<<
/HWResolution [2400 2400]
/PageSize [612.000 792.000]
>> setpagedevice
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-61674 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0204-3572 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T13:30:44Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Эшматов, Х. Ходжаевд, А. Эшматов, Б.Х. Кучаров, О.Р. 2014-05-10T13:21:28Z 2014-05-10T13:21:28Z 2010 Компьютерное моделирование задачи о нелинейном флаттере вязкоупругой пластины из композиционного материала с сосредоточенными массами / X. Эшматов, А. Ходжаевд, Б.X. Эшматов, О.Р. Кучаров // Электронное моделирование. — 2010. — Т. 32, № 5. — С. 3-10. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 0204-3572 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/61674 539.3 Рассмотрена задача о флаттере вязкоупругой прямоугольной пластины с сосредоточенными массами в геометрически нелинейной постановке. Математическая модель задачи с помощью метода Бубнова—Галеркина сведена к решению систем нелинейных интегро-дифференциальных уравнений Вольтерры, для решения которых применен численный метод, основанный на использовании квадратурных формул. Расчеты проведены для реальных композиционных материалов в среде программирования Delphi. Розглянуто задачу про флатер в’язкопружної прямокутної пластини з зосередженними масами у геометричній нелінійній постановці. Математичну модель задачі за допомогою метода Бубнова—Гальоркіна зведено до розв’язання систем нелінійних інтегро-диференціальних рівнянь Вольтери, для розв’язку яких застосовано чисельний метод, базований на використанні квадратурних формул. Розрахунки проведено для реальних композиційних мате ріалів у середовищі програмування Delphi. The paper deals with a problem on a flatter of a viscoelastic, rectangular plate with concentrated masses in geometrically nonlinear setting. Mathematical model of the problem is reduced, using the Bubnov-Galerkin method, to solution of the system of nonlinear integro-differential Volterra equations, a numerical method based on the use of quadrature formulae being used for their solution. Calculations were carried out for real composite materials in the Delphi programming environment. ru Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України Электронное моделирование Математические методы и модели Компьютерное моделирование задачи о нелинейном флаттере вязкоупругой пластины из композиционного материала с сосредоточенными массами Article published earlier |
| spellingShingle | Компьютерное моделирование задачи о нелинейном флаттере вязкоупругой пластины из композиционного материала с сосредоточенными массами Эшматов, Х. Ходжаевд, А. Эшматов, Б.Х. Кучаров, О.Р. Математические методы и модели |
| title | Компьютерное моделирование задачи о нелинейном флаттере вязкоупругой пластины из композиционного материала с сосредоточенными массами |
| title_full | Компьютерное моделирование задачи о нелинейном флаттере вязкоупругой пластины из композиционного материала с сосредоточенными массами |
| title_fullStr | Компьютерное моделирование задачи о нелинейном флаттере вязкоупругой пластины из композиционного материала с сосредоточенными массами |
| title_full_unstemmed | Компьютерное моделирование задачи о нелинейном флаттере вязкоупругой пластины из композиционного материала с сосредоточенными массами |
| title_short | Компьютерное моделирование задачи о нелинейном флаттере вязкоупругой пластины из композиционного материала с сосредоточенными массами |
| title_sort | компьютерное моделирование задачи о нелинейном флаттере вязкоупругой пластины из композиционного материала с сосредоточенными массами |
| topic | Математические методы и модели |
| topic_facet | Математические методы и модели |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/61674 |
| work_keys_str_mv | AT éšmatovh kompʹûternoemodelirovaniezadačionelineinomflatterevâzkouprugoiplastinyizkompozicionnogomaterialassosredotočennymimassami AT hodžaevda kompʹûternoemodelirovaniezadačionelineinomflatterevâzkouprugoiplastinyizkompozicionnogomaterialassosredotočennymimassami AT éšmatovbh kompʹûternoemodelirovaniezadačionelineinomflatterevâzkouprugoiplastinyizkompozicionnogomaterialassosredotočennymimassami AT kučarovor kompʹûternoemodelirovaniezadačionelineinomflatterevâzkouprugoiplastinyizkompozicionnogomaterialassosredotočennymimassami |