Моделирование объекта с распределенными параметрами, заданного на непрямоугольной области
Спектральная теория нестационарных систем управления распространена на объекты, описываемые дифференциальными уравнениями в частных производных. Рассмотрены правила, устанавливающие соответствие между операциями в пространственно-временной и спектральной форме. Приведен пример моделирования объекта...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Электронное моделирование |
|---|---|
| Дата: | 2011 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
2011
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/61728 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Моделирование объекта с распределенными параметрами, заданного на непрямоугольной области / Ю.А. Клевцов // Электронное моделирование. — 2011 — Т. 33, № 1. — С. 47-55. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860003067696513024 |
|---|---|
| author | Клевцов, Ю.А. |
| author_facet | Клевцов, Ю.А. |
| citation_txt | Моделирование объекта с распределенными параметрами, заданного на непрямоугольной области / Ю.А. Клевцов // Электронное моделирование. — 2011 — Т. 33, № 1. — С. 47-55. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Электронное моделирование |
| description | Спектральная теория нестационарных систем управления распространена на объекты, описываемые дифференциальными уравнениями в частных производных. Рассмотрены правила, устанавливающие соответствие между операциями в пространственно-временной и спектральной форме. Приведен пример моделирования объекта с распределенными параметрами.
Спектральну теорію нестаціонарних систем керування розповсюджено на об’єкти, що описуються диференціальними рівняннями у часткових похідних. Розглянуто правила, які встановлюють відповідність між операціями у просторово-часовій та спектральній формі. Наведено приклад моделювання об’єкта з розподіленими параметрами.
Spectral theory of nonstationary control system is spread to the objects described by partial differential equations. The rules establishing the correspondence between operations in the spacetime and spectral form have been considered. An example of modeling the object with distributed parameters is presented.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:37:00Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 681.5.015: 519.63
Þ. À. Êëåâöîâ, êàíä. òåõí. íàóê
(Óêðàèíà, 03150, Êèåâ, óë. Òåëüìàíà, 4, êâ.12,
òåë. (044) 5290566, E-mail: Rmb@voliacabel.com, kk123@ukr.net)
Ìîäåëèðîâàíèå îáúåêòà ñ ðàñïðåäåëåííûìè
ïàðàìåòðàìè, çàäàííîãî íà íåïðÿìîóãîëüíîé îáëàñòè
(Ñòàòüþ ïðåäñòàâèëà êàíä. òåõí. íàóê Ý. Ï. Ñåìàãèíà)
Ñïåêòðàëüíàÿ òåîðèÿ íåñòàöèîíàðíûõ ñèñòåì óïðàâëåíèÿ ðàñïðîñòðàíåíà íà îáúåêòû,
îïèñûâàåìûå äèôôåðåíöèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ. Ðàññìîòðåíû
ïðàâèëà, óñòàíàâëèâàþùèå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó îïåðàöèÿìè â ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåí-
íîé è ñïåêòðàëüíîé ôîðìå. Ïðèâåäåí ïðèìåð ìîäåëèðîâàíèÿ îáúåêòà ñ ðàñïðåäåëåííûìè
ïàðàìåòðàìè.
Ñïåêòðàëüíó òåîð³þ íåñòàö³îíàðíèõ ñèñòåì êåðóâàííÿ ðîçïîâñþäæåíî íà îá’ºêòè, ùî
îïèñóþòüñÿ äèôåðåíö³àëüíèìè ð³âíÿííÿìè ó ÷àñòêîâèõ ïîõ³äíèõ. Ðîçãëÿíóòî ïðàâèëà,
ÿê³ âñòàíîâëþþòü â³äïîâ³äí³ñòü ì³æ îïåðàö³ÿìè ó ïðîñòîðîâî-÷àñîâ³é òà ñïåêòðàëüí³é
ôîðì³. Íàâåäåíî ïðèêëàä ìîäåëþâàííÿ îá’ºêòà ç ðîçïîä³ëåíèìè ïàðàìåòðàìè.
K ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à: ìíîãîìåðíûå ñïåêòðàëüíûå õàðàêòåðèñòèêè, îáúåêòû ñ
ðàñïðåäåëåííûìè ïàðàìåòðàìè, ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå ìàòðèö, ïåðåäàòî÷íàÿ ôóíêöèÿ.
 ðàáîòàõ [1—6] ñïåêòðàëüíàÿ òåîðèÿ íåñòàöèîíàðíûõ ñèñòåì óïðàâëåíèÿ
[7] ðàñïðîñòðàíåíà íà îáúåêòû, îïèñûâàåìûå äèôôåðåíöèàëüíûìè óðàâ-
íåíèÿìè â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ.
Òåîðèÿ ïîçâîëÿåò ðåøàòü çàäà÷è ìîäåëèðîâàíèÿ è ïàðàìåòðè÷åñêîé
èäåíòèôèêàöèè îáúåêòîâ ñ ðàñïðåäåëåííûìè ïàðàìåòðàìè (ÎÐÏ), çàäàííûõ
íà ïðÿìîóãîëüíûõ îáëàñòÿõ. Îäíàêî ìíîãèå îáúåêòû, èìåþùèå ïðîñòðàíñò-
âåííîå ïðîòÿæåíèå, çàäàþòñÿ íå òîëüêî â ïðÿìîóãîëüíûõ ãðàíèöàõ. Â ðàáîòå
[6] îïèñàíû ðåçóëüòàòû ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñïåêòðàëüíîé òåîðèè íåñòàöèîíàð-
íûõ ñèñòåì óïðàâëåíèÿ íà ÎÐÏ, çàäàííûå íà íåïðÿìîóãîëüíîé îáëàñòè. Ïðè
ýòîì èñïîëüçîâàíû ñèñòåìû áàçèñíûõ ôóíêöèé, îðòîíîðìèðîâàííûõ ïî ïëî-
ùàäè. Òàêîé ïîäõîä óñëîæíÿåò âû÷èñëåíèå ñïåêòðàëüíûõ õàðàêòåðèñòèê
îïåðàòîðîâ äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ôóíêöèè íåñêîëüêèõ àðãóìåíòîâ.
Ðàññìîòðèì âîçìîæíîñòü èñïîëüçîâàíèÿ ðàíåå ðàçðàáîòàííîãî ìàòå-
ìàòè÷åñêîãî è ïðîãðàììíîãî îáåñïå÷åíèÿ ñïåêòðàëüíîé òåîðèè íåñòàöèî-
íàðíûõ ñèñòåì óïðàâëåíèÿ äëÿ îïèñàíèÿ ÎÐÏ, çàäàííûõ íà áîëåå ñëîæ-
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2011. Ò. 33. ¹ 1 47
íûõ îáëàñòÿõ. Ñóòü ìåòîäà çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ïðè ïîìîùè ïðåîáðà-
çîâàíèÿ ïðîñòðàíñòâåííûõ ïåðåìåííûõ íåïðÿìîóãîëüíàÿ îáëàñòü ïðå-
îáðàçóåòñÿ â ïðÿìîóãîëüíóþ. Èñõîäíîå óðàâíåíèå îáúåêòà çàïèñûâàåòñÿ ñ
íîâûìè ïåðåìåííûìè, ïîñëå ÷åãî âîçìîæíî ïðèìåíåíèå ñïåêòðàëüíîé
òåîðèè.
Ïóñòü íåêîòîðûé îáúåêò îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì òåïëîïðîâîäíîñòè
�
�
�
�
�
�
q
t
b
q
x
q
y
f� �
�
�
�
�
�2
2
2
2
2
,
(1)
ãäå q q x y t� ( , , ); f f x y t� ( , , ); t �0; b�0; âñå ôóíêöèè óäîâëåòâîðÿþò
íåîáõîäèìûì óñëîâèÿì ãëàäêîñòè; ôóíêöèÿ q x y t( , , ) äâàæäû äèôôåðåí-
öèðóåìà; x, y — ïðîñòðàíñòâåííûå ïåðåìåííûå, çàäàííûå íà òðåóãîëüíîé
îáëàñòè
G x y x y x y� � � �
{( , ) : , , }0 0 � , � �0. (2)
Ðåøåíèå äîëæíî óäîâëåòâîðÿòü íà÷àëüíîìó
q x y( , , )0 0� (3)
è ãðàíè÷íîìó
q x y t( , , ) � �0 (4)
óñëîâèÿì. Ââåäåíèåì íîâûõ ïåðåìåííûõ u, v, îïðåäåëÿåìûõ ôîðìóëàìè
u x y� � , v
y
x y
�
�
�
, (5)
òðåóãîëüíàÿ îáëàñòü G ïåðåâîäèòñÿ â ïðÿìîóãîëüíóþ:
D u v u v�
{( , ) : , }0 0� � . (6)
Èç (5) íàõîäèì
x
u v
�
�( )�
�
, y
uv
�
�
. (7)
Ñ ó÷åòîì ïðåîáðàçîâàíèÿ (7) óðàâíåíèå (1) çàïèøåì ñ íîâûìè ïåðå-
ìåííûìè. Äëÿ ýòîãî ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå
�
�
2
2
q
x
è
�
�
2
2
q
y
âûðàçèì ÷åðåç íîâûå
ïåðåìåííûå u è v. Ïî ïðàâèëó äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ñëîæíîé ôóíêöèè äâóõ
àðãóìåíòîâ ïîëó÷èì
�
�
�
�
�
�
q
x
q
u
v
u
q
v
� � ,
�
�
�
�
� �
�
q
y
q
u
v
u
q
v
� �
�
.
Þ. À. Êëåâöîâ
48 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2011. V. 33. ¹ 1
Ïðèìåíèâ ê ïðîèçâîäíûì
�
�
q
x
è
�
�
q
y
ïðàâèëî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ñëîæíîé
ôóíêöèè, ïîëó÷èì âûðàæåíèÿ äëÿ âòîðûõ ïðîèçâîäíûõ
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 2
q
x
q
u
v
u
q
v
v
u
q
u v
v
u
q
v
� � � � , (8)
�
�
�
�
� �
�
� � �
� �
� � �2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 2
q
y
q
u
v
u
q
v
v
u
q
u v
v
u
q
� �
�
� �
( )
�v
. (9)
Ïîäñòàâëÿÿ (8) è (9) â óðàâíåíèå (1) è ïðèâîäÿ ïîäîáíûå ÷ëåíû, ïîëó÷àåì
èñõîäíîå óðàâíåíèå â íîâûõ ïåðåìåííûõ:
�
�
�
�
� � �
�
� � �
� �
�q
t
b
q
u
v v
u
q
v
v
u
q
u v
v
� �
� �
� �2
05 22
2
2
2 2
2
2
2
2, ��
�
�
�
�
� �
� �
�u
q
v
f
2
. (10)
Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî óðàâíåíèå (10) ñ ïåðåìåííûìè u è v áîëåå ñëîæ-
íîå, ÷åì óðàâíåíèå (1), êîýôôèöèåíòû óðàâíåíèÿ (10) ñòàëè çàâèñåòü îò
ïðîñòðàíñòâåííûõ ïåðåìåííûõ.
Äëÿ òîãî ÷òîáû òðàíñôîðìèðîâàòü óðàâíåíèå (10) â ñïåêòðàëüíóþ
îáëàñòü, íåîáõîäèìî âîñïîëüçîâàòüñÿ ïðàâèëàìè, óñòàíàâëèâàþùèìè
ñîîòâåòñòâèå ìåæäó îïåðàöèÿìè â ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííîé è ñïåêò-
ðàëüíîé îáëàñòÿõ, à òàêæå ðàññìîòðåòü ìíîãîìåðíûå ñïåêòðàëüíûå õàðàê-
òåðèñòèêè (ÌÑÕ) ôóíêöèé íåñêîëüêèõ àðãóìåíòîâ.
Ïóñòü èìååòñÿ ñèñòåìà ìíîãîìåðíûõ îðòîíîðìèðîâàííûõ, â îáùåì
ñëó÷àå êîìïëåêñíûõ, ôóíêöèé { ( , , )}� ijk u v t â ïðîñòðàíñòâå L2, óäîâëåòâî-
ðÿþùèõ óñëîâèþ
000
T
ijk lmn
u v t u v t dudvdt��� �
��
� �* ( , , ) ( , , )
�
� � �
� � �
�
�
�
0
1
, ,
, .
åñëè èëè èëè
åñëè è è
i l j m k n
i l j m k n
Àðãóìåíòû u è v çàäàíû íà îáëàñòè (6), à âðåìåííîé àðãóìåíò t
èçìåíÿåòñÿ â ïðåäåëàõ 0
t T, ãäå T — íåêîòîðîå êîíå÷íîå çíà÷åíèå
âðåìåíè.
Ñèñòåìà ìíîãîìåðíûõ (òðåõìåðíûõ) áàçèñíûõ ôóíêöèé { }� ìîæåò
áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ ñèñòåì îäíîìåðíûõ áàçèñíûõ
ôóíêöèé { ( , , )} ( ) ( ) ( )� � � ijk i j ku v t u v t� , ãäå { ( )},{ ( )},{ ( )}� � i j ku v t —
ñèñòåìû îäíîìåðíûõ îðòîíîðìèðîâàííûõ íà îòðåçêàõ [0, �], [0, �], [0, T]
ôóíêöèé. Ýòè ôóíêöèè ìîãóò áûòü îäíîòèïíûìè.
Ìîäåëèðîâàíèå îáúåêòà ñ ðàñïðåäåëåííûìè ïàðàìåòðàìè
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2011. Ò. 33. ¹ 1 49
Ìíîãîìåðíûå ñïåêòðàëüíûå õàðàêòåðèñòèêè. Â ñïåêòðàëüíîé îáëàñ-
òè ôóíêöèè íåñêîëüêèõ àðãóìåíòîâ ïðåäñòàâëÿþòñÿ êàê ÌÑÕ. Íàïðèìåð,
åñëè q x y t( , , ) — ôóíêöèÿ òðåõ àðãóìåíòîâ — ïðîñòðàíñòâåííûõ, u è v
(0
u �,0
v �), è âðåìåííîãî, t (0
t T), — èíòåãðèðóåìà ñ êâàäðàòîì
000
2
T
q u v t dudvdt��� ! "
��
[ ( , , )] ,
òî ÌÑÕ îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
Q q u v t u v t dudvdtijk
T
i j k� ���
000
��
� � ( , , ) ( ) ( ) ( ) . (11)
Îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå îñóùåñòâëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
q u v t Q u v tijk
kji
i j k( , , ) ( ) ( ) ( )� ### � � . (12)
Îïåðàòîð îïðåäåëåíèÿ ÌÑÕ (11) îáîçíà÷èì S q u v t3[ ( , , )], à îáðàòíûé
îïåðàòîð (12) — S Qijk
�3[ ].
Äèôôåðåíöèðîâàíèå ôóíêöèè q u v t( , , ) ïî âðåìåííîìó àðãóìåíòó ñ
íóëåâûìè íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè â ñïåêòðàëüíîé îáëàñòè âûïîëíÿåì ïî
ôîðìóëå
S
q u v t
t
E E P Q3 �
�
( , , )
( )�
��
�
��
� $ $ , (13)
ãäå E — åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà; $ — ñèìâîë êðîíåêåðîâà èëè ïðÿìîãî
ïðîèçâåäåíèÿ ìàòðèö; P — ìàòðèöà ñïåêòðàëüíîé õàðàêòåðèñòèêè îïåðà-
òîðà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ [7].
Âòîðóþ ïðîèçâîäíóþ ôóíêöèè q u v t( , , )ïî àðãóìåíòó u ñ ó÷åòîì íóëå-
âûõ êðàåâûõ óñëîâèé ïåðâîãî ðîäà â ñïåêòðàëüíîé îáëàñòè íàõîäèì ïî
ôîðìóëå
S
q u v t
u
R E E Q3 �
�
�
�
( , , )
( )
�
�
�
�
�
� � $ $P , (14)
ãäå P — ìàòðèöà ñïåêòðàëüíîé õàðàêòåðèñòèêè îïåðàòîðà äèôôåðåíöèðî-
âàíèÿ, íå ó÷èòûâàþùåãî ãðàíè÷íûõ óñëîâèé [7]; R — ìàòðèöà ñïåêò-
ðàëüíîé õàðàêòåðèñòèêè îïåðàòîðà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ, ó÷èòûâàþùåãî
óñëîâèÿ íà ëåâîé è ïðàâîé ãðàíèöàõ [5].
Ñìåøàííóþ ïðîèçâîäíóþ ôóíêöèè q u v t( , , ) ñ ó÷åòîì íóëåâûõ êðàå-
âûõ óñëîâèé ïåðâîãî ðîäà â ñïåêòðàëüíîé îáëàñòè íàõîäèì ïî ôîðìóëå
S
q u v t
u v
R R E Q3 �
� �
� ( , , )
( )
�
�
�
�
�
� � $ $ . (15)
Þ. À. Êëåâöîâ
50 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2011. V. 33. ¹ 1
Ïåðâóþ è âòîðóþ ïðîèçâîäíûå ôóíêöèè q u v t( , , ) ïî àðãóìåíòó v ñ ó÷åòîì
íóëåâûõ êðàåâûõ óñëîâèé ïåðâîãî ðîäà â ñïåêòðàëüíîé îáëàñòè íàõîäèì
ïî ôîðìóëàì
S
q u v t
v
E R E Q3 �
�
( , , )
( )�
��
�
��
� $ $ , (16)
S
q u v t
v
E R E G3
2
�
�
� ( , , )
( )
�
�
�
�
�
� � $ $P . (17)
Óìíîæåíèå ôóíêöèé íåñêîëüêèõ àðãóìåíòîâ. Êîýôôèöèåíòû óðàâ-
íåíèÿ (10) ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè ïðîñòðàíñòâåííûõ àðãóìåíòîâ. Ïîýòîìó
ðàññìîòðèì ïðàâèëî, ïîçâîëÿþùåå âû÷èñëÿòü ïðîèçâåäåíèå ôóíêöèé íå-
ñêîëüêèõ àðãóìåíòîâ â ñïåêòðàëüíîé îáëàñòè íà íàèáîëåå îáùåì ïðèìåðå.
Åñëè òðåáóåòñÿ íàéòè ñïåêòðàëüíóþ õàðàêòåðèñòèêó ïðîèçâåäåíèÿ ôóíê-
öèè f u v q u v t( , ) ( , , ), à ôóíêöèÿ èìååò âèä f u v a u b v( , ) ( ) ( )� , òî íåîáõî-
äèìî âîñïîëüçîâàòüñÿ ïðàâèëîì
S a u b v q u v t A B E Q3[ ( ) ( ) ( , , )] ( )� $ $ , (18)
ãäå A è B — ìàòðèöû ñïåêòðàëüíûõ õàðàêòåðèñòèê ìíîæèòåëåé ñîîòâåòñò-
âåííî a u( ) è b v( ). Ýòè ñïåêòðàëüíûå õàðàêòåðèñòèêè âû÷èñëÿåì ïî ôîð-
ìóëàì [7]
A u u a u duij i� �
0
�
� �* ( ) ( ) ( ) , (19)
B v v b v dvij i� �
0
�
� �* ( ) ( ) ( ) . (20)
Àëãîðèòì ìîäåëèðîâàíèÿ. Èñïîëüçóÿ (13) — (18), óðàâíåíèå (10) çà-
ïèøåì â ñïåêòðàëüíîé îáëàñòè:
( ) [( ) ( ) ( )E E P Q b R E E Q A B E E R E Q$ $ � $ $ � $ $ $ $ �2 2
1 1P P
� $ $ $ $ � $ $ $ $ �( ) ( ) ( ) ( ) ]A B E R R E Q A B E E R E Q F2 2 1 3 , (21)
ãäå F S f u v t� 3[ ( , , )]; A1, A2, B1, B2, B3 — ñïåêòðàëüíûå õàðàêòåðèñòèêè
ìíîæèòåëåé ñîîòâåòñòâåííî 1 2/ u , 1/ u, v v2 20 5� �� �, ,� �2v, 2v ��.
Ó÷èòûâàÿ ñâîéñòâî ïðÿìîãî ïðîèçâåäåíèÿ ìàòðèö [8] è ïåðåíîñÿ ÷ëå-
íû óðàâíåíèÿ (21) ïðè ìàòðèöå Q â ëåâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ, ïîëó÷àåì
( ) [( ) ( )E E P Q b R E E Q A B R E Q$ $ � $ $ � $ $ �2 2
1 1P P
� $ $ � $ $ �( ) ( ) ]A R B R E Q A B R E Q F2 2 1 3 . (22)
Ìîäåëèðîâàíèå îáúåêòà ñ ðàñïðåäåëåííûìè ïàðàìåòðàìè
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2011. Ò. 33. ¹ 1 51
Ìàòðè÷íîå óðàâíåíèå (22) ìîæåò áûòü ðåøåíî îòíîñèòåëüíî èñêîìîé
ìàòðèöû Q:
Q W F� �1 , (23)
ãäå
W E E P b R E E A B R E� $ $ � $ $ � $ $ �2 2
1 1(P P
� $ $ � $ $A R B R E A B R E2 2 1 3 ) .
Èñïîëüçîâàâ ôîðìóëó îáðàùåíèÿ (12), à òàêæå ôîðìóëû (5), íàéäåì
èñêîìóþ ôóíêöèþ q u v t( , , ).
Ïîäñòàíîâêà óñå÷åííûõ ìàòðèö â ôîðìóëû, ñâÿçûâàþùèå áåñêîíå÷-
íûå ìàòðèöû, ïðèâîäèò ê ïîãðåøíîñòè âû÷èñëåíèé. Äëÿ êîíòðîëÿ òî÷-
íîñòè âû÷èñëåíèé óâåëè÷èâàþò ïîðÿäîê èñïîëüçóåìûõ ìàòðèö. Åñëè ïðè
ýòîì çíà÷åíèå ðåçóëüòàòà èçìåíÿåòñÿ â ïðåäåëàõ çàäàííîé ïîãðåøíîñòè,
òî ñëåäóåò ñ÷èòàòü, ÷òî ðàçìåð èñïîëüçóåìûõ ìàòðèö äîñòàòî÷åí.
Äëÿ îöåíêè ðàáîòîñïîñîáíîñòè ìåòîäà ðàññìîòðèì ÷èñëåííûé ïðè-
ìåð è ñðàâíèì ðåçóëüòàòû ìîäåëèðîâàíèÿ ñ òî÷íûì ðåøåíèåì.
×èñëåííûé ïðèìåð. Ïóñòü äëÿ óðàâíåíèÿ (1) ñ íóëåâûìè íà÷àëü-
íûìè (3) è ãðàíè÷íûìè (4) óñëîâèÿìè, çàäàííûìè íà îáëàñòè (2),
b �1, � �1, f x y t x y xy xy t x y( , , ) [ ( )]� � � � � �100 22 2 , T �1.
Îò ïåðåìåííûõ x, y ïåðåéäåì ê ïåðåìåííûì u, v è, èñïîëüçîâàâ ôîð-
ìóëó (7), ïîëó÷èì
f u v t u v u v u v u v ut( , , ) ( )� � � � � �100 23 3 2 2 2 2 .
 êà÷åñòâå áàçèñíûõ ôóíêöèé èñïîëüçóåì ïðîèçâåäåíèå îäíîìåðíûõ
îðòîíîðìèðîâàííûõ íà èíòåðâàëå [0, 1] ïîëèíîìîâ Ëåæàíäðà. Ïîðÿäîê
ìàòðèö ðàâåí äåâÿòè. ×èñëåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèö ñïåêòðàëüíûõ õàðàêòå-
ðèñòèê P, P, R ïðèâåäåíû â [5, 7]. Ìíîãîìåðíóþ ñïåêòðàëüíóþ õàðàêòå-
ðèñòèêó F S f u v t� 3[ ( , , )] âû÷èñëÿåì ïî ôîðìóëå (11), ñïåêòðàëüíûå õà-
ðàêòåðèñòèêè ìíîæèòåëåé A1, A2, B1, B2, B3 — ïî ôîðìóëàì (19), (20).
Ðåøàÿ ñèñòåìó ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé (23), ïîëó÷àåì
ÌÑÕ ôóíêöèè Q. Ïî ôîðìóëå îáðàùåíèÿ (12) âû÷èñëÿåì ôóíêöèþ
q u v t( , , ). Íàïðèìåð, äëÿ t �0 5, ýòà ôóíêöèÿ èìååò âèä
q u v( , , , )
, , ,
, , ,0 5
0 0 0 0 0
0 0 439 0 586 0 439 0
0 1172 1562 1172 0�
0 1318 1758 1318 0
0 0 0 0 0
, , ,
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
, (24)
Þ. À. Êëåâöîâ
52 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2011. V. 33. ¹ 1
Ìîäåëèðîâàíèå îáúåêòà ñ ðàñïðåäåëåííûìè ïàðàìåòðàìè
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2011. Ò. 33. ¹ 1 53
u v x y q Ýòàëîí
0
0
0
0
0
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,75
0,75
0,75
0,75
0,75
1
1
1
1
1
0
0,25
0,5
0,75
1
0
0,25
0,5
0,75
1
0
0,25
0,5
0,75
1
0
0,25
0,5
0,75
1
0
0,25
0,5
0,75
1
0
0
0
0
0
0,25
0,188
0,125
0,063
0
0,5
0,375
0,25
0,125
0
0,75
0,563
0,375
0,188
0
1
0,75
0,5
0,25
0
0
0
0
0
0
0
0,063
0,125
0,188
0,25
0
0,125
0,25
0,375
0,5
0
0,188
0,375
0,563
0,75
0
0,25
0,5
0,75
1
0
0
0
0
0
0
0,4394
0,5859
0,4394
0
0
1,1718
1,5624
1,1718
0
0
1,3183
1,7578
1,3183
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0,4395
0,586
0,4395
0
0
1,11719
1,5625
1,11719
0
0
1,3184
1,7579
1,3184
0
0
0
0
0
0
q
x
y
ãäå àðãóìåíò u èçìåíÿåòñÿ ïî ñòðîêàì ñ äèñêðåòíîñòüþ 0,25, à àðãóìåíò v —
ïî ñòîëáöàì ñ äèñêðåòíîñòüþ 0,25. Äëÿ t �1 ôóíêöèÿ (24) èìååò ñëåäóþ-
ùèé âèä:
q u v( , , )
, , ,
, , ,1
0 0 0 0 0
0 0 879 1172 0 879 0
0 2 344 3125 2 344 0
0 2
�
, , ,637 3 516 2 637 0
0 0 0 0 0
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
.
Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (5), ïîëó÷àåì çíà÷åíèÿ èñêîìîé ôóíêöèè îòíî-
ñèòåëüíî àðãóìåíòîâ x, y, t. Ãðàôèê ôóíêöèè q u v( , , , )0 5 ïðåäñòàâëåí íà
ðèñóíêå, a ïîëó÷åííûå çíà÷åíèÿ îòíîñèòåëüíî àðãóìåíòîâ x, y, t ïðè t =
= 0,5 ïðèâåäåíû â òàáëèöå, â êîòîðîé òàêæå óêàçàíû çíà÷åíèÿ ýòàëîííîãî
ðåøåíèÿ q xy x y t0 1� � � �( ) .
Âûâîäû. Òàêèì îáðàçîì, ïðåîáðàçîâàíèå àðãóìåíòîâ — óäîáíûé
ìåòîä, ïîçâîëÿþùèé ïðèìåíèòü ñïåêòðàëüíóþ òåîðèþ äëÿ ìîäåëèðîâà-
íèÿ ÎÐÏ, çàäàííûõ íà íåïðÿìîóãîëüíîé îáëàñòè. Ñðàâíåíèå ðåçóëüòàòîâ
ìîäåëèðîâàíèÿ ñ òî÷íûì ðåøåíèåì ñâèäåòåëüñòâóåò î òîì, ÷òî ïîãðåø-
íîñòü ìåòîäà î÷åíü ìàëà.
Ïðèìåíåíèå àïïàðàòà êðîíåêåðîâîãî èëè ïðÿìîãî ïðîèçâåäåíèÿ ìàò-
ðèö ÿâëÿåòñÿ óäîáíûì ñïîñîáîì çàïèñè àëãåáðàè÷åñêèõ ñâÿçåé â ñïåêò-
ðàëüíîé ìîäåëè ÎÐÏ. Ìàòðèöû Qijk è Fijk ïðåäñòàâëÿþòñÿ â âèäå ìàòðèö
ñòîëáöîâ. Òàêîå ïðåîáðàçîâàíèå îñóùåñòâëÿåòñÿ ïîñðåäñòâîì îáõîäà ñíà-
÷àëà ïî èíäåêñó i, çàòåì ïî j è ïî k. Ìàòðèöà W, ñîñòîÿùàÿ èç ïðÿìîãî
ïðîèçâåäåíèÿ êâàäðàòíûõ ìàòðèö, åñòü êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà [8].
Ðåøåíèþ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ â
ñïåêòðàëüíîé îáëàñòè ñîîòâåòñòâóåò ðåøåíèå àëãåáðàè÷åñêèõ ìàòðè÷íûõ
óðàâíåíèé. Ýòî óïðîùàåò ðåøåíèå çàäà÷ èäåíòèôèêàöèè, ìîäåëèðîâàíèÿ,
ñèíòåçà óïðàâëÿþùèõ óñòðîéñòâ.
Ìåòîä óäîáåí â ïðîãðàììèðîâàíèè, òàê êàê èñïîëüçóþòñÿ îïåðàöèè ñ
êâàäðàòíûìè ìàòðèöàìè (ñëîæåíèå, ïåðåìíîæåíèå, îáðàùåíèå).
Spectral theory of nonstationary control system is spread to the objects described by partial dif-
ferential equations. The rules establishing the correspondence between operations in the space-
time and spectral form have been considered. An example of modeling the object with distributed
parameters is presented.
1. Êðàñêåâè÷ Â. Å., Êëåâöîâ Þ. À. Ñïåêòðàëüíûé ìåòîä ñòðóêòóðíî-ïàðàìåòðè÷åñêîé
èäåíòèôèêàöèè îáúåêòîâ ñ ðàñïðåäåëåííûìè ïàðàìåòðàìè. //Âåñòí. Êèåâcêîãî ïîëè-
òåõíè÷åñêîãî èí-òà. Ñåð. Òåõíè÷åñêàÿ êèáåðíåòèêà. Âûï. 5. — Êèåâ : Âèùà øêîëà,
1981. — Ñ. 10—12.
Þ. À. Êëåâöîâ
54 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2011. V. 33. ¹ 1
2. Êðàñêåâè÷ Â. Å., Êëåâöîâ Þ. À. Ñïåêòðàëüíûé ìåòîä â çàäà÷å ñòðóêòóðíûõ ïðåîáðàçî-
âàíèé ÎÐÏ // Èçâ. ÂÓÇîâ. Ïðèáîðîñòðîåíèå. — 1985. — ¹ 6. — Ñ. 9—13.
3. Êëåâöîâ Þ. À. Ñïåêòðàëüíîå îïèñàíèå îáúåêòîâ ñ ðàñïðåäåëåííûìè ïàðàìåòðàìè //
Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. — 1988. — 10, ¹ 3. — Ñ. 27—31.
4. Êëåâöîâ Þ. À. Àëãîðèòì ðåøåíèÿ ÑËÀÓ â ñïåêòðàëüíûõ ìîäåëÿõ îáúåêòîâ ñ ðàñïðå-
äåëåííûìè ïàðàìåòðàìè // Òàì æå. — 1998. — 20, ¹ 2. — Ñ. 22—27.
5. Êëåâöîâ Þ. À. Àëãîðèòì ìîäåëèðîâàíèÿ êðàåâîé çàäà÷è òðåòüåãî ðîäà // Òàì æå. —
2001. — 23, ¹ 3. — Ñ. 40—46.
6. Êëåâöîâ Þ. À. Àëãîðèòì ìîäåëèðîâàíèÿ ïàðàáîëè÷åñêîãî îáúåêòà, çàäàííîãî íà íåïðÿ-
ìîóãîëüíîé îáëàñòè // Óïðàâëÿþùèå ñèñòåìû è ìàøèíû. — 1999. — ¹ 4. — Ñ. 13— 17.
7. Ñîëîäîâíèêîâ Â. Â., Ñåìåíîâ Â. Â. Ñïåêòðàëüíàÿ òåîðèÿ íåñòàöèîíàðíûõ ñèñòåì
óïðàâëåíèÿ. — Ì. : Íàóêà, 1974. — 335 ñ.
8. Ëàíêàñòåð Ï. Òåîðèÿ ìàòðèö. — Ì. : Íàóêà, 1978. — 280 ñ.
Ïîñòóïèëà 09.08.10
ÊËÅÂÖΠÞðèé Àëåêñååâè÷, êàíä. òåõí. íàóê.  1973 ã. îêîí÷èë Êèåâñêèé ïîëèòåõíè÷åñêèé
èí-ò. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — îáúåêòû ñ ðàñïðåäåëåííûìè ïàðàìåòðàìè, ñïåêò-
ðàëüíàÿ òåîðèÿ íåñòàöèîíàðíûõ ñèñòåì óïðàâëåíèÿ, çàäà÷è ìîäåëèðîâàíèÿ è èäåíòèôèêàöèè.
Ìîäåëèðîâàíèå îáúåêòà ñ ðàñïðåäåëåííûìè ïàðàìåòðàìè
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2011. Ò. 33. ¹ 1 55
ÏÅÐÅÄÏËÀÒÀ-2011
Îôîðìèòè ïåðåäïëàòó íà íàø æóðíàë ìîæíà ÷åðåç ïåðåäïëàòíå
àãåíòñòâî «ÓÊвÍÔÎÐÌÍÀÓÊÀ»:
âóë. Âîëîäèìèðñüêà, 54, ê³ìí. 141, Êè¿â-30, 01601;
E-mail: innovation@ nas.gov.ua;
òåë./ôàêñ 380 (044) 239-64-57, ìîá. +380 (050) 154-77-83.
 Ðîññèè ñëåäóåò îáðàùàòüñÿ â ÎÎÎ «Èíôîðìíàóêà»:
óë. Óñèåâè÷à, 20, ã. Ìîñêâà, 125190, Ðîññèÿ;
E-mail: perova@viniti.ru;
òåë.: 007 (495) 787-38-73, ôàêñ: 007 (499) 152-54-81.
56 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2011. V. 33. ¹ 1
<<
/ASCII85EncodePages false
/AllowTransparency false
/AutoPositionEPSFiles true
/AutoRotatePages /None
/Binding /Left
/CalGrayProfile (Dot Gain 20%)
/CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CalCMYKProfile (U.S. Web Coated \050SWOP\051 v2)
/sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CannotEmbedFontPolicy /Error
/CompatibilityLevel 1.4
/CompressObjects /Tags
/CompressPages true
/ConvertImagesToIndexed true
/PassThroughJPEGImages true
/CreateJDFFile false
/CreateJobTicket false
/DefaultRenderingIntent /Default
/DetectBlends true
/DetectCurves 0.0000
/ColorConversionStrategy /CMYK
/DoThumbnails false
/EmbedAllFonts true
/EmbedOpenType false
/ParseICCProfilesInComments true
/EmbedJobOptions true
/DSCReportingLevel 0
/EmitDSCWarnings false
/EndPage -1
/ImageMemory 1048576
/LockDistillerParams false
/MaxSubsetPct 100
/Optimize true
/OPM 1
/ParseDSCComments true
/ParseDSCCommentsForDocInfo true
/PreserveCopyPage true
/PreserveDICMYKValues true
/PreserveEPSInfo true
/PreserveFlatness true
/PreserveHalftoneInfo false
/PreserveOPIComments true
/PreserveOverprintSettings true
/StartPage 1
/SubsetFonts true
/TransferFunctionInfo /Apply
/UCRandBGInfo /Preserve
/UsePrologue false
/ColorSettingsFile ()
/AlwaysEmbed [ true
]
/NeverEmbed [ true
]
/AntiAliasColorImages false
/CropColorImages true
/ColorImageMinResolution 300
/ColorImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleColorImages true
/ColorImageDownsampleType /Bicubic
/ColorImageResolution 300
/ColorImageDepth -1
/ColorImageMinDownsampleDepth 1
/ColorImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeColorImages true
/ColorImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterColorImages true
/ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG
/ColorACSImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/ColorImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/JPEG2000ColorACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/JPEG2000ColorImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/AntiAliasGrayImages false
/CropGrayImages true
/GrayImageMinResolution 300
/GrayImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleGrayImages true
/GrayImageDownsampleType /Bicubic
/GrayImageResolution 300
/GrayImageDepth -1
/GrayImageMinDownsampleDepth 2
/GrayImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeGrayImages true
/GrayImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterGrayImages true
/GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG
/GrayACSImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/GrayImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/JPEG2000GrayACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/JPEG2000GrayImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/AntiAliasMonoImages false
/CropMonoImages true
/MonoImageMinResolution 1200
/MonoImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleMonoImages true
/MonoImageDownsampleType /Bicubic
/MonoImageResolution 1200
/MonoImageDepth -1
/MonoImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeMonoImages true
/MonoImageFilter /CCITTFaxEncode
/MonoImageDict <<
/K -1
>>
/AllowPSXObjects false
/CheckCompliance [
/None
]
/PDFX1aCheck false
/PDFX3Check false
/PDFXCompliantPDFOnly false
/PDFXNoTrimBoxError true
/PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXSetBleedBoxToMediaBox true
/PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXOutputIntentProfile ()
/PDFXOutputConditionIdentifier ()
/PDFXOutputCondition ()
/PDFXRegistryName ()
/PDFXTrapped /False
/Description <<
/CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e9ad88d2891cf76845370524d53705237300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002>
/CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc9ad854c18cea76845370524d5370523786557406300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002>
/DAN <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>
/DEU <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>
/ESP <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>
/FRA <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>
/ITA <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>
/JPN <FEFF9ad854c18cea306a30d730ea30d730ec30b951fa529b7528002000410064006f0062006500200050004400460020658766f8306e4f5c6210306b4f7f75283057307e305930023053306e8a2d5b9a30674f5c62103055308c305f0020005000440046002030d530a130a430eb306f3001004100630072006f0062006100740020304a30883073002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee5964d3067958b304f30533068304c3067304d307e305930023053306e8a2d5b9a306b306f30d530a930f330c8306e57cb30818fbc307f304c5fc59808306730593002>
/KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020ace0d488c9c80020c2dcd5d80020c778c1c4c5d00020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e>
/NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken die zijn geoptimaliseerd voor prepress-afdrukken van hoge kwaliteit. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.)
/NOR <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>
/PTB <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>
/SUO <FEFF004b00e40079007400e40020006e00e40069007400e4002000610073006500740075006b007300690061002c0020006b0075006e0020006c0075006f00740020006c00e400680069006e006e00e4002000760061006100740069007600610061006e0020007000610069006e006100740075006b00730065006e002000760061006c006d0069007300740065006c00750074007900f6006800f6006e00200073006f00700069007600690061002000410064006f0062006500200050004400460020002d0064006f006b0075006d0065006e007400740065006a0061002e0020004c0075006f0064007500740020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e00740069007400200076006f0069006400610061006e0020006100760061007400610020004100630072006f0062006100740069006c006c00610020006a0061002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030003a006c006c00610020006a006100200075007500640065006d006d0069006c006c0061002e>
/SVE <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>
/ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents best suited for high-quality prepress printing. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.)
>>
/Namespace [
(Adobe)
(Common)
(1.0)
]
/OtherNamespaces [
<<
/AsReaderSpreads false
/CropImagesToFrames true
/ErrorControl /WarnAndContinue
/FlattenerIgnoreSpreadOverrides false
/IncludeGuidesGrids false
/IncludeNonPrinting false
/IncludeSlug false
/Namespace [
(Adobe)
(InDesign)
(4.0)
]
/OmitPlacedBitmaps false
/OmitPlacedEPS false
/OmitPlacedPDF false
/SimulateOverprint /Legacy
>>
<<
/AddBleedMarks false
/AddColorBars false
/AddCropMarks false
/AddPageInfo false
/AddRegMarks false
/ConvertColors /ConvertToCMYK
/DestinationProfileName ()
/DestinationProfileSelector /DocumentCMYK
/Downsample16BitImages true
/FlattenerPreset <<
/PresetSelector /MediumResolution
>>
/FormElements false
/GenerateStructure false
/IncludeBookmarks false
/IncludeHyperlinks false
/IncludeInteractive false
/IncludeLayers false
/IncludeProfiles false
/MultimediaHandling /UseObjectSettings
/Namespace [
(Adobe)
(CreativeSuite)
(2.0)
]
/PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK
/PreserveEditing true
/UntaggedCMYKHandling /LeaveUntagged
/UntaggedRGBHandling /UseDocumentProfile
/UseDocumentBleed false
>>
]
>> setdistillerparams
<<
/HWResolution [2400 2400]
/PageSize [612.000 792.000]
>> setpagedevice
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-61728 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0204-3572 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:37:00Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Клевцов, Ю.А. 2014-05-10T20:03:00Z 2014-05-10T20:03:00Z 2011 Моделирование объекта с распределенными параметрами, заданного на непрямоугольной области / Ю.А. Клевцов // Электронное моделирование. — 2011 — Т. 33, № 1. — С. 47-55. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 0204-3572 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/61728 681.5.015: 519.63 Спектральная теория нестационарных систем управления распространена на объекты, описываемые дифференциальными уравнениями в частных производных. Рассмотрены правила, устанавливающие соответствие между операциями в пространственно-временной и спектральной форме. Приведен пример моделирования объекта с распределенными параметрами. Спектральну теорію нестаціонарних систем керування розповсюджено на об’єкти, що описуються диференціальними рівняннями у часткових похідних. Розглянуто правила, які встановлюють відповідність між операціями у просторово-часовій та спектральній формі. Наведено приклад моделювання об’єкта з розподіленими параметрами. Spectral theory of nonstationary control system is spread to the objects described by partial differential equations. The rules establishing the correspondence between operations in the spacetime and spectral form have been considered. An example of modeling the object with distributed parameters is presented. ru Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України Электронное моделирование Математические методы и модели Моделирование объекта с распределенными параметрами, заданного на непрямоугольной области Article published earlier |
| spellingShingle | Моделирование объекта с распределенными параметрами, заданного на непрямоугольной области Клевцов, Ю.А. Математические методы и модели |
| title | Моделирование объекта с распределенными параметрами, заданного на непрямоугольной области |
| title_full | Моделирование объекта с распределенными параметрами, заданного на непрямоугольной области |
| title_fullStr | Моделирование объекта с распределенными параметрами, заданного на непрямоугольной области |
| title_full_unstemmed | Моделирование объекта с распределенными параметрами, заданного на непрямоугольной области |
| title_short | Моделирование объекта с распределенными параметрами, заданного на непрямоугольной области |
| title_sort | моделирование объекта с распределенными параметрами, заданного на непрямоугольной области |
| topic | Математические методы и модели |
| topic_facet | Математические методы и модели |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/61728 |
| work_keys_str_mv | AT klevcovûa modelirovanieobʺektasraspredelennymiparametramizadannogonaneprâmougolʹnoioblasti |