Модель трехмерного магнитного поля статора цилиндрического электромагнитного перемешивателя с учетом распределения токов намагниченности по поверхности магнитопровода. II
В результате упрощения векторной системы интегральных уравнений (СИУ) для токов намагниченности (ТН) на поверхности магнитопровода электромагнитного перемешивателя (ЭМП) получена модель трехмерного магнитного поля цилиндрического ЭМП, в основе которой лежит скалярная СИУ. Неизвестными в ней являются...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Электронное моделирование |
|---|---|
| Дата: | 2012 |
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
2012
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/61819 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Модель трехмерного магнитного поля статора цилиндрического электромагнитного перемешивателя с учетом распределения токов намагниченности по поверхности магнитопровода. II / В.Ф. Евдокимов, А.А. Кучаев, Е.И. Петрушенко, В.А. Кучаев // Электронное моделирование. — 2012 — Т. 34, № 2. — С. 51-75. — Бібліогр.: 1 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859768307906772992 |
|---|---|
| author | Евдокимов, В.Ф. Кучаев, А.А. Петрушенко, Е.И. Кучаев, В.А. |
| author_facet | Евдокимов, В.Ф. Кучаев, А.А. Петрушенко, Е.И. Кучаев, В.А. |
| citation_txt | Модель трехмерного магнитного поля статора цилиндрического электромагнитного перемешивателя с учетом распределения токов намагниченности по поверхности магнитопровода. II / В.Ф. Евдокимов, А.А. Кучаев, Е.И. Петрушенко, В.А. Кучаев // Электронное моделирование. — 2012 — Т. 34, № 2. — С. 51-75. — Бібліогр.: 1 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Электронное моделирование |
| description | В результате упрощения векторной системы интегральных уравнений (СИУ) для токов намагниченности (ТН) на поверхности магнитопровода электромагнитного перемешивателя (ЭМП) получена модель трехмерного магнитного поля цилиндрического ЭМП, в основе которой лежит скалярная СИУ. Неизвестными в ней являются проекции векторов плотности ТН, лежащих в касательной плоскости к поверхности магнитопровода.
В результаті спрощення векторної системи інтегральних рівнянь (СІР) для струмів намагніченності (СН) на поверхні магнітопроводу електромагнітного перемішувача (ЕМП) отримано модель тривимірного магнітного поля циліндричного ЕМП, в основі якої лежить скалярна СІР. Невідомими в ній є проекції векторів щільності СН, що лежать в дотичній площині до поверхні магнітопроводу.
A model of three-dimensional magnetic field of the cylindrical electomagnetic stirrer (EMS) based on the scalar system of integral equations (SIE) was obtained as a result of simplification of the vector SIE for magnetization current (MC) on the magnetic circuit surface of the EMS. This system unknowns are projections of density vectors MC which lie in the plane tangential to the magnetic circuit surface.
|
| first_indexed | 2025-12-02T06:08:45Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.711.3:631.382.2:669.174
Â. Ô. Åâäîêèìîâ *, ÷ë.-êîð. ÍÀÍ Óêðàèíû, À. À. Êó÷àåâ **, ä-ð òåõí. íàóê,
Å. È. Ïåòðóøåíêî*, êàíä. òåõí. íàóê, Â. À. Êó÷àåâ *, àñïèðàíò
* Èí-ò ïðîáëåì ìîäåëèðîâàíèÿ â ýíåðãåòèêå
èì. Ã. Å. Ïóõîâà ÍÀÍ Óêðàèíû
(Óêðàèíà, 03164, Êèåâ, óë. Ãåíåðàëà Íàóìîâà, 15,
òåë. (044) 4249160, e-mail: EPetrushenko<der_7@voliecable.com>,
vitalku07@yandex.ru),
** Ôèçèêî-òåõíîëîãè÷åñêèé èí-ò ìåòàëëîâ è ñïëàâîâ ÍÀÍ Óêðàèíû
(Óêðàèíà, 03680, Êèåâ-142, ÃÑÏ, áóëüâàð Âåðíàäñêîãî, 34/1,
òåë. (044) 4240452, e-mail: alexander-kuchaev@svitonline.com)
Ìîäåëü òðåõìåðíîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ ñòàòîðà
öèëèíäðè÷åñêîãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïåðåìåøèâàòåëÿ
ñ ó÷åòîì ðàñïðåäåëåíèÿ òîêîâ íàìàãíè÷åííîñòè
ïî ïîâåðõíîñòè ìàãíèòîïðîâîäà. II
 ðåçóëüòàòå óïðîùåíèÿ âåêòîðíîé ñèñòåìû èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé (ÑÈÓ) äëÿ òîêîâ íà-
ìàãíè÷åííîñòè (ÒÍ) íà ïîâåðõíîñòè ìàãíèòîïðîâîäà ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïåðåìåøèâàòåëÿ
(ÝÌÏ) ïîëó÷åíà ìîäåëü òðåõìåðíîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ öèëèíäðè÷åñêîãî ÝÌÏ, â îñíîâå êî-
òîðîé ëåæèò ñêàëÿðíàÿ ÑÈÓ. Íåèçâåñòíûìè â íåé ÿâëÿþòñÿ ïðîåêöèè âåêòîðîâ ïëîòíîñòè
ÒÍ, ëåæàùèõ â êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè ê ïîâåðõíîñòè ìàãíèòîïðîâîäà.
 ðåçóëüòàò³ ñïðîùåííÿ âåêòîðíî¿ ñèñòåìè ³íòåãðàëüíèõ ð³âíÿíü (ѲÐ) äëÿ ñòðóì³â íàìàã-
í³÷åííîñò³ (ÑÍ) íà ïîâåðõí³ ìàãí³òîïðîâîäó åëåêòðîìàãí³òíîãî ïåðåì³øóâà÷à (ÅÌÏ) îòðè-
ìàíî ìîäåëü òðèâèì³ðíîãî ìàãí³òíîãî ïîëÿ öèë³íäðè÷íîãî ÅÌÏ, â îñíîâ³ ÿêî¿ ëåæèòü ñêà-
ëÿðíà ѲÐ. Íåâ³äîìèìè â í³é º ïðîåêö³¿ âåêòîð³â ù³ëüíîñò³ ÑÍ, ùî ëåæàòü â äîòè÷í³é ïëîùèí³
äî ïîâåðõí³ ìàãí³òîïðîâîäó.
Ê ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à: òðåõìåðíîå ìàãíèòíîå ïîëå, ýëåêòðîìàãíèòíûé ïåðåìåøèâàòåëü,
ìàãíèòîïðîâîä, òîêè íàìàãíè÷åííîñòè, âåêòîðíûå èíòåãðàëüíûå óðàâíåíèÿ, ñêàëÿðíàÿ
ñèñòåìà èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé.
Ïðåîáðàçîâàíèå âåêòîðíîãî èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ (11) ê ñêàëÿð-
íîé ÑÈÓ. Çàïèøåì âåêòîðíîå óðàâíåíèå (11) â ðàçâåðíóòîì âèäå:
2
1 1
11 1 1
3
1
1 11
1
�
�
� ( , )
[ ( , )]
Q t
n G Q M
r
ds
Q
Q MS
M� ��
� ��
[ ( , )] [ ( , )]n G Q M
r
ds
n G Q M
r
Q
Q MS
M
Q
Q M
1
1 22
2
1
1 3
12 1 2
3
13 1 3
3
3
3
S
Mds� �
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2012. Ò. 34. ¹ 2 51
ÏÐÈÌÅÍÅÍÈÅ ÌÅÒÎÄÎÂ
È ÑÐÅÄÑÒÂ ÌÎÄÅËÈÐÎÂÀÍÈß
� � ��
[ ( , )]n G Q M
r
ds D
Q
Q MS
M S k k
1
1 44
4 1
14 1 4
3 0 0 , Q S1 1
. (15)
Çäåñü
G Q M e Q G Q M e Q G Q M e Gz11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , )� � �� � � � 11 1 1z Q M( , );
(16)
G Q M e Q G Q M e Q G Q M e Gz12 1 2 1 12 1 2 1 12 1 2( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , )� � �� � � � 12 1 2z Q M( , );
(17)
G Q M e Q G Q M e Q G Q M e Gz13 1 3 1 13 1 3 1 13 1 3( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , )� � �� � � � 13 1 3z Q M( , );
(18)
G Q M e Q G Q M e Q G Q M e Gz14 1 4 1 14 1 4 1 14 1 4( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , )� � �� � � � 14 1 4z Q M( , );
(19)
n eQ z1
� � ;
[ ( , )]
( ) ( )
( , ) (
n G Q M
e Q e Q e
G Q M G
Q
z
1 11 1 1
1 1
11 1 1 11
0 0 1� �
� �
� � Q M G Q Mz1 1 11 1 1, ) ( , )
�
� �e Q G Q M e Q G Q M� � � �( ) ( , ) ( ) ( , )1 11 1 1 1 11 1 1 ; (20)
[ ( , )]
( ) ( )
( , ) (
n G Q M
e Q e Q e
G Q M G
Q
z
1 12 1 2
1 1
12 1 2 12
0 0 1� �
� �
� � Q M G Q Mz1 2 12 1 2, ) ( , )
�
� �e Q G Q M e Q G Q M� � � �( ) ( , ) ( ) ( , )1 12 1 2 1 12 1 2 ; (21)
[ ( , )]
( ) ( )
( , ) (
n G Q M
e Q e Q e
G Q M G
Q
z
1 13 1 3
1 1
13 1 3 13
0 0 1� �
� �
� � Q M G Q Mz1 3 13 1 3, ) ( , )
�
� �e Q G Q M e Q G Q M� � � �( ) ( , ) ( ) ( , )1 13 1 3 1 13 1 3 ; (22)
[ ( , )]
( ) ( )
( , ) (
n G Q M
e Q e Q e
G Q M G
Q
z
1 14 1 4
1 1
14 1 4 14
0 0 1� �
� �
� � Q M G Q Mz1 4 14 1 4, ) ( , )
�
� �e Q G Q M e Q G Q M� � � �( ) ( , ) ( ) ( , )1 14 1 4 1 14 1 4 . (23)
Â. Ô. Åâäîêèìîâ, À. À. Êó÷àåâ, Å. È. Ïåòðóøåíêî, Â. À. Êó÷àåâ
52 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2012. V. 34. ¹ 2
Ïîäñòàâèâ (16)—(19) â (15), ïîëó÷èì
2 2
1 1 1 11 1
�
�
�
�
�
�� � � �e Q Q t e Q Q tQ Q( ) ( , ) ( ) ( , )� �
�
�
��
e Q G Q M e Q G Q M
r
ds
Q MS
M
� � � �( ) ( , ) ( ) ( , )1 11 1 1 1 11 1 1
3
1 11
1
�
�
��
e Q G Q M e Q G Q M
r
ds
Q MS
M
� � � �( ) ( , ) ( ) ( , )1 12 1 2 1 12 1 2
3
1 22
2
�
�
��
e Q G Q M e Q G Q M
r
ds
Q MS
M
� � � �( ) ( , ) ( ) ( , )1 13 1 3 1 13 1 3
3
1 33
3
�
�
��
e Q G Q M e Q G Q M
r
ds
Q MS
M
� � � �( ) ( , ) ( ) ( , )1 14 1 4 1 14 1 4
3
1 44
4
�DS k k1 0 0 , Q S1 1
.
(24)
Ïî÷ëåííî ïðîèíòåãðèðóåì (24) è âûíåñåì îðòû çà çíàê èíòåãðàëà. Òîãäà
çàïèøåì
2 2
1 1 1 11 1
�
�
�
�
�
�� � � �e Q Q t e Q Q tQ Q( ) ( , ) ( ) ( , )� �
� ��e Q
G Q M
r
ds e Q
G Q M
rQ MS
M�
�
�
�
( )
( , )
( )
( , )
1
11 1 1
3 1
11 1 1
1 11
1
Q MS
Mds
1 11
13� �
� ��e Q
G Q M
r
ds e Q
G Q M
rQ MS
M�
�
�
�
( )
( , )
( )
( , )
1
12 1 2
3 1
12 1 2
1 22
2
Q MS
Mds
1 22
23� �
� ��e Q
G Q M
r
ds e Q
G Q M
rQ MS
M�
�
�
�
( )
( , )
( )
( , )
1
13 1 3
3 1
13 1 3
1 33
3
Q MS
Mds
1 33
33� �
� ��e Q
G Q M
r
ds e Q
G Q M
rQ MS
M�
�
�
�
( )
( , )
( )
( , )
1
14 1 4
3 1
14 1 4
1 44
4
Q MS
Mds
1 44
43� �
� � � � � �D e Q F Q e Q F Q e F QS k k z z1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 � � � �( ) ( ) ( ) ( ) ( ), Q S1 1
.
(25)
Ïðèðàâíÿâ âûðàæåíèÿ ïðè e Q�( )1 è e Q�( )1 ñïðàâà è ñëåâà, ïîëó÷èì
2
1
1 11
11
11 1 1
3
12 1 2�
�
��
� �
Q
Q MS
MQ t
G Q M
r
ds
G Q M
( , )
( , ) ( , )
� ��
r
ds
Q MS
M
1 22
23� �
Ìîäåëü òðåõìåðíîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ ñòàòîðà... II
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2012. Ò. 34. ¹ 2 53
� �� �
G Q M
r
ds
G Q M
r
ds
Q MS
M
Q MS
M
13 1 3
3
14 1 4
3
1 33
3
1 44
4
� �( , ) ( , )
� �F Q1 1�
�, Q S1 1
; (26)
2
1
1 11
11
11 1 1
3
12 1 2�
�
� �
� �
Q
Q MS
MQ t
G Q M
r
ds
G Q M
( , )
( , ) ( , )
� ��
r
ds
Q MS
M
1 22
23� �
� �� �
G Q M
r
ds
G Q M
r
ds
Q MS
M
Q MS
M
13 1 3
3
14 1 4
3
1 33
3
1 44
4
� �( , ) ( , )
� �F Q1 1�
�, Q S1 1
. (27)
Äëÿ òîãî ÷òîáû íàéòè çíà÷åíèÿG Q M11 1 1�( , ), G Q M12 1 2�( , ), G Q M13 1 3�( , ),
G Q M14 1 4�( , ), G Q M11 1 1�( , ), G Q M12 1 2�( , ), G Q M13 1 3�( , ), G Q M14 1 4�( , ) èç
(26), (27), ðàñêðîåì âåêòîðíûå ïðîèçâåäåíèÿ (16)—(19) äëÿ G Q M11 1 1( , ),
G Q M12 1 2( , ), G Q M13 1 3( , ), G Q M14 1 4( , ):
G Q M e Q G Q M e Q G Q M11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , )� � �� � � �
� �e G Q M r M tz z Q M11 1 1 1 11 1
( , ) [ ( , )]� . (28)
Ïîäñòàâèâ â (28) ôîðìóëû èç òàáë. 1
r e Q r e Q rQ M Q M Q M
Q Q
1 1 1 1
1
1 1
1
1 1� ��
�
�
�
( ) ( ) , (29)
� � �� � � �1 1 1 1 1 11 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )M e Q M e Q MQ Q� � , (30)
ãäå
r
Q M M M Q Q
Q
1 1
1
1 1 1 1
�
� � � �� � �cos ( ) , r
Q M M M Q
Q
1 1
1
1 1 1
�
� � �� �sin ( ) ,
r z z Z Z
Q M
z
M Q
Q
1 1
1
1 1 1 1 0� � � � �( )
è
� � � � � � �� � �Q M Q M M Q MM M M
1 1 1 1 1 1 11 1 1( ) cos ( ) ( ) sin ( ) ( )� � � � , (31)
� � � � � � �� � �Q M Q M M Q MM M M
1 1 1 1 1 1 11 1 1( ) sin ( ) ( ) cos ( ) ( )� � � � , (32)
ïîëó÷èì
G Q M r M t
e Q e Q e
r rQ M
z
Q M
Q
11 1 1 1 1
1 1
1 1 1 1
1( , ) [ ( , )]
( ) ( )
� ��
� �
�
Q M
Q Q
Q
M M
1 1
1
1 1
0
01 1
�
� �� �( ) ( )
�
� �e
r r
M M
e rz
Q M Q M
Q Q
z Q M Q
Q Q
Q
1 1
1
1 1
1
1 1
1 1
1
1 1
� �
� �
�
�
� �
�
( ) ( )
(
1 1 1
1
11 1( ) ( ))M r M
Q M Q
Q�
�
�� .
Â. Ô. Åâäîêèìîâ, À. À. Êó÷àåâ, Å. È. Ïåòðóøåíêî, Â. À. Êó÷àåâ
54 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2012. V. 34. ¹ 2
Îòñþäà ñëåäóåò
G Q M11 1 1 0�( , ) � , (33)
G Q M11 1 1 0�( , ) � , (34)
G Q M r M r Mz Q M Q Q M Q
Q Q
11 1 1 1 1
1 1
1
1 1 1
1
1
( , ) ( ) ( )� �
�
�
�
�� � ;
G Q M e Q G Q M e Q G Q M12 1 2 1 12 1 2 1 12 1 2( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , )� � �� � � �
� �e G Q M r M tz z Q M12 1 2 2 21 2
( , ) [ ( , )]� . (35)
Ïîäñòàâèâ â (35) ôîðìóëû èç òàáë. 1
r e Q r e Q r e Q rQ M Q M Q M z Q M
zQ Q Q
1 2 1 2
1
1 2
2
1 2
1
1 1 1� � ��
�
�
�
( ) ( ) ( ) (36)
è
� � �� �2 2 2 2 2 22
( ) ( ) ( ) ( ) ( )M e M M e M MM z z� � �
� � �e Q M e Q M e MQ Q z z� � � �� � �( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 21 1
, (37)
ãäå
r R
Q M M M Q Q M Q Q
Q
1 2
1
2 2 1 1 2 1 12
�
� � � � � � �� � � � � �cos( ) cos( ) ,
r R
Q M M M Q M Q
Q
1 2
1
2 2 1 2 12
�
� � � � �� � � �sin ( ) sin ( ) ,
r z z z Z
Q M
z
M Q M
Q
1 2
1
2 1 2 1� � � �( ) ,
� � � �� �Q M Q MM M
1 2 1 22 2( ) sin ( ) ( )� � � , (38)
� � � �� �Q M Q MM M
1 2 1 22 2( ) cos ( ) ( )� � , (39)
ïîëó÷èì
G Q M r M t
e Q e Q e
r rQ M
z
Q M
Q
12 1 2 2 2
1 1
1 2 1 2
1( , ) [ ( , )]
( ) ( )
� ��
� �
�
Q M Q M
z
Q Q z
Q Qr
M M M
1 2
1
1 2
1
1 12 2 2
�
� �� � �( ) ( ) ( )
�
� � �e Q r M r M e Q r
Q M z Q M
z
Q Q
Q Q
�
�
� �� �( )( ( ) ( )) ( )(1 2 2 1
1 2
1
1 2
1
1 1 2
1
2M z
Q M
�
� ( )�
� � �r M e r M r
Q M
z
Q z Q M Q Q M Q
Q Q Q
1 2
1
1 1 2
1
1 1 2
1
2 2� � ��
�
�
�
�( )) ( ( )
1 2( ))M .
Ñëåäîâàòåëüíî,
G Q M r M r M
Q M z Q M
z
Q
Q Q
12 1 2 2 2
1 2
1
1 2
1
1�
�
�� �( , ) ( ) ( )� � , (40)
Ìîäåëü òðåõìåðíîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ ñòàòîðà... II
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2012. Ò. 34. ¹ 2 55
G Q M r M r M
Q M z Q M
z
Q
Q Q
12 1 2 2 2
1 2
1
1 2
1
1�
�
�� �( , ) ( ) ( )� � � , (41)
G Q M r M r Mz Q M Q Q M Q
Q Q
12 1 2 2 2
1 2
1
1 1 2
1
1
( , ) ( ) ( )� �
�
�
�
�� � ;
G Q M e Q G Q M e Q G Q M13 1 3 1 13 1 3 1 13 1 3( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , )� � �� � � �
� �e G Q M r M tz z Q M13 1 3 3 31 3
( , ) [ ( , )]� . (42)
Òåïåðü ôîðìóëû
r e Q r e Q r e Q rQ M Q M Q M z Q M
zQ Q Q
1 3 1 3
1
1 3
1
1 3
1
1 1 1� � ��
�
�
�
( ) ( ) ( ) , (43)
� � �� � � �3 3 3 3 3 33 3
( ) ( ) ( ) ( ) ( )M e M M e M MM M� � �
� �e Q M e Q MQ Q� � � �� �( ) ( ) ( ) ( )1 3 1 31 1
, (44)
ãäå
r
Q M M M Q Q
Q
1 3
1
3 3 1 1
�
� � � �� � �cos ( ) , r
Q M M M Q
Q
1 3
1
3 3 1
�
� � �� �sin ( ),
r z z Z Z
Q M
z
M Q
Q
1 3
1
3 1 3 1� � � �( ) ,
� � � � � � �� � �Q M Q M M Q MM M M
1 3 1 3 3 1 33 3 3( ) cos ( ) ( ) sin ( ) ( )� � � � , (45)
� � � � � � �� � �Q M Q M M Q MM M M
1 3 1 3 3 1 33 3 3( ) sin ( ) ( ) cos ( ) ( )� � � � , (46)
ïîäñòàâèì â (42) è ïîëó÷èì
G Q M r M t
e Q e Q e
r rQ M
z
Q M
Q
13 1 3 3 3
1 1
1 3 1 3
1( , ) [ ( , )]
( ) ( )
� ��
� �
�
Q M Q M
z
Q Q
Q Qr
M M
1 3
1
1 3
1
1 13 3 0
�
� �� �( ) ( )
�
� � � �e Q r M e Q r M
Q M
z
Q Q M
z
Q
Q Q
� � � �� �( ) ( ( )) ( ) ( (1 3 1 3
1 3
1
1 1 3
1
1
))�
� �e r M r Mz Q M Q Q M Q
Q Q( ( ) ( ))
1 3
1
1 1 3
1
13 3
�
�
�
�� � .
Îòñþäà ñëåäóåò
G Q M r M
Q M
z
Q
Q
13 1 3 3
1 3
1
1� ��( , ) ( )� � , (47)
G Q M r M
Q M
z
Q
Q
13 1 2 3
1 3
1
1� ��( , ) ( )� , (48)
G Q M r M r Mz Q M Q Q M Q
Q Q
13 1 3 3 3
1 3
1
1 1 3
1
1
( , ) ( ( ) ( ))� �
�
�
�
�� � ;
G Q M e Q G Q M e Q G Q M14 1 4 1 14 1 4 1 14 1 4( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , )� � �� � � �
� �e G Q M r M tz z Q M14 1 4 4 41 4
( , ) [ ( , )]� . (49)
Â. Ô. Åâäîêèìîâ, À. À. Êó÷àåâ, Å. È. Ïåòðóøåíêî, Â. À. Êó÷àåâ
56 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2012. V. 34. ¹ 2
Òåïåðü ôîðìóëû
r e Q r e Q r e Q rQ M Q M Q M z Q M
zQ Q Q
1 4 1 4
1
1 4
1
1 4
1
1 1 1� � ��
�
�
�
( ) ( ) ( ) (50)
è
� � �� �( ) ( ) ( ) ( )M e M M e MM z z4 4 4 44
� � �
� � �e Q M e Q M e MQ Q z z� � � �� � �( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 4 1 4 41 1
, (51)
ãäå
r R
Q M M M Q Q M Q Q
Q
1 4
1
4 4 1 1 4 1 14
�
� � � � � � �� � � � � �cos ( ) cos ( ) ,
r R
Q M M M Q M Q
Q
1 4
1
4 4 1 4 14
�
� � � � �� � � �sin ( ) sin ( ) ,
r z z z Z
Q M
z
M Q M
Q
1 4
1
4 1 4 1� � � �( ) ( ) ,
� � � �� �Q M Q MM M
1 4 1 44 4( ) sin ( ) ( )� � � , (52)
� � � �� �Q M Q MM M
1 4 1 44 4( ) cos ( ) ( )� � , (53)
ïîäñòàâèì â (49) è ïîëó÷èì
G Q M r M t
e Q e Q e
r rQ M
z
Q M
Q
14 1 4 4 4
1 1
1 4 1 4
1( , ) [ ( , )]
( ) ( )
� ��
� �
�
Q M Q M
z
Q Q z
Q Qr
M M M
1 4
1
1 4
1
1 14 4 4
�
� �� � �( ) ( ) ( )
�
� � �e Q r M r M e Q r
Q M z Q M
z
Q Q
Q Q
�
�
� �� �( ) ( ( ) ( )) ( ) (1 4 4 1
1 4
1
1 4
1
1 1 4
1
4M z
Q M
�
� ( )�
� � �r M e r M r
Q M
z
Q z Q M Q Q M Q
Q Q Q
1 4
1
1 1 4
1
1 1 4
1
4 4� � ��
�
�
�
�( )) ( ( )
4 4( ))M .
Òàêèì îáðàçîì,
G Q M r M r M
Q M z Q M
z
Q
Q Q
14 1 4 4 4
1 4
1
1 4
1
1�
�
�� �( , ) ( ) ( )� � , (54)
G Q M r M r M
Q M z Q M
z
Q
Q Q
14 1 4 4 4
1 4
1
1 4
1
1�
�
�� �( , ) ( ) ( )� � � , (55)
G Q M r M r Mz Q M Q Q M Q
Q Q
14 1 4 4 4
1 4
1
1 1 4
1
1
( , ) ( ) ( )� �
�
�
�
�� � .
Ïîäñòàâèâ â óðàâíåíèÿ (26), (27) âûðàæåíèÿ (33), (34), (40), (41), (47), (48),
(54), (55), ïîëó÷èì
2 0
1
1 11
1
1 2
1
1 2
1 3
2�
�
�
�
�
�
Q
Q MS
M
Q M z Q M
Q t
r
ds
r M rQ
( , )
( )
� �
� �
�
z
Q
Q MS
M
Q M
r
ds
1
1
1 22
2
2
3
�� ( )
� �
Ìîäåëü òðåõìåðíîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ ñòàòîðà... II
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2012. Ò. 34. ¹ 2 57
� �
� �
�
r M
r
ds
r M r
Q M
z
Q
Q MS
M
Q M z Q
Q Q
1 3
1
1
1 33
3
1 4
1
1
3
3
4� ��
�
( ) ( )
M
z
Q
Q MS
M
Q M
r
ds4
1
1
1 44
4
4
3
�� ( )
� �
� �F Q1 1�
�, Q S1 1
, (56)
2 0
1
1 11
1
1 2
1
1 2
1 3
2�
�
�
�
�
�
Q
Q MS
M
Q M z Q M
z
Q t
r
ds
r M rQ
( , )
( )
� �
�
�
Q
Q
Q MS
M
M
r
ds
1
1
1 22
2
2
3
� � ( )
� �
�
�
�
�
�
r M
r
ds
r M r
Q M
z
Q
Q MS
M
Q M z Q
Q Q
1 3
1
1
1 33
3
1 4
1
1
3
3
4� ��
�
( ) ( )
M
z
Q
Q MS
M
Q M
r
ds4
1
1
1 44
4
4
3
� � ( )
� �
� �F Q1 1�
�, Q S1 1
. (57)
Èíòåãðàëû â (56) è (57) ïðåäñòàâèì â âèäå ñóììû äâóõ èíòåãðàëîâ:
2
1
1 2
1
1 22
2
1 2
1
1
2
3
�
�
�
�
�
�
Q
Q M z
Q MS
M
Q M
z
Q t
r M
r
ds
rQ Q
( , )
( )
� ��
��Q
Q MS
M
M
r
ds
1
1 22
2
2
3
( )
� �
� ��
r M
r
ds
r M
r
Q M
z
Q
Q MS
M
Q M z
Q M
Q Q
1 3
1
1
1 33
3
1 4
1
1 4
3
3
4� ��
�
( ) ( )
3
4
3
4
4
1 4
1
1
1 44
4
S
M
Q M
z
Q
Q MS
Mds
r M
r
ds
Q
� �� �
�� ( )
� �F Q1 1�
�, Q S1 1
, (58)
2
1
1 2
1
1 22
2
1 2
1
1
2
3
�
�
�
�
�
�
Q
Q M z
Q MS
M
Q M
z
Q t
r M
r
ds
rQ Q
( , )
( )
� ��
� �Q
Q MS
M
M
r
ds
1
1 22
2
2
3
( )
� �
� ��
r M
r
ds
r M
r
Q M
z
Q
Q MS
M
Q M z
Q M
Q Q
1 3
1
1
1 33
3
1 4
1
1 4
3
3
4� ��
�
( ) ( )
3
4
3
4
4
1 4
1
1
1 44
4
S
M
Q M
z
Q
Q MS
Mds
r M
r
ds
Q
� �� �
� � ( )
� �F Q1 1�
�, Q S1 1
. (59)
Ïîäñòàâèâ âûðàæåíèÿ (31), (32), (38), (39), (45), (46), (52), (53) â óðàâíåíèÿ
(58), (59), ïîëó÷èì
2
1
1 2
1
1 22
2
1 2
1
1
2
3
�
�
�
�
�
�
Q
Q M z
Q MS
M
Q M
z
Q t
r M
r
ds
rQ Q
( , )
( )
� ��
sin ( ) ( )� � � �M Q M
Q MS
M
M
r
ds
2 1 2
1 22
2
2
3
�
��
�
� � �r M M
Q M
z
M Q M M Q M
Q
1 3
1
3 1 3 3 1 33 3(cos ( ) ( ) sin ( ) (� � � � � �� � ))
r
ds
Q MS
M
1 33
33� �
Â. Ô. Åâäîêèìîâ, À. À. Êó÷àåâ, Å. È. Ïåòðóøåíêî, Â. À. Êó÷àåâ
58 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2012. V. 34. ¹ 2
� �
�
�
r M
r
ds
r
Q M z
Q MS
M
Q M
z
M Q
Q Q
1 4
1
1 44
4
1 4
1
4 14
3
�
� � � �( ) sin ( ) �M
Q MS
M
M
r
ds
4
1 44
4
4
3
( )
� �
� �F Q1 1�
�, Q S1 1
, (60)
2
1
1 2
1
1 22
2
1 2
1
1
2
3
�
�
�
�
�
�
Q
Q M z
Q MS
M
Q M
z
Q t
r M
r
ds
rQ Q
( , )
( )
� ��
cos ( ) ( )� � � �M Q M
Q MS
M
M
r
ds
2 1 2
1 22
2
2
3
�
��
�
� � �r M M
Q M
z
M Q M M Q M
Q
1 3
1
3 1 3 3 1 33 3(sin ( ) ( ) cos ( ) (� � � � � �� � ))
r
ds
Q MS
M
1 33
33� �
� �
�
�
r M
r
ds
r
Q M z
Q MS
M
Q M
z
M Q
Q Q
1 4
1
1 44
4
1 4
1
4 14
3
�
� � � �( ) cos ( ) �M
Q MS
M
M
r
ds
4
1 44
4
4
3
( )
� �
� �F Q1 1�
�, Q S1 1
. (61)
Óðàâíåíèÿ (60) è (61) çàïèøåì â âèäå
2
1
1 2
1
2 1 2
1 22
1
2
3
�
�
�
� � �
�
�
Q
Q M
z
M Q M
Q MS
Q t
r M
r
Q
( , )
sin ( ) ( )
�
�
� �dsM 2
� �
�
�
r M
r
ds
r
Q M z
Q MS
M
Q M
z
M Q
Q Q
1 2
1
1 22
2
1 3
1
3 12
3
�
� � � �( ) cos ( ) �M
Q MS
M
M
r
ds
3
1 33
3
3
3
( )
� �
�
�
��
r M
r
ds
Q M
z
M Q M
Q MS
M
Q
1 3
1
3 1 3
1 33
3
3
3
sin ( ) ( )� � � �
�
�
��
r M
r
ds
r
Q M
z
M Q M
Q MS
M
Q M
Q Q
1 4
1
4 1 4
1 44
4
1 4
4
3
sin ( ) ( )� � � �
�
1
1 44
4
4
3
� z
Q MS
M
M
r
ds
( )
� �
� �F Q1 1�
�, Q S1 1
. (62)
2
1
1 2
1
2 1 2
1 22
1
2
3
�
�
�
� � �
�
�
Q
Q M
z
M Q M
Q MS
Q t
r M
r
Q
( , )
cos ( ) ( )
�
�
� �dsM 2
Ìîäåëü òðåõìåðíîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ ñòàòîðà... II
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2012. Ò. 34. ¹ 2 59
� �
�
�
r M
r
ds
r
Q M z
Q MS
M
Q M
z
M Q
Q Q
1 2
1
1 22
2
1 3
1
3 12
3
�
� � � �( ) sin ( ) �M
Q MS
M
M
r
ds
3
1 33
3
3
3
( )
� �
�
�
��
r M
r
ds
Q M
z
M Q M
Q MS
M
Q
1 3
1
3 1 3
1 33
3
3
3
cos ( ) ( )� � � �
�
�
��
r M
r
ds
r
Q M
z
M Q M
Q MS
M
Q M
Q Q
1 4
1
4 1 4
1 44
4
1 4
4
3
cos ( ) ( )� � � �
�
1
1 44
4
4
3
� z
Q MS
M
M
r
ds
( )
� �
� �F Q1 1�
�, Q S1 1
. (63)
Ñ ó÷åòîì ââåäåííûõ â [1] îáîçíà÷åíèé ÿäåð èíòåãðàëüíûõ îïåðàòîðîâ
óðàâíåíèÿ (62), (63) ïðèíèìàþò âèä
2
1 2
2
21 1 2 2 1 2
�
�
� � �� �Q M
S
M zQ t ZS Q M M ds CR Q M( , ) ( , ) ( ) ( , )� �� ( )M ds
S
M2
2
2� �
� �� �ZC Q M M ds ZS Q M M dsM
S
M M
S
M( , ) ( ) ( , ) ( )1 3 3 1 3 33
3
3 3
3
3
� �� � �
� � � �� �ZS Q M M ds CR Q M M dsM
S
M z
S
M( , ) ( ) ( , ) ( )1 4 4 1 4 44
4
4
4
4
� �� F Q1 1�
�,
Q S1 1
. (64)
2
1 2
2
21 1 2 2 1 2
�
�
� � �� �Q M
S
M zQ t ZC Q M M ds SR Q M( , ) ( , ) ( ) ( , )� �� ( )M ds
S
M2
2
2� �
� �� �ZS Q M M ds ZC Q M M dsM
S
M M
S
M( , ) ( ) ( , ) ( )1 3 3 1 3 33
3
3 3
3
3
� �� � �
� � � �� �ZC Q M M ds SR Q M M dsM
S
M z
S
M( , ) ( ) ( , ) ( )1 4 4 1 4 44
4
4
4
4
� �� F Q1 1�
�,
Q S1 1
. (65)
Çàïèøåì óðàâíåíèÿ (64), (65) â îïåðàòîðíîì âèäå:
2
1 2 2 3 31 12 12 13 13
�
�
� � � � �� � � �Q M zM M MQ t ZS CR ZC ZS( , )� � � � �
� � � �ZS CR F QM zM14 14 1 14 4
� �
�� � , Q S1 1
, (66)
Â. Ô. Åâäîêèìîâ, À. À. Êó÷àåâ, Å. È. Ïåòðóøåíêî, Â. À. Êó÷àåâ
60 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2012. V. 34. ¹ 2
2
1 2 2 2 31 12 12 13 13
�
�
� � � � �� � � �Q M zM M MQ t ZC SR ZS ZC( , )� � � � �
� � � �ZC SR F QM zM14 14 1 14 4
� �
�� � , Q S1 1
. (67)
Ñìûñë ââåäåííûõ â (66), (67) îïåðàòîðîâ ñëåäóþùèé:
ZS Q M M ds ZSM
S
M M( , ) ( )1 2 2 122
2
2 2
� �� �� � ,
CR Q M M ds CRz
S
M zM( , ) ( )1 2 2 12
2
2 2
� �� � ,
ZC Q M M ds ZCM
S
M M( , ) ( )1 3 3 133
3
3 3
� �� �� � ,
ZS Q M M ds ZSM
S
M M( , ) ( )1 3 3 133
3
3 3
� �� �� � ,
ZS Q M M ds ZSM
S
M M( , ) ( )1 4 4 144
4
4 4
� �� �� � ,
CR Q M M ds CRz
S
M zM( , ) ( )1 4 4 14
4
4 4
� �� � ,
ZC Q M M ds ZCM
S
M M( , ) ( )1 2 2 122
2
2 2
� �� �� � ,
SR Q M M ds SRz
S
M zM( , ) ( )1 2 2 12
2
2 2
� �� � ,
ZS Q M M ds ZSM
S
M M( , ) ( )1 3 3 133
3
3 3
� �� �� � ,
ZC Q M M ds ZCM
S
M M( , ) ( )1 3 3 133
3
3 3
� �� �� � ,
ZC Q M M ds ZCM
S
M M( , ) ( )1 4 4 144
4
4 4
� �� �� � ,
SR Q M M ds SRz
S
M zM( , ) ( )1 4 4 14
4
4 4
� �� � .
Ìîäåëü òðåõìåðíîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ ñòàòîðà... II
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2012. Ò. 34. ¹ 2 61
Ïðåîáðàçîâàíèå âåêòîðíîãî èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ (12) ê ñêà-
ëÿðíîé ÑÈÓ. Ïðåäñòàâèì âåêòîðíîå óðàâíåíèå (12) â ðàçâåðíóòîì âèäå:
2
2 2
21 2 1
3
2
2 11
1
�
�
� ( , )
[ ( , )]
Q t
n G Q M
r
ds
Q
Q MS
M� ��
� ��
[ ( , )] [ ( , )]n G Q M
r
ds
n G Q M
r
Q
Q MS
M
Q
Q M
2
2 22
2
2
2 3
22 2 2
3
23 2 3
3
3
3
S
Mds� �
� � ��
[ ( , )]n G Q M
r
ds D
Q
Q MS
M S k k
2
2 44
4 2
24 2 4
3 0 0 , Q S2 2
.
(68)
Çäåñü
G Q M e Q G Q M e Q G Q M e Gz21 2 1 2 21 2 1 2 21 2 1( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , )� � �� � � � 21 2 1z Q M( , ),
G Q M e Q G Q M e Q G Q M e Gz22 2 2 2 22 2 2 2 22 2 2( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , )� � �� � � � 22 2 2z Q M( , ),
G Q M e Q G Q M e Q G Q M e Gz23 2 3 2 23 2 3 2 23 2 3( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , )� � �� � � � 23 2 3z Q M( , ),
G Q M e Q G Q M e Q G Q M e Gz24 2 4 2 24 2 4 2 24 2 4( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , )� � �� � � � 24 2 4z Q M( , ),
n e QQ2 2� � �( );
[ ( , )]
( ) ( )
( , ) (
n G Q M
e Q e Q e
G Q M G
Q
z
2 21 2 1
2 2
21 2 1 21
1 0 0� �
� �
� � Q M G Q Mz2 1 21 2 1, ) ( , )
�
� �e Q G Q M e G Q Mz z� �( ) ( , ) ( , )2 21 2 1 21 2 1 , (69)
[ ( , )]
( ) ( )
( , ) (
n G Q M
e Q e Q e
G Q M G
Q
z
2 22 2 2
2 2
22 2 2 2
1 0 0� �
� �
� �� Q M G Q Mz2 2 22 2 2, ) ( , )
�
� �e Q G Q M e G Q Mz z� �( ) ( , ) ( , )2 22 2 2 22 2 2 , (70)
[ ( , )]
( ) ( )
( , ) (
n G Q M
e Q e Q e
G Q M G
Q
z
2 23 2 3
2 2
23 2 3 23
1 0 0� �
� �
� � Q M G Q Mz2 3 23 2 3, ) ( , )
�
� �e Q G Q M e G Q Mz z� �( ) ( , ) ( , )2 23 2 3 23 2 3 , (71)
Â. Ô. Åâäîêèìîâ, À. À. Êó÷àåâ, Å. È. Ïåòðóøåíêî, Â. À. Êó÷àåâ
62 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2012. V. 34. ¹ 2
[ ( , )]
( ) ( )
( , ) (
n G Q M
e Q e Q e
G Q M G
Q
z
2 24 2 4
2 2
24 2 4 24
1 0 0� �
� �
� � Q M G Q Mz2 4 24 2 4, ) ( , )
�
� �e Q G Q M e G Q Mz z� �( ) ( , ) ( , )2 24 2 4 24 2 4 . (72)
Ïîäñòàâèâ (69)—(72) â (68), ïîëó÷èì
2
2 2 2 22
�
�
� �� �( ( ) ( ) ( ) ( ))e Q Q e Q QQ z z� �
� ��e Q
G Q M
r
ds e
G Q M
r
z
Q MS
M z
Q M
�
�
( )
( , ) ( , )
2
21 2 1
3
21 2 1
2 11
1
2 1
3
1
1
S
Mds� �
� ��e Q
G Q M
r
ds e
G Q M
r
z
Q MS
M z
Q M
�
�
( )
( , ) ( , )
2
22 2 2
3
22 2 2
2 22
2
2 2
3
2
2
S
Mds� �
� ��e Q
G Q M
r
ds e
G Q M
r
z
Q MS
M z
Q M
�
�
( )
( , ) ( , )
2
23 2 3
3
23 2 3
2 33
3
2 3
3
3
3
S
Mds� �
� ��e Q
e Q G Q M
r
ds e
G Q Mz
Q MS
M z�
� �
( )
( ) ( , ) ( ,
2
2 24 2 4
3
24 2 4
2 44
4
)
r
ds
Q MS
M
2 44
43� �
� � � � �D e Q F Q e F QS k k z z2 0 0 2 2 2 2 2 � �( ) ( ) ( ), Q S2 2
.
Ïðèðàâíÿâ âûðàæåíèÿ ïðè e Q�( )2 è ez ñïðàâà è ñëåâà, ïîëó÷èì
2
2
2 11
12
21 2 1
3
22 2 2�
�
� �Q
z
Q MS
M
z
Q
Q
G Q M
r
ds
G Q M
r
( )
( , ) ( , )
� ��
2 22
23
MS
Mds� �
� �� �
G Q M
r
ds
G Q M
r
dsz
Q MS
M
z
Q MS
M
23 2 3
3
24 2 4
3
2 33
3
2 44
4
( , ) ( , )
� �F Q2 2�
�, Q S2 2
, (73)
2
2
21 2 1
3
22 2 2
2 11
1
2
�
�
� � �
z
Q MS
M
Q M
Q
G Q M
r
ds
G Q M
r
( )
( , ) ( , )
� ��
22
23
S
Mds� �
� �� �
G Q M
r
ds
G Q M
r
ds
Q MS
M
Q MS
M
23 2 3
3
24 2 4
3
2 33
3
2 44
4
� �( , ) ( , )
� �F Qz2 2
�, Q S2 2
. (74)
Îïðåäåëèì âõîäÿùèå â (73), (74) ýëåìåíòû G Q M21 2 1�( , ), G Q M22 2 2�( , ),
G Q M23 2 3�( , ), G Q M24 2 4�( , ), G Q Mz21 2 1( , ), G Q Mz22 2 2( , ), G Q Mz23 2 3( , ),
Ìîäåëü òðåõìåðíîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ ñòàòîðà... II
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2012. Ò. 34. ¹ 2 63
G Q Mz24 2 4( , ). Äëÿ ýòîãî ðàñêðîåì âåêòîðíûå ïðîèçâåäåíèÿ äëÿ G Q M21 2 1( , ),
G Q M22 2 2( , ), G Q M23 2 3( , ), G Q M24 2 4( , ):
G Q M e Q G Q M e Q G Q M21 2 1 2 21 2 1 2 21 2 1( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , )� � �� � � �
� �e G Q M r Mz z Q M21 2 1 1 12 1
( , ) [ ( )]� . (75)
Ïîäñòàâèâ â (75) ôîðìóëû
r e Q r e Q r e Q rQ M Q M Q M z Q M
zQ Q Q
2 1 2 1
2
2 1
2
2 1
2
2 2 2� � ��
�
�
�
( ) ( ) ( ) ,
� � �� � � �1 1 2 1 2 12 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )M e Q M e Q MQ Q� � ,
ãäå
r R
Q M M M Q
Q
2 1
2
1 1 2 2
�
� � �� � �cos ( ) , r
Q M M M Q
Q
2 1
2
1 1 2
�
� � �� �sin ( ),
r z z Z z
Q M
z
M Q Q
Q
2 1
2
1 2 21� � � �( ) ,
� � � � � � �� � �Q M Q M M Q MM M M
2 1 2 1 1 2 11 1 1( ) cos ( ) ( ) sin ( ) ( )� � � � , (76)
� � � � � � �� � �Q M Q M M Q MM M M
2 1 2 1 1 2 11 1 1( ) sin ( ) ( ) cos ( ) ( )� � � � , (77)
çàïèøåì
G Q M e Q G Q M e Q G Q M e Gz21 2 1 2 21 2 1 2 21 2 1( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , )� � �� � � � 21 2 1z Q M( , ) �
� �[ ( )]
( ) ( )
r M
e Q e Q e
r r rQ M
z
Q M Q M Q M
Q Q
2 1 2 1
2
2 1
2
2 1
1 1
2 2
�
� �
� � z
Q Q
Q M
z
Q
Q Q
M M
e Q r M2
2 2
2 1
2
2
1 1
2 1
0� �
�
� �
� �
( ) ( )
( ) ( )� � �
� � �e Q r M e r M r
Q M
z
Q z Q M Q Q M
Q Q
� �
�
�
�
� �( ) ( ) ( ( )2 1 1
2 1
2
2 2 1
2
2 2 1
Q
Q M2
2 1�� ( )) .
Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåì
G Q M r M
Q M
z
Q
Q
21 2 1 1
2 1
2
2� ��( , ) ( )� � , G Q M r M
Q M
z
Q
Q
21 2 1 1
2 1
2
2� ��( , ) ( )� , (78)
G Q M r M r Mz Q M Q Q M Q
Q Q
21 2 1 1 1
2 1
2
2 2 1
2
2
( , ) ( ) ( )� �
�
�
�
�� � ; (79)
G Q M e Q G Q M e Q G Q M22 2 2 2 22 2 2 2 22 2 2( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , )� � �� � � �
� �e G Q M r Mz z Q M22 2 2 2 22 2
( , ) [ ( )]� . (80)
Ïîäñòàâèâ â âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå (80) ôîðìóëû
r e Q r e Q r e rQ M Q M Q M z Q M
zQ Q Q
2 2 2 2
2
2 2
2
2 2
2
2 2� � ��
�
�
�
( ) ( ) ,
Â. Ô. Åâäîêèìîâ, À. À. Êó÷àåâ, Å. È. Ïåòðóøåíêî, Â. À. Êó÷àåâ
64 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2012. V. 34. ¹ 2
� � �� �( ) ( ) ( ) ( ) ( )M e M M e M MM z z2 2 2 2 22
� � �
� � �e Q M e Q M e MQ Q z z� � � �� � �( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 22 2
,
ãäå
r R R R
Q M M M Q M Q
Q
2 2
2
2 2 2 2 22 2 2
�
� � � � �� � � � � �cos ( ) cos ( ) ,
r R
Q M M M Q M Q
Q
2 2
2
2 2 2 2 22
�
� � � � �� � � �sin ( ) sin ( ),
r z z
Q M
z
M Q
Q
2 2
2
2 2
� �( ),
� � � �� �Q M Q MM M
2 2 2 22 2( ) sin ( ) ( )� � � , (81)
� � � �� �Q M Q MM M
2 2 2 22 2( ) cos ( ) ( )� � , (82)
ïîëó÷èì
G Q M r M
e Q e Q e
r rQ M
z
Q M Q
Q
22 2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
2
2
( , ) [ ( )]
( ) ( )
� ��
� �
�
M Q M
z
Q Q z
Q Qr
M M M
2
2
2 2
2
2 22 2 2
�
� �� � �( ) ( ) ( )
�
� � �e Q r M r M e Q r
Q M z Q M
z
Q Q
Q Q
�
�
� �� �( )( ( ) ( )) ( )(2 2 2 2
2 2
2
2 2
2
2 2 2
2
2M z
Q M
�
� ( )�
� � �r M e r M r
Q M
z
Q z Q M Q Q M Q
Q Q Q
2 2
2
2 2 2
2
2 2 2
2
2 2� � ��
�
�
�
�( )) ( ( )
2 2( ))M .
Ñëåäîâàòåëüíî,
G Q M r M r M
Q M z Q M
z
Q
Q Q
2 2 2 2 2
2 2
2
2 2
2
2��
�
�� �( , ) ( ) ( )� � ,
G Q M r M r M
Q M z Q M
z
Q
Q Q
22 2 2 2 2
2 2
2
2 2
2
2�
�
�� �( , ) ( ) ( )� � � , (83)
G Q M r M r Mz Q M Q Q M Q
Q Q
22 2 2 2 2
2 2
2
2 2 2
2
2
( , ) ( ) ( )� �
�
�
�
�� � ; (84)
G Q M e Q G Q M e Q G Q M23 2 3 2 23 2 3 2 23 2 3( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , )� � �� � � �
� �e G Q M r Mz z Q M23 2 3 3 32 3
( , ) [ ( )]� . (85)
Ïîäñòàâèâ â âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå (85) âûðàæåíèÿ
r e Q r e Q r e rQ M Q M Q M z Q M
zQ Q Q
2 3 2 3
2
2 3
2
2 3
2
2 2� � ��
�
�
�
( ) ( ) ,
� � �� � � �( ) ( ) ( ) ( ) ( )M e M M e M MM M3 3 3 3 33 3
� � �
� �e Q M e Q MQ Q� � � �� �( ) ( ) ( ) ( )2 3 2 32 2
,
Ìîäåëü òðåõìåðíîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ ñòàòîðà... II
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2012. Ò. 34. ¹ 2 65
ãäå
r R
Q M M M Q Q M M Q
Q
2 3
2
3 3 2 2 3 3 2 2
�
� � � � � � �� � � � � �cos ( ) cos ( ) ,
r
Q M M M Q
Q
2 3
2
3 3 2
�
� � �� �sin ( ), r z z Z z
Q M
z
M Q Q
Q
2 3
2
3 2 23� � � �( ) ,
� � � � � � �� � �Q M Q M M Q MM M M
2 3 2 3 3 2 33 3 3( ) cos ( ) ( ) sin ( ) ( )� � � � , (86)
� � � � � � �� � �Q M Q M M Q MM M M
2 3 2 3 3 2 33 3 3( ) sin ( ) ( ) cos ( ) ( )� � � � , (87)
ïîëó÷èì
G Q M r M
e Q e Q e
r rQ M
z
Q M Q
Q
23 2 3 3 3
2 2
2 3 2 3
2
2
( , ) [ ( )]
( ) ( )
� ��
� �
�
M Q M
z
Q Q
Q Qr
M M
3
2
2 3
2
2 23 3 0
�
� �� �( ) ( )
�
� � � �e Q r M e Q r M
Q M
z
Q Q M
z
Q
Q Q
� � � �� �( ) ( ) ( ) ( )2 3 2 3
2 3
2
2 2 3
2
2
� �e r M r Mz Q M Q Q M Q
Q Q( ( ) ( ))
2 3
2
2 2 3
2
23 3
�
�
�
�� � .
Òîãäà
G Q M r M
Q M
z
Q
Q
23 2 3 3
2 3
2
2� ��( , ) ( )� � ,
G Q M r M
Q M
z
Q
Q
23 2 3 3
2 3
2
2� ��( , ) ( )� , (88)
G Q M r M r Mz Q M Q Q M Q
Q Q
23 2 3 3 3
2 3
2
2 2 3
2
2
( , ) ( ) ( )� �
�
�
�
�� � ; (89)
G Q M e Q G Q M e Q G Q M24 2 4 2 24 2 4 2 24 2 4( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , )� � �� � � �
� �e G Q M r Mz z Q M24 2 4 4 42 4
( , ) [ ( )]� . (90)
Ïîäñòàâèâ â âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå (90) âûðàæåíèÿ
r e Q r e Q r e rQ M Q M Q M z Q M
zQ Q Q
2 4 2 4
2
2 4
2
2 4
2
2 2� � ��
�
�
�
( ) ( ) ,
� � �� �( ) ( ) ( ) ( )M e M M e MM z z4 4 4 44
� � �
� � �e Q M e Q M e MQ Q z z� � � �� � �( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 4 2 4 42 2
,
ãäå
r R R
Q M M M Q Q M Q
Q
2 4
2
4 4 2 2 4 24 2
�
� � � � � �� � � � � �cos ( ) cos ( ) ,
r R
Q M M M Q M Q
Q
2 4
2
4 4 2 4 24
�
� � � � �� � � �sin ( ) sin ( ), r z z
Q M
z
M Q
Q
2 4
2
4 2
� �( ),
Â. Ô. Åâäîêèìîâ, À. À. Êó÷àåâ, Å. È. Ïåòðóøåíêî, Â. À. Êó÷àåâ
66 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2012. V. 34. ¹ 2
� � � �� �Q M Q MM M
2 4 2 44 4( ) sin ( ) ( )� � � , (91)
� � � �� �Q M Q MM M
2 4 2 44 4( ) cos ( ) ( )� � , (92)
ïîëó÷èì
G Q M r M
e Q e Q e
r rQ M
z
Q M Q
Q
24 2 4 4 4
2 2
2 4 2 4
2
2
( , ) [ ( )]
( ) ( )
� ��
� �
�
M Q M
z
Q Q z
Q Qr
M M M
4
2
2 4
2
2 24 4 4
�
� �� � �( ) ( ) ( )
�
� � �e Q r M r M e Q r
Q M z Q M
z
Q Q
Q Q
�
�
� �� �( ) ( ( ) ( )) ( )(2 4 4 2
2 4
2
2 4
2
2 2 4
2
4M z
Q M
�
� ( )�
� � �r M e r M r
Q M
z
Q z Q M Q Q M Q
Q Q Q
2 4
2
2 2 4
2
2 2 4
2
4 4� � ��
�
�
�
�( )) ( ( )
2 4( ))M .
Òîãäà
G Q M r M r M
Q M z Q M
z
Q
Q Q
24 2 4 4 4
2 4
2
2 4
2
2�
�
�� �( , ) ( ) ( )� � ,
G Q M r M r M
Q M z Q M
z
Q
Q Q
24 2 4 4 4
2 4
2
2 4
2
2�
�
�� �( , ) ( ) ( )� � , (93)
G Q M r M r Mz Q M Q Q M Q
Q Q
24 2 4 4 4
2 4
2
2 2 4
2
2
( , ) ( ( ) ( ))� �
�
�
�
�� � . (94)
Ïîäñòàâèì â óðàâíåíèÿ (73), (74) ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ (78), (79),
(83), (84), (88), (89), (93), (94):
2
2
2 1
2
2 2 1
2
2
2 1
2
1 1�
�
�
� �
�
�
�
�
�
Q
Q M Q M Q
Q M
Q
r M r M
r
Q
Q
Q
( )
( ) ( )
�
�
3
1
1
S
Mds� �
�
�
��
r M r M
r
ds
Q M Q M Q
Q MS
M
Q
Q
Q
2 2
2
2 2 2
2
2
2 22
2
2 2
3
�
�
�
�� �( ) ( )
�
�
��
r M r M
r
ds
Q M Q M Q
Q MS
M
Q
Q
Q
2 3
2
2 2 3
2
2
23
3
3 3
3
3
�
�
�
�� �( ) ( )
�
�
� ��
r M r M
r
ds F
Q M Q M Q
Q MS
M
Q
Q
Q
2 4
2
2 2 4
2
2
2 44
4
4 4
3
�
�
�
�� �( ) ( )
2 2�
�Q , Q S2 2
, (95)
2
2
1
3
2 1
2
2
2 11
1
2 2
2
�
�
�
� ��
�
z
Q M
z
Q MS
M
Q M
Q
r M
r
ds
rQ
Q
Q
( )
( )
� �
�
�
z Q M
z
Q
Q MS
M
M r M
r
ds
Q( ) ( )2 2
3
2 2
2
2
2 22
2
�
��
��
Ìîäåëü òðåõìåðíîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ ñòàòîðà... II
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2012. Ò. 34. ¹ 2 67
� �
�
�
r M
r
ds
r M r
Q M
z
Q
Q MS
M
Q M z Q M
Q Q
2 3
2
2
23
3
2 4
2
2
3
3
3
4� ��
�
( ) ( )
4
2
2
2 44
4
4
3 2 2
z
Q
Q MS
M z
Q M
r
ds F Q
�
�
� ( )
� � � ,
Q S2 2
. (96)
Èíòåãðàëû (95) è (96) ïðåäñòàâèì â âèäå ñóììû äâóõ èíòåãðàëîâ:
2
2
2 1
2
2
2 11
1
2 1
2
2
1
3
�
�
�
�
�
�
�
�
Q
Q M
Q MS
M
Q M
Q
r M
r
ds
rQ
Q
Q
( )
( )
� ��
�� Q
Q MS
M
M
r
ds
2
2 11
1
1
3
( )
� �
� ��
r M
r
ds
r M
r
Q M
Q MS
M
Q M Q
Q
Q
Q
Q
2 2
2
2
2 22
2
2 2
2
2
2
2
3
2
�
�
�
�� �( ) ( )
MS
Mds
22
23� �
� ��
r M
r
ds
r M
r
Q M Q
Q MS
M
Q M Q
Q
Q Q
2 3
2
2
2 33
3
2 3
2
2
2
3
3
3
�
�
�
�� �( ) ( )
MS
Mds
33
33� �
� ��
r M
r
ds
r M
r
Q M Q
Q MS
M
Q M Q
Q
Q Q
2 4
2
2
2 44
4
2 4
2
2
2
4
3
4
�
�
�
�� �( ) ( )
MS
Mds F Q
44
43 2 2� � � �
�, Q S2 2
, (97)
2
2
1
3
2 1
2
2
2 11
1
2 2
2
�
�
�
� ��
�
z
Q M
z
Q MS
M
Q M z
Q
r M
r
ds
rQ
Q
Q
( )
( )
� ��
( )M
r
ds
Q MS
M
2
3
2 22
2� �
� ��
r M
r
ds
r M
r
Q M
z
Q
Q MS
M
Q M
z
Q
Q Q
Q2 2
2
2
2 22
2
2 3
2
2
2
2
3
3� �� �( ) ( )
MS
M
Q M z
Q MS
Mds
r M
r
ds
Q
33
3
2 4
2
2 44
43
4
3� �� �
�
� ( )
� � ��
r M
r
ds F Q
Q M
z
Q
Q MS
M z
Q
2 4
2
2
2 44
4
4
3 2 2
�
�
� ( )
, Q S2 2
. (98)
Ïîäñòàâèâ âûðàæåíèÿ (76), (77), (81), (82), (86), (87), (91), (92) â óðàâíåíèå
(97), ïîëó÷èì
2
2
2 1
2
1 2 2 1
2
1
2
�
�
�
� � � �
�
� �
Q
Q M M Q Q M M
Q
r rQ Q
( )
sin ( ) cos (
�
� � � Q
Q MS
M M
r
M ds
2
2 11
1 13 1
)
( )� ���
�
� � �r r
r
Q M M Q Q M M Q
Q MS
Q Q
2 1
2
1 2 2 1
2
1 2
2 11
3
� �
� � � �cos ( ) sin ( )
� �� �M MM ds
1 11( )
Â. Ô. Åâäîêèìîâ, À. À. Êó÷àåâ, Å. È. Ïåòðóøåíêî, Â. À. Êó÷àåâ
68 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2012. V. 34. ¹ 2
�
� � �r r
r
Q M M Q Q M M Q
Q MS
Q Q
2 1
2
2 2 2 2
2
2 2
2 22
3
� �
� � � �cos ( ) sin ( )
� �� � M MM ds
2 22( )
�
� � �r r
r
Q M M Q Q M M Q
Q MS
Q Q
2 3
2
3 2 2 3
2
3 2
2 33
3
� �
� � � �sin ( ) cos ( )
� ���M MM ds
3 33( )
�
� � �r r
r
Q M M Q Q M M Q
Q MS
Q Q
2 3
2
3 2 2 3
2
3 2
2 33
3
� �
� � � �cos ( ) sin ( )
� �� �M MM ds
3 33( )
�
� � �r r
r
Q M M Q Q M M Q
Q MS
Q Q
2 4
2
4 2 2 4
2
4 2
2 44
3
� �
� � � �cos ( ) sin ( )
� �� � M MM ds
4 44( )
� �F Q2 2�
�, Q S2 2
. (99)
Ïðåîáðàçóåì ÷èñëèòåëè ïîäûíòåãðàëüíûõ âûðàæåíèé â óðàâíåíèè
(99):
r r
Q M M Q Q M M Q
Q Q
2 1
2
1 2 2 1
2
1 2
� �
� � � �sin ( ) cos ( )� � � �
� � � � � �� � � � � � �
M M Q M Q M QR
1 1 2 1 2 1 22cos ( ) sin ( ) sin ( )
� � � � � �� � � � � � �
M M Q M Q M QR
1 1 2 1 2 1 22sin ( ) cos ( ) sin ( ). (100)
Èñïîëüçóÿ îáîçíà÷åíèå, ââåäåííîå â [1],
RS Q M
r
Q M Q
Q M
( , )
sin ( )
�
�� � �
3
,
çàïèøåì (100) â ñëåäóþùåì âèäå:
r r
Q M M Q Q M M Q
Q Q
2 1
2
1 2 2 1
2
1 2
� �
� � � �sin ( ) cos ( )� � � �
� � � � � �� � � � � � �
M M Q M Q M QR
1 1 2 1 2 1 22cos ( ) sin ( ) sin ( )
� � � �� � � � �
M M Q M Q
1 1 2 1 2
sin ( ) cos ( )
� � � � �R RS Q M rM Q Q M2 2 1
3
1 2 2 1
sin ( ) ( , )� � ; (101)
r r
Q M M Q Q M M Q
Q Q
2 1
2
1 2 2 1
2
1 2
� �
� � � �cos ( ) sin ( )� � � �
� � � � � � �� � � � � � � �
M M Q M Q M M QR
1 1 2 1 2 1 1 2
2
2
2cos ( ) cos ( ) sin ( )
Ìîäåëü òðåõìåðíîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ ñòàòîðà... II
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2012. Ò. 34. ¹ 2 69
� � � � � � �� � � � � � �
M M Q M Q M QR
1 1 2 1 2 1 2
2 2
2(cos ( ) sin ( )) cos ( )
� � �� � �
M M QR
1 1 22 cos ( ) . (102)
Èñïîëüçóÿ îáîçíà÷åíèå
RC Q M
r
Q M Q M
Q M
( , )
cos ( )
�
� �� � � �
3
,
çàïèøåì (102) â âèäå
r r
Q M M Q Q M M Q M
Q Q
2 1
2
1 2 2 1
2
1 2 1
2� �
� � � � �cos ( ) sin ( ) cos (� � � � � �M Q1 2
� �)
� � � � � �R M Q M M Q M M Q2
2 2
1 2 1 1 2 1 1 2
cos ( ) sin ( ) (cos ( )� � � � � � � � �
� � � � �sin ( )) cos ( )2
21 2 1 2
� � � �M Q M QR
� � � � �� � �
M M Q Q MR RC Q M r
1 1 2 2 12 2 1
3cos ( ) ( , ) ; (103)
r r
Q M M Q Q M M Q
Q Q
2 2
2
2 2 2 2
2
2 2
� �
� � � �cos ( ) sin ( )� � � �
� � � � � � �� � � � � � � �
M M Q M Q M M QR
2 2 2 2 2 1 2 2
2
2
2cos ( ) cos ( ) sin ( )
� � � � � � �� � � � � � �
M M Q M Q M QR
2 2 2 2 2 2 2
2 2
2(cos ( ) sin ( )) cos ( )
� � �� � �
M M QR
2 2 22 cos ( ) . (104)
Çàòåì (104) ïðåîáðàçóåòñÿ àíàëîãè÷íî (102):
r r
Q M M Q Q M M Q
Q Q
2 2
2
2 2 2 2
2
2 2
� �
� � � �cos ( ) sin ( )� � � �
� � � � � � �� � � � � � � �
M M Q M Q M M QR
2 2 2 2 2 1 2 2
2
2
2cos ( ) cos ( ) sin ( )
� � � � � � �� � � � � � �
M M Q M Q M QR
2 2 2 2 2 2 2
2 2
2(cos ( ) sin ( )) cos ( )
� � � � �� � �
M M Q Q MR RC Q M r
2 2 2 2 22 2 2
3cos ( ) ( , ) ; (105)
r r
Q M M Q Q M M Q
Q Q
2 3
2
3 2 2 3
2
3 2
� �
� � � �sin ( ) cos ( )� � � �
� � � � � �� � � � � � �
M M Q M Q M QR
3 3 2 3 2 3 22cos ( ) sin ( ) sin ( )
� � � � � �� � � � � � �
M M Q M Q M QR
3 3 2 3 2 3 22cos ( ) sin ( ) sin ( ) . (106)
Â. Ô. Åâäîêèìîâ, À. À. Êó÷àåâ, Å. È. Ïåòðóøåíêî, Â. À. Êó÷àåâ
70 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2012. V. 34. ¹ 2
Äàëåå âûðàæåíèå (106) ïðåîáðàçóåòñÿ àíàëîãè÷íî (100):
r r
Q M M Q Q M M Q
Q Q
2 3
2
3 2 2 3
2
3 2
� �
� � � �sin ( ) cos ( )� � � �
� � � � � �� � � � � � �
M M Q M Q M QR
3 3 2 3 2 3 22cos ( ) sin ( ) sin ( )
� � � �� � � � �
M M Q M Q
3 3 2 3 2
cos ( ) sin ( )
� � � � �R RS Q M rM Q Q M2 2 3
3
3 2 2 3
sin ( ) ( , )� � ; (107)
r r
Q M M Q Q M M Q M
Q Q
2 3
2
3 2 2 3
2
3 2 1
2� �
� � � � �cos ( ) sin ( ) cos (� � � � � �M Q3 2
� �)
� � � � �R M Q M M Q2
2
3 2 1 3 2
cos ( ) sin ( )� � � � �
� � � � � � �� � � � � � �
M M Q M Q M QR
1 3 2 3 2 3 2
2 2
2(cos ( ) sin ( )) cos ( )
� � �� � �
M M QR
1 3 22 cos ( ) . (108)
Âûðàæåíèå (108) ïðåîáðàçóåòñÿ àíàëîãè÷íî (102):
r r
Q M M Q Q M M Q M
Q Q
2 3
2
3 2 2 3
2
3 2 1
2� �
� � � � �cos ( ) sin ( ) cos (� � � � � �M Q3 2
� �)
� � � � �R M Q M M Q2
2
3 2 1 3 2
cos ( ) sin ( )� � � � �
� � � � � � �� � � � � � �
M M Q M Q M QR
1 3 2 3 2 3 2
2 2
2(cos ( ) sin ( )) cos ( )
� � � � �� � �
M M Q Q MR RC Q M r
1 3 2 2 32 2 3
3cos ( ) ( , ) ; (109)
r r
Q M M Q Q M M Q M
Q Q
2 4
2
4 2 2 4
2
4 2 4
2� �
� � � � �cos ( ) sin ( ) cos (� � � � � �M Q4 2
� �)
� � � � �R M Q M M Q2
2
4 2 4 4 2
cos ( ) sin ( )� � � � �
� � � � � � �� � � � � � �
M M Q M Q M QR
4 4 2 4 2 4 2
2 2
2(cos ( ) sin ( )) cos ( )
� � �� � �
M M QR
4 4 22 cos ( ) . (110)
Âûðàæåíèå (110) òàêæå ïðåîáðàçóåòñÿ àíàëîãè÷íî (102):
r r
Q M M Q Q M M Q M
Q Q
2 4
2
4 2 2 4
2
4 2 4
2� �
� � � � �cos ( ) sin ( ) cos (� � � � � �M Q4 2
� �)
� � � � �R M Q M M Q2
2
4 2 4 4 2
cos ( ) sin ( )� � � � �
� � � � � � �� � � � � � �
M M Q M Q M QR
4 4 2 4 2 4 2
2 2
2(cos ( ) sin ( )) cos ( )
� � � � �� � �
M M Q Q MR RC Q M r
4 4 2 2 42 2 4
3cos ( ) ( , ) . (111)
Ìîäåëü òðåõìåðíîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ ñòàòîðà... II
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2012. Ò. 34. ¹ 2 71
Ïîäñòàâèâ âûðàæåíèÿ (101), (103), (105), (107), (109), (111) â óðàâíåíèå
(99), ïîëó÷èì
2
2 1
1
1 12 2 1 1 2 1
�
�
� � �� � �Q M
S
M MQ RS Q M M ds RC Q M( ) ( , ) ( ) ( , )� �� ( )M ds
S
M1
1
1� �
� �� �RC Q M M ds RS Q M M dsM
S
M M
S
M( , ) ( ) ( , ) ( )2 2 2 2 3 32
2
2 3
3
3
� �� � �
� �� �RC Q M M ds RC Q M M dsM
S
M M
S
M( , ) ( ) ( , ) ( )2 3 3 2 4 43
3
3 4
4
4
� �� � � �F Q2 2�
�,
Q S2 2
. (112)
Çàïèøåì óðàâíåíèå (112) â îïåðàòîðíîé ôîðìå:
2
2 1 1 2 32 21 21 22 23
�
�
� � � � �� � � � �Q M M M MQ RS RC RC RS( )� � � � �
� � � �RC RC F QM M23 24 2 23 4
� �
�� � � , Q S2 2
.
Àíàëîãè÷íî ïðåîáðàçóÿ óðàâíåíèå (98), ïîëó÷àåì
2
2 21 21 22 22 23
�
�
� � � � � �� � � �z zQ ZC ZS ZS CR ZC
M M M M
( )� � � � � �
� � � � �ZS ZS CR F Q
M M z z23 24 24 2 2� � �
�� � , Q S2 2
.
Ïðåîáðàçîâàíèå âåêòîðíûõ èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé (13), (14) ê
ñêàëÿðíîé ÑÈÓ. Ïðåîáðàçóåì âåêòîðíûå óðàâíåíèÿ (13), (14) ïîäîáíî òîìó,
êàê áûëè ïðåîáðàçîâàíû óðàâíåíèÿ (11), (12).  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì
2
3 31 31 32 32 34
�
�
� � � � � �� � � �Q
Q ZC ZS CR ZS CRM M z M z( )� � � � � �
� � �ZS F QM34 3 3�
�� � , Q S3 3
,
2
3 31 31 32 32 34
�
�
� � � � � �� � � �Q
Q ZS ZC SR ZC SRM M z M z( )� � � � � �
� � �ZC F QM34 3 3�
�� � , Q S3 3
,
2
4 41 41 42 43
�
�
� � � � �� � � � �Q
Q RS RC RC RSM M M M( )� � � � �
� � � �RC RC F QM M43 44 3 4� �
�� � � , Q S4 4
,
2
4 41 41 42 42 43
�
�
� � � � � �� � � �z M M M z MQ ZC ZS ZS RC ZC( )� � � � � �
� � � � �ZS ZS RC F QM M z z43 44 44 3 4� � �
�� � , Q S4 4
.
Â. Ô. Åâäîêèìîâ, À. À. Êó÷àåâ, Å. È. Ïåòðóøåíêî, Â. À. Êó÷àåâ
72 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2012. V. 34. ¹ 2
Òàêèì îáðàçîì, ðåçóëüòèðóþùàÿ ñêàëÿðíàÿ ÑÈÓ, ïîëó÷åííàÿ ïîñëå
ïðåîáðàçîâàíèÿ âåêòîðíîé ÑÈÓ (11)—(14), èìååò âèä
2
1 2 2 3 31 12 12 13 13
�
�
� � � � �� � � �Q M zM M MQ ZS CR ZC ZS( )� � � � �
� � � �ZS CR F QM zM14 14 1 14 4
� �
�� � , Q S1 1
,
2
1 2 2 3 31 12 12 13 13
�
�
� � � � �� � � �Q M zM M MQ ZC SR ZS ZC( )� � � � �
� � � �ZC SR F QM zM14 14 1 14 4
� �
�� � , Q S1 1
,
� � � � � �RS RC Q RC RSM M Q M M21 21 2 22 231 1 2 2 3
2
� �
�
�
� � �� � � � �( )
� � � �RC RC F QM M23 24 2 23 4
� �
�� � � , Q S2 2
,
� � � � � �ZC ZS ZS Q CR ZC
M M M Mz z21 21 22 2 22 2
1 1 2 2
2
� � �
�
�
� �� � � ( ) 3
3
��M
�
� � � � �ZS ZS CR F Q
M M Mz z23 24 24 2 2
3 4 4
� � �
�� � , Q S2 2
,
� � � � � �ZC ZS ZS CR Q Z
M M M M Qz31 31 32 32 3
1 1 2 2 3
2
� � � �
�
�
�� � � � ( ) S
M34
4
�� �
� � �CR F QzM34 3 3
4
�
�� , Q S3 3
,
� � � � � �ZS ZC ZC SR Q Z
M M M M Qz31 31 32 32 3
1 1 2 2 3
2
� � � �
�
�
�� � � � ( ) C
M34
4
� � �
� � �SR F QzM34 3 3
4
�
�� , Q S3 3
,
RS RC RC RS
M M M M41 41 42 43
1 1 2 3
� � � �� � � �� � � �
� � � � �RC Q RC F Q
M Q M43 4 44 4 4
3 4 4
2
�
�
�
� �
�� � � �( ) , Q S4 4
,
ZC ZS ZS CR ZC
M M M M Mz41 41 42 42 43
1 1 2 2 3
� � � � �� � � �� � � � �
� � � � � �ZS ZS Q CR F Q
M M Q Mz z z43 44 4 44 4 4
3 4 4 4
2
� �
�
�
� �
�� � ( ) , Q S4 4
.
Áîëåå íàãëÿäíî ïîëó÷åííàÿ ÑÈÓ ïðåäñòàâëåíà â òàáë. 3.
Ìîäåëü òðåõìåðíîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ ñòàòîðà... II
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2012. Ò. 34. ¹ 2 73
Â. Ô. Åâäîêèìîâ, À. À. Êó÷àåâ, Å. È. Ïåòðóøåíêî, Â. À. Êó÷àåâ
74 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2012. V. 34. ¹ 2
�
2
1
1
� �
� �
Q
Q(
)
�Z
S
M
1
2
2
�
�
�C
R
zM
1
2
2
�
�
Z
C
M
1
3
3
� �
�Z
S
M
1
3
3
�
�
�
Z
S
M
1
4
4
�
�
�
C
R
zM
1
4
4
�
�
�F
Q
1
1
�
�,
Q
S
1
1
�
2
1
1
� �
�
�
Q
Q(
)
�
Z
C
M
1
2
2
�
�
�S
R
zM
1
2
2
�
�
Z
S
M
1
3
3
� �
�
Z
C
M
1
3
3
�
�
�
Z
C
M
1
4
4
�
�
�
S
R
zM
1
4
4
�
�
�F
Q
1
1
�
�,
Q
S
1
1
�R
S
M
2
1
1
� �
�R
C
M
2
1
1
�
�
� �
2
2
2
2
2
2
� �
�
��
�
Q
M
Q
R
C
(
)
�
R
S
M
2
3
3
� �
�
R
C
M
2
3
3
�
�
�
R
C
M
2
4
4
�
�
�
�F
Q
2
2
�
�,
Q
S
2
2
�Z
C
M
2
1
1
� �
�
Z
S
M
2
1
1
�
�
�
Z
S
M
2
2
2
�
�
� �
2
2
2
2
2
� �
�
�z
zMQ
C
R
(
)
�
Z
C
M
2
3
3
� �
�
Z
S
M
2
3
3
�
�
�
Z
S
M
2
4
4
�
�
�
C
R
zM
2
4
4
�
�
�F
Q
z
2
2
�,
Q
S
2
2
�Z
C
M
3
1
1
� �
�
Z
S
M
3
1
1
�
�
�
Z
S
M
3
2
2
�
�
�C
R
zM
3
2
2
�
�
2
3
3
� �
� �
Q
Q(
)
�
Z
S
M
3
4
4
�
�
�
C
R
zM
3
4
4
�
�
�F
Q
3
3
�
�,
Q
S
3
3
�Z
S
M
3
1
1
� �
�Z
C
M
3
1
1
� �
�Z
C
M
3
2
2
�
�
�
S
R
zM
3
2
2
�
�
2
3
3
� �
�
�
Q
Q(
)
�
Z
C
M
3
4
4
�
�
�
S
R
zM
3
4
4
�
�
�F
Q
3
3
�
�,
Q
S
3
3
�
R
S
M
4
1
1
� �
�
R
C
M
4
1
1
�
�
�
R
C
M
4
2
2
�
�
�
R
S
M
4
3
3
� �
�
R
C
M
4
3
3
�
�
� �
2
4
4
4
4
4
� �
�
��
�
Q
M
Q
R
C
(
)
�
�F
Q
4
4
�
�,
Q
S
4
4
�
Z
C
M
4
1
1
� �
�Z
S
M
4
1
1
�
�
�Z
S
M
4
2
2
�
�
�C
R
zM
4
2
2
�
�
Z
C
M
4
3
3
� �
�Z
S
M
4
3
3
�
�
�Z
S
M
4
4
4
�
�
� �
2
4
4
4
4
4
� �
�
�zQ
zM
Q
C
R
(
)
�
�F
Q
z
4
4
�,
Q
S
4
4
Ò
à
á
ëè
ö
à
3
Âûâîäû
 ðåçóëüòàòå ïðåîáðàçîâàíèÿ âåêòîðíîé ÑÈÓ äëÿ ïëîòíîñòè ÒÍ íà êàíî-
íè÷åñêèõ ó÷àñòêàõ ïîâåðõíîñòè ìàãíèòîïðîâîäà öèëèíäðè÷åñêîãî ÝÌÏ
ïîëó÷åíà ýêâèâàëåíòíàÿ ñêàëÿðíàÿ ÑÈÓ îòíîñèòåëüíî ïðîåêöèé âåêòîðîâ
ÒÍ íà îñè öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìû, ëåæàùèõ â ïëîñêîñòè êàñàòåëüíîé ê
ïîâåðõíîñòè ìàãíèòîïðîâîäà. Ýòà ñèñòåìà óðàâíåíèé ñîñòàâëÿåò îñíîâó
ìîäåëè òðåõìåðíîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ öèëèíäðè÷åñêîãî ÝÌÏ. Åå íåîá-
õîäèìî èñïîëüçîâàòü ïðè ìîäåëèðîâàíèè âèõðåâûõ òîêîâ è ýëåêòðîäè-
íàìè÷åñêèõ óñèëèé â æèäêîé ôàçå íåïðåðûâíîëèòîé çàãîòîâêè.
A model of three-dimensional magnetic field of the cylindrical electomagnetic stirrer (EMS)
based on the scalar system of integral equations (SIE) was obtained as a result of simplification of
the vector SIE for magnetization current (MC) on the magnetic circuit surface of the EMS. This
system unknowns are projections of density vectors MC which lie in the plane tangential to the
magnetic circuit surface.
1. Åâäîêèìîâ Â. Ô., Êó÷àåâ À. À., Ïåòðóøåíêî Å. È., Êó÷àåâ Â. À. Ìîäåëü òðåõìåðíîãî
ìàãíèòíîãî ïîëÿ ñòàòîðà öèëèíäðè÷åñêîãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïåðåìåøèâàòåëÿ ñ
ó÷åòîì ðàñïðåäåëåíèÿ òîêîâ íàìàãíè÷åííîñòè ïî ïîâåðõíîñòè ìàãíèòîïðîâîäà.I //
Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. — 2012. —34, ¹ 1. — Ñ. 48—51.
Ïîñòóïèëà 28.09.11
ÅÂÄÎÊÈÌΠÂèêòîð Ôåäîðîâè÷, ä-ð òåõí. íàóê, ÷ë.-êîð. ÍÀÍ Óêðàèíû, äèðåêòîð Èí-òà ïðîáëåì
ìîäåëèðîâàíèÿ â ýíåðãåòèêå èì. Ã. Å. Ïóõîâà ÍÀÍ Óêðàèíû.  1963 ã. îêîí÷èë Õàðüêîâñêèé ïîëè-
òåõíè÷åñêèé èí-ò. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — ìåòîäû è óñòðîéñòâà äëÿ ìàòåìàòè÷åñ-
êîãî ìîäåëèðîâàíèÿ, ìàòåìàòè÷åñêîå è êîìïüþòåðíîå ìîäåëèðîâàíèå ýíåðãåòè÷åñêèõ ñèñòåì.
ÊÓ×ÀÅ Àëåêñàíäð Àíäðååâè÷ , ä-ð òåõí. íàóê, âåä. íàó÷. ñîòð. îòäåëà ÌÃÄ Ôèçèêî-òåõíî-
ëîãè÷åñêîãî èí-òà ìåòàëëîâ è ñïëàâîâ ÍÀÍ Óêðàèíû.  1978 ã. îêîí÷èë Êèåâñêèé èí-ò èíæåíå-
ðîâ ãðàæäàíñêîé àâèàöèè. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — ìîäåëèðîâàíèå ýëåêòðîìàã-
íèòíûõ ïîëåé.
ÏÅÒÐÓØÅÍÊÎ Åâãåíèé Èâàíîâè÷, êàíä. òåõí. íàóê, ñò. íàó÷. ñîòð., çàâ. îòäåëîì ìàòåìà-
òè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíûõ ïîëåé Èí-òà ïðîáëåì ìîäåëèðîâàíèÿ â ýíåðãå-
òèêå èì. Ã. Å. Ïóõîâà ÍÀÍ Óêðàèíû.  1960 ã. îêîí÷èë Íîâî÷åðêàññêèé ïîëèòåõíè÷åñêèé èí-ò,
à â 1963 ã. — Ðîñòîâñêèé ãîñóíèâåðñèòåò. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — ìîäåëèðîâàíèå
ýëåêòðîìàãíèòíûõ ïîëåé.
ÊÓ×ÀÅ Âèòàëèé Àëåêñàíäðîâè÷, àñïèðàíò Èí-òà ïðîáëåì ìîäåëèðîâàíèÿ â ýíåðãåòèêå
èì. Ã. Å. Ïóõîâà ÍÀÍ Óêðàèíû.  2002 ã. îêîí÷èë Íàöèîíàëüíûé òåõíè÷åñêèé óíèâåðñèòåò
Óêðàèíû «ÊÏÈ». Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — ìîäåëèðîâàíèå ýëåêòðîìàãíèòíûõ ïîëåé.
Ìîäåëü òðåõìåðíîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ ñòàòîðà... II
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2012. Ò. 34. ¹ 2 75
<<
/ASCII85EncodePages false
/AllowTransparency false
/AutoPositionEPSFiles true
/AutoRotatePages /None
/Binding /Left
/CalGrayProfile (Dot Gain 20%)
/CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CalCMYKProfile (U.S. Web Coated \050SWOP\051 v2)
/sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CannotEmbedFontPolicy /Error
/CompatibilityLevel 1.4
/CompressObjects /Tags
/CompressPages true
/ConvertImagesToIndexed true
/PassThroughJPEGImages true
/CreateJDFFile false
/CreateJobTicket false
/DefaultRenderingIntent /Default
/DetectBlends true
/DetectCurves 0.0000
/ColorConversionStrategy /CMYK
/DoThumbnails false
/EmbedAllFonts true
/EmbedOpenType false
/ParseICCProfilesInComments true
/EmbedJobOptions true
/DSCReportingLevel 0
/EmitDSCWarnings false
/EndPage -1
/ImageMemory 1048576
/LockDistillerParams false
/MaxSubsetPct 100
/Optimize true
/OPM 1
/ParseDSCComments true
/ParseDSCCommentsForDocInfo true
/PreserveCopyPage true
/PreserveDICMYKValues true
/PreserveEPSInfo true
/PreserveFlatness true
/PreserveHalftoneInfo false
/PreserveOPIComments true
/PreserveOverprintSettings true
/StartPage 1
/SubsetFonts true
/TransferFunctionInfo /Apply
/UCRandBGInfo /Preserve
/UsePrologue false
/ColorSettingsFile ()
/AlwaysEmbed [ true
]
/NeverEmbed [ true
]
/AntiAliasColorImages false
/CropColorImages true
/ColorImageMinResolution 300
/ColorImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleColorImages true
/ColorImageDownsampleType /Bicubic
/ColorImageResolution 300
/ColorImageDepth -1
/ColorImageMinDownsampleDepth 1
/ColorImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeColorImages true
/ColorImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterColorImages true
/ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG
/ColorACSImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/ColorImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/JPEG2000ColorACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/JPEG2000ColorImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/AntiAliasGrayImages false
/CropGrayImages true
/GrayImageMinResolution 300
/GrayImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleGrayImages true
/GrayImageDownsampleType /Bicubic
/GrayImageResolution 300
/GrayImageDepth -1
/GrayImageMinDownsampleDepth 2
/GrayImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeGrayImages true
/GrayImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterGrayImages true
/GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG
/GrayACSImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/GrayImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/JPEG2000GrayACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/JPEG2000GrayImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/AntiAliasMonoImages false
/CropMonoImages true
/MonoImageMinResolution 1200
/MonoImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleMonoImages true
/MonoImageDownsampleType /Bicubic
/MonoImageResolution 1200
/MonoImageDepth -1
/MonoImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeMonoImages true
/MonoImageFilter /CCITTFaxEncode
/MonoImageDict <<
/K -1
>>
/AllowPSXObjects false
/CheckCompliance [
/None
]
/PDFX1aCheck false
/PDFX3Check false
/PDFXCompliantPDFOnly false
/PDFXNoTrimBoxError true
/PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXSetBleedBoxToMediaBox true
/PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXOutputIntentProfile ()
/PDFXOutputConditionIdentifier ()
/PDFXOutputCondition ()
/PDFXRegistryName ()
/PDFXTrapped /False
/Description <<
/CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e9ad88d2891cf76845370524d53705237300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002>
/CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc9ad854c18cea76845370524d5370523786557406300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002>
/DAN <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>
/DEU <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>
/ESP <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>
/FRA <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>
/ITA <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>
/JPN <FEFF9ad854c18cea306a30d730ea30d730ec30b951fa529b7528002000410064006f0062006500200050004400460020658766f8306e4f5c6210306b4f7f75283057307e305930023053306e8a2d5b9a30674f5c62103055308c305f0020005000440046002030d530a130a430eb306f3001004100630072006f0062006100740020304a30883073002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee5964d3067958b304f30533068304c3067304d307e305930023053306e8a2d5b9a306b306f30d530a930f330c8306e57cb30818fbc307f304c5fc59808306730593002>
/KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020ace0d488c9c80020c2dcd5d80020c778c1c4c5d00020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e>
/NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken die zijn geoptimaliseerd voor prepress-afdrukken van hoge kwaliteit. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.)
/NOR <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>
/PTB <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>
/SUO <FEFF004b00e40079007400e40020006e00e40069007400e4002000610073006500740075006b007300690061002c0020006b0075006e0020006c0075006f00740020006c00e400680069006e006e00e4002000760061006100740069007600610061006e0020007000610069006e006100740075006b00730065006e002000760061006c006d0069007300740065006c00750074007900f6006800f6006e00200073006f00700069007600690061002000410064006f0062006500200050004400460020002d0064006f006b0075006d0065006e007400740065006a0061002e0020004c0075006f0064007500740020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e00740069007400200076006f0069006400610061006e0020006100760061007400610020004100630072006f0062006100740069006c006c00610020006a0061002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030003a006c006c00610020006a006100200075007500640065006d006d0069006c006c0061002e>
/SVE <FEFF0041006e007600e4006e00640020006400650020006800e4007200200069006e0073007400e4006c006c006e0069006e006700610072006e00610020006f006d002000640075002000760069006c006c00200073006b006100700061002000410064006f006200650020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e007400200073006f006d002000e400720020006c00e4006d0070006c0069006700610020006600f60072002000700072006500700072006500730073002d007500740073006b00720069006600740020006d006500640020006800f600670020006b00760061006c0069007400650074002e002000200053006b006100700061006400650020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e00740020006b0061006e002000f600700070006e00610073002000690020004100630072006f0062006100740020006f00630068002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020006f00630068002000730065006e006100720065002e>
/ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents best suited for high-quality prepress printing. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.)
>>
/Namespace [
(Adobe)
(Common)
(1.0)
]
/OtherNamespaces [
<<
/AsReaderSpreads false
/CropImagesToFrames true
/ErrorControl /WarnAndContinue
/FlattenerIgnoreSpreadOverrides false
/IncludeGuidesGrids false
/IncludeNonPrinting false
/IncludeSlug false
/Namespace [
(Adobe)
(InDesign)
(4.0)
]
/OmitPlacedBitmaps false
/OmitPlacedEPS false
/OmitPlacedPDF false
/SimulateOverprint /Legacy
>>
<<
/AddBleedMarks false
/AddColorBars false
/AddCropMarks false
/AddPageInfo false
/AddRegMarks false
/ConvertColors /ConvertToCMYK
/DestinationProfileName ()
/DestinationProfileSelector /DocumentCMYK
/Downsample16BitImages true
/FlattenerPreset <<
/PresetSelector /MediumResolution
>>
/FormElements false
/GenerateStructure false
/IncludeBookmarks false
/IncludeHyperlinks false
/IncludeInteractive false
/IncludeLayers false
/IncludeProfiles false
/MultimediaHandling /UseObjectSettings
/Namespace [
(Adobe)
(CreativeSuite)
(2.0)
]
/PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK
/PreserveEditing true
/UntaggedCMYKHandling /LeaveUntagged
/UntaggedRGBHandling /UseDocumentProfile
/UseDocumentBleed false
>>
]
>> setdistillerparams
<<
/HWResolution [2400 2400]
/PageSize [612.000 792.000]
>> setpagedevice
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-61819 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0204-3572 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-02T06:08:45Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Евдокимов, В.Ф. Кучаев, А.А. Петрушенко, Е.И. Кучаев, В.А. 2014-05-11T19:16:04Z 2014-05-11T19:16:04Z 2012 Модель трехмерного магнитного поля статора цилиндрического электромагнитного перемешивателя с учетом распределения токов намагниченности по поверхности магнитопровода. II / В.Ф. Евдокимов, А.А. Кучаев, Е.И. Петрушенко, В.А. Кучаев // Электронное моделирование. — 2012 — Т. 34, № 2. — С. 51-75. — Бібліогр.: 1 назв. — рос. 0204-3572 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/61819 519.711.3:631.382.2:669.174 В результате упрощения векторной системы интегральных уравнений (СИУ) для токов намагниченности (ТН) на поверхности магнитопровода электромагнитного перемешивателя (ЭМП) получена модель трехмерного магнитного поля цилиндрического ЭМП, в основе которой лежит скалярная СИУ. Неизвестными в ней являются проекции векторов плотности ТН, лежащих в касательной плоскости к поверхности магнитопровода. В результаті спрощення векторної системи інтегральних рівнянь (СІР) для струмів намагніченності (СН) на поверхні магнітопроводу електромагнітного перемішувача (ЕМП) отримано модель тривимірного магнітного поля циліндричного ЕМП, в основі якої лежить скалярна СІР. Невідомими в ній є проекції векторів щільності СН, що лежать в дотичній площині до поверхні магнітопроводу. A model of three-dimensional magnetic field of the cylindrical electomagnetic stirrer (EMS) based on the scalar system of integral equations (SIE) was obtained as a result of simplification of the vector SIE for magnetization current (MC) on the magnetic circuit surface of the EMS. This system unknowns are projections of density vectors MC which lie in the plane tangential to the magnetic circuit surface. ru Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України Электронное моделирование Применение методов и средств моделирования Модель трехмерного магнитного поля статора цилиндрического электромагнитного перемешивателя с учетом распределения токов намагниченности по поверхности магнитопровода. II Article published earlier |
| spellingShingle | Модель трехмерного магнитного поля статора цилиндрического электромагнитного перемешивателя с учетом распределения токов намагниченности по поверхности магнитопровода. II Евдокимов, В.Ф. Кучаев, А.А. Петрушенко, Е.И. Кучаев, В.А. Применение методов и средств моделирования |
| title | Модель трехмерного магнитного поля статора цилиндрического электромагнитного перемешивателя с учетом распределения токов намагниченности по поверхности магнитопровода. II |
| title_full | Модель трехмерного магнитного поля статора цилиндрического электромагнитного перемешивателя с учетом распределения токов намагниченности по поверхности магнитопровода. II |
| title_fullStr | Модель трехмерного магнитного поля статора цилиндрического электромагнитного перемешивателя с учетом распределения токов намагниченности по поверхности магнитопровода. II |
| title_full_unstemmed | Модель трехмерного магнитного поля статора цилиндрического электромагнитного перемешивателя с учетом распределения токов намагниченности по поверхности магнитопровода. II |
| title_short | Модель трехмерного магнитного поля статора цилиндрического электромагнитного перемешивателя с учетом распределения токов намагниченности по поверхности магнитопровода. II |
| title_sort | модель трехмерного магнитного поля статора цилиндрического электромагнитного перемешивателя с учетом распределения токов намагниченности по поверхности магнитопровода. ii |
| topic | Применение методов и средств моделирования |
| topic_facet | Применение методов и средств моделирования |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/61819 |
| work_keys_str_mv | AT evdokimovvf modelʹtrehmernogomagnitnogopolâstatoracilindričeskogoélektromagnitnogoperemešivatelâsučetomraspredeleniâtokovnamagničennostipopoverhnostimagnitoprovodaii AT kučaevaa modelʹtrehmernogomagnitnogopolâstatoracilindričeskogoélektromagnitnogoperemešivatelâsučetomraspredeleniâtokovnamagničennostipopoverhnostimagnitoprovodaii AT petrušenkoei modelʹtrehmernogomagnitnogopolâstatoracilindričeskogoélektromagnitnogoperemešivatelâsučetomraspredeleniâtokovnamagničennostipopoverhnostimagnitoprovodaii AT kučaevva modelʹtrehmernogomagnitnogopolâstatoracilindričeskogoélektromagnitnogoperemešivatelâsučetomraspredeleniâtokovnamagničennostipopoverhnostimagnitoprovodaii |