Адаптивная интерполяция на основе кривых Фергюссона для построения сеточных функций
Рассмотрены проблемы интерполяции при решении задач, описанных моделями в распределенных параметрах, с помощью адаптивных сеток. Предложен адаптивный метод, позволяющий уменьшить погрешность интерполяции при построении сеточной функции....
Збережено в:
| Дата: | 2010 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
2010
|
| Назва видання: | Электронное моделирование |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/61675 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Адаптивная интерполяция на основе кривых Фергюссона для построения сеточных функций / Д.С. Смаковский // Электронное моделирование. — 2010. — Т. 32, № 5. — С. 11-18. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-61675 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-616752025-02-23T17:14:41Z Адаптивная интерполяция на основе кривых Фергюссона для построения сеточных функций Смаковский, Д.С. Математические методы и модели Рассмотрены проблемы интерполяции при решении задач, описанных моделями в распределенных параметрах, с помощью адаптивных сеток. Предложен адаптивный метод, позволяющий уменьшить погрешность интерполяции при построении сеточной функции. Розглянуто проблеми інтерполяції при розв’язанні задач, що описуються моделями в розподілених параметрах, за допомогою адаптивних сіток. Запропоновано адаптивний метод, який дозволяє зменшити похибку інтерполяції при побудові сіткової функції. The interpolation while solving problems described by models in distributed parameters with the help of adaptive meshes have been considered. An adaptive method was proposed which permits decreasing the interpolation error when calculating the mesh functions. 2010 Article Адаптивная интерполяция на основе кривых Фергюссона для построения сеточных функций / Д.С. Смаковский // Электронное моделирование. — 2010. — Т. 32, № 5. — С. 11-18. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. 0204-3572 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/61675 519.6 ru Электронное моделирование application/pdf Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Математические методы и модели Математические методы и модели |
| spellingShingle |
Математические методы и модели Математические методы и модели Смаковский, Д.С. Адаптивная интерполяция на основе кривых Фергюссона для построения сеточных функций Электронное моделирование |
| description |
Рассмотрены проблемы интерполяции при решении задач, описанных моделями в распределенных параметрах, с помощью адаптивных сеток. Предложен адаптивный метод, позволяющий уменьшить погрешность интерполяции при построении сеточной функции. |
| format |
Article |
| author |
Смаковский, Д.С. |
| author_facet |
Смаковский, Д.С. |
| author_sort |
Смаковский, Д.С. |
| title |
Адаптивная интерполяция на основе кривых Фергюссона для построения сеточных функций |
| title_short |
Адаптивная интерполяция на основе кривых Фергюссона для построения сеточных функций |
| title_full |
Адаптивная интерполяция на основе кривых Фергюссона для построения сеточных функций |
| title_fullStr |
Адаптивная интерполяция на основе кривых Фергюссона для построения сеточных функций |
| title_full_unstemmed |
Адаптивная интерполяция на основе кривых Фергюссона для построения сеточных функций |
| title_sort |
адаптивная интерполяция на основе кривых фергюссона для построения сеточных функций |
| publisher |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| publishDate |
2010 |
| topic_facet |
Математические методы и модели |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/61675 |
| citation_txt |
Адаптивная интерполяция на основе кривых Фергюссона для построения сеточных функций / Д.С. Смаковский // Электронное моделирование. — 2010. — Т. 32, № 5. — С. 11-18. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
| series |
Электронное моделирование |
| work_keys_str_mv |
AT smakovskijds adaptivnaâinterpolâciânaosnovekrivyhfergûssonadlâpostroeniâsetočnyhfunkcij |
| first_indexed |
2025-11-24T03:34:41Z |
| last_indexed |
2025-11-24T03:34:41Z |
| _version_ |
1849641173233172480 |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.6
Ä. Ñ. Ñìàêîâñêèé
Íàöèîíàëüíûé òåõíè÷åñêèé óíèâåðñèòåò Óêðàèíû «ÊÏÈ»
(Óêðàèíà, 03056, Êèåâ, óë. Ïîëèòåõíè÷åñêàÿ, 6, êîðï. 5,
òåë. (044) 4068324, Å-mail: denis@aprodos.ntu-kpi.kiev.ua)
Àäàïòèâíàÿ èíòåðïîëÿöèÿ íà îñíîâå êðèâûõ
Ôåðãþññîíà äëÿ ïîñòðîåíèÿ ñåòî÷íûõ ôóíêöèé
(Ñòàòüþ ïðåäñòàâèë ä-ð òåõí. íàóê Ñ.Å. Ñàóõ)
Ðàññìîòðåíû ïðîáëåìû èíòåðïîëÿöèè ïðè ðåøåíèè çàäà÷, îïèñàííûõ ìîäåëÿìè â ðàñïðå-
äåëåííûõ ïàðàìåòðàõ, ñ ïîìîùüþ àäàïòèâíûõ ñåòîê. Ïðåäëîæåí àäàïòèâíûé ìåòîä, ïîçâî-
ëÿþùèé óìåíüøèòü ïîãðåøíîñòü èíòåðïîëÿöèè ïðè ïîñòðîåíèè ñåòî÷íîé ôóíêöèè.
Ðîçãëÿíóòî ïðîáëåìè ³íòåðïîëÿö³¿ ïðè ðîçâ’ÿçàíí³ çàäà÷, ùî îïèñóþòüñÿ ìîäåëÿìè â
ðîçïîä³ëåíèõ ïàðàìåòðàõ, çà äîïîìîãîþ àäàïòèâíèõ ñ³òîê. Çàïðîïîíîâàíî àäàïòèâíèé
ìåòîä, ÿêèé äîçâîëÿº çìåíøèòè ïîõèáêó ³íòåðïîëÿö³¿ ïðè ïîáóäîâ³ ñ³òêîâî¿ ôóíêö³¿.
K ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à: èíòåðïîëÿöèÿ, äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ.
Ïðè ÷èñëåííîì ðåøåíèè áîëüøîãî ÷èñëà çàäà÷ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè ÷àñ-
òî ïîëó÷àåì èñêîìûå ôóíêöèè ñî çíà÷èòåëüíûìè ãðàäèåíòàìè. Îáùåïðèíÿ-
òûì äëÿ òàêèõ çàäà÷ ÿâëÿåòñÿ ïðèìåíåíèå ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ ðåøåíèÿ
äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ: ìåòîäà êîíå÷íûõ
ðàçíîñòåé èëè ìåòîäà êîíå÷íûõ ýëåìåíòîâ. Ïðè ýòîì íåïðåðûâíóþ ôóíêöèþ
çàìåíÿþò äèñêðåòíîé — ñåòî÷íîé ôóíêöèåé, êîòîðàÿ çàäàíà íà êîíå÷íîì
ìíîæåñòâå óçëîâ. Äëÿ ìèíèìèçàöèè ïîãðåøíîñòè ÷èñëåííîãî ìåòîäà ïðè
ðåøåíèè â ìåñòàõ çíà÷èòåëüíûõ èçìåíåíèé ôóíêöèè ñåòêó ñãóùàþò. Îáû÷íî
ýòî ïðîèñõîäèò â àâòîìàòè÷åñêîì ðåæèìå. Âîçíèêàåò çàäà÷à íàõîæäåíèÿ
çíà÷åíèé ñåòî÷íîé ôóíêöèè íà íîâîé ñåòêå èç çíà÷åíèé èñõîäíîé ôóíêöèè.
Äëÿ ýòîãî ïðèìåíÿåòñÿ ïîëèíîìèàëüíàÿ èíòåðïîëÿöèÿ, êîòîðàÿ íå óäîâëåò-
âîðÿåò òðåáîâàíèÿì ïðè ðåøåíèè âûñîêîãðàäèåíòíûõ çàäà÷ [1].
Êàê èçâåñòíî, ïîëèíîìèàëüíàÿ èíòåðïîëÿöèÿ äîñòàòî÷íî ýôôåêòèâíî
èñïîëüçóåòñÿ äëÿ ãëàäêèõ ôóíêöèé. Íî âáëèçè ìåñòà áûñòðîãî èçìåíåíèÿ
ôóíêöèè âîçíèêàþò îñöèëëÿöèè, ïðè êîòîðûõ çíà÷åíèÿ ñåòî÷íîé ôóíê-
öèè ïðîòèâîðå÷àò ôèçè÷åñêîé ïîñòàíîâêå çàäà÷è. Êðîìå òîãî, ïðè ðåøå-
íèè öåëåñîîáðàçíî ó÷èòûâàòü ïîãðåøíîñòü èíòåðïîëÿöèè âìåñòå ñ îøèá-
êîé ÷èñëåííîãî ìåòîäà ðåøåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2010. Ò. 32. ¹ 5 11
ïðîèçâîäíûõ. Îøèáêà ïîëèíîìèàëüíîé èíòåðïîëÿöèè îïðåäåëÿåòñÿ ôîð-
ìóëîé [2]
f x P x
f
n
x xn
n
j
j
n
( ) ( )
( )
( )!
( )
( )
� �
�
�
�
�
�
1
01
�
, (1)
ãäå f n( ) ( )�1 � — çíà÷åíèå (n + 1)-é ïðîèçâîäíîé â íåêîòîðîé òî÷êå �.  (1)
(n + 1)-ÿ ïðîèçâîäíàÿ è ïðîèçâîäíûå ìåíüøèõ ïîðÿäêîâ äîëæíû áûòü íå-
ïðåðûâíûìè.
Äëÿ çàäà÷ ñ ðàçðûâàìè 1-ãî ðîäà â ïðîèçâîäíûõ ôóíêöèè ðåøåíèÿ
ïîãðåøíîñòü ÿâëÿåòñÿ ñóùåñòâåííîé è íå ïîäëåæèò îöåíêå ïî ôîðìóëå
(1). Äëÿ çàäà÷ ñ áîëüøèìè çíà÷åíèÿìè (n + 1)-é ïðîèçâîäíîé ïîãðåøíîñòü
èíòåðïîëÿöèè òàêæå áóäåò ñóùåñòâåííîé. Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî â ýòîì
ñëó÷àå ëèíåéíàÿ èíòåðïîëÿöèÿ îêàæåòñÿ òî÷íåå ïîëèíîìèàëüíîé âûñîêèõ
ïîðÿäêîâ. Òàêèì îáðàçîì, ïðè ïîñòðîåíèè ñåòî÷íûõ ôóíêöèé ïðåäñòàâ-
ëÿåòñÿ öåëåñîîáðàçíûì ïðèìåíÿòü ïîëèíîìèàëüíóþ èíòåðïîëÿöèþ 2-4-ãî
ïîðÿäêîâ â ìåñòàõ, ãäå ôóíêöèÿ ðåøåíèÿ ãëàäêàÿ, è èíòåðïîëÿöèþ, ïðèáëè-
æåííóþ ê ëèíåéíîé, â ìåñòàõ ñ áîëüøèìè çíà÷åíèÿìè ãðàäèåíòà.
Ïîñòàíîâêà çàäà÷è. Áóäåì ðàññìàòðèâàòü îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ G â
âèäå ïðÿìîóãîëüíèêà ñ ãðàíèöåé � : { , }G a x b c y d� � � � � . Ðàçîáüåì îò-
ðåçêè [ , ]a b è [ , ]c d òî÷êàìè ñîîòâåòñòâåííî x a x x x bNx0 1 2� �, , , ..., è y0 �
� a y y y Ny, , , ...,1 2 . ×åðåç òî÷êè ïðîâåäåì ïðÿìûå, ïàðàëëåëüíûå ñîîò-
âåòñòâóþùèì îñÿì.  ðåçóëüòàòå ïåðåñå÷åíèÿ ýòèõ ïðÿìûõ ïîëó÷àåì óçëû
( , )i j , îïðåäåëåííûå êîîðäèíàòàìè ( , )x yi j , êîòîðûå îáðàçóþò ñåòêó �
�
{( , ) }x y Gi j . Ïóñòü íà íåé çàäàíî çíà÷åíèå íåêîòîðîé ñåòî÷íîé ôóíê-
öèè uik . Ïðè ðåøåíèè äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèç-
âîäíûõ â ðåçóëüòàòå èñïîëüçîâàíèÿ àëãîðèòìà ïîñòðîåíèÿ ñåòêè ïîëó÷àåì
íåêîòîðóþ íîâóþ ñåòêó � �
{( , ) }* *x y Gi j , ãäå( , )* *x yi j — çàäàííûå óçëû.
Íåîáõîäèìî íàéòè çíà÷åíèå ñåòî÷íîé ôóíêöèè ui j,
* â óçëàõ ñåòêè � .
Ìåòîä ðåøåíèÿ. Ïåðåä ðåàëèçàöèåé äâóìåðíîé èíòåðïîëÿöèè öåëå-
ñîîáðàçíî èññëåäîâàòü îäíîìåðíûé ñëó÷àé. Ïîñòàâèì çàäà÷ó ðåàëèçîâàòü
èíòåðïîëÿöèþ, ïîðÿäîê êîòîðîé ìîæåò èçìåíÿòüñÿ â çàâèñèìîñòè îò ãëàä-
êîñòè ôóíêöèè. Ýòó çàäà÷ó ìîæíî ðåøèòü íåñêîëüêèìè ñïîñîáàìè.
Âî-ïåðâûõ, ìîæíî âûáðàòü îäèí èç íåñêîëüêèõ èíòåðïîëÿöèîííûõ
ïîëèíîìîâ ðàçíîé ñòåïåíè, îïðåäåëèâ ïîãðåøíîñòè ïî ôîðìóëå (1). Äëÿ
ýòîãî íåîáõîäèìî çíàòü ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå (n �1)-é ïðîèçâîäíîé íà
îòðåçêå, ãäå ïîñòðîåí ïîëèíîì. Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî çíà÷åíèå (n �1)-é
ïðîèçâîäíîé ìîæíî îöåíèòü ëèøü ïî ôîðìóëå ÷èñëåííîãî äèôôåðåí-
öèðîâàíèÿ, íî â ýòîì ñëó÷àå êðàéíèå òî÷êè ðàñïîëîæåíû íåäîñòàòî÷íî
áëèçêî ê îòðåçêó, è òàêàÿ îöåíêà íå áóäåò òî÷íîé.
Ä. Ñ. Ñìàêîâñêèé
12 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2010. V. 32. ¹ 5
Âî-âòîðûõ, ìîæíî èñïîëüçîâàòü îáùåïðèíÿòûå â êîìïüþòåðíîé ãðà-
ôèêå ìåòîäû, íàïðèìåð ñïëàéíû Êî÷àíåêà—Áàðòåëüñà [3], íî ýòè ìåòîäû
îðèåíòèðîâàíû â ïåðâóþ î÷åðåäü íà ïîñòðîåíèå êðèâûõ, à íå íà èíòåðïî-
ëÿöèþ, è òðåáóþò äîïîëíèòåëüíûõ êîýôôèöèåíòîâ, òàêèõ êàê ïàðàìåòð ñìå-
ùåíèÿ è ïàðàìåòð íåïðåðûâíîñòè.
Äëÿ îäíîìåðíîãî ñëó÷àÿ èñïîëüçóåì ïîäõîä, îñíîâàííûé íà êðèâûõ
Ôåðãþññîíà. Àíàëîãè÷íî ñïëàéíàì Êî÷àíåêà—Áàðòåëüñà, ââåäåì êîýô-
ôèöèåíòû A è B, ó÷èòûâàþùèå âëèÿíèå ïðîèçâîäíûõ â óçëîâûõ òî÷êàõ íà
êðèâóþ:
y t y t t y t t Ay A yi i i i( ) ( ) ( ) ( ( ) � ) (� � � � � � � � � ��1 3 2 3 2 12 3
1
2 3 t t t� � �2 2 3 )
� � � � � � ��( ( ) � )( )By B y t ti i1
2 31 ,
ãäå t
x x
x x
i
i i
�
�
��1
; y i , y i�1, �y i , ��y i 1, ��y i — çíà÷åíèÿ ôóíêöèè è åå ïðîèçâîä-
íîé â ñîñåäíèõ òî÷êàõ.
Ðàññìîòðèì âûáîð êîýôôèöèåíòîâ äëÿ ôóíêöèé îäíîé ïåðåìåííîé.
Íà ðèñ. 1 ïðèâåäåíà òî÷å÷íî çàäàííàÿ ôóíêöèÿ ñ äîñòàòî÷íî áîëüøîé
ðàçíèöåé çíà÷åíèé ìåæäó ÷åòâåðòîé è ïÿòîé òî÷êàìè è íåïðåðûâíàÿ
êðèâàÿ, ïîñòðîåííàÿ ñ ïîìîùüþ êóñî÷íîé èíòåðïîëÿöèè ìåòîäîì Ëàãðàí-
æà 3-ãî ïîðÿäêà (äëÿ êàæäîãî îòðåçêà ó÷èòûâàþòñÿ çíà÷åíèÿ ÷åòûðåõ
òî÷åê, ïî äâå ñ êàæäîé ñòîðîíû). Èç ðèñ. 1 âèäíî, ÷òî çíà÷èòåëüíàÿ
ðàçíîñòü îðäèíàò ìåæäó òî÷êàìè 4 è 5 ïîðîæäàåò îñöèëëÿöèè ïîëèíîìà
ìåæäó òî÷êàìè 3 è 4, à òàêæå ìåæäó òî÷êàìè 5 è 6. Ýòîãî è ñëåäîâàëî
îæèäàòü îò ïîëèíîìèàëüíîé èíòåðïîëÿöèè, íî äëÿ áîëüøèíñòâà çàäà÷
Àäàïòèâíàÿ èíòåðïîëÿöèÿ íà îñíîâå êðèâûõ Ôåðãþññîíà
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2010. Ò. 32. ¹ 5 13
4
3
2
1
2 3 4 5 6 7 8
1 2 3
4
5
6 7 8
y
x
Ðèñ. 1. Êóñî÷íàÿ èíòåðïîëÿöèÿ ìåòîäîì Ëàãðàíæà 3-ãî ïîðÿäêà
ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè òàêèå îòêëîíåíèÿ íå ÿâëÿþòñÿ åñòåñòâåííûìè, à
ïðè ðåøåíèè âûñîêîãðàäèåíòíûõ çàäà÷ ìîãóò ïðèâåñòè ê ïîòåðå òî÷íîñòè.
Òàêèì îáðàçîì, åñëè èçâåñòíà ïðèðîäà ðåøåíèÿ çàäà÷è, òî öåëåñîîá-
ðàçíî óìåíüøèòü èëè èñêëþ÷èòü âëèÿíèå òî÷åê èç îáëàñòè ñ áîëüøèìè
çíà÷åíèÿìè ïðîèçâîäíûõ íà ïîñòðîåíèå èíòåðïîëèðóþùåé ôóíêöèè â
îáëàñòè íåçíà÷èòåëüíûõ ãðàäèåíòîâ. Ñëåäóåò òàêæå çàìåòèòü, ÷òî ïðîöå-
äóðà ïðèíÿòèÿ ðåøåíèÿ îá ó÷åòå èëè èñêëþ÷åíèè âëèÿíèÿ íåêîòîðûõ
òî÷åê íå äîëæíà ñîñòîÿòü èç ìíîãèõ âû÷èñëåíèé, òàê êàê ýòî çíà÷èòåëüíî
óâåëè÷èò îáùåå âðåìÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ.
Ðàññìîòðèì ïîäðîáíåå ðåàëèçàöèþ àäàïòèâíîé èíòåðïîëÿöèè ïî ôîð-
ìóëå (1). Çíà÷åíèÿ ïðîèçâîäíûõ îïðåäåëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì ÷èñëåííîãî
äèôôåðåíöèðîâàíèÿ:
� �
�
�
�� �
� �
�y
y y
x x
x xi
i i
i i
i i
1 1
1 1
1( ), � �
�
�
��
�
�
�y
y y
x x
x xi
i i
i i
i i1
2
2
1( ), � � ���y y yi i i1 .
Êîýôôèöèåíò A çàäàäèì òàêèì îáðàçîì, ÷òî åñëè ðàññ÷èòàííàÿ ÷èñëåííî ñ
èñïîëüçîâàíèåì çíà÷åíèÿ â (i – 1)-é òî÷êå ïðîèçâîäíàÿ �y i ñóùåñòâåííî
îòëè÷àåòñÿ îò ïðîèçâîäíîé ��y i , ðàññ÷èòàííîé íà îñíîâàíèè áëèæàéøèõ
çíà÷åíèé, òî åãî çíà÷åíèå áóäåò ñòðåìèòüñÿ ê íóëþ. Ïðè íåçíà÷èòåëüíîé
ðàçíèöå ìåæäó ïðîèçâîäíûìè êîýôôèöèåíò À áóäåò áëèçîê ê åäèíèöå.
Âìåñòî îöåíêè ðàçíèöû ïðîèçâîäíûõ äëÿ áûñòðîãî ðàñ÷åòà êîýôôè-
öèåíòà A áóäåì èñïîëüçîâàòü óãîë ìåæäó âåêòîðàìè, ïîñòðîåííûìè ìåæ-
äó òî÷êàìè i�1, i, i�1, i�2 (ðèñ. 2). Ðàñ÷åò êîýôôèöèåíòà B àíàëîãè÷åí
ðàñ÷åòó A.
Ä. Ñ. Ñìàêîâñêèé
14 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2010. V. 32. ¹ 5
y
4
3
2
1
0
1 2 3 4 5 6
i 1�
i 1� i 2�
a
b
c
i
x
Ðèñ. 2. Âåêòîðû äëÿ ðàñ÷åòà êîýôôèöèåíòîâ À è Â
Âåêòîðû èìåþò ñëåäóþùèå êîîðäèíàòû: a x x y yi i i i� � �� �( , )1 1 ; b �
� � �� �( , )x x y yi i i i1 1 ; c x x y yi i i i� � �� � � �( , )2 1 2 1 . Êîñèíóñû óãëîâ
è �
ìåæäó âåêòîðàìè ñîîòâåòñòâåííî a, b è b, c ìîæíî îïðåäåëèòü èç ñêàëÿð-
íîãî ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðîâ:
cos
�
a b
a b
; cos � �
b c
b c
.
Îïðåäåëèì êîýôôèöèåíòû:
A
k
k
�
�
�
�
�
�
cos cos
cos
2
0
�
�
; B
k
k
�
�
�
�
�
�
cos cos
cos
2
0
�� �
� �
,
ãäå 0 1� �k — íåêîòîðîå ÷èñëî, èñïîëüçóåìîå â êà÷åñòâå êðèòåðèÿ îòñåêà-
íèÿ âëèÿíèÿ ïðîèçâîäíûõ �y i è ��y i 1 ïðè ñóùåñòâåííîé ðàçíèöå ìåæäó
íèìè (íàïðèìåð k �0 2, ). Ïðè çíà÷åíèÿõ cos
èëè cos �ìåíüøå íóëÿ çíà÷å-
íèå ïðîèçâîäíîé ��y i ïðèíèìàëîñü ðàâíûì íóëþ, ÷òî ñîîòâåòñòâîâàëî
ýêñòðåìóìó ôóíêöèè â òî÷êå, áëèçêîé ñîîòâåòñòâåííî ê x i èëè x i�1.
Íà ðèñ. 3 ïðèâåäåíû èíòåðïîëèðóþùèå ôóíêöèè, ïîñòðîåííûå ñ ïî-
ìîùüþ êóñî÷íîé èíòåðïîëÿöèè Ëàãðàíæà 3-ãî ïîðÿäêà è ïî ôîðìóëå (1)
íà îäèíàêîâîì êàðêàñå òî÷åê ñî çíà÷èòåëüíîé ðàçíèöåé ìåæäó çíà÷åíèÿ-
ìè îðäèíàòû. Èç ðèñ. 3 âèäíî, ÷òî ôóíêöèè, ïîëó÷åííûå ïðåäëîæåííûì
ìåòîäîì íå âûõîäÿò äàëåêî çà ïðåäåëû êàðêàñà òî÷åê.
Íà ðèñ. 4 ïðèâåäåíû èíòåðïîëèðóþùèå êðèâûå íà êàðêàñå òî÷åê,
çàäàþùèõ ôóíêöèþ ñ ïëàâíûì èçìåíåíèåì îðäèíàòû, ïîëó÷åííûå äâóìÿ
Àäàïòèâíàÿ èíòåðïîëÿöèÿ íà îñíîâå êðèâûõ Ôåðãþññîíà
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2010. Ò. 32. ¹ 5 15
6
5
4
3
2
1
0
1 2 3 4 5 6 7
5
4
3
2
1
0
1 2 3 4 5 6 7 x
y
à á
Ðèñ. 3. Ïðèìåð îäíîìåðíîé èíòåðïîëÿöèè ìåòîäîì Ëàãðàíæà 3-ãî ïîðÿäêà (à) è ïðåäëî-
æåííûì ìåòîäîì (á)
ìåòîäàìè. Êàê âèäèì, â îáîèõ ñëó÷àÿõ ïîëó÷åíû ïîäîáíûå êðèâûå. Òàêèì
îáðàçîì, ïðåäëîæåííûé ìåòîä ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ èíòåðïîëÿöèè êàê
ãëàäêèõ ôóíêöèé, òàê è ôóíêöèé, êîòîðûå â íåêîòîðîé îáëàñòè èìåþò
áîëüøèå çíà÷åíèÿ ïðîèçâîäíîé. Ýòî îñîáåííî àêòóàëüíî â ñëó÷àÿõ, êîãäà
íåîáõîäèìî ïðèìåíèòü èíòåðïîëÿöèþ ê ÷èñëåííûì ðåøåíèÿì äèôôåðåí-
öèàëüíûõ óðàâíåíèé è ïðåäâàðèòåëüíî íåèçâåñòíà ñêîðîñòü èçìåðåíèÿ
èñêîìîé ôóíêöèè, íî èçâåñòíû åå ñâîéñòâà.
Èññëåäîâàíèå ìåòîäà. Èñïîëüçóåì ïðåäëîæåííûé ìåòîä äëÿ ðåøå-
íèÿ äâóìåðíîé çàäà÷è. Çíà÷åíèå â òî÷êå ( , )x y íàõîäèì, âûáðàâ âîêðóã 16
òî÷åê (ðèñ 5). Îäíîìåðíàÿ èíòåðïîëÿöèÿ ïîñëåäîâàòåëüíî èñïîëüçóåòñÿ
âäîëü îñè äëÿ íàõîæäåíèÿ çíà÷åíèé â òî÷êàõ ( , )x y j�1 , ( , )x y j , ( , )x y j�1 ,
( , )x y j�2 . Ïðåäëîæåííûé îäíîìåðíûé ìåòîä èñïîëüçóåì âäîëü îñè oy, è ïî
íàéäåííûì ÷åòûðåì òî÷êàì íàéäåì çíà÷åíèå â òî÷êå ( , )x y .
Òî÷íîñòü ìåòîäà áûëà èññëåäîâàíà íà íåïðåðûâíî-äèôôåðåíöèðóå-
ìîé ôóíêöèè
u x y e M x x y y
1
0
2
0
2
( , )
(( ) ( ) )� � � � �
, (2)
Ä. Ñ. Ñìàêîâñêèé
16 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2010. V. 32. ¹ 5
4
3
2
1
2 4 6 8 10 x
y
à á
2 4 6 8 10
Ðèñ. 4. Ïðèìåð îäíîìåðíîé èíòåðïîëÿöèè íà êàðêàñå òî÷åê, çàäàþùèõ ôóíêöèþ ñ ïëàâíûì
èçìåíåíèåì îðäèíàòû: à — ìåòîä Ëàãðàíæà 3-îãî ïîðÿäêà; á — ïðåäëîæåííûé ìåòîä
yj+2
xi+2
yj+1
xi+1
yj
xi
( , )x y
yj�1
xi�1
Ðèñ. 5. Øàáëîí äâóìåðíîé èíòåðïîëÿöèè
ãäå M �2000; x y0 0 0 3� � , , è ôóíêöèè
u
x x y y
x x x x x y y
y y2
1 1
1 1 2 1
1
1
1 50
1 50�
� � �
� � � � � �
� �
, ,
( ), ,
( ), y y y x x
x x y y x x x y y y
x x
1 2 1
1 1 1 2 1 21 25
0
� � � �
� � � � � � � � �
�
,
( ), ,
, 2 2� �
�
�
�
��
�
�
�
� y y ,
(3)
ãäå x1 0 2� , ; x2 0 22� , .
Ïîñòðîåíû òàáëèöû çíà÷åíèé ôóíêöèé (2) è (3) â òî÷êàõ( , )x yi j �
� � �( , )h i h j , h �0 02, ; i �0 25... ; j �0 25... . Îáå ôóíêöèè èìåþò áîëüøèå çíà-
÷åíèÿ ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ â íåêîòîðûõ îáëàñòÿõ (ðèñ. 6).
Ïî äàííûì òàáëèö îñóùåñòâëåíà èíòåðïîëÿöèÿ ïðåäëîæåííûì àäàï-
òèâíûì ìåòîäîì è ìåòîäîì Ëàãðàíæà 3-ãî ïîðÿäêà è íàéäåíû äîïîëíè-
òåëüíûå çíà÷åíèÿ ìåæäó òî÷êàìè, ò.å. ïîñòðîåíà òàáëèöà çíà÷åíèé ñ
øàãîì, âäâîå ìåíüøèì, ÷åì èñõîäíàÿ. Ðàññ÷èòàííûå çíà÷åíèÿ ñðåäíåé
� �� è ìàêñèìàëüíîé � m ïîãðåøíîñòåé ïðèâåäåíû â òàáëèöå.
Àäàïòèâíàÿ èíòåðïîëÿöèÿ íà îñíîâå êðèâûõ Ôåðãþññîíà
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2010. Ò. 32. ¹ 5 17
Ôóíêöèÿ
� �� �m
Ìåòîä Ëàãðàíæà Àäàïòèâíûé ìåòîä Ìåòîä Ëàãðàíæà Àäàïòèâíûé ìåòîä
(2) 0,000543 0,000398 0,055 0,052
(3) 0,002169 0,000096 0,25 0,25
Ïîãðåøíîñòü èíòåðïîëÿöèè
x, ì
x, ì�0,50
�0,50 �0,40
0,10
0,20
0,20
0,30
0,30
0,40
0,40
0,50
0,50
y, ì
y, ì
u x y1( , )
u x y2( , )
1,00
1,00
0,67
0,67
0,33
�0,10
0,50
0,10�0,30�0,10�0,25�0,30
�0,20
Ðèñ. 6. Ôóíêöèè äëÿ èññëåäîâàíèÿ òî÷íîñòè èíòåðïîëÿöèè
Âûâîäû. Ïðåäëîæåííûé ñïîñîá îêàçàëñÿ ýôôåêòèâíûì ïðè èíòåðïî-
ëÿöèè ôóíêöèè (3), êîòîðàÿ èìååò ðàçðûâ â çíà÷åíèè ïåðâîé ïðîèçâîäíîé.
Ïðè èíòåðïîëÿöèè çíà÷åíèé, ïîëó÷åííûõ èç íåïðåðûâíî-äèôôåðåíöè-
ðóåìîé ôóíêöèè (2), ïîãðåøíîñòü ìåòîäà áëèçêà ê ïîãðåøíîñòè èíòåðïî-
ëÿöèîííîãî ïîëèíîìà òàêîãî æå ïîðÿäêà. Òàêèì îáðàçîì, èñïîëüçîâàíèå
ïðåäëîæåííîãî ìåòîäà ìîæåò óâåëè÷èòü òî÷íîñòü ðåøåíèÿ çàäà÷ ñ áîëü-
øèìè çíà÷åíèÿìè ïðîèçâîäíûõ, îïèñûâàåìûõ ìîäåëÿìè â ðàñïðåäåëåí-
íûõ ïàðàìåòðàõ ñ ïîìîùüþ àäàïòèâíûõ ñåòîê.
The interpolation while solving problems described by models in distributed parameters with the
help of adaptive meshes have been considered. An adaptive method was proposed which permits
decreasing the interpolation error when calculating the mesh functions.
1. Ëóêüÿíåíêî Ñ. À., Ðàñcàìàêèí Á. Ì, Õàéðíàñîâ Ñ. Ì., Ñìàêîâñêèé Ä. Ñ. Êîíòóðíûå
òåïëîâûå òðóáû è àäàïòèâíûå ìåòîäû ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ èõ òåïëîâûõ
ïîëåé // Èíîâàöèîííîå ðàçâèòèå òîïëèâíî-ýíåðãåòè÷åñêîãî êîìïëåêñà: ïðîáëåìû è
âîçìîæíîñòè / Ïîä îáù. ðåä. Ã. Ê. Âîðîíîâñêîãî, È. Â. Íåäèíà. — Êèåâ : Çíàíèÿ
Óêðàèíû, 2004. — Ñ. 320—324.
2. Ñàìàðñêèé À. À. Ââåäåíèå â ÷èñëåííûå ìåòîäû/Ó÷åá. ïîñîáèå äëÿ âóçîâ. — ÑÏá. :
Ëàíü, 2005. — 288 ñ.
3. Õåðí Ä., Áåéêåð Ì. Ï. Êîìïüþòåðíàÿ ãðàôèêà è ñòàíäàðò OpenGL. — Ì. : Âèëüÿìñ,
2005. — 1168 ñ.
Ïîñòóïèëà 20.04.10;
ïîñëå äîðàáîòêè 03.06.10
ÑÌÀÊÎÂÑÊÈÉ Äåíèñ Ñåðãååâè÷, ñò. ïðåïîäàâàòåëü êàôåäðû àâòîìàòèçàöèè ïðîåêòèðî-
âàíèÿ ýíåðãåòè÷åñêèõ ïðîöåññîâ è ñèñòåì òåïëîýíåðãåòè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà Íàöèîíàëüíîãî
òåõíè÷åñêîãî óíèâåðñèòåòà Óêðàèíû «ÊÏÈ», êîòîðûé îêîí÷èë â 2006 ã. Îáëàñòü íàó÷íûõ
èññëåäîâàíèé — ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå è ÷èñëåííûå ìåòîäû.
Ä. Ñ. Ñìàêîâñêèé
18 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2010. V. 32. ¹ 5
<<
/ASCII85EncodePages false
/AllowTransparency false
/AutoPositionEPSFiles true
/AutoRotatePages /None
/Binding /Left
/CalGrayProfile (Dot Gain 20%)
/CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CalCMYKProfile (U.S. Web Coated \050SWOP\051 v2)
/sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CannotEmbedFontPolicy /Error
/CompatibilityLevel 1.4
/CompressObjects /Tags
/CompressPages true
/ConvertImagesToIndexed true
/PassThroughJPEGImages true
/CreateJDFFile false
/CreateJobTicket false
/DefaultRenderingIntent /Default
/DetectBlends true
/DetectCurves 0.0000
/ColorConversionStrategy /CMYK
/DoThumbnails false
/EmbedAllFonts true
/EmbedOpenType false
/ParseICCProfilesInComments true
/EmbedJobOptions true
/DSCReportingLevel 0
/EmitDSCWarnings false
/EndPage -1
/ImageMemory 1048576
/LockDistillerParams false
/MaxSubsetPct 100
/Optimize true
/OPM 1
/ParseDSCComments true
/ParseDSCCommentsForDocInfo true
/PreserveCopyPage true
/PreserveDICMYKValues true
/PreserveEPSInfo true
/PreserveFlatness true
/PreserveHalftoneInfo false
/PreserveOPIComments true
/PreserveOverprintSettings true
/StartPage 1
/SubsetFonts true
/TransferFunctionInfo /Apply
/UCRandBGInfo /Preserve
/UsePrologue false
/ColorSettingsFile ()
/AlwaysEmbed [ true
]
/NeverEmbed [ true
]
/AntiAliasColorImages false
/CropColorImages true
/ColorImageMinResolution 300
/ColorImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleColorImages true
/ColorImageDownsampleType /Bicubic
/ColorImageResolution 300
/ColorImageDepth -1
/ColorImageMinDownsampleDepth 1
/ColorImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeColorImages true
/ColorImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterColorImages true
/ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG
/ColorACSImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/ColorImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/JPEG2000ColorACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/JPEG2000ColorImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/AntiAliasGrayImages false
/CropGrayImages true
/GrayImageMinResolution 300
/GrayImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleGrayImages true
/GrayImageDownsampleType /Bicubic
/GrayImageResolution 300
/GrayImageDepth -1
/GrayImageMinDownsampleDepth 2
/GrayImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeGrayImages true
/GrayImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterGrayImages true
/GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG
/GrayACSImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/GrayImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/JPEG2000GrayACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/JPEG2000GrayImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/AntiAliasMonoImages false
/CropMonoImages true
/MonoImageMinResolution 1200
/MonoImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleMonoImages true
/MonoImageDownsampleType /Bicubic
/MonoImageResolution 1200
/MonoImageDepth -1
/MonoImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeMonoImages true
/MonoImageFilter /CCITTFaxEncode
/MonoImageDict <<
/K -1
>>
/AllowPSXObjects false
/CheckCompliance [
/None
]
/PDFX1aCheck false
/PDFX3Check false
/PDFXCompliantPDFOnly false
/PDFXNoTrimBoxError true
/PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXSetBleedBoxToMediaBox true
/PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXOutputIntentProfile ()
/PDFXOutputConditionIdentifier ()
/PDFXOutputCondition ()
/PDFXRegistryName ()
/PDFXTrapped /False
/Description <<
/CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e9ad88d2891cf76845370524d53705237300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002>
/CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc9ad854c18cea76845370524d5370523786557406300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002>
/DAN <FEFF004200720075006700200069006e0064007300740069006c006c0069006e006700650072006e0065002000740069006c0020006100740020006f007000720065007400740065002000410064006f006200650020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e007400650072002c0020006400650072002000620065006400730074002000650067006e006500720020007300690067002000740069006c002000700072006500700072006500730073002d007500640073006b007200690076006e0069006e00670020006100660020006800f8006a0020006b00760061006c0069007400650074002e0020004400650020006f007000720065007400740065006400650020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e0074006500720020006b0061006e002000e50062006e00650073002000690020004100630072006f00620061007400200065006c006c006500720020004100630072006f006200610074002000520065006100640065007200200035002e00300020006f00670020006e0079006500720065002e>
/DEU <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>
/ESP <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>
/FRA <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>
/ITA <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>
/JPN <FEFF9ad854c18cea306a30d730ea30d730ec30b951fa529b7528002000410064006f0062006500200050004400460020658766f8306e4f5c6210306b4f7f75283057307e305930023053306e8a2d5b9a30674f5c62103055308c305f0020005000440046002030d530a130a430eb306f3001004100630072006f0062006100740020304a30883073002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee5964d3067958b304f30533068304c3067304d307e305930023053306e8a2d5b9a306b306f30d530a930f330c8306e57cb30818fbc307f304c5fc59808306730593002>
/KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020ace0d488c9c80020c2dcd5d80020c778c1c4c5d00020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e>
/NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken die zijn geoptimaliseerd voor prepress-afdrukken van hoge kwaliteit. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.)
/NOR <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>
/PTB <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>
/SUO <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>
/SVE <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>
/ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents best suited for high-quality prepress printing. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.)
>>
/Namespace [
(Adobe)
(Common)
(1.0)
]
/OtherNamespaces [
<<
/AsReaderSpreads false
/CropImagesToFrames true
/ErrorControl /WarnAndContinue
/FlattenerIgnoreSpreadOverrides false
/IncludeGuidesGrids false
/IncludeNonPrinting false
/IncludeSlug false
/Namespace [
(Adobe)
(InDesign)
(4.0)
]
/OmitPlacedBitmaps false
/OmitPlacedEPS false
/OmitPlacedPDF false
/SimulateOverprint /Legacy
>>
<<
/AddBleedMarks false
/AddColorBars false
/AddCropMarks false
/AddPageInfo false
/AddRegMarks false
/ConvertColors /ConvertToCMYK
/DestinationProfileName ()
/DestinationProfileSelector /DocumentCMYK
/Downsample16BitImages true
/FlattenerPreset <<
/PresetSelector /MediumResolution
>>
/FormElements false
/GenerateStructure false
/IncludeBookmarks false
/IncludeHyperlinks false
/IncludeInteractive false
/IncludeLayers false
/IncludeProfiles false
/MultimediaHandling /UseObjectSettings
/Namespace [
(Adobe)
(CreativeSuite)
(2.0)
]
/PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK
/PreserveEditing true
/UntaggedCMYKHandling /LeaveUntagged
/UntaggedRGBHandling /UseDocumentProfile
/UseDocumentBleed false
>>
]
>> setdistillerparams
<<
/HWResolution [2400 2400]
/PageSize [612.000 792.000]
>> setpagedevice
|