Асимптотическое распределение времени с момента отказа до выхода из множеств неисправных состояний циклических соединений в комплексы сложных восстанавливаемых систем
Найдено асимптотическое распределение времени до выхода комплексов сложных восстанавливаемых систем из множеств неисправных состояний с момента их отказа при условии, что их число возрастает обратно пропорционально интенсивности отказов элементов сложных систем так, что суммарная нагрузка на систем...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Электронное моделирование |
|---|---|
| Дата: | 2012 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
2012
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/61810 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Асимптотическое распределение времени с момента отказа до выхода из множеств неисправных состояний циклических соединений в комплексы сложных восстанавливаемых систем / А.В. Макаричев // Электронное моделирование. — 2012 — Т. 34, № 1. — С. 45-67. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859730541423624192 |
|---|---|
| author | Макаричев, А.В. |
| author_facet | Макаричев, А.В. |
| citation_txt | Асимптотическое распределение времени с момента отказа до выхода из множеств неисправных состояний циклических соединений в комплексы сложных восстанавливаемых систем / А.В. Макаричев // Электронное моделирование. — 2012 — Т. 34, № 1. — С. 45-67. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Электронное моделирование |
| description | Найдено асимптотическое распределение времени до выхода комплексов сложных восстанавливаемых систем из множеств неисправных состояний с момента их отказа при условии, что их число возрастает обратно пропорционально интенсивности отказов элементов сложных систем так, что суммарная нагрузка на систему обслуживания ограничена сверху величиной меньше единицы, с дисциплиной обслуживания требований в порядке их поступления.
Знайдено асимптотичний розподіл часу несправності комплексів складних відновлювальних систем з моменту їхньої відмови за умовою, що їхнє число зростає обeрнено пропорційно інтенсивності відмовлень елементів складних систем так, що сумарне навантаження на систему обслуговування обмежене зверху величиною менше одиниці, у порядку надходження від них потреб.
The asymptotic distributions of time are obtained when the sets of circular united complex systems with reserve of time are in the out order. This occurs provided that the systems number increases in inverse proportion to failure intensity of complex system elements in such a way that the total load on the queueing system is bounded from the top by the value below unit with the system units maintenance as far as they arise.
|
| first_indexed | 2025-12-01T13:48:05Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.21
À. Â. Ìàêàðè÷åâ, êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê
Õàðüêîâñêèé íàöèîíàëüíûé àâòîìîáèëüíî-äîðîæíûé óíèâåðñèòåò
(Óêðàèíà, 61078, Õàðüêîâ, óë. Ïåòðîâñêîãî, 25,
òåë. (057)7073737, e-mail: amakarichev@mail.ru)
Àñèìïòîòè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå âðåìåíè
ñ ìîìåíòà îòêàçà äî âûõîäà èç ìíîæåñòâ
íåèñïðàâíûõ ñîñòîÿíèé öèêëè÷åñêèõ ñîåäèíåíèé
â êîìïëåêñû ñëîæíûõ âîññòàíàâëèâàåìûõ ñèñòåì
Íàéäåíî àñèìïòîòè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå âðåìåíè äî âûõîäà êîìïëåêñîâ ñëîæíûõ âîñ-
ñòàíàâëèâàåìûõ ñèñòåì èç ìíîæåñòâ íåèñïðàâíûõ ñîñòîÿíèé ñ ìîìåíòà èõ îòêàçà ïðè
óñëîâèè, ÷òî èõ ÷èñëî âîçðàñòàåò îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíî èíòåíñèâíîñòè îòêàçîâ ýëå-
ìåíòîâ ñëîæíûõ ñèñòåì òàê, ÷òî ñóììàðíàÿ íàãðóçêà íà ñèñòåìó îáñëóæèâàíèÿ îãðàíè-
÷åíà ñâåðõó âåëè÷èíîé ìåíüøå åäèíèöû, ñ äèñöèïëèíîé îáñëóæèâàíèÿ òðåáîâàíèé â
ïîðÿäêå èõ ïîñòóïëåíèÿ.
Çíàéäåíî àñèìïòîòè÷íèé ðîçïîä³ë ÷àñó íåñïðàâíîñò³ êîìïëåêñ³â ñêëàäíèõ â³äíîâëþâàëü-
íèõ ñèñòåì ç ìîìåíòó ¿õíüî¿ â³äìîâè çà óìîâîþ, ùî ¿õíº ÷èñëî çðîñòຠîáeðíåíî ïðîïîð-
ö³éíî ³íòåíñèâíîñò³ â³äìîâëåíü åëåìåíò³â ñêëàäíèõ ñèñòåì òàê, ùî ñóìàðíå íàâàíòàæåííÿ
íà ñèñòåìó îáñëóãîâóâàííÿ îáìåæåíå çâåðõó âåëè÷èíîþ ìåíøå îäèíèö³, ó ïîðÿäêó íàä-
õîäæåííÿ â³ä íèõ ïîòðåá.
Ê ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à: êîìïëåêñû ñëîæíûõ âîññòàíàâëèâàåìûõ ñèñòåì, âðåìåííîé ðå-
çåðâ, ìíîæåñòâî íåèñïðàâíûõ ñîñòîÿíèé.
Ðàññìîòðèì êîìïëåêñ N, â êîòîðîì ðàáîòàþò N îäíîòèïíûõ ñëîæíûõ
âîññòàíàâëèâàåìûõ ñèñòåì, ñîñòîÿùèõ èç n ýëåìåíòîâ. Êàæäûé ýëåìåíò ñ
òå÷åíèåì âðåìåíè ìîæåò îòêàçàòü.  ìîìåíò åãî îòêàçà â îäíîé èç ñëîæ-
íûõ ñèñòåì âîçíèêàåò òðåáîâàíèå íà îáñëóæèâàíèå, êîòîðîå íåìåäëåííî
ïîñòóïàåò â ðåìîíòíûé îðãàí (ÐÎ), ïðåäñòàâëÿþùèé ñîáîé ïàðó P C d� ( , ),
ãäå C — ñòðóêòóðà, d — äèñöèïëèíà îáñëóæèâàíèÿ. Ðåìîíòíûé îðãàí
îñóùåñòâëÿåò âîññòàíîâëåíèå (ðåìîíò èëè çàìåíó íîâûì, èäåíòè÷íûì
èñõîäíîìó). Âîññòàíîâëåííûé ýëåìåíò çàíèìàåò ñâîå ìåñòî â ñëîæíîé
ñèñòåìå, â êîòîðîé ïðîèçîøåë îòêàç, à òðåáîâàíèå íà îáñëóæèâàíèå íå-
ìåäëåííî ïîêèäàåò ÐÎ.
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2012. Ò. 34. ¹ 1 45
ÒÎ×ÍÎÑÒÜ,
ÍÀÄÅÆÍÎÑÒÜ, ÄÈÀÃÍÎÑÒÈÊÀ
Ïðîöåññ îáñëóæèâàíèÿ íåèñïðàâíûõ ýëåìåíòîâ êîìïëåêñà N â ìîìåíò
âðåìåíè t è j-é ñëîæíîé ñèñòåìû îïèøåì ñëåäóþùèìè ôîðìóëàìè:
x t x t x t x tN( ) ( ( ), ( ), ..., ( ))� 1 2 , x t x t x tj j
n
j( ) ( ( ), ..., ( ))�
1
,
ãäå x t x t x
i
j
i
j
i
j� �� �( ) ( ) — äëèíà òðåáîâàíèÿ, ò.å. âðåìÿ åãî îáñëóæèâàíèÿ
ñî ñêîðîñòüþ, ðàâíîé åäèíèöå; x t
i
j�( ) — âûðàáîòàííàÿ äëèíà òðåáîâàíèÿ;
x t
i
j�( ) — îñòàòî÷íàÿ äëèíà òðåáîâàíèÿ íà îáñëóæèâàíèå i-ãî ýëåìåíòà j-é
ñëîæíîé ñèñòåìû êîìïëåêñà, i n�1 2, , ..., , j N�1 2, , ..., ; x t
i
j ( ) � 0, åñëè â
ìîìåíò âðåìåíè t i-é ýëåìåíò j-é ñëîæíîé ñèñòåìû èñïðàâåí; x t
i
j ( ) �
� � �( ( ), ( ))x t x t
i
j
i
j , åñëè ýòîò ýëåìåíò íåèñïðàâåí.
Ñîñòîÿíèå êîìïëåêñà â ìîìåíò âðåìåíè t îïèñûâàåòñÿ ñîâîêóïíîñòüþ
v t e t e t e tN( ) ( ( ), ( ), ..., ( ))� 1 2 èç N äâîè÷íûõ âåêòîðîâ, êàæäûé èç êîòîðûõ
îïðåäåëÿåò ñîñòîÿíèå ñîîòâåòñòâóþùåé ñëîæíîé ñèñòåìû êîìïëåêñà
e t e t e t e tj j j
n
j( ) ( ( ), ( ), ..., ( ))�
1 2
, j N�1 2, , ..., .
Çäåñü e t
i
j ( ) �0, åñëè â ìîìåíò âðåìåíè t i-é ýëåìåíò j-é ñëîæíîé ñèñòåìû
êîìïëåêñà íàõîäèòñÿ â èñïðàâíîì ñîñòîÿíèè; e t
i
j ( ) �1, åñëè â ìîìåíò âðåìå-
íè t îí íàõîäèòñÿ â íåèñïðàâíîì ñîñòîÿíèè, i n�1 2, , ..., , j N�1 2, , ..., .
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïîòîê îòêàçîâ ýëåìåíòîâ, âîçíèêàþùèé â êàæäîé
ñëîæíîé ñèñòåìå, ÿâëÿåòñÿ ìàðêîâñêèì, ò.å. óäîâëåòâîðÿåò äâóì óñëîâèÿì.
1. Åñëè â ïðîèçâîëüíûé ìîìåíò âðåìåíè t j-ÿ ñëîæíàÿ ñèñòåìà íàõîäèòñÿ
â ñîñòîÿíèè e j , òî âåðîÿòíîñòü îòêàçà íà ïðîìåæóòêå âðåìåíè ( , ]t t h� èñ-
ïðàâíîãî i-ãî ýëåìåíòà j-é ñëîæíîé ñèñòåìû êîìïëåêñà ïðè h� 0 ñîñòàâ-
ëÿåò � i
je N h o h( ) ( )� �1 .
2. Â êàêîì áû èç ñîñòîÿíèé e tj ( ) íè íàõîäèëàñü j-ÿ ñëîæíàÿ ñèñòåìà
êîìïëåêñà â ïðîèçâîëüíûé ìîìåíò âðåìåíè t, âåðîÿòíîñòü îòêàçà äâóõ è
áîëåå ýëåìåíòîâ ýòîé ñèñòåìû íà ïðîìåæóòêå âðåìåíè ( , ]t t h� ðàâíà o h( )
ïðè h� 0 .
Åñëè ñîñòîÿíèÿ äâóõ ðàçëè÷íûõ ñëîæíûõ ñèñòåì, k-é è l-é, ñîâïàäàþò,
ò.å. e ek l� , òî èíòåíñèâíîñòè îòêàçîâ ñîîòâåòñòâóþùèõ ýëåìåíòîâ â ýòèõ
ñèñòåìàõ îäèíàêîâû: äëÿ ëþáîãî i äëÿ âñåõ1� � �k l N áóäåò� i
ke N( ) � �1
� �� i
le N( ) 1.
Ïóñòü � � �N e N
e
j
j
� �1 1max ( ) , ãäå � �( ) ( )
:
e N e Nj
i e
i
j
i
j
�
�
�� 1
0
1, ò.å.
� ( )e Nj �1 — ñóììàðíàÿ èíòåíñèâíîñòü (èíòåíñèâíîñòü îòêàçà õîòÿ áû
îäíîãî èç èñïðàâíûõ ýëåìåíòîâ j-é ñëîæíîé ñèñòåìû êîìïëåêñà, íàõî-
äÿùåéñÿ â ñîñòîÿíèè e j ), j N�1 2, , ..., . Äëèíû òðåáîâàíèé (ðàçëè÷íûõ ýëå-
ìåíòîâ èëè ðàçëè÷íûõ îòêàçîâ îäíîãî è òîãî æå ýëåìåíòà) åñòü íåçàâè-
ñèìûå ïîëîæèòåëüíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû.
À. Â. Ìàêàðè÷åâ
46 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2012. V. 34. ¹ 1
Îáîçíà÷èì G xi ( ) ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ äëèíû òðåáîâàíèÿ ïî îá-
ñëóæèâàíèþ i-ãî ýëåìåíòà j-é ñëîæíîé ñèñòåìû êîìïëåêñà, i n�1 2, ,..., ,
j N�1 2, , ..., . Åå n-é ìîìåíò îáîçíà÷èì m x dG xn
i n
i
x
( ) ( )�
�
0
. Ïóñòü G x0( ) �
�
�
�
�
i
i
n
iG x
( )
( )
( )
0
01
— ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ äëèíû ïåðâîãî âîçíèêøåãî â j-é
ñëîæíîé ñèñòåìå òðåáîâàíèÿ íà ïåðèîäå ðåãåíåðàöèè; m x dG xn
n
x
( ) ( )0
0
0
�
� —
åå n-é ìîìåíò; � � �0 1
0
1
0
1
0 0� �
�
( ) ( )( ) ( )m mi
i
n
— íà÷àëüíàÿ íàãðóçêà íà ÐÎ
òðåáîâàíèé íà îáñëóæèâàíèå ýëåìåíòîâ ñëîæíûõ ñèñòåì êîìïëåêñà N.
Îáîçíà÷èì G x G x
i n
i
( ) min ( )
,...,
�
�1
ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷è-
íû, ìàæîðèðóþùåé ïî âåðîÿòíîñòè äëèíû âñåõ òðåáîâàíèé èç j-é ñëîæíîé
ñèñòåìû, à åå n-é ìîìåíò — m x dG xn
n
x
�
� ( )
0
è � �� m1, j N�1 2, , ..., .
Îòêàçû ýëåìåíòîâ íåêîòîðîé ñëîæíîé ñèñòåìû íà ïåðèîäå ðåãåíåðà-
öèè êîìïëåêñà ìîãóò ïðèâåñòè âñþ ñëîæíóþ ñèñòåìó ê îòêàçó. Ìíîæåñòâî
E ej j�{ } âñåâîçìîæíûõ ñîñòîÿíèé j-é ñëîæíîé ñèñòåìû äåëèòñÿ íà äâà
íåïóñòûå íåïåðåñåêàþùèåñÿ ïîäìíîæåñòâà èñïðàâíûõ E j
� è íåèñïðàâíûõ
E j
� ñîñòîÿíèé j-é ñëîæíîé ñèñòåìû êîìïëåêñà, j N�1 2, , ..., . Ïðåäïîëîæèì
òàêæå, ÷òî E E E N
� � �� � �1 2 ... .
Ïóñòü e ej
i
j
i
n
�
�
1
— ÷èñëî íåèñïðàâíûõ ýëåìåíòîâ â j-é ñëîæíîé
ñèñòåìå è min
e E
j
j j
e s
�
� �1, j N�1 2, ,..., . Åñëè ÷èñëî íåèñïðàâíûõ ýëåìåíòîâ
â êîìïëåêñå íå ïðåâîñõîäèò s�1, òî ýòà ñèñòåìà èñïðàâíà. Îòêàç êîìïëåêñà
íàñòóïàåò, åñëè â òå÷åíèå ñëó÷àéíîãî âðåìåíè � â êîìïëåêñå îêàæóòñÿ
íåèñïðàâíûìè k ñëîæíûõ ñèñòåì ñ íîìåðàìè mod ( ),..., mod ( )N Nl l k� �1 ,
0 1� � �l N . Ýòî ñâÿçàíî ñ íàëè÷èåì â êîìïëåêñå âðåìåííîãî ðåçåðâà.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî sk
1. Ìíîæåñòâî E v�{ } âñåâîçìîæíûõ ñîñòîÿíèé
êîìïëåêñà ñîñòîèò èç äâóõ íåïóñòûõ íåïåðåñåêàþùèõñÿ ïîäìíîæåñòâ èñ-
ïðàâíûõ E� è âîçìîæíûõ íåèñïðàâíûõ E� ñîñòîÿíèé êîìïëåêñà. Îòêàçàâøèå
ýëåìåíòû îáñëóæèâàþòñÿ â ÐÎ â ïîðÿäêå ïîñòóïëåíèÿ (ñîãëàñíî äèñöèïëèíå
d1 èç êëàññà êîíñåðâàòèâíûõ äèñöèïëèí). Ïóñòü H u P u( ) ( )� �� .
Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïðîõîäèìûõ ñëó÷àéíûì ïðîöåññîì v t( ) ñîñòîÿíèé
êîìïëåêñà îò íà÷àëà ïåðèîäà ðåãåíåðàöèè äî ìîìåíòà åãî ïåðâîãî îòêàçà íà
ýòîì ïåðèîäå îáðàçóåò ïóòü � �{ , ,..., }v v vr1 2 , v El
� ïðè l r� è v Er
� .
Àñèìïòîòè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå âðåìåíè ñ ìîìåíòà îòêàçà
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2012. Ò. 34. ¹ 1 47
Ïóòü � íàçîâåì l1, l2, ..., lk -ñëàáîìîíîòîííûì ìèíèìàëüíûì (l1 �
� �mod ( )N l 1 , ..., l l kk N� �mod ( ), 0 1� � �l N ), åñëè ïåðâûé îòêàç êîìïëåê-
ñà íà ïåðèîäå ðåãåíåðàöèè íàñòóïèë â ðåçóëüòàòå îòêàçà l1, l2, ..., lk -é
ñëîæíîé ñèñòåìû, â ìîìåíò îòêàçà â êàæäîé èç ýòèõ k ñëîæíûõ ñèñòåì
áûëè íåèñïðàâíû ðîâíî s ýëåìåíòîâ è áîëüøå îòêàçîâ ýëåìåíòîâ äî ýòîãî
ìîìåíòà â ýòèõ ñëîæíûõ ñèñòåìàõ íå áûëî. Ìíîæåñòâî òàêèõ ïóòåé îáîç-
íà÷èì �c
l l lk1 2...
. Ïóòü � íàçîâåì k-ñëàáîìîíîòîííûì ìèíèìàëüíûì, åñëè
äëÿ íåêîòîðûõ l1, l2, ..., lk ýòîò ïóòü ÿâëÿåòñÿ l1, l2, ..., lk -ñëàáîìîíîòîí-
íûì ìèíèìàëüíûì. Êëàññ k-ñëàáîìîíîòîííûõ ìèíèìàëüíûõ ïóòåé îáîç-
íà÷èì �c( )k .
Ïåðåõîä ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà v t( ), ïîêàçûâàþùåãî ñîñòîÿíèå êîìï-
ëåêñà â ìîìåíò âðåìåíè t, ïîñëå îòêàçà êîìïëåêñà èç ìíîæåñòâà íåèñïðàâ-
íûõ ñîñòîÿíèé E� â ìíîæåñòâî èñïðàâíûõ ñîñòîÿíèé êîìïëåêñà E� íà-
çîâåì åãî âîññòàíîâëåíèåì. Âðåìÿ îò i-ãî âîññòàíîâëåíèÿ êîìïëåêñà äî
( )i�1 -ãî îòêàçà êîìïëåêñà îáîçíà÷èì � i
� , à âðåìÿ îò i-ãî îòêàçà êîìïëåêñà
äî åãî i-ãî âîññòàíîâëåíèÿ îáîçíà÷èì � i
� .
Îòêàç êîìïëåêñà íà ïåðèîäå ðåãåíåðàöèè íàçîâåì îáû÷íûì, åñëè îí
ïðîèçîøåë ïî ñëàáîìîíîòîííîìó ìèíèìàëüíîìó ïóòè â ðåçóëüòàòå îòêàçà
k ñëîæíûõ ñèñòåì ýòîãî êîìïëåêñà â òå÷åíèå âðåìåíè � è íà ýòîì ïåðèîäå
ðåãåíåðàöèè â êàæäîé èç ýòèõ k ñëîæíûõ ñèñòåì îòêàçàëè è áûëè âîññòà-
íîâëåíû ðîâíî ïî s ýëåìåíòîâ â êàæäîé ñèñòåìå è áîëüøå îòêàçîâ ýëåìåí-
òîâ â ýòèõ ñëîæíûõ ñèñòåìàõ íå áûëî, à â îñòàëüíûõ ( )N k� ñëîæíûõ ñèñ-
òåìàõ êîìïëåêñà íà ýòîì ïåðèîäå ðåãåíåðàöèè îòêàçàëè è áûëè âîññòàíîâ-
ëåíû íå áîëåå, ÷åì ïî îäíîìó ýëåìåíòó â êàæäîé èç ýòèõ ( )N k� ñëîæíûõ
ñèñòåì êîìïëåêñà.
Ââåäåì ñëó÷àéíûå ñîáûòèÿ:
A — íà ïåðèîäå ðåãåíåðàöèè ïðîèçîøåë îòêàç êîìïëåêñà;
U — íà ïåðèîäå ðåãåíåðàöèè ïðîèçîøåë îáû÷íûé îòêàç êîìïëåêñà;
U
l l lk1 2...
— íà ïåðèîäå ðåãåíåðàöèè ïðîèçîøåë îáû÷íûé îòêàç êîìï-
ëåêñà â ðåçóëüòàòå îòêàçà l1, l2, ..., lk -é åãî ñëîæíûõ ñèñòåì â òå÷åíèå
âðåìåíè �.
Ïóñòü q x P U x
l l l l l lk k
0
1 2 1 2... ...
( ) { , }�
�� — âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî íà ïåðèî-
äå ðåãåíåðàöèè â ðåçóëüòàòå îòêàçà l1, l2, ..., lk -é ñëîæíûõ ñèñòåì â òå÷åíèå
âðåìåíè � ïðîèçîéäåò îáû÷íûé îòêàç êîìïëåêñà è âðåìÿ ïðåáûâàíèÿ êîìï-
ëåêñà â ìíîæåñòâå íåèñïðàâíûõ ñîñòîÿíèé áóäåò áîëüøå, ÷åì x.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî îáû÷íûé îòêàç êîìïëåêñà ïðîèçîøåë ïî 1, 2, ..., k-
ñëàáîìîíîòîííîìó ìèíèìàëüíîìó ïóòè �. Ðàññìîòðèì, êàê èçìåíÿåòñÿ ñîñ-
òîÿíèå i-é ñëîæíîé ñèñòåìû íà ýòîì ïóòè, i k�1 2, ,..., . Ïóñòü 0 1 2, , ,...,e e ei i
s
i —
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñîñòîÿíèé i-é ñèñòåìû äî ìîìåíòà åå îòêàçà. Ýòà
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îáðàçóåò ìîíîòîííûé ìèíèìàëüíûé ïóòü� i , ïî êîòî-
À. Â. Ìàêàðè÷åâ
48 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2012. V. 34. ¹ 1
ðîìó i-ÿ ñëîæíàÿ ñèñòåìà èç ñîñòîÿíèÿ { }0 ïðèõîäèò ê îòêàçó è � �( )i �
�
�� � �l l
i
l s
ie e
s1 2
0 01 1( ) ( )... ( ) , i k�1,..., , ãäå i i is1 2, ,..., — íîìåðà, ïîñëåäîâà-
òåëüíî îòêàçàâøèõ ýëåìåíòîâ i-é ñëîæíîé ñèñòåìû íà ïóòè� i . Ìíîæåñòâî
ìîíîòîííûõ ìèíèìàëüíûõ ïóòåé, ïî êîòîðûì i-ÿ ñëîæíàÿ ñèñòåìà ìîæåò
îòêàçàòü, êàê è ðàíåå, îáîçíà÷èì �0
i .
Ïóñòü B U x x x x P U x v x
j j j
sk
jsk1 2 1
1 2 1 1
...
( , , , ..., , , ) ( , , ( )� ��
x xsk � �1
� �� x) — óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ê ìîìåíòó âðåìåíè x1 íå çàêîí-
÷èòñÿ ïåðèîä ðåãåíåðàöèè, îòêàçàâøèé â ìîìåíò âðåìåíè x1 ýëåìåíò j1 íå
çàâåðøèò ñâîå îáñëóæèâàíèå ê ìîìåíòó âðåìåíè x xsk � �� è â ìîìåíò
âðåìåíè xsk �� ïðîèçîéäåò îáû÷íûé îòêàç êîìïëåêñà ïðè óñëîâèè, ÷òî
ïåðèîä ðåãåíåðàöèè íà÷àëñÿ â ìîìåíò âðåìåíè x �0 è â ìîìåíòû x x1 2, , ...
..., xsk (0 1 2� � � �x x xsk... ) ïîñëåäîâàòåëüíî îòêàçàëè ýëåìåíòû j j jsk1 2, , ...,
èç ïåðâûõ k ñëîæíûõ ñèñòåì.
Îáîçíà÷èì q x
j j j
k
sk
0 1 2
1 2...
( , , ..., , )� � � âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî îáû÷íûé
îòêàç êîìïëåêñà íà ïåðèîäå ðåãåíåðàöèè ïðîèçîéäåò ïî òàêèì 1, 2, ...,
k-ñëàáîìîíîòîííûì ìèíèìàëüíûì ïóòÿì, ÷òî îòêàç i-é ñëîæíîé ñèñòåìû
ïðîèçîéäåò ïî ìîíîòîííîìó ìèíèìàëüíîìó ïóòè� i (i k�1 2, ,..., ), à ïåðåñòà-
íîâêà j j jsk1 2, ,..., îïðåäåëÿåò ïîðÿäîê îòêàçîâ ýëåìåíòîâ èç ïåðâûõ k
ñëîæíûõ ñèñòåì è âðåìÿ ïðåáûâàíèÿ êîìïëåêñà â íåèñïðàâíîì ñîñòîÿíèè
áóäåò áîëüøå, ÷åì x.
Ïóñòü �e ïîëó÷àåòñÿ èç âåêòîðà e âûäåëåíèåì ïåðâûõ k êîìïîíåíò, ò.å.
�e îïðåäåëÿåò ñîñòîÿíèå ïåðâûõ k ñëîæíûõ ñèñòåì. Íàáîð j j jsk1 2, ,...,
îïðåäåëÿåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñîñòîÿíèé � � � �0 1 2, , ,...,e e esk , êîòîðûå ïðîõî-
äèò ïîäêîìïëåêñ èç ïåðâûõ k ñëîæíûõ ñèñòåì äî îòêàçà âñåãî êîìïëåêñà
ïî 1, 2, ..., k-ñëàáîìîíîòîííîìó ìèíèìàëüíîìó ïóòè. Îáîçíà÷èì
� �( ) ( )� ��
� �
� e N e N
r
k
i
n
i
r1
1 1
1
ñóììàðíóþ èíòåíñèâíîñòü îòêàçîâ ýëåìåíòîâ èç ïåðâûõ k ñëîæíûõ ñèñ-
òåì, íàõîäÿùèõñÿ â ñîñòîÿíèè �e .
Ïóñòü � � � � � �{( ,..., ) : ... }x x x x xsk sk1 1 20 è
J U j j j xN sk( , , , ..., , )1 2 �
� �� �
�E aN B U x x x x
j j j
sk
sk... exp( ) ( , , , ..., , , )
...
�
1
1 2
1 2 � dx dx dxsk1 2 ... ,
ãäå a x e x x e x x
sk sk sk� � � � � � � � �� �� � �( ) ( )( ) ... ( )( )0 1 1 2 1 1 1 .
Ëåììà 1. Ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
q x
N
J U j
j j j
k
i
i
k
sk N
sk
0 1 2 1
1 2...
( , , ..., , )
( )
( , ,� � �
� �
���
�
..., , )j xsk .
Àñèìïòîòè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå âðåìåíè ñ ìîìåíòà îòêàçà
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2012. Ò. 34. ¹ 1 49
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ñîãëàñíî ââåäåííûì îáîçíà÷åíèÿì ïî ôîðìóëå
ïîëíîé âåðîÿòíîñòè
q x
j j j
k
sk
0 1
1 2...
( , ..., , )� � �
� � � � � �� �
� � �E N N x e Nj j... ( ) exp[ ( ) ] ( ) exp[
�
� � �
1 2
0 01 1
1 1
1 � ( ) ( )]...� ��e N x x1
1
2 1
... ( ) exp[ ( ) ( )]� �j sk sk sk sksk
e N e N x x� � � � ��
�
�
�
�1
1
1
1
1
� �B U x x x dx dx dx
j j
sk sk
i
isk1
1 1 2
...
( , , ..., , , ) ...
( )
�
� �
��
k
sk N sk
N
J U j j x
�
( , , ..., , )1 ,
÷òî è òðåáîâàëîñü. Ëåììà 1 äîêàçàíà.
Ïóñòü B x x x P x v x x x
j j j
sk
j
sk
sk1 2 1
1 2 1 1 1
...
( , , ..., ) { , ( ) }�
�� — óñëîâíàÿ
âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ê ìîìåíòó âðåìåíè x1 íå çàêîí÷èòñÿ ïåðèîä ðåãå-
íåðàöèè, îòêàçàâøèé â ìîìåíò âðåìåíè x1 ýëåìåíò j1 íå çàâåðøèò ñâîå îá-
ñëóæèâàíèå ê ìîìåíòó âðåìåíè xsk ïðè óñëîâèè, ÷òî ïåðèîä ðåãåíåðàöèè
íà÷àëñÿ â ìîìåíò âðåìåíè x �0 è â ìîìåíòû x x xsk1 2, ,..., (0 1 2� � �x x ...
...� xsk ) ïîñëåäîâàòåëüíî îòêàçàëè ýëåìåíòû j j jsk1 2, ,..., èç ïåðâûõ k ñëîæ-
íûõ ñèñòåì.
Ïóñòü B x x P x v x x xsk sk� � ��( , ) { , ( ) }1 1 1 1�
� — óñëîâíàÿ âåðîÿò-
íîñòü òîãî, ÷òî â êîìïëåêñå N1
0
, ,� G ïåðèîä ðåãåíåðàöèè íå çàêîí÷èòñÿ äî
ìîìåíòà âðåìåíè x1 è òðåáîâàíèå, âîçíèêøåå â ìîìåíò âðåìåíè x1, íå
çàâåðøèò ñâîå îáñëóæèâàíèå â ÐÎ ê ìîìåíòó âðåìåíè xsk ïðè óñëîâèè, ÷òî
ýòîò ïåðèîä ðåãåíåðàöèè íà÷àëñÿ â ìîìåíò âðåìåíè x �0 è â ìîìåíò
âðåìåíè x1 âîçíèêëî òðåáîâàíèå â ÐÎ êîìïëåêñà (v x( )1 — âðåìÿ ïðåáû-
âàíèÿ â ÐÎ âîçíèêøåãî òðåáîâàíèÿ â ìîìåíò âðåìåíè x1 îò íà÷àëà ïåðèîäà
ðåãåíåðàöèè).
Ëåììà 2. Äëÿ ëþáûõ � � 0 è x � 0 ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî
B U x x x x B x x
j j j
sk sk
sk1 2
1 2 1
...
( , , , ..., , , ) ( , )� �� .
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Èç îïðåäåëåíèÿ
B U x x x x B x x
j j j
sk
j j jsk sk1 2 1 2
1 2 1 2
... ...
( , , , ..., , , ) ( ,� � , ..., )xsk .
Èç ëåììû 2 [1] ñëåäóåò
B x x x B x x
j j j
sk sk
sk1 2
1 2 1
...
( , , ..., ) ( , )� � .
Èç äâóõ ïîñëåäíèõ íåðàâåíñòâ è òðàíçèòèâíîñòè îòíîøåíèÿ ïîðÿäêà ñëå-
äóåò óòâåðæäåíèå ëåììû 2. Îíà äîêàçàíà.
À. Â. Ìàêàðè÷åâ
50 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2012. V. 34. ¹ 1
Îáîçíà÷èì T
m
�
� �
� �
�
1
0 1
1
( ) ( )
ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå äëèíû ïåðèîäà
ðåãåíåðàöèè êîìïëåêñà N1
0
, ,� G [2]. Îáîçíà÷èì v� ñòàöèîíàðíîå âðåìÿ ïðåáû-
âàíèÿ òðåáîâàíèÿ â ÐÎ ýòîãî êîìïëåêñà ïðè äèñöèïëèíå îáñëóæèâàíèÿ d1.
Ëåììà 3. Ïóñòü ��1è msk � �. Òîãäà
0
1 1 2
1 2� � � �
� � �
x x x
sk sk
s
sk
B x x dx dx dx
E v
...
... ( , ) ...
[ ]
�
�
k
sk
T
�
�
� �
1
1( )!
� .
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ñäåëàåì â ðàññìàòðèâàåìîì êðàòíîì èíòåãðàëå
çàìåíó ïåðåìåííûõ: t x xks1 1� � , t x xks2 1 1� �� , ..., t x xks� � �1 2 1, t x� 1. Ïîñëå
ýòîé çàìåíû èñêîìûé èíòåãðàë ïîëó÷èì â âèäå
... { , ( ) } ...
... , tt t t
P t v t t dtdt
sk
��
� 00
1 1
1 2 1
� � � dtsk� �1
�
�
�
� � �
t t
sk
tsk
dt dt P t v t t
1 1 0
1 1
0...
... ... { , ( )� � � 1}dt. (1)
Èç ïðåäåëüíîé òåîðåìû äëÿ ðåãåíåðèðóþùèõ ïðîöåññîâ [3, 4] ñëåäóåò, ÷òî
t
P t v t t dt P v t T
�
�
0
1 1{ , ( ) } { }� � � � � . (2)
Ñîãëàñíî ðàâåíñòâàì (1), (2) â ïðèíÿòûõ îáîçíà÷åíèÿõ èñêîìûé èíòåãðàë
èìååò âèä
t t t
sk
tsk
P v t dt dt T
t
1 2 1 1
1 1 1
0
�
�
� � �
�
...
... { } ...
[
� �
1
2
1 1
2
]
( )!
{ }
sk
sk
P v t dt T
�
�
�� �
�
�
� �
�E v
sk
T
sk[ ]
( )!
,�
�
1
1
òàê êàê ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ìîìåíò msk � � è ��1. Ëåììà 3 äîêàçàíà.
Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ:
� ( ) {( , ..., ) : ... }z x x x x zsk sk� � � � �1 10 ,
�
�
( ) ... ...
( )!
( )
z dx dx
z
sk
z
sk
sk
� �� � 1 .
Àñèìïòîòè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå âðåìåíè ñ ìîìåíòà îòêàçà
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2012. Ò. 34. ¹ 1 51
Ëåììà 4. Ïóñòü ��1 è ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ìîìåíò msk � �. Òîãäà
ïðè N � �
E B U x x x x dx dx dx
j j j
sk
sk... ( , , , ..., , , ) ...
...
�
� � 1 2
1 2 1 2� sk N skJ U j j x� �( , , ..., , )1 0
ðàâíîìåðíî ïî x � 0.
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïî îïðåäåëåíèþ
E B U x x x x dx dx dx
j j j
sk
sk... ( , , , ..., , , ) ...
...
�
� � 1 2
1 2 1 2� sk N skJ U j j x� �( , , ..., , )1
� � �� �
�E aN B U x x x
j j j
sk
sk... [ exp( )] ( , , , ..., ,
...
�
1 1
1 2
1 2 �, ) ...x dx dx dxsk1 2 .
Âûáåðåì ëþáîå ÷èñëî �
0 è çàôèêñèðóåì. Èç ëåììû 3 ñëåäóåò, ÷òî äëÿ
âûáðàííîãî �
0 ñóùåñòâóåò z z� ( )� òàêîå, ÷òî äëÿ ëþáîãî z z� ( )�
� �\ ( )
... ( , ) ...
z
sk skB x x dx dx dx� � ��
�
1 1 2
2
. (3)
Èç íåðàâåíñòâà1 11� � ��exp( )aN è ëåììû 2 äëÿ ëþáûõ� � 0è x � 0ñïðàâåä-
ëèâû íåðàâåíñòâà
[ exp( )] ( , , , ..., , , )
...
1 1
1 2
1 2� � ��aN B U x x x x
j j j
sk
sk �
� �B U x x x x B x x
j j j
sk sk
sk1 2
1 2 1
...
( , , , ..., , , ) ( , )� � . (4)
Èç (3), (4) è ìîíîòîííîñòè èíòåãðàëà äëÿ ëþáîãî x � 0ñëåäóåò íåðàâåíñòâî
E aN B U x x
z
j j
sk
sk
� �\ ( )
...
... [ exp( )] ( , , ..., ,� � � � �1 1
1
1 �, ) ...x dx dxsk1
2
�
�
. (5)
Ïî îïðåäåëåíèþ a x zsk� �� � . Äëÿ âûáðàííîãî z z� ( )� ñóùåñòâóåò òàêîå
N N z� ( ( ))� , ÷òî äëÿ ëþáîãî N N z
( ( ))�
0 1 1
2
1 1� � � � � � �� �exp( ) exp( )
( )
aN zN
z
�
�
�
.
Îòñþäà è íåðàâåíñòâà 0 11
1� �B U x x x
j j
sk
sk...
( , , ..., , , )� ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþ-
áîãî N N z
( ( ))� ïðè ëþáîì x � 0 ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî
E aN B U x x x
z
j j
sk
sk
�( )
...
... [ exp( )] ( , , ..., , ,� � � � �1 1
1
1 � ) ...dx dxsk1
2
�
�
. (6)
À. Â. Ìàêàðè÷åâ
52 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2012. V. 34. ¹ 1
Èç (5) è (6) ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî N N z
( ( ))� è ëþáîãî x � 0ñïðàâåäëèâî
íåðàâåíñòâî
E aN B U x x x dx
j j
sk
sk
�
� � � � �... [ exp( )] ( , ,..., , , )
...
1 1
1
1 � 1... dxsk � � .
Ëåììà 4 äîêàçàíà.
Ïóñòü
� �� � ��
�
�
�
�
1
k
N
, � !"# � !"#� � ��
�
�
�
�
1
k
N
;
B x x x P x v x x x x
j
sk
j
sk0 1 0 1 0 1 1
1� � ��
� � �( , , , ) ( , ( ) )� � � , B x x x
j
sk0 1
1 ( , , , )� �
�
� � �P x v x x x xj
sk( , ( ) )� �
0 1 0 1 1 — ñîîòâåòñòâåííî óñëîâíûå âåðîÿòíîñ-
òè òîãî, ÷òî, íà÷àâøèñü â ìîìåíò âðåìåíè x �0, ïåðèîä ðåãåíåðàöèè â
êîìïëåêñàõ N�( ) ,0 0� G è N�( ),0 0G íå çàêîí÷èòñÿ ê ìîìåíòó âðåìåíè x1 è âîç-
íèêøåå â ìîìåíò âðåìåíè x1 â ÐÎ òðåáîâàíèå, òèï êîòîðîãî ñîâïàäàåò c
íîìåðîì ýëåìåíòà j1, îáîçíà÷àåìîãî ÷åðåç j, íå çàâåðøèò ñâîå îáñëóæèâà-
íèå â ÐÎ äî ìîìåíòà âðåìåíè x xsk � �� ïðè óñëîâèè, ÷òî ïåðèîä ðåãåíåðà-
öèè íà÷àëñÿ â ìîìåíò âðåìåíè x �0 è â ìîìåíò âðåìåíè x1 â ÐÎ âîçíèêëî
òðåáîâàíèå c íîìåðîì j ýëåìåíòà j1 ( )0 1� �x xsk ; v xj
0 1
�( ) è v xj
0 1( ) — âðåìå-
íà ïðåáûâàíèÿ òðåáîâàíèÿ j-ãî òèïà, ïîñòóïèâøåãî â ìîìåíò x1 â ÐÎ êîìï-
ëåêñîâ ñîîòâåòñòâåííî N�( ) ,0 0� G è N�( ),0 0G .
Ëåììà 5. Ïóñòü ��1 è ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ìîìåíò msk � �. Òîãäà
ïðè N � � ðàâíîìåðíî ïî x � 0
E B U x x x dx dx
j j
sk sk
sk... ( , , ..., , , ) ...
...
�
� � �1
1 1�
� �� �
�
E B x x x dx dx
j
sk sk... ( , , , ) ...
�
0 1 1
1 0� .
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Âûáåðåì ëþáîå ÷èñëî�
0. Èç ëåììû 3 ñëåäóåò,
÷òî ñóùåñòâóåò òàêîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî z z� ( )� , ÷òî äëÿ ëþáîãî
z z� ( )�
... ( , ) ...
\ ( )� � z
sk skB x x dx dx dx� � ��
�
1 1 2
5
. (7)
Èç ëåììû 2 ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáûõ � � 0è x � 0ñïðàâåäëèâû íåðàâåíñòâà
B U x x x B x x
j j
sk sk
sk1
1 1
...
( , , ..., , , ) ( , )� �� , B x x x B x x
j
sk sk0 1 1
1� �( , , , ) ( , )� � . (8)
Àñèìïòîòè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå âðåìåíè ñ ìîìåíòà îòêàçà
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2012. Ò. 34. ¹ 1 53
Èç (7), (8) è ìîíîòîííîñòè èíòåãðàëà ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî x
0
E B U x x x dx dx
z
j j
sk sk
sk... ( , , ..., , , ) ...
\ ( )
...
� �
� � �1
1 1�
�
5
,
E B x x x dx dx
z
j
sk sk... ( , , , ) ...
\ ( )� �
� �
� �
0 1 1
1
5
�
�
. (9)
Ñîãëàñíî àêñèîìå íåïðåðûâíîñòè òåîðèè âåðîÿòíîñòåé äëÿ âûáðàííî-
ãî � ñóùåñòâóåò òàêîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî l l� ( )� , ÷òî äëÿ ëþáîãî l l� ( )�
P z l
z
( ( ) )
( )
�
�
�
�
�
�
5
,
ãäå ���
( )z — ÷èñëî ñîáûòèé ïóàññîíîâñêîãî ïîòîêà ñ ïàðàìåòðîì �� ,
âîçíèêøèì íà îòðåçêå [ , ]0 z .
Ïóñòü Rl
� — ñëó÷àéíîå ñîáûòèå, ñîñòîÿùåå â òîì, ÷òî ïåðâûå l òðåáî-
âàíèé ïóàññîíîâñêîãî ïîòîêà ñ ïàðàìåòðîì �� âñå áóäóò èç ðàçëè÷íûõ
ñèñòåì. Ñîãëàñíî ëåììå 2 [2] äëÿ âûáðàííîãî � ñóùåñòâóåò òàêîå íàòó-
ðàëüíîå ÷èñëî N N� ( )� , ÷òî äëÿ ëþáîãî N N� ( )�
P R
z
l( )
( )
�
�1
5
�
�
.
Ïóñòü A z l R l� �
�
{ ( ) }�� , � �� �� �
�
{ ( ) }z l , à I A( ) — èíäèêàòîð cëó÷àéíî-
ãî ñîáûòèÿ A. Î÷åâèäíî,
B U x x x P U x v x x x
j j
sk
j
sk
sk1
1 1 1 1
...
( , , ..., , , ) ( , , ( )� ��
� � � �� x)
�
� � � �� �P U I x v x I x x xj
sk( , ( ) , ( ) ( ) )� �� �1 1 1
�
� � �� �P U I x v x I x x xj
sk( , ( ) , ( ) ( ) )� �� �1 1 1 . (10)
Àíàëîãè÷íî
B x x x P x v x x x x
j
sk
j
sk0 1 0 1 0 1 1
1� � ��
� � � �( , , , ) ( , ( ) )� � �
�
� � � �� �P I A x v x I A x x xj
sk( ( ) , ( ) ( ) )� �0 1 0 1 1
�
� � �� �P I A x v x I A x x xj
sk( ( ) , ( ) ( ) )� �0 1 0 1 1 . (11)
Èç ëåììû 4 [2] ñëåäóåò, ÷òî
P U I x v x I x x xj
sk{ , ( , ) ( ) , ( ) ( ) }� $ % �� �� �
� � � �1 1 1
�
� � �� �P I A x v x I A x x xj
sk{ ( , ) ( ) , ( ) ( ) )� $ % �0 1 0 1 1 . (12)
À. Â. Ìàêàðè÷åâ
54 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2012. V. 34. ¹ 1
Ïîñêîëüêó äëÿ ëþáîãî N N� ( )� è ëþáîãî x � 0
P U I x v x I x x x P
z
j
sk( , ( ) , ( ) ( ) ) ( )
( )
� �
�
� � �
�
� � �
� � � � �1 1 1
5
(13)
è
P I A x v x I A x x xj
sk( ( ) , ( ) ( ) )� �0 1 0 1 1
� �
� � � �
� � � ��
�P A P P R
z
l( ) ( ) ( )
( )
�
�
2
5
�
, (14)
èç (10) — (14) ïîëó÷àåì äëÿ ëþáîãî N N� ( )� è ëþáîãî x � 0
B U x x x B x x x
j j
sk
j
sk
sk1 1
1 0 1
3
5
...
( , , ..., , , ) ( , , , )
(
� �� ��
� z)
. (15)
Èç ñâîéñòâà èíòåãðàëà è (15) ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî x � 0
E B U x x x dx dx
z
j j
sk sk
sk... ( , , ..., , , ) ...
( )
...
�
� � �1
1 1�
� �� � � �
�
E B x x x dx dx E B
z
j
sk sk
z
j
... ( , , ) ... ...
( ) ( )� �
0 1 1
1 1...
( , , ..., , , )
j
sk
sk U x x x1 � �
� ��
� �B x x x dx dx
z
dx
j
sk sk
z
0 1 1 1
1
3
5
( , , , ) ... ...
( )
..
( )
�
�
�
�
. dxsk �
3
5
�
. (16)
Èç (9) è (16) ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî N N� ( )� è ëþáîãî x � 0
E B U x x x dx dx Ej j
sk sk
sk... ( , , ..., , , ) ... ......
� �
� � �1
1 1� � �
� �B x x x dx dx
j
sk sk0 1 1
1 ( , , , ) ...�
� � �E B U x x x dx dx
z
j j
sk sk
sk... ( , , ..., , , ) ...
\ ( )
...
� �
1
1 1� �
� �� �
�
E B x x x dx dx
z
j
sk sk... ( , , , ) ...
\ ( )� �
0 1 1
1 �
� �� �E B U x x x dx dx
z
j j
sk sk
sk... ( , , ..., , , ) ...
( )
...
�
1
1 1�
Àñèìïòîòè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå âðåìåíè ñ ìîìåíòà îòêàçà
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2012. Ò. 34. ¹ 1 55
� � � � �� �
�
E B x x x dx dx
z
j
sk sk... ( , , , ) ...
( )�
0 1 1
1
5 5
3
5
�
� � �
�.
Ëåììà 5 äîêàçàíà.
Ëåììà 6. Ïóñòü ��1 è ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ìîìåíò msk � �. Òîãäà
ïðè N � � ðàâíîìåðíî ïî x � 0
E B x x x dx dx E B x
j
sk sk
j
... ( , , , ) ... ... ( ,
� �
� � � �
� �
0 1 1 0 1
1 1� x x dx dxsk sk, , ) ...� 1 0� .
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Âûáåðåì ëþáîå ÷èñëî�
0. Èç ëåììû 3 ñëåäóåò,
÷òî ñóùåñòâóåò òàêîå z z� ( )� , ÷òî äëÿ ëþáîãî z z� ( )�
� �\ ( )
... ( , ) ...
z
sk skB x x dx dx� � ��
�
1 1
6
. (17)
Ïîñêîëüêó � �( )0 � , èç ëåììû 2 ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáûõ � � 0 è x � 0
B x x x B x x
j
sk sk0 1 1
1� �( , , , ) ( , )� � , B x x x B x x
j
sk sk0 1 1
1 ( , , , ) ( , )� �� . (18)
Èç (17) è (18) ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáûõ � � 0 è x � 0
E B x x x dx dx
z
j
sk sk
� �\ ( )
... ( , , , ) ...� �
� �
0 1 1
1
6
�
�
,
E B x x x dx dx
z
j
sk sk
� �\ ( )
... ( , , , ) ...� � �
0 1 1
1
6
�
�
.
(19)
Ñîãëàñíî àêñèîìå íåïðåðûâíîñòè òåîðèè âåðîÿòíîñòåé äëÿ âûáðàííîãî �
ñóùåñòâóåò òàêîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî l l� ( )� , ÷òî äëÿ ëþáîãî l l� ( )�
P z l
z
( ( ) )
( )
(�
�
� #
�
0
6
� . (20)
Îòñþäà è èç íåðàâåíñòâà x x zsk1 � � ñëåäóåò, ÷òî
P x l P z l
z
( ( ) ) ( ( ) )
( )
( (� �
�
� # � #
�
0 1 0
6
�
� . (21)
Ïóñòü C l — ñëó÷àéíîå ñîáûòèå, ñîñòîÿùåå â òîì, ÷òî ñîâïàäóò ìî-
ìåíòû âîçíèêíîâåíèÿ ïåðâûõ l òðåáîâàíèé äâóõ ïóàññîíîâñêèõ ïîòîêîâ ñ
À. Â. Ìàêàðè÷åâ
56 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2012. V. 34. ¹ 1
ïàðàìåòðàìè � ( )0 è � ( )0 � (âòîðîé ïîòîê ïîëó÷àåòñÿ èç ïåðâîãî ïðîñåè-
âàíèåì). Òîãäà P C kNl
l( ) ( )� � ��1 11 ïðè N � �. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî äëÿ
âûáðàííîãî �
0 ñóùåñòâóåò òàêîå l l� ( )� , ÷òî äëÿ ëþáîãî l l� ( )�
P C
z
l( )
( )
�1
6
�
�
. (22)
Ïóñòü C z l C
l
� �{ ( ) }��!"# è I C( ) — èíäèêàòîð ñëó÷àéíîãî ñîáûòèÿ C.
Òîãäà
B x x x P x v x x x x
j
sk
j
sk0 1 0 1 0 1 1
1� � ��
� � � �( , , , ) ( , ( ) )� � �
�
� � � �� �P I C x v x I C x x xj
sk( ( ) , ( ) ( ) )� �0 1 0 1 1
�
� � �� �P I C x v x I C x x xj
sk( ( ) , ( ) ( ) )� �0 1 0 1 1 , (23)
B x x x P x v x x x x
j
sk
j
sk0 1 0 1 0 1 1
1 ( , , , ) ( , ( ) )� � ��
� � � �
�
� � � �P I C x v x I C x x xj
sk( ( ) , ( ) ( ) )� �
0 1 0 1 1
�
� � �P I C x v x I C x x xj
sk( ( ) , ( ) ( ) )� �
0 1 0 1 1 . (24)
Èç ïîñòðîåíèÿ ñëó÷àéíîãî ñîáûòèÿ C ñëåäóåò, ÷òî
P I C x v x I C x x xj
sk{ ( ) , ( ) ( ) }� �
0 1 0 1 1
� � � �
�
� � �� �P I C x v x I C x x xj
sk{ ( ) , ( ) ( ) }� �0 1 0 1 1 . (25)
Ïîñêîëüêó ñ èñïîëüçîâàíèåì (21) è (22)
P I C x v x I C x x x P Cj
sk( ( ) , ( ) ( ) ) ( )� �
0 1 0 1 1
� � � � �
�
� �P l P C
z
( ) ( )
( )
(�
�
� #
�
0
3
(26)
è àíàëîãè÷íî
P I C x v x I C x x x P C
z
j
sk( ( ) , ( ) ( ) ) ( )
( )
� �
�
0 1 0 1 1
3
� �
� � � � �
�
, (27)
èç (23) — (27) ñëåäóåò, ÷òî ïðè ëþáûõ � � 0 è x � 0
B x x x B x x x
z
j
sk
j
sk
1 1
1 0 1
2
3
� � �( , , , ) ( , , , )
( )
� �
�
. (28)
Àñèìïòîòè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå âðåìåíè ñ ìîìåíòà îòêàçà
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2012. Ò. 34. ¹ 1 57
Èç ñâîéñòâà èíòåãðàëà è (28) ñëåäóåò
E B x x x dx dx E B
z
j
sk sk
z
... ( , , , ) ... ...
( ) ( )� �
� � � �
� �
0 1 1 0
1 � j
sk skx x x dx dx1
1 1( , , , ) ...� �
� �� �
�
E B x x x B x x x dx
z
j
sk
j
sk... ( , , , ) ( , , , ) ..
( )�
0 1 0 1 1
1 1� � . dxsk �
� �� �...
( )
...
( )�
�
z
sk
z
dx dx
2
3
2
3
1
�
. (29)
Èç (19) è (29) ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî N N� ( )� è ëþáîãî x � 0
E B x x x dx dx E B x
j
sk sk
j
... ( , , , ) ... ... ( ,
� �
� � � �
� �
0 1 1 0 1
1 1� x x dx dxsk sk, , ) ...� 1 �
� �� �
�
E B x x x dx dx E
z
j
sk sk
z
... ( , , , ) ... ...
\ ( ) \ (� � � �
0 1 1
1 �
)
( , , , ) ...� � �B x x x dx dx
j
sk sk0 1 1
1 �
� �� � � �
�
E B x x x dx dx E B
z
j
sk sk
z
... ( , , , ) ... ...
( ) ( )� �
0 1 1
1 �
0 1 1
1j
sk skx x x dx dx( , , , ) ...� �
� � � �
� � �
�
6 6
2
3
.
Îòñþäà è èç îïðåäåëåíèÿ ïðåäåëà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè âûòåêàåò óòâåðæ-
äåíèå ëåììû 6. Ëåììà 6 äîêàçàíà.
Ëåììà 7. Ïóñòü ��1 è ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ìîìåíò msk � �. Òîãäà
ïðè N � � ðàâíîìåðíî ïî x � 0
J U j j x E B x x x dx dxN sk
j
sk( , , ..., , ) ... ( , , , ) ...1 0 1 1
1� � �
�
� sk � 0 .
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Äëÿ ïðîñòîòû ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ:
J U xN ( , ) � J U j j xN sk( , , ..., , )1 ,
J U x E B U x x x dx
N
j j
sk
sk( ) ...
( , ) ... ( , , ..., , , ) ..1
1 1
1� � �
�
� . dxsk ,
J x E B x x x dx dx
N
j
sk sk
( ) ( ) ... ( , , , ) ...2
0 1 1
1� � �
�
�
� ,
J x E B x x x dx dx
N
j
sk sk
( ) ( ) ... ( , , , ) ...3
0 1 1
1� � �
�
� .
À. Â. Ìàêàðè÷åâ
58 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2012. V. 34. ¹ 1
Èç ëåìì 5—7 ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî �
0 ñóùåñòâóþò òàêèå íàòóðàëü-
íûå ÷èñëà N N1 1� ( )� , N N2 2� ( )� , N N3 3� ( )� , ÷òî ñîîòâåòñòâåííî äëÿ ëþáî-
ãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà N N
1è ëþáîãî x � 0
J U x J U x
N N
( , ) ( , ) /( )� �1 3� ,
äëÿ ëþáîãî N N
2 è ëþáîãî x � 0
J U x J x
N N
( ) ( )( , ) ( ) /1 2 3� � � ,
äëÿ ëþáîãî N N
3 è ëþáîãî x � 0
J x J x
N N
( ) ( )( ) ( ) /2 3 3� � � .
Ïóñòü N N N N0 1 2 3� max{ , , }. Òîãäà äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà N N
0
è ëþáîãî x � 0 ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî
J U x J x J U x J U x J U x J
N N N N N N
( , ) ( ) ( , ) ( , ) ( , )( ) ( ) ( ) (� � � � �3 1 1 2) ( )x �
� � � � � �J x J x
N N
( ) ( )( ) ( )2 3
3 3 3
� � �
�.
Ëåììà 7 äîêàçàíà.
Ïóñòü j — íîìåð ýëåìåíòà j1. Ïóñòü v wj
j0
0� �& ( ) — ñòàöèîíàðíîå
âðåìÿ ïðåáûâàíèÿ òðåáîâàíèÿ j-ãî òèïà â ÐÎ êîìïëåêñà N�( ),0 0G . Îíî ñîñ-
òîèò èç äâóõ íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ ñëàãàåìûõ: äëèíû & j òðåáîâàíèÿ
j-ãî òèïà ñ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ G x P xj j( ) ( )� �& è ñòàöèîíàðíîãî
âðåìåíè îæèäàíèÿ îáñëóæèâàíèÿ w( )0 â ÐÎ êîìïëåêñà N�( ),0 0G .
Ëåììà 8. Ïóñòü��1è ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ìîìåíò msk � �. Òîãäà äëÿ
ëþáîãî x � 0
E B x x x dx dx dH u
t uj
sk sk
u
ks
... ( , , , ) ... ( )
( )
�
� � ��
�
0 1 1
0
1 �
�
�
��
2
0
2( )!
( )
ks
P v t x dtT
t u
j
�!"# .
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ñäåëàåì â ðàññìàòðèâàåìîì êðàòíîì èíòåãðàëå
çàìåíó ïåðåìåííûõ t x� 1, t x xsk1 1� � , t x xsk2 2� � , ..., t x xsk sk sk� �� �1 1.
Ïîñëå ýòîé çàìåíû äàííûé èíòåãðàë ïðèìåò âèä
E P t v t t x dt
t t t t
j
sk1 2 1 0 0
0 1
�
� �
� �
... ,
... { , ( ) }� �" dt dtsk1 1... � �
�
�
�
� � �E dt dt P t v t
t t
sk
t
j
sk1 1 0
1 1
0
0 0
...
... ... { , ( )�
� �t x dt1 � } . (30)
Àñèìïòîòè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå âðåìåíè ñ ìîìåíòà îòêàçà
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2012. Ò. 34. ¹ 1 59
Èç ïðåäåëüíîé òåîðåìû äëÿ ðåãåíåðèðóþùèõ ïðîöåññîâ [3, 4] ñëåäóåò, ÷òî
t
j jP t v t t x dt P v t x T
�
� � �
� �
0
0 0 1 0 1{ , ( ) } { }� � � �!"# . (31)
Èç ðàâåíñòâ (30) è (31), èíòåãðèðóÿ è ïîëàãàÿ t t� 1, íàõîäèì èñêîìûé
èíòåãðàë â âèäå
E B x x x dx dx
j
sk sk... ( , , , ) ...
�
� � �
0 1 1
1 �
�
� �
�
�
� �E P v t x dt dt T
t t t
j
sk
sk1 2 1
0 1 1 1
...
... { } ...� �!"# �
�
�
� � �
�
�E
t
sk
P v t x dtT
sk
t
j
2
0
0 1
2( )!
{ }� �!"#
�
�
�
� �
�
� �dH u
t u
ks
P v t x dtT
E
u
ks
t u
j( )
( )
( )!
( )
[
0
2
0
2
�!"#
( ) ]
( )!
v
sk
T
j sk
0
1
1
�
�
� ��!"#
äëÿ ëþáîãî x � 0, òàê êàê ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ìîìåíò msk � � è ��1.
Ëåììà 8 äîêàçàíà.
Ëåììà 9. Ïóñòü ��1 è ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ìîìåíò msk � �. Òîãäà
ïðè N � � ðàâíîìåðíî ïî x � 0
q x
N
dH u
j j j
k
i
i
k
sk
u
sk
0 1 2
0
1 2...
( , , ..., , ) ~
( )
( )� � �
� �
��
�
� �
�
�
�
�
( )
( )!
( )
t u
sk
P v t x dtT
sk
t u
j
2
0
2
�!"# ,
ãäå j — íîìåð ýëåìåíòà j1, îòêàçàâøåãî ïåðâûì íà ïåðèîäå ðåãåíåðàöèè èç
ïåðâûõ k ñëîæíûõ ñèñòåì.
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Èç ëåììû 1 ñëåäóåò ðàâåíñòâî
q x
N
J U j
j j j
k
i
i
k
sk N
sk
0 1 2 1
1 2...
( , , ..., , )
( )
( , ,� � �
� �
���
�
..., , )j xsk .
Èç ëåììû 7 ïðè N � � ðàâíîìåðíî ïî x � 0
J U j j x E B x x x dx dxN sk
j
sk( , , ..., , ) ... ( , , , ) ...1 0 1 1
1� � �
�
� sk � 0 .
À. Â. Ìàêàðè÷åâ
60 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2012. V. 34. ¹ 1
Ñîãëàñíî ëåììå 8
E B x x x dx dx dH u
t uj
sk sk
u
sk
... ( , , , ) ... ( )
( )
�
� � ��
�
0 1 1
0
1 �
�
�
��
2
0
2( )!
( )
sk
P v t x dtT
t u
j
�!"# .
Èç ïîñëåäíèõ òðåõ ñîîòíîøåíèé ïðè N � � ðàâíîìåðíî ïî x � 0
q x
N
dH u
j j j
k
i
i
k
sk
u
sk
0 1 2
0
1 2...
( , , ..., , ) ~
( )
( )� � �
� �
��
�
� �
�
�
�
�
( )
( )!
{ }
t u
sk
P v t x dtT
sk
t u
j
2
0
2
�!"# .
Ëåììà 9 äîêàçàíà.
Îáîçíà÷èì q x P U xk k
0
12 12... ...( ) ( , )�
�� âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî íà ïåðèî-
äå ðåãåíåðàöèè ïðîèçîéäåò îáû÷íûé îòêàç êîìïëåêñà ïî 1, 2, ..., k-ñëàáî-
ìîíîòîííîìó ìèíèìàëüíîìó ïóòè è êîìïëåêñ ïðîáóäåò â íåèñïðàâíîì
ñîñòîÿíèè âðåìÿ, áîëüøåå, ÷åì x. Äëÿ êðàòêîñòè, îáîçíà÷èì v i vl j
0 1 0
( ) � ,
ãäå j il� 1 — íîìåð ýëåìåíòà, îòêàçàâøåãî ïåðâûì èç ïåðâûõ k ñëîæíûõ
ñèñòåì íà ïåðèîäå ðåãåíåðàöèè, è ýòîò ýëåìåíò èç l-é ñëîæíîé ñèñòåìû,
îòêàçàâøåé ïî ïóòè � i , l k�1 2, , ..., .
Ëåììà 10. Ïóñòü ��1 è ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ìîìåíò msk � �. Òîãäà
ïðè N � � ðàâíîìåðíî ïî x � 0
q x
sk
s s
k
k0
12
1
1
1
1 0
1
...
..............
( ) ~
( )!( !)
�
� �
�
�
�
k
k
i
i
k
skN
�
�
�0
� �
��
( )
� �
�
�
�
� �
l
k
u
sk
t u
ldH u t u P v i t x dtT
1 0
2
0 1( ) ( ) ( ( ) ) �!"# .
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ðàññìîòðèì j j jk1 2, ,..., - ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
îòêàçàâøèõ ýëåìåíòîâ â ïåðâûõ k ñèñòåìàõ, ïðèâåäøèõ ê îòêàçó êîìï-
ëåêñà. Ïóñòü
i i is1
1
2
1 1, , ..., ,
i i is1
2
2
2 2, , ..., ,
(32)
..................
i i ik k
s
k
1 2, , ...,
åñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íîìåðîâ îòêàçàâøèõ ýëåìåíòîâ 1, 2, ..., k-é ñèñ-
òåìû, ïðèâåäøèõ ê îòêàçó êîìïëåêñà. Êàæäûé èç ýòèõ íàáîðîâ îïðåäåëÿåò
Àñèìïòîòè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå âðåìåíè ñ ìîìåíòà îòêàçà
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2012. Ò. 34. ¹ 1 61
ìîíîòîííûé ìèíèìàëüíûé ïóòü � i (l k�1 2, , ..., ), ïî êîòîðîìó ïðîèçîøåë
îòêàç i-é ñëîæíîé ñèñòåìû. Ñëåäîâàòåëüíî, j j jk1 2, , ..., — òàêàÿ ïåðåñòà-
íîâêà èç íîìåðîâ (32), óêàçûâàþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïðîèçîøåäøèõ
îòêàçîâ ýëåìåíòîâ â ýòèõ ñëîæíûõ ñèñòåìàõ, ÷òî äëÿ êàæäîãî âåðõíåãî
èíäåêñà ñîõðàíÿåòñÿ ìîíîòîííîñòü ïî íèæíåìó èíäåêñó. Òîãäà
q xk
j j j
k
k
sk
0
12
1 0
1
0
1 2
...
..............
( ...
( ) �
�
�
�
�
)
...
( , , ..., , ) q x
j j j
k
sk
0 1 2
1 2 � � � , (33)
ãäå q x
j j j
k
sk
0 1 2
1 2...
( , , ..., , )� � � — âåðîÿòíîñòü îáû÷íîãî îòêàçà êîìïëåêñà è
åãî ïðåáûâàíèÿ â íåèñïðàâíîì ñîñòîÿíèè áîëåå ïðîäîëæèòåëüíîå âðåìÿ,
÷åì x, ïî òàêèì 1, 2, ..., k-ñëàáîìîíîòîííûì ïóòÿì, ÷òî îòêàç l-é ñëîæíîé
ñèñòåìû ïðîèçîøåë ïî ìîíîòîííîìó ìèíèìàëüíîìó ïóòè � i (l k�1 2, , ..., ),
à ïåðåñòàíîâêà j j jk1 2, , ..., îïðåäåëÿåò ïîðÿäîê îòêàçîâ ýëåìåíòîâ èç ïåð-
âûõ k ñëîæíûõ ñèñòåì.
Èç ëåììû 1 è îïðåäåëåíèÿ óñëîâíîé âåðîÿòíîñòè B U x x x
j j j
sk
sk1 2
1
...
( , , ..., , )
â ñèëó äèñöèïëèíû îáñëóæèâàíèÿ òðåáîâàíèé â ïîðÿäêå ïîñòóïëåíèÿ
ñëåäóåò, ÷òî âåðîÿòíîñòü q x
j j j
k
sk
0 1 2
1 2...
( , , ..., , )� � � íå çàâèñèò îò ïîðÿäêà
îòêàçîâ ýëåìåíòîâ j jsk2, ..., , îòêàçàâøèõ âñëåä çà ýëåìåíòîì j1 èç ïåðâûõ k
ñëîæíûõ ñèñòåì êîìïëåêñà, à J U j j j x J U j xN sk N( , , , ..., , ) ( , , )1 2 1� íå çàâè-
ñèò îò íîìåðîâ ýëåìåíòîâ j jk2 ,..., . Ïîýòîìó âî âíóòðåííåé ñóììå (33) äëÿ
êàæäîãî ýëåìåíòà j1 ñ íîìåðîì j il� 1 (l k�1 2, ,..., ) áóäåò ðîâíî
( )!
( )!( !)
sk
s s k
�
� �
1
1 1
ðàâíûõ ñëàãàåìûõ, êàæäîå èç êîòîðûõ ïðè N � � ñîãëàñíî ëåììå 9 ðàâ-
íîìåðíî ïî x � 0 ýêâèâàëåíòíî
� �
��
( )
( )
( )
( )!
( (
i
i
k
sk
u
sk
t u
l
N
dH u
t u
sk
P v i
�
� �
�
�
�
0
2
0 1
2
) )
�t x dtT�!"# .
Îòñþäà ïðè N � � ðàâíîìåðíî ïî x � 0
( ... )
...
( , , ..., , ) ~
j j j
j j j
k
sk
skq x
1 2
1 2
0 1 2 � � �
~
( )!( !)
( )
( ) ( )
sk
s s N
dH u t u
k
i
i
k
sk
l
k
u
�
�
�
�
�
�
�
1
1 1
1 0
� �
�� sk
t u
lP v i t x dtT�
�
�2
0 1( ( ) ) �!"# .
(34)
À. Â. Ìàêàðè÷åâ
62 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2012. V. 34. ¹ 1
Èç (33) è (34) ñëåäóåò, ÷òî ïðè N � � ðàâíîìåðíî ïî x � 0
q x
sk
s s
k
k0
12
1
1
1
1 0
1
...
..............
( ) ~
( )!( !)
�
� �
�
�
�
k
k
i
i
k
skN
�
�
�0
� �
��
( )
� �
�
�
�
� �
l
k
u
sk
t u
ldH u t u P v i t x dtT
1 0
2
0 1( ) ( ) ( ( ) ) �!"# .
Ëåììà 10 äîêàçàíà.
Îáîçíà÷èì q x P U x
l l l l l lk k
0
1 2 1 2... ...
( ) ( , )�
�� âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî íà ïå-
ðèîäå ðåãåíåðàöèè ïðîèçîéäåò îáû÷íûé îòêàç êîìïëåêñà ïî l1, l2, ...,
lk -ñëàáîìîíîòîííîìó ìèíèìàëüíîìó ïóòè è êîìïëåêñ ïðîáóäåò â íå-
èñïðàâíîì ñîñòîÿíèè âðåìÿ áîëüøåå, ÷åì x.
Îáîçíà÷èì P U x( , )� �
âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî íà ïåðèîäå ðåãåíåðàöèè
ïðîèçîéäåò îáû÷íûé îòêàç êîìïëåêñà è âðåìÿ ïðåáûâàíèÿ åãî â íåèñïðàâ-
íîì ñîñòîÿíèè áîëüøå, ÷åì x.
Ëåììà 11. Ïóñòü ��1 è ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ìîìåíò msk � �. Òîãäà
ïðè N � � ðàâíîìåðíî ïî x � 0
P U x( , ) ~� �
~
( )!( !)
( )
..............
sk
s s k
i
k
k
�
� �
1
1 1
1 0
1
0
�
�
� �
�
�
i
k
sk
l
k
u
sk
t u
l
N
dH u t u P v i t x��
�
� ��
�
�
�
�
1
1 0
2
0 1( ) ( ) ( ( ) ) dtT�!"# .
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Èç îïðåäåëåíèÿ êîìïëåêñà N â ñèëó
îäíîòèïíîñòè ñëîæíûõ ñèñòåì, åãî ñîñòàâëÿþùèõ, è òîãî, ÷òî äèñöèïëèíà
îáñëóæèâàíèÿ òðåáîâàíèé â ÐÎ îòêàçàâøèõ ýëåìåíòîâ íå çàâèñèò îò íîìå-
ðîâ ñëîæíûõ ñèñòåì, ãäå îíè îòêàçàëè, ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáûõ 1 1� �l
� � � �l l Nk2 ... (ñèñòåì ñ íîìåðàìè mod ( )N l �1 , ..., mod ( )N l k� ,0 1� � �l N )
q x q x
l l l kk
0 0
121 2... ...( ) ( )� .
Îòñþäà è ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ P U x Nq xk( , ) ( )...� �
� 0
12 . Îòñþäà è èç
ëåììû 10 ïðè N � � ñëåäóåò óòâåðæäåíèå ëåììû 11.
Ëåììà 12. Ïóñòü ��1è ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ìîìåíò msk� � �1 . Òîãäà
ïðè N � � P A P U( ) ~ ( ).
Àñèìïòîòè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå âðåìåíè ñ ìîìåíòà îòêàçà
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2012. Ò. 34. ¹ 1 63
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Èç ëåììû 11 ñëåäóåò, ÷òî ïðè x �0
P U P U( ) ( , ) ~�
�� 0
~
( )!( !)
( )
..............
sk
s s k
i
k
k
�
� �
1
1 1
1 0
1
0
�
�
� �
�
�
i
k
sk
l
k
u
sk
t u
l
N
dH u t u P v i t d��
�
� ��
�
�
�
1
1 0
2
0 1( ) ( ) ( ( ) ) tT�!"# .
Èç ëåìì 10 è 15 [5, 6] ïðè N � � ñëåäóåò
P A
sk
s s k
k
k
( ) ~
( )!( !)
..............
�
� �
1
1 1
1 0
1
0
�
�
�
�
�
( )
( ) ( ) ( ( )
�
��
i
i
k
sk
l
k
u
sk
t u
l
N
dH u t u P v i
�
� ��
�
�
�
1
1 0
2
0 1
t dtT) �!"# .
Îòñþäà â ñèëó òðàíçèòèâíîñòè îòíîøåíèÿ ýêâèâàëåíòíîñòè ïðè N � �
P A P U( ) ~ ( ). Ëåììà 12 äîêàçàíà.
Ïóñòü
F x
d
k
k
i
i
k
l
k
( )
( )
..............
� �
�
�
1
1 0
1
0
1�
�
��
� �
�
�
H u t u P v i t x dt
u
sk
t u
l( ) ( ) ( ( ) )
.......
�
� � �
�
0
2
0 1
1 0
1� �
.......
( ) ( ) ( )
�
��
� �
k
k
i
i
k
l
k
u
sk
t u
dH u t u
�
�
� � �
�0
1 0
2
�
P v i t dtl( ( ) )
0 1
, x � 0.
Òåîðåìà 1. Ïóñòü��1è ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ìîìåíò msk� � �1 . Òîãäà
ïðè N � � ðàâíîìåðíî ïî íàòóðàëüíîìó íîìåðó i
lim sup { } ( )
x
iP x F x
�
� � � �
0
0� .
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ äëÿ ñëåäóþùèõ ñëó÷àéíûõ
ñîáûòèé: U i = {i-é îòêàç êîìïëåêñà ÿâëÿåòñÿ îáû÷íûì} è U i = {i-é îòêàç
êîìïëåêñà íå ÿâëÿåòñÿ îáû÷íûì}.
Ïðåäñòàâèì âåðîÿòíîñòü P xi{ }� �
êàê ñóììó âåðîÿòíîñòåé íåñîâìåñò-
íûõ ñîáûòèé:
P x P U x P U xi i i i i{ } { , } { , }� � �� � �
�
�
. (35)
À. Â. Ìàêàðè÷åâ
64 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2012. V. 34. ¹ 1
 ýòîé ñóììå âòîðîå ñëàãàåìîå îöåíèì ñâåðõy:
P U x P U P Ui i i i{ , } ( ) ( )� �
� � �1 . (36)
Âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî i-é îòêàç êîìïëåêñà ÿâëÿåòñÿ îáû÷íûì, ðàâíà óñëîâ-
íîé âåðîÿòíîñòè òîãî, ÷òî ïðîèçîøåäøèé íà ïåðèîäå ðåãåíåðàöèè îòêàç
êîìïëåêñà ÿâëÿåòñÿ îáû÷íûì:
P U P U A
P U
P A
i( ) ( | )
( )
( )
� � . (37)
Èç ëåììû 12 ñëåäóåò, ÷òî ïðè N � �
P A P U( ) ~ ( ) èëè
P U
P A
( )
( )
�1. (38)
Èç (37) è (38) ñëåäóåò, ÷òî ïðè N � � lim sup[ ( )]
i
i
P U
�
� �
1
1 0. Îòñþäà è èç (36)
ñëåäóåò, ÷òî ïðè N � � ðàâíîìåðíî ïî íîìåðó i lim sup { , }
x
i iP U x
�
�
�
0
0� . Îò-
ñþäà è èç (35) ñëåäóåò, ÷òî ïðè N � � ðàâíîìåðíî ïî íîìåðó i
lim sup[ { } { , }]
x
i i iP x P U x
�
� �
�
�
0
0� � . (39)
Âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî i-é îòêàç êîìïëåêñà ÿâëÿåòñÿ îáû÷íûì è � i x�
,
ðàâíà óñëîâíîé âåðîÿòíîñòè òîãî, ÷òî ïðîèçîøåäøèé íà ïåðèîäå ðåãå-
íåðàöèè îòêàç êîìïëåêñà ÿâëÿåòñÿ îáû÷íûì è âðåìÿ ïðåáûâàíèÿ êîìï-
ëåêñà â íåèñïðàâíîì ñîñòîÿíèè áîëüøå, ÷åì x:
P U x
P U x
P A
i i{ , }
{ , }
( )
�
��
�
�
.
(40)
Èç ëåììû 11 ïðè N � � ðàâíîìåðíî ïî x � 0 ñëåäóåò
P U x( , ) ~� �
~
( )!( !)
( )
..............
sk
s s k
i
k
k
�
� �
1
1 1
1 0
1
0
�
�
� �
�
�
i
k
sk
l
k
u
sk
t u
l
N
dH u t u P v i t x��
�
� ��
�
�
�
�
1
1 0
2
0 1( ) ( ) ( ( ) ) dtT�!"# .
(41)
Èç ëåìì 10 è 15 [6] ïðè N � � ñëåäóåò
P A
sk
s s k
( ) ~
( )!( !)
�
�
�
�
1
1 1
Àñèìïòîòè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå âðåìåíè ñ ìîìåíòà îòêàçà
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2012. Ò. 34. ¹ 1 65
�
�
�
�
�
�
��
� �
1 0
1
0
1
1�
�
..............
( )
k
k
i
i
k
sk
l
k
N
dH( ) ( ) ( ( ) ) .u t u P v i t dtT
u
sk
t u
l
�
� � �
0
2
0 1 �!"# (42)
Çàìåíÿÿ ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü â (40) íà ýêâèâàëåíòíûå âåëè÷èíû
èç (41) è (42), íàõîäèì ïðè N � � ðàâíîìåðíî ïî x � 0 è íîìåðó i
P U xi i{ , }� �
�
�
�
�
�
�
��
� �
1 0
1
0
1�
�
..............
( ) ( )
k
k
i
i
k
l
k
u
dH u
0
2
0 1
1 0
1
� � �
��
( ) ( ( ) )
.............
t u P v i t x dtsk
t u
l
� �
.
( ) ( ) ( ) ( (
�
��
� �
k
k
i
i
k
l
k
u
sk
t u
dH u t u P v
�
�
� � � �
�0
1 0
2
0
i t dtl
1 ) )
, x � 0.
Îòñþäà, èç (39) è îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè F x( ) ïðè N � � ðàâíîìåðíî ïî íî-
ìåðó i ïîëó÷àåì lim sup { } [ ( )]
x
iP x F x
�
�
� � �
0
1 0� , îòêóäà, ñîãëàñíî ðàâåíñòâó
P x P xi i{ } { }� �� �� � �
1 , ñëåäóåò, ÷òî ïðè N � � ðàâíîìåðíî ïî íîìåðó i
lim sup { } ( )
x
iP x F x
�
� � � �
0
0� , ãäå
F x
d
k
k
i
i
k
l
k
( )
( )
..............
� �
�
�
1
1 0
1
0
1�
�
��
� �
�
�
H u t u P v i t x dt
u
sk
t u
l( ) ( ) ( ( ) )
.......
�
� � �
�
0
2
0 1
1 0
1� �
.......
( ) ( ) ( )
�
��
� �
k
k
i
i
k
l
k
u
sk
t u
dH u t u
�
�
� � �
�0
1 0
2
�
P v i t dtl( ( ) )
0 1
, x � 0.
Òåîðåìà 1 äîêàçàíà.
The asymptotic distributions of time are obtained when the sets of circular united complex sys-
tems with reserve of time are in the out order. This occurs provided that the systems number in-
creases in inverse proportion to failure intensity of complex system elements in such a way that
À. Â. Ìàêàðè÷åâ
66 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2012. V. 34. ¹ 1
the total load on the queueing system is bounded from the top by the value below unit with the
system units maintenance as far as they arise.
1. Ìàêàðè÷åâ À. Â. Íàäåæíîñòü êîìïëåêñîâ ñëîæíûõ âîññòàíàâëèâàåìûõ ñèñòåì //
Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. — 2004. — 26, ¹ 2. — C. 57—77.
2. Ìàêàðè÷åâ À. Â. Àñèìïòîòè÷åñêèå îöåíêè ïåðèîäà ðåãåíåðàöèè êîìïëåêñîâ ñëîæíûõ
âîññòàíàâëèâàåìûõ ñèñòåì ïðè ðàçëè÷íûõ äèñöèïëèíàõ îáñëóæèâàíèÿ// Òàì æå. —
2003. — 25, ¹ 2. — C. 83—97.
3. Êëèìîâ Ã. Ï. Ñòîõàñòè÷åñêèå ñèñòåìû îáñëóæèâàíèÿ. — M. : Íàóêà, 1967. — 244 ñ.
4. Êîêñ Ä., Ñìèò Â. Òåîðèÿ âîññòàíîâëåíèÿ. — Ì. : Ñîâ. ðàäèî, 1967. — 299 ñ.
5. Ìàêàðè÷åâ À. Â. Íàäåæíîñòü öèêëè÷åñêèõ ñîåäèíåíèé â êîìïëåêñ ñëîæíûõ
âîññòàíàâëèâàåìûõ ñèñòåì ñ âðåìåííûì ðåçåðâîì. I. //Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. —
2007. — 29, ¹ 5. — C. 63—73.
6. Ìàêàðè÷åâ À. Â. Íàäåæíîñòü öèêëè÷åñêèõ ñîåäèíåíèé â êîìïëåêñ ñëîæíûõ âîññòà-
íàâëèâàåìûõ ñèñòåì ñ âðåìåííûì ðåçåðâîì. II. // Òàì æå. — 2007. — 29, ¹ 6. —
C. 93—105.
Ïîñòóïèëà 10.05.11
ÌÀÊÀÐÈ×Å Àëåêñàíäð Âëàäèìèðîâè÷, êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê, äîöåíò êàôåäðû âûñøåé ìàòå-
ìàòèêè Õàðüêîâñêîãî íàöèîíàëüíîãî àâòîìîáèëüíî-äîðîæíîãî óíèâåðñèòåòà. Â 1981 ã. îêîí-
÷èë Ìîñêîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò èì. Ì. Ëîìîíîñîâà. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäî-
âàíèé — âîïðîñû òåîðèè âåðîÿòíîñòåé, òåîðèè âîññòàíàâëèâàåìûõ ñèñòåì, îïòèìèçàöèÿ
õàðàêòåðèñòèê íàäåæíîñòè êîìïëåêñîâ ñëîæíûõ âîññòàíàâëèâàåìûõ ñèñòåì.
Àñèìïòîòè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå âðåìåíè ñ ìîìåíòà îòêàçà
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2012. Ò. 34. ¹ 1 67
<<
/ASCII85EncodePages false
/AllowTransparency false
/AutoPositionEPSFiles true
/AutoRotatePages /None
/Binding /Left
/CalGrayProfile (Dot Gain 20%)
/CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CalCMYKProfile (U.S. Web Coated \050SWOP\051 v2)
/sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CannotEmbedFontPolicy /Error
/CompatibilityLevel 1.4
/CompressObjects /Tags
/CompressPages true
/ConvertImagesToIndexed true
/PassThroughJPEGImages true
/CreateJDFFile false
/CreateJobTicket false
/DefaultRenderingIntent /Default
/DetectBlends true
/DetectCurves 0.0000
/ColorConversionStrategy /CMYK
/DoThumbnails false
/EmbedAllFonts true
/EmbedOpenType false
/ParseICCProfilesInComments true
/EmbedJobOptions true
/DSCReportingLevel 0
/EmitDSCWarnings false
/EndPage -1
/ImageMemory 1048576
/LockDistillerParams false
/MaxSubsetPct 100
/Optimize true
/OPM 1
/ParseDSCComments true
/ParseDSCCommentsForDocInfo true
/PreserveCopyPage true
/PreserveDICMYKValues true
/PreserveEPSInfo true
/PreserveFlatness true
/PreserveHalftoneInfo false
/PreserveOPIComments true
/PreserveOverprintSettings true
/StartPage 1
/SubsetFonts true
/TransferFunctionInfo /Apply
/UCRandBGInfo /Preserve
/UsePrologue false
/ColorSettingsFile ()
/AlwaysEmbed [ true
]
/NeverEmbed [ true
]
/AntiAliasColorImages false
/CropColorImages true
/ColorImageMinResolution 300
/ColorImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleColorImages true
/ColorImageDownsampleType /Bicubic
/ColorImageResolution 300
/ColorImageDepth -1
/ColorImageMinDownsampleDepth 1
/ColorImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeColorImages true
/ColorImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterColorImages true
/ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG
/ColorACSImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/ColorImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/JPEG2000ColorACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/JPEG2000ColorImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/AntiAliasGrayImages false
/CropGrayImages true
/GrayImageMinResolution 300
/GrayImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleGrayImages true
/GrayImageDownsampleType /Bicubic
/GrayImageResolution 300
/GrayImageDepth -1
/GrayImageMinDownsampleDepth 2
/GrayImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeGrayImages true
/GrayImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterGrayImages true
/GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG
/GrayACSImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/GrayImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/JPEG2000GrayACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/JPEG2000GrayImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/AntiAliasMonoImages false
/CropMonoImages true
/MonoImageMinResolution 1200
/MonoImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleMonoImages true
/MonoImageDownsampleType /Bicubic
/MonoImageResolution 1200
/MonoImageDepth -1
/MonoImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeMonoImages true
/MonoImageFilter /CCITTFaxEncode
/MonoImageDict <<
/K -1
>>
/AllowPSXObjects false
/CheckCompliance [
/None
]
/PDFX1aCheck false
/PDFX3Check false
/PDFXCompliantPDFOnly false
/PDFXNoTrimBoxError true
/PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXSetBleedBoxToMediaBox true
/PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXOutputIntentProfile ()
/PDFXOutputConditionIdentifier ()
/PDFXOutputCondition ()
/PDFXRegistryName ()
/PDFXTrapped /False
/Description <<
/CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e9ad88d2891cf76845370524d53705237300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002>
/CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc9ad854c18cea76845370524d5370523786557406300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002>
/DAN <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>
/DEU <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>
/ESP <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>
/FRA <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>
/ITA <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>
/JPN <FEFF9ad854c18cea306a30d730ea30d730ec30b951fa529b7528002000410064006f0062006500200050004400460020658766f8306e4f5c6210306b4f7f75283057307e305930023053306e8a2d5b9a30674f5c62103055308c305f0020005000440046002030d530a130a430eb306f3001004100630072006f0062006100740020304a30883073002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee5964d3067958b304f30533068304c3067304d307e305930023053306e8a2d5b9a306b306f30d530a930f330c8306e57cb30818fbc307f304c5fc59808306730593002>
/KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020ace0d488c9c80020c2dcd5d80020c778c1c4c5d00020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e>
/NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken die zijn geoptimaliseerd voor prepress-afdrukken van hoge kwaliteit. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.)
/NOR <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>
/PTB <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>
/SUO <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>
/SVE <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>
/ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents best suited for high-quality prepress printing. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.)
>>
/Namespace [
(Adobe)
(Common)
(1.0)
]
/OtherNamespaces [
<<
/AsReaderSpreads false
/CropImagesToFrames true
/ErrorControl /WarnAndContinue
/FlattenerIgnoreSpreadOverrides false
/IncludeGuidesGrids false
/IncludeNonPrinting false
/IncludeSlug false
/Namespace [
(Adobe)
(InDesign)
(4.0)
]
/OmitPlacedBitmaps false
/OmitPlacedEPS false
/OmitPlacedPDF false
/SimulateOverprint /Legacy
>>
<<
/AddBleedMarks false
/AddColorBars false
/AddCropMarks false
/AddPageInfo false
/AddRegMarks false
/ConvertColors /ConvertToCMYK
/DestinationProfileName ()
/DestinationProfileSelector /DocumentCMYK
/Downsample16BitImages true
/FlattenerPreset <<
/PresetSelector /MediumResolution
>>
/FormElements false
/GenerateStructure false
/IncludeBookmarks false
/IncludeHyperlinks false
/IncludeInteractive false
/IncludeLayers false
/IncludeProfiles false
/MultimediaHandling /UseObjectSettings
/Namespace [
(Adobe)
(CreativeSuite)
(2.0)
]
/PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK
/PreserveEditing true
/UntaggedCMYKHandling /LeaveUntagged
/UntaggedRGBHandling /UseDocumentProfile
/UseDocumentBleed false
>>
]
>> setdistillerparams
<<
/HWResolution [2400 2400]
/PageSize [612.000 792.000]
>> setpagedevice
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-61810 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0204-3572 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-01T13:48:05Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Макаричев, А.В. 2014-05-11T17:42:19Z 2014-05-11T17:42:19Z 2012 Асимптотическое распределение времени с момента отказа до выхода из множеств неисправных состояний циклических соединений в комплексы сложных восстанавливаемых систем / А.В. Макаричев // Электронное моделирование. — 2012 — Т. 34, № 1. — С. 45-67. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 0204-3572 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/61810 519.21 Найдено асимптотическое распределение времени до выхода комплексов сложных восстанавливаемых систем из множеств неисправных состояний с момента их отказа при условии, что их число возрастает обратно пропорционально интенсивности отказов элементов сложных систем так, что суммарная нагрузка на систему обслуживания ограничена сверху величиной меньше единицы, с дисциплиной обслуживания требований в порядке их поступления. Знайдено асимптотичний розподіл часу несправності комплексів складних відновлювальних систем з моменту їхньої відмови за умовою, що їхнє число зростає обeрнено пропорційно інтенсивності відмовлень елементів складних систем так, що сумарне навантаження на систему обслуговування обмежене зверху величиною менше одиниці, у порядку надходження від них потреб. The asymptotic distributions of time are obtained when the sets of circular united complex systems with reserve of time are in the out order. This occurs provided that the systems number increases in inverse proportion to failure intensity of complex system elements in such a way that the total load on the queueing system is bounded from the top by the value below unit with the system units maintenance as far as they arise. ru Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України Электронное моделирование Точность, надежность, диагностика Асимптотическое распределение времени с момента отказа до выхода из множеств неисправных состояний циклических соединений в комплексы сложных восстанавливаемых систем Article published earlier |
| spellingShingle | Асимптотическое распределение времени с момента отказа до выхода из множеств неисправных состояний циклических соединений в комплексы сложных восстанавливаемых систем Макаричев, А.В. Точность, надежность, диагностика |
| title | Асимптотическое распределение времени с момента отказа до выхода из множеств неисправных состояний циклических соединений в комплексы сложных восстанавливаемых систем |
| title_full | Асимптотическое распределение времени с момента отказа до выхода из множеств неисправных состояний циклических соединений в комплексы сложных восстанавливаемых систем |
| title_fullStr | Асимптотическое распределение времени с момента отказа до выхода из множеств неисправных состояний циклических соединений в комплексы сложных восстанавливаемых систем |
| title_full_unstemmed | Асимптотическое распределение времени с момента отказа до выхода из множеств неисправных состояний циклических соединений в комплексы сложных восстанавливаемых систем |
| title_short | Асимптотическое распределение времени с момента отказа до выхода из множеств неисправных состояний циклических соединений в комплексы сложных восстанавливаемых систем |
| title_sort | асимптотическое распределение времени с момента отказа до выхода из множеств неисправных состояний циклических соединений в комплексы сложных восстанавливаемых систем |
| topic | Точность, надежность, диагностика |
| topic_facet | Точность, надежность, диагностика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/61810 |
| work_keys_str_mv | AT makaričevav asimptotičeskoeraspredelenievremenismomentaotkazadovyhodaizmnožestvneispravnyhsostoâniicikličeskihsoedineniivkompleksysložnyhvosstanavlivaemyhsistem |