Алгоритмы и программное обеспечение для равномерной аппроксимации экспериментальных данных
Приведены результаты сравнения метода равномерной аппроксимации с другими методами аппроксимации экспериментальных зависимостей. Представлены состояние программного обеспечения для равномерного приближения функций и предъявляемые к нему требования. Описаны функциональные возможности пакета РАДАН, пр...
Saved in:
| Published in: | Электронное моделирование |
|---|---|
| Date: | 2011 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
2011
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/61786 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Алгоритмы и программное обеспечение для равномерной аппроксимации экспериментальных данных / П.С. Малачивский, Б.Р. Монцибович // Электронное моделирование. — 2011 — Т. 33, № 5. — С. 97-106. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859944590875820032 |
|---|---|
| author | Малачивский, П.С. Монцибович, Б.Р. |
| author_facet | Малачивский, П.С. Монцибович, Б.Р. |
| citation_txt | Алгоритмы и программное обеспечение для равномерной аппроксимации экспериментальных данных / П.С. Малачивский, Б.Р. Монцибович // Электронное моделирование. — 2011 — Т. 33, № 5. — С. 97-106. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Электронное моделирование |
| description | Приведены результаты сравнения метода равномерной аппроксимации с другими методами аппроксимации экспериментальных зависимостей. Представлены состояние программного обеспечения для равномерного приближения функций и предъявляемые к нему требования. Описаны функциональные возможности пакета РАДАН, предназначенного для решения задач, сводимых к равномерному приближению функций.
Наведено результаты порівняння методу рівномірної апроксимації з іншими методами апроксимації експериментальних залежностей. Подано стан програмного забезпечення для рівномірного наближення функцій та вимоги щодо нього. Описано функціональні можливості пакету РАДАН, призначеного для розв’язування задач, які зводяться до рівномірного наближення функцій.
A short description of minimax approximation method in comparison with other methods applied for approximation of experimental data is given. The brief up-to-date state of research concerning the software realizing algorithms for computing minimax approximations, and requirements imposed upon such software are presented. The functional potentialities of package RADAN as intended for practical realization of software problems reduced to uniform approximation of functions are described.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:12:54Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.65
Ï. Ñ. Ìàëà÷èâñêèé, ä-ð òåõí. íàóê,
Á. Ð. Ìîíöèáîâè÷, êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê
Öåíòð ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ Èí-òà ïðèêëàäíûõ ïðîáëåì
ìåõàíèêè è ìàòåìàòèêè èì. ß. Ñ. Ïèäñòðûãà÷à ÍÀÍ Óêðàèíû
(Óêðàèíà, 79005, Ëüâîâ, óë. Äæ. Äóäàåâà, 15,
òåë. (032) 2611891, E-mail: psmal@cmm.lviv.ua, mon_ua@yahoo.com)
Àëãîðèòìû è ïðîãðàììíîå
îáåñïå÷åíèå äëÿ ðàâíîìåðíîé àïïðîêñèìàöèè
ýêñïåðèìåíòàëüíûõ äàííûõ
Ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû ñðàâíåíèÿ ìåòîäà ðàâíîìåðíîé àïïðîêñèìàöèè ñ äðóãèìè ìåòîäàìè
àïïðîêñèìàöèè ýêñïåðèìåíòàëüíûõ çàâèñèìîñòåé. Ïðåäñòàâëåíû ñîñòîÿíèå ïðîãðàììíîãî
îáåñïå÷åíèÿ äëÿ ðàâíîìåðíîãî ïðèáëèæåíèÿ ôóíêöèé è ïðåäúÿâëÿåìûå ê íåìó òðåáîâàíèÿ.
Îïèñàíû ôóíêöèîíàëüíûå âîçìîæíîñòè ïàêåòà ÐÀÄÀÍ, ïðåäíàçíà÷åííîãî äëÿ ðåøåíèÿ
çàäà÷, ñâîäèìûõ ê ðàâíîìåðíîìó ïðèáëèæåíèþ ôóíêöèé.
Íàâåäåíî ðåçóëüòàòû ïîð³âíÿííÿ ìåòîäó ð³âíîì³ðíî¿ àïðîêñèìàö³¿ ç ³íøèìè ìåòîäàìè
àïðîêñèìàö³¿ åêñïåðèìåíòàëüíèõ çàëåæíîñòåé. Ïîäàíî ñòàí ïðîãðàìíîãî çàáåçïå÷åííÿ
äëÿ ð³âíîì³ðíîãî íàáëèæåííÿ ôóíêö³é òà âèìîãè ùîäî íüîãî. Îïèñàíî ôóíêö³îíàëüí³
ìîæëèâîñò³ ïàêåòó ÐÀÄÀÍ, ïðèçíà÷åíîãî äëÿ ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷, ÿê³ çâîäÿòüñÿ äî ð³âíî-
ì³ðíîãî íàáëèæåííÿ ôóíêö³é.
Ê ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à: ðàâíîìåðíàÿ (÷åáûøåâñêàÿ, ìèíèìàêñíàÿ) àïïðîêñèìàöèÿ, ïîãðåø-
íîñòü ïðèáëèæåíèÿ ôóíêöèè, ïðîãðàììíîå îáåñïå÷åíèå.
Ðàâíîìåðíîå ïðèáëèæåíèå — ýòî ïðèáëèæåíèå, ïðè êîòîðîì ìèíèìèçè-
ðóåòñÿ íàèáîëüøåå ïî ìîäóëþ îòêëîíåíèå àïïðîêñèìèðóþùåãî âûðàæå-
íèÿ îò ýêñïåðèìåíòàëüíûõ äàííûõ. Ïóñòü ïî èçâåñòíûì çíà÷åíèÿì y i
ôóíêöèè f x( ) â òî÷êàõ x i ( , )i N�1 íåîáõîäèìî îïðåäåëèòü àïïðîêñèìè-
ðóþùåå âûðàæåíèå F A x F a a a xm m m( ; ) ( , , ..., ; )� 1 2 , êîòîðîå ïðèáëèæåííî
âîñïðîèçâîäèò çíà÷åíèå f x( ) â ýòèõ òî÷êàõ, y F A xi m i� ( ; ), ãäå F A xm( ; ) —
èçáðàííûé âèä çàâèñèìîñòè; ak ( , )k m�1 — íåèçâåñòíûå êîýôôèöèåíòû,
m N� .
Ìåòîä ðàâíîìåðíîãî ïðèáëèæåíèÿ ôóíêöèé ñîñòîèò â òàêîì îïðåäå-
ëåíèè íåèçâåñòíûõ êîýôôèöèåíòîâ ak ( , )k m�1 âûðàæåíèÿ F A xm( ; ), ïðè
êîòîðîì íàèáîëüøàÿ ïîãðåøíîñòü ïðèáëèæåíèÿ íà ìíîæåñòâå òî÷åê x i
( , )i N�1 ïðèíèìàåò íàèìåíüøåå çíà÷åíèå èç âîçìîæíûõ, ò.å.
max ( ; ) min max ( ; )*
{ }1 1� � � �
� � �
i N
i i
A i N
i iy F A x y F A x .
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2011. Ò. 33. ¹ 5 97
Òàêîå ïðèáëèæåíèå ôóíêöèé íàçûâàþò ìèíèìàêñíûì èëè ÷åáûøåâñêèì
[1, 2]. Ìèíèìàêñíîå ïðèáëèæåíèå îáåñïå÷èâàåò ìèíèìàëüíî âîçìîæíîå îò-
êëîíåíèå ïðèáëèæàåìîé ôóíêöèè îò àïïðîêñèìàíòû. Äëÿ ñðàâíåíèÿ çàìå-
òèì, ÷òî â ñëó÷àå ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîãî ïðèáëèæåíèÿ (ìåòîäå íàèìåíüøèõ
êâàäðàòîâ) ìèíèìèçèðóåòñÿ ñóììà êâàäðàòîâ ïîãðåøíîñòåé îòêëîíåíèÿ.
Ïðîãðàììíîå îáåñïå÷åíèå äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïàðàìåòðîâ ðàâíî-
ìåðíîãî ïðèáëèæåíèÿ. Ðàâíîìåðíîå ïðèáëèæåíèå, ê ñîæàëåíèþ, åùå íå
ïîëó÷èëî íàäëåæàùåãî ðàñïðîñòðàíåíèÿ. Âìåñòå ñ òåì, ìîäåëè, ïîëó÷åí-
íûå ïî ÷åáûøåâñêîìó êðèòåðèþ, îáåñïå÷èâàþò íàèìåíüøóþ ïîãðåø-
íîñòü âîññòàíîâëåíèÿ ðåçóëüòàòîâ íàáëþäåíèÿ [1]. Îäíàêî äî ñèõ ïîð ïðè
ðåøåíèè çàäà÷, â êîòîðûõ æåëàåìûì ÿâëÿåòñÿ äîñòèæåíèå íàèìåíüøåé
ïîãðåøíîñòè âîññòàíîâëåíèÿ îïûòíûõ äàííûõ, ïðàêòèêóåòñÿ ïðèìåíåíèå
ìåòîäà èíòåðïîëÿöèè èëè ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîãî ïðèáëèæåíèÿ [3, 4]. Íà-
ïðèìåð, èç ìíîãèõ òåõíè÷åñêèõ ïðèëîæåíèé ñëåäóåò, ÷òî àïïðîêñèìàöèÿ
ïðîâîäèòñÿ ïî ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîìó êðèòåðèþ, à êà÷åñòâî ïðèáëèæåíèÿ
îöåíèâàåòñÿ âåëè÷èíîé ïîëó÷åííîé ìàêñèìàëüíîé àáñîëþòíîé ïîãðåøíîñòè
[5]. Òàêîé ïîäõîä ÿâëÿåòñÿ íåäîïóñòèìûì îòíîñèòåëüíî ìåòîäîëîãèè è òåî-
ðèè ïðèáëèæåíèÿ, ÷òî îáúÿñíÿåòñÿ íå öåëåñîîáðàçíîñòüþ ïðèìåíåíèÿ ñðåä-
íåêâàäðàòè÷åñêîãî êðèòåðèÿ, à åãî äîñòóïíîñòüþ è òðàäèöèåé.
Ïîïóëÿðíûå ìàòåìàòè÷åñêèå ïàêåòû, òàêèå êàê Mathematika è MathLab,
âêëþ÷àþò ïðîöåäóðû, ðåàëèçóþùèå íàõîæäåíèå àïïðîêñèìàöèè ôóíê-
öèè ïî ìèíèìàêñíîìó êðèòåðèþ, íî äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïàðàìåòðîâ òàêîé
àïïðîêñèìàöèè èñïîëüçóþòñÿ ìåòîäû ìàòåìàòè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâà-
íèÿ. Óñïåøíîå íàõîæäåíèå ðàâíîìåðíîãî ïðèáëèæåíèÿ ôóíêöèé ñ èñ-
ïîëüçîâàíèåì ýòèõ ïàêåòîâ â çíà÷èòåëüíîé ñòåïåíè çàâèñèò îò óäà÷íîãî
âûáîðà íà÷àëüíîãî ïðèáëèæåíèÿ.
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñèñòåìà Maple ïðåäóñìàòðèâàåò îïðåäåëåíèå ìèíè-
ìàêñíîãî ïðèáëèæåíèÿ ëèøü äëÿ àíàëèòè÷åñêè çàäàííûõ ôóíêöèé ïîëè-
íîìîì è ðàöèîíàëüíûì âûðàæåíèåì, õîòÿ ïîòðåáíîñòü â àïïðîêñèìàöèè
òàáëè÷íî çàäàííûõ ôóíêöèé äîñòàòî÷íî àêòóàëüíà è ìåòîäû íàõîæäåíèÿ
òàêîãî ïðèáëèæåíèÿ èçâåñòíû. Îäíàêî äàæå ïðîöåäóðû (minimax è re-
mez), ðåàëèçîâàííûå â ïàêåòå Maple, ÷àñòî ïî ðàçëè÷íûì ïðè÷èíàì íå
äàþò ðåçóëüòàòà â ñëó÷àÿõ, êîãäà ìèíèìàêñíîå ïðèáëèæåíèå ñóùåñòâóåò
èëè äàþò íåâåðíûå ðåçóëüòàòû [6, ñ. 121, 122]. Òàêàÿ ñèòóàöèÿ íå òîëüêî
îãðàíè÷èâàåò èíñòðóìåíòàëüíûå âîçìîæíîñòè óïîìÿíóòûõ ïðîãðàììíûõ
ñðåäñòâ, íî è ïðåäîïðåäåëÿåò ïðèìåíåíèå ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîãî êðèòå-
ðèÿ â çàäà÷àõ, ðåøåíèåì êîòîðûõ ÿâëÿþòñÿ ìèíèìàêñíûå àïïðîêñèìàöèè.
Âñëåäñòâèå ýòîãî, â ÷àñòíîñòè, ïðîèñõîäèò óõóäøåíèå òåõíè÷åñêèõ õàðàê-
òåðèñòèê âî âðåìÿ ïðîåêòèðîâàíèÿ ñèñòåì èçìåðåíèÿ èëè óïðàâëåíèÿ,
ãðàäóèðîâàíèÿ ñòàòè÷åñêèõ õàðàêòåðèñòèê ñåíñîðîâ è äð.
Ï. Ñ. Ìàëà÷èâñêèé, Á. Ð. Ìîíöèáîâè÷
98 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2011. V. 33. ¹ 5
Ñïåöèàëüíîå ïðîãðàììíîå îáåñïå÷åíèå äëÿ ìèíèìàêñíîãî ïðèáëèæå-
íèÿ ôóíêöèé ðàçðàáîòàíî êàê â Óêðàèíå, òàê è çà ðóáåæîì [7, 8]. Ðàñ-
ñìîòðèì ïðåäëàãàåìûé ïàêåò ïðîãðàìì ÐÀÄÀÍ (ðàâíîìåðíàÿ àïïðîê-
ñèìàöèÿ äàííûõ).
Íàçíà÷åíèå è ôóíêöèîíàëüíûå âîçìîæíîñòè ïàêåòà ïðîãðàìì
ÐÀÄÀÍ. Ïàêåò ÐÀÄÀÍ ïðåäíàçíà÷åí äëÿ ðåøåíèÿ îïòèìèçàöèîííûõ çà-
äà÷, êîòîðûå ñâîäÿòñÿ ê ðàâíîìåðíîìó ïðèáëèæåíèþ ôóíêöèé. Îí îáåñ-
ïå÷èâàåò íàõîæäåíèå ðàâíîìåðíîãî ïðèáëèæåíèÿ òàáëè÷íî-çàäàííûõ
ôóíêöèé ñ íàèìåíüøåé àáñîëþòíîé èëè îòíîñèòåëüíîé ïîãðåøíîñòüþ.
Ïàêåò ðàçðàáîòàí â ñðåäå Visual Basic è ôóíêöèîíèðóåò íà ëþáîé ñòàí-
äàðòíîé êîíôèãóðàöèè ïåðñîíàëüíîãî êîìïüþòåðà ñ îïåðàöèîííîé ñèñòå-
ìîé Windows-98/2000/XP/… .
Ïàêåò ÐÀÄÀÍ ïîääåðæèâàåò ðåøåíèå ñëåäóþùèõ îïòèìèçàöèîííûõ
çàäà÷:
• îïðåäåëåíèå ðàâíîìåðíîãî ïðèáëèæåíèÿ óêàçàííûì âûðàæåíèåì
íà çàäàííîì îòðåçêå ñ íàèìåíüøåé àáñîëþòíîé èëè îòíîñèòåëüíîé ïî-
ãðåøíîñòüþ;
• îïðåäåëåíèå ðàâíîìåðíîãî ïðèáëèæåíèÿ óêàçàííûì âûðàæåíèåì
íà çàäàííîì îòðåçêå ñ íàèìåíüøåé àáñîëþòíîé èëè îòíîñèòåëüíîé ïî-
ãðåøíîñòüþ è âîññòàíîâëåíèåì çíà÷åíèÿ ôóíêöèè â çàäàííîé òî÷êå èëè â
êðàéíèõ òî÷êàõ îòðåçêà;
• îïðåäåëåíèå ðàâíîìåðíîãî ïðèáëèæåíèÿ óêàçàííûì âûðàæåíèåì
íà çàäàííîì îòðåçêå ñ íàèìåíüøåé àáñîëþòíîé èëè îòíîñèòåëüíîé ïî-
ãðåøíîñòüþ è âîññòàíîâëåíèåì çíà÷åíèÿ ôóíêöèè è åå ïðîèçâîäíîé â
çàäàííîé òî÷êå èëè â êðàéíèõ òî÷êàõ îòðåçêà;
• ïîñòðîåíèå ðàçðûâíîãî, íåïðåðûâíîãî, èëè íåïðåðûâíîãî è ãëàä-
êîãî ìèíèìàêñíîãî ñïëàéí-ïðèáëèæåíèÿ, îáåñïå÷èâàþùåãî çàäàííóþ ïî-
ãðåøíîñòü ïðè ìèíèìàëüíîì ÷èñëå çâåíüåâ.
Íàáîð ðåàëèçîâàííûõ â ïàêåòå àïïðîêñèìèðóþùèõ âûðàæåíèé ñî-
äåðæèò áîëåå äâàäöàòè âèäîâ ôóíêöèîíàëüíûõ çàâèñèìîñòåé, â ÷àñòíîñ-
òè: àëãåáðàè÷åñêèå, ðàöèîíàëüíûå è òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ìíîãî÷ëåíû;
ëîãàðèôìè÷åñêèå, ýêñïîíåíöèàëüíûå, ñòåïåííûå è äðóãèå íåëèíåéíûå
âûðàæåíèÿ (ñì. òàáë.). Òèï àïïðîêñèìàöèîííîé ïîãðåøíîñòè îïðåäåëÿåò-
ñÿ íàëè÷èåì â òàáëèöå ñèìâîëîâ � è �. Íàëè÷èå ñèìâîëà � îçíà÷àåò, ÷òî
äàííûì âûðàæåíèåì â ïàêåòå îñóùåñòâëÿåòñÿ ðàâíîìåðíîå ïðèáëèæåíèå
ñ íàèìåíüøåé àáñîëþòíîé ïîãðåøíîñòüþ, à íàëè÷èå ñèìâîëà � — ñ îò-
íîñèòåëüíîé ïîãðåøíîñòüþ; â ñêîáêàõ óêàçàí ÷àñòíûé ñëó÷àé, äëÿ êîòî-
ðîãî ðåàëèçîâàíî ïðèáëèæåíèå ñ îòíîñèòåëüíîé ïîãðåøíîñòüþ.
 ïàêåòå ðåàëèçîâàíî ïîñòðîåíèå ìèíèìàêñíîãî ñïëàéí-ïðèáëèæåíèÿ
S x F a xm
j( ) ( ; )( )� , t x tj j� � 1, j q�1, , t x1 1� , t xq N �1 , (1)
Àëãîðèòìû è ïðîãðàììíîå îáåñïå÷åíèå
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2011. Ò. 33. ¹ 5 99
Ï. Ñ. Ìàëà÷èâñêèé, Á. Ð. Ìîíöèáîâè÷
100 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2011. V. 33. ¹ 5
Íîìåð
ï.ï.
Àïïðîêñèìàöèîííîå âûðàæåíèå
Òèï
ïîãðåøíîñòè
1 a xi
i
i
m
�
0
; a xi
i
i m
m
� �
, x � 0; a a ix b ixi i
i
m
0
0
�
( cos ( ) sin ( )) �, �
2 a x b xi
i
i l
m
i
j
j l
m
� � �
(ln ( ))
1
1
, x � 0 �, �
3
a x Aei
i qx
i
m
�
0
; a x A x qi
i
i
m
�
ln ( )
0
, x q� � ; a xi
i
i
m q
�
�
�
�
�
�
�
�
0
,
ãäå q — çàäàííàÿ äåéñòâèòåëüíàÿ êîíñòàíòà
�, �
4 a x x b xi
i
i
m
l
i
i
i
l
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
0 0
1
�, �
5
Ax e
a x b x
i
i
i
m
j
j
j
n
� �
0 1 , x � 0; Ax
a xi
i
i
m
�
0 , x � 0; Ae
a xi
i
i
m
�
1
�
6 ln a xi
i
i
m
�
�
�
�
�
�
�
�
0
�
7 a x Aei
i px
i
m
�
0
, p � 0; a x Aei
i p
i
m
�
0
, , p k� (k m� 0, ) �, � ( , )m � 0 1
8 a x A x pi
i
i
m
�
ln ( )
0
, p x� � ; a x Axei
i px
i
m
�
0
, p � 0 ïðè n � 0 �, � ( , )m � 0 1
9 a Ax px
0 , x � 0; a a x Ax px
0 1 , x � 0 �
10 a Ax er px
0 , ãäå r — çàäàííàÿ äåéñòâèòåëüíàÿ êîíñòàíòà �
11 a x A x qi
i p
i
m
�
( )
0
, q x� � , p k� ; (k m� 0, ) �
12 A x q p( ) , q x� � �,�
13 a Aerfc x d0 ( / ), x � 0; a a x Aerfc x d0 1 ( / ), x � 0 �
14 a a erfc x d a erfc x d0 1 2 2 2 ( / ) ( / ), d d1 2� x � 0 �
15 a a e a eqx px
0 1 2 , q p� ; a a x a xq p
0 1 2 , x � 0 q p� �
â êîòîðîì êàæäîå èç âûðàæåíèé F a xm
j( ; )( ) , j q�1, , ÿâëÿåòñÿ ÷åáûøåâñêèì
ïðèáëèæåíèåì ôóíêöèè f x( ) íà îòðåçêå [ , ]t tj j 1 ñ ïîãðåøíîñòüþ G j . Â
ýòîì ñïëàéíå îòðåçîê [ , ]t tj j 1 — j-å çâåíî ñïëàéíà, à q — ÷èñëî åãî
çâåíüåâ.
Ñïëàéí S x( ) áóäåì íàçûâàòü ñïëàéí-ïðèáëèæåíèåì ôóíêöèè f x( ) íà
ìíîæåñòâå òî÷åê x i ( , )i N�1 ñ ïîãðåøíîñòüþ G0, åñëè çíà÷åíèÿ ïîãðåø-
íîñòè ïðèáëèæåíèÿ íà âñåõ çâåíüÿõ ñïëàéíà ìåíüøå G0,
G Gj � 0, j q�1, , (2)
è ÷èñëî çâåíüåâ ïðè ýòîì — íàèìåíüøåå èç âîçìîæíûõ.
Ïîñòðîåíèå ðàçðûâíîãî ñïëàéí-ïðèáëèæåíèÿ ñ çàäàííîé ïîãðåøíîñòüþ
G0 çàêëþ÷àåòñÿ â ïîëó÷åíèè ñïëàéí-ïðèáëèæåíèÿ (1), (2), â êîòîðîì íà
ãðàíèöàõ çâåíüåâ t j ( j q�2, ) äîïóñêàåòñÿ îòëè÷èå çíà÷åíèé ñïëàéíà îò
ôóíêöèè f x( ), íå ïðåâûøàþùåå G0.
 íåïðåðûâíîì ñïëàéíå êàæäîå èç çâåíüåâ îïðåäåëÿåì êàê ÷åáû-
øåâñêîå ïðèáëèæåíèå ñ ïîãðåøíîñòüþ, íå ïðåâûøàþùåé G0, êîòîðîå â
òî÷êàõ ñòûêà çâåíüåâ t j ( j q�2, ) îáåñïå÷èâàåò âûïîëíåíèå ñîîòíîøåíèÿ
F a t F a t f tm
j
j m
j
j j( ; ) ( ; ) ( )( ) ( )� � �1 . (3)
Ïðè ïîñòðîåíèè íåïðåðûâíîãî è ãëàäêîãî ìèíèìàêñíîãî ñïëàéíà [9] â
òî÷êàõ ñòûêà çâåíüåâ t j ( j q�2, ) êðîìå óñëîâèé (3) îáåñïå÷èâàåòñÿ òàêæå
âîññòàíîâëåíèå çíà÷åíèé ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè
� � � � ��F a t F a t f tm
j
j m
j
j j( ; ) ( ; ) ( )( ) ( )1 .
Ñëåäîâàòåëüíî, ïîñòðîåíèå ìèíèìàêñíîãî ñïëàéí-ïðèáëèæåíèÿ íà
êàæäîì èç çâåíüåâ âûïîëíÿåòñÿ ïî ìèíèìàêñíîìó êðèòåðèþ ñ îïðåäå-
ëåííûìè èíòåðïîëÿöèîííûìè óñëîâèÿìè â òî÷êàõ ñòûêà çâåíüåâ. Ïðè
ýòîì äëèíû âñåõ çâåíüåâ ñïëàéíà, êðîìå ïîñëåäíåãî, âûáèðàþò ìàêñè-
ìàëüíî âîçìîæíûìè äëÿ çàäàííîé ïîãðåøíîñòè ñïëàéí-ïðèáëèæåíèÿ.
Åñëè âî âðåìÿ ïîñòðîåíèÿ ñïëàéí-ïðèáëèæåíèÿ ñ çàäàííîé ïîãðåøíîñòüþ
íà îäíîì èç òåêóùèõ çâåíüåâ ìèíèìàëüíî äîïóñòèìîé äëèíû ïîëó÷àåòñÿ
ïîãðåøíîñòü, áîëüøàÿ çàäàííîé, òî èñïîëüçóåòñÿ èíòåðïîëÿöèÿ ôóíêöèè
ñîîòâåòñòâóþùèì âûðàæåíèåì.
Íåîáõîäèìîé èíôîðìàöèåé äëÿ ðàáîòû ïðîãðàììû ÿâëÿþòñÿ òàáëè÷-
íî-çàäàííûå çíà÷åíèÿ àðãóìåíòà, ôóíêöèè, ñòåïåíü ìíîãî÷ëåíà-àïïðîê-
ñèìàíòû (ïðè åãî íàëè÷èè) è çíà÷åíèå æåëàåìîé ïîãðåøíîñòè ñïëàéí-
ïðèáëèæåíèÿ (àáñîëþòíîé èëè îòíîñèòåëüíîé). Ââîä âõîäíûõ äàííûõ
ïîääåðæèâàåòñÿ ñîîòâåòñòâóþùèì îêíîì çàäàíèÿ äàííûõ. Çíà÷åíèÿ
ïðèáëèæàåìîé ôóíêöèè è àðãóìåíòà ìîãóò áûòü ââåäåíû êëàâèàòóðîé èëè
ñ÷èòàíû èç òåêñòîâîãî ôàéëà. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ íåïðåðûâíîãî è ãëàäêîãî
Àëãîðèòìû è ïðîãðàììíîå îáåñïå÷åíèå
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2011. Ò. 33. ¹ 5 101
ìèíèìàêñíîãî ñïëàéí-ïðèáëèæåíèÿ çíà÷åíèÿ ïðîèçâîäíîé ïðèáëèæàå-
ìîé ôóíêöèè òàêæå ìîãóò ñ÷èòûâàòüñÿ èç òåêñòîâîãî ôàéëà, îäíàêî çàäàíèå
çíà÷åíèé ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè íå îáÿçàòåëüíî. Åñëè çíà÷åíèÿ ïðîèçâîäíîé
ôóíêöèè íå çàäàíû, òî îíè àâòîìàòè÷åñêè âû÷èñëÿþòñÿ ïî ðàçíîñòíûì
ôîðìóëàì.
Ïàêåò ïðîãðàìì ÐÀÄÀÍ ïîääåðæèâàåò ìíîãîçàäà÷íûé ðåæèì ôóíê-
öèîíèðîâàíèÿ, ò.å. ïðåäóñìàòðèâàåò âîçìîæíîñòü îäíîâðåìåííî â îòäåëü-
íûõ îêíàõ ðåøàòü ðàçëè÷íûå çàäà÷è, ÷òî îáåñïå÷èâàåò îïðåäåëåííûå
óäîáñòâà âî âðåìÿ ñðàâíåíèÿ ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ è âûáîðà íàèáîëåå
ïîäõîäÿùåãî.
 ñëó÷àå ðàâíîìåðíîãî ïðèáëèæåíèÿ çàäàííûì âûðàæåíèåì â ðåçóëü-
òàòå ðàáîòû ïðîãðàììû îïðåäåëÿþòñÿ ïàðàìåòðû ïðèáëèæåíèÿ è ïîãðåø-
íîñòü àïïðîêñèìàöèè. Íà ðèñ. 1 èçîáðàæåí âîçìîæíûé âèä ðàáî÷åãî îêíà
âî âðåìÿ îïðåäåëåíèÿ ðàâíîìåðíîãî ïðèáëèæåíèÿ âûðàæåíèåì
E a x a a x a x Ae px
2 0 1
1
2
2( ; ) � (4)
ñ íàèìåíüøåé àáñîëþòíîé ïîãðåøíîñòüþ òåìïåðàòóðíîé õàðàêòåðèñòèêè
òåðìîäèîäíîãî ñåíñîðà, êîòîðàÿ çàäàíà 120-þ çíà÷åíèÿìè.
Ï. Ñ. Ìàëà÷èâñêèé, Á. Ð. Ìîíöèáîâè÷
102 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2011. V. 33. ¹ 5
Ðèñ. 1. Âèä ðàáî÷åãî îêíà ïðè îïðåäåëåíèè ïðèáëèæåíèÿ çàäàííûì âûðàæåíèåì
 ðåçóëüòàòå ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è êðîìå çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ âûðà-
æåíèÿ è ïîãðåøíîñòè àïïðîêñèìàöèè ïðåäóñìîòðåíà âîçìîæíîñòü îòîá-
ðàæåíèÿ çíà÷åíèé ìîäåëè â òî÷êàõ íàáëþäåíèÿ è ñîîòâåòñòâóþùèõ ïî-
ãðåøíîñòåé âîññòàíîâëåíèÿ ðåçóëüòàòîâ íàáëþäåíèé â êàæäîé èç ýòèõ
òî÷åê. Ýòè ðåçóëüòàòû ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ. 2, íà êîòîðîì èçîáðàæåíû
òàêæå ãðàôèê íàéäåííîé àïïðîêñèìàöèè âûðàæåíèåì (4) ñ îòîáðàæåíèåì
èñõîäíûõ ýêñïåðèìåíòàëüíûõ äàííûõ è ãðàôèê ïîãðåøíîñòè.
 ñëó÷àå ìèíèìàêñíîãî ñïëàéí-ïðèáëèæåíèÿ â ðåçóëüòàòå ðàáîòû
ïðîãðàììû îïðåäåëÿåì ðàçðûâíûé, íåïðåðûâíûé èëè íåïðåðûâíûé è
ãëàäêèé ñïëàéí, êîòîðûé îáåñïå÷èâàåò çàäàííóþ ïîãðåøíîñòü ïðèáëè-
æåíèÿ ñ íàèìåíüøèì âîçìîæíûì ÷èñëîì çâåíüåâ. Äëÿ êàæäîãî èç çâåíüåâ
íà ýêðàí âûâîäÿòñÿ ïîðÿäêîâûé íîìåð è ãðàíèöû çâåíà, çíà÷åíèÿ êîýôôè-
öèåíòîâ ïðèáëèæàþùåãî âûðàæåíèÿ è çíà÷åíèå ïîãðåøíîñòè ïðèáëè-
æåíèÿ íà äàííîì çâåíå ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè èíòåðïîëÿöèîííûìè óñëî-
âèÿìè íà ãðàíèöàõ çâåíà.
Íà ðèñ. 3 èçîáðàæåí âèä ðàáî÷åãî îêíà ïðè ïîñòðîåíèè íåïðåðûâíîãî
è ãëàäêîãî ìèíèìàêñíîãî ñïëàéí-ïðèáëèæåíèÿ ïîëèíîìîì øåñòîé ñòåïå-
íè òåìïåðàòóðíîé õàðàêòåðèñòèêè òåðìîäèîäíîãî ñåíñîðà òèïà DT-670 [10] ñ
íàèìåíüøåé îòíîñèòåëüíîé ïîãðåøíîñòüþ, íå ïðåâûøàþùåé 0,01 %. Ïðå-
äóñìîòðåíà òàêæå âîçìîæíîñòü äåòàëüíîãî îçíàêîìëåíèÿ ñ ðåçóëüòàòàìè
ïîñòðîåíèÿ ñïëàéí-ïðèáëèæåíèÿ. Ïîëüçîâàòåëü ìîæåò ïðîñìîòðåòü òàá-
ëèöó, â êîòîðîé äëÿ êàæäîé òî÷êè çàäàííîé ôóíêöèè ïðèâåäåíû åå òî÷íîå
Àëãîðèòìû è ïðîãðàììíîå îáåñïå÷åíèå
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2011. Ò. 33. ¹ 5 103
Ðèñ. 2. Âèä ðàáî÷åãî îêíà ñ ïîäðîáíûìè ðåçóëüòàòàìè è ãðàôèêàìè
Ï. Ñ. Ìàëà÷èâñêèé, Á. Ð. Ìîíöèáîâè÷
104 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2011. V. 33. ¹ 5
Ðèñ. 3. Âèä ðàáî÷åãî îêíà âî âðåìÿ ïîñòðîåíèÿ íåïðåðûâíîãî è ãëàäêîãî ñïëàéíà
Ðèñ. 4. Âèä ðàáî÷åãî îêíà âî âðåìÿ ïîñòðîåíèÿ ñïëàéíà ñ ïîäðîáíûìè ðåçóëüòàòàìè
è ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèÿ, âû÷èñëåííûå ïî ñïëàéíó, à òàêæå ïîãðåøíîñòü
ïðèáëèæåíèÿ.  ñëó÷àå ïîñòðîåíèÿ íåïðåðûâíîãî è ãëàäêîãî ìèíèìàêñ-
íîãî ñïëàéí-ïðèáëèæåíèÿ ïðåäóñìîòðåí âûâîä çíà÷åíèÿ ïðîèçâîäíîé
ôóíêöèè, çíà÷åíèÿ ïðîèçâîäíîé ñïëàéíà è ïîãðåøíîñòè âîññòàíîâëåíèÿ
ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè.
Äëÿ ïðîâåðêè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ñâîéñòâà ðàâíîìåðíîé àïïðîêñè-
ìàöèè íà îòäåëüíîì çâåíå ñïëàéíà âûâîäÿòñÿ íîìåðà òî÷åê àëüòåðíàíñà è
èíòåðïîëèðîâàíèÿ çíà÷åíèé ôóíêöèè.  òî÷êàõ àëüòåðíàíñà îòêëîíåíèÿ
ìîäåëè îò çíà÷åíèé ôóíêöèè ïðèíèìàþò îäèíàêîâûå ïî ìîäóëþ çíà÷å-
íèÿ, íî èõ çíàê â ýòèõ òî÷êàõ ïîî÷åðåäíî ìåíÿåòñÿ. Ïðîâåðèâ âûïîëíåíèå
ýòîãî ñâîéñòâà, ïîëüçîâàòåëü ìîæåò óáåäèòüñÿ â ïðàâèëüíîñòè âû÷èñëå-
íèÿ ðàâíîìåðíîãî ïðèáëèæåíèÿ íà êàæäîì çâåíå.
Ðåçóëüòàòû ðåøåíèÿ çàäà÷è îòîáðàæàþòñÿ â ðàáî÷åì îêíå ïðîãðàììû
è, ïî æåëàíèþ ïîëüçîâàòåëÿ, ìîãóò áûòü ñîõðàíåíû â óêàçàííîì ôàéëå.
Ïðåäóñìîòðåí âûâîä ãðàôèêà îïðåäåëåííîãî ïðèáëèæåíèÿ ôóíêöèè è
ïîãðåøíîñòè ýòîé àïïðîêñèìàöèè, à òàêæå ãðàôèêà ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè
è åå ïðèáëèæåíèÿ â ñëó÷àå íåïðåðûâíîãî è ãëàäêîãî ñïëàéíà.
Âî âðåìÿ ïîñòðîåíèÿ ñïëàéí-ïðèáëèæåíèÿ ïðåäóñìîòðåíà âîçìîæ-
íîñòü îòñëåæèâàíèÿ ïðîöåññà åãî ïîñòðîåíèÿ.  îòäåëüíîì ïîëå ðàáî÷åãî
îêíà ïðîãðàììû The run of solving the problem (Õîä ðåøåíèÿ çàäà÷è) (ñì.
ðèñ. 3 è 4) âûâîäèòñÿ èíôîðìàöèÿ î ïîèñêå îïòèìàëüíîé äëèíû çâåíà è
ïîëó÷åííûå ïðè ýòîì çíà÷åíèÿ ïîãðåøíîñòè ïðèáëèæåíèÿ.
Âûâîäû
Ïàêåò ïðîãðàìì ÐÀÄÀÍ îðèåíòèðîâàí íà ðåøåíèå îïòèìèçàöèîííûõ çàäà÷,
êîòîðûå ñâîäÿòñÿ ê ðàâíîìåðíîìó ïðèáëèæåíèþ ôóíêöèé. Îí ïðåäóñìàòðè-
âàåò âîçìîæíîñòü îïðåäåëåíèÿ ðàâíîìåðíîãî ïðèáëèæåíèÿ ðàçíûìè çàâèñè-
ìîñòÿìè (áîëüøå äâàäöàòè), ïîääåðæèâàåò íàõîæäåíèå ïðèáëèæåíèÿ çà-
äàííûì âûðàæåíèåì íà îòäåëüíîì îòðåçêå è ïîñòðîåíèå ìèíèìàêñíîãî
ñïëàéí-ïðèáëèæåíèÿ. Ïàêåò ÐÀÄÀÍ îòâå÷àåò òðåáîâàíèÿì ñîâðåìåííîãî
ïðîãðàììíîãî îáåñïå÷åíèÿ, óäîáåí è ïîíÿòåí â èñïîëüçîâàíèè, îðèåíòè-
ðîâàí íà ñïåöèàëèñòîâ â ðàçëè÷íûõ îáëàñòÿõ íàóêè è òåõíèêè, èìååò äâà
âàðèàíòà èñïîëüçîâàíèÿ: íà óêðàèíñêîì è àíãëèéñêîì ÿçûêàõ.
A short description of minimax approximation method in comparison with other methods applied
for approximation of experimental data is given. The brief up-to-date state of research concerning
the software realizing algorithms for computing minimax approximations, and requirements im-
posed upon such software are presented. The functional potentialities of package RADAN as in-
tended for practical realization of software problems reduced to uniform approximation of func-
tions are described.
Àëãîðèòìû è ïðîãðàììíîå îáåñïå÷åíèå
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2011. Ò. 33. ¹ 5 105
1. Ïîïîâ Á. À. Pàâíîìåðíîå ïðèáëèæåíèå ñïëàéíàìè. — Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1989. — 272 ñ.
2. Êîëëàòö Ë., Êðàác Â. Òåîðèÿ ïðèáëèæåíèé. ×åáûøåâñêèå ïðèáëèæåíèÿ è èõ ïðèëî-
æåíèÿ: Ïåð. ñ íåìåö.— Ì.: Íàóêà, 1978. — 272 ñ.
3. Êàëèòêèí Í. Í., Êóçüìèíà Ë. Â. Ñðåäíåêâàäðàòè÷íàÿ _àïïðîêñèìàöèÿ ñïëàéíàìè//
Ìàòåì. ìîäåëèðîâàíèå. — 1997. — 9, ¹ 9. — Ñ. 107—116.
4. Ãðàíîâñêèé Â. À., Ñèðàÿ Ò. Í. Ìåòîäû îáðàáîòêè ýêñïåðèìåíòàëüíûõ äàííûõ ïðè
èçìåðåíèÿõ. — Ëåíèíãðàä: Ýíåðãîàòîìèçäàò. Ëåíèíãð. îòä-íèå, 1990. — 288 c.
5. Òåïëîôèçè÷åñêèå ñâîéñòâà òåõíè÷åñêè âàæíûõ ãàçîâ ïðè âûñîêèõ òåìïåðàòóðàõ è
äàâëåíèÿõ : Ñïðàâî÷íèê / Çóáàðåâ Â. Í., Êîçëîâ À. Ä., Êóçíåöîâ Â. Ì. è äð. — Ì. :
Ýíåðãîàòîìèçäàò, 1989. — 232 ñ.
6. Ïîïîâ Á. Î. Ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷ ó ñèñòåì³ êîìï’þòåðíî¿ àëãåáðè Maple V. — Êè¿â:
ViP, 2001. — 312 c.
7. Êàëåí÷óê-Ïîðõàíîâà À. À., Âàêàë Ë. Ï. Ïàêåò ïðîãðàìì àïïðîêñèìàöèè ôóíêöèé //
Êîìï’þò. çàñîáè, ìåðåæ³ òà ñèñòåìè. — 2008. — ¹ 7. — Ñ. 32— 38.
8. Âîïðîñû òåîðèè è ýëåìåíòû ïðîãðàììíîãî îáåñïå÷åíèÿ ìèíèìàêñíûõ çàäà÷ / Ïîä
ðåä. Â. Ô. Äåìüÿíîâà, Â. Í. Ìàëîçåìîâà. — Ë.: Èçä-âî Ëåíèíãð. óí-òà, 1977. — 192 ñ.
9. Ìàëà÷iâñüêèé Ï., ϳçþð ß., Àíäðóíèê Â. Íåïåðåðâíå é ãëàäêå ð³âíîì³ðíå ñïëàéí-
íàáëèæåííÿ òåìïåðàòóðíî¿ õàðàêòåðèñòèêè ñåíñîðà òà éîãî ÷óòëèâîñò³ // Âèìiðþ-
âàëüíà òåõíiêà òà ìåòðîëîãiÿ. — 2007. — ¹ 67. — Ñ. 24—30.
10. www.lakeshore.com/.../Curve10.
Ïîñòóïèëà 25.02.11
ÌÀËÀ×ÈÂÑÊÈÉ Ïåòð Ñòåôàíîâè÷, ä-ð òåõí. íàóê, âåä. íàó÷. ñîòð. Öåíòðà ìàòåìàòè-
÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ Èí-òà ïðèêëàäíûõ ïðîáëåì ìåõàíèêè è ìàòåìàòèêè èì. ß. Ñ. Ïèä-
ñòðûãà÷à ÍÀÍ Óêðàèíû.  1976 ã. îêîí÷èë Ëüâîâñêèé ïîëèòåõíè÷åñêèé èí-ò. Îáëàñòü íàó÷-
íûõ èññëåäîâàíèé — ÷èñëåííûå ìåòîäû è ïðîãðàììíîå îáåñïå÷åíèå.
ÌÎÍÖÈÁÎÂÈ× Áîðèñ Ðîìàíîâè÷, êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê, ñò. íàó÷. ñîòð. Öåíòðà ìàòåìàòè-
÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ Èí-òà ïðèêëàäíûõ ïðîáëåì ìåõàíèêè è ìàòåìàòèêè èì. ß. Ñ. Ïèä-
ñòðûãà÷à ÍÀÍ Óêðàèíû.  1965 ã. îêîí÷èë Ëüâîâñêèé ãîñóíèâåðñèòåò. Îáëàñòü íàó÷íûõ èñ-
ñëåäîâàíèé — ÷èñëåííûå ìåòîäû è ïðîãðàììíîå îáåñïå÷åíèå.
Ï. Ñ. Ìàëà÷èâñêèé, Á. Ð. Ìîíöèáîâè÷
106 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2011. V. 33. ¹ 5
<<
/ASCII85EncodePages false
/AllowTransparency false
/AutoPositionEPSFiles true
/AutoRotatePages /None
/Binding /Left
/CalGrayProfile (Dot Gain 20%)
/CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CalCMYKProfile (U.S. Web Coated \050SWOP\051 v2)
/sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CannotEmbedFontPolicy /Error
/CompatibilityLevel 1.4
/CompressObjects /Tags
/CompressPages true
/ConvertImagesToIndexed true
/PassThroughJPEGImages true
/CreateJDFFile false
/CreateJobTicket false
/DefaultRenderingIntent /Default
/DetectBlends true
/DetectCurves 0.0000
/ColorConversionStrategy /CMYK
/DoThumbnails false
/EmbedAllFonts true
/EmbedOpenType false
/ParseICCProfilesInComments true
/EmbedJobOptions true
/DSCReportingLevel 0
/EmitDSCWarnings false
/EndPage -1
/ImageMemory 1048576
/LockDistillerParams false
/MaxSubsetPct 100
/Optimize true
/OPM 1
/ParseDSCComments true
/ParseDSCCommentsForDocInfo true
/PreserveCopyPage true
/PreserveDICMYKValues true
/PreserveEPSInfo true
/PreserveFlatness true
/PreserveHalftoneInfo false
/PreserveOPIComments true
/PreserveOverprintSettings true
/StartPage 1
/SubsetFonts true
/TransferFunctionInfo /Apply
/UCRandBGInfo /Preserve
/UsePrologue false
/ColorSettingsFile ()
/AlwaysEmbed [ true
]
/NeverEmbed [ true
]
/AntiAliasColorImages false
/CropColorImages true
/ColorImageMinResolution 300
/ColorImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleColorImages true
/ColorImageDownsampleType /Bicubic
/ColorImageResolution 300
/ColorImageDepth -1
/ColorImageMinDownsampleDepth 1
/ColorImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeColorImages true
/ColorImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterColorImages true
/ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG
/ColorACSImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/ColorImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/JPEG2000ColorACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/JPEG2000ColorImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/AntiAliasGrayImages false
/CropGrayImages true
/GrayImageMinResolution 300
/GrayImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleGrayImages true
/GrayImageDownsampleType /Bicubic
/GrayImageResolution 300
/GrayImageDepth -1
/GrayImageMinDownsampleDepth 2
/GrayImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeGrayImages true
/GrayImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterGrayImages true
/GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG
/GrayACSImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/GrayImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/JPEG2000GrayACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/JPEG2000GrayImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/AntiAliasMonoImages false
/CropMonoImages true
/MonoImageMinResolution 1200
/MonoImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleMonoImages true
/MonoImageDownsampleType /Bicubic
/MonoImageResolution 1200
/MonoImageDepth -1
/MonoImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeMonoImages true
/MonoImageFilter /CCITTFaxEncode
/MonoImageDict <<
/K -1
>>
/AllowPSXObjects false
/CheckCompliance [
/None
]
/PDFX1aCheck false
/PDFX3Check false
/PDFXCompliantPDFOnly false
/PDFXNoTrimBoxError true
/PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXSetBleedBoxToMediaBox true
/PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXOutputIntentProfile ()
/PDFXOutputConditionIdentifier ()
/PDFXOutputCondition ()
/PDFXRegistryName ()
/PDFXTrapped /False
/Description <<
/CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e9ad88d2891cf76845370524d53705237300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002>
/CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc9ad854c18cea76845370524d5370523786557406300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002>
/DAN <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>
/DEU <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>
/ESP <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>
/FRA <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>
/ITA <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>
/JPN <FEFF9ad854c18cea306a30d730ea30d730ec30b951fa529b7528002000410064006f0062006500200050004400460020658766f8306e4f5c6210306b4f7f75283057307e305930023053306e8a2d5b9a30674f5c62103055308c305f0020005000440046002030d530a130a430eb306f3001004100630072006f0062006100740020304a30883073002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee5964d3067958b304f30533068304c3067304d307e305930023053306e8a2d5b9a306b306f30d530a930f330c8306e57cb30818fbc307f304c5fc59808306730593002>
/KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020ace0d488c9c80020c2dcd5d80020c778c1c4c5d00020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e>
/NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken die zijn geoptimaliseerd voor prepress-afdrukken van hoge kwaliteit. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.)
/NOR <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>
/PTB <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>
/SUO <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>
/SVE <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>
/ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents best suited for high-quality prepress printing. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.)
>>
/Namespace [
(Adobe)
(Common)
(1.0)
]
/OtherNamespaces [
<<
/AsReaderSpreads false
/CropImagesToFrames true
/ErrorControl /WarnAndContinue
/FlattenerIgnoreSpreadOverrides false
/IncludeGuidesGrids false
/IncludeNonPrinting false
/IncludeSlug false
/Namespace [
(Adobe)
(InDesign)
(4.0)
]
/OmitPlacedBitmaps false
/OmitPlacedEPS false
/OmitPlacedPDF false
/SimulateOverprint /Legacy
>>
<<
/AddBleedMarks false
/AddColorBars false
/AddCropMarks false
/AddPageInfo false
/AddRegMarks false
/ConvertColors /ConvertToCMYK
/DestinationProfileName ()
/DestinationProfileSelector /DocumentCMYK
/Downsample16BitImages true
/FlattenerPreset <<
/PresetSelector /MediumResolution
>>
/FormElements false
/GenerateStructure false
/IncludeBookmarks false
/IncludeHyperlinks false
/IncludeInteractive false
/IncludeLayers false
/IncludeProfiles false
/MultimediaHandling /UseObjectSettings
/Namespace [
(Adobe)
(CreativeSuite)
(2.0)
]
/PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK
/PreserveEditing true
/UntaggedCMYKHandling /LeaveUntagged
/UntaggedRGBHandling /UseDocumentProfile
/UseDocumentBleed false
>>
]
>> setdistillerparams
<<
/HWResolution [2400 2400]
/PageSize [612.000 792.000]
>> setpagedevice
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-61786 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0204-3572 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:12:54Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Малачивский, П.С. Монцибович, Б.Р. 2014-05-11T14:02:35Z 2014-05-11T14:02:35Z 2011 Алгоритмы и программное обеспечение для равномерной аппроксимации экспериментальных данных / П.С. Малачивский, Б.Р. Монцибович // Электронное моделирование. — 2011 — Т. 33, № 5. — С. 97-106. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 0204-3572 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/61786 519.65 Приведены результаты сравнения метода равномерной аппроксимации с другими методами аппроксимации экспериментальных зависимостей. Представлены состояние программного обеспечения для равномерного приближения функций и предъявляемые к нему требования. Описаны функциональные возможности пакета РАДАН, предназначенного для решения задач, сводимых к равномерному приближению функций. Наведено результаты порівняння методу рівномірної апроксимації з іншими методами апроксимації експериментальних залежностей. Подано стан програмного забезпечення для рівномірного наближення функцій та вимоги щодо нього. Описано функціональні можливості пакету РАДАН, призначеного для розв’язування задач, які зводяться до рівномірного наближення функцій. A short description of minimax approximation method in comparison with other methods applied for approximation of experimental data is given. The brief up-to-date state of research concerning the software realizing algorithms for computing minimax approximations, and requirements imposed upon such software are presented. The functional potentialities of package RADAN as intended for practical realization of software problems reduced to uniform approximation of functions are described. ru Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України Электронное моделирование Применение методов и средств моделирования Алгоритмы и программное обеспечение для равномерной аппроксимации экспериментальных данных Article published earlier |
| spellingShingle | Алгоритмы и программное обеспечение для равномерной аппроксимации экспериментальных данных Малачивский, П.С. Монцибович, Б.Р. Применение методов и средств моделирования |
| title | Алгоритмы и программное обеспечение для равномерной аппроксимации экспериментальных данных |
| title_full | Алгоритмы и программное обеспечение для равномерной аппроксимации экспериментальных данных |
| title_fullStr | Алгоритмы и программное обеспечение для равномерной аппроксимации экспериментальных данных |
| title_full_unstemmed | Алгоритмы и программное обеспечение для равномерной аппроксимации экспериментальных данных |
| title_short | Алгоритмы и программное обеспечение для равномерной аппроксимации экспериментальных данных |
| title_sort | алгоритмы и программное обеспечение для равномерной аппроксимации экспериментальных данных |
| topic | Применение методов и средств моделирования |
| topic_facet | Применение методов и средств моделирования |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/61786 |
| work_keys_str_mv | AT malačivskiips algoritmyiprogrammnoeobespečeniedlâravnomernoiapproksimaciiéksperimentalʹnyhdannyh AT moncibovičbr algoritmyiprogrammnoeobespečeniedlâravnomernoiapproksimaciiéksperimentalʹnyhdannyh |