Применение нормализующих преобразований для построения математических моделей нелинейных стохастических дифференциальных систем

Применение нормализующих преобразований для построения математических моделей нелинейных стохастических дифференциальных систем

Предложен метод построения математических моделей нелинейных стохастических дифференциальных систем на основе нормализующих преобразований. Запропоновано метод побудови математичних моделей нелінійних стохастичних диференціальних систем на основі нормалізуючих перетворень. The method based on normal...

Full description

Saved in:
Bibliographic Details
Published in:Электронное моделирование
Date:2011
Main Author: Приходько, С.Б.
Format: Article
Language:Russian
Published: Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України 2011
Subjects:
Математические методы и модели
Online Access:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/61750
Tags: Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:Применение нормализующих преобразований для построения математических моделей нелинейных стохастических дифференциальных систем / С.Б. Приходько // Электронное моделирование. — 2011 — Т. 33, № 2. — С. 13-23. — Бібліогр.: 6 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-61750
record_format dspace
spelling Приходько, С.Б.
2014-05-11T08:34:18Z
2014-05-11T08:34:18Z
2011
Применение нормализующих преобразований для построения математических моделей нелинейных стохастических дифференциальных систем / С.Б. Приходько // Электронное моделирование. — 2011 — Т. 33, № 2. — С. 13-23. — Бібліогр.: 6 назв. — рос.
0204-3572
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/61750
001.57: 004.94: 517.9: 519.2
Предложен метод построения математических моделей нелинейных стохастических дифференциальных систем на основе нормализующих преобразований.
Запропоновано метод побудови математичних моделей нелінійних стохастичних диференціальних систем на основі нормалізуючих перетворень.
The method based on normalizing transformations is proposed for construction of mathematical models of nonlinear stochastic differential systems.
ru
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
Электронное моделирование
Математические методы и модели
Применение нормализующих преобразований для построения математических моделей нелинейных стохастических дифференциальных систем
Article
published earlier
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
title Применение нормализующих преобразований для построения математических моделей нелинейных стохастических дифференциальных систем
spellingShingle Применение нормализующих преобразований для построения математических моделей нелинейных стохастических дифференциальных систем
Приходько, С.Б.
Математические методы и модели
title_short Применение нормализующих преобразований для построения математических моделей нелинейных стохастических дифференциальных систем
title_full Применение нормализующих преобразований для построения математических моделей нелинейных стохастических дифференциальных систем
title_fullStr Применение нормализующих преобразований для построения математических моделей нелинейных стохастических дифференциальных систем
title_full_unstemmed Применение нормализующих преобразований для построения математических моделей нелинейных стохастических дифференциальных систем
title_sort применение нормализующих преобразований для построения математических моделей нелинейных стохастических дифференциальных систем
author Приходько, С.Б.
author_facet Приходько, С.Б.
topic Математические методы и модели
topic_facet Математические методы и модели
publishDate 2011
language Russian
container_title Электронное моделирование
publisher Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
format Article
description Предложен метод построения математических моделей нелинейных стохастических дифференциальных систем на основе нормализующих преобразований. Запропоновано метод побудови математичних моделей нелінійних стохастичних диференціальних систем на основі нормалізуючих перетворень. The method based on normalizing transformations is proposed for construction of mathematical models of nonlinear stochastic differential systems.
issn 0204-3572
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/61750
citation_txt Применение нормализующих преобразований для построения математических моделей нелинейных стохастических дифференциальных систем / С.Б. Приходько // Электронное моделирование. — 2011 — Т. 33, № 2. — С. 13-23. — Бібліогр.: 6 назв. — рос.
work_keys_str_mv AT prihodʹkosb primenenienormalizuûŝihpreobrazovaniidlâpostroeniâmatematičeskihmodeleinelineinyhstohastičeskihdifferencialʹnyhsistem
first_indexed 2025-11-25T20:21:16Z
last_indexed 2025-11-25T20:21:16Z
_version_ 1850520724584792064
fulltext ÓÄÊ 001.57: 004.94: 517.9: 519.2 Ñ. Á. Ïðèõîäüêî, êàíä. òåõí. íàóê Íàöèîíàëüíûé óíèâåðñèòåò êîðàáëåñòðîåíèÿ èì. àäìèðàëà Ìàêàðîâà (Óêðàèíà, 54025, Íèêîëàåâ, ïð. Ãåðîåâ Ñòàëèíãðàäà, 9, òåë. (0512) 424470, E-mail: sprikhodko@nuos.edu.ua) Ïðèìåíåíèå íîðìàëèçóþùèõ ïðåîáðàçîâàíèé äëÿ ïîñòðîåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé íåëèíåéíûõ ñòîõàñòè÷åñêèõ äèôôåðåíöèàëüíûõ ñèñòåì Ïðåäëîæåí ìåòîä ïîñòðîåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé íåëèíåéíûõ ñòîõàñòè÷åñêèõ äèô- ôåðåíöèàëüíûõ ñèñòåì íà îñíîâå íîðìàëèçóþùèõ ïðåîáðàçîâàíèé. Çàïðîïîíîâàíî ìåòîä ïîáóäîâè ìàòåìàòè÷íèõ ìîäåëåé íåë³í³éíèõ ñòîõàñòè÷íèõ äèôå- ðåíö³àëüíèõ ñèñòåì íà îñíîâ³ íîðìàë³çóþ÷èõ ïåðåòâîðåíü. Ê ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à : ñòîõàñòè÷åñêàÿ äèôôåðåíöèàëüíàÿ ñèñòåìà, íîðìàëèçèðóþùåå ïðåîáðàçîâàíèå. Ñòîõàñòè÷åñêîé äèôôåðåíöèàëüíîé ñèñòåìîé (ÑÄÑ) íàçûâàþò òàêóþ ñèñ- òåìó, ïîâåäåíèå êîòîðîé îïèñûâàåòñÿ ñòîõàñòè÷åñêèì äèôôåðåíöèàëü- íûì óðàâíåíèåì (ÑÄÓ) [1, 2]. Äëÿ óïðàâëåíèÿ äèíàìè÷åñêèìè îáúåêòàìè, áîëüøèíñòâî êîòîðûõ ÿâëÿþòñÿ èìåííî òàêèìè ñèñòåìàìè, òðåáóåòñÿ ïîñòðîåíèå ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé.  íàñòîÿùåå âðåìÿ êðîìå òðàäè- öèîííûõ çàäà÷ óïðàâëåíèÿ äèíàìè÷åñêèìè îáúåêòàìè ïðèõîäèòñÿ ðåøàòü çàäà÷è, ñâÿçàííûå ñ ïåðåäà÷åé èíôîðìàöèè ñ ïîìîùüþ ñëó÷àéíûõ íåñó- ùèõ ñèãíàëîâ, çàùèòîé è ðàñïîçíàâàíèåì ðå÷è, êîòîðûå òàêæå òðåáóþò ïîñòðîåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé íåëèíåéíûõ ÑÄÑ. Êàê ïðàâèëî, ïðîáëåìà ïîñòðîåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé ÑÄÓ íåëèíåéíûõ ÑÄÑ ðåøàåòñÿ ëèáî ñ èñïîëüçîâàíèåì ìåòîäîâ ëèíåàðèçàöèè, ëèáî íà îñíîâå ïðåäïîëîæåíèÿ î íîðìàëüíîñòè ñèãíàëîâ â ñèñòåìå [2]. Òàêèå ðåøåíèÿ âîçìîæíû òîëüêî â ñëó÷àÿõ, êîãäà ñèãíàëû â ñèñòåìå íåçíà÷èòåëüíî îòëè÷àþòñÿ îò íîðìàëüíûõ, à íåëèíåéíîñòè ìàëû.  äðó- ãèõ ñëó÷àÿõ äëÿ ïîñòðîåíèÿ ÑÄÓ íåëèíåéíûõ ÑÄÑ ìîæåò áûòü èñïîëü- çîâàí ïîäõîä, îñíîâàííûé íà ïîñòðîåíèè ÑÄÓ äëÿ íîðìàëèçîâàííûõ ñëó÷àéíûõ ñèãíàëîâ ñ ïðèìåíåíèåì îäíîìåðíîãî íîðìàëèçóþùåãî ïðåîáðà- çîâàíèÿ [3, 4].  [5] ðàññìîòðåíà âîçìîæíîñòü ïåðåõîäà îò íåëèíåéíîãî ÑÄÓ ê íîðìàëèçîâàííîìó ñ èñïîëüçîâàíèåì ìíîãîìåðíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ. ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2011. Ò. 33. ¹ 2 13 Ïîïûòàåìñÿ îáîáùèòü ïîëó÷åííûå ðàíåå ðåçóëüòàòû íà ñëó÷àé ìíî- ãîìåðíûõ íîðìàëèçóþùèõ ïðåîáðàçîâàíèé, ò.å. ïîêàçàòü âîçìîæíîñòü ïîñòðîåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé íåëèíåéíûõ ÑÄÑ íà îñíîâå ìíîãî- ìåðíûõ íîðìàëèçóþùèõ ïðåîáðàçîâàíèé.  ïðåäëàãàåìîì ìåòîäå ïîñòðîåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé íåëè- íåéíûõ ÑÄÑ â ïðîñòðàíñòâå ñèãíàëîâ (ìåòîäå ñòðóêòóðíîé èäåíòèôè- êàöèè íåëèíåéíûõ ÑÄÑ) âîçìîæíû äâà ñëó÷àÿ. 1. Çàäàíà ðåàëèçàöèÿ ïåðâîé êîìïîíåíòû x t x t1( ) ( )� ñëó÷àéíîãî ñèã- íàëà x ( ) { ( ), ( ),..., ( )}t x t x t x tn T� 1 2 , à âñå ïîñëåäóþùèå êîìïîíåíòû îïðå- äåëÿþòñÿ êàê ïðîèçâîäíûå ïî âðåìåíè îò ïðåäûäóùèõ êîìïîíåíò, ò.å. x t x t x t x tn n2 1 1( ) � ( ), ..., ( ) � ( )� � � . 2. Çàäàíû ðåàëèçàöèè âñåõ êîìïîíåíò ñëó÷àéíîãî ñèãíàëà x ( )t .  ðåàëüíûõ ñèñòåìàõ ïåðâûé ñëó÷àé ñîîòâåòññòâóåò ðåàëèçàöèè íå- ðåãóëÿðíîãî âîëíåíèÿ, ðå÷åâîãî ñèãíàëà, à âòîðîé — çàïèñè âûõîäíûõ ñèãíàëîâ äèíàìè÷åñêîãî îáúåêòà, íàïðèìåð óãëà è óãëîâîé ñêîðîñòè áîð- òîâîé êà÷êè êîðàáëÿ íà íåðåãóëÿðíîì âîëíåíèè. Ðàññìîòðèì ïåðâûé ñëó÷àé. Ïîñòàíîâêà çàäà÷è. Ïóñòü çàäàíà ðåàëèçàöèÿ ïåðâîé êîìïîíåíòû x t1( ) íåãàóññîâñêîãî ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà x ( )t íà � � [ , ]0 T , è ïî ýòîé ðåàëèçàöèè ìîæåò áûòü íàéäåíà ñãëàæåííàÿ îöåíêà ñïåêòðàëüíîé ïëîò- íîñòè êîìïîíåíòû x t1( ). Ïóñòü x t1( ) — ñòàöèîíàðíûé â øèðîêîì ñìûñëå è ýðãîäè÷åñêèé ïî ïåðâûì ÷åòûðåì ñòàòèñòè÷åñêèì ìîìåíòàì ñëó÷àéíûé ïðîöåññ íà èíòåðâàëå âðåìåíè �. Ïðåäïîëîæåíèå 1. Ïóñòü ñóùåñòâóåò âçàèìíî-îäíîçíà÷íîå ìíîãîìåð- íîå íîðìàëèçóþùåå ïðåîáðàçîâàíèå z x�� ( ) (1) òàêîå, ÷òî� ( )x �R n , ôóíêöèÿ� ( )x íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà íà � ïî t, äâàæäû íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà ïî x, à z z� ( )t — ãàóññîâñêèé ñëó÷àéíûé ïðîöåññ, ãäå z ( ) { ( ), ( ), ..., ( )}t z t z t z tn� 1 2 . Ïðåäïîëîæåíèå 2. Ïóñòü ñóùåñòâóåò îáðàòíîå ê (1) ïðåîáðàçîâàíèå x z� �� 1( ) (2) òàêîå, ÷òî ôóíêöèÿ��1( )z íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà íà � ïî t, äâàæäû íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà ïî z . Ïðåäïîëîæåíèå 3. Ïóñòü êîìïîíåíòà z t1( ) âåêòîðà z ( )t ÿâëÿåòñÿ ñòàöèî- íàðíûì öåíòðîâàííûì ñëó÷àéíûì ïðîöåññîì ñî ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòüþ S H i F i z1 1 2 2 2 ( ) ( ) ( ) � � � � � , (3) Ñ. Á. Ïðèõîäüêî 14 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2011. V. 33. ¹ 2 à z ( )t óäîâëåòâîðÿåò ñèñòåìå èç n ëèíåéíûõ ÑÄÓ d t t dt dw tz Az B( ) ( ) ( )� , z ( ) ( )0 �� , (4) ãäå A � � � � � � � � � � � � � � � 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 � � � � � � � �a a an ; B � � � ( , ..., , , , ..., )0 0 1q q qn m n m n T ; F x a xk k k n ( ) � � � 0 , an �1, H x b xk k k m ( ) � � � 0 , m n� �1, à ïàðàìåòðû { ,..., }q qn m n� îïðåäåëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì q bn m m� � , q b a qk n k n k i i i n m k � �� � � � � � 1 , k n m� � 1, ..., n . Ïóñòü âñå êîìïîíåíòû, íà÷èíàÿ ñî âòîðîé, ñëó÷àéíîãî ñèãíàëà x ( )t ìîæíî íàéòè êàê ïðîèçâîäíûå ïî âðåìåíè îò ïðåäûäóùèõ êîìïîíåíò, ò.å. x t x t2 1( ) � ( )� , x t x t x t x tn n3 2 1( ) � ( ),..., ( ) � ( )� � � . Íåîáõîäèìî ïî ðåàëèçàöèè ïåðâîé êîìïîíåíòû x t1( ) ñëó÷àéíîãî ïðî- öåññà x ( )t ïîñòðîèòü íåëèíåéíîå ÑÄÓ âèäà d t dt t d tx f x G x W� ( , ) ( , ) ( ). (5) Ïóñòü x ( )t ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ÑÄÓ (5) íà � � [ , ]0 T ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì x ( )0 � , x ( )t R n� , ãäå R n — n-ìåðíîå (âåùåñòâåííîå) åâêëèäîâî ïðîñò- ðàíñòâî. Ïðè ýòîì f x( , )t è G x( , )t — êîýôôèöèåíòû ñíîñà è äèôôóçèè â ÑÄÓ (5); G x( , )t R n m� � — ìàòðè÷íàÿ ôóíêöèÿ ðàçìåðà ( )n m� , W ( )t R m� — m-ìåðíûé ñòàíäàðòíûé âèíåðîâñêèé ïðîöåññ, êîìïîíåíòàìè êîòîðîãî ÿâ- ëÿþòñÿ íåçàâèñèìûå ñêàëÿðíûå âèíåðîâñêèå ïðîöåññû, à ( )t R n� — ñëó- ÷àéíûé âåêòîð íà÷àëüíûõ óñëîâèé. Ðåøåíèå çàäà÷è.  ýòîé ïîñòàíîâêå ñóòü ìåòîäà ïîñòðîåíèÿ ìàòå- ìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé âèäà (5) íà îñíîâå íîðìàëèçóþùèõ ïðåîáðàçîâàíèé ñîñòîèò â ñëåäóþùåì. Ðåàëèçàöèþ êîìïîíåíòû x t1( ) ñëó÷àéíîãî ñèãíàëà x ( )t íåëèíåéíîé ÑÄÑ ïðåîáðàçóåì â ðåàëèçàöèþ íîðìàëüíîãî ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà z t1( )âåêòîðà z ( )t íà îñíîâå íîðìàëèçóþùåãî ïðåîáðàçîâàíèÿ (1). Ïî ðåàëèçàöèè êîìïîíåíòû z t1( ) íàõîäèì íîðìàëèçîâàííîå ÑÄÓ (4) äëÿ z ( )t , ñîãëàñíî êîòîðîìó íà îñíîâå ïðåîáðàçîâàíèé (1), (2) è ôîðìóëû äëÿ ñòîõàñòè÷åñêîãî äèôôåðåíöèàëà (ôîðìóëû Èòî, åñëè ÑÄÓ ïîíèìàåòñÿ â ñìûñëå Èòî) ñòðîèì èñêîìîå ÑÄÓ (5). Ïðèìåíåíèå íîðìàëèçóþùèõ ïðåîáðàçîâàíèé ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2011. Ò. 33. ¹ 2 15 Ðåàëèçàöèþ êîìïîíåíòû x t1( ) ïðåîáðàçóåì â ðåàëèçàöèþ íîðìàëü- íîãî ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà z t1( ) âåêòîðà z ( )t íà îñíîâå íîðìàëèçóþùåãî ïðåîáðàçîâàíèÿ (1), â êà÷åñòâå êîòîðîãî ïðèìåíÿåì ìíîãîìåðíîå ïðåîá- ðàçîâàíèå Äæîíñîíà [5]: z h x( ) [ ( )]t � ��� � � �1 , (6) ãäå �, �, �, � — ïàðàìåòðû ðàñïðåäåëåíèÿ Äæîíñîíà, � � �� ( , ..., )1 n T , � � ��diag ( , ..., )1 n , � � �� ( , ..., )1 n T , � � ��diag ( , ..., )1 n ; h [( , ..., ) ]y yn T 1 � �{ ( ), ..., ( )}h y h yn n T 1 1 ; hi ( )� — ôóíêöèÿ îäíîìåðíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Äæîíñîíà äëÿ i-é êîìïîíåíòû [3], h x x( , , ) ln (~)� � � , x �� (ñåìåéñòâî S L ), h x x x( , , ) ln [~ / ( ~)]� � � �1 , � � � �x� (ñåìåéñòâî S B ), h x x( , , ) (~)� � � Arsh , �� � � �x (ñåìåéñòâî SU ). Çäåñü ~ ( ) /x x� �� �, Arsh (~) ln(~ ~ )x x x� 2 1 . Äëÿ ñåìåéñòâà S L ôóíêöèþ ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòè çàäàåì â âèäå f x x x( ) ( ) exp ln ln ( )� � � � �� �� � ! " # $ % & ' � � � � � � � � � 2 2 2 2 , äëÿ ñåìåéñòâà S B — â âèäå f x x x x x ( ) ( ) ( ) exp ln ( ) � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �2 1 2 � � ! " # $ % & ' 2 , äëÿ ñåìåéñòâà SU — â âèäå f x x x x ( ) {( ) } exp ln� � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � �2 1 2 1 2 2 2 � � � � � � � � � ! ! " # ( $( % & ( '( 2 . Ñåìåéñòâà ðàñïðåäåëåíèé Äæîíñîíà îòëè÷àþòñÿ ðàçíîîáðàçèåì ôîðì: â ïëîñêîñòè àñèììåòðèÿ â êâàäðàòå A2 è ýêñöåññ ) çàíèìàþò çíà÷èòåëüíûå îáëàñòè (ðèñ. 1). Åñëè êîìáèíàöèÿ A2 è ) íàõîäèòñÿ âáëèçè ëèíèè S L , òî âûáîðî÷íîå ðàñïðåäåëåíèå ìîæíî àïïðîêñèìèðîâàòü ðàñïðåäåëåíèåì èç ñåìåéñòâà S L (ëîãàðèôìè÷åñêè íîðìàëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì). Ðàñïðå- äåëåíèÿ ñî çíà÷åíèÿìè A2 è ), ëåæàùèå âûøå ëèíèè S L , àïïðîêñèìèðóþò ðàñïðåäåëåíèåì èç ñåìåéñòâà SU , à íàõîäÿùèåñÿ íèæå ëèíèè S L (äî ëèíèè êðèòè÷åñêîé îáëàñòè) — ðàñïðåäåëåíèåì èç ñåìåéñòâà S B . Åñëè êîìáè- íàöèÿ A2 è ) ïîïàäàåò â êðèòè÷åñêóþ îáëàñòü, òî âûáîðî÷íîå ðàñïðåäå- ëåíèå íåëüçÿ àïïðîêñèìèðîâàòü ðàñïðåäåëåíèåì èç ñåìåéñòâ ðàñïðåäåëå- íèé Äæîíñîíà. Ñ. Á. Ïðèõîäüêî 16 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2011. V. 33. ¹ 2 Âûáîð ñåìåéñòâà ðàñïðåäåëåíèé Äæîíñîíà îñóùåñòâëÿåòñÿ ïî îöåí- êàì àñèììåòðèè A è ýêñöåññà ), çíà÷åíèÿ êîòîðûõ âû÷èñëÿþò â ñîîòâåòñò- âèè ñ ãèñòîãðàììîé, ïîñòðîåííîé ïî ðåàëèçàöèè x t1( ). Ïàðàìåòðû �, �, � è � äëÿ âûáðàííîãî ñåìåéñòâà ðàñïðåäåëåíèé Äæîíñîíà â îáùåì ñëó÷àå ìîæíî íàéòè, ðåøèâ ñëåäóþùóþ çàäà÷ó: * * * � � " # $ % & '� �argmin [ ( ) ( , )]y x f xj j j m 2 1 , (7) ãäå * — âåêòîð íåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðîâ, * � � � ��{ , , , }; x j — çíà÷åíèå x â ñåðåäèíå j-ãî ïîäûíòåðâàëà; y x j( ) — çíà÷åíèå îðäèíàòû ãèñòîãðàììû ïðè x j ; f x j( , )* — ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòè ïðè x j ; m — ÷èñëî ïîäûíòåðâàëîâ ãèñòîãðàììû. Ïîñëå îïðåäåëåíèÿ ïàðàìåòðîâ �, �, � è � ðåàëèçàöèþ êîìïîíåíòû x t1( ) ïðåîáðàçóåì â ðåàëèçàöèþ íîðìàëüíîãî ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà z t1( ) íà îñíîâå íîðìàëèçóþùåãî ïðåîáðàçîâàíèÿ (6). Ïî ðåàëèçàöèè z t1( ) íàõîäèì íîðìàëèçîâàííîå ÑÄÓ (4) äëÿ z ( )t . Ôàêòè÷åñêè çàäà÷à ïîñòðîåíèÿ íîðìàëèçîâàííîãî ÑÄÓ (4) ïî ðåàëèçàöèè z t1( ) ÿâëÿåòñÿ çàäà÷åé ñòàòèñòè÷åñêîé èäåíòèôèêàöèè, êîòîðàÿ, êàê èçâåñòíî, íåêîððåêòíà ïî Òèõîíîâó. Äëÿ åå ðåãóëÿðèçàöèè, êðîìå ìåòîäà Òèõîíîâà, ìîãóò áûòü ïðèìåíåíû ñãëàæåííûå îöåíêè ñïåêòðàëüíîé ïëîò- íîñòè [3]. Ïî ðåàëèçàöèè z t1( ) íàõîäèì ñãëàæåííóþ îöåíêó ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòè z t1( ) è àïïðîêñèìèðóåì åå äðîáíî-ðàöèîíàëüíîé ôóíêöèåé (3). Çàòåì ìåòîäîì ôîðìèðóþùèõ ôèëüòðîâ ïîëó÷àåì ÑÄÓ (4). Ïî íîðìàëèçîâàííîìó ÑÄÓ (4) íà îñíîâå ïðåîáðàçîâàíèé (1), (2) è ôîðìóëû äëÿ ñòîõàñòè÷åñêîãî äèôôåðåíöèàëà ñòðîèì èñêîìîå ÑÄÓ (5), â êîòîðîì êîýôôèöèåíòû f x( , )t è G x( , )t íàõîäèì ïî ôîðìóëàì, îïðåäåëÿå- ìûì ñîãëàñíî ñëåäóþùåìó óòâåðæäåíèþ. Ïðèìåíåíèå íîðìàëèçóþùèõ ïðåîáðàçîâàíèé ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2011. Ò. 33. ¹ 2 17 12 8 4 0 ) 1 2 3 4 A 2 SB SL SU Êðèòè÷åñêàÿ îáëàñòü Ðèñ. 1. Êîìáèíàöèè A2 è ) äëÿ ðàçëè÷íûõ ðàñïðåäåëåíèé Äæîíñîíà Óòâåðæäåíèå. Ïóñòü âûïîëíÿþòñÿ ïðåäïîëîæåíèÿ 1, 2, 3 è óñëîâèÿ òåîðåìû î ñóùåñòâîâàíèè ðåøåíèÿ ÑÄÓ (4). Òîãäà f t t k k k T k( , ) ( )x z A x B z B z � � � � � ! � � �+� + +� + � + � + 1 1 2 1 2 1 2 �� ( )x ; (8) G tk k( , ) ( ) x z B z x � � � +� + � 1 , k n�1 2, , ..., . (9) Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ôóíêöèÿ��1( )z íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà íà � ïî t, äâàæäû íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà ïî z è âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ òåîðåìû î ñóùåñòâîâàíèè ðåøåíèÿ ÑÄÓ (4). Òîãäà ñîãëàñíî òåî- ðåìå î ôîðìóëå Èòî äëÿ êîìïîíåíò ôóíêöèè (2) ìîãóò áûòü ïîñòðîåíû ñîîòâåòñòâóþùèå ñòîõàñòè÷åñêèå äèôôåðåíöèàëû. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî z x�� ( ), äëÿ k-é êîìïîíåíòû âåêòîðà x ñòîõàñòè÷åñêèé äèôôåðåíöèàë ìîæíî çà- ïèñàòü òàê: dx t k k k T k� � � � � ! � � � � +� + +� + � + � + � 1 1 2 1 2 1 2z A x B z B z x ( ) ( ) ( ) ( )dt d tk � � +� + � 1 z B W z x . (10) Ñîïîñòàâëÿÿ êîýôôèöèåíòû â (10) ñ êîýôôèöèåíòàìè ñíîñà è äèôôóçèè â ÑÄÓ (5), îêîí÷àòåëüíî ïðèõîäèì ê ôîðìóëàì (8) è (9). Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî åñëè ÑÄÓ (5) ðàññìàòðèâàòü â ñìûñëå Ñòðàòî- íîâè÷à, òî â âûðàæåíèè (8) áóäåò îòñóòñòâîâàòü ïîñëåäíåå ñëàãàåìîå. Ðàññìîòðèì âòîðîé ñëó÷àé. Ïîñòàíîâêà çàäà÷è. Ïóñòü çàäàíî n êîìïîíåíò íåãàóññîâñêîãî ñëó- ÷àéíîãî ïðîöåññà x ( ) { ( ), ( ),..., ( )}t x t x t x tn� 1 2 íà � � [ , ]0 T , è ïî èõ ðåàëèçà- öèÿì ìîãóò áûòü íàéäåíû ñãëàæåííûå îöåíêè ñïåêòðàëüíûõ ïëîòíîñòåé ýòèõ êîìïîíåíò. Êîìïîíåíòû x ( )t áóäåì ñ÷èòàòü ñòàöèîíàðíûìè â øèðî- êîì ñìûñëå è ýðãîäè÷åñêèìè ïî ïåðâûì ÷åòûðåì ñòàòèñòè÷åñêèì ìîìåí- òàì ñëó÷àéíûìè ïðîöåññàìè íà èíòåðâàëå �. Ïóñòü âûïîëíÿþòñÿ ïðåäïîëîæåíèÿ 1, 2 è 3 äëÿ âñåõ êîìïîíåíò x ( )t . Íåîáõîäèìî ïî ðåàëèçàöèÿì êîìïîíåíò ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà x ( )t ïîñò- ðîèòü ÑÄÓ âèäà (5). Ðåøåíèå çàäà÷è.  ýòîé ïîñòàíîâêå ñóòü ìåòîäà ïîñòðîåíèÿ ìàòåìà- òè÷åñêèõ ìîäåëåé íåëèíåéíûõ ÑÄÑ âèäà (5) ñîñòîèò â ñëåäóþùåì. Ðåàëè- çàöèè êîìïîíåíò ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà x ( )t ïðåîáðàçóåì â ðåàëèçàöèè êîìïîíåíò íîðìàëüíîãî ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà z ( )t íà îñíîâå ïðåîáðà- çîâàíèÿ (1). Ïî ýòèì ðåàëèçàöèÿì íàõîäèì íîðìàëèçîâàííûå ÑÄÓ (4) è íà îñíîâå ïðåîáðàçîâàíèé (1), (2) è ôîðìóëû Èòî ñòðîèì ÑÄÓ (5), äëÿ êîòî- ðûõ íàõîäèì êîýôôèöèåíòû f x( , )t è G x( , )t ïî ôîðìóëàì (8), (9). Ñ. Á. Ïðèõîäüêî 18 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2011. V. 33. ¹ 2 Ðàññìîòðèì ïðèìåð ñòðóêòóðíîé èäåíòèôèêàöèè íåëèíåéíîé ÑÄÑ íà îñíîâå íîðìàëèçóþùèõ ïðåîáðàçîâàíèé â ïðîñòðàíñòâå ñèãíàëîâ äëÿ ïåð- âîãî ñëó÷àÿ, êîãäà çàäàíà ðåàëèçàöèÿ ïåðâîé êîìïîíåíòû x t1( ) ñëó÷àéíîãî ñèãíàëà x ( )t , à âñå ïîñëåäóþùèå êîìïîíåíòû îïðåäåëÿþòñÿ êàê ïðîèçâîä- íûå ïî âðåìåíè îò ïðåäûäóùèõ.  êà÷åñòâå êîìïîíåíòû x x t� 1( ) âîçüìåì âåðòèêàëüíîå ïåðåìåùåíèå ïîâåðõíîñòè ýêñòðåìàëüíûõ ìîðñêèõ âîëí, êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ íåãàóññîâñêèì ñëó÷àéíûì ïðîöåññîì. Ïðèìåð ðåàëèçà- öèè ýòîãî ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà — èçâåñòíàÿ çàïèñü ìîðñêîãî âîëíåíèÿ â Ñåâåðíîì ìîðå [6] (ðèñ. 2). Ñîãëàñíî ðèñ. 2 ïîñòðîåíà ãèñòîãðàììà âåðòèêàëüíîãî ïåðåìåùåíèÿ ïîâåðõíîñòè ìîðñêèõ âîëí, ïî êîòîðîé íàéäåíû îöåíêè àñèììåòðèè ( , )A �0 8165 è ýêñöåññà () �5 790, ), ÷òî ñîîòâåòñòâóåò ðàñïðåäåëåíèþ Äæîí- ñîíà èç ñåìåéñòâà SU (ñì. ðèñ. 1).  ðåçóëüòàòå ðåøåíèÿ çàäà÷è (7) äëÿ âûáðàííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ Äæîí- ñîíà èç ñåìåéñòâà SU íàéäåíû ïàðàìåòðû: � � �0 7630, , ��1870, , � � 4 584, , � ��2 265, . Ïî êðèòåðèþ Ïèðñîíà óñòàíîâëåíà àäåêâàòíîñòü âûáðàííîé âåðîÿòíîñòíîé ìîäåëè ýêñïåðèìåíòàëüíûì äàííûì. Ïîñëå âûïîëíåíèÿ íîðìàëèçàöèè ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà x t( ) íà îñíîâå ïðåîáðàçîâàíèÿ Äæîí- ñîíà èç ñåìåéñòâà SU ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè ïàðàìåòðàìè ïîëó÷åí ñëó÷àé- íûé ïðîöåññ z t( ), ïðåäñòàâëåííûé íà ðèñ. 3. Ñðàâíèâàÿ ðèñ. 2 è 3, ìîæíî ñäåëàòü ñëåäóþùèé âûâîä: íîðìàëèçàöèÿ íåãàóññîâñêîãî ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà ïðè ) �3 ïðèâîäèò ê óìåíüøåíèþ ðàçíèöû ìåæäó îðäèíàòàìè â íîðìàëèçîâàííîì ïðîöåññå, ÷òî âåäåò ê ñíèæåíèþ çíà÷åíèé ýêñöåññà è àñèììåòðèè. Ýòî ïîäòâåðæäàåòñÿ è ðåçóëü- òàòàìè ðàñ÷åòîâ. Ñîãëàñíî ðèñ. 3 ïîñòðîåíà ãèñòîãðàììà îðäèíàò ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà z t( ), ïî êîòîðîé íàéäåíû çíà÷åíèÿ àñèììåòðèè (A �0 0533, ) è ýêñöåññà ,) �2 836, ). Ýòè çíà÷åíèÿ ïðèáëèæåíî ñîîòâåòñòâóþò íîðìàëüíîìó çàêîíó (îòíîñèòåëüíàÿ îøèáêà äëÿ ýêñöåññà — 5,5 %). Íîðìàëèçàöèÿ ïðèâåëà ê Ïðèìåíåíèå íîðìàëèçóþùèõ ïðåîáðàçîâàíèé ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2011. Ò. 33. ¹ 2 19 15 10 5 0 5 10 � � 100 150 200 250 300 , ct x, ì Ðèñ. 2. Âåðòèêàëüíûå ïåðåìåùåíèÿ ïîâåðõíîñòè ýêñòðåìàëüíûõ ìîðñêèõ âîëí [6] óìåíüøåíèþ çíà÷åíèé A è ) ñîîòâåòñòâåííî íà 93,5 % è 51,0 %.  ñîîò- âåòñòâèè ñ êðèòåðèåì Ïèðñîíà ïîäòâåðæäåíà íóëåâàÿ ãèïîòåçà î íîðìàëü- íîñòè çàêîíà ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ ïðîöåññà z t( ). Ïîñëå ðåàëèçàöèè ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà z t( ) íàõîäèì îöåíêó åãî ñïåêò- ðàëüíîé ïëîòíîñòè, êîòîðóþ àïïðîêñèìèðóåì äðîáíî-ðàöèîíàëüíîé ôóíê- öèåé (3) ïðè n � 4, m�3, ÷òî ïîçâîëÿåò ó÷èòûâàòü ðåàëüíóþ äâóõïèêîâóþ ôîðìó ñïåêòðà âîëíîâûõ îðäèíàò ýêñòðåìàëüíîãî ìîðñêîãî âîëíåíèÿ. Èñïîëüçóÿ ìåòîä ôîðìèðóþùèõ ôèëüòðîâ äëÿ ïðîöåññà z t( ) ñî ñïåêò- ðàëüíîé ïëîòíîñòüþ âèäà (3) ïðè n � 4, m�3, ïîëó÷àåì íîðìàëèçîâàííîå ÑÄÓ d z dt a d z dt a d z dt a dz dt a z 4 4 3 3 3 2 2 2 1 0 � � b d n t dt b d n t dt b dn t dt b n t3 3 3 2 2 2 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ), (11) ãäå n t( ) — áåëûé øóì. Îáîçíà÷èâ z z t1 � ( ), z z b n t2 1 3� �� ( ), z z3 2� �� � �( ) ( )b b a n t2 3 3 , z z b b a b a b a n t4 3 1 2 3 3 3 2 3 2� � � �� ( ) ( ), ïðåîáðàçóåì ÑÄÓ (11) â ñèñòåìó: � ( )z z b n t1 2 3� ; � ( ) ( )z z b b a n t2 3 2 3 3� � ; � ( ) ( )z z b b a b a b a n t3 4 1 2 3 3 3 2 3 2� � � ; (12) � ( ) ( )z b b a b a b a b a b a n t a z a z4 0 1 3 2 3 2 3 3 3 2 2 3 1 3 4 2 3� � � � � � � �a z a z1 2 0 1� . Äëÿ ñåìåéñòâà SU íàéäåì êîìïîíåíòû ïðåîáðàçîâàíèÿ (6), z x1 1� � � Arsh (~ ), Ñ. Á. Ïðèõîäüêî 20 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2011. V. 33. ¹ 2 Ðèñ. 3. Íîðìàëèçîâàííûé ñëó÷àéíûé ïðîöåññ z t( ) z x x 2 2 1 2 1 � � � ~ , z x x x x x 3 1 2 3 1 2 2 1 2 1 1 1 � � � �~ ~ ~ ~ � � � � � �� , (13) z x x x x x x x x x x 4 1 2 4 2 2 3 1 2 1 2 1 2 3 1 2 1 1 1 3 1 1 � � � � � �~ ~ ~ ~ ~ � � � 2 1 2 1~x � � � � �� � � � � ! , è ïðåîáðàçîâàíèÿ (2): x sh z1 1� � � (~ ), x z ch z2 2 1� � � (~ ), x z ch z z sh z3 3 1 2 2 2 1� � � � � (~ ) (~ ), (14) x z ch z z ch z z z sh z4 4 1 3 2 3 1 2 2 3 13� � � � � � � (~ ) (~ ) (~ ), ãäå ~ ( ) /x x� �1 � �; ~ ( ) /z z� �1 � �. Èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (8), (9) è ïðåîáðà- çîâàíèÿ (13), (14), ïîëó÷àåì èñêîìûå ÑÄÓ (5) äëÿ ñèñòåìû ÑÄÓ (12): � ~ ( )x x b x n t1 2 3 1 2 1� � � , � ~ ~ ~ ( ) (x x b x x x x b b a n t2 3 3 1 2 1 2 1 2 2 3 3 1 1 1� � � � � � � ! !� � ), � ~ ~ ~ ~ x x x x x x x x x b3 4 1 2 2 2 1 3 1 2 2 1 2 3 1 1 1 1 � � � � � � �� � � � � � � � 2 1 3 2 3 3 ~ ( )x x b b a � �� , -~ ( )] ( )x b b a b a b a n t1 2 1 2 3 3 3 2 3 21 ; � ~ ) ~ ~ ~ x x x x x x x x x x x 4 1 2 2 3 1 2 4 1 2 3 1 21 1 6 4 3 9 � � � � � � � � , � 2 2 1 2 2 2 2 1 3 1 2 � , �~ ) ~ x x x x � � � � �� � � � 15 1 1 3 31 3 2 4 3 1 2 3 4 2 1 2 2 2 1 3 ~ ~ ) ~ ) ~x x x a x x x x x x � , � , � ~ ~ ) x x x 1 3 2 2 1 2 1� , � � � � �� � � � � ! � � � � � � � ! � � a x x x x a x a x2 3 1 2 2 1 2 1 2 0 1 2 1 1 ~ ~ ) ~ ( � , � � � �Arsh ~ )x1 (15) Ïðèìåíåíèå íîðìàëèçóþùèõ ïðåîáðàçîâàíèé ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2011. Ò. 33. ¹ 2 21 � n t x x x x x x x x ( ) ~ ~ ) ~ ~ ~ � � , � �. 1 2 2 1 2 1 3 2 2 1 2 2 2 1 2 1 1 3 1 3 x x x x x3 1 2 2 1 3 4 � � � � � �� � � � " # $ ~ ~ � � ! � � 3 32 3 3 1 2 3 3 3 2 3 2 1 2 x x b b b a b a b a x x � ( ) ~ � � � � � ,( ) ~ )b b a b a b a b a b a x0 1 3 2 3 2 3 3 3 2 2 3 1 1 2 1 � � � � � � �� % & ' 3 3 1 2 3 3 2 2 1 3 1 3 2 2 1 2 ( ) ~ ~ ~ b b a x x x x x x� � , êîòîðûå ñëåäóåò ïîíèìàòü â ñìûñëå Èòî. ÑÄÓ (15) — ýòî íåëèíåéíàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü ýêñòðåìàëüíîãî ìîðñêîãî âîëíåíèÿ, ïîçâîëÿþùàÿ ó÷èòûâàòü ðåàëüíîå íåãàóññîâñêîå ðàñïðåäåëåíèå âîëíîâûõ îðäèíàò è äâóõïèêîâóþ ôîðìó ÷àñòîòíîãî ñïåêòðà, à òàêæå îñóùåñòâëÿòü êîìïüþ- òåðíîå ìîäåëèðîâàíèå èíòåíñèâíîãî ìîðñêîãî âîëíåíèÿ ïðè îöåíêå ïðî÷- íîñòè è ìîðåõîäíîñòè ñóäîâ. Âûâîäû Ïðåäëîæåííûé ìåòîä ïîñòðîåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé íåëèíåéíûõ ÑÄÑ íà îñíîâå íîðìàëèçîâàííûõ ÑÄÓ, ôîðìóë äëÿ ñòîõàñòè÷åñêîãî äèôôåðåíöèàëà (ôîðìóëû Èòî), íîðìàëèçóþùèõ ìíîãîìåðíûõ ïðåîáðà- çîâàíèé è ïðåîáðàçîâàíèé, îáðàòíûõ ê íèì, ïîçâîëÿåò ïîëó÷àòü ìàòåìà- òè÷åñêèå ìîäåëè ñëó÷àéíûõ ñèãíàëîâ (ïðîöåññîâ) â ÑÄÑ â âèäå íåëè- íåéíûõ ÑÄÓ â ñëó÷àå, êîãäà ýòè ñèãíàëû îòëè÷àþòñÿ îò ãàóññîâñêèõ. Ïîëó÷åíû ôîðìóëû äëÿ îïðåäåëåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ ñíîñà è äèôôóçèè íåëèíåéíûõ ÑÄÓ íà îñíîâå íîðìàëèçîâàííûõ ÑÄÓ, ôîðìóëû äëÿ ñòîõàñ- òè÷åñêîãî äèôôåðåíöèàëà (ôîðìóëû Èòî), à òàêæå ôîðìóëû íîðìàëèçóþùèõ ìíîãîìåðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé è ïðåîáðàçîâàíèé, îáðàòíûõ ê íèì.  êà÷åñòâå íîðìàëèçèðóþùåãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ìîæåò áûòü ïðèìåíåíî ìíîãîìåðíîå ïðåîáðàçîâàíèå Äæîíñîíà.  äàëüíåéøåì èññëåäîâàíèÿ ïëàíèðóåòñÿ âåñòè â íàïðàâëåíèè ïîèñêà íîâûõ íîðìàëèçóþùèõ ïðåîáðàçîâàíèé. The method based on normalizing transformations is proposed for construction of mathematical models of nonlinear stochastic differential systems. 1. Ïóãà÷åâ Â. Ñ., Ñèíèöûí È. Í. Ñòîõàñòè÷åñêèå äèôôåðåíöèàëüíûå ñèñòåìû. — Ì. : Íàóêà, 1985. — 560 ñ. 2. Ïóãà÷åâ Â. Ñ., Ñèíèöûí È. Í. Òåîðèÿ ñòîõàñòè÷åñêèõ ñèñòåì: Ó÷åá. ïîñîáèå. — Ì. : Ëîãîñ, 2000. — 1000 ñ. Ñ. Á. Ïðèõîäüêî 22 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2011. V. 33. ¹ 2 3. Ïðèõîäüêî Ñ. Á. Ìåòîäè ïîáóäîâè ìàòåìàòè÷íèõ ìîäåëåé íîðìàë³çîâàíèõ ñèãíàë³â íåë³í³éíèõ ñòîõàñòè÷íèõ äèôåðåíö³àëüíèõ ñèñòåì // Ìàòåìàòè÷íå ìîäåëþâàííÿ. — 2008. — ¹ 2 (19). — C. 3—6. (Äí³ïðîäçåðæèíñüê). 4. Ïðèõîäüêî Ñ. Á. Ñòðóêòóðíà ³äåíòèô³êàö³ÿ íåë³í³éíèõ ñòîõàñòè÷íèõ äèôåðåíö³àëüíèõ ñèñòåì íà îñíîâ³ ìàòåìàòè÷íèõ ìîäåëåé íîðìàë³çîâàíèõ ñèãíàë³â // ³ñíèê ³ííèöü- êîãî ïîë³òåõí³÷íîãî ³íñòèòóòó. — 2009. — ¹ 3 (84). — Ñ. 86—92. 5. Ïðèõîäüêî Ñ. Á. Áàãàòîâèì³ðí³ ïåðåòâîðåííÿ äëÿ íîðìàë³çàö³¿ ìàòåìàòè÷íèõ ìîäåëåé íåë³í³éíèõ ñòîõàñòè÷íèõ äèôåðåíö³àëüíèõ ñèñòåì // Ìàòåìàòè÷íå ìîäåëþâàííÿ. — 2009. — ¹ 1 (20). — C. 12—15. (Äí³ïðîäçåðæèíñüê). 6. Soares C. G., Fonseca N., Pascoal R. et al. Analysis of wave induced loads on a FPSO due to abnormal waves // Proc. of OMAE Specialty Conference on Integrity of Floating Production. Storage & Offloading (FPSO) Systems, August 30 — September 2, 2004, Houston, TX. — P.1—8. Ïîñòóïèëà 13.05.10; ïîñëå äîðàáîòêè 01.11.10 ÏÐÈÕÎÄÜÊÎ Ñåðãåé Áîðèñîâè÷, êàíä. òåõí. íàóê, äîöåíò, çàâ. êàôåäðîé ïðîãðàììíîãî îáåñ- ïå÷åíèÿ àâòîìàòèçèðîâàííûõ ñèñòåì Íàöèîíàëüíîãî óíèâåðñèòåòà êîðàáëåñòðîåíèÿ èì. àäìè- ðàëà Ìàêàðîâà.  1981 ã. îêîí÷èë Íèêîëàåâñêèé êîðàáëåñòðîèòåëüíûé èí-ò. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — ìîäåëèðîâàíèå ñòîõàñòè÷åñêèõ ñèñòåì, èíôîðìàöèîííûå òåõíîëîãèè. Ïðèìåíåíèå íîðìàëèçóþùèõ ïðåîáðàçîâàíèé ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2011. Ò. 33. ¹ 2 23 24 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2011. V. 33. ¹ 2 << /ASCII85EncodePages false /AllowTransparency false /AutoPositionEPSFiles true /AutoRotatePages /None /Binding /Left /CalGrayProfile (Dot Gain 20%) /CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CalCMYKProfile (U.S. Web Coated \050SWOP\051 v2) /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CannotEmbedFontPolicy /Error /CompatibilityLevel 1.4 /CompressObjects /Tags /CompressPages true /ConvertImagesToIndexed true /PassThroughJPEGImages true /CreateJDFFile false /CreateJobTicket false /DefaultRenderingIntent /Default /DetectBlends true /DetectCurves 0.0000 /ColorConversionStrategy /CMYK /DoThumbnails false /EmbedAllFonts true /EmbedOpenType false /ParseICCProfilesInComments true /EmbedJobOptions true /DSCReportingLevel 0 /EmitDSCWarnings false /EndPage -1 /ImageMemory 1048576 /LockDistillerParams false /MaxSubsetPct 100 /Optimize true /OPM 1 /ParseDSCComments true /ParseDSCCommentsForDocInfo true /PreserveCopyPage true /PreserveDICMYKValues true /PreserveEPSInfo true /PreserveFlatness true /PreserveHalftoneInfo false /PreserveOPIComments true /PreserveOverprintSettings true /StartPage 1 /SubsetFonts true /TransferFunctionInfo /Apply /UCRandBGInfo /Preserve /UsePrologue false /ColorSettingsFile () /AlwaysEmbed [ true ] /NeverEmbed [ true ] /AntiAliasColorImages false /CropColorImages true /ColorImageMinResolution 300 /ColorImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleColorImages true /ColorImageDownsampleType /Bicubic /ColorImageResolution 300 /ColorImageDepth -1 /ColorImageMinDownsampleDepth 1 /ColorImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeColorImages true /ColorImageFilter /DCTEncode /AutoFilterColorImages true /ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG /ColorACSImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /ColorImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /JPEG2000ColorACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /JPEG2000ColorImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages true /GrayImageMinResolution 300 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 300 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /GrayImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /JPEG2000GrayACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /JPEG2000GrayImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages true /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict << /K -1 >> /AllowPSXObjects false /CheckCompliance [ /None ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile () /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False /Description << /CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e9ad88d2891cf76845370524d53705237300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002> /CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc9ad854c18cea76845370524d5370523786557406300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002> /DAN <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> /DEU <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> /ESP <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> /FRA <FEFF005500740069006c006900730065007a00200063006500730020006f007000740069006f006e00730020006100660069006e00200064006500200063007200e900650072002000640065007300200064006f00630075006d0065006e00740073002000410064006f00620065002000500044004600200070006f0075007200200075006e00650020007100750061006c0069007400e90020006400270069006d007000720065007300730069006f006e00200070007200e9007000720065007300730065002e0020004c0065007300200064006f00630075006d0065006e00740073002000500044004600200063007200e900e90073002000700065007500760065006e0074002000ea0074007200650020006f007500760065007200740073002000640061006e00730020004100630072006f006200610074002c002000610069006e00730069002000710075002700410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002000650074002000760065007200730069006f006e007300200075006c007400e90072006900650075007200650073002e> /ITA <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> /JPN <FEFF9ad854c18cea306a30d730ea30d730ec30b951fa529b7528002000410064006f0062006500200050004400460020658766f8306e4f5c6210306b4f7f75283057307e305930023053306e8a2d5b9a30674f5c62103055308c305f0020005000440046002030d530a130a430eb306f3001004100630072006f0062006100740020304a30883073002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee5964d3067958b304f30533068304c3067304d307e305930023053306e8a2d5b9a306b306f30d530a930f330c8306e57cb30818fbc307f304c5fc59808306730593002> /KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020ace0d488c9c80020c2dcd5d80020c778c1c4c5d00020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e> /NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken die zijn geoptimaliseerd voor prepress-afdrukken van hoge kwaliteit. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.) /NOR <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> /PTB <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> /SUO <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> /SVE <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> /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents best suited for high-quality prepress printing. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.) >> /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ << /AsReaderSpreads false /CropImagesToFrames true /ErrorControl /WarnAndContinue /FlattenerIgnoreSpreadOverrides false /IncludeGuidesGrids false /IncludeNonPrinting false /IncludeSlug false /Namespace [ (Adobe) (InDesign) (4.0) ] /OmitPlacedBitmaps false /OmitPlacedEPS false /OmitPlacedPDF false /SimulateOverprint /Legacy >> << /AddBleedMarks false /AddColorBars false /AddCropMarks false /AddPageInfo false /AddRegMarks false /ConvertColors /ConvertToCMYK /DestinationProfileName () /DestinationProfileSelector /DocumentCMYK /Downsample16BitImages true /FlattenerPreset << /PresetSelector /MediumResolution >> /FormElements false /GenerateStructure false /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles false /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /LeaveUntagged /UntaggedRGBHandling /UseDocumentProfile /UseDocumentBleed false >> ] >> setdistillerparams << /HWResolution [2400 2400] /PageSize [612.000 792.000] >> setpagedevice

Similar Items