Трехмерная модель распределения вихревых токов в жидкой стали непрерывнолитой заготовки при электромагнитном перемешивании
Разработана трехмерная интегральная модель распределения вихревых токов и электродинамических усилий в жидкой фазе затвердевающего слитка в машине непрерывного литья заготовок (МНЛЗ), оснащенной электромагнитным перемешивателем. В основу модели положены приближенные выражения закона Ома для массивны...
Saved in:
| Published in: | Электронное моделирование |
|---|---|
| Date: | 2010 |
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
2010
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/61689 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Трехмерная модель распределения вихревых токов в жидкой стали непрерывнолитой заготовки при электромагнитном перемешивании / В.Ф. Евдокимов, А.А. Кучаев, Е.И. Петрушенко, В.А. Кучаев // Электронное моделирование. — 2010. — Т. 32, № 6. — С. 69-84. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859823112567128064 |
|---|---|
| author | Евдокимов, В.Ф. Кучаев, А.А. Петрушенко, Е.И. Кучаев, В.А. |
| author_facet | Евдокимов, В.Ф. Кучаев, А.А. Петрушенко, Е.И. Кучаев, В.А. |
| citation_txt | Трехмерная модель распределения вихревых токов в жидкой стали непрерывнолитой заготовки при электромагнитном перемешивании / В.Ф. Евдокимов, А.А. Кучаев, Е.И. Петрушенко, В.А. Кучаев // Электронное моделирование. — 2010. — Т. 32, № 6. — С. 69-84. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Электронное моделирование |
| description | Разработана трехмерная интегральная модель распределения вихревых токов и электродинамических усилий в жидкой фазе затвердевающего слитка в машине непрерывного литья заготовок (МНЛЗ), оснащенной электромагнитным перемешивателем. В основу модели положены приближенные выражения закона Ома для массивных элементов электрической схемы МНЛЗ. Для нахождения распределения в них скалярного электрического потенциала получена система интегральных уравнений относительно плотности электрического заряда на поверхности массивных проводников.
Розроблено тривимірну інтегральну модель розподілу вихрових струмів та електродинамічних зусиль в рідкій фазі твердіючого злитка в машині безперервного лиття заготовок (МБЛЗ), оснащеній електромагнітним перемішувачем. В основу моделі покладено наближені вирази закону Ома для масивних елементів електричної схеми МБЛЗ. Для пошуку розподілу в них скалярного електричного потенціалу отримано систему інтегральних рівнянь відносно густини електричного заряду на поверхні масивних провідників.
A three-dimensional integral model has been developed for the distribution of eddy currents and electrodynamics efforts in a liquid phase of hardening ingot in the continuous ingots casting machine (CICM) equipped with electromagnetic mixed. Approximate expressions of the Ohm law for massive elements of CICM electric circuit are assumed as the model basis. A system of integral equations relative to the electric charge density on the surface of massive conductors was obtained to find the distribution of the scalar electric potential in them.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:26:53Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 681.3:519.711.3:517.958:621.313:669
Â. Ô. Åâäîêèìîâ *, ÷ë.-êîð. ÍÀÍ Óêðàèíû, À. À. Êó÷àåâ **, ä-ð òåõí. íàóê,
Å. È. Ïåòðóøåíêî *, êàíä. òåõí. íàóê, Â. À. Êó÷àåâ *, àñïèðàíò
*Èí-ò ïðîáëåì ìîäåëèðîâàíèÿ â ýíåðãåòèêå èì. Ã. Å. Ïóõîâà ÍÀÍ Óêðàèíû
(Óêðàèíà, 03164, Êèåâ, óë. Ãåíåðàëà Íàóìîâà, 15,
òåë. (044) 4249160, E-mail:ypetrushenko@mail.ru)
**Ôèçèêî-òåõíîëîãè÷åñêèé èí-ò ìåòàëëîâ è ñïëàâîâ ÍÀÍ Óêðàèíû,
(Óêðàèíà, 03680, Êèåâ-142, ÃÑÏ, áóëüâ. Âåðíàäñêîãî, 34/1,
òåë. (044) 4240452, E-mail: alexander-kuchaev@svitonline.com)
Òðåõìåðíàÿ ìîäåëü ðàñïðåäåëåíèÿ âèõðåâûõ
òîêîâ â æèäêîé ñòàëè íåïðåðûâíîëèòîé çàãîòîâêè
ïðè ýëåêòðîìàãíèòíîì ïåðåìåøèâàíèè
Ðàçðàáîòàíà òðåõìåðíàÿ èíòåãðàëüíàÿ ìîäåëü ðàñïðåäåëåíèÿ âèõðåâûõ òîêîâ è ýëåêòðî-
äèíàìè÷åñêèõ óñèëèé â æèäêîé ôàçå çàòâåðäåâàþùåãî ñëèòêà â ìàøèíå íåïðåðûâíîãî ëèòüÿ
çàãîòîâîê (ÌÍËÇ), îñíàùåííîé ýëåêòðîìàãíèòíûì ïåðåìåøèâàòåëåì. Â îñíîâó ìîäåëè ïî-
ëîæåíû ïðèáëèæåííûå âûðàæåíèÿ çàêîíà Îìà äëÿ ìàññèâíûõ ýëåìåíòîâ ýëåêòðè÷åñêîé
ñõåìû ÌÍËÇ. Äëÿ íàõîæäåíèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ â íèõ ñêàëÿðíîãî ýëåêòðè÷åñêîãî ïîòåíöèàëà
ïîëó÷åíà ñèñòåìà èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî ïëîòíîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà
íà ïîâåðõíîñòè ìàññèâíûõ ïðîâîäíèêîâ.
Ðîçðîáëåíî òðèâèì³ðíó ³íòåãðàëüíó ìîäåëü ðîçïîä³ëó âèõðîâèõ ñòðóì³â òà åëåêòðîäèíà-
ì³÷íèõ çóñèëü â ð³äê³é ôàç³ òâåðä³þ÷îãî çëèòêà â ìàøèí³ áåçïåðåðâíîãî ëèòòÿ çàãîòîâîê
(ÌÁËÇ), îñíàùåí³é åëåêòðîìàãí³òíèì ïåðåì³øóâà÷åì.  îñíîâó ìîäåë³ ïîêëàäåíî íàáëèæåí³
âèðàçè çàêîíó Îìà äëÿ ìàñèâíèõ åëåìåíò³â åëåêòðè÷íî¿ ñõåìè ÌÁËÇ. Äëÿ ïîøóêó ðîçïîä³ëó
â íèõ ñêàëÿðíîãî åëåêòðè÷íîãî ïîòåíö³àëó îòðèìàíî ñèñòåìó ³íòåãðàëüíèõ ð³âíÿíü â³äíîñíî
ãóñòèíè åëåêòðè÷íîãî çàðÿäó íà ïîâåðõí³ ìàñèâíèõ ïðîâ³äíèê³â.
K ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à: òðåõìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå, âèõðåâûå òîêè, æèäêàÿ è òâåðäàÿ ôàçû,
ãèëüçà êðèñòàëëèçàòîðà, íåïðåðûâíîëèòàÿ çàãîòîâêà, ýëåêòðîìàãíèòíîå ïåðåìåøèâàíèå.
 íàñòîÿùåå âðåìÿ îñòðî ñòîèò âîïðîñ î íåîáõîäèìîñòè ñîçäàíèÿ íîâîãî è
óëó÷øåíèÿ êîíñòðóêöèé ñóùåñòâóþùåãî ýëåêòðîòåõíè÷åñêîãî îáîðóäî-
âàíèÿ äëÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïåðåìåøèâàíèÿ æèäêîé ñòàëè íà ìàøèíàõ
íåïðåðûâíîãî ëèòüÿ çàãîòîâîê (ÌÍËÇ). Îäíèì èç îñíîâíûõ ýëåìåíòîâ
ýòîãî îáîðóäîâàíèÿ ÿâëÿåòñÿ ýëåêòðîìàãíèòíûé ïåðåìåøèâàòåëü (ÝÌÏ),
ïðèíöèï äåéñòâèÿ êîòîðîãî àíàëîãè÷åí ðàáîòå àñèíõðîííîãî äâèãàòåëÿ,
ãäå ôóíêöèè ðîòîðà èñïîëíÿåò æèäêàÿ ôàçà ñòàëüíîé çàãîòîâêè. Ïîñêîëü-
êó ýëåêòðîìàãíèòíîå ïåðåìåøèâàíèå ñâÿçàíî ñ áîëüøèìè äîïîëíèòåëü-
íûìè êàïèòàëüíûìè è ýêñïëóàòàöèîííûìè çàòðàòàìè, âàæíî îöåíèòü íà
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2010. Ò. 32. ¹ 6 69
�������������
�
�
��
���
���
�����
�����
íà÷àëüíîé ñòàäèè ïðîåêòèðîâàíèÿ ýôôåêòèâíîñòü ñèñòåìû ýëåêòðîìàã-
íèòíîãî ïåðåìåøèâàíèÿ. Ïî ìíåíèþ ðàçðàáîò÷èêîâ ýòèõ ñèñòåì êðèòå-
ðèåì ýôôåêòèâíîñòè ïåðåìåøèâàíèÿ ÿâëÿåòñÿ ìàêñèìàëüíàÿ ëèíåéíàÿ
ñêîðîñòü â ïîòîêå æèäêîãî ìåòàëëà, êîòîðàÿ äîëæíà íàõîäèòüñÿ â äèàïà-
çîíå 0,3...1 ì/c. Ïðè ìàêñèìàëüíîé ëèíåéíîé ñêîðîñòè, ìåíüøåé 0,3 ì/c,
ýôôåêòèâíîñòü ïåðåìåøèâàíèÿ óìåíüøàåòñÿ, ÷òî íå ïîçâîëÿåò óëó÷øèòü
ìàêðî- è ìèêðîñòðóêòóðó ñëèòêà. Ïðè ìàêñèìàëüíîé ñêîðîñòè, áîëü-
øåé 1 ì/c, ýôôåêòèâíîñòü ïåðåìåøèâàíèÿ óìåíüøàåòñÿ, òàê êàê ïîÿâëÿþò-
ñÿ ïîðèñòîñòü âäîëü ôðîíòà êðèñòàëëèçàöèè, îòðèöàòåëüíàÿ ëèêâàöèÿ è
óâåëè÷èâàåòñÿ ðàñõîä ýëåêòðîýíåðãèè [1].
Îöåíèòü ýôôåêòèâíîñòü ñèñòåì ïåðåìåøèâàíèÿ íà íà÷àëüíîì ýòàïå
ïðîåêòèðîâàíèÿ ïîçâîëÿåò ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå. Ðåøàÿ ñèñòå-
ìó óðàâíåíèé íåðàçðûâíîñòè è Íàâüå—Ñòîêñà, íàõîäèì ðàñïðåäåëåíèå
ïîëÿ ñêîðîñòåé â æèäêîé ôàçå çàãîòîâêè, ïðåäâàðèòåëüíî âû÷èñëèâ ðàñ-
ïðåäåëåíèå ýëåêòðîäèíàìè÷åñêèõ óñèëèé (ÝÄÓ) â æèäêîé ôàçå ñëèòêà è
ãðàíèöó æèäêîé ôàçû.
Ðàñ÷åò ïîëÿ ÝÄÓ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñëîæíóþ ýëåêòðîäèíàìè÷åñêóþ
çàäà÷ó, òàê êàê êîíñòðóêòèâíûå îñîáåííîñòè ÝÌÏ è ìàññèâíûõ ïðîâîä-
íèêîâ, íàõîäÿùèõñÿ âíóòðè åãî, òàêîâû, ÷òî ýëåêòðîìàãíèòíûå ïîëÿ â íèõ
ÿâëÿþòñÿ ñóùåñòâåííî òðåõìåðíûìè [2, 3]. Ïîýòîìó â ìîäåëÿõ òå÷åíèÿ
æèäêîé ôàçû íåïðåðûâíîëèòîãî ñëèòêà, îïèñàííûõ â ëèòåðàòóðå, èñïîëü-
çîâàíî äâóìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå ÝÄÓ, ÷òî ïðèâîäèò ê çíà÷èòåëüíûì ïî-
ãðåøíîñòÿì [4—7].
 ñâÿçè ñ ýòèì â îñíîâó ïàêåòà ïðîãðàìì äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ ÝÌÏ
äîëæíû áûòü ïîëîæåíû òðåõìåðíûå ñèñòåìû óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà. Ñëîæ-
íîñòü óêàçàííûõ çàäà÷, ñ îäíîé ñòîðîíû, è íåîáõîäèìîñòü ðàçðàáîòêè
ïðàêòè÷åñêè ðåàëèçóåìûõ íà äîñòóïíûõ ÝÂÌ ïðîãðàìì, ñ äðóãîé ñòîðî-
íû, ïîáóæäàåò èñêàòü òàêèå ýêâèâàëåíòíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ýòèõ ñèñòåì,
ïðè êîòîðûõ âî âíîâü ïîëó÷åííûõ ñèñòåìàõ äîñòàòî÷íî ïðîñòî è ñ ïðèåì-
ëåìîé òî÷íîñòüþ ó÷èòûâàëàñü áû ñïåöèôèêà ðàñïðåäåëåíèÿ ïîëåé â ÝÌÏ.
Îäíèì èç òàêèõ ïðåîáðàçîâàíèé ÿâëÿåòñÿ ñâåäåíèå êðàåâûõ çàäà÷ ê
ýêâèâàëåíòíûì ñèñòåìàì èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé (ÑÈÓ) ìåòîäàìè òåî-
ðèè ïîòåíöèàëà. Íåèçâåñòíûìè â ïîëó÷åííûõ ÑÈÓ ÿâëÿþòñÿ ïëîòíîñòè
èñòî÷íèêîâ ïîëÿ, ò.å. ïëîòíîñòè òîêà íàìàãíè÷åííîñòè (ÒÍ) íà ïîâåðõ-
íîñòè ìàãíèòîïðîâîäîâ è ïëîòíîñòè âèõðåâûõ òîêîâ (ÂÒ) â ìàññèâíûõ
ïðîâîäíèêàõ. Ïîñêîëüêó îáúåìû îáìîòîê, ïîâåðõíîñòè ìàãíèòîïðîâîäîâ,
îáúåìû ìàññèâíûõ ïðîâîäíèêîâ çàíèìàþò, êàê ïðàâèëî, íåçíà÷èòåëüíóþ
÷àñòü ïðîñòðàíñòâà, ïåðåõîä ê ÑÈÓ ñóùåñòâåííî óïðîùàåò çàäà÷ó. Êðîìå
òîãî, çàäà÷à ðàñùåïëÿåòñÿ íà äâå ÷àñòè: ðàñ÷åò èñòî÷íèêîâ ïîëÿ â ðå-
çóëüòàòå ðåøåíèÿ ïîëó÷åííûõ ÑÈÓ è ðàñ÷åò ïîëÿ â ëþáîé òî÷êå ïðîñò-
ðàíñòâà èíòåãðèðîâàíèåì ïî èñòî÷íèêàì ïîëÿ.
Â. Ô. Åâäîêèìîâ, À. À. Êó÷àåâ, Å. È. Ïåòðóøåíêî, Â. À. Êó÷àåâ
70 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2010. V. 32. ¹ 6
Òåì íå ìåíåå, çàäà÷à ðåøåíèÿ ÑÈÓ îñòàåòñÿ äîñòàòî÷íî ñëîæíîé. Â
ñâÿçè ñ ýòèì îïðàâäàííûì ÿâëÿåòñÿ óïðîùåíèå ÑÈÓ ñ ïîìîùüþ ó÷åòà
ñïåöèôèêè ìàãíèòíîãî ïîëÿ â ñèñòåìå ÌÍËÇ—ÝÌÏ, êîòîðàÿ ñîñòîèò â
òîì, ÷òî ìàãíèòíîå ïîëå, ñîçäàííîå ñèñòåìîé ÝÌÏ—ãèëüçà êðèñòàëëè-
çàòîðà (ÃÊ) ñóùåñòâåííî áîëüøå ìàãíèòíîãî ïîëÿ ÂÒ â çàãîòîâêå. Îá ýòîì
ñâèäåòåëüñòâóåò áîëüøàÿ àìïëèòóäà ìàãíèòîäâèæóùåé ñèëû è íèçêàÿ
÷àñòîòà òîêîâ (1—6 Ãö), ïèòàþùèõ îáìîòêè ÝÌÏ.
Ïðè ýòîì èñõîäíàÿ ÑÈÓ ñóùåñòâåííî óïðîùàåòñÿ, è åå ðåøåíèå ñâî-
äèòñÿ ê ïîñëåäîâàòåëüíîìó ðåøåíèþ äâóõ ïîäñèñòåì. Äëÿ ðàñ÷åòà ïëîò-
íîñòè ÒÍ íà ïîâåðõíîñòè ìàãíèòîïðîâîäà ÝÌÏ è ïëîòíîñòè ÂÒ â ÃÊ
ðåøàåì âåêòîðíóþ ñèñòåìó èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé (ÂÑÈÓ). Èç ïîëó-
÷åííîãî ðåøåíèÿ íàõîäèì âåêòîðíûé ìàãíèòíûé ïîòåíöèàë (ÂÌÏ) è
âåêòîð ìàãíèòíîé èíäóêöèè (ÂÌÈ) â îáúåìå çàãîòîâêè. Çàòåì ðåøàåì
ñêàëÿðíóþ ÑÈÓ äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïëîòíîñòè ýëåêòðè÷åñêèõ çàðÿäîâ íà
Òðåõìåðíàÿ ìîäåëü ðàñïðåäåëåíèÿ âèõðåâûõ òîêîâ â æèäêîé ñòàëè
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2010. Ò. 32. ¹ 6 71
Ðèñ. 1. Ñèñòåìû ÝÌÏ äëÿ ÌÍËÇ:1 — æèäêàÿ ñòàëü; 2 — êîðî÷êà ôîðìèðóþùåãîñÿ
ñëèòêà; 3 — êðèñòàëëèçàòîð; 4 — ïîääåðæèâàþùèå ðîëèêè; 5 — ÝÌÏ â êðèñòàëëèçàòîðå;
6 — ÝÌÏ â çîíå âòîðè÷íîãî îõëàæäåíèÿ; 7 — ÝÌÏ â çîíå îêîí÷àíèÿ çàòâåðäåâàíèÿ
ïîâåðõíîñòè çàãîòîâêè, ÷òî ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü ñêàëÿðíûé ýëåêòðè-
÷åñêèé ïîòåíöèàë (ÑÝÏ) è ðàñïðåäåëåíèå âåêòîðîâ ïëîòíîñòè ÂÒ è ÝÄÓ â
ðàñïëàâå ñòàëè.
Ñèñòåìû ýëåêòðîìàíèòíîãî ïåðåìåøèâàíèÿ äëÿ ñîðòîâûõ ÌÍËÇ.
Íà ðèñ. 1 ïîêàçàíû ñèñòåìû ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïåðåìåøèâàíèÿ, ðàçìå-
ùåííûå â êðèñòàëëèçàòîðå, çîíå âòîðè÷íîãî îõëàæäåíèÿ è â çîíå îêîí÷à-
íèÿ çàòâåðäåâàíèÿ ÌÍËÇ.
Íà ðèñ. 2. ïðåäñòàâëåíà ýëåêòðè÷åñêàÿ ñõåìà ÌÍËÇ ñ ÝÌÏ. Æèäêàÿ 1
è òâåðäàÿ 2 ôàçû çàãîòîâêè ðàçäåëåíû ïîâåðõíîñòüþ. Ìåæäó òâåðäîé
ôàçîé ñëèòêà è ÃÊ 3 èìååòñÿ çàçîð 6, çàïîëíåííûé æèäêèì øëàêîì. Ãèëüçà
êðèñòàëëèçàòîðà ðàñïîëîæåíà âíóòðè ÝÌÏ 5. Îäèí èç âîçìîæíûõ âàðèàí-
òîâ êîíñòðóêöèè ÝÌÏ îïèñàí â ðàáîòàõ [8, 9]. Çàãîòîâêà âûòÿãèâàåòñÿ è
ïîääåðæèâàåòñÿ ñ ïîìîùüþ ðîëèêîâ 4. Ïðîâîäèìîñòè æèäêîé �
l
è òâåð-
äîé �
b
ôàç çàãîòîâêè, ÃÊ — � m , ðîëèêîâ — � r çàäàíû è ñ÷èòàþòñÿ ïîñòîÿí-
íûìè â ñîîòâåòñòâóþùèõ îáúåìàõ. Ïðîâîäèìîñòü øëàêà � s � 0; ïðîâîäè-
ìîñòü îêðóæàþùåãî ïðîñòðàíñòâà � � � 0. Îòíîñèòåëüíàÿ ìàãíèòíàÿ ïðî-
íèöàåìîñòü ìàãíèòîïðîâîäà ÝÌÏ ðàâíà �� . Îòíîñèòåëüíóþ ìàãíèòíóþ
ïðîíèöàåìîñòü æèäêîé è òâåðäîé ôàç çàãîòîâêè, ÃÊ, ðîëèêîâ, øëàêà ïðè-
Â. Ô. Åâäîêèìîâ, À. À. Êó÷àåâ, Å. È. Ïåòðóøåíêî, Â. À. Êó÷àåâ
72 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2010. V. 32. ¹ 6
Ðèñ. 2. Ýëåêòðè÷åñêàÿ ñõåìà ÌÍËÇ ñ ÝÌÏ: 1 è 2 — æèäêàÿ è òâåðäàÿ ôàçû ñëèòêà; 3 — ÃÊ;
4 — ðîëèêè; 5 — ÝÌÏ; 6 — çàçîð
íèìàåì ðàâíîé åäèíèöå. Âîçâðàòíî-ïîñòóïàòåëüíîå äâèæåíèå êðèñòàë-
ëèçàòîðà íå ó÷èòûâàåòñÿ.
Òðåõìåðíàÿ èíòåãðàëüíàÿ ìîäåëü ìàãíèòíîãî ïîëÿ ñèñòåìû
ÝÌÏ—ÃÊ. Ðàññìîòðèì ÝÌÏ, ó êîòîðîãî â îáúåìå ìàãíèòîïðîâîäà V �
ìàãíèòíàÿ ïðîíèöàåìîñòü �� ïîñòîÿííà. Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ: V
0
, Vm , V � —
îáúåìû ñîîòâåòñòâåííî îáìîòîê, ÃÊ, îêðóæàþùåãî ïðîñòðàíñòâà; S � è S m —
ïîâåðõíîñòè ìàãíèòîïðîâîäà è ÃÊ; � ( )�
0
Q — êîìïëåêñ âåêòîðà ïëîòíîñòè
òîêà â òî÷êå Q V�
0
; � ( )� Q — êîìïëåêñ âåêòîðà ïëîòíîñòè ÂÒ â òî÷êå
Q Vm� ; � ( ) Q — êîìïëåêñ âåêòîðà ïëîòíîñòè ÒÍ â òî÷êå Q S� � .
Ïðåíåáðåãàÿ âëèÿíèåì ìàãíèòíîãî ïîëÿ ÂÒ â çàãîòîâêå è ðîëèêàõ íà
ðàñïðåäåëåíèå � ( ) Q , Q S� � è � ( )� Q , Q Vm� [10], ïîëó÷àåì ÂÑÈÓ, êîòîðîé
óäîâëåòâîðÿåò � ( ) Q , Q S� � è � ( )� Q , Q Vm� :
� ( )
[ � ( )]] [ � ( )]
�
�
�
Q
M
r
ds
M
S
Q QM
QM
M
Q QM� �
�
�2 23
[n r [n r ]
r
dv
QMV
M
m
3� �
� � �
�
�
2
0
3
0
[n r
Q QM
QMV
M
M
r
dv
[ � ( )]]
, Q S� � ;
� ( )
� ( ) � ( )
�
�
�
�
�
�
�
Q j
M
r
dv
j
M
r
ds
m QMV
M
QMSm
� �� �
�
0 0
4
1
4
1
M
�
� � �� �
1
4 4
1
3
0
0
0
�
�
�
�
�� ( ) � ( )M
r
ds
j
M
r
dv
QM
QMS
M
QMV
M
m
r
, Q Vm� ;
(1)
� ( ) � ( )
cos ( )
� ( )�
�
�
�
�
�Q M
n r
r
ds
j
M
r
Q QM
QMS
M nQ
m
� ��
1
2 2
1
2
0
QMV
M
m
dv� �
� � �
�
� �
j
M
r
ds
j
M
r
dv
nQ
QMS
M nQ
QMV
M
�
�
�
�
�0 0
0
2
1
2
1
0
� ( ) � ( ) , Q S m� .
Çäåñü � ( )� Q , Q S m� , — ÏÝÇ â òî÷êå Q S m� ; n
Q
, Q S� � , — íîðìàëü ê
ïîâåðõíîñòè S � â òî÷êå Q, ïîëîæèòåëüíîå íàïðàâëåíèå êîòîðîé ïðèíÿòî
èç îáúåìàV � â îáúåìV � ; n
Q
, Q S m� , — íîðìàëü ê ïîâåðõíîñòè S m â òî÷êå
Q, ïîëîæèòåëüíîå íàïðàâëåíèå êîòîðîé ïðèíÿòî èç îáúåìàVm â îáúåìV � ;
r
QM
— ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè Q è M; r
QM
— ðàäèóñ-âåêòîð, íàïðàâ-
ëåííûé èç òî÷êè Q â òî÷êó M è ðàâíûé ïî ìîäóëþ r
QM
; � ( )�
nQ
M , M Vm� ,
Òðåõìåðíàÿ ìîäåëü ðàñïðåäåëåíèÿ âèõðåâûõ òîêîâ â æèäêîé ñòàëè
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2010. Ò. 32. ¹ 6 73
� ( )
nQ
M , M S� � , � ( )�
0nQ
M , M V�
0
, — ïðîåêöèè âåêòîðîâ � ( )� M , � ( ) M ,
� ( )�
0
M íà íîðìàëü n
Q
, Q S m� ;
�
�
�
�
�
�
�
1
1
; j � �1; w � 2� f , ãäå f — ÷àñòîòà
òîêîâ, ïèòàþùèõ îáìîòêè ÝÌÏ.
Ðåøèâ ÂÈÓ (1), âû÷èñëèì êîìïëåêñû ÂÌÈ � ( )B Q è ÂÌÏ � ( )A Q â
ëþáîé òî÷êå Q ïî ôîðìóëàì
� ( )
[ � ( )] [ � ( )]
B
r r
Q
M
r
dv
M
r
QM
QMV
M
S
QM� �� �
�
�
�
� �
�
0 0
3
0
4 4
0 QM
M
ds
3
�
� �
�
�
�
0
34
[ � ( )]
;
r
QM
QMV
M
M
r
dv
m
� ( )
� ( ) � ( ) �
A Q
M
r
dv
M
r
dv
QMV
M
QMV
M
m
� � �� �
�
�
� �
�
� �
�
0 0 0 0
4 4 4
0
( )M
r
ds
QMS
M
�
� .
Ïðèáëèæåííûå âûðàæåíèÿ çàêîíà Îìà â ýëåìåíòàõ ýëåêòðè÷åñ-
êîé ñõåìû ÌÍËÇ. Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ: V
l
è S
l
— îáúåì è ïîâåðõíîñòü
æèäêîé ôàçû çàãîòîâêè; V
b
è S
b
— îáúåì è ïîâåðõíîñòü òâåðäîé ôàçû
çàãîòîâêè; Vr è S r — îáúåì è ïîâåðõíîñòü ðîëèêîâ; V � — îêðóæàþùåå
ïðîñòðàíñòâî; V V V V
l b r� � � — ñîâîêóïíûé îáúåì; S
lb
— ïîâåðõíîñòü
êîíòàêòà æèäêîé è òâåðäîé ôàç çàãîòîâêè; S
l � — ïîâåðõíîñòü êîíòàêòà
æèäêîé ôàçû çàãîòîâêè ñ îêðóæàþùåé ñðåäîé; S
b� — ïîâåðõíîñòü êîí-
òàêòà òâåðäîé ôàçû çàãîòîâêè c îêðóæàþùåé ñðåäîé; S
br
— ïîâåðõíîñòü
êîíòàêòà òâåðäîé ôàçû çàãîòîâêè c ðîëèêàìè; S r � — ïîâåðõíîñòü êîíòàêòà
ðîëèêîâ c îêðóæàþùåé ñðåäîé; S S S S S S
lb l b br r� � � � �� � � — ñîâîêóï-
íàÿ ïîâåðõíîñòü; n
lb
— íîðìàëü ê ïîâåðõíîñòè S
lb
, íàïðàâëåííàÿ èç îáúå-
ìàV
l
; n
l � — íîðìàëü ê ïîâåðõíîñòè S
l � , íàïðàâëåííàÿ èç îáúåìàV
l
; n
b� —
íîðìàëü ê ïîâåðõíîñòè S
b� , íàïðàâëåííàÿ â îáúåì V
b
; n
br
— íîðìàëü ê
ïîâåðõíîñòè S
br
, íàïðàâëåííàÿ èç îáúåìà Vr ; n r � — íîðìàëü ê ïîâåðõ-
íîñòè S r � , íàïðàâëåííàÿ èç îáúåìàVr .
Çàêîí Îìà â ýëåìåíòàõ ýëåêòðè÷åñêîé ñõåìû ÌÍËÇ èìååò ñëåäóþùèé
âèä: â îáúåìå æèäêîé ôàçû çàãîòîâêè V
l
� � � ) �
�
� )� � �
�
l l l l l l l l l l
j= E U B A + U B( (� � � � �� �� � � , (2)
â îáúåìå òâåðäîé ôàçû çàãîòîâêè V
b
� � � ) �
�
� )� � �
�
b b b b b b b b b b
j= E U B A + U B( (� � � � �� �� � � , (3)
Â. Ô. Åâäîêèìîâ, À. À. Êó÷àåâ, Å. È. Ïåòðóøåíêî, Â. À. Êó÷àåâ
74 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2010. V. 32. ¹ 6
â îáúåìå ðîëèêîâVr
� � � ) �
�
� )� � �
�r r r r r r r r r b
j= E U B A + U B( (� � � � �� �� � � , (4)
â îêðóæàþùåì ïðîñòðàíñòâå V �
��� � 0. (5)
 âûðàæåíèÿõ (2)—(5) ��
l
, ��
b
, �� r , ��� — êîìïëåêñû âåêòîðîâ ïëîòíîñòè
ÂÒ â æèäêîé è òâåðäîé ôàçàõ çàãîòîâêè, ðîëèêàõ è îêðóæàþùåé ñðåäå; �E
l
,
�E
b
è �Er — êîìïëåêñû âåêòîðîâ íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ â æèä-
êîé è òâåðäîé ôàçàõ çàãîòîâêè è ðîëèêàõ; U
l
— âåêòîð ñêîðîñòè â æèäêîé
ôàçå çàãîòîâêè; U
b
— âåêòîð ñêîðîñòè âûòÿãèâàíèÿ çàãîòîâêè; Ur — âåêòîð
ëèíåéíîé ñêîðîñòè â îáúåìå ðîëèêîâ; �A
l� , �A
b� è �A r� — êîìïëåêñû ÂÌÏ â
æèäêîé è òâåðäîé ôàçàõ çàãîòîâêè è ðîëèêàõ; ��
l
, ��
b
è �� r — êîìïëåêñû
ÑÝÏ â æèäêîé è òâåðäîé ôàçàõ çàãîòîâêè è ðîëèêàõ; �B
l� , �B
b� è �B r� —
êîìïëåêñû ÂÌÈ â æèäêîé è òâåðäîé ôàçàõ çàãîòîâêè è ðîëèêàõ.
Êîìïëåêñû ÂÌÏ �A � è ÂÌÈ �B � , îáóñëîâëåííûå ñèñòåìîé ÝÌÏ—ÃÊ
è ÂÒ â çàãîòîâêå è ðîëèêàõ, ïðåäñòàâèì â âèäå
� � �A A + A
l l lc� � ; � � �B = B + B
l l lc� ,
ãäå �A
l
è �B
l
— êîìïëåêñû ÂÌÏ è ÂÌÈ â æèäêîé ôàçå çàãîòîâêè, îáó-
ñëîâëåííûå ñèñòåìîé ÝÌÏ—ÃÊ; �A
lc
è �B
lc
— êîìïëåêñû ÂÌÏ è ÂÌÈ â
æèäêîé ôàçå çàãîòîâêè, îáóñëîâëåííûå ÂÒ â çàãîòîâêå è ðîëèêàõ;
� � �A A + A
b b bc� � ; � � �B = B + B
b b bc� ,
ãäå �A
b
è �B
b
— êîìïëåêñû ÂÌÏ è ÂÌÈ â òâåðäîé ôàçå çàãîòîâêè, îáó-
ñëîâëåííûå ñèñòåìîé ÝÌÏ—ÃÊ; �A
bc
è �B
bc
— êîìïëåêñû ÂÌÏ è ÂÌÈ â
òâåðäîé ôàçå çàãîòîâêè, îáóñëîâëåííûå ÂÒ â çàãîòîâêå è ðîëèêàõ;
� � �A A + Ar r rc� � ; � � �B = B + Br r rc� ,
ãäå �A r è �B r — êîìïëåêñû ÂÌÏ è ÂÌÈ â îáúåìå ðîëèêîâ, îáóñëîâëåííûå
ñèñòåìîé ÝÌÏ—ÃÊ; �A rc è �B rc — êîìïëåêñû ÂÌÏ è ÂÌÈ â îáúåìå
ðîëèêîâ, îáóñëîâëåííûå ÂÒ â çàãîòîâêå è ðîëèêàõ.
Ïðèáëèæåííûå âûðàæåíèÿ çàêîíà Îìà ïîëó÷èì èç (2)—(4), ïîëîæèâ
â íèõ
� �A A
l l� � , � �B B
l l� � , � �A A
b b� � , � �B B
b b� � , � �A Ar r� � , � �B Br r� � .
 ðåçóëüòàòå çàêîí Îìà â ýëåìåíòàõ ýëåêòðè÷åñêîé ñõåìû ïðèíèìàåò
ñëåäóþùèé âèä:
Òðåõìåðíàÿ ìîäåëü ðàñïðåäåëåíèÿ âèõðåâûõ òîêîâ â æèäêîé ñòàëè
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2010. Ò. 32. ¹ 6 75
â æèäêîé ôàçå çàãîòîâêè V
l
� � � ) �
�
� )� � �
�
l l l l l l l l l l
j= E U B A + U B( (� � � � �� � ; (6)
â òâåðäîé ôàçå çàãîòîâêè V
b
� � � ) �
�
� )� � �
�
b b b b b b b b b b
j= E U B A + U B( (� � � � �� � ; (7)
â îáúåìå ðîëèêîâVr
� � � ) �
�
� )� � �
�r r r r r r r r r rj= E U B A + U B( (� � � � �� � . (8)
Èç âûðàæåíèé (6)—( 8) âèäíî, ÷òî ïðè ïðèíÿòîì äîïóùåíèè äëÿ ðàñ÷åòà
ÂÒ â çàãîòîâêå è ðîëèêàõ äîñòàòî÷íî îïðåäåëèòü ÑÝÏ â ýòèõ ýëåìåíòàõ.
Ñôîðìóëèðóåì êðàåâóþ çàäà÷ó äëÿ ÑÝÏ.
Êðàåâàÿ çàäà÷à äëÿ ÑÝÏ â çàãîòîâêå è ðîëèêàõ âûòåêàåò èç óðàâ-
íåíèé íåïðåðûâíîñòè è èõ ãðàíè÷íûõ óñëîâèé.
Óðàâíåíèÿ: â îáúåìå æèäêîé ôàçû çàãîòîâêè V
l
� ��
l
= 0 , (9)
â òâåðäîé ôàçå çàãîòîâêè V
b
� ��
b
= 0 , (10)
â îáúåìå ðîëèêîâ Vr
� �� r = 0 . (11)
Ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ: ïîâåðõíîñòü êîíòàêòà æèäêîé è òâåðäîé ôàç çà-
ãîòîâêè S
lb
—
n = n
lb l lb b
� �� � , (12)
ïîâåðõíîñòü êîíòàêòà æèäêîé ôàçû çàãîòîâêè ñ îêðóæàþùåé ñðåäîé S
l � —
n =
l l�
�� 0, (13)
ïîâåðõíîñòü êîíòàêòà òâåðäîé ôàçû çàãîòîâêè ñ îêðóæàþùåé ñðåäîéS
b� —
n =
b b�
�� 0, (14)
ïîâåðõíîñòü êîíòàêòà òâåðäîé ôàçû çàãîòîâêè ñ ðîëèêàìè S
rb
—
n = n
rb r rb b
� �� � , (15)
ïîâåðõíîñòü êîíòàêòà ðîëèêîâ ñ îêðóæàþùåé ñðåäîé S r � —
n =r r�
�� 0 . (16)
Â. Ô. Åâäîêèìîâ, À. À. Êó÷àåâ, Å. È. Ïåòðóøåíêî, Â. À. Êó÷àåâ
76 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2010. V. 32. ¹ 6
Ïîäñòàâëÿÿ âûðàæåíèÿ ïðèáëèæåííîãî çàêîíà Îìà (6)—(8) â óðàâ-
íåíèÿ (9)—(11), ïîëó÷àåì ñëåäóþùeå óðàâíåíèe äëÿ ÑÝÏ ��: â îáúåìå
æèäêîé ôàçû çàãîòîâêèV
l
� � � �� � � �� �
�
� ))� �
�
l l l l l l
j= A + U B( (2 0 . (17)
Çäåñü
� ��A
l
0; � �2
� �� �
l l
� ;
(18)
� � � � �( rot rotU B B U U B B
l l l l l l l l
� ) � � � � ,
ãäå �
l
— âèõðü, �
l l
= Urot . Ñ ó÷åòîì (18) óðàâíåíèå (17) ïðåîáðàçóåòñÿ ê
âèäó
� ��
��
l l l
� B . (19)
Àíàëîãè÷íî çàïèøåì: â òâåðäîé ôàçå çàãîòîâêè V
b
� ��
��
b b b
� B , (20)
â îáúåìå ðîëèêîâVr
� ��
�� r r r� B . (21)
Ïîäñòàâèâ âûðàæåíèÿ ïðèáëèæåííîãî çàêîíà Îìà (6)—(8) â ãðàíè÷-
íûå óñëîâèÿ (12)—(16), ïîëó÷èì ñëåäóþùèå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ äëÿ ñêà-
ëÿðíîãî ïîòåíöèàëà ��: ïîâåðõíîñòü êîíòàêòà æèäêîé è òâåðäîé ôàç
çàãîòîâêè S
lb
—
�
��
�
�
��
�
� � � � � �
b
b
lb
l
l
lb
b l b l lb
n n
j A
lb
� �
( ) � ( ) (
ln
� � �= n U B
l l
� � ); (22)
ïîâåðõíîñòü êîíòàêòà æèäêîé ôàçû ñ îêðóæàþùåé ñðåäîé S
l � —
� � � � �
�
�
�j A
nl
l
l
l l l
��
�
�
�
( � )
ln
n U B 0,
��
�
�
� ( � )
ln
l
l
l l l
n
j A
l
�
�� � � �
�
n U B ;
(23)
ïîâåðõíîñòü êîíòàêòà òâåðäîé ôàçû çàãîòîâêè ñ îêðóæàþùåé ñðåäîé S
b� —
��
�
�
� ( � )b
b
bn b b b
n
j A
b
�
�� � � �
�
n U B ; (24)
ïîâåðõíîñòü êîíòàêòà òâåðäîé ôàçû çàãîòîâêè ñ ðîëèêàìè S
br
—
� �
��
�
�
��
�
� � � � � �r
r
rb
b
b
rb
r b r n r b rb
n n
j A
rb
� �
( ) � ( ) (� �= n U Br r� � ); (25)
Òðåõìåðíàÿ ìîäåëü ðàñïðåäåëåíèÿ âèõðåâûõ òîêîâ â æèäêîé ñòàëè
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2010. Ò. 32. ¹ 6 77
ïîâåðõíîñòü êîíòàêòà ðîëèêîâ ñ îêðóæàþùåé ñðåäîé S r � —
��
�
�
� ( � )r
r
rn r r r
n
j A
r
�
�� � � �
�
n U B . (26)
Ñèñòåìà èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé, ýêâèâàëåíòíàÿ ñôîðìóëèðî-
âàííîé êðàåâîé çàäà÷å (19)—(26). Ðåøåíèå ñèñòåìû óðàâíåíèé (19)—
(21) áóäåì èñêàòü â âèäå ñóììû
� ( ) � ( ) � ( )� �Q Q Q� �� , (27)
ãäå � ( )� Q — ÷àñòíîå ðåøåíèå óðàâíåíèé (19)—(21),
� ( )
� ( ) ( ) � ( ) ( )
�
� �
Q
M M
r
dV
M M
r
V
l l
QM
M
V
b b
Ql b
� � �� �
1
4
1
4� �
B B
M
M
dV �
� �
1
4�
V
r r
QM
M
r
M M
r
dV
� ( ) ( )B �
; (28)
� ( )� Q — ðåøåíèå ñëåäóþùåé îäíîðîäíîé ñèñòåìû: â îáúåìå V
l
���
l
� 0, (29)
â îáúåìå V
b
���
b
� 0, (30)
â îáúåìåVr
��� r � 0 . (31)
Ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ äëÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé (28)—(31) âûòåêàþò èç
ãðàíè÷íûõ óñëîâèé (22)—(26), åñëè â íèõ ïîäñòàâèòü (27): ïîâåðõíîñòü
êîíòàêòà æèäêîé è òâåðäîé ôàç çàãîòîâêè S
lb
—
�
��
�
�
��
�
� � �
b
b
lb
l
l
lb
b l
n n
j A
lb
� �
( ) �
ln
� � �=
� � �( ) ( � ) ( )
�
� � � � � �
�
�b l lb l l b l
l
lb
n
n U B
�
;
(32)
ïîâåðõíîñòü êîíòàêòà æèäêîé ôàçû ñ îêðóæàþùèì ïðîñòðàíñòâîì S
l � —
��
�
�
�
�
� ( � )
�
ln
l
l
l l l
l
l
n
j A
nl
�
�
�
� � � � �
�
n U B
�
; (33)
Â. Ô. Åâäîêèìîâ, À. À. Êó÷àåâ, Å. È. Ïåòðóøåíêî, Â. À. Êó÷àåâ
78 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2010. V. 32. ¹ 6
ïîâåðõíîñòü êîíòàêòà òâåðäîé ôàçû çàãîòîâêè ñ îêðóæàþùåé ñðåäîé S
b� —
��
�
�
�
�
� ( � )
�
b
b
bn b b b
b
b
n
j A
nb
�
�
�
� � � � �
�
n U B
�
; (34)
ïîâåðõíîñòü êîíòàêòà òâåðäîé ôàçû çàãîòîâêè ñ ðîëèêàìè S
rb
—
�
��
�
�
��
�
� � �
b
b
rb
r
r
rb
r b rn
n n
j A
lb
� �
( ) �� �=
� � �( ) ( � ) ( )
�
� � � � � �
�
�l b rb r r r b
r
rb
n
n U B
�
; (35)
ïîâåðõíîñòü êîíòàêòà ðîëèêîâ ñ îêðóæàþùåé ñðåäîé S r � —
��
�
�
�
�
� ( � )
�
r
r
rn r r r
r
rn
j A
nr
�
�
�
� � � � �
�
n U B
�
. (36)
Áóäåì èñêàòü ðåøåíèå óðàâíåíèé (29)—(31) ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè
(32)—(36) â âèäå ñóììû ïîòåíöèàëîâ ïðîñòîãî ñëîÿ (ÏÏÑ):
� ( ) � ( ) � ( )�
�
�
�
�Q M
r
ds M
r
ds
S
lb
QM
M
S
l
QM
M
lb l
� � �� �
�
�
1
4
1 1
4
1
� � �
�
� ��
1
4
1 1
4
1
�
�
�
�
S
b
QM
M
S
rb
QM
M
b rb
M
r
ds M
r
ds� ( ) � ( )
� �
�
� ��
1
4
1 1
4
1
�
�
�
�
S
r
QM
M
S QM
M
r
M
r
ds M
r
ds� ( ) � ( ) , Q V� ,
èëè
4� � � � � � � �� ( � � � �Q T T T T T
VS lb VS l VS b VS rb Vlb l b rb
� � � �
� �� � S r VSr
T
� � �� �� �, Q V� .
(37)
Âûðàæåíèå (37) óäîâëåòâîðÿåò ñèñòåìå óðàâíåíèé (29)—(31). Äëÿ
òîãî ÷òîáû îíî óäîâëåòâîðÿëî ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì (32)—(36), íåîáõî-
äèìî, ÷òîáû ïëîòíîñòè ÏÏÑ áûëè ðåøåíèåì ÑÈÓ, êîòîðàÿ ïîëó÷àåòñÿ èç
ýòèõ ãðàíè÷íûõ óñëîâèé, åñëè âîñïîëüçîâàòüñÿ ñâîéñòâàìè ïîòåíöèàëà
ïðîñòîãî ñëîÿ [11]. Ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç ïîâåðõíîñòü S
lb
â òî÷êå Q ñêà÷îê
îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèìè ñîîòíîøåíèÿìè:
Òðåõìåðíàÿ ìîäåëü ðàñïðåäåëåíèÿ âèõðåâûõ òîêîâ â æèäêîé ñòàëè
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2010. Ò. 32. ¹ 6 79
��
�
��
�
�
��
�
��
�
�
( )
�
( ) � ( ),
�
( )
�
l
lb lb
lb
b
lb
n
Q
n
Q Q
n
Q
n
� �
�
1
2
lb
lb
Q Q( ) � ( ),�
�
�
�
�
�
�
�
1
2
�
Q S
lb
� , (38)
ãäå
��
� �
�
�
�
( ) � ( )
cos ( )
n
Q M
r
ds
lb S
lb
Q QM
QM
M
Slb l
� �� �
�
1
4
1
42
n r
� ( )
cos ( )
�
l
Q QM
QM
M
M
r
ds� �
n r
2
� �
�
� ��
1
4
1
42�
�
�
�
S
b
Q QM
QM
M
S
rb
b rb
M
r
ds M� ( )
cos ( )
� ( )
cosn r ( )n r
Q QM
QM
M
r
ds
2
�
� �
�
� ��
1
4
1
42�
�
�
�
S
r
Q QM
QM
M
S
Q
r
M
r
ds M� ( )
cos ( )
� ( )
cos (n r n r
QM
QM
M
r
ds
)
2
, Q S
lb
� ,
èëè
4�
��
�
� � �
�
( ) � � �
n
Q P P P P
lb
S S lb S S l S S blb lb lb l lb b
� � � �
� �� � S S rb S S r S Slb rb lb r lb
P P� � �� � �� �
� � ,
Q S
lb
� . (39)
Ïîäñòàâëÿÿ (38), (39) â ãðàíè÷íîå óñëîâèå (32), ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå ÈÓ
äëÿ ��
lb
:
��
� � �
� �
�
bl
lb S S lb l l
Q P j A
lb lb
� ( ) �
� ( � )
�
ln
� � � �= 4 4 4n U B
�
�n
lb
, Q S
lb
� , (40)
ãäå
� � �
� �bl
b l
b l
�
�
( )
( )
.
Âûâåäåì èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå äëÿ ïëîòíîñòè ��
l � íà ïîâåðõíîñòè
êîíòàêòà æèäêîé ôàçû ñ îêðóæàþùèì ïðîñòðàíñòâîì S
l � . Äëÿ ýòîãî ãðà-
íè÷íûå óñëîâèÿ (33) çàïèøåì ñ ó÷åòîì ñêà÷êà íîðìàëüíîé ïðîèçâîäíîé
ÏÏÑ ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç ïîâåðõíîñòü S
l � . Ñêà÷îê îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþ-
ùèì ñîîòíîøåíèåì:
��
�
��
�
�
�
( )
�
( ) � ( ),l
l l
l
n
Q
n
Q Q
� �
�� �
1
2
Q S
l
� � , (41)
Â. Ô. Åâäîêèìîâ, À. À. Êó÷àåâ, Å. È. Ïåòðóøåíêî, Â. À. Êó÷àåâ
80 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2010. V. 32. ¹ 6
ãäå
4�
��
�
�
�
( ) �
n
Q P
l
S Sl
�
�
�
, Q S
l
� � . (42)
Ïîäñòàâèâ (41), (42) â ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ (33), ïîëó÷èì
��� � �
� �
�
� ( ) �
� ( � )
�
lnl S S l l l
lQ P j A
l l� �� � � � �
� �
= 4 4 4n U B
�
�n
l �
, Q S
l
� � . (43)
Ïîëó÷èì èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå äëÿ ïëîòíîñòè ��
b� íà ïîâåðõíîñòè
êîíòàêòà òâåðäîé ôàçû çàãîòîâêè ñ îêðóæàþùåé ñðåäîé S
b� . Äëÿ ýòîãî ãðà-
íè÷íîå óñëîâèå (34) çàïèøåì ñ ó÷åòîì ñêà÷êà íîðìàëüíîé ïðîèçâîäíîé
ÏÏÑ ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç ïîâåðõíîñòü S
b� . Ñêà÷îê îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþ-
ùèì ñîîòíîøåíèåì:
��
�
��
�
�
�
( )
�
( ) � ( ),b
b b
b
n
Q
n
Q Q
� �
�� �
1
2
Q S
b
� � ,
(44)
ãäå
4�
��
�
�
�
( ) �
n
Q P
b
S Sb
�
�
�
, Q S
b
� � . (45)
Ïîäñòàâèâ (44), (45) â ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ (34), ïîëó÷èì èíòåãðàëüíîå
óðàâíåíèå äëÿ ïëîòíîñòè ��
b� :
���� � �
� �
�
� ( ) �
� ( � )
�
b S S Sn b b b
Q P j A
b b� �� � � � �
� �
= 4 4 4n U B
�
b
b
n� �
, Q S
b
� � . (46)
Ïîëó÷èì èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå äëÿ ïëîòíîñòè ��
rb
íà ïîâåðõíîñòè
êîíòàêòà òâåðäîé ôàçû çàãîòîâêè ñ ðîëèêàìè S
rb
. Äëÿ ýòîãî ãðàíè÷íîå
óñëîâèå (35) çàïèøåì ñ ó÷åòîì ñêà÷êà íîðìàëüíîé ïðîèçâîäíîé ÏÏÑ ïðè
ïåðåõîäå ÷åðåç ïîâåðõíîñòü S
rb
. Ñêà÷îê îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèìè ñîîò-
íîøåíèÿìè:
��
�
��
�
�
��
�
��
�
�
( )
�
( ) � ( ),
�
( )
�
r
rb rb
rb
b
rb
n
Q
n
Q Q
n
Q
n
� �
�
1
2
rb
rb
Q Q( ) � ( ),�
�
�
�
�
�
�
�
1
2
�
Q S
rb
� , (47)
ãäå
4�
��
�
�
�
( ) �
n
Q P
rb
S Srb
� , Q S
rb
� . (48)
Òðåõìåðíàÿ ìîäåëü ðàñïðåäåëåíèÿ âèõðåâûõ òîêîâ â æèäêîé ñòàëè
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2010. Ò. 32. ¹ 6 81
Ïîäñòàâëÿÿ (47), (48) â ãðàíè÷íîå óñëîâèå (35), ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå èíòå-
ãðàëüíîå óðàâíåíèå äëÿ ��
rb
:
��
� � �
� �
�
rb
rb S S rb r rQ P j A
rb rb
� ( ) �
� ( � )
�
ln
� � � �= 4 4 4n U B
�
�n
rb
, Q S
rb
� , (49)
ãäå
� � �
� �rb
b r
b r
�
�
( )
( )
.
Ïîëó÷èì èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå äëÿ ïëîòíîñòè �� r � íà ïîâåðõíîñòè
êîíòàêòà ðîëèêîâ ñ îêðóæàþùèì ïðîñòðàíñòâîì S r � . Äëÿ ýòîãî ãðàíè÷íûå
óñëîâèÿ (36) çàïèøåì ñ ó÷åòîì ñêà÷êà íîðìàëüíîé ïðîèçâîäíîé ÏÏÑ ïðè
ïåðåõîäå ÷åðåç ïîâåðõíîñòü S r � . Ñêà÷îê îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì ñîîò-
íîøåíèåì:
��
�
��
�
�
�
( )
�
( ) � ( ),r
r r
r
n
Q
n
Q Q
� �
�� �
1
2
Q S r� � ,
(50)
ãäå
4�
��
�
�
�
( ) �
n
Q P
r
S Sr
�
�
�
.
(51)
Ïîäñòàâèâ (50), (51) â ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ (36), ïîëó÷èì ñëåäóþùåå èíòå-
ãðàëüíîå óðàâíåíèå äëÿ �� r � :
��� � �
� �
�
� ( ) �
� ( � )
�
r S S rn r r r
rQ P j A
r r� �� � � � �
� �
= 4 4 4n U B
�
�nr �
, Q S r� � . (52)
Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷åíû ÑÈÓ (40), (43), (46), (49), (52), ýêâèâàëåíò-
íûå êðàåâîé çàäà÷å äëÿ óðàâíåíèé (29)—(31) ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè
(32)—(36). Àïïðîêñèìèðóÿ ÑÈÓ ñèñòåìîé àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé è
ðåøàÿ ïîñëåäíþþ, íàõîäèì ðàñïðåäåëåíèå ïëîòíîñòè çàðÿäîâ �� íà ñîâî-
êóïíîé ïîâåðõíîñòè S. Ïî èçâåñòíîìó çíà÷åíèþ �� èç âûðàæåíèÿ (37)
íàõîäèì � ( )� Q , Q V� , à ïî ôîðìóëàì (27), (28) — ÑÝÏ � ( )� Q , Q V� .
Ïîäñòàâèâ çíà÷åíèå � ( )� Q â (6)—(8), ïîëó÷èì âåêòîðû ïëîòíîñòåé ÂÒ â
ìàññèâíûõ ýëåìåíòàõ ÌÍËÇ, â òîì ÷èñëå è â æèäêîé ôàçå ñëèòêà.
Âûâîä. Ïîëó÷åííàÿ ñêàëÿðíàÿ ÑÈÓ ïîçâîëèò, èçìåíÿÿ âçàèìîðàñïî-
ëîæåíèå ÝÌÏ è ãèëüçû êðèñòàëëèçàòîðà, ÝÌÏ è ðîëèêîâ, êîíñòðóêöèþ
ÝÌÏ, âåëè÷èíó è ÷àñòîòó òîêîâ â îáîìòêàõ, íàéòè òàêîå ðàñïðåäåëåíèå
ÝÄÓ â æèäêîé ôàçå ñëèòêà, ïðè êîòîðîì ìàêñèìàëüíàÿ ëèíåéíàÿ ñêîðîñòü
â ïîòîêå æèäêîãî ìåòàëëà áóäåò íàõîäèòüñÿ â äèàïàçîíå 0,3...1 ì/ñ, ò.å. â
îáëàñòè äîñòèæåíèÿ îïòèìàëüíîãî ðåæèìà ïåðåìåøèâàíèÿ.
Â. Ô. Åâäîêèìîâ, À. À. Êó÷àåâ, Å. È. Ïåòðóøåíêî, Â. À. Êó÷àåâ
82 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2010. V. 32. ¹ 6
A three-dimensional integral model has been developed for the distribution of eddy currents and
electrodynamic efforts in a liquid phase of hardening ingot in the continuous ingots casting ma-
chine (CICM) equipped with electromagnetic mixed. Approximate expressions of the Ohm law
for massive elements of CICM electric circuit are assumed as the model basis. A system of inte-
gral equations relative to the electric charge density on the surface of massive conductors was ob-
tained to find the distribution of the scalar electric potential in them.
1. Ãðà÷åâ Â. Ã., Ñèâàê Á. Â., Çàðóáèí Ñ. Â. è äð. Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå ÌÃÄ-
ïðîöåññîâ ïðè ýëåêòðîìàãíèòíîì ïåðåìåøèâàíèè æèäêîãî ìåòàëëà â ïðîöåññå íåïðå-
ðûâíîé ðàçëèâêè êðóãëûõ çàãîòîâîê // ×åðíûå ìåòàëëû. — 2009. — ¹ 6. — Ñ. 8—14.
2. Natarajan T. T., El-Kaddah N. Finite Element Analysis of Electromagnetically Driven Flow
in Sub-mold Stirring of Steel Billets and Slabs // ISIJ Int. — 1998. — 38, ¹ 7. — P. 707— 714.
3. Davidson P. A. Magnetohydrodynamics in materials processing // Annu. Rev. Fluid Mech. —
1999. — ¹ 31. — Ð. 273—300.
4. Ãðà÷åâ Â., Êóçüìèíà Ë., Ñîëîäîâíèê Ô. è äð. Ñèñòåìû ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïåðåìåøè-
âàíèÿ æèäêîé ñòàëè íà ñîðòîâûõ, áëþìîâûõ è ñëÿáîâûõ ÌÍËÇ // Îáîðóäîâàíèå. —
2005. — ¹ 11. — Ñ. 48—52.
5. Íàéäåê Â. Ë., Äóáîäåëîâ Â. È., Åâäîêèìîâ Â. Ô. è äð. Äâóìåðíàÿ èíòåãðî-äèôôå-
ðåíöèàëüíàÿ ìîäåëü ðàñïðåäåëåíèÿ âèõðåâûõ òîêîâ è ýëåêòðîäèíàìè÷åñêèõ óñèëèé â
ñèñòåìå êðèñòàëëèçàòîð-èíäóêöèîííûé ïåðåìåøèâàòåëü ìàøèíû íåïðåðûâíîãî ëèòüÿ
çàãîòîâîê // Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. — 2004. — ¹ 1. — Ñ. 30—52.
6. Åâäîêèìîâ Â. Ô., Êó÷àåâ À. À., Ïåòðóøåíêî Å. È., Êàñüÿí Ã. È. Äâóìåðíàÿ èíòåãðàëü-
íàÿ ìîäåëü ðàñïðåäåëåíèÿ ñèíóñîèäàëüíûõ âèõðåâûõ òîêîâ è ýëåêòðîäèíàìè÷åñêèõ
óñèëèé â êðèñòàëëèçàòîðå ÌÍËÇ ñ ÿâíîïîëþñíûì ýëåêòðîìàãíèòíûì ïåðåìåøè-
âàòåëåì // Òàì æå. — 2010. — 32, ¹ 1. — Ñ. 53—75.
7. Äóáîäåëîâ Â. È., Åâäîêèìîâ Â. Ô., Êîíäðàòåíêî È. Ï. è äð. Áëî÷íûé àëãîðèòì
ðåàëèçàöèè äâóìåðíîé èíòåãðàëüíîé ìîäåëè ðàñïðåäåëåíèÿ ñèíóñîèäàëüíûõ âèõðå-
âûõ òîêîâ è ýëåêòðîäèíàìè÷åñêèõ óñèëèé â êðèñòàëëèçàòîðå ñ èíäóêöèîííûì ïåðå-
ìåøèâàòåëåì // Òàì æå. — 2005. — 27, ¹ 4. — Ñ. 57—74.
8. Åâäîêèìîâ Â. Ô., Êó÷àåâ À. À., Ïåòðóøåíêî Å. È., Êó÷àåâ Â. À. Òðåõìåðíàÿ èíòå-
ãðàëüíàÿ ìîäåëü ìàãíèòíîãî ïîëÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïåðåìåøèâàòåëÿ // Ñá. íàó÷í.
òðóäîâ ìåæäóíàð. êîíô. «Ìîäåëèðîâàíèå—2010», 12—14 ìàÿ 2010 ã. — Êèåâ : Èí-ò
ïðîáëåì ìîäåëèðîâàíèÿ â ýíåðãåòèêå ÍÀÍ Óêðàèíû. — 2010. — 1. — Ñ. 32—40.
9. Åâäîêèìîâ Â. Ô., Êó÷àåâ À. À., Ïåòðóøåíêî Å. È., Êó÷àåâ Â. À. Òðåõìåðíàÿ èíòåãðàëü-
íàÿ ìîäåëü ìàãíèòíîãî ïîëÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïåðåìåøèâàòåëÿ // Ýëåêòðîí. ìîäå-
ëèðîâàíèå. — 2010. — 32, ¹ 4. — Ñ. 93—112.
10. Ïåòðóøåíêî Å. È. Ïîñòàíîâêà çàäà÷è ïî ðàñ÷åòó âèõðåâûõ òîêîâ â òåëàõ ïðîèç-
âîëüíîé ôîðìû // Èçâ. âóçîâ. Ýëåêòðîìåõàíèêà. — 1966. — ¹ 11. — Ñ. 1181—1184.
11. Ìèõëèí Ñ. Ã. Ëåêöèè ïî ëèíåéíûì èíòåãðàëüíûì óðàâíåíèÿì. — Ì. : Ôèçìàòãèç,
1959. — 232 c.
Ïîñòóïèëà 13.07.10
ÅÂÄÎÊÈÌΠÂèêòîð Ôåäîðîâè÷, ÷ë.-êîð. ÍÀÍ Óêðàèíû, äèðåêòîð Èí-òà ïðîáëåì ìîäå-
ëèðîâàíèÿ â ýíåðãåòèêå èì. Ã.Å. Ïóõîâà ÍÀÍ Óêðàèíû.  1963 ã. îêîí÷èë Õàðüêîâñêèé ïîëè-
òåõíè÷åñêèé èí-ò. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — òåîðèÿ ìîäåëèðîâàíèÿ ïðîöåññîâ è
ñèñòåì â ýíåðãåòèêå, òåîðèÿ ôóíêöèîíàëüíî-îðèåíòèðîâàííûõ êîìïüþòåðíûõ ñèñòåì, àíà-
ëèç è ñèíòåç ïàðàëëåëüíûõ âû÷èñëèòåëüíûõ ìåòîäîâ è ñèñòåì.
Òðåõìåðíàÿ ìîäåëü ðàñïðåäåëåíèÿ âèõðåâûõ òîêîâ â æèäêîé ñòàëè
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2010. Ò. 32. ¹ 6 83
ÊÓ×ÀÅ Àëåêñàíäð Àíäðååâè÷, ä-ð òåõí. íàóê, âåä. íàó÷. ñîòð. îòäåëà íåïðåðûâíîé ðàçëèâêè è
ëèòåéíî-äåôîðìàöèîííûõ ïðîöåññîâ Ôèçèêî-òåõíîëîãè÷åñêîãî èí-òà ìåòàëëîâ è ñïëàâîâ
ÍÀÍ Óêðàèíû.  1978 ã. îêîí÷èë Êèåâñêèé èí-ò èíæåíåðîâ ãðàæäàíñêîé àâèàöèè. Îáëàñòü
íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — ìîäåëèðîâàíèå ýëåêòðîìàãíèòíûõ ïîëåé.
ÏÅÒÐÓØÅÍÊÎ Åâãåíèé Èâàíîâè÷, êàíä. òåõí. íàóê, ñò. íàó÷. ñîòð., çàâ. îòäåëîì ìîäåëèðî-
âàíèÿ çàäà÷ ýëåêòðîìàãíèòíîé ãèäðîäèíàìèêè Èí-òà ïðîáëåì ìîäåëèðîâàíèÿ â ýíåðãåòèêå
èì. Ã. Å. Ïóõîâà ÍÀÍ Óêðàèíû.  1960 ã. îêîí÷èë Íîâî÷åðêàññêèé ïîëèòåõíè÷åñêèé èí-ò, à â
1963 ã. — Ðîñòîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé —
ìîäåëèðîâàíèå ýëåêòðîìàãíèòíûõ ïîëåé.
ÊÓ×ÀÅ Âèòàëèé Àëåêñàíäðîâè÷, àñïèðàíò, îòäåë ìîäåëèðîâàíèÿ çàäà÷ ýëåêòðîìàãíèòíîé
ãèäðîäèíàìèêè Èí-òà ïðîáëåì ìîäåëèðîâàíèÿ â ýíåðãåòèêå èì. Ã. Å. Ïóõîâà ÍÀÍ Óêðàèíû. Â
2002 ã. îêîí÷èë Íàöèîíàëüíûé òåõíè÷åñêèé óíèâåðñèòåò Óêðàèíû «ÊÏÈ». Îáëàñòü íàó÷íûõ
èññëåäîâàíèé — ìîäåëèðîâàíèå ýëåêòðîìàãíèòíûõ ïîëåé.
Â. Ô. Åâäîêèìîâ, À. À. Êó÷àåâ, Å. È. Ïåòðóøåíêî, Â. À. Êó÷àåâ
84 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2010. V. 32. ¹ 6
<<
/ASCII85EncodePages false
/AllowTransparency false
/AutoPositionEPSFiles true
/AutoRotatePages /None
/Binding /Left
/CalGrayProfile (Dot Gain 20%)
/CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CalCMYKProfile (U.S. Web Coated \050SWOP\051 v2)
/sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CannotEmbedFontPolicy /Error
/CompatibilityLevel 1.4
/CompressObjects /Tags
/CompressPages true
/ConvertImagesToIndexed true
/PassThroughJPEGImages true
/CreateJDFFile false
/CreateJobTicket false
/DefaultRenderingIntent /Default
/DetectBlends true
/DetectCurves 0.0000
/ColorConversionStrategy /CMYK
/DoThumbnails false
/EmbedAllFonts true
/EmbedOpenType false
/ParseICCProfilesInComments true
/EmbedJobOptions true
/DSCReportingLevel 0
/EmitDSCWarnings false
/EndPage -1
/ImageMemory 1048576
/LockDistillerParams false
/MaxSubsetPct 100
/Optimize true
/OPM 1
/ParseDSCComments true
/ParseDSCCommentsForDocInfo true
/PreserveCopyPage true
/PreserveDICMYKValues true
/PreserveEPSInfo true
/PreserveFlatness true
/PreserveHalftoneInfo false
/PreserveOPIComments true
/PreserveOverprintSettings true
/StartPage 1
/SubsetFonts true
/TransferFunctionInfo /Apply
/UCRandBGInfo /Preserve
/UsePrologue false
/ColorSettingsFile ()
/AlwaysEmbed [ true
]
/NeverEmbed [ true
]
/AntiAliasColorImages false
/CropColorImages true
/ColorImageMinResolution 300
/ColorImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleColorImages true
/ColorImageDownsampleType /Bicubic
/ColorImageResolution 300
/ColorImageDepth -1
/ColorImageMinDownsampleDepth 1
/ColorImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeColorImages true
/ColorImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterColorImages true
/ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG
/ColorACSImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/ColorImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/JPEG2000ColorACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/JPEG2000ColorImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/AntiAliasGrayImages false
/CropGrayImages true
/GrayImageMinResolution 300
/GrayImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleGrayImages true
/GrayImageDownsampleType /Bicubic
/GrayImageResolution 300
/GrayImageDepth -1
/GrayImageMinDownsampleDepth 2
/GrayImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeGrayImages true
/GrayImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterGrayImages true
/GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG
/GrayACSImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/GrayImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/JPEG2000GrayACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/JPEG2000GrayImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/AntiAliasMonoImages false
/CropMonoImages true
/MonoImageMinResolution 1200
/MonoImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleMonoImages true
/MonoImageDownsampleType /Bicubic
/MonoImageResolution 1200
/MonoImageDepth -1
/MonoImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeMonoImages true
/MonoImageFilter /CCITTFaxEncode
/MonoImageDict <<
/K -1
>>
/AllowPSXObjects false
/CheckCompliance [
/None
]
/PDFX1aCheck false
/PDFX3Check false
/PDFXCompliantPDFOnly false
/PDFXNoTrimBoxError true
/PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXSetBleedBoxToMediaBox true
/PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXOutputIntentProfile ()
/PDFXOutputConditionIdentifier ()
/PDFXOutputCondition ()
/PDFXRegistryName ()
/PDFXTrapped /False
/Description <<
/CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e9ad88d2891cf76845370524d53705237300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002>
/CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc9ad854c18cea76845370524d5370523786557406300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002>
/DAN <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>
/DEU <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>
/ESP <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>
/FRA <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>
/ITA <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>
/JPN <FEFF9ad854c18cea306a30d730ea30d730ec30b951fa529b7528002000410064006f0062006500200050004400460020658766f8306e4f5c6210306b4f7f75283057307e305930023053306e8a2d5b9a30674f5c62103055308c305f0020005000440046002030d530a130a430eb306f3001004100630072006f0062006100740020304a30883073002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee5964d3067958b304f30533068304c3067304d307e305930023053306e8a2d5b9a306b306f30d530a930f330c8306e57cb30818fbc307f304c5fc59808306730593002>
/KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020ace0d488c9c80020c2dcd5d80020c778c1c4c5d00020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e>
/NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken die zijn geoptimaliseerd voor prepress-afdrukken van hoge kwaliteit. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.)
/NOR <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>
/PTB <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>
/SUO <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>
/SVE <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>
/ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents best suited for high-quality prepress printing. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.)
>>
/Namespace [
(Adobe)
(Common)
(1.0)
]
/OtherNamespaces [
<<
/AsReaderSpreads false
/CropImagesToFrames true
/ErrorControl /WarnAndContinue
/FlattenerIgnoreSpreadOverrides false
/IncludeGuidesGrids false
/IncludeNonPrinting false
/IncludeSlug false
/Namespace [
(Adobe)
(InDesign)
(4.0)
]
/OmitPlacedBitmaps false
/OmitPlacedEPS false
/OmitPlacedPDF false
/SimulateOverprint /Legacy
>>
<<
/AddBleedMarks false
/AddColorBars false
/AddCropMarks false
/AddPageInfo false
/AddRegMarks false
/ConvertColors /ConvertToCMYK
/DestinationProfileName ()
/DestinationProfileSelector /DocumentCMYK
/Downsample16BitImages true
/FlattenerPreset <<
/PresetSelector /MediumResolution
>>
/FormElements false
/GenerateStructure false
/IncludeBookmarks false
/IncludeHyperlinks false
/IncludeInteractive false
/IncludeLayers false
/IncludeProfiles false
/MultimediaHandling /UseObjectSettings
/Namespace [
(Adobe)
(CreativeSuite)
(2.0)
]
/PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK
/PreserveEditing true
/UntaggedCMYKHandling /LeaveUntagged
/UntaggedRGBHandling /UseDocumentProfile
/UseDocumentBleed false
>>
]
>> setdistillerparams
<<
/HWResolution [2400 2400]
/PageSize [612.000 792.000]
>> setpagedevice
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-61689 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0204-3572 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:26:53Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Евдокимов, В.Ф. Кучаев, А.А. Петрушенко, Е.И. Кучаев, В.А. 2014-05-10T15:55:44Z 2014-05-10T15:55:44Z 2010 Трехмерная модель распределения вихревых токов в жидкой стали непрерывнолитой заготовки при электромагнитном перемешивании / В.Ф. Евдокимов, А.А. Кучаев, Е.И. Петрушенко, В.А. Кучаев // Электронное моделирование. — 2010. — Т. 32, № 6. — С. 69-84. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 0204-3572 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/61689 681.3:519.711.3:517.958:621.313:669 Разработана трехмерная интегральная модель распределения вихревых токов и электродинамических усилий в жидкой фазе затвердевающего слитка в машине непрерывного литья заготовок (МНЛЗ), оснащенной электромагнитным перемешивателем. В основу модели положены приближенные выражения закона Ома для массивных элементов электрической схемы МНЛЗ. Для нахождения распределения в них скалярного электрического потенциала получена система интегральных уравнений относительно плотности электрического заряда на поверхности массивных проводников. Розроблено тривимірну інтегральну модель розподілу вихрових струмів та електродинамічних зусиль в рідкій фазі твердіючого злитка в машині безперервного лиття заготовок (МБЛЗ), оснащеній електромагнітним перемішувачем. В основу моделі покладено наближені вирази закону Ома для масивних елементів електричної схеми МБЛЗ. Для пошуку розподілу в них скалярного електричного потенціалу отримано систему інтегральних рівнянь відносно густини електричного заряду на поверхні масивних провідників. A three-dimensional integral model has been developed for the distribution of eddy currents and electrodynamics efforts in a liquid phase of hardening ingot in the continuous ingots casting machine (CICM) equipped with electromagnetic mixed. Approximate expressions of the Ohm law for massive elements of CICM electric circuit are assumed as the model basis. A system of integral equations relative to the electric charge density on the surface of massive conductors was obtained to find the distribution of the scalar electric potential in them. ru Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України Электронное моделирование Применение методов и средств моделирования Трехмерная модель распределения вихревых токов в жидкой стали непрерывнолитой заготовки при электромагнитном перемешивании Article published earlier |
| spellingShingle | Трехмерная модель распределения вихревых токов в жидкой стали непрерывнолитой заготовки при электромагнитном перемешивании Евдокимов, В.Ф. Кучаев, А.А. Петрушенко, Е.И. Кучаев, В.А. Применение методов и средств моделирования |
| title | Трехмерная модель распределения вихревых токов в жидкой стали непрерывнолитой заготовки при электромагнитном перемешивании |
| title_full | Трехмерная модель распределения вихревых токов в жидкой стали непрерывнолитой заготовки при электромагнитном перемешивании |
| title_fullStr | Трехмерная модель распределения вихревых токов в жидкой стали непрерывнолитой заготовки при электромагнитном перемешивании |
| title_full_unstemmed | Трехмерная модель распределения вихревых токов в жидкой стали непрерывнолитой заготовки при электромагнитном перемешивании |
| title_short | Трехмерная модель распределения вихревых токов в жидкой стали непрерывнолитой заготовки при электромагнитном перемешивании |
| title_sort | трехмерная модель распределения вихревых токов в жидкой стали непрерывнолитой заготовки при электромагнитном перемешивании |
| topic | Применение методов и средств моделирования |
| topic_facet | Применение методов и средств моделирования |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/61689 |
| work_keys_str_mv | AT evdokimovvf trehmernaâmodelʹraspredeleniâvihrevyhtokovvžidkoistalinepreryvnolitoizagotovkipriélektromagnitnomperemešivanii AT kučaevaa trehmernaâmodelʹraspredeleniâvihrevyhtokovvžidkoistalinepreryvnolitoizagotovkipriélektromagnitnomperemešivanii AT petrušenkoei trehmernaâmodelʹraspredeleniâvihrevyhtokovvžidkoistalinepreryvnolitoizagotovkipriélektromagnitnomperemešivanii AT kučaevva trehmernaâmodelʹraspredeleniâvihrevyhtokovvžidkoistalinepreryvnolitoizagotovkipriélektromagnitnomperemešivanii |