Подход к идентификации коэффициентов нелинейных динамических объектов с сосредоточенными параметрами
Предложен подход к параметрической идентификации для класса нелинейных объектов, описываемых системами обыкновенных дифференциальных уравнений. Получены формулы градиента функционала, позволяющие для получения значений параметров использовать итерационные методы оптимизации первого порядка. Приведен...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Электронное моделирование |
|---|---|
| Дата: | 2010 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
2010
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/61685 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Подход к идентификации коэффициентов нелинейных динамических объектов с сосредоточенными параметрами / С.З. Кулиев // Электронное моделирование. — 2010. — Т. 32, № 6. — С. 15-30. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860104148340441088 |
|---|---|
| author | Кулиев, С.З. |
| author_facet | Кулиев, С.З. |
| citation_txt | Подход к идентификации коэффициентов нелинейных динамических объектов с сосредоточенными параметрами / С.З. Кулиев // Электронное моделирование. — 2010. — Т. 32, № 6. — С. 15-30. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Электронное моделирование |
| description | Предложен подход к параметрической идентификации для класса нелинейных объектов, описываемых системами обыкновенных дифференциальных уравнений. Получены формулы градиента функционала, позволяющие для получения значений параметров использовать итерационные методы оптимизации первого порядка. Приведены результаты численных экспериментов и примеры решения тестовых задач.
Запропоновано підхід до параметричної ідентифікації для класу нелінійних об’єктів, описуваних системами звичайних диференціальних рівнянь. Отримано формули градієнта функціонала, які дозволяють для отримання значень параметрів використовувати ітераційні методи оптимізації першого порядку. Наведено результати числових експериментів і приклади розв’язку тестових задач.
An approach has been proposed to parametric identification for a class of nonlinear objects described by the systems of ordinary differential equations. Formulas of the functional gradient have been obtained which permit using the iterational methods of the first order optimization to obtain the values of the parameters. Results of numerical experiments and examples of solution of the test problems have been presented.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:30:26Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 517.97:519.876
Ñ. Ç. Êóëèåâ, êàíä. ôèç.-ìàò.íàóê
Èí-ò êèáåðíåòèêè ÍÀÍ Àçåðáàéäæàíà
(Àçåðáàéäæàí, AZ 1141, Áàêó, óë. Ô.Àãàåâà, 9,
òåë. (99412) 5100523, E-mail: azcopal@gmail.com)
Ïîäõîä ê èäåíòèôèêàöèè êîýôôèöèåíòîâ
íåëèíåéíûõ äèíàìè÷åñêèõ îáúåêòîâ
ñ ñîñðåäîòî÷åííûìè ïàðàìåòðàìè
Ïðåäëîæåí ïîäõîä ê ïàðàìåòðè÷åñêîé èäåíòèôèêàöèè äëÿ êëàññà íåëèíåéíûõ îáúåêòîâ,
îïèñûâàåìûõ ñèñòåìàìè îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. Ïîëó÷åíû ôîð-
ìóëû ãðàäèåíòà ôóíêöèîíàëà, ïîçâîëÿþùèå äëÿ ïîëó÷åíèÿ çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ èñïîëü-
çîâàòü èòåðàöèîííûå ìåòîäû îïòèìèçàöèè ïåðâîãî ïîðÿäêà. Ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû ÷èñ-
ëåííûõ ýêñïåðèìåíòîâ è ïðèìåðû ðåøåíèÿ òåñòîâûõ çàäà÷.
Çàïðîïîíîâàíî ï³äõ³ä äî ïàðàìåòðè÷íî¿ ³äåíòèô³êàö³¿ äëÿ êëàñó íåë³í³éíèõ îá’ºêò³â,
îïèñóâàíèõ ñèñòåìàìè çâè÷àéíèõ äèôåðåíö³àëüíèõ ð³âíÿíü. Îòðèìàíî ôîðìóëè ãðà-
䳺íòà ôóíêö³îíàëà, ÿê³ äîçâîëÿþòü äëÿ îòðèìàííÿ çíà÷åíü ïàðàìåòð³â âèêîðèñòîâóâàòè
³òåðàö³éí³ ìåòîäè îïòèì³çàö³¿ ïåðøîãî ïîðÿäêó. Íàâåäåíî ðåçóëüòàòè ÷èñëîâèõ åêñïåðè-
ìåíò³â ³ ïðèêëàäè ðîçâ’ÿçêó òåñòîâèõ çàäà÷.
K ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à: äèíàìè÷åñêèé îáúåêò, ïàðàìåòðè÷åñêàÿ èäåíòèôèêàöèÿ, ôàçîâîå
ñîñòîÿíèå, ãðàäèåíò ôóíêöèîíàëà, ñîïðÿæåííàÿ ñèñòåìà.
Èññëåäóåì çàäà÷ó èäåíòèôèêàöèè êîýôôèöèåíòîâ ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäå-
ëè îáúåêòà, çàâèñÿùèõ îò åãî ôàçîâîãî ñîñòîÿíèÿ. Äèíàìèêà îáúåêòà îïè-
ñûâàåòñÿ ñèñòåìîé íåëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ îáûêíî-
âåííûìè ïðîèçâîäíûìè.
Äëÿ ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è ðàçîáüåì âñå ìíîæåñòâî âîçìîæíûõ
ôàçîâûõ ñîñòîÿíèé îáúåêòà íà êîíå÷íîå ÷èñëî ïîäìíîæåñòâ.  êàæäîì
ïîäìíîæåñòâå èäåíòèôèöèðóåìûå êîýôôèöèåíòû áóäåì èñêàòü íà ïàðà-
ìåòðè÷åñêè çàäàííîì êëàññå ôóíêöèé â çàâèñèìîñòè îò ñîñòîÿíèÿ, îïðåäå-
ëåííîì ñ ïîìîùüþ êàêîãî-ëèáî íàáîðà áàçèñíûõ ôóíêöèé.  ýòîì ñëó÷àå
ïåðâîíà÷àëüíàÿ çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê îïðåäåëåíèþ ïîñòîÿííûõ ïàðàìåòðîâ,
ó÷àñòâóþùèõ â ïðåäñòàâëåíèè êîýôôèöèåíòîâ.
Ïîñòàíîâêà çàäà÷è. Ïóñòü ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü ôóíêöèîíèðîâà-
íèÿ èññëåäóåìîãî äèíàìè÷åñêîãî îáúåêòà îïèñûâàåòñÿ íåëèíåéíîé ñèñòå-
ìîé äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé
� ( ) ( ( ), ( ( )))x t f x t K x t� , t T�( , ]0 , (1)
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2010. Ò. 32. ¹ 6 15
ãäå x t R n( )� — âåêòîð ôàçîâîãî ñîñòîÿíèÿ; K x t R r( ( ))� — èäåíòèôèöè-
ðóåìàÿ ïî÷òè âñþäó íåïðåðûâíî-äèôôåðåíöèðóåìàÿ âåêòîð-ôóíêöèÿ, îïðå-
äåëÿþùàÿ êîýôôèöèåíòû ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè; èçâåñòíàÿ âåêòîð-
ôóíêöèÿ f (.,.) ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíî-äèôôåðåíöèðóåìîé ïî âñåì ñâîèì
àðãóìåíòàì.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñ öåëüþ èäåíòèôèêàöèè êîýôôèöèåíòîâ ìàòåìàòè-
÷åñêîé ìîäåëè ïðîöåññà (1) ïðîâåäåíû N íåçàâèñèìûõ íàáëþäåíèé çà
äèíàìèêîé ñîñòîÿíèÿ îáúåêòà ïðè ðàçëè÷íûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ
x xi i( )0 0� , i N�1 2, , ..., . (2)
Ìîãóò áûòü ðàññìîòðåíû êîìïîíåíòû âåêòîðà ñîñòîÿíèé èëè âåñü âåêòîð
â îòäåëüíûå ìîìåíòû âðåìåíè,
x t x xij
i ij( ; )0 � , t Tij �( , ]0 , j M i�1 2 1, , ..., , i N�1 2, , ..., , (3)
â òîì ÷èñëå â êîíå÷íûé ìîìåíò âðåìåíè T:
x T x xi
T
i( ; )0 � , i N�1 2, , ..., , (4)
ãäå M i
1 — ÷èñëî ìîìåíòîâ âðåìåíè, â êîòîðûõ ïðîâîäèëèñü íàáëþäåíèÿ
çà ñîñòîÿíèåì îáúåêòà ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì x i
0. Òàêæå ìîæíî ðàññìàòðè-
âàòü ñîñòîÿíèÿ îáúåêòà ïðè ðàçëè÷íûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ íà íåêîòîðûõ
èíòåðâàëàõ âðåìåíè:
x t x y ti ij( ; ) ( )0 � , � �t Tij ij� ��� �1 0, [ , ] ,
� �ij ij� 1 , j M i�1 2 2, , ..., , i N�1 2, , ..., , (5)
ãäå M i
2 — ÷èñëî âðåìåííûõ èíòåðâàëîâ, â êîòîðûõ ïðîâîäèëèñü íàáëþäå-
íèÿ çà îáúåêòîì ïðè íà÷àëüíîì ñîñòîÿíèè x i
0. Íàáëþäåíèÿ ìîãóò áûòü è
ñìåøàííîãî òèïà, ò.å. êàê òî÷å÷íûå (3) èëè (4), òàê è èíòåðâàëüíûå (5).
Îïðåäåëèì (èäåíòèôèöèðóåì) íåèçâåñòíûå êîýôôèöèåíòû K x( ) ñèñ-
òåìû (1) ïî ðåçóëüòàòàì íàáëþäåíèé âèäà (2)—(4) èëè (5). Êà÷åñòâî
èäåíòèôèêàöèè áóäåì îöåíèâàòü ñ ïîìîùüþ êðèòåðèÿ íàèìåíüøèõ êâàä-
ðàòîâ, ïðè÷åì äëÿ êàæäîãî òèïà íàáëþäåíèÿ (3)—(5) êðèòåðèè áóäóò
ðàçëè÷íû. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïðîâåäåíû ôèíàëüíûå íàáëþäåíèÿ (4). Òîã-
äà êðèòåðèé êà÷åñòâà èäåíòèôèêàöèè ïðèìåò ñëåäóþùèé âèä:
J K x
N
I x T x K x K x K xi
i
N
i
Lr
( ( )) ( ( ; , ( ))) ( ) � ( ) m�
� �
�
�1
1
0
2
2
in
( )K x
, (6)
I x T x K x x T x K x xi i i
T
i
Rn
( ( ; , ( ))) ( ; , ( ))0 0
2
� � , (7)
Ñ. Ç. Êóëèåâ
16 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2010. V. 32. ¹ 6
ãäå x t x t x K x( ) ( ; , ( ))�
0
— ðåøåíèå çàäà÷è (1) ïðè êàêîì-ëèáî íà÷àëüíîì
óñëîâèè x0 è êîýôôèöèåíòàõ, îïðåäåëÿåìûõ âåêòîð-ôóíêöèåé K x R r( )� ;
�0, � ( )K x — ïàðàìåòðû ðåãóëÿðèçàöèè.
Ðåøåíèå çàäà÷è. Âñå ìíîæåñòâî ôàçîâûõ ñîñòîÿíèé ðàçîáüåì íà
êîíå÷íîå ÷èñëî ïîäìíîæåñòâ, â êàæäîì èç êîòîðûõ áóäåì èñêàòü êîýô-
ôèöèåíòû íà ïàðàìåòðè÷åñêè çàäàííîì êëàññå ôóíêöèé â çàâèñèìîñòè îò
ñîñòîÿíèÿ, îïðåäåëåííîì ñ ïîìîùüþ áàçèñíûõ ôóíêöèé.
Îáîçíà÷èì ÷åðåç X R n� ìíîæåñòâî âñåâîçìîæíûõ ôàçîâûõ ñîñòîÿ-
íèé îáúåêòà x t( ) ïðè âñåõ äîïóñòèìûõ çíà÷åíèÿõ íà÷àëüíûõ óñëîâèé è
çíà÷åíèé êîýôôèöèåíòîâ K x( ). Ïóñòü çàäàííîå êîíå÷íîå ÷èñëî îäíîñâÿç-
íûõ ïîäìíîæåñòâ (çîí) X Xk � òàêèõ, ÷òî
X X v
v
L
�
�1
� , int intX Xi j
� ��, i j� , i j L, , , ...,�1 2 ,
îáðàçóåò ïîêðûòèå X. Ñìåæíûå çîíû X i è X j îòäåëÿþòñÿ îäíà îò äðóãîé
ãðàíèöàìè ñ ïîìîùüþ çàäàííûõ íåïðåðûâíî-äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèé
g x g xij( ) ( ( ))� , i j� , i j L, { , , ..., }� 1 2 ,
òàêèõ, ÷òî
X x R g xi n ij� � { : ( ) }0 ,
X x R g xj n ij� � �{ : ( ) }0 ,
ïðè÷åì g x g xij ji( ) ( )� � . Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî ïðèíàäëåæíîñòü ñàìèõ ãðà-
íèö êàêèì-ëèáî çîíàì íå âëèÿåò íà ïîâåäåíèå ñèñòåìû â öåëîì, à âñå
ïðèâåäåííûå íèæå âûêëàäêè îñòàþòñÿ â ñèëå íåçàâèñèìî îò òîãî, ê êàêèì
çîíàì «ïðèïèñûâàåòñÿ» ãðàíèöà.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âåêòîð-ôóêíöèè f (.,.) è g (.) óäîâëåòâîðÿþò ñëå-
äóþùèì óñëîâèÿì:
f x K m( , ) � 1, � �x f x K m( , ) 2 , � �K f x K m( , ) 3,
g x m( ) � 4, � �g x m( ) 5
(8)
ïðè t T�[ , ]0 è x X� , ãäå mi , i �1 2 5, ,..., , — çàäàííûå ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà.
Èäåíòèôèöèðóåìûå êîýôôèöèåíòû K x k x k xr( ) ( ( ), ..., ( ))� 1 â êàæäîé
èç çîí X v , v L�1 2, , ..., , îïðåäåëèì â ñëåäóþùåì âèäå:
K x K x Rv r( ) ( )� � , k x p xs
v
si
v
i
i
m
( ) ( )�
�
� �
1
, s r�1 2, , ..., ,
psi
v �const, i m�1 2, , ..., , x X v� , v L�1 2, , ..., , t T� [ , ]0 ,
(9)
Ïîäõîä ê èäåíòèôèêàöèè êîýôôèöèåíòîâ íåëèíåéíûõ äèíàìè÷åñêèõ îáúåêòîâ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2010. Ò. 32. ¹ 6 17
ãäå � i x( ), i m�1 2, ,..., , — çàäàííûå ëèíåéíî-íåçàâèñèìûå áàçèñíûå ôóíê-
öèè; psi
v — íåèçâåñòíûå ïîñòîÿííûå ïàðàìåòðû, îïðåäåëÿþùèå èäåíòè-
ôèöèðóåìûå ôóíêöèè.
Êàê ïðàâèëî, êîýôôèöèåíòû K x( ) â ðåàëüíûõ çàäà÷àõ äîëæíû óäîâ-
ëåòâîðÿòü îãðàíè÷åíèÿì, îáóñëîâëåííûì òåõíè÷åñêèìè è òåõíîëîãè-
÷åñêèìè ñîîáðàæåíèÿìè. Òîãäà ïàðàìåòðû p p p pL� ( , , ..., )1 2 , p pv v� ( ,...11
..., , ..., )p pm
v
rm
v
1 , v L�1 2, , ..., , òàêæå äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü îïðåäåëåííûì
ñîîòâåòñòâóþùèì îãðàíè÷åíèÿì.
Îáîçíà÷èì ìíîæåñòâà äîïóñòèìûõ çíà÷åíèé çîíàëüíûõ ïàðàìåòðîâ pv ,
êîòîðûå ïðåäïîëàãàþòñÿ çàìêíóòûìè è îãðàíè÷åííûìè, ÷åðåç P Rv r m� � ,
v L�1 2, , ..., .  ýòîì ñëó÷àå ðåøåíèå ñèñòåìû äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíå-
íèé (1), îïðåäåëÿþùåå òåêóùåå ñîñòîÿíèå ïðîöåññà x t( ), çàâèñèò îò íà-
÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ x0 è çîíàëüíûõ çíà÷åíèé âåêòîðà ïàðàìåòðîâ p, ò.å.
x t x t x p( ) ( ; , )�
0
.
Òàêèì îáðàçîì, èñõîäíàÿ çàäà÷à îïðåäåëåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ K x( ) (1)—
(7) ïðèâåäåíà ê çàäà÷å îïðåäåëåíèÿ ïîñòîÿííûõ ïàðàìåòðîâ p R L r m� � � , ñ
ïîìîùüþ êîòîðûõ àïïðîêñèìèðóþòñÿ èñêîìûå êîýôôèöèåíòû. Òî÷íîñòü
àïïðîêñèìàöèè ìîæíî óëó÷øàòü, óâåëè÷èâàÿ ÷èñëî çîí (ïîäìíîæåñòâ)
X v , v L�1 2, , ..., , èëè ÷èñëî áàçèñíûõ ôóíêöèé � i x( ), i m�1 2, , ..., .
Êðèòåðèé èäåíòèôèêàöèè (6), (7) ñ ó÷åòîì (9) ïðèìåò âèä
J p
N
I x T x p p pi
i
N
i
R
p P
L r m( ) ( ( ; , )) � min�
� �
�
�
� � �
1
1
0
2
,
I x T x p x T x p xi i i
T
i
Rn
( ( ; , )) ( ; , )0 0
2
� � ,
(10)
ãäå x t x t x p( ) ( ; , )�
0
— ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè (1) ïðè äîïóñòèìîì çàäàí-
íîì âåêòîðå ïàðàìåòðîâ p è íà÷àëüíîì ñîñòîÿíèè x0 ñ ó÷åòîì (9); �p —
ïàðàìåòð ðåãóëÿðèçàöèè, ñîîòâåòñòâóþùèé ôóíêöèè � ( )K x èç (6).
Äëÿ îáåñïå÷åíèÿ êîððåêòíîñòè ïîñòàíîâêè èññëåäóåìîé çàäà÷è ïàðà-
ìåòðè÷åñêîé èäåíòèôèêàöèè íåîáõîäèìî, ÷òîáû ñîáëþäàëîñü îïðåäåëåí-
íîå ñîîòíîøåíèå ìåæäó ÷èñëîì íàáëþäåíèé è ÷èñëîì èäåíòèôèöèðóå-
ìûõ ïàðàìåòðîâ. Íàïðèìåð, â ñëó÷àå (9) ïðè N íàáëþäåíèÿõ çà ïîëíûì
âåêòîðîì íà÷àëüíûõ è êîíå÷íûõ ñîñòîÿíèé îáúåêòà íåîáõîäèìî, ÷òîáû
âûïîëíÿëîñü íåðàâåíñòâî N L r m n� � � / .
Çàäà÷ó (1), (2), (10) ìîæíî îòíåñòè ê çàäà÷àì ïàðàìåòðè÷åñêîãî îïòè-
ìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ.  òî æå âðåìÿ, ýòà çàäà÷à, â ñèëó òîãî, ÷òî îïòèìè-
çèðóåòñÿ êîíå÷íîìåðíûé âåêòîð ïàðàìåòðîâ p, ìîæåò áûòü îòíåñåíà ê
çàäà÷àì êîíå÷íîìåðíîé îïòèìèçàöèè. Äëÿ åå ðåøåíèÿ ìîæíî èñïîëüçî-
âàòü èçâåñòíûå ýôôåêòèâíûå ÷èñëåííûå ìåòîäû, â ÷àñòíîñòè ìåòîäû ïåð-
Ñ. Ç. Êóëèåâ
18 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2010. V. 32. ¹ 6
âîãî ïîðÿäêà, è ñòàíäàðòíûå ïðîãðàììíûå ñðåäñòâà [1, 2]. Äëÿ ýòîãî, êàê
èçâåñòíî, íåîáõîäèìî ïîëó÷èòü ôîðìóëû äëÿ âû÷èñëåíèÿ êîìïîíåíò ãðà-
äèåíòà öåëåâîãî ôóíêöèîíàëà (10) îòíîñèòåëüíî êîìïîíåíò âåêòîðà
p J pp�� ( ), êîòîðûå ïîçâîëÿò òàêæå äëÿ ðàññìàòðèâàåìûõ çàäà÷ ñôîðìó-
ëèðîâàòü íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ îïòèìàëüíîñòè ïåðâîãî ïîðÿäêà îòíîñè-
òåëüíî âåêòîðà ïàðàìåòðîâ p.
Ïóñòü p — äîïóñòèìîå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà. Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî
èñõîäíûå äàííûå è ôóíêöèè ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷è òàêîâû, ÷òî äëÿ
ïðîèçâîëüíûõ äîïóñòèìûõ çíà÷åíèé âåêòîðà p òðàåêòîðèÿ ñèñòåìû, âî-ïåð-
âûõ, íå ïðîõîäèò ÷åðåç îáùèå òî÷êè áîëåå ÷åì äâóõ ñìåæíûõ îáëàñòåé,
âî-âòîðûõ, ïîïàâ íà êàêóþ-ëèáî ãðàíèöó ðàçäåëà çîí, íèêîãäà «íå ñêîëü-
çèò» ïî íåé, ò.å. âñåãäà âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå
( ( ( )), ( ( ), ( )))
*
g x t f x t K xx
ij
ij ij
i � �� 0, i j L, , , ...,�1 2 . (11)
Çäåñü * — çíàê òðàíñïîíèðîâàíèÿ; t Tij �[ , ]0 — âðåìÿ ïîïàäàíèÿ òðàåêòî-
ðèè íà ãðàíèöó ðàçäåëà çîí, ïðè÷åì òî÷êà è âðåìÿ ïåðåñå÷åíèÿ ãðàíèöû
ðàçäåëà óñòîé÷èâû ê ìàëûì èçìåíåíèÿì ïàðàìåòðîâ çàäà÷è. Óñëîâèå (11)
íå ïðèíöèïèàëüíî, íî â ñëó÷àå åãî íåâûïîëíåíèÿ ïîòðåáóåòñÿ ïðîâåäåíèå
äîïîëíèòåëüíûõ âû÷èñëåíèé äëÿ ó÷àñòêîâ òðàåêòîðèè, íàõîäÿùèõñÿ íà
ãðàíèöå ðàçäåëà çîí.
Íå íàðóøàÿ îáùíîñòè ðàññóæäåíèé è èñïîëüçóÿ äîïîëíèòåëüíûå
èíäåêñû ïåðåìåííûõ â ïîëó÷àåìûõ ôîðìóëàõ, ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà
èìåþòñÿ âñåãî äâå çîíû ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà, ò.å. L �2 è X X X� �1 2
(âåðõíèå èíäåêñû ó ôóíêöèè g xij ( ) îïóñòèì). Âàæíîå çíà÷åíèå èìååò
ïðåäïîëîæåíèå î òîì, ÷òî ýêñïåðèìåíòû, à ñëåäîâàòåëüíî, è ðåçóëüòàòû
íàáëþäåíèé (4) íåçàâèñèìû. Ïîýòîìó íåçàâèñèìû è ñëàãàåìûå â ôóíê-
öèîíàëå (10). Òîãäà ãðàäèåíò ôóíêöèîíàëà (10) íàõîäèì â âèäå
� � �
�
�
�p p
i
i
N
iJ p
N
I x T x p p p( ) ( ( ; , )) ( � )
1
2
1
0
.
Äàëåå äëÿ îïðåäåëåíèÿ �J p( ) ïîëó÷èì ôîðìóëû ãðàäèåíòîâ äëÿ îòäåëü-
íûõ ñëàãàåìûõ � p
i iI x T x p( ( ; , ))0 , îïóñòèâ èíäåêñ i (ò.å. ñ÷èòàÿ, ÷òî ÷èñëî
íàáëþäåíèé N �1). Äëÿ ýòîãî ïîëó÷èì ôîðìóëó ïðèðàùåíèÿ öåëåâîãî
ôóíêöèîíàëà (10) â ðåçóëüòàòå ïðèðàùåíèÿ çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ p.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïåðâûé èç àðãóìåíòîâ âåêòîðà p p p� ( , )1 2 ïîëó÷èë
ïðèðàùåíèå: p p p1 1 1�
� , ò.å. èçìåíèëèñü ïàðàìåòðû, îïðåäåëÿþùèå
èäåíòèôèöèðóåìûå êîýôôèöèåíòû K x1( ) â ïåðâîé çîíå X 1. Òîãäà
p p p p prm rm
1
11
1
11
1 1 1�
( , ..., )� � , � � � �p p p prm
1
11
1
12
1 1� ( , , ..., ).
Ïîäõîä ê èäåíòèôèêàöèè êîýôôèöèåíòîâ íåëèíåéíûõ äèíàìè÷åñêèõ îáúåêòîâ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2010. Ò. 32. ¹ 6 19
Ïðè ýòîì x t( ), x t x t x t( ) ( ) ( )�
� , t T�[ , ]0 , — ñîîòâåòñòâóþùèå òðàåêòî-
ðèè, è ÿñíî, ÷òî �x ( )0 0� .
Îáîçíà÷èì K x K x K x1 1 1( ) ( ) ( )�
� , ãäå
� � � �K x k x k x k xr
1
1
1
2
1 1( ) ( ( ), ( ), ..., ( ))� ,
� �k x p x
i
m
si i1
1
1
1( ) ( )�
�
� � , s r�1 2, , ..., .
Ïóñòü t T�( , )0 — ìîìåíò âðåìåíè ïîïàäàíèÿ òðàåêòîðèè ñèñòåìû (1)
íà ãðàíèöó ðàçäåëà çîí X 1 è X 2, êîòîðàÿ çàäàåòñÿ óðàâíåíèåì g x( ) �0;
t t T
�� ( , )0 — ìîìåíò âðåìåíè ïîïàäàíèÿ âîçìóùåííîé òðàåêòîðèè x t( )
íà ãðàíèöó ðàçäåëà.
Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà ïðèðàùåíèå âðåìåíè ïîïàäàíèÿ íà ïîâåðõ-
íîñòü ðàçðûâà ïîëîæèòåëüíî, ò.å. �t �0. Ñëó÷àé �t 0 èññëåäóåòñÿ àíàëî-
ãè÷íî. Òîãäà ôóíêöèÿ �x t x t x t( ) ( ) ( )� � ñ òî÷íîñòüþ äî âåëè÷èí ïåðâîãî
ïîðÿäêà ìàëîñòè áóäåò ðåøåíèåì çàäà÷è Êîøè îòíîñèòåëüíî ñëåäóþùåé
ñèñòåìû óðàâíåíèé:
�
� �
� ( )
( ( ), ( ))
( )
( ( ), ( ))
(
x t
df x t K x
dx
x t
f x t K x
K
K
�
1 1
1
1�
�
x t t
df x t K x
dx
x t
f x t K x
K
), ( , ],
( ( ), ( ))
( )
( ( ), ( ))
�
0
1 1
1
�
�
�
�
�
K x
f x t K x f x t K x t t t t
df
1
1 2
( )
( ( ), ( )) ( ( ), ( )), ( , ],
(
� �
x t K x
dx
x t t t t T
( ), ( ))
( ), ( , ],
2
� ��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
(12)
�x ( )0 0� .
Çäåñü èñïîëüçîâàíî îáîçíà÷åíèå ïîëíîé ïðîèçâîäíîé
df x t K x
dx
f x t K x
x
f x t K x
K
v v v( ( ), ( )) ( ( ), ( )) ( ( ), ( ))
�
�
�
�
� v
vK x
x
�
�
( ))
, v �1 2, ,
ãäå ýëåìåíòû ìàòðèöû
�
�
K x
x
v ( ))
ðàçìåðíîñòè ( )r n� îïðåäåëÿþòñÿ, ñëåäóÿ
(9), òàê:
�
�
��
�
k x
x
p
x
x
s
v
j i
m
si
v i
j
( ) ( )
�
�
�
1
, j n�1 2, , ..., , s r�1 2, , ..., .
Ñ. Ç. Êóëèåâ
20 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2010. V. 32. ¹ 6
Ïîëó÷èì çàâèñèìîñòü ïðèðàùåíèÿ âðåìåíè � t ïîïàäàíèÿ íà ãðàíèöó
ðàçäåëà çîí îò ïðèðàùåíèÿ òðàåêòîðèè �x t( ). Ïðè óñëîâèè, ÷òî t è t t
�
ÿâëÿþòñÿ âðåìåíàìè ïåðåñå÷åíèÿ ãðàíèöû ðàçäåëà çîí äëÿ íåâîçìóùåí-
íîé x t( ) è âîçìóùåííîé x t( ) òðàåêòîðèé, ïîëó÷àåì
g x t( ( )) �0, g x t t( ( ))
�� 0. (13)
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî
x t t x f x t K dt
t t
( ) ( ( ), )
�
�
��
�
0
1
0
�
�x f x t x t K K dt
t
0
1 1
0
( ( ) ( ), )� �
� f x t x t K K dt
t
t t
( ( ) ( ), )� �
�
1 1 ,
ðàçëàãàÿ (13) â ðÿä Òåéëîðà, ñ òî÷íîñòüþ äî âåëè÷èí ïåðâîãî ïîðÿäêà
ìàëîñòè ìîæíî ïîëó÷èòü ñëåäóþùåå óðàâíåíèå:
�
�
t
g x t
x
x t
g x t
x
f x t K
df x t
� �
�
�
�
�
*
*
( ( ))
( )
( ( ))
( (
~
), )
( (
~
1 ), )
(
~
)
( (
~
), )
,
K
dx
x t
f x t K
K
K
1 1
1
1� �
�
!
"
�
#
�
�
(14)
ãäå
~
t t t�
$� , 0 1� $ .
Òåïåðü îöåíèì ïðèðàùåíèå �x t( )òðàåêòîðèè ñèñòåìû (1) ïðè t t�( ,0 �.
Ðàññìîòðèì ñèñòåìó äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé (12). Èç ïåðâîãî óðàâ-
íåíèÿ ñèñòåìû (12) ñëåäóåò, ÷òî
� � �x t
df x K
dx
x
f x K
K
K
t
( )
( ( ), )
( )
( ( ), )
�
�
!
"
�
#
�
�
� �
�
1 1
1
1
0
� d�, t t�( ,0 �.
Îòñþäà, ó÷èòûâàÿ óñëîâèÿ (8), ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ îöåíêó:
� � �x t m x d m K t
t
( ) ( )� �2
1
0
� �
% , t t�( ,0 � .
Òîãäà ñîãëàñíî ëåììå Ãðàíóîëëà [3]
� �x t m K te
m t
( ) � 2
1 2 , t t�( , ]0 .
Ïîäõîä ê èäåíòèôèêàöèè êîýôôèöèåíòîâ íåëèíåéíûõ äèíàìè÷åñêèõ îáúåêòîâ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2010. Ò. 32. ¹ 6 21
Òàêèì îáðàçîì, â ìîìåíò âðåìåíè t t� ïðèðàùåíèå òðàåêòîðèè �x t( ),
âûçâàííîå ïðèðàùåíèåì êîìïîíåíò âåêòîðà p1, óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó
� �x t A K( ) � 1
1 , (15)
ãäå êîýôôèöèåíò A1 �const íå çàâèñèò îò �t, �K 1.
Îöåíèâàÿ àíàëîãè÷íî ïðèðàùåíèå �x t( ) òðàåêòîðèè ñèñòåìû (1) ïðè
t t t t�
& �, �, ñ ó÷åòîì âòîðîãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (12) ïîëó÷aeì
� �x t A K( ) � 2
1 , t t t t�
& �, � , (16)
ãäå êîýôôèöèåíò A2 �const íå çàâèñèò îò �t, �K 1.
Äëÿ îöåíêè �x t( ) ïðè t t t T�
& � , �, ïîëüçóÿñü òðåòüèì óðàâíåíèåì
ñèñòåìû (12) ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì, óäîâëåòâîðÿþùèì íåðàâåíñòâó (16),
ïîëó÷àåì îöåíêó, àíàëîãè÷íóþ (15) è (16), ò.å.
� �x t A K( ) � 3
1 , t t t T�
& � , �, (17)
ãäå êîýôôèöèåíò A3 �const íå çàâèñèò îò �t, �K 1.
Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî, ïîëüçóÿñü ïðèâåäåííîé âûøå ìåòîäèêîé, ìîæ-
íî ïîëó÷èòü òàêèå æå îöåíêè, êàê (14)—(17), äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà ïðèðàùå-
íèå ïîëó÷àåò âòîðîé àðãóìåíò âåêòîðà p p p� ( , )1 2 . Àíàëîãè÷íûå ðåçóëü-
òàòû ïîëó÷èì â ñëó÷àå íàëè÷èÿ íåñêîëüêèõ çîí, ò.å. äëÿ L�2 .
Îöåíèì ïðèðàùåíèå ôóíêöèîíàëà, ïîëó÷åííîãî â ðåçóëüòàòå ïðèðàùå-
íèÿ ïåðâîé êîìïîíåíòû âåêòîðà p p p� ( , )1 2 – p p p� ( , )1 2 �
( , )p p p1 1 2� :
�
p
I x T x p I x T x p I x T x p1 0 0 0
( ( ; , )) ( ( ; , )) ( ( ; , ))� � �
�
�
�
I x T x p
x
x T o x T
( ( ; , ))
( ) ( ( ) )0
1� � . (18)
Âûðàçèì ïðàâóþ ÷àñòü (18) ÷åðåç ïàðàìåòðû ñèñòåìû (1). Äëÿ ýòîãî ðàñ-
ñìîòðèì äâà òîæäåñòâà:
'
' ' '
* * * *( ) ( ) ( ) ( ) � ( ) ( ) ( )t x t x t x t dt t
t
� � � �
�
�� � �0 0
0
� � ( )x t dt
t
0
�
�
,
' '
' '
* * * *( ) ( ) ( ) ( ) � ( ) ( ) ( )T x T t x t t x t dt t
t
T
� � ��
�
� � � ( )x t dt
t
T
�
,
Ñ. Ç. Êóëèåâ
22 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2010. V. 32. ¹ 6
ãäå' ( )t — ïðîèçâîëüíàÿ íåïðåðûâíî-äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ âñþäó,
êðîìå òî÷êè t t� ;
&�� t ) — íåêîòîðîå ìàëîå ÷èñëî, óäîâëåòâîðÿþùåå
óñëîâèþ (
�t â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî �t �0. Ñêëàäûâàÿ ýòè òîæäåñòâà,
ñîãëàñíî óñëîâèþ �x ( )0 0� ïîëó÷àåì
' '
'
* * *( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )T x T t x t t x t� � ��
� � �
� �
� �� ( ) ( ) ( ) � ( )* *' '
t x t dt t x t dt
t t
� �
0 0
� �� ( ) ( ) ( ) � ( )* *' '
t x t dt t x t dt
t
T
t
T
� � .
(19)
 ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè ôóíêöèè ' ( )t ïîëîæèì
'
�
�
( )
( ( ; , ))
T
I x T x p
x
� 0 . (20)
Òîãäà, ñ ó÷åòîì (19) è (20), èç (18) ïîëó÷àåì
�
p
I x T x p1 0
( ( ; , )) �
�
� � �
�
� [ � ( ) ( ) ( ) � ( )] ( ) ( ) [* * *' ' '
t x t t x t dt t x t
t
� � �
0
� ( ) ( )*'
t x t
t
T
�
�
' '
* *( ) � ( )] ( ) ( ) ( ( ) )t x t dt t x t o x T� � �1 . (21)
Ïðåîáðàçóÿ èíòåãðàëû, ñîäåðæàùèå ôóíêöèþ � � ( )x t , ó÷èòûâàÿ ñîîòíî-
øåíèÿ (12) è ïðîèçâîëüíîñòü ôóíêöèè ' ( )t , ò.å. ïîëàãàÿ, ÷òî îíà óäîâëåò-
âîðÿåò ñèñòåìå óðàâíåíèé
� ( )
( )
( ( ), )
, [ , ),
( )
( ( )
*
*
*
'
'
'
t
t
df x t K
dx
t t
t
df x t
�
� � �
�
1
0 0
, )
, ( , ),
K
dx
t t T
2
0�
�
�
��
�
�
�
(22)
à òàêæå ó÷èòûâàÿ îöåíêè (14)—(17), äëÿ ïðèðàùåíèÿ ôóíêöèîíàëà ïî-
ëó÷àåì
�
p
I x T x p1 0
( ( ; , )) �
�
�' �
* ( )
( ( ), )
( ( ) ) ( )t
df x t K
K
K dt o x T o K
t 1
1
1
0
1 2
1� � � ,
Ïîäõîä ê èäåíòèôèêàöèè êîýôôèöèåíòîâ íåëèíåéíûõ äèíàìè÷åñêèõ îáúåêòîâ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2010. Ò. 32. ¹ 6 23
ãäå o K2
1( )� — áåñêîíå÷íî ìàëàÿ âåëè÷èíà áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà ïî
ñðàâíåíèþ ñ �K 1 ïðè �K 1 0� . Òîãäà äëÿ êîìïîíåíò ãðàäèåíòà öåëåâîãî
ôóíêöèîíàëà ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå ôîðìóëû:
dI x T x p
dp
t
f x t K
K
K
p
d
jl
t
jl
( ( ; , ))
( )
( ( ), )*0
1
1
1
0
1
1
� �'
�
�
�
�
t,
dI x T x p
dp
t
f x t K
K
K
p
d
jl t
T
jl
( ( ; , ))
( )
( ( ), )*0
2
2
2
2
2
� �'
�
�
�
�
t,
�
�
�
K
p
x
k
jl
k l� ( ), k �1 2, , j r�1 2, , ..., , l m�1 2, , ..., ,
ãäå ôóíêöèÿ ' ( )t ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñîïðÿæåííîé ñèñòåìû (22) ñ íà÷àëü-
íûì óñëîâèåì (20), óäîâëåòâîðÿþùàÿ ñëåäóþùåìó óñëîâèþ ñêà÷êà â ìî-
ìåíò âðåìåíè ïåðåñå÷åíèÿ òðàåêòîðèè ñèñòåìû (1) ãðàíèöû ðàçäåëà çîí:
' '
�
�
( ) ( )
( ( ))
t t
g x t
x
v� �
�0 0 ,
� �
v
t f x t K f x t K
g x t
x
f x t K
�
'
�
�
*
*
( ) ( ( ), ) ( ( ), )
( ( ))
( ( ),
�0 1 2
1 )
.
 îáùåì ñëó÷àå, ïðè ïðîèçâîëüíîì ÷èñëå çîí ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà,
ò.å. ïðè L�2, ïîëó÷àåì
d
dp
J p
d
dp
I x T x p p p
kj
l
i
N
kj
l
i i
kj
l
kj
l( ) ( ( ; , )) ( ��
�
�
�
1
0 2
),
d
dp
I x T x p t x p
f x t x p K
kj
l
i i i
i l
( ( ; , )) ( ; , )
( ( ; , ), )*
0 0
0� '
�
�K
K
p
dt
l
l
kj
l
x pl
i
�
�
�
!
"
�
#�
) ( ; )0
,
�
�
�
K
p
x
k
jl
k l� ( ), k L�1 2, ,..., , j r�1 2, , ..., , l m�1 2, , ..., ,
ãäå) l
ix p( ; )0 , l L�1 2, , ..., , i N�1 2, , ..., , — ïðîìåæóòîê âðåìåíè, â òå÷åíèå
êîòîðîãî òðàåêòîðèÿ ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì x i
0 è çíà÷åíèåì ïàðàìåòðîâ p
Ñ. Ç. Êóëèåâ
24 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2010. V. 32. ¹ 6
íàõîäèëàñü â çîíå X l ; ôóíêöèÿ ' ( ; , )t x pi
0 ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñîïðÿæåí-
íîé ñèñòåìû
� ( ; , ) ( ; , )
( ( ), )* *' 't x p t x p
df x t K
dx
i i
l
0 0� � , t x pl
i�) ( ; )0 , l L�1 2, , ..., ,
ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì
'
�
�
( ; , )
( ( ; , ))
T x p
I x T x p
x
i
i i
0
0� ,
óäîâëåòâîðÿþùàÿ ñëåäóþùåìó óñëîâèþ ñêà÷êà â ìîìåíò âðåìåíè ïåðå-
ñå÷åíèÿ òðàåêòîðèè ñèñòåìû (1) ãðàíèö ðàçäåëà çîí:
' '
�
�
( ) ( )
( ( ))
t t
g x t
x
vlm lm
lm
lm
lm� �
�0 0 ,
� �
v
t f x t K f x t K
g x t
lm
lm lm
l
lm
m
lm
lm
�
'
�
* ( ) ( ( ), ) ( ( ), )
( ( ))
�0
�x
f x t Klm
l( ( ), )
,
ãäå tlm — âðåìÿ ïîïàäàíèÿ òðàåêòîðèè ñèñòåìû (1) íà ãðàíèöó ðàçäåëà çîí
X l è X m, l m L, { , , ..., }� 1 2 .
Ðåçóëüòàòû ÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòîâ.
1. Ðàññìîòðèì ìîäåëüíóþ çàäà÷ó ïàðàìåòðè÷åñêîé èäåíòèôèêàöèè
îáúåêòà, îïèñûâàåìîãî ñëåäóþùèì êâàçèëèíåéíûì óðàâíåíèåì ïåðâîãî
ïîðÿäêà:
� ( ) ( ) ( )x t K x x t� , x t R( )� , t T�( , ]0 . (23)
Ïðîâåäåíû íàáëþäåíèÿ çà íà÷àëüíûìè è êîíå÷íûìè ñîñòîÿíèÿìè
îáúåêòà ñ äâàäöàòüþ ðàçëè÷íûìè òðàåêòîðèÿìè, êîòîðûå â êà÷åñòâå íà-
÷àëüíûõ ñîñòîÿíèé èìåþò çíà÷åíèÿ x i Ri T
0 0 05� �[ , ] , i �1 2 20, , ..., , à â êà-
÷åñòâå êîíå÷íûõ ñîñòîÿíèé — çíà÷åíèÿ (òàáë. 1), ïîëó÷åííûå â ðåçóëüòàòå
ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè îòíîñèòåëüíî (23) ïðè T �2 è ïàðàìåòðå äèíà-
ìè÷åñêîé ñèñòåìû (23) K x x x( ) cos ( ) / ( )�
2 1 12 .
Ïîäõîä ê èäåíòèôèêàöèè êîýôôèöèåíòîâ íåëèíåéíûõ äèíàìè÷åñêèõ îáúåêòîâ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2010. Ò. 32. ¹ 6 25
i xi
0
i xi
0
i xi
0
i xi
0
i xi
0
1
6
11
16
0,0000
2,1643
3,2425
4,5033
2
7
12
17
1,3846
2,3604
3,4826
4,7858
3
8
13
18
1,5994
2,5663
3,7278
5,0885
4
9
14
19
1,7903
2,7827
3,9782
5,4163
5
10
15
20
1,9758
3,0086
4,2356
5,7721
Òàáëèöà 1
×èñëî çîí ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà â ýêñïåðèìåíòå L �3. Çîíû ïðåäñòàâ-
ëÿþò ñîáîé ìíîæåñòâà
X x R x t1 135� � { : ( ) , }, X x R x t2 135 3� � � { : , ( ) },
X x R x t3 3� � �{ : ( )}.
Âîññòàíàâëèâàåìóþ ôóíêöèþ K x( ) áóäåì èñêàòü íà êëàññå êóñî÷íî-
ëèíåéíûõ ôóíêöèé â âèäå
K x p x t pv v( ) ( )�
1 2 , x t X v( )� ,
t T�( , ]0 , pv
1 �const, i �1 2, , v L�1 2, , ..., .
Ñëåäîâàòåëüíî, âìåñòî óðàâíåíèÿ (23) áóäåì ðàññìàòðèâàòü ñèñòåìó óðàâ-
íåíèé
� ( ) ( ( ) ) ( )x t p x t p x tv v�
1 2 , x t X Rv( )� � , v L�1 2, , ..., , t T�( , ]0 . (24)
Äëÿ èäåíòèôèêàöèè íåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðîâ èñïîëüçóåì ôóíêöèîíàë
J p x T x p x p
i
i
T
i
R R L( ) [ ( ; , ) ]� �
�
�
1
20
0
2 2
2
, (25)
ãäå
— ïàðàìåòð ðåãóëÿðèçàöèè, çíà÷åíèå êîòîðîãî óìåíüøàëîñü äî 10–5;
x T x pi( ; , )0 — ðåøåíèå ñèñòåìû óðàâíåíèé (24) â ìîìåíò âðåìåíè t T� ïðè
çàäàííîì íà÷àëüíîì ñîñòîÿíèè x i
0; p p p p p p pL L� ( , , ..., ; , , ..., )1
1
1
2
1 2
1
2
2
2 . Ïðè
ðåøåíèè ïðÿìîé è ñîïðÿæåííîé çàäà÷ Êîøè äëÿ âíóòðåííèõ òî÷åê îáëàñ-
òåé èñïîëüçîâàí ìåòîä Ðóíãå—Êóòòà ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà ñ øàãîì h �0 02, .
Ñ. Ç. Êóëèåâ
26 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2010. V. 32. ¹ 6
K
x
2,0
1,6
1,2
0,8
0,4
0 1 2 3 4
Ðèñ. 1
 ðåçóëüòàòå ìèíèìèçàöèè ôóíêöèîíàëà (25) ñ ïðèìåíåíèåì ìåòîäà
ñîïðÿæåííûõ ãðàäèåíòîâ ïîëó÷åíû ñëåäóþùèå çíà÷åíèÿ îïòèìèçèðóå-
ìîãî âåêòîðà è öåëåâîãî ôóíêöèîíàëà: çíà÷åíèå öåëåâîãî ôóíêöèîíàëà
J * ,* 0 0061 ïðè òî÷íîñòè ìåòîäà ñîïðÿæåííûõ ãðàäèåíòîâ
1
310� � è
òî÷íîñòè îäíîìåðíîé ìèíèìèçàöèè
2
410� � ; îïòèìàëüíîå çíà÷åíèå âåê-
òîðà p ïðè ýòîì ñîñòàâëÿëî p* ( , ,� �115597 031639, , �002623, ; 201836, ,
022656, , 119401, ).
Íà ðèñ. 1 ïðåäñòàâëåíû ãðàôèê ôóíêöèè K x x x( ) cos ( ) / ( )�
2 1 12
(ñïëîøíàÿ ëèíèÿ) è ãðàôèêè àïïðîêñèìèðóþùèõ åå ëèíåéíûõ ôóíêöèé
(øòðèõîâûå ëèíèè).
2. Ðàññìîòðèì ìîäåëüíóþ çàäà÷ó ïàðàìåòðè÷åñêîé èäåíòèôèêàöèè
îáúåêòà, îïèñûâàåìîãî ñëåäóþùåé ñèñòåìîé êâàçèëèíåéíûõ äèôôåðåí-
öèàëüíûõ óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà:
� ( ) ( )x t x t1 2� ,
� ( ) ( ) ( ) ( )x t K x x t x t2 1 1 2� � � , (26)
t T�( , ]0 .
Ïðîâåäåíû íàáëþäåíèÿ çà íà÷àëüíûì è êîíå÷íûì ñîñòîÿíèÿìè îáúåêòà ñ
äâàäöàòü îäíîé ðàçëè÷íîé òðàåêòîðèåé ñî ñëåäóþùèìè çíà÷åíèÿìè íà-
÷àëüíûõ ñîñòîÿíèé:
( , ) [( ; ), , , ..., , , , ]x x i j i j Ri j T
10 20
23 0 1 6 0 1 2� �
� � � .
Çíà÷åíèÿ êîíå÷íûõ ñîñòîÿíèé, ïðèâåäåííûå â òàáë. 2, ïîëó÷åíû â ðåçóëü-
òàòå ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè îòíîñèòåëüíî (26) ïðè T �2 è ïàðàìåòðå äèíà-
ìè÷åñêîé ñèñòåìû (26) K x x( )1 1
2� .
Âîññòàíàâëèâàåìóþ ôóíêöèþ K x( )1 áóäåì èñêàòü íà êëàññå êóñî÷íî-
ëèíåéíûõ ôóíêöèé:
K x p x t pv v( ) ( )1 1 1 2�
, x t X Rv
1( )� � , t T�( , ]0 ,
pv
1 �const, i �1 2, , v L�1 2, , ..., .
Ïîäõîä ê èäåíòèôèêàöèè êîýôôèöèåíòîâ íåëèíåéíûõ äèíàìè÷åñêèõ îáúåêòîâ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2010. Ò. 32. ¹ 6 27
i xi
10 xi
20
i xi
10 xi
20
i xi
10 xi
20
1
4
7
10
13
16
19
1,4065
0,0000
–1,4065
0,0895
–0,5802
1,0000
0,2612
–1,4601
0,0000
1,4601
0,1831
–0,6147
0,1868
–0,6625
2
5
8
11
14
17
20
0,5619
0,3687
1,3376
0,6919
–1,4490
0,7693
–0,7336
0,5222
–0,2348
–1,5544
–0,0993
1,4639
0,1033
–0,7012
3
6
9
12
15
18
21
–0,3687
–0,5619
0,7170
0,4274
1,2296
0,8153
–1,4700
0,2348
–0,5222
0,4249
–0,4598
–1,7107
–0,5933
1,5753
Òàáëèöà 2
Âìåñòî óðàâíåíèÿ (26) ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé:
� ( ) ( )x t x t1 2� ,
� ( ) ( ( ) ) ( ) ( )x t p x t p x t x tv v
2 1 1 2 1 2� �
� ,
(27)
x t X v
1( )� , v L�1 2, ,..., , t T�[ , ]0 .
Ñ. Ç. Êóëèåâ
28 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2010. V. 32. ¹ 6
K
x
0
2
4
6
8
10
�
�
�
�
�
� � �3 2 1 0 1 2
Ðèñ. 2
K
x
0
2
4
6
8
�
�
�
�
� � �3 2 1 0 1 2
Ðèñ. 3
Äëÿ èäåíòèôèêàöèè íåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðîâ èñïîëüçóåì ôóíêöèîíàë
J p x T x p x p
i
i
T
i
R R L( ) [ ( ; , ) ]� �
�
�
1
21
0
2 2
2 2
, (28)
ãäå
— ïàðàìåòð ðåãóëÿðèçàöèè, çíà÷åíèå êîòîðîãî óìåíüøàëîñü äî 10–5;
x T x pi( ; , )0 — ðåøåíèå ñèñòåìû óðàâíåíèé (27) â ìîìåíò âðåìåíè t T� ïðè
çàäàííîì íà÷àëüíîì ñîñòîÿíèè x i
0. Ïðè ðåøåíèè ïðÿìîé è ñîïðÿæåííîé
çàäà÷ Êîøè äëÿ âíóòðåííèõ òî÷åê îáëàñòåé èñïîëüçîâàí ìåòîä Ðóíãå—
Êóòòà ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà ñ øàãîì h �002, .
×èñëî çîí â ïåðâîì ýêñïåðèìåíòå L �2. Çîíû ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé
ìíîæåñòâà
X x R x t1
1 1 0� � { : ( ) }, X x R x t2
1 10� � �{ : ( )}.
 ðåçóëüòàòå ìèíèìèçàöèè ôóíêöèîíàëà (28) ñ ïðèìåíåíèåì ìåòîäà
ñîïðÿæåííûõ ãðàäèåíòîâ ïîëó÷åíû ñëåäóþùèå çíà÷åíèÿ îïòèìèçèðóåìî-
ãî âåêòîðà è öåëåâîãî ôóíêöèîíàëà: J * ,* 0 4169 ïðè
1
310� � è
2
410� � ;
îïòèìàëüíîå çíà÷åíèå âåêòîðà p* ( , , , ; , , , )� �2 8221 3 0072 15242 1 7744 .
×èñëî çîí âî âòîðîì ýêñïåðèìåíòå L �3. Çîíû ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé
ñëåäóþùèå ìíîæåñòâà:
X x R x t1
1 1 1� � �{ : ( ) }, X x R x t2
1 11 1� � � � { : ( ) }, X x R x t3
1 11� � �{ : ( )}.
 ðåçóëüòàòå ìèíèìèçàöèè öåëåâîãî ôóíêöèîíàëà ñ ïðèìåíåíèåì ìåòîäà
ñîïðÿæåííûõ ãðàäèåíòîâ ïîëó÷åíû ñëåäóþùèå çíà÷åíèÿ îïòèìèçèðóå-
ìîãî âåêòîðà è öåëåâîãî ôóíêöèîíàëà: J * ,* 01075ïðè
1
310� � è
2
410� � ;
îïòèìàëüíîå çíà÷åíèå âåêòîðà p* ( , , , , , ;� �3 5855 0 0039 3 5263 2 9597, ,�0 5285, ,
2 8036, ) .
Íà ðèñ. 2 è 3 ïðåäñòàâëåíû ãðàôèêè ôóíêöèè K x x( )1 1
2� (ñïëîøíûå
ëèíèè) è àïïðîêñèìèðóþùèõ åå ëèíåéíûõ ôóíêöèé (øòðèõîâûå ëèíèè)
ïðè íàëè÷èè ñîîòâåòñòâåííî äâóõ è òðåõ çîí.
Êàê âèäíî èç ðåçóëüòàòîâ ÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòîâ, ïðè óâåëè÷åíèè
÷èñëà çîí ïðîèñõîäèò çíà÷èòåëüíîå óìåíüøåíèå îïòèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ
öåëåâîãî ôóíêöèîíàëà.
Âûâîä. Ïîëó÷åííûå ôîðìóëû äëÿ ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ çàäà÷ ïàðà-
ìåòðè÷åñêîé èäåíòèôèêàöèè íåëèíåéíûõ äèíàìè÷åñêèõ îáúåêòîâ ïîçâî-
ëÿþò èñïîëüçîâàòü ýôôåêòèâíûå ìåòîäû êîíå÷íîìåðíîé îïòèìèçàöèè è
ñòàíäàðòíûå ïðîãðàììíûå ñðåäñòâà.
Ïîäõîä ê èäåíòèôèêàöèè êîýôôèöèåíòîâ íåëèíåéíûõ äèíàìè÷åñêèõ îáúåêòîâ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2010. Ò. 32. ¹ 6 29
An approach has been proposed to parametric identification for a class of nonlinear objects de-
scribed by the systems of ordinary differential equations. Formulas of the functional gradient
have been obtained which permit using the iterational methods of the first order optimization to
obtain the values of the parameters. Results of numerical experiments and examples of solution of
the test problems have been presented.
1. Âàñèëüåâ Ô. Ï. Ìåòîäû îïòèìèçàöèè. — Ì. : Ôàêòîðèàë Ïðåññ, 2002. — 824 c.
2. Åâòóøåíêî Þ. Ã. Ìåòîäû ðåøåíèÿ ýêñòðåìàëüíûõ çàäà÷ è èõ ïðèìåíåíèå â ñèñòåìàõ
îïòèìèçàöèè. — Ì. : Íàóêà, 1982. — 432 c.
3. Gronwall T. H. Note on the Derivative with Respect to a Parameter of the Solutions of a Sys-
tem of Differential Equations // Ann. Math. — 1919. — 20. — p. 292—296.
4. Àéäà-çàäå Ê. Ð., Êóëèåâ Ñ. Ç. Îá îäíîé çàäà÷å ñèíòåçà óïðàâëåíèÿ äëÿ íåëèíåéíûõ
ñèñòåì // Àâòîìàòèêà è âû÷èñëèòåëüíàÿ òåõíèêà. — 2005. — ¹ 1. — C. 15—23.
5. Krotov V. F. Global Methods in Optimal Control Theory. — Marcel Dekker. Inc., 1995. —
399 p.
6. Boiko I. Discontinuous Control Systems: Frequency-Domain Analysis and Design. —
Boston: Birkh��àuser, 2009. — 215 p.
7. Bengea S. C., Raymond A. C. Optimal Control of Switching Systems // Automatica. — 2005. —
41. — p.11—27.
8. Capuzzo D. I., Evans L. C. Optimal Switching for Ordinary Differential Equations // SIAM J.
on Control and Optimization. — 1984. — 22 (1). — P.143—161.
Ïîñòóïèëà 14.05.10;
ïîñëå äîðàáîòêè 04.08.10
ÊÓËÈÅÂ Ñàìèð Çàêèð, êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê, ñò. íàó÷. ñîòð. Èí-òà êèáåðíåòèêè ÍÀÍ Àçåð-
áàéäæàíà.  2005 ã. îêîí÷èë Áàêèíñêèé ãîñóíèâåðñèòåò. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé —
÷èñëåííûå ìåòîäû îïòèìèçàöèè, îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå è èõ ïðèëîæåíèÿ.
Ñ. Ç. Êóëèåâ
30 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2010. V. 32. ¹ 6
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-61685 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0204-3572 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:30:26Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Кулиев, С.З. 2014-05-10T15:43:58Z 2014-05-10T15:43:58Z 2010 Подход к идентификации коэффициентов нелинейных динамических объектов с сосредоточенными параметрами / С.З. Кулиев // Электронное моделирование. — 2010. — Т. 32, № 6. — С. 15-30. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 0204-3572 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/61685 517.97:519.876 Предложен подход к параметрической идентификации для класса нелинейных объектов, описываемых системами обыкновенных дифференциальных уравнений. Получены формулы градиента функционала, позволяющие для получения значений параметров использовать итерационные методы оптимизации первого порядка. Приведены результаты численных экспериментов и примеры решения тестовых задач. Запропоновано підхід до параметричної ідентифікації для класу нелінійних об’єктів, описуваних системами звичайних диференціальних рівнянь. Отримано формули градієнта функціонала, які дозволяють для отримання значень параметрів використовувати ітераційні методи оптимізації першого порядку. Наведено результати числових експериментів і приклади розв’язку тестових задач. An approach has been proposed to parametric identification for a class of nonlinear objects described by the systems of ordinary differential equations. Formulas of the functional gradient have been obtained which permit using the iterational methods of the first order optimization to obtain the values of the parameters. Results of numerical experiments and examples of solution of the test problems have been presented. ru Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України Электронное моделирование Математические методы и модели Подход к идентификации коэффициентов нелинейных динамических объектов с сосредоточенными параметрами Article published earlier |
| spellingShingle | Подход к идентификации коэффициентов нелинейных динамических объектов с сосредоточенными параметрами Кулиев, С.З. Математические методы и модели |
| title | Подход к идентификации коэффициентов нелинейных динамических объектов с сосредоточенными параметрами |
| title_full | Подход к идентификации коэффициентов нелинейных динамических объектов с сосредоточенными параметрами |
| title_fullStr | Подход к идентификации коэффициентов нелинейных динамических объектов с сосредоточенными параметрами |
| title_full_unstemmed | Подход к идентификации коэффициентов нелинейных динамических объектов с сосредоточенными параметрами |
| title_short | Подход к идентификации коэффициентов нелинейных динамических объектов с сосредоточенными параметрами |
| title_sort | подход к идентификации коэффициентов нелинейных динамических объектов с сосредоточенными параметрами |
| topic | Математические методы и модели |
| topic_facet | Математические методы и модели |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/61685 |
| work_keys_str_mv | AT kulievsz podhodkidentifikaciikoéfficientovnelineinyhdinamičeskihobʺektovssosredotočennymiparametrami |