Метод вычислительных экспериментов для решения интегральных уравнений в обратной задаче спектроскопии
Рассмотрен метод модельных примеров для выбора параметра регуляризации. На основе способа моделирования построен вычислительный алгоритм решения интегральных уравнений Фредгольма I рода и разработана его программная реализация в среде MatLab. Эффективность предложенного подхода проверена на примере...
Saved in:
| Published in: | Электронное моделирование |
|---|---|
| Date: | 2011 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
2011
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/61749 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Метод вычислительных экспериментов для решения интегральных уравнений в обратной задаче спектроскопии / А.Ф. Верлань, B.C. Сизиков, Л.В. Мосенцова // Электронное моделирование. — 2011 — Т. 33, № 2. — С. 3-12. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860040635807956992 |
|---|---|
| author | Верлань, А.Ф. Сизиков, B.C. Мосенцова, Л.В. |
| author_facet | Верлань, А.Ф. Сизиков, B.C. Мосенцова, Л.В. |
| citation_txt | Метод вычислительных экспериментов для решения интегральных уравнений в обратной задаче спектроскопии / А.Ф. Верлань, B.C. Сизиков, Л.В. Мосенцова // Электронное моделирование. — 2011 — Т. 33, № 2. — С. 3-12. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Электронное моделирование |
| description | Рассмотрен метод модельных примеров для выбора параметра регуляризации. На основе способа моделирования построен вычислительный алгоритм решения интегральных уравнений Фредгольма I рода и разработана его программная реализация в среде MatLab. Эффективность предложенного подхода проверена на примере решения обратной задачи спектроскопии.
Розглянуто метод модельних прикладів для вибору параметра регуляризації. На основі способу моделювання побудовано обчислювальний алгоритм розв’язку інтегральних рівнянь Фредгольма I роду та розроблено його програмну реалізацію в середовищі MatLab. Ефективність запропонованого підходу перевірено на прикладі розв’язання оберненої задачі спектроскопії.
A method of model examples for choice of regularization parameter is considered in the paper. The computational algorithm for solving the Fredholm I kind integral equations is composed as based on the modeling method. The software implementation in the MatLab is developed for the suggested algorithm. The efficiency of theoretical results is tested by solving the inverse spectroscopy problem.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:55:28Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.6
À. Ô. Âåðëàíü *, Â. Ñ. Ñèçèêîâ **, äîêòîðà òåõí. íàóê,
Ë. Â. Ìîñåíöîâà *, àñïèðàíòêà
*Èí-ò ïðîáëåì ìîäåëèðîâàíèÿ â ýíåðãåòèêå èì. Ã. Å. Ïóõîâà ÍÀÍ Óêðàèíû
(Óêðàèíà, 03164, Êèåâ, óë. Ãåíåðàëà Íàóìîâà, 15,
òåë. (044) 4243541, E-mail: a.f.verlan@gmail.com),
** Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêèé ãîñóäàðñòâåííûé
óíèâåðñèòåò èíôîðìàöèîííûõ òåõíîëîãèé, ìåõàíèêè è îïòèêè
(Ðîññèÿ, 197101, Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, Êðîíâåðêñêèé ïð-ò, ä.49,
òåë. (812)233-59-52, E-mail: sizikov2000@mail.ru)
Ìåòîä âû÷èñëèòåëüíûõ ýêñïåðèìåíòîâ
äëÿ ðåøåíèÿ èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé
â îáðàòíîé çàäà÷å ñïåêòðîñêîïèè *
(Ñòàòüþ ïðåäñòàâèë ä-ð òåõí. íàóê Ñ. Ä. Âèííè÷óê)
Ðàññìîòðåí ìåòîä ìîäåëüíûõ ïðèìåðîâ äëÿ âûáîðà ïàðàìåòðà ðåãóëÿðèçàöèè. Íà îñíîâå
ñïîñîáà ìîäåëèðîâàíèÿ ïîñòðîåí âû÷èñëèòåëüíûé àëãîðèòì ðåøåíèÿ èíòåãðàëüíûõ óðàâ-
íåíèé Ôðåäãîëüìà I ðîäà è ðàçðàáîòàíà åãî ïðîãðàììíàÿ ðåàëèçàöèÿ â ñðåäå MatLab. Ýôôåê-
òèâíîñòü ïðåäëîæåííîãî ïîäõîäà ïðîâåðåíà íà ïðèìåðå ðåøåíèÿ îáðàòíîé çàäà÷è
ñïåêòðîñêîïèè.
Ðîçãëÿíóòî ìåòîä ìîäåëüíèõ ïðèêëàä³â äëÿ âèáîðó ïàðàìåòðà ðåãóëÿðèçàö³¿. Íà îñíîâ³
ñïîñîáó ìîäåëþâàííÿ ïîáóäîâàíî îá÷èñëþâàëüíèé àëãîðèòì ðîçâ’ÿçêó ³íòåãðàëüíèõ ð³â-
íÿíü Ôðåäãîëüìà I ðîäó òà ðîçðîáëåíî éîãî ïðîãðàìíó ðåàë³çàö³þ â ñåðåäîâèù³ MatLab.
Åôåêòèâí³ñòü çàïðîïîíîâàíîãî ï³äõîäó ïåðåâ³ðåíî íà ïðèêëàä³ ðîçâ’ÿçàííÿ îáåðíåíî¿
çàäà÷³ ñïåêòðîñêîﳿ.
Ê ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à: ìåòîä ìîäåëüíûõ ïðèìåðîâ, èíòåãðàëüíûå óðàâíåíèÿ Ôðåäãîëüìà ²
ðîäà, ìåòîä Òèõîíîâà, ïàðàìåòð ðåãóëÿðèçàöèè.
Ðàçëè÷íûå ïðèêëàäíûå çàäà÷è (âîññòàíîâëåíèÿ èçîáðàæåíèé è ñèãíàëîâ,
ñïåêòðîñêîïèè, òîìîãðàôèè è äð.) [1—5] ÷àñòî îïèñûâàþòñÿ èíòåãðàëü-
íûìè óðàâíåíèÿìè Ôðåäãîëüìà ² ðîäà. Ñëîæíîñòè, âîçíèêàþùèå ïðè
ðåøåíèè òàêèõ óðàâíåíèé, ñâÿçàíû ñ íåêîððåêòíîñòüþ çàäà÷è èõ ðåøåíèÿ.
Ðàçðàáîòàí ðÿä óñòîé÷èâûõ ìåòîäîâ ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è [1—8]: ìåòîä
ðåãóëÿðèçàöèè Òèõîíîâà, ìåòîä ôèëüòðàöèè Âèíåðà, ìåòîäû èòåðàòèâíîé
ðåãóëÿðèçàöèè, ìåòîäû ñòàòèñòè÷åñêîé ðåãóëÿðèçàöèè è äð.
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2011. Ò. 33. ¹ 2 3
ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÅ
ÌÅÒÎÄÛ È ÌÎÄÅËÈ
* Ðàáîòà âûïîëíåíà ïðè ÷àñòè÷íîé ïîääåðæêå Ðîññèéñêîãî ôîíäà ôóíäàìåíòàëüíûõ
èññëåäîâàíèé (ãðàíò ¹ 09-08-00034à).
 ìåòîäå ðåãóëÿðèçàöèè Òèõîíîâà âàæíûì ÿâëÿåòñÿ âûáîð ïàðàìåòðà
ðåãóëÿðèçàöèè �. Ñóùåñòâóåò ðÿä ñïîñîáîâ åãî âûáîðà [2—11]: ñïîñîá
íåâÿçêè, îáîáùåííûé ïðèíöèï íåâÿçêè, ñïîñîá îòíîøåíèÿ, ìåòîä ïå-
ðåêðåñòíîé çíà÷èìîñòè, ëîêàëüíûé ðåãóëÿðèçèðóþùèé àëãîðèòì, ñïîñîá
ïîäáîðà è äð.
Ðàññìîòðèì ïðèìåíåíèå ñïîñîáà ìîäåëüíûõ (ýòàëîííûõ) ïðèìåðîâ,
èëè ñïîñîáà ìîäåëèðîâàíèÿ [4, 12] ê ðåøåíèþ îáðàòíîé çàäà÷è ñïåêòðî-
ñêîïèè è äðóãèì çàäà÷àì. Ïîñêîëüêó ýòîò ñïîñîá îñíîâàí íà ïðîâåäåíèè
âû÷èñëèòåëüíûõ ýêñïåðèìåíòîâ, áóäåì íàçûâàòü åãî òàêæå ñïîñîáîì âû-
÷èñëèòåëüíûõ ýêñïåðèìåíòîâ [13].
Ìàòåìàòè÷åñêèå ïðåäïîñûëêè ñïîñîáà âû÷èñëèòåëüíûõ ýêñïåðè-
ìåíòîâ. Âûâåäåì îñíîâíûå ñîîòíîøåíèÿ (ñ íåêîòîðûìè èçìåíåíèÿìè è
äîïîëíåíèÿìè), íåîáõîäèìûå äëÿ îáîñíîâàíèÿ ñïîñîáà ìîäåëèðîâàíèÿ
[4, 12]. Ýòî, â ïåðâóþ î÷åðåäü, îöåíêè ïîãðåøíîñòè ðåãóëÿðèçîâàííîãî
ðåøåíèÿ.
Ðàññìîòðèì îïåðàòîðíîå óðàâíåíèå I ðîäà:
Ay f� , y Y� , f F� , (1)
ãäå y è f — èñêîìûé è çàäàííûé ýëåìåíòû ãèëüáåðòîâûõ ïðîñòðàíñòâ Y
è F; A — ëèíåéíûé îãðàíè÷åííûé îïåðàòîð èç Y â F. Îïåðàòîð A íå
ïðåäïîëàãàåòñÿ íåïðåðûâíî îáðàòèìûì, ò.å. çàäà÷à, ïðåäñòàâëåííàÿ óðàâ-
íåíèåì (1), ÿâëÿåòñÿ íåêîððåêòíîé. Âìåñòî òî÷íûõ çíà÷åíèé f è A èçâåñò-
íû èõ ïðèáëèæåíèÿ
~
f è
~
A òàêèå, ÷òî
~
f f� � �,
~
A A� � �.
 ìåòîäå Òèõîíîâà ðåãóëÿðèçàöèè íóëåâîãîãî ïîðÿäêà âìåñòî óðàâíå-
íèÿ (1) ðåøàåòñÿ óðàâíåíèå Ýéëåðà [4, 7]:
� � �y A Ay A f �
~ ~ ~* * , (2)
ãäå �
0 — ïàðàìåòð ðåãóëÿðèçàöèè;
~*A — îïåðàòîð, ñîïðÿæåííûé ñ
îïåðàòîðîì
~
A.
Ïóñòü �y y y� �� � — ïîãðåøíîñòü ðåãóëÿðèçîâàííîãî ðåøåíèÿ y�
óðàâíåíèÿ (2), à y — òî÷íîå ðåøåíèå (â êà÷åñòâå òàêîâîãî áåðåì íîð-
ìàëüíîå ïñåâäîðåøåíèå [3, 4, 6, 7]. Îáîçíà÷èì R A A�
~ ~* . Èìååì ñëåäóþ-
ùóþ îöåíêó ïî íîðìå ïîãðåøíîñòè ðåøåíèÿ [6, 10—12]:
�y T A y T y� � �� � �� �
~ ~
( )
~* . (3)
Çäåñü
~
(
~
)T E R� �� �1, ãäå E — åäèíè÷íûé îïåðàòîð. Ó÷èòûâàÿ [6, 10—12],
÷òî
~ ~*T A�
�
�
1
2
,
~
T�
�
�
1
, (4)
À. Ô. Âåðëàíü, Â. Ñ. Ñèçèêîâ, Ë. Â. Ìîñåíöîâà
4 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2011. V. 33. ¹ 2
íà îñíîâå (3) ïîëó÷àåì îöåíêó àáñîëþòíîé ïîãðåøíîñòè ðåøåíèÿ,
�y
y
y�
� �
�
�
2
,
(5)
è îöåíêó îòíîñèòåëüíîé ïîãðåøíîñòè ðåøåíèÿ (áîëåå ïðèãîäíóþ äëÿ
îáîñíîâàíèÿ ñïîñîáà ìîäåëèðîâàíèÿ):
�y
y
A
A y A
�
�
� �
�
�
�
��
�
�
��
2
1,
èëè, ó÷èòûâàÿ A y f� � è ïîëàãàÿ A A�
~
,
�y
y
A
�
�
� �~
~
( )�
2
1îòí îòí ,
(6)
ãäå � �îòí � / f è � �îòí � / A — îòíîñèòåëüíûå ïîãðåøíîñòè ïðàâîé
÷àñòè f è îïåðàòîðà A. Îäíàêî îöåíêè (5) è (6) ñóùåñòâåííî çàâûøåíû è íå
èìåþò ëîêàëüíîãî ìèíèìóìà ïî �.
Äëÿ ïîëó÷åíèÿ áîëåå êîíñòðóêòèâíûõ îöåíîê âîñïîëüçóåìñÿ ïî-
íÿòèåì ïñåâäîîáðàòíîãî îïåðàòîðà A f u � [6] è, êàê ñëåäñòâèå,
~
R �
� (
~ ~
)*A A [4, 12]. Â ðåçóëüòàòå âìåñòî çàâûøåííîé îöåíêè
~
T� ñîãëàñíî (4)
ïîëó÷èì áîëåå òî÷íóþ îöåíêó (ñð. [10]):
~
(
~
) /
~
~
~
min
T
R R
R
R
�
� � � �
�
�
�
1 1
1 1
.
Òîãäà
�y
y p
p
y�
� �
�
�
� �
�
2
,
(7)
ãäå p R A� � ~ ~ 2
, à òàêæå (ñð. [4, 12])
�y
y
� � ����~ .
(8)
Çäåñü
� ��� �
�
�
�
� �
~
A p
p2
, (9)
ãäå ��� �îòí îòí .
Ìåòîä âû÷èñëèòåëüíûõ ýêñïåðèìåíòîâ äëÿ ðåøåíèÿ èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2011. Ò. 33. ¹ 2 5
Ñâîéñòâà ôóíêöèè � ��� ñëåäóþùèå: � � �0 ��, � � � ��� . Ïðè ïðîìå-
æóòî÷íûõ çíà÷åíèÿõ � ��� �� � ôóíêöèÿ � ��� ìîæåò áûòü èëè ìîíîòîííî
óáûâàþùåé, ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ �, èëè èìåòü (åäèíñò-
âåííûé) ëîêàëüíûé ìèíèìóì � ��� �����min � ïðè íåêîòîðîì� �� m [4, ðèñ. 9;
12, ðèñ. 1]. Ñîãëàñíî [4, 12] ëîêàëüíûé ìèíèìóì ñóùåñòâóåò ïðè
4
3 4
1
4 3
2 3
/
/~
p
A
p
�
�
�
�
�
�
�
�
�
èëè
p A(
~
) ,� 2 27
16
169� � . (10)
Ôóíêöèÿ � ��� ÿâëÿåòñÿ âåðõíåé îãèáàþùåé äëÿ ðåàëüíîé ôóíêöèè
� ��� � �
p
�y
y
.
Îïèñàíèå ìåòîäà âû÷èñëèòåëüíûõ ýêñïåðèìåíòîâ. Ñîîòíîøåíèÿ
(8)—(10) ïîçâîëÿþò ìàòåìàòè÷åñêè îáîñíîâàííî ñôîðìóëèðîâàòü ñïîñîá
ìîäåëèðîâàíèÿ. Îíè ñâèäåòåëüñòâóþò î òîì, ÷òî îöåíêà îòíîñèòåëüíîé
ïîãðåøíîñòè ðåãóëÿðèçîâàííîãî ðåøåíèÿ çàâèñèò îò çíà÷åíèé
~
A , � è p.
Ïîñêîëüêó p çàâèñèò îò
~
A, ìîæíî ñäåëàòü âûâîä î òîì, ÷òî îöåíêà ïî-
ãðåøíîñòè çàâèñèò îò
~
A è �. Ïîýòîìó, åñëè ðåøàåòñÿ íåñêîëüêî ïðèìåðîâ ñ
îäèíàêîâûìè çíà÷åíèÿìè
~
A è �, òî äëÿ íèõ îöåíêè (8)—(10) ïîãðåøíîñ-
òåé ðåøåíèé áóäóò îäèíàêîâûìè. Ýòî ãëàâíàÿ îñîáåííîñòü ìåòîäà âû÷èñ-
ëèòåëüíûõ ýêñïåðèìåíòîâ. Åñëè ïðè ýòîì âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî (10),
òî ôóíêöèÿ � ��( èìååò ìèíèìóì ïðè íåêîòîðîì çíà÷åíèè� m, îäèíàêîâîì
äëÿ âñåõ ïðèìåðîâ.
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ïðè ðåøåíèè íåêîòîðîãî èñõîäíîãî ïðèìåðà P ñ
íåèçâåñòíûì (èñêîìûì) ðåøåíèåì yP ìîæíî èñïîëüçîâàòü ðåçóëüòàòû
ðåøåíèÿ äðóãîãî, ìîäåëüíîãî, ïðèìåðà Q, ò.å. ïðèìåðà ñ èçâåñòíûì (çà-
äàííûì) òî÷íûì ðåøåíèåì yQ , íî ñ òàêèìè æå çíà÷åíèÿìè
~
A è �, êàê è äëÿ
ïðèìåðà P.
Ïðè ðåøåíèè ïðèìåðà Q âû÷èñëÿåì ôóíêöèþ
� ��� � �
p Q
Q
Q
y
y
�
è ïî íåé íàõîäèì îïòèìàëüíîå çíà÷åíèå � oïòQ , ïðè êîòîðîì � ��� �
�
ð min.
À. Ô. Âåðëàíü, Â. Ñ. Ñèçèêîâ, Ë. Â. Ìîñåíöîâà
6 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2011. V. 33. ¹ 2
Çíà÷åíèå p èç (9) ìîæíî íàéòè ñîãëàñíî [4, 12]:
�
�
�oïò oïòQ Q
A
p
p�
�
�
�
�
�
�
�
~
( )
/
/
4
1
2 3
4 3. (11)
Ðåøèâ íåëèíåéíîå óðàâíåíèå (11), íàéäåì çíà÷åíèå P. Åñëè p Q� oïò ��1, òî
� oïòQ
g
p
p g�
�
� �
�
�2 3
1 31
4
3/
/ , g
A
�
�
�
�
�
�
�
�
~ /
�
4
2 3
, (12)
îòêóäà
p
g g g Q
Q
�
�
�
�
�
�
�
�
4 3 4 3 4
2
2 2 2
3
/ ( / ) �
�
oïò
oïò
, (13)
èëè
p
g A
Q Q
�
�
��
�
�
�� �
�
�
�oïò oïò
3 2
3 24
/
/
~
. (14)
Ýòî ïîçâîëÿåò ïðîâåðèòü óñëîâèå (10), à òàêæå ïîñòðîèòü ôóíêöèþ � �( )
ñîãëàñíî (9). Ïðè ðåøåíèè ïðèìåðîâ Q è P íå îáÿçàòåëüíî ðàññ÷èòûâàòü
îãèáàþùóþ êðèâóþ � ���, òàê êàê îíà ââåäåíà, ÷òîáû ïîêàçàòü, êàêèìè
ñâîéñòâàìè äîëæåí îáëàäàòü ïðèìåð Q. Êàê âèäíî èç ñîîòíîøåíèé (8)—
(14), ïðèìåð Q äîëæåí èìåòü òàêîå æå çíà÷åíèå
~
A � (à äëÿ ïîâûøåíèÿ
òî÷íîñòè ìîäåëèðîâàíèÿ òàêèå æå
~
A è �), êàê è ïðèìåð P.
Ìîæíî ðåøèòü íåñêîëüêî ìîäåëüíûõ ïðèìåðîâ ñ îäèíàêîâûìè çíà÷å-
íèÿìè
~
A �(èëè
~
A è �). Òåõíîëîãèÿ ôîðìèðîâàíèÿ è ðåøåíèÿ ìîäåëüíûõ
ïðèìåðîâ, ñîñòàâëÿþùàÿ îñíîâó ìåòîäà ìîäåëèðîâàíèÿ (âû÷èñëèòåëüíûõ
ýêñïåðèìåíòîâ), áîëåå ïîäðîáíî èçëîæåíà â ðàáîòàõ [4, 12, 13].
Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî ìîäåëüíûå ïðèìåðû Qi äîëæíû ñîäåðæàòü
äîïîëíèòåëüíóþ, àïðèîðíóþ, èíôîðìàöèþ îá èñõîäíîì ïðèìåðå P. Åñëè
ðåøàåòñÿ, íàïðèìåð, îáðàòíàÿ çàäà÷à ñïåêòðîñêîïèè [5, ñ. 79—90], òî íà
îñíîâå àíàëèçà ôóíêöèè
~
f P íåîáõîäèìî ñäåëàòü ïðåäâàðèòåëüíóþ îöåíêó
÷èñëà ñïåêòðàëüíûõ ëèíèé (ìàêñèìóìîâ) â èñêîìîì ñïåêòðå yP , ñîîòíî-
øåíèé èõ èíòåíñèâíîñòåé è çíà÷åíèé èõ ÷àñòîò. Èñïîëüçîâàíèå òàêîé
èíôîðìàöèè â ìîäåëüíûõ ïðèìåðàõ Qi ïîçâîëÿåò áîëåå òî÷íî îöåíèòü
çíà÷åíèå � (à òàêæå îïðåäåëèòü âîçìîæíîñòè ìåòîäà ðåãóëÿðèçàöèè Òèõî-
íîâà ïî âîññòàíîâëåíèþ ñïåêòðîâ).
Ìåòîä âû÷èñëèòåëüíûõ ýêñïåðèìåíòîâ äëÿ ðåøåíèÿ èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2011. Ò. 33. ¹ 2 7
Èç îöåíêè (7) — (9)
�y
A p
p
y�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
~
2
ñëåäóåò, ÷òî ïðè � �� � ��� ( O ñóùåñòâóåò àñèìïòîòèêà: �y� ! 0 ïðè
�! 0, ò.å. àëãîðèòì, ïîðîæäàåìûé ñïîñîáîì ìîäåëèðîâàíèÿ (âû÷èñëè-
òåëüíûõ ýêñïåðèìåíòîâ), ÿâëÿåòñÿ ðåãóëÿðèçèðóþùèì (ñð. [4, ñ. 249]).
 ðàìêàõ ñèñòåìû MatLab ðàçðàáîòàíî ïðîãðàììíîå îáåñïå÷åíèå,
ñîäåðæàùåå äâà ãîëîâíûõ ìîäóëÿ (NumExpP è NumExpQ) è íåñêîëüêî
m-ôóíêöèé. Ìîäóëü NumExpP ïðåäíàçíà÷åí äëÿ ðåøåíèÿ èñõîäíîãî ïðè-
ìåðà-îðèãèíàëà P (ðåøàåòñÿ îáðàòíàÿ çàäà÷à), à NumExpQ — äëÿ ðåøåíèÿ
ìîäåëüíîãî ïðèìåðà Q (ðåøàþòñÿ ïðÿìàÿ è îáðàòíàÿ çàäà÷è).  ïðÿìîé
çàäà÷å âûïîëíÿåòñÿ ðàñ÷åò ïðàâîé ÷àñòè
~
f Q , à â îáðàòíîé — âîññòàíàâëè-
âàåòñÿ èñêîìàÿ ôóíêöèÿ y Q� , à çàòåì ôóíêöèÿ y P� ñ ïîìîùüþ ðåøåíèÿ
èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ Ôðåäãîëüìà I ðîäà ìåòîäîì êâàäðàòóð ñ ðåãóëÿ-
ðèçàöèåé Òèõîíîâà [4, 5].
Ïðèìåð (îáðàòíàÿ çàäà÷à ñïåêòðîñêîïèè [5, 14, 15]). Ðàññìîòðèì
èñõîäíûé ïðèìåð (îðèãèíàë) P, îïèñûâàåìûé èíòåãðàëüíûì óðàâíåíèåì
Ôðåäãîëüìà I ðîäà
K y d f
a
b
( , ) ( )
~
( )" " " " "# # # �$ , c d� �" . (15)
Çäåñü y ( )" — èñòèííûé ñïåêòð, ãäå "— ÷àñòîòà;
~
( ) ( )f f f" " �� — èçìå-
À. Ô. Âåðëàíü, Â. Ñ. Ñèçèêîâ, Ë. Â. Ìîñåíöîâà
8 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2011. V. 33. ¹ 2
Ðèñ. 1. Èñõîäíûé ïðèìåð P (îðèãèíàë): 1 — èçìåðåííûé ñïåêòð f ( )" è
~
( )f " ; 2 — ñå÷åíèå
ÀÔ K ( , )2 #"
ðåííûé ñïåêòð, ãäå �f — øóì; K( , )" "# — àïïàðàòíàÿ ôóíêöèÿ (ÀÔ) ñïåêò-
ðîìåòðà,
K q
q
( , ) / exp
( )
, ( / )
" " %
" "
"
# � �
� #
�
&
'
(
)
*
+
2
21 0 2 10
, (16)
ãäå q �15 (øèðèíà K óáûâàåò ñ âîçðàñòàíèåì ÷àñòîòû ").
Êàê âèäíî èç ðèñ. 1, èçìåðåííûé ñïåêòð
~
( )f " èìååò øåñòü ÷åòêèõ
ôëóêòóàöèé, äâå èç êîòîðûõ (ïðè "�2 è "�6 8, ) íå ïðîÿâèëèñü, òàê êàê
øèðèíà ÀÔ îãðàíè÷èâàåò ðàçðåøàþùóþ ñïîñîáíîñòü ñïåêòðîìåòðà. Ñëå-
äîâàòåëüíî, èñòèííûõ ôëóêòóàöèé (ñïåêòðàëüíûõ ëèíèé) â ñïåêòðå áîëåå
âîñüìè. Ïîýòîìó â êà÷åñòâå ìîäåëüíîãî ïðèìåðà Q ñôîðìèðîâàí áëèçêèé
ê P ïðèìåð, ó êîòîðîãî èñòèííûé ñïåêòð y ( )" ñîñòîèò èç 10 ñïåêòðàëüíûõ
ëèíèé â âèäå ãàóññèàí:
y ( ) , exp{ [( , ) / , ] } , exp{ [( , ) / ," " "� � � � �30 17 025 45 23 032 5 2] }
� � � �25 3 4 020 0 4 39 0102 2, exp{ [( , ) / , ] } , exp{ [( , ) / , ] }" "
� � � �82 4 7 030 05 59 0252 2, exp{ [( , ) / , ] } , exp{ [( , ) / , ] }" "
� � � �92 65 010 85 69 0102 2, exp{ [( , ) / , ] } , exp{ [( , ) / , ] }" "
� � � �0 4 7 4 025 20 8 7 0502 2, exp{ [( , ) / , ] } , exp{ [( , ) / , ] }" " .
Ìåòîä âû÷èñëèòåëüíûõ ýêñïåðèìåíòîâ äëÿ ðåøåíèÿ èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2011. Ò. 33. ¹ 2 9
Ðèñ. 2. Ïðèìåð Q (ìîäåëüíûé): à —
1 — èñòèííûé ñïåêòð y ( )" ; 2 — èç-
ìåðåííûé ñïåêòð f ( )" è
~
( )f " ; 3 — ñå-
÷åíèå ÀÔ K ( , )2 #" ; á —1 — �îòí �1%,
�îòí � 0; 2 — �îòí � �îòí � 0 1, %; 3 —
�îòí �1%, �îòí � 0 3, %; â —1 — èñ-
òèííûé ñïåêòð y ( )" ; 2 — èçìåðåí-
íûé ñïåêòð f ( )" , 3 — ñå÷åíèå ÀÔ
K ( , )2 #" ; 4 — âîññòàíîâëåííûé
ñïåêòð y� "( )
Íà ðèñ. 2, à ïðåäñòàâëåí ìîäåëüíûé ïðèìåð Q, äëÿ êîòîðîãî ïîëó÷åíî
çíà÷åíèå � � �� �îòí îòí 1% ñ èñïîëüçîâàíèåì ïðèìåðà P.  ðåçóëüòàòå
ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (15) ìåòîäîì êâàäðàòóð ñ ðåãóëÿðèçàöèåé Òèõîíîâà
äëÿ ðÿäà çíà÷åíèé ïàðàìåòðà ðåãóëÿðèçàöèè � ïîñòðîåíà çàâèñèìîñòü
îòíîñèòåëüíîé ïîãðåøíîñòè ðåãóëÿðèçîâàííîãî ðåøåíèÿ y� "( )îò òî÷íîãî
ðåøåíèÿ y ( )" :
� �
" "
"
�
per ( )
( ) ( )
( )
�
�y y
y
.
Òàêèå çàâèñèìîñòè äëÿ íåñêîëüêèõ âàðèàíòîâ ïîãðåøíîñòåé f è K —
ñîîòâåòñòâåííî�îòí è�îòí — ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ. 2, á. Çíà÷åíèÿ�îòí è�îòí
ÿâëÿþòñÿ íåäîñòàòî÷íî òî÷íûìè, ïîýòîìó ïðè ïðîâåäåíèè ðàñ÷åòîâ áûëî
çàäàíî íåñêîëüêî çíà÷åíèé ïîãðåøíîñòåé ïîðÿäêà 1 %. Ïîãðåøíîñòè
ôóíêöèè f ôîðìèðîâàëèñü ñ ïîìîùüþ íîðìàëüíîãî äàò÷èêà ñëó÷àéíûõ
÷èñåë randn.m, à ïîãðåøíîñòü � èìèòèðîâàëàñü âàðüèðîâàíèåì êîýôôè-
öèåíòà q â (16).
Èç ðèñ. 2, á âèäíî, ÷òî îïòèìàëüíîå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà ðåãóëÿðèçà-
öèè �, íàïðèìåð äëÿ êðèâîé 1 ðàâíî ïðèáëèçèòåëüíî 10 3 6� , . Îäíàêî ïðè
òàêîì çíà÷åíèè � â ðåøåíèè y� "( ) õîðîøî âîññòàíàâëèâàþòñÿ ñèëüíûå
ëèíèè, à ñëàáûå — îòÿãîùåíû ëîæíûìè ôëóêòóàöèÿìè è ëó÷øå âîñ-
ñòàíàâëèâàþòñÿ ïðè áîëüøåì çíà÷åíèè �.
Íà ðèñ. 2, â ïðåäñòàâëåí èñòèííûé y ( )" è âîññòàíîâëåííûé y� "( )
ñïåêòðû ïðè íåñêîëüêî çàâûøåííîì çíà÷åíèè �, à èìåííî ïðè � � �10 3.
Êàê âèäèì, ñïåêòð â ïðèìåðå Q âîññòàíîâëåí âïîëíå óäîâëåòâîðèòåëüíî
(ïðîÿâèëèñü è áëèçêèå è ñëàáûå ëèíèè).
À. Ô. Âåðëàíü, Â. Ñ. Ñèçèêîâ, Ë. Â. Ìîñåíöîâà
10 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2011. V. 33. ¹ 2
Ðèñ. 3. Ïðèìåð P (îðèãèíàë) (îáîçíà÷åíèÿ òå æå, ÷òî è íà ðèñ. 2, â)
Ïðè çíà÷åíèè � � �10 3, êîòîðîå áûëî íàéäåíî â ïðèìåðå Q, ðåøåí
ïðèìåð P (ðèñ. 3). Êàê è â ïðèìåðå Q, â ïðèìåðå-îðèãèíàëå P âîññòàíîâè-
ëèñü ñëàáûå è ïðîÿâèëèñü áëèçêèå ëèíèè.
Âûâîäû
×èñëåííûå ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå ïðè ðåøåíèè ðÿäà ïðèêëàäíûõ çàäà÷
(ðåêîíñòðóêöèè èñêàæåííûõ èçîáðàæåíèé [16], îáðàáîòêè ñèãíàëîâ, ðåíò-
ãåíîâñêîé êîìïüþòåðíîé òîìîãðàôèè è äð. [5]) ñâèäåòåëüñòâóþò î òîì,
÷òî ðàññìîòðåííûé ðåãóëÿðèçèðóþùèé àëãîðèòì ÿâëÿåòñÿ ðàáîòîñïîñîá-
íûì, à ðàçðàáîòàííûå ïðîãðàììû äîñòàòî÷íî ýôôåêòèâíûìè, ãèáêèìè è
óäîáíûìè äëÿ èñïîëüçîâàíèÿ. Îíè ìîãóò áûòü ïðèìåíåíû íàðÿäó ñ äðó-
ãèìè ïàêåòàìè ïðèêëàäíûõ ïðîãðàìì, êîòîðûå âõîäÿò â ïðîãðàììíûé
êîìïëåêñ MatLab.
A method of model examples for choice of regularization parameter is considered in the paper.
The computational algorithm for solving the Fredholm I kind integral equations is composed as
based on the modeling method. The software implementation in the MatLab is developed for the
suggested algorithm. The efficiency of theoretical results is tested by solving the inverse spec-
troscopy problem.
1. Âàñèëåíêî Ã. È. Òåîðèÿ âîññòàíîâëåíèÿ ñèãíàëîâ: î ðåäóêöèè ê èäåàëüíîìó ïðèáîðó â
ôèçèêå è òåõíèêå. — Ì. : Ñîâ. ðàäèî, 1979. — 272 ñ.
2. Âîñêîáîéíèêîâ Þ.Å., Ïðåîáðàæåíñêèé Í.Ã., Ñåäåëüíèêîâ À.È. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ îáðà-
áîòêà ýêñïåðèìåíòà â ìîëåêóëÿðíîé ãàçîäèíàìèêå. — Íîâîñèáèðñê : Íàóêà, 1984. —
240 ñ.
3. Òèõîíîâ À. Í., Àðñåíèí Â. ß. Ìåòîäû ðåøåíèÿ íåêîððåêòíûõ çàäà÷. — Ì. : Íàóêà,
1986. — 288 ñ.
4. Âåðëàíü À. Ô., Ñèçèêîâ Â. Ñ. Èíòåãðàëüíûå óðàâíåíèÿ: ìåòîäû, àëãîðèòìû, ïðîãðàì-
ìû. — Êèåâ : Íàóê. äóìêà, 1986. — 544 ñ.
5. Ñèçèêîâ Â. Ñ. Ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû îáðàáîòêè ðåçóëüòàòîâ èçìåðåíèé. — ÑÏá. :
Ïîëèòåõíèêà, 2001. — 240 ñ.
6. Ìîðîçîâ Â. À. Ðåãóëÿðíûå ìåòîäû ðåøåíèÿ íåêîððåêòíî ïîñòàâëåííûõ çàäà÷. — Ì.:
Íàóêà, 1987. — 240 ñ.
7. Òèõîíîâ À.Í., Ãîí÷àðñêèé À.Â., Ñòåïàíîâ Â.Â., ßãîëà À.Ã. ×èñëåííûå ìåòîäû ðåøåíèÿ
íåêîððåêòíûõ çàäà÷. — Ì. : Íàóêà, 1990. — 232 ñ.
8. Engl H. W., Hanke M., Neubauer A. Regularization of Inverse Problems. — Dordrecht :
Kluwer, 1996. — 328 p.
9. Âîñêîáîéíèêîâ Þ. Å., Ìóõèíà È. Í. Ëîêàëüíûé ðåãóëÿðèçèðóþùèé àëãîðèòì âîññòà-
íîâëåíèÿ êîíòðàñòíûõ ñèãíàëîâ è èçîáðàæåíèé // Àâòîìåòðèÿ. — 2000. — ¹ 3. —
Ñ. 45—53.
10. Kojdecki M.A. New criterion of regularisation parameter choice in Tikhonov’s method //
Biuletyn WAT (Biul. Mil. Univ. Technol.). — 2000. — Vol. 49, ¹ 1 (569). — P. 47—126.
11. Ñèçèêîâ Â. Ñ. Î ñïîñîáàõ íåâÿçêè ïðè ðåøåíèè íåêîððåêòíûõ çàäà÷ // Æóðí. âû÷èñë.
ìàòåì. è ìàòåì. ôèçèêè. — 2003. — 43, ¹ 9. — Ñ. 1294—1312.
Ìåòîä âû÷èñëèòåëüíûõ ýêñïåðèìåíòîâ äëÿ ðåøåíèÿ èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2011. Ò. 33. ¹ 2 11
12. Ñèçèêîâ Â. Ñ. Î ìîäåëèðîâàíèè íåêîòîðûõ íåêîðåêòíûõ çàäà÷ ñ èñïîëüçîâàíèåì
ïðèíöèïîâ ïîäîáèÿ // Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. — 1981. — ¹. 6. — Ñ. 3—8.
13. Ìîñåíöîâà Ë. Â. Ðåàëèçàöèÿ ìåòîäà ìîäåëèðîâàíèÿ (âû÷èñëèòåëüíûõ ýêñïåðèìåíòîâ)
äëÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèé Ôðåäãîëüìà I ðîäà â ñèñòåìå MATLAB // Ñá. òåçèñîâ êîíô.
«Èíòåãðàëüíûå óðàâíåíèÿ» — 2009. — Êèåâ : èçä. ÈÏÌÝ, 2009. — Ñ. 110—112.
14. Êî÷èêîâ È. Â., Êóðàìøèíà Ã. Ì., Ïåíòèí Þ. À., ßãîëà À. Ã. Îáðàòíûå çàäà÷è
êîëåáàòåëüíîé ñïåêòðîñêîïèè. — Ì. : èçä. ÌÃÓ, 1993. — 204 ñ.
15. Ñòàðêîâ Â. Í. Êîíñòðóêòèâíûå ìåòîäû âû÷èñëèòåëüíîé ôèçèêè â çàäà÷àõ èíòåðïðå-
òàöèè. — Êèåâ : Íàóê. äóìêà, 2002. — 264 ñ.
16. Ñèçèêîâ Â. Ñ., Áåëîâ È. À. Ðåêîíñòðóêöèÿ ñìàçàííûõ è äåôîêóñèðîâàííûõ èçîáðàæå-
íèé ìåòîäîì ðåãóëÿðèçàöèè // Îïòè÷. æóðíàë. — 2000. — 67, ¹ 4. — Ñ. 60—63.
Ïîñòóïèëà 02.12.10;
ïîñëå äîðàáîòêè 18.01.11
ÂÅÐËÀÍÜ Àíàòîëèé Ôåäîðîâè÷, ä-ð òåõí. íàóê, çàâ. îòäåëîì Èí-òà ïðîáëåì ìîäåëèðîâàíèÿ â
ýíåðãåòèêå èì. Ã. Å. Ïóõîâà ÍÀÍ Óêðàèíû.  1956 ã. îêîí÷èë Êèåâñêèé ïîëèòåõíè÷åñêèé èí-ò.
Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — ìåòîäû ìàòåìàòè÷åñêîãî è êîìïüþòåðíîãî ìîäåëèðî-
âàíèÿ â çàäà÷àõ èññëåäîâàíèÿ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì, ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé; ÷èñëåííûå ìåòîäû
è àëãîðèòìû ðåøåíèÿ èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé.
ÑÈÇÈÊÎÂ Âàëåðèé Ñåðãååâè÷, ä-ð òåõí. íàóê, ïðîôåññîð êàôåäðû èçìåðèòåëüíûõ òåõíîëîãèé
è êîìïüþòåðíîé òîìîãðàôèè Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà èí-
ôîðìàöèîííûõ òåõíîëîãèé, ìåõàíèêè è îïòèêè.  1964 ã. îêîí÷èë Óðàëüñêèé ãîñóíèâåðñèòåò â
ã. Ñâåðäëîâñêå. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — âû÷èñëèòåëüíàÿ è ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà,
èíòåãðàëüíûå óðàâíåíèÿ è ïðèëîæåíèÿ, íåêîððåêòíûå çàäà÷è è ðåãóëÿðíûå ìåòîäû èõ ðå-
øåíèÿ, òîìîãðàôèÿ, ðåêîíñòðóêöèÿ èçîáðàæåíèé, îáðàáîòêà ñèãíàëîâ, ãðàâèìåòðèÿ, ïðî-
ãðàììèðîâàíèå.
ÌÎÑÅÍÖÎÂÀ Ëþäìèëà Âèêòîðîâíà, àñïèðàíòêà Èí-òà ïðîáëåì ìîäåëèðîâàíèÿ â ýíåðãåòèêå
èì. Ã. Å. Ïóõîâà ÍÀÍ Óêðàèíû.  2008 ã. îêîí÷èëà Òàâðè÷åñêèé íàöèîíàëüíûé óíèâåðñèòåò
èì. Â. È. Âåðíàäñêîãî. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — èíòåãðàëüíûå óðàâíåíèÿ, íåêîððåêò-
íûå çàäà÷è è ðåãóëÿðíûå ìåòîäû èõ ðåøåíèÿ, âîññòàíîâëåíèå ñèãíàëîâ, ïðîãðàììèðîâàíèå.
À. Ô. Âåðëàíü, Â. Ñ. Ñèçèêîâ, Ë. Â. Ìîñåíöîâà
12 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2011. V. 33. ¹ 2
<<
/ASCII85EncodePages false
/AllowTransparency false
/AutoPositionEPSFiles true
/AutoRotatePages /None
/Binding /Left
/CalGrayProfile (Dot Gain 20%)
/CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CalCMYKProfile (U.S. Web Coated \050SWOP\051 v2)
/sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CannotEmbedFontPolicy /Error
/CompatibilityLevel 1.4
/CompressObjects /Tags
/CompressPages true
/ConvertImagesToIndexed true
/PassThroughJPEGImages true
/CreateJDFFile false
/CreateJobTicket false
/DefaultRenderingIntent /Default
/DetectBlends true
/DetectCurves 0.0000
/ColorConversionStrategy /CMYK
/DoThumbnails false
/EmbedAllFonts true
/EmbedOpenType false
/ParseICCProfilesInComments true
/EmbedJobOptions true
/DSCReportingLevel 0
/EmitDSCWarnings false
/EndPage -1
/ImageMemory 1048576
/LockDistillerParams false
/MaxSubsetPct 100
/Optimize true
/OPM 1
/ParseDSCComments true
/ParseDSCCommentsForDocInfo true
/PreserveCopyPage true
/PreserveDICMYKValues true
/PreserveEPSInfo true
/PreserveFlatness true
/PreserveHalftoneInfo false
/PreserveOPIComments true
/PreserveOverprintSettings true
/StartPage 1
/SubsetFonts true
/TransferFunctionInfo /Apply
/UCRandBGInfo /Preserve
/UsePrologue false
/ColorSettingsFile ()
/AlwaysEmbed [ true
]
/NeverEmbed [ true
]
/AntiAliasColorImages false
/CropColorImages true
/ColorImageMinResolution 300
/ColorImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleColorImages true
/ColorImageDownsampleType /Bicubic
/ColorImageResolution 300
/ColorImageDepth -1
/ColorImageMinDownsampleDepth 1
/ColorImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeColorImages true
/ColorImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterColorImages true
/ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG
/ColorACSImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/ColorImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/JPEG2000ColorACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/JPEG2000ColorImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/AntiAliasGrayImages false
/CropGrayImages true
/GrayImageMinResolution 300
/GrayImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleGrayImages true
/GrayImageDownsampleType /Bicubic
/GrayImageResolution 300
/GrayImageDepth -1
/GrayImageMinDownsampleDepth 2
/GrayImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeGrayImages true
/GrayImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterGrayImages true
/GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG
/GrayACSImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/GrayImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/JPEG2000GrayACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/JPEG2000GrayImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/AntiAliasMonoImages false
/CropMonoImages true
/MonoImageMinResolution 1200
/MonoImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleMonoImages true
/MonoImageDownsampleType /Bicubic
/MonoImageResolution 1200
/MonoImageDepth -1
/MonoImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeMonoImages true
/MonoImageFilter /CCITTFaxEncode
/MonoImageDict <<
/K -1
>>
/AllowPSXObjects false
/CheckCompliance [
/None
]
/PDFX1aCheck false
/PDFX3Check false
/PDFXCompliantPDFOnly false
/PDFXNoTrimBoxError true
/PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXSetBleedBoxToMediaBox true
/PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXOutputIntentProfile ()
/PDFXOutputConditionIdentifier ()
/PDFXOutputCondition ()
/PDFXRegistryName ()
/PDFXTrapped /False
/Description <<
/CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e9ad88d2891cf76845370524d53705237300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002>
/CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc9ad854c18cea76845370524d5370523786557406300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002>
/DAN <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>
/DEU <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>
/ESP <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>
/FRA <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>
/ITA <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>
/JPN <FEFF9ad854c18cea306a30d730ea30d730ec30b951fa529b7528002000410064006f0062006500200050004400460020658766f8306e4f5c6210306b4f7f75283057307e305930023053306e8a2d5b9a30674f5c62103055308c305f0020005000440046002030d530a130a430eb306f3001004100630072006f0062006100740020304a30883073002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee5964d3067958b304f30533068304c3067304d307e305930023053306e8a2d5b9a306b306f30d530a930f330c8306e57cb30818fbc307f304c5fc59808306730593002>
/KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020ace0d488c9c80020c2dcd5d80020c778c1c4c5d00020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e>
/NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken die zijn geoptimaliseerd voor prepress-afdrukken van hoge kwaliteit. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.)
/NOR <FEFF004200720075006b00200064006900730073006500200069006e006e007300740069006c006c0069006e00670065006e0065002000740069006c002000e50020006f0070007000720065007400740065002000410064006f006200650020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e00740065007200200073006f006d00200065007200200062006500730074002000650067006e0065007400200066006f00720020006600f80072007400720079006b006b0073007500740073006b00720069006600740020006100760020006800f800790020006b00760061006c0069007400650074002e0020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e00740065006e00650020006b0061006e002000e50070006e00650073002000690020004100630072006f00620061007400200065006c006c00650072002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000200065006c006c00650072002000730065006e006500720065002e>
/PTB <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>
/SUO <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>
/SVE <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>
/ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents best suited for high-quality prepress printing. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.)
>>
/Namespace [
(Adobe)
(Common)
(1.0)
]
/OtherNamespaces [
<<
/AsReaderSpreads false
/CropImagesToFrames true
/ErrorControl /WarnAndContinue
/FlattenerIgnoreSpreadOverrides false
/IncludeGuidesGrids false
/IncludeNonPrinting false
/IncludeSlug false
/Namespace [
(Adobe)
(InDesign)
(4.0)
]
/OmitPlacedBitmaps false
/OmitPlacedEPS false
/OmitPlacedPDF false
/SimulateOverprint /Legacy
>>
<<
/AddBleedMarks false
/AddColorBars false
/AddCropMarks false
/AddPageInfo false
/AddRegMarks false
/ConvertColors /ConvertToCMYK
/DestinationProfileName ()
/DestinationProfileSelector /DocumentCMYK
/Downsample16BitImages true
/FlattenerPreset <<
/PresetSelector /MediumResolution
>>
/FormElements false
/GenerateStructure false
/IncludeBookmarks false
/IncludeHyperlinks false
/IncludeInteractive false
/IncludeLayers false
/IncludeProfiles false
/MultimediaHandling /UseObjectSettings
/Namespace [
(Adobe)
(CreativeSuite)
(2.0)
]
/PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK
/PreserveEditing true
/UntaggedCMYKHandling /LeaveUntagged
/UntaggedRGBHandling /UseDocumentProfile
/UseDocumentBleed false
>>
]
>> setdistillerparams
<<
/HWResolution [2400 2400]
/PageSize [612.000 792.000]
>> setpagedevice
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-61749 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0204-3572 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:55:28Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Верлань, А.Ф. Сизиков, B.C. Мосенцова, Л.В. 2014-05-11T08:32:40Z 2014-05-11T08:32:40Z 2011 Метод вычислительных экспериментов для решения интегральных уравнений в обратной задаче спектроскопии / А.Ф. Верлань, B.C. Сизиков, Л.В. Мосенцова // Электронное моделирование. — 2011 — Т. 33, № 2. — С. 3-12. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. 0204-3572 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/61749 519.6 Рассмотрен метод модельных примеров для выбора параметра регуляризации. На основе способа моделирования построен вычислительный алгоритм решения интегральных уравнений Фредгольма I рода и разработана его программная реализация в среде MatLab. Эффективность предложенного подхода проверена на примере решения обратной задачи спектроскопии. Розглянуто метод модельних прикладів для вибору параметра регуляризації. На основі способу моделювання побудовано обчислювальний алгоритм розв’язку інтегральних рівнянь Фредгольма I роду та розроблено його програмну реалізацію в середовищі MatLab. Ефективність запропонованого підходу перевірено на прикладі розв’язання оберненої задачі спектроскопії. A method of model examples for choice of regularization parameter is considered in the paper. The computational algorithm for solving the Fredholm I kind integral equations is composed as based on the modeling method. The software implementation in the MatLab is developed for the suggested algorithm. The efficiency of theoretical results is tested by solving the inverse spectroscopy problem. Работа выполнена при частичной поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 09-08-00034а). ru Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України Электронное моделирование Математические методы и модели Метод вычислительных экспериментов для решения интегральных уравнений в обратной задаче спектроскопии Article published earlier |
| spellingShingle | Метод вычислительных экспериментов для решения интегральных уравнений в обратной задаче спектроскопии Верлань, А.Ф. Сизиков, B.C. Мосенцова, Л.В. Математические методы и модели |
| title | Метод вычислительных экспериментов для решения интегральных уравнений в обратной задаче спектроскопии |
| title_full | Метод вычислительных экспериментов для решения интегральных уравнений в обратной задаче спектроскопии |
| title_fullStr | Метод вычислительных экспериментов для решения интегральных уравнений в обратной задаче спектроскопии |
| title_full_unstemmed | Метод вычислительных экспериментов для решения интегральных уравнений в обратной задаче спектроскопии |
| title_short | Метод вычислительных экспериментов для решения интегральных уравнений в обратной задаче спектроскопии |
| title_sort | метод вычислительных экспериментов для решения интегральных уравнений в обратной задаче спектроскопии |
| topic | Математические методы и модели |
| topic_facet | Математические методы и модели |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/61749 |
| work_keys_str_mv | AT verlanʹaf metodvyčislitelʹnyhéksperimentovdlârešeniâintegralʹnyhuravneniivobratnoizadačespektroskopii AT sizikovbc metodvyčislitelʹnyhéksperimentovdlârešeniâintegralʹnyhuravneniivobratnoizadačespektroskopii AT mosencovalv metodvyčislitelʹnyhéksperimentovdlârešeniâintegralʹnyhuravneniivobratnoizadačespektroskopii |