Иерархическая кластеризация нечетких данных
Рассмотрена кластеризация данных (построение бинарных деревьев-дендрограмм), представленных в виде нечетких переменных, моделируемых тензорами. Закодированная бинарным алфавитом дендрограмма представляет собой 2-адическое число, которое может быть использовано как ее характеристика. Сравнение иерарх...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Электронное моделирование |
|---|---|
| Дата: | 2012 |
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
2012
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/61833 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Иерархическая кластеризация нечетких данных / Ю.Н. Минаев, О.Ю. Филимонова, Ю.И. Минаева // Электронное моделирование. — 2012 — Т. 34, № 4. — С. 3-22. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859749821977460736 |
|---|---|
| author | Минаев, Ю.Н. Филимонова, О.Ю. Минаева, Ю.И. |
| author_facet | Минаев, Ю.Н. Филимонова, О.Ю. Минаева, Ю.И. |
| citation_txt | Иерархическая кластеризация нечетких данных / Ю.Н. Минаев, О.Ю. Филимонова, Ю.И. Минаева // Электронное моделирование. — 2012 — Т. 34, № 4. — С. 3-22. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Электронное моделирование |
| description | Рассмотрена кластеризация данных (построение бинарных деревьев-дендрограмм), представленных в виде нечетких переменных, моделируемых тензорами. Закодированная бинарным алфавитом дендрограмма представляет собой 2-адическое число, которое может быть использовано как ее характеристика. Сравнение иерархических кластеризаций нечетких данных и их дефадзификаций, выполненное на уровне 2-адических деревьев, позволяет сделать вывод о наличии (отсутствии) структурной близости объектов.
Розглянуто кластеризацію даних (побудову бінарних дерев-дендрограм), представлених у вигляді нечітких змінних, котрі моделюються тензорами. Закодована бінарним алфавітомдендрограма являє собою 2-адичне число, яке може бути використано як її характеристика. Порівняння ієрархічних кластеризацій нечітких даних та іхніх дефадзифікацій, виконане на рівні 2-адичних дерев, дозволяє зробити висновок про наявність (відсутність) структурної близькості об'єктів.
The questions of clusterization (construction of binary trees-dendrograms) of the data, presented in the form of fuzzy variables, which are in turn simulated by tensors, are considered. A dendrogram encoded by binary alphabet is a 2-adical number, which can be used as the dendrogram characteristic. A comparison of hierarchical clusterizations of fuzzy data and their defuzzifications, performed at the level of 2-adical trees, allows us to draw a conclusion on the presence (absence) of structure nearness of the objects.
|
| first_indexed | 2025-12-01T23:32:41Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.5:517.1:
Þ. Í. Ìèíàåâ, ä-ð òåõí. íàóê
Íàöèîíàëüíûé àâèàöèîííûé óíèâåðñèòåò
(Óêðàèíà, 03057, Êèåâ, ïð-ò êîñìîíàâòà Êîìàðîâà, 1,
òåë. (044) 4067752, å-mail: minaev@rambler.ru),
Î. Þ. Ôèëèìîíîâà, êàíä. òåõí. íàóê,
Þ. È. Ìèíàåâà, àñïèðàíòêà
Êèåâñêèé íàöèîíàëüíûé óíèâåðñèòåò ñòðîèòåëüñòâà è àðõèòåêòóðû
(Óêðàèíà, 03037, Êèåâ, Âîçäóõîôëîòñêèé ïð-ò, 31,
òåë. (044), 2486427, å-mail: filimonova @nm.ru;
(044) 2425462, å-mail: jumin @big-mir.net)
Èåðàðõè÷åñêàÿ êëàñòåðèçàöèÿ íå÷åòêèõ äàííûõ
Ðàññìîòðåíà êëàñòåðèçàöèÿ äàííûõ (ïîñòðîåíèå áèíàðíûõ äåðåâüåâ-äåíäðîãðàìì), ïðåä-
ñòàâëåííûõ â âèäå íå÷åòêèõ ïåðåìåííûõ, ìîäåëèðóåìûõ òåíçîðàìè. Çàêîäèðîâàííàÿ
áèíàðíûì àëôàâèòîì äåíäðîãðàììà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé 2-àäè÷åñêîå ÷èñëî, êîòîðîå ìî-
æåò áûòü èñïîëüçîâàíî êàê åå õàðàêòåðèñòèêà. Ñðàâíåíèå èåðàðõè÷åñêèõ êëàñòåðèçàöèé
íå÷åòêèõ äàííûõ è èõ äåôàäçèôèêàöèé, âûïîëíåííîå íà óðîâíå 2-àäè÷åñêèõ äåðåâüåâ,
ïîçâîëÿåò ñäåëàòü âûâîä î íàëè÷èè (îòñóòñòâèè) ñòðóêòóðíîé áëèçîñòè îáúåêòîâ.
Ðîçãëÿíóòî êëàñòåðèçàö³þ äàíèõ (ïîáóäîâó á³íàðíèõ äåðåâ-äåíäðîãðàì), ïðåäñòàâëåíèõ ó
âèãëÿä³ íå÷³òêèõ çì³ííèõ, êîòð³ ìîäåëþþòüñÿ òåíçîðàìè. Çàêîäîâàíà á³íàðíèì àëôàâ³òîì
äåíäðîãðàìà ÿâëÿº ñîáîþ 2-àäè÷íå ÷èñëî, ÿêå ìîæå áóòè âèêîðèñòàíî ÿê ¿¿ õàðàêòåðèñ-
òèêà. Ïîð³âíÿííÿ ³ºðàðõ³÷íèõ êëàñòåðèçàö³é íå÷³òêèõ äàíèõ òà ³õí³õ äåôàäçèô³êàö³é,
âèêîíàíå íà ð³âí³ 2-àäè÷íèõ äåðåâ, äîçâîëÿº çðîáèòè âèñíîâîê ïðî íàÿâí³ñòü (â³äñóòí³ñòü)
ñòðóêòóðíî¿ áëèçüêîñò³ îá�ºêò³â.
Ê ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à : íå÷åòêàÿ ïåðåìåííàÿ, äåíäðîãðàììà, êëàñòåð, òåíçîð, 2-àäè÷åñ-
êîå äåðåâî.
Ïðîáëåìà èåðàðõè÷åñêîé êëàñòåðèçàöèè (ÈÊ) â ïîñëåäíåå âðåìÿ ïðèîáðå-
ëà îñîáóþ àêòóàëüíîñòü â ñâÿçè ñ èçâëå÷åíèåì çíàíèé èç äàííûõ. Ïðè ýòîì
öåëè êëàñòåðèçàöèè ìîãóò áûòü ðàçëè÷íûìè â çàâèñèìîñòè îò êîíêðåòíîé
ïðèêëàäíîé çàäà÷è [1]. Ñóùåñòâóåò áîëüøîé êëàññ àëãîðèòìîâ ÈÊ, êîòî-
ðûå îáåñïå÷èâàþò ðåàëèçàöèþ çàäà÷è îáó÷åíèÿ áåç ó÷èòåëÿ.  îáùåì
ñëó÷àå àëãîðèòì êëàñòåðèçàöèè — ýòî ôóíêöèÿ f X Y: � , êîòîðàÿ ëþáîìó
îáúåêòó x X� ñòàâèò â ñîîòâåòñòâèå ìåòêó êëàñòåðà y Y� . Çàäà÷à îïðåäå-
ëåíèÿ îïòèìàëüíîãî ÷èñëà êëàñòåðîâ îòíîñèòåëüíî ïðèíÿòîãî êðèòåðèÿ
êà÷åñòâà êëàñòåðèçàöèè äî íàñòîÿùåãî âðåìåíè ÿâëÿåòñÿ àêòóàëüíîé è
ñëîæíîé.
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2012. Ò. 34. ¹ 4 3
ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÅ
ÌÅÒÎÄÛ È ÌÎÄÅËÈ
 ðàáîòàõ [2—4] ïîêàçàíî, ÷òî ðåøåíèå çàäà÷è êëàñòåðèçàöèè ïðèíöè-
ïèàëüíî íåîäíîçíà÷íî. Àëãîðèòìû ÈÊ â ïîäàâëÿþùåì áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ
ðàáîòàþò ïî òàê íàçûâàåìîìó àãëîìåðàòèâíîìó (îáúåäèíèòåëüíîìó) ïðèí-
öèïó, ñîãëàñíî êîòîðîìó íà ïåðâîì ýòàïå îòäåëüíûé îáúåêò ñ÷èòàåòñÿ îò-
äåëüíûì êëàñòåðîì, ÷òî ïîçâîëÿåò äëÿ îäíîýëåìåíòíûõ êëàñòåðîâ îïðåäå-
ëèòü ôóíêöèþ ðàññòîÿíèÿ åñòåñòâåííûì îáðàçîì: R x x x x({ }, { }) ( , )� � �� .
Ïîñëåäóþùèå øàãè ðåàëèçóþò ïðîöåññ ñëèÿíèé: íà êàæäîé èòåðàöèè
âìåñòî ïàðû ñàìûõ áëèçêèõ (äàëåêèõ) êëàñòåðîâ U è V îáðàçóåòñÿ íîâûé
êëàñòåð W U V� � . Ðàññòîÿíèå îò íîâîãî êëàñòåðà W äî ëþáîãî äðóãîãî
êëàñòåðà S âû÷èñëÿåòñÿ íà îñíîâàíèè ðàíåå îïðåäåëåííûõ ðàññòîÿíèé
R U V( , ), R U S( , ) è R V S( , ) [3].
Íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííûå ìåòîäû îïðåäåëåíèÿ ðàññòîÿíèé ìåæäó
îáúåêòàìè — ìåòîä åäèíñòâåííîé ñâÿçè (ÅÑ), d dAB
i A j B
ij
�
� �
min ( )
,
, è ìåòîä
ïîëíîé ñâÿçè (ÏÑ), d dAB
i A j B
ij
�
� �
max ( )
,
, ãäå d — ôóíêöèÿ ðàññòîÿíèÿ. Çàìåòèì,
÷òî ðàññòîÿíèå d AB îáëàäàåò ñâîéñòâàìè óëüòðàìåòðè÷åñêîãî ðàññòîÿíèÿ, ò.å.
âñå ðàññòîÿíèÿ âíóòðè êëàñòåðîâ ìåíüøå ðàññòîÿíèé ìåæäó íèìè.
Îñíîâíàÿ öåëü êëàñòåðíîãî àíàëèçà (ÊÀ) [2—4] ñîñòîèò â âûäåëåíèè
ãðóïï îäíîðîäíûõ ïîäìíîæåñòâ â èñõîäíûõ ìíîãîìåðíûõ äàííûõ. Îáúåêòû
âíóòðè ýòèõ ãðóïï ñõîæè (â èçâåñòíîì ñìûñëå) ìåæäó ñîáîé, à îáúåêòû èç
ðàçíûõ ãðóïï — íå ïîõîæè. Ïîä ïîõîæåñòüþ ïîíèìàåòñÿ áëèçîñòü îáúåê-
òîâ â ìíîãîìåðíîì ïðîñòðàíñòâå ïðèçíàêîâ. Êëàñòåðíûé àíàëèç ñîâìåñò-
íî ñ âèçóàëèçàöèåé äàííûõ â âèäå áèíàðíîãî äåðåâà ñîñòàâëÿåò îñíîâó
ñòðóêòóðíîãî ïîäõîäà ê ïðåäñòàâëåíèþ è àíàëèçó äàííûõ è îáåñïå÷èâàåò,
ãëàâíûì îáðàçîì, ïîëó÷åíèå íîâûõ çíàíèé î ïðèðîäå ïðåäñòàâëåííîãî
ìíîæåñòâà äàííûõ, â ÷àñòíîñòè, íà îñíîâàíèè èõ ñòðóêòóðû. Ïðè ýòîì
âîçíèêàåò íîâàÿ çàäà÷à — îòûñêàòü â èñõîäíîì ìíîæåñòâå îáúåêòîâ òàêîå
ïîäìíîæåñòâî (ñóùåñòâåííî ìåíüøåé ðàçìåðíîñòè), êîòîðîå ñòðóêòóðíî
íàèáîëåå áëèçêî ê èñõîäíîìó, èëè îïðåäåëèòü, íàñêîëüêî ñîîòâåòñòâóåò
ïðåäñòàâëåííîå ïîäìíîæåñòâî îáúåêòîâ (ìåíüøåé ðàçìåðíîñòè) ñòðóêòó-
ðå èñõîäíîãî ìíîæåñòâà, õîòÿ ïîíÿòèå íàèáîëüøàÿ áëèçîñòü ìîæåò èìåòü
íåîäíîçíà÷íóþ òðàêòîâêó.
Ñîâðåìåííîå ñîñòîÿíèå ïðîáëåìû. Â ñîâðåìåííûõ óñëîâèÿõ ñôåðà
ïðèìåíåíèÿ ÊÀ ðàñøèðèëàñü, òàê êàê áèíàðíûå äåðåâüÿ (äåíäðîãðàììû) —
ðåçóëüòàò èåðàðõè÷åñêîãî ÊÀ (ÈÊÀ) — ñòàëè ðàññìàòðèâàòü íà óðîâíå
ð-àäè÷åñêèõ (2-àäè÷åñêèõ) ÷èñåë ñ ïðèìåíåíèåì óëüòðàìåòðèêè.  íàñòîÿ-
ùåå âðåìÿ ÈÊÀ ïðèìåíÿåòñÿ äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ àíàëèçà íå÷åòêèõ äàííûõ
(ÍÄ), êîòîðûå ìîãóò áûòü ïðåäñòàâëåíû â âèäå íå÷åòêèõ ìíîæåñòâ (ÍÌ),
èíòåðâàëà èëè íåêîòîðîé ñîâîêóïíîñòè äàííûõ (÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëü-
íîñòü). Ïðîáëåìå ðåøåíèÿ çàäà÷ ÊÀ ïîñâÿùåíî áîëüøîå ÷èñëî ðàáîò,
Þ. Í. Ìèíàåâ, Î. Þ. Ôèëèìîíîâà, Þ. È. Ìèíàåâà
4 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2012. V. 34. ¹ 4
îäíàêî îñíîâíàÿ ïðîáëåìà — îïðåäåëåíèå êëàñòåðèçàöèè, êîòîðàÿ â íàè-
áîëüøåé ñòåïåíè óäîâëåòâîðÿåò åñòåñòâåííîé ñòðóêòóðå, äî íàñòîÿùåãî
âðåìåíè íå ðåøåíà.
Åñëè ó÷åñòü, ÷òî äàæå â ñëó÷àå ÷åòêèõ äàííûõ ðåçóëüòàòû êëàñòåðè-
çàöèè îäíîé è òîé æå âûáîðêè ïðè èñïîëüçîâàíèè ðàçëè÷íûõ ìåòîäîâ è
àëãîðèòìîâ ìîãóò èìåòü íå ïðîñòî ñóùåñòâåííûå ðàçëè÷èÿ, íî ïðèíöè-
ïèàëüíî ìåíÿòü èíôîðìàöèþ îá îáúåêòå, òî ìîæíî ïðåäïîëîæèòü, êàêèå
òðóäíîñòè îæèäàþò ïðè êëàñòåðèçàöèè ÍÄ. Ïðè âûáîðå ìåòîäà êëàñòåðè-
çàöèè ÍÄ íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü, ÷òî ðåçóëüòàò êëàñòåðèçàöèè ñóùåñò-
âåííî çàâèñèò îò ñëåäóþùèõ ôàêòîðîâ: âûáîðà ñèñòåìû ïðèçíàêîâ; îïðå-
äåëåíèÿ ìåðû áëèçîñòè îáúåêòîâ; îïðåäåëåíèÿ ñïîñîáà ôîðìàëèçàöèè
ïðåäñòàâëåíèé îá ýêâèâàëåíòíîñòè îáúåêòîâ, ñîñòàâëÿþùèõ îòäåëüíûé
êëàñòåð, è äð.
 ðàáîòå [2] ïîêàçàíî, ÷òî íåäîñòàòêè àëãîðèòìîâ êëàñòåðèçàöèè,
ïðèâîäÿùèå ê ñóùåñòâåííîìó íåñîâïàäåíèþ ðåçóëüòàòîâ èëè íåñîîòâåòñò-
âèþ èõ îáúåêòèâíî ñóùåñòâóþùèì ñòðóêòóðàì, ìîãóò áûòü ïðåîäîëåíû
ïîñðåäñòâîì ôîðìèðîâàíèÿ íà îñíîâàíèè ïîëó÷åííûõ îòäåëüíûõ ðåøå-
íèé íîâîãî ðåøåíèÿ, íàèáîëåå ñîãëàñîâàííîãî ñ ïîëó÷åííûìè ðàíåå, è
àíàëèçà îöåíîê ýòîãî ñîãëàñîâàííîãî ðåøåíèÿ è îòäåëüíûõ ðåøåíèé.
Äëÿ îïèñàíèÿ ðàçëè÷íûõ çàäà÷ êëàñòåðèçàöèè (êëàññèôèêàöèè) [4]
ðàöèîíàëüíûì ÿâëÿåòñÿ èñïîëüçîâàíèå òåîðèè áèíàðíûõ îòíîøåíèé, ýô-
ôåêòèâíîé â óñëîâèÿõ íåïîëíîé èíôîðìàöèè. Êàæäîìó îòíîøåíèþ ñîïî-
ñòàâëÿþò êâàäðàòíóþ ìàòðèöó «îáúåêò-îáúåêò», ýëåìåíòû êîòîðîé ïðèíè-
ìàþò çíà÷åíèÿ rij �[ , ]0 1 . Ïðåäëîæåíî ìíîæåñòâî ñïîñîáîâ èçìåðåíèÿ áëè-
çîñòè ìåæäó îòíîøåíèÿìè (ìåæäó îòðàæàþùèìè èõ ìàòðèöàìè), ïðè
ýòîì ÷àñòî ïðåäëàãàåìûå âåëè÷èíû îïðåäåëÿþòñÿ àêñèîìàòè÷åñêè.
Èçâåñòíî, ÷òî ðàññòîÿíèå (ìåòðèêà) ìåæäó îáúåêòàìè â ïðîñòðàíñòâå
ïàðàìåòðîâ dab åñòü âåëè÷èíà, óäîâëåòâîðÿþùàÿ ñëåäóþùèì àêñèîìàì:
A1. dab �0, daa �0 ;
À2. d dab ba� ;
A3. d d dab bc ac� (íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà).
Ìåðîé áëèçîñòè (ñõîäñòâà) íàçûâàåòñÿ âåëè÷èíà
ab, èìåþùàÿ ïðåäåë
è âîçðàñòàþùàÿ ñ âîçðàñòàíèåì áëèçîñòè îáúåêòîâ. Îäíî èç îïðåäåëåíèé
áëèçîñòè îñíîâàíî íà ñèñòåìå àêñèîì [5]:
Â1. vab — íåïðåðûâíà, ò.å. ìàëîìó èçìåíåíèþ ïîëîæåíèÿ òî÷åê â
ïðîñòðàíñòâå ñîîòâåòñòâóåò ìàëîå èçìåíåíèå ìåðû;
Â2. v vab ba� �
Â3. 0 1� �vab , v a bab �
�1 .
Óñëîâèå A3 íå ÿâëÿåòñÿ êîíñòðóêòèâíûì. Îíî ïî÷òè íèêîãäà íå ó÷è-
òûâàåòñÿ â ðàñ÷åòàõ, òàê êàê ïðèãîäíû èçìåðèòåëè áëèçîñòè, íå óäîâëåò-
Èåðàðõè÷åñêàÿ êëàñòåðèçàöèÿ íå÷åòêèõ äàííûõ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2012. Ò. 34. ¹ 4 5
âîðÿþùèå íåðàâåíñòâó òðåóãîëüíèêà, â ÷àñòíîñòè, â òàê íàçûâàåìîì
óëüòðàìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå ñïðàâåäëèâî óñèëåííîå íåðàâåíñòâî
òðåóãîëüíèêà max ( , )d d dab bc ac . Ñóùåñòâóåò âîçìîæíîñòü ïåðåõîäà îò
ðàññòîÿíèé ê ìåðàì áëèçîñòè, â ÷àñòíîñòè, ïîñðåäñòâîì ïðåîáðàçîâàíèÿ
v d� �1 1/ ( ).
Ïðèâåäåííûå âûøå äàííûå ñâÿçàíû ñ âîçìîæíîñòüþ êîíñòðóèðîâà-
íèÿ òàêîãî ïîêàçàòåëÿ áëèçîñòè ìåæäó îáúåêòàìè, êîòîðûé íå çàâèñåë áû
îò ñïîñîáà èçìåðåíèÿ ïåðåìåííûõ. Ïðèìåíåíèå òàêîãî ïîêàçàòåëÿ áóäåò
äàâàòü îäèíàêîâûå ðåçóëüòàòû ïðè ëþáûõ äîïóñòèìûõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ.
 ðåçóëüòàòå èññëåäîâàíèé [4] ïîëó÷åíû íåêîíñòðóêòèâíûå âûâîäû îò-
íîñèòåëüíî òåîðåòè÷åñêîé è ïðàêòè÷åñêîé öåííîñòè ðàçëè÷íûõ ìåòðèê:
ðåçóëüòàòû ðàáîòû àëãîðèòìîâ êëàññèôèêàöèè ìîãóò íåïðåäñêàçóåìî ìå-
íÿòüñÿ â çàâèñèìîñòè îò âûáîðà ñïîñîáà èçìåðåíèÿ ïîêàçàòåëåé. Êîíê-
ðåòíûå îñîáåííîñòè ìåð áëèçîñòè è ðåêîìåíäàöèè ïî èõ ïðèìåíåíèþ äëÿ
÷åòêèõ äàííûõ ðàññìîòðåíû â [4].
Àïïðîêñèìàöèîííûé ïîäõîä â ÊÀ. Âñå ôóíêöèîíàëû êà÷åñòâà êëàñ-
ñèôèêàöèè îðèåíòèðîâàíû íà ðåøåíèå ñëåäóþùåé çàäà÷è: äàòü â ÿâíîì
âèäå ïðåäñòàâëåíèå î õîðîøåé â öåëîì êëàññèôèêàöèè. Â ðàáîòå [4]
ïîêàçàíî, ÷òî òàêèõ ïðåäñòàâëåíèé ñóùåñòâóåò äîñòàòî÷íî ìíîãî, íî
èìåþòñÿ íåêîòîðûå ñîîáðàæåíèÿ óíèâåðñàëüíîãî õàðàêòåðà, ó÷èòûâàþ-
ùèå ñàìûå îáùèå ÷åðòû êëàññèôèêàöèè. Åñëè îáîçíà÷èòü èñêîìîå îòíî-
øåíèå ïðîèçâîëüíîãî òèïà ÷åðåç Y, èñõîäíûå äàííûå ÷åðåç X, à îïåðàòîð
ïåðåõîäà îò X è Y ÷åðåç Ð (íå êîíêðåòèçèðóÿ âèä ýòèõ êîíñòðóêöèé), òî
ïîëó÷èì ôóíêöèîíàë, ïîçâîëÿþùèé ìàêñèìàëüíî ïðèáëèçèòü ðåçóëüòè-
ðóþùåå îòíîøåíèå ê èìåþùèìñÿ äàííûì: ||Y – XP|| � min, ãäå || || —
êàêàÿ-ëèáî íîðìà. Çàäà÷è òàêîãî òèïà — àïïðîêñèìàöèÿ «ïëîõî óñòðîåí-
íîãî» ìíîæåñòâà X «õîðîøî óñòðîåííîé ñòðóêòóðîé» Y — èçâåñòíû â
ìàòåìàòèêå è èìåþò ìíîæåñòâî ïðèëîæåíèé [5].
Áàçîâûå íîòàöèè êëàññè÷åñêîé êëàñòåðèçàöèè ïðèìåíèòåëüíî ê
óñëîâèÿì íåîïðåäåëåííîñòè, ìîäåëèðóåìîé íà óðîâíå òåîðèè ÍÌ (ÒÍÌ),
èìåþò îñîáåííîñòè [6].  ÷àñòíîñòè, d ïðèíèìàþò ðàâíûì ëþáîé ìåòðèêå
â R
m. Ïîíÿòèå ðàññòîÿíèÿ ñîñòàâëÿåò îáúåêò ìíîãèõ èññëåäîâàíèé. Â ÒÍÌ
èñïîëüçóþòñÿ äâà îïðåäåëåíèÿ ðàññòîÿíèÿ [7] äëÿ ÍÌ
~
A,
~
B ñ ôóíêöèÿìè
ïðèíàäëåæíîñòè (ÔÏ) � ~( )
A ix , � ~( ) [ , ]
B ix � 0 1 :
1) îáîáùåííîå ðàññòîÿíèå Õåììèìíãà (ëèíåéíîå) —
d A B(
~
,
~
) � �
�
�� �~ ~( ) ( )
A i B i
i
n
x x
1
;
2) åâêëèäîâî (êâàäðàòè÷íîå) ðàññòîÿíèå —
e A B x
A i
i
n
(
~
,
~
) ( ( )~� �
�
�
��
�
� �
1
� ~
/
( ))
B ix 2
1 2
�
�
� .
Þ. Í. Ìèíàåâ, Î. Þ. Ôèëèìîíîâà, Þ. È. Ìèíàåâà
6 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2012. V. 34. ¹ 4
Ïðè ýòîì d A B(
~
,
~
) è e A B(
~
,
~
) — ÷åòêèå âåëè÷èíû, à ÍÌ
~
,
~
A B çàäàíû íà
îäíîì óíèâåðñàëüíîì ìíîæåñòâå (ÓÌ).
 ðàáîòå [8] óïîìÿíóòî î òîì, ÷òî æåëàòåëüíûå ñâîéñòâà àëãîðèòìîâ
êëàñòåðèçàöèè èñõîäÿò îò ïðàêòèêîâ, ó êîòîðûõ ïîíÿòèå «õîðîøàÿ êëàñ-
òåðèçàöèÿ» îñíîâàíî íà âèçóàëüíîé îöåíêå è ÿâëÿåòñÿ èíòóèòèâíûì. Îä-
íàêî ýòî íåëüçÿ ïðèçíàòü óäîâëåòâîðèòåëüíûì, òàê êàê íåîáõîäèìî òåîðå-
òè÷åñêîå ïîíèìàíèå òîãî, ÷òî äîëæíî áûòü ðàçðàáîòàíî. Äîêàçàíà òåîðå-
ìà [8] îá ýêâèâàëåíòíîñòè ìåæäó óëüòðàìåòðèêîé è äåíäðîãðàììîé, â
êîòîðîé äåíäðîãðàììà ïðåäñòàâëåíà êàê óëüòðàìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñò-
âî. Ëþáîé ìåòîä ÈÊ ìîæåò áûòü ðàññìîòðåí êàê îòîáðàæåíèå ôèíèòíîãî
ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà (ÌÏ) â ôèíèòíîå óëüòðàìåòðè÷åñêîå ïðîñò-
ðàíñòâî. Â ñîîòâåòñòâèè ñ [9, 10], åñëè (X, dX) è (Y, dY) — äâà ôèíèòíûõ
ÌÏ ñ ìåòðèêàìè d X è dY , à ( , )X u X è( , )Y uY — äâà ôèíèòíûõ ìåòðè÷åñêèõ
óëüòðàìåòðè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâà ñ ìåòðèêàìè u X è uY , ñîîòâåòñòâóþùè-
ìè âûõîäàì, ïîðîæäåííûì ÈÊ ïî ìåòîäó ÅÑ, òî d X uGH X(( , )( , ))Y uY �
� d X u Y dGH X Y(( , )( , )), ãäå dGH ( ) — ðàññòîÿíèå Ãðîìîâà— Õàóñäîðôà.
 ðàáîòàõ [8, 9] ðàññìîòðåíà ñõîäèìîñòü äåíäðîãðàìì (ðèñ. 1). Ýòî ïî-
íÿòèå ôîðìàëèçîâàíî ïîñðåäñòâîì ýêâèâàëåíòíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ äåíä-
ðîãðàìì êàê óëüòðàìåòðèêè è ïîñëåäóþùèì îïðåäåëåíèåì GH-ðàññòîÿ-
íèÿ, êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ ìåòðèêîé íà óëüòðàìåòðè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâàõ,
îäèíàêîâî ýôôåêòèâíî ðàáîòàþùåé â ðàçëè÷íûõ êëàñòåðèçàöèîííûõ êîíñò-
ðóêöèÿõ. Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî ñõîäèìîñòü äåíäðîãðàìì îçíà÷àåò ñóùåñò-
âîâàíèå ýêâèâàëåíòíîñòè ìåæäó ðàçäåëåíèåì n îáúåêòîâ {O1, ..., On) íà n è
m êëàñòåðîâ, ïðè ýòîì n >> m.
Íåóñòîé÷èâîñòü ìåòîäà êëàñòåðèçàöèè ÏÑ (Complete Linkage (CL)) ïî
îòíîøåíèþ ê ìàëûì âîçìóùåíèÿì â ìåòðèêå ïîêàçàíà íà ðèñ. 2, ãäå
ïðåäñòàâëåíû äâà ïîäîáíûõ ÌÏ. Äëÿ êàæäîãî èç íèõ ñïðàâà ïðèâåäåíà
CL-äåíäðîãðàììà. Íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî � äîñòàòî÷íî ìàëî (� �0), âûõîäû
äåíäðîãðàììû — ðàçëè÷íû. Òåîðåìà 28, äîêàçàííàÿ â [9], îáúÿñíÿåò ñóòü
ñõîäèìîñòè äåíäðîãðàìì.
Èåðàðõè÷åñêàÿ êëàñòåðèçàöèÿ íå÷åòêèõ äàííûõ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2012. Ò. 34. ¹ 4 7
Ðèñ. 1. Ñõîäèìîñòü äåíäðîãðàìì
Óñòîé÷èâîñòü — âàæíîå ñâîéñòâî ìåòîäîâ êëàñòåðèçàöèè, â ÷àñòíîñ-
òè ÍÄ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ðåçóëüòàò âëèÿíèÿ âîçìóùåíèé. Â ðåçóëü-
òàòå èññëåäîâàíèé óñòàíîâëåíî, ÷òî ìåòîäû ñðåäíåé è ïîëíîé ñâÿçè êëàñ-
òåðèçàöèè íåóñòîé÷èâû (â ìåòðè÷åñêîì ñìûñëå), à ìåòîä ÅÑ îòëè÷àåòñÿ
îïðåäåëåííîé ñòàáèëüíîñòüþ.
Äëÿ îïèñàíèÿ ðàçëè÷íûõ çàäà÷ êëàñòåðèçàöèè öåëåñîîáðàçíî èñïîëü-
çîâàíèå òåîðèè áèíàðíûõ îòíîøåíèé. Â ðàáîòå [11] ïðåäëîæåí àëãîðèòì
êëàñòåðèçàöèè, ïîçâîëÿþùèé âûïîëíèòü ðàçäåëåíèå äåðåâüåâ ñ ðàçëè÷-
íûìè óðîâíÿìè è êëàñòåðàìè ñîãëàñíî ðàçëè÷íûì êîìïîçèöèÿì ti-íîðì.
Ïîëó÷åíî òðè îöåíêè âûïîëíåíèÿ ñòðóêòóðû ñ èñïîëüçîâàíèåì êîìïî-
çèöèé t-íîðì. Ìåòîäû, èñïîëüçóåìûå â êëàñòåðíîì àíàëèçå, îñíîâàííîì
íà íå÷åòêèõ îòíîøåíèÿõ (ÍÎ), ìîæíî ðàçäåëèòü íà äâå êàòåãîðèè:
1 — èñïîëüçîâàíèå îáúåêòíîé ôóíêöèè, îïðåäåëåííîé êàê ðàññòîÿíèå;
2 — èñïîëüçîâàíèå ÍÎ, êîòîðûå áîëåå ïðîñòû â èñïîëüçîâàíèè, âñëåäñò-
âèå ÷åãî òðåáóåòñÿ ìàòðèöà îòíîøåíèé ìíîæåñòâà äàííûõ (ÌÄ). Âåëè÷è-
íû íå÷åòêèõ ïåðåìåííûõ (ÍÏ) ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ ïðåäñòàâëåíèÿ
ñõîäñòâà ìåæäó äâóìÿ îáúåêòàìè.
×åòêîå áèíàðíîå îòíîøåíèå R ìåæäó äâóìÿ ìíîæåñòâàìè, X è Y, îï-
ðåäåëåíî êàê ïîäìíîæåñòâî X � Y. Ýòî îòíîøåíèå R(X, Y ) ñâÿçûâàåòñÿ ñ
ôóíêöèåé-èíäèêàòîðîì u x yR ( , ), ïðèíàäëåæàùåé {0, 1} äëÿ âñåõ (x, y) â X �
Y; u x yR ( , ) �1, åñëè (x, y)�R (X, Y ), è u x yR ( , ) �0, åñëè (x, y)�R (X, Y). Â [11]
ÍÎ R ìåæäó X è Y îïðåäåëåíî êàê ÍÏ X � Y, à t-íîðìà — êàê îáùàÿ ôîðìà
íå÷åòêîãî ïåðåñå÷åíèÿ, ãäå îíà ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíà â êà÷åñòâå êîì-
ïîçèöèè ëþáûõ äâóõ ÍÎ. Äëÿ ñîçäàíèÿ èåðàðõè÷åñêèõ ñòðóêòóð ïðåä-
ñòàâëåíèÿ îöåíêè äâóõ ÍÎ íåîáõîäèìî îïðåäåëèòü maxt-êîìïîçèöèþ, íà-
ïðèìåð maxt-êîìïîçèöèÿ äëÿ ÍÎ R1 è R2 îïðåäåëåíà â âèäå
� � �R R
y X
R Rx y t x y y z
1 2 1 2� ( , ) max{ ( ( , ), ( , ))}�
�
, � �x z X, ,
Þ. Í. Ìèíàåâ, Î. Þ. Ôèëèìîíîâà, Þ. È. Ìèíàåâà
8 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2012. V. 34. ¹ 4
1 1
p1
p1
p2
p2
p3
p3
1
1 1 e�
p1
p1
p2
p2
p3
p3
1 2 e�
Ðèñ. 2. Ïðèìåð íåóñòîé÷èâîñòè CL-êëàñòåðèçàöèè ïî îòíîøåíèþ ê âîçìóùåíèÿì â ìåò-
ðèêå [8]
ãäå R R1 2� — êîìïîçèöèÿ äâóõ îòíîøåíèé, R1 è R2, íà X X� . Ðàçëè÷íûå
êîìïîçèöèè ti-íîðì èìåþò ñëåäóþùèé âèä:
t x y
x y x y
� ( , )
min{ , }, max{ , } ,
,
�
��
�
�
åñëè
åñëè èíà å;
1
0
t x y x y1 0 1( , ) max{ , }� � � ; t x y xy x y xy1 5 2. ( , ) / ( ( ))� � � � ;
t x y xy2( , ) � ; t x y xy x y xy2 5. ( , ) / ( )� � � ;
t x y x y3( , ) min{ , }� .
Ñõåìû âûâîäà (ðåçîëþöèîííûå) äëÿ íå÷åòêèõ ïåðåñå÷åíèé ðàçëè÷íû,
ïîðÿäîê ïðèâåäåííûõ t-íîðì ìîæåò áûòü òàêèì: t t t t t t� � � � � �1 1 5 2 2 5 3. . .
Ðàçëè÷íûå maxt-êîìïîçèöèè ñ ðàçëè÷íûìè t-íîðìàìè, î÷åâèäíî, ïîðîæ-
äàþò ðàçëè÷íûå ðåçóëüòàòû íå÷åòêèõ êîìïîçèöèé.  ðàáîòå [11] ïîêàçàíî,
êàê ìàòðèöà ÍÎ R ìîæåò áûòü äåêîìïîçèðîâàíà â ðåçîëþöèîííóþ ôîðìó
ñ èñïîëüçîâàíèåì �-ñðåçîâ (0 � � < 1). Íå÷åòêîå îòíîøåíèå R íà X Y�
ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â âèäå
R R R R Rm m
� � � � ��
�
� � � �� � � �
1 2 2
... , 0 11 2� � � � �� � �... m .
Èñïîëüçóÿ äåêîìïîçèðîâàííóþ ðåçîëþöèîííóþ ôîðìó, ñîîòâåòñò-
âóþùóþ ñòðóêòóðó ìîæíî ïîëó÷èòü èç ìàòðèöû ÍÎ R. Íàïðèìåð, ìàòðè-
öà îòíîøåíèÿ ïîäîáèÿ max t3 èç ðàáîòû [11] ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â
ñëåäóþùåé ðåçîëþöèîííîé ôîðìå:
R �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1
07 1
05 05 1
05 05 09 1
05 05 05 05 1
.
. .
. . .
. . . .
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�01
1
0 1
0 0 1
0 0 0 1
0 0 0 0 1
09
1
0 1
0 0 1
0 0
. .
0 1
0 0 0 0 1
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�07
1
1 1
0 0 1
0 0 1 1
0 0 0 0 1
05
1
1 1
1 1 1
1 1 1 1
1
. .
1 1 1 1
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
,
ãäå [ ] — ìàòðèöà ÷åòêîãî îòíîøåíèÿ, áëèæàéøåãî ê íå÷åòêîìó.
Îòäåëüíóþ ãðóïïó àëãîðèòìîâ ÈÊ ÍÄ ñîñòàâëÿþò àëãîðèòìû, â êîòî-
ðûõ èñïîëüçîâàíî ðàññòîÿíèå ìåæäó ÍÄ (êàê ïðàâèëî, ÍÏ), îñíîâàííîå íà
ìåòîäîëîãèè ãåîìåòðè÷åñêèõ âèçóàëüíûõ ïðåäñòàâëåíèé äàííûõ, òàê íà-
Èåðàðõè÷åñêàÿ êëàñòåðèçàöèÿ íå÷åòêèõ äàííûõ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2012. Ò. 34. ¹ 4 9
÷
çûâàåìàÿ ïàðàìåòðèçàöèÿ, ïðè ýòîì âûïîëíåíèå âñåõ àêñèîì ðàññòîÿíèÿ
íå ãàðàíòèðóåòñÿ.  ðàáîòå [12] ïðåäëîæåí àëãîðèòì, ïðàêòè÷åñêè îáîá-
ùàþùèé ïîäîáíóþ ìåòîäîëîãèþ ðåøåíèÿ çàäà÷ êëàñòåðèçàöèè ÍÄ.
Ñèììåòðè÷íûå òðàïåöèåâèäíûå ÍÏ (÷èñëà) ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ. 3, 4
[12]. Ïàðàìåòðèçàöèÿ òðàïåöèåâèäíîãî íå÷åòêîãî ÷èñëà (Í×)
~
A èìååò âèä
~
( , , , )A m a a a a� 1 2 3 4 , ãäå a a a1 2 3, , è a4 — öåíòð, âíóòðåííèé äèàìåòð, ëåâûé
è ïðàâûé âíåøíèå ðàäèóñû. Èç ðèñ. 4 âèäíî, ÷òî ÷åòûðå òèïà ÍÄ ìîæíî
ïðåäñòàâèòü åäèíîîáðàçíî. Ñîãëàñíî ïðåäñòàâëåíèþ:
~
[ , , , ]A a� 1 0 0 0 ,
~
B � [ , , , ]b b b b1 2 3 4 ,
~
[ , , , ]C c c� 1 2 0 0 ,
~
[ , , , )D d d d� 1 3 40 .
Ïóñòü
~
( , , , )A m a a a a� 1 2 3 4 , è
~
( , , , )B m b b b b� 1 2 3 4 — äâà ÍÄ. Ðàçëè÷èå
ìåæäó íèìè îïðåäåëÿåòñÿ êàê d A B a b a b a bh
2
1 1
2
2 2
2
3 3
2(
~
,
~
) ( ) ( ) ( )� � � � � � �
� �( )a b4 4
2.
Íà îñíîâàíèè ââåäåííîé ìåðû ðàçëè÷èÿ â [12] ïðåäëîæåí àëãîðèòì
êëàñòåðèçàöèè ÍÄ, ïðèâåäåííûõ íà ðèñ. 5, ãäå ÍÄ ïåðåôîðìóëèðîâàíû â
ñîîòâåòñòâèè ñ ïðåäëîæåííîé ìåòðèêîé:
~
A � [2.5; 2; 0.5; 1],
~
B = [2.5; 0; 1; 1],
~
C = [7; 1; 0.5; 1],
~
D = [8; 0; 1; 1],
~
E = [8.5; 0; 0.5; 0.5],
~
F = [4.5; 0; 1; 1] .
Þ. Í. Ìèíàåâ, Î. Þ. Ôèëèìîíîâà, Þ. È. Ìèíàåâà
10 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2012. V. 34. ¹ 4
a1
a2
a4
a3
Ðèñ. 3. Ïàðàìåòðèçàöèÿ òðàïåöèåâèäíîãî ÍÄ
Ðèñ. 4. Òèïû ïàðàìåòðèçîâàííûõ ÍÄ
Äåíäðîãðàììà äëÿ îáúåêòîâ, ïîëó÷åííàÿ â [12] íà îñíîâàíèè ìàòðèöû
ðàññòîÿíèé ìåæäó ÍÄ (d A Bf ( , ) ,�189, d A Cf ( , ) ,�9 05),
A B C D E F
A
B
C
0 189 905 114 1206 431
0 917 1100 1200 400
. . . . .
. . . .
0 208 309 520
0 106 70
0 801
0
. . .
. .
.
D
E
F
ïðèâåäåíà íà ðèñ. 6, à, íà ðèñ. 6, á — ã, ïðèâåäåíû äåíäðîãðàììû, ïîëó-
÷åííûå àâòîðàìè äàííîé ðàáîòû ðàçëè÷íûìè ìåòîäàìè. Èç ðèñ. 6 âèäíû
îñîáåííîñòè îáúåêòîâ êëàñòåðèçàöèè.  ÷àñòíîñòè, âëèÿíèå íå÷åòêîñòè íà
ñòðóêòóðó äàííûõ ïðîÿâëÿåòñÿ â òîì, ÷òî äåíäðîãðàììû äëÿ ÍÄ ïðè
èñïîëüçîâàíèè ìåòîäà ÅÑ è ôàäçèôèöèðîâàííûõ äàííûõ (ñì ðèñ. 6, à—â)
è ïðè èñïîëüçîâàíèè ìåòîäà ÏÑ (ñì. ðèñ. 6, á—ã) ñ òî÷êè çðåíèÿ óëüòðà-
ìåòðèêè èìåþò ðàçëè÷íóþ ñòðóêòóðó (÷èñëî óðîâíåé îòëè÷àåòñÿ â äâà ðàçà).
Ñëîæíî äàòü ôèçè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ ýòîìó ôàêòó, íî íåñîìíåííî, ýòî —
íîâîå çíàíèå.  ðàáîòå [12] äåíäðîãðàììà íàçâàíà íå÷åòêîé, îäíàêî îíà
òàêîâîé íå ÿâëÿåòñÿ, òàê êàê ïîñòðîåíà íà îñíîâàíèè âû÷èñëåíèÿ ÷åòêèõ
ðàññòîÿíèé ìåæäó ÍÄ.
 ðàáîòå [13] ïîêàçàíî ñóùåñòâîâàíèå ýêâèâàëåíòíîñòè ìåæäó èåðàð-
õè÷åñêîé êëàñòåðèçàöèåé, òðàíçèòèâíûìè íå÷åòêèìè max-min-îòíîøåíèÿìè
è óëüòðàìåòðè÷åñêèì ðàññòîÿíèåì.
Ïîñòàíîâêè îñíîâíûõ çàäà÷ è àëãîðèòìû èõ ðåøåíèÿ. Â ðàáîòå
[14] ïðåäëîæåíû òåíçîðíûå ìîäåëè íåîïðåäåëåííîñòè. Èçâåñòíî [7], ÷òî
åñëè E x�{ }— ÓÌ, x E� , òî íå÷åòêîå ïîäìíîæåñòâî
~
A ìíîæåñòâà Å îïðå-
äåëÿåòñÿ êàê ñîâîêóïíîñòü óïîðÿäî÷åííûõ ïàð {( , ( ))}~x x
A
� , � �x E, ãäå
Èåðàðõè÷åñêàÿ êëàñòåðèçàöèÿ íå÷åòêèõ äàííûõ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2012. Ò. 34. ¹ 4 11
Ðèñ. 5. Òåñòîâîå ìíîæåñòâî ÍÏ â âèäå ~ { / }x x� �
X � [ : . : ]1 01 10 ;
A = trapmf (X, [1 1.5 3.5 4.5]);
B = trimf (X, [1.5 2.5 3.5]);
C = trapmf (X, [6 6.5 7.5 8.5]);
D = trimf (X, [7 8 9]);
E = trimf (X, [8 8.5 9]);
F = trimf (X, [3.5 4.5 5.5]).
A
B
F
C
E
D
Ô
ó
í
ê
ö
è
ÿ
ï
ð
è
í
àä
ë
åæ
í
î
ñò
è 1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Çíà÷åíèå
� ~( )
A
x — ÔÏ,� ~ [ , ]
A
� 0 1 . Ââåäåííàÿ â ðàáîòå [14] òåíçîð-ïåðåìåííàÿ (ÒÏ),
àíàëîã ÍÏ, îïðåäåëåíà êàê T xx x� ! � , ãäå ! — îïåðàöèÿ òåíçîðíîãî
(Êðîíåêåðîâà) ïðîèçâåäåíèÿ; Tx èìååò ìàòðèöó ðàçìåðîì n � n.
 ðàáîòå [15] ïðåäëîæåíî ðàññìàòðèâàòü ìíîãîìåðíûé ìàññèâ êàê
òåíçîð. Â ñîîòâåòñòâèè ñ ýòèì îïðåäåëåíèåì â òåíçîðíîì áàçèñå âîçìîæíî
ïðåäñòàâëåíèå ÍÏ — ñîâîêóïíîñòè óïîðÿäî÷åííûõ ïàð — êàê ìíîãîìåð-
íîãî ìàññèâà tx ñ ìàòðèöåé ðàçìåðîì 2 � n . Íà ðèñ. 7 ïðåäñòàâëåíà ÍÏ ñ
âûïóêëîé ÔÏ è åå òåíçîðíûå àíàëîãè. Ñ ó÷åòîì òåíçîðíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ
èñõîäíûõ äàííûõ îñíîâíûå çàäà÷è â [15] ñôîðìóëèðîâàíû òàê:
1) èññëåäîâàòü ÈÊ ÍÄ, ïðåäñòàâèâ âõîäíûå äàííûå òåíçîðíûìè ìî-
äåëÿìè, ïîêàçàòü ïðîÿâëåíèå âëèÿíèÿ íå÷åòêîñòè íà âûõîä ÈÊ — áèíàð-
íîå äåðåâî;
2) èññëåäîâàòü óëüòðàìåòðè÷åñêèå ñâîéñòâà äåíäðîãðàìì, ïðåäñòàâèâ
âõîäíûå äàííûå òåíçîðíûìè ìîäåëÿìè, îïðåäåëèòü óëüòðàìåòðè÷åñêóþ ìàò-
ðèöó, 2-àäè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè äåíäðîãðàìì, ïîêàçàòü âîçìîæíîñòü ñðàâ-
íåíèÿ äåíäðîãðàìì íà îñíîâàíèè âû÷èñëåíèÿ 2-àäè÷åñêîé îöåíêè.
Ñîïîñòàâèìîñòü ýêñïåðèìåíòîâ. Íå÷åòêèå ïåðåìåííûå â Matlab
çàäàíû â âèäå ïðîöåäóð, îïðåäåëÿþùèõ ïåðåìåííóþ íà ÓÌ E, íàïðèìåð
ÍÏ ñ òðåóãîëüíîé ÔÏ — �x E P P P� trimf( ,[ ])1 2 3 , ãäå P P P1 2 3" " — ïàðà-
ìåòðû; ÍÏ ñ òðàïåöèåâèäíîé ÔÏ — �x E P P P P� trapmf( ,[ ])1 2 3 4 , ãäå P1 "
" " "P P P2 3 4— ïàðàìåòðû; ÍÏ ñ Ãàóññîâîé ÔÏ — �x E P P�gaussmf( ,[ ])1 2 ,
ãäå P1 — äèñïåðñèÿ, P2 — ñðåäíåå.
Îïåðàöèè íàä ÍÏ âûïîëíÿþòñÿ â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî ÍÏ ïðåäñòàâ-
ëåíû â âèäå ÍÌ íà îäíîì óíèâåðñàëüíîì ìíîæåñòâå:
{ / }* { / } ( * ) / max (
~ ~
a b a bj
a
A E
f j
b
B E
j f j
j j� �
� �
�
� �� �� � �� ��
min ( , ))� �a bj j , (� j).
Þ. Í. Ìèíàåâ, Î. Þ. Ôèëèìîíîâà, Þ. È. Ìèíàåâà
12 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2012. V. 34. ¹ 4
Ðèñ. 6. Äåíäðîãðàììû äëÿ ÍÏ, ïîëó÷åííûå â ðàáîòå [12] (à), è àâòîðàìè äàííîé
ðàáîòû (á –– ã): à –– ìåòîä ÅÑ; á –– ìåòîä ÏÑ; äëÿ äåôàäçèôèöèðîâàííûõ ÍÏ: â — ìåòîä
ÅÑ; ã — ìåòîä ÏÑ
Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî òåíçîðíûé ñïîñîá ïðåäñòàâëåíèÿ ÍÌ íå èñêàæàåò
ïåðâîíà÷àëüíîãî ñìûñëà óòâåðäæåíèé.  ÷àñòíîñòè, åñëè îäíî ïîíÿòèå
îïèñûâàåòñÿ â ÒÍÌ íåñêîëüêèìè îïðåäåëåíèÿìè, ò.å. áåç ïîòåðè îáùíîñ-
òè ïðåäñòàâëÿåòñÿ ÍÌ ñ ðàçëè÷íûìè ÔÏ, òî ýòî ñâîéñòâî ñîõðàíèòñÿ è ïðè
ìîäåëèðîâàíèè ÍÏ â òåíçîðíîì áàçèñå. Âûïîëíåííàÿ ïðîâåðêà ïîêàçàëà,
÷òî ðàññòîÿíèÿ ìåæäó óòâåðæäåíèÿìè «ïðèìåðíî 5» (ÍÏ ñ ðàçëè÷íûìè
ÔÏ) â ñòàíäàðòíîì è òåíçîðíîì ïðåäñòàâëåíèè ñóùåñòâåííî ìåíüøå, ÷åì
ìåæäó óòâåðæäåíèÿìè «ïðèìåðíî 5» è «ïðèìåðíî 6», ÷òî ñâèäåòåëüñòâóåò
îá àäåêâàòíîñòè ìîäåëèðîâàíèÿ ÍÏ òåíçîðíûìè ìîäåëÿìè. Â ïðîñòåéøåì
ñëó÷àå äëÿ ñòàíäàðòíîé òðåóãîëüíîé ÔÏ ïîëó÷àåì òåíçîðíûå ìîäåëè:
T x x xx �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
0 0 0
0 0 0
1 2 3 , t
x
x
x
x �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1
2
3
0
1
0
.
Îáúåêòû Tx è tx èìåþò ðàçëè÷íûå ñâîéñòâà, îäíàêî îòíîñèòåëüíî ÊÀ îíè
àäåêâàòíû è, êðîìå òîãî, èìåþò ïðàêòè÷åñêè îäèíàêîâûå íîðìû. Íàïðè-
ìåð äëÿ ÍÏ
~
5�# {3/0, 5/1, 7/0} ñóùåñòâóþò òàêèå ÒÏ:Tx � ( ; ; )0 0 0 3 5 7 0 0 0 è
tx � ( ; ; )3 0 5 1 7 0 . Íîðìû Tx è tx ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî 9,11 è 9,13, ÷òî
ïîäòâåðæäàåò èõ áëèçîñòü.
Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è ÈÊ ÍÄ âîçìîæíî ïðèìåíåíèå êàê Tx-, òàê è
tx-ïðåäñòàâëåíèé ÍÏ. Öåëåñîîáðàçíîñòü èõ ïðèìåíåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ òè-
ïîì çàäà÷è. Ïðè ïîñòðîåíèè äåíäðîãðàìì èñõîäíîå ÌÄ äîëæíî áûòü
óïîðÿäî÷åíî â ñîîòâåòñòâèè ñ ðàññòîÿíèåì, ÷òî ñâÿçàíî ñ íåîáõîäèìîñòüþ
âû÷èñëÿòü ðàññòîÿíèå ìåæäó ìàòðèöàìè, ìîäåëèðóþùèìè ÍÏ. Ðàññòîÿ-
íèå ìåæäó ìàòðèöàìè À è  ðàçìåðîì n � n îáû÷íî îïðåäåëÿþò êàê ôðî-
Èåðàðõè÷åñêàÿ êëàñòåðèçàöèÿ íå÷åòêèõ äàííûõ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2012. Ò. 34. ¹ 4 13
Ðèñ. 7. Ìîäåëèðîâàíèå ÍÏ: à — ÍÏ ~ { / }x x x� � ; á — tx è Tx — ïåðâàÿ è âòîðàÿ ôîðìû
òåíçîðíûõ àíàëîãîâ ÍÏ
0,8
0,6
0,4
0,2
0 x
�x
~x t
x
x
x
x
n n
x
� �
�
�
�
�
��
�
�
�
�
��
1 1�
�
� ,
~x T x
x x x
x x x
x x
x x
n
x
n
x
n
x
n n
x
� � ! �
�
�
�
��
� � �
� � �
1 1 2 1 1
1 2
�
�
��
�
�
�
�
��
a á
áåíèóñîâñêóþ íîðìó (ÔÍ). Äëÿ Ñ = A – B êâàäðàò ÔÍ èìååò âèä C
2
F
�
� trace ( )C C
T , ãäå trace ( )
,
C �
�
�cii
i n1
.  ñëó÷àå ðàçíîðàçìåðíûõ ìàòðèö (A �
� M � N, B� P � Q) äëÿ îïðåäåëåíèÿ ÔÍ èñïîëüçóþò îñîáåííîñòè òåíçîð-
íîé ñóììû Ñ = A + B = IB ! A + B ! IA, ãäå IA, IB — òåíçîðû èäåíòè÷íîñòè
ñîîòâåòñòâóþùåé ðàçìåðíîñòè.
Åñëè À — ìàòðèöà M � N, òî ñèíãóëÿðíîå ðàçëîæåíèå À åñòü ôàêòîðè-
çàöèÿ A = U�V
T, ãäå U — ëåâîñòîðîííÿÿ ñòîëáöîâî-îðòîíîðìàëüíàÿ N � r
ìàòðèöà; � —äèàãîíàëüíàÿ r � r ìàòðèöà ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé $i, $1 %%%
&&& $r 0; V — ïðàâîñòîðîííÿÿ ñîáñòâåííîçíà÷íàÿ ìàòðèöà (ÏÑÇÌ); r —
ðàíã ìàòðèöû À.
 ðàáîòàõ [16, 17] ïîêàçàíî, ÷òî äëÿ äâóõ ÏÑÇÌ, AV è BV, ðàçìåðíîñòüþ
n � n, ïîëó÷åííûõ SVD-ðàçëîæåíèåì (Singular value decomposition) ìàòðèö A
è B, ñîîòâåòñòâåííî AV = [a1, …, an] è BV = [b1, …, bn], à êâàäðàò ÔÍ äëÿ
ÑV = AV – BV èìååò âèä
C C C
2
F
T
i i
i
n
n a b� � �
�
�trace ( ) ,2 2
1
,
ãäå Ñ = A – B = [a1 – b1, …, bn – an]; a, b — îðòîíîðìàëüíûå âåêòîðû (âåê-
òîðèçàöèÿ ìàòðèö À, Â). Ýòó âåëè÷èíó ìîæíî èñïîëüçîâàòü â êà÷åñòâå
ìåðû áëèçîñòè ìåæäó A è B.
Ïðåèìóùåñòâî ïðèìåíåíèÿ ÏÑÇÌ äëÿ âû÷èñëåíèÿ áëèçîñòè ñîñòîèò
â òîì, ÷òî âñå îáúåêòû êëàñòåðèçàöèè èìåþò îäèíàêîâûé ðàçìåð äëÿ âñåõ
ÍÏ, ïðåäñòàâëåííûõ â òåíçîðíîì áàçèñå.  îáùåì ñëó÷àå îáúåêò ïðè-
ìåíåíèÿ ÏÑÇÌ èìååò îäèíàêîâîå ÷èñëî (2) ïàðàìåòðîâ «çíà÷åíèå ÔÏ» è
ðàçëè÷íîå ÷èñëî �-óðîâíåé m. Ñðàâíåíèå îáúåêòîâ (ìàòðèö) ñ ðàçëè÷íû-
ìè ðàçìåðíîñòÿìè â ñëó÷àå áîëüøèõ ðàçìåðíîñòåé óñëîæíÿåòñÿ, íî ðàç-
ìåð ÏÑÇÌ â äàííîì ñëó÷àå ôèêñèðîâàí: 2 � 2.
 òàáë. 1 è 2 ïðèâåäåíû ïðàâîñòîðîííèå ìàòðèöû ñèíãóëÿðíûõ ðàçëî-
æåíèé è ñèíãóëÿðíûå ÷èñëà ÒÏ t-òèïà. Õàðàêòåðíîé îñîáåííîñòþ ÒÏ
ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî îíè èìåþò ïðàêòè÷åñêè îäèíàêîâóþ ÔH ('max). Ýòî îáúÿñ-
íÿåòñÿ òåì, ÷òî ÒÏ îïðåäåëåíà íà îäíîì óíèâåðñàëüíîì ìíîæåñòâå c áîëü-
øèì êîëè÷åñòâîì íóëåé. Òàêèì îáðàçîì, â äàííîì ñëó÷àå ïðèìåíåíèå
ïðàâîñòîðîííåé ìàòðèöû ñèíãóëÿðíîãî ðàçëîæåíèÿ äëÿ ÍÏ â òåíçîðíîé
ôîðìå íå êîíñòðóêòèâíî, òàê êàê ðàçëè÷èå â çíà÷åíèÿõ íàñòîëüêî íåçíà-
÷èòåëüíî, ÷òî îöåíêà áëèçîñòè (ñõîäñòâî/ðàçëè÷èå) ìîæåò áûòü âåñüìà ïðè-
áëèæåííîé, â òî âðåìÿ êàê äâóìåðíûé âåêòîð ñèíãóëÿðíûõ çíà÷åíèé
ìîæåò áûòü ðàçëè÷íûì.
Þ. Í. Ìèíàåâ, Î. Þ. Ôèëèìîíîâà, Þ. È. Ìèíàåâà
14 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2012. V. 34. ¹ 4
Ôðàãìåíò ïðîãðàììû êëàñòåðèçàöèè ÍÄ íà îñíîâàíèè âåêòîðà ñèíãó-
ëÿðíûõ âåëè÷èí SVD-ðàçëîæåíèÿ ÒÏ, ïðèíÿòûõ â êà÷åñòâå ïðèçíàêîâ
êëàñòåðèçàöèè ïðèâåäåí íà ðèñ. 8.
2-àäè÷åñêèå ñâîéñòâà áèíàðíûõ äåðåâüåâ èåðàðõè÷åñêîé êëàñòå-
ðèçàöèè.  ðàáîòàõ [18, 19] äàí àíàëèç ïîëó÷åííûõ äåíäðîãðàìì íà
óðîâíå ð-àäè÷åñêèõ äåðåâüåâ. Èçâåñòíî, ÷òî ìíîæåñòâî äàííûõ ( , )x yi i
T ,
i n�1, , ïðåäñòàâëåííûõ âèäå ñîâîêóïíîñòè ïàð, ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
áèíàðíîãî äåðåâà, âû÷èñëèâ ðàññòîÿíèÿ ìåæäó êàæäîé ïàðîé äàííûõ â
ìåòðè÷åñêîì áàçèñå (íàïðèìåð, åâêëèäîâà ìàòðèöà ðàññòîÿíèé). Îäíàêî,
Èåðàðõè÷åñêàÿ êëàñòåðèçàöèÿ íå÷åòêèõ äàííûõ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2012. Ò. 34. ¹ 4 15
ÍÏ X = [1 : 0.5 : 10];
ÒÏ, ïðåäñòàâëåííàÿ
â Matlab
Ïðàâîñòîðîííÿÿ ìàòðèöà
ñèíãóëÿðíîãî ðàçëîæåíèÿ
~
A trapmf (X, [1 1.5 3.5 4.5]) tA X A� � �[ ] VtA �
�
� �
�
�
�
�
�
�
1 00 0 02
0 02 1 00
. .
. .
~
B trimf (X, [1.5 2.5 3.5]) tB X B� � �[ ] VtB �
� �
�
�
�
�
�
�
�
1 00 0 01
0 01 1 00
. .
. .
~
C trapmf (X, [6 6.5 7.5 8.5]) tC X C� � �[ ] VtC �
� �
�
�
�
�
�
�
�
1 00 0 03
0 03 1 00
. .
. .
~
D trimf (X, [7 8 9]) tD X D� � �[ ] VtD �
� �
�
�
�
�
�
�
�
1 00 0 02
0 02 1 00
. .
. .
~
E trimf (X, [8 8.5 9]) tE X E� � �[ ] VtE �
� �
�
�
�
�
�
�
�
1 00 0 01
0 01 1 00
. .
. .
~
F trimf (X, [3.5 4.5 5.5]) tF X F� � �[ ] VtF �
� �
�
�
�
�
�
�
�
1 00 0 01
0 01 1 00
. .
. .
Òàáëèöà 1
Ïîëíàÿ ÒÏ
Ñèíãóëÿðíîå
çíà÷åíèå
Óñå÷åííàÿ ÒÏ
Ñèíãóëÿðíîå
çíà÷åíèå
tA X A� � �[ ] 26.79 2.23 tA1= [1 0; 1.5 1; 3.5 1; 4.5 0] 6.04 1.13
tB X B� � �[ ] 26.78 1.21 tB1= [1.5 0; 2.5 1; 3.5 0] 4.59 0.83
tC X C� � �[ ] 26.80 1.54 tC1= [6 0; 6.5 1; 7.5 1; 8.5 0] 14.41 1.02
tD X D� � �[ ] 26.79 1.07 tD1= [7 0; 8 1; 9 0] 13.94 0.82
tE X E� � �[ ] 26.78 0.95 tE1= [8 0; 8.5 1; 9 0] 14.75 0.82
tF X F� � �[ ] 26.78 1.18 tF1= [3.5 0; 4.5 1; 5.5 0] 7.94 0.82
Òàáëèöà 2
åñëè ðàçìåòèòü âåòâè äåíäðîãðàììû (íàïðèìåð, 0 (ëåâàÿ âåòâü) è 1 (ïðàâàÿ
âåòâü), èëè ñîîòâåòñòâåííî – 1 è +1), ïîëó÷åííîé â ìåòðè÷åñêîì áàçèñå, òî
åå àíàëèç ñëåäóåò âûïîëíÿòü â ð-àäè÷åñêîì (2-àäè÷åñêîì) áàçèñå.
Ðàññìîòðèì îñîáåííîñòè 2-àäè÷åñêèõ äåíäðîãðàìì, èñïîëüçóÿ ðåçóëü-
òàòû, èçëîæåííûå â ðàáîòàõ [18, 19]. Äëÿ àíàëèçà äàííûõ äåíäðîãðàììû
îáû÷íî ðàçìå÷àþò è ðàíæèðóþò. Äëÿ äåíäðîãðàììû, ïðåäñòàâëåííîé íà
ðèñ. 9, âûïîëíåíî ñëåäóþùåå ð-àäè÷åñêîå êîäèðîâàíèå òåðìèíàëüíûõ óç-
ëîâ, íà÷èíàÿ ñ êîðíÿ: õ1 = 0 % 27 + 0 % 25 + 0 % 22 + 0 % 21; õ2 = 0 %27 + 0 % 25 + 0 % 22+
+ 1 % 21; ... õ4 = 0 % 27 + 1 % 25 + 0 % 24 + 0 % 23; ... õ6 = 0 % 27 + 1 % 25 + 1 % 24 è ò. ä.
Äåñÿòè÷íûå ýêâèâàëåíòû ð-àäè÷åñêîãî ïðåäñòàâëåíèÿ òåðìèíàëüíûõ óç-
ëîâ òàêèå: õ1, õ2, … , õ8 = 0, 2, 4, 32, 40, 48, 128, 192. Ðàññòîÿíèÿ è íîðìà
îïðåäåëåíû ñîîòâåòñòâåííî òàê: d x x d x xp p
r( , )1 1 12� � � � � èëè 2 % 2–r,
ãäå
x ak
k
k
�� 2 ; x ak
k
k
1 1 2�� ; r a ak k� �argmin{ }1 ; íîðìà dp(x, 0) = 2–1+1 = 1.
Þ. Í. Ìèíàåâ, Î. Þ. Ôèëèìîíîâà, Þ. È. Ìèíàåâà
16 ISSN 0204—3572. Electronic Modeling. 2012. V. 34. ¹ 1
Ðèñ. 8. Äåíäðîãðàììû äëÿ ÒÏ tA, tB, tC, tD, tE, tF, îïðåäåëåííûõ ñ èñïîëüçîâàíèåì
ñèíãóëÿðíûõ ÷èñåë ìåòîäîì ÅÑ (à) è ìåòîäîì ÏÑ (á)
sa=svd(tA,0); sb=svd(tB,0); sc=svd(tC,0);
sd=svd(tD,0); se=svd(tE,0); sf=svd(tF,0);
v=[sa’; sb’; sc’; sd’; se’; sf’];
figure(1)
Y1=pdist(v,’euclid’);
Z1 =linkage(Y1,’single’);
[H1,T1]=dendrogram(Z1,6);
set(H1,’LineWidth’,2);
title(‘Single link vector containing the singular values’)
figure(2)
Y2=pdist(v,’euclid’);
Z2 =linkage(Y2,’complete’);
[H2,T2]=dendrogram(Z2,6);
set(H2,’LineWidth’,2);
title(‘Ñomplete link vector containing the singular values’)
a
á
Äëÿ òîãî ÷òîáû íàéòè ð-àäè÷åñêîå ðàññòîÿíèå, ðàññìàòðèâàþò íàè-
ìåíüøèé óðîâåíü r (åñëè óïîðÿäî÷åíèå èäåò îò òåðìèíàëà ê êîðíþ) (ðèñ. 9),
÷òî èäåíòè÷íî ïàðå ñòåïåííûõ ðÿäîâ, êîòîðûå ïîðîæäàþò ðåçóëüòàò 2 1� �r .
Òàêèì îáðàçîì,
x x1 2 2
2 12 1 2� � �� � / ; x x1 4 2
6 12 1 32� � �� � / ; x x1 6 2
6 12 1 32� � �� � / .
Íàèìåíüøåå ð-àäè÷åñêîå ðàññòîÿíèå íà ðèñ. 9 ðàâíî 1/128, äåñÿòè÷íûì
ýêâèâàëåíòîì ÷èñëà õ8 åñòü 208. Ìàêñèìàëüíî âîçìîæíûé äåñÿòè÷íûé
ýêâèâàëåíò ð-àäè÷åñêîãî ÷èñëà, ñîîòâåòñòâóþùåãî âîñüìè òåðìèíàëüíûì
óçëàì, èìååò âèä 1 % 27 + 1 % 26 + 1 % 25 + ... + 1 % 24 + 1 % 23 + 1 % 22 + 1 % 21 = 254.
Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî ð-àäè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå, ïîêàçàííîå íà ðèñ. 9,
íå èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî äåíäðîãðàììíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ. Îäíàêî,
åñëè ð-àäè÷åñêèå ïðåäñòàâëåíèÿ ðàçëè÷íû äëÿ ðàçíûõ äåíäðîãðàììíûõ
ïðåäñòàâëåíèé, òî ð-àäè÷åñêàÿ íîðìà è ð-àäè÷åñêîå ðàññòîÿíèå ÿâëÿþòñÿ
èíâàðèàíòíûìè îòíîñèòåëüíî äåíäðîãðàììíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ. Ïðè àíà-
ëèçå äåíäðîãðàìì èñïîëüçóþò òàê íàçûâàåìûå àãëîìåðàòèâíûå (íàêîïè-
òåëüíûå) àëãîðèòìû. Êàê ïîêàçàíî â ðàáîòàõ [18, 19], èñïîëüçîâàíèå àãëî-
ìåðàòèâíîãî àëãîðèòìà êëàñòåðèçàöèè ïîðîæäàåò óëüòðàìåòðèêó (ò.å èñêóñ-
ñòâåííîå óäîâëåòâîðåíèå óëüòðàìåòðè÷åñêîãî íåðàâåíñòâà äëÿ çàäàííûõ
êàêèõ-ëèáî òðåõ òî÷åê) â ëþáîì ìíîæåñòâå òî÷åê, îáåñïå÷åííîì ïàðíîé
ôóíêöèåé ðàçëè÷èÿ. Êîãäà ìíîæåñòâî òî÷åê â ïðîñòðàíñòâå äàííûõ êàêîé-
ëèáî ðàçìåðíîñòè òàêîâî, ÷òî âñå òðèïëåòû òî÷åê óäîâëåòâîðÿþò óëüòðà-
ìåòðè÷åñêîìó íåðàâåíñòâó, ýòî ìíîæåñòâî òî÷åê èìååò åñòåñòâåííóþ
Èåðàðõè÷åñêàÿ êëàñòåðèçàöèÿ íå÷åòêèõ äàííûõ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2012. Ò. 34. ¹ 4 17
Ð
àí
ã
x x x x x x x x1 3 4 5 6 7 82
0 1
0 1
0 1
0 1
0 1
0 1
0 1
7
6
5
4
3
2
1
0
Ðèñ. 9. Ðàçìå÷åííàÿ äåíäðîãðàììà ñ âîñåìüþ òåðìèíàëüíûìè óçëàìè: 0 è 1— ëåâàÿ è
ïðàâàÿ âåòâè
èåðàðõè÷åñêóþ ñòðóêòóðó, îäíàêî íåëüçÿ ãàðàíòèðîâàòü, ÷òî ýòà èåðàðõèÿ
ÿâëÿåòñÿ óíèêàëüíîé.
Çàêîäèðîâàííàÿ äåíäðîãðàììà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ð-àäè÷åñêîå ÷èñëî.
Ðàññìîòðèì êðàòêî îñíîâû ð-àäè÷åñêèõ ÷èñåë è àðèôìåòè÷åñêèå äåéñò-
âèÿ íàä íèìè [20, 21]. Ïóñòü p�N — ôèêñèðîâàííîå ïðîñòîå ÷èñëî. Òîãäà
äëÿ ëþáîãî íåíóëåâîãî x � q ìîæíî íàïèñàòü x p a bv� / äëÿ ïàðû âçàèìíî-
ïðîñòûõ ÷èñåë a, b � Z è óíèêàëüíîãî v � Z òàêîãî, ÷òî a, b íå äåëÿòñÿ íà
p.  îáùåì ñëó÷àå öåëîå p-àäè÷åñêîå ÷èñëî äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ïðîñòîãî ð
ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòü x x x� ( , ,...)0 1 âû÷åòîâ õn ïî mod
pn+1, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ x x pn n
n� �
�
1
1(mod ), n 1.
P-àäè÷åñêàÿa íîðìà — ôóíêöèÿ | | : [ , )% � (p q 0 , ïîëó÷àåìàÿ èç ðà-
âåíñòâ | |x pp
v� � è | |0 0p � , | · |p , óäîâëåòâîðÿåò óñèëåííîìó íåðàâåíñòâó
òðåóãîëüíèêà (ÓÍÒ), ñóòü êîòîðîãî â òîì, ÷òî äëÿ ëþáûõ x, y � q ñïðàâåä-
ëèâî | | max{| | , | | }x y x yp p p� � . Ïîðîæäåííàÿ ìåòðèêà d x y x yp p( , ) | |� �
íàçûâàåòñÿ óëüòðàìåòðèêîé è îáëàäàåò ðÿäîì ïàðàäîêñàëüíûõ ñâîéñòâ
[20, 21]. Îòíîñèòåëüíî p-àäè÷åñêîé íîðìû q óäîâëåòâîðÿåò íåàðõèìåäî-
âûì ñâîéñòâàì, ïîñêîëüêó äëÿ êàæäîãî x � q íèêîãäà | |nx p íå ïðåâûøàåò
| |x p äëÿ ëþáîãî n � N. Ñóùåñòâóåò ïîëíîòà ïîëÿ qp-àäè÷åñêèõ ÷èñåë
îòíîñèòåëüíî óëüòðàìåòðèêè dp. Óíèêàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå êàæäîãî z �qp
èìååò âèä
z a p a a p a pv
v� � � � � �... ...0 1 2
2 ,
ãäå v � Z è ai �{0, 1,... , p – 1} äëÿ âñåõ i v . Ïîäïðîñòðàíñòâî qp —
åäèíè÷íûé øàð Z p p px q x� � �{ | | | }1 — òàêæå ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â
âèäå Z p ia a p a p a p� � � � � �{ ...| { , ,..., }0 1 2
2 0 1 1 ,� i 0}.
Âàæíåéøèì ñâîéñòâîì ð-àäè÷åñêèõ ÷èñåë ÿâëÿåòñÿ íàëè÷èå èåðàð-
õè÷åñêîé ñòðóêòóðû, â îòëè÷èå îò îáû÷íûõ ÷èñåë, ðàñïîëàãàþùèõñÿ ëè-
íåéíî. Öåëûå p-àäè÷åñêèå ÷èñëà îáðàçóþò êîëüöî: èõ ìîæíî ñêëàäûâàòü,
âû÷èòàòü è ïåðåìíîæàòü.  íîòàöèè òåîðèè âû÷åòîâ ñëîæåíèå è óìíîæå-
íèå öåëûõ p-àäè÷åñêèõ ÷èñåë îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëàìè
( ) (mod )x y x y pn n n
n� � � �1 ,
( ) (mod )x y x y pn n n
n� �1 .
Îäíàêî çäåñü îòñóòñòâóåò åñòåñòâåííûé ïîðÿäîê, ïîíÿòèÿ îòðèöàòåëüíîãî
è ïîëîæèòåëüíîãî ÷èñëà íå èìåþò ñìûñëà è âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî
� � �1 1lim ( )pn ïðè n �(, íàïðèìåð äëÿ âåëè÷èíû – 1 â 3-àäè÷åñêîì áà-
çèñå ïîëó÷àåì – 13 = .222222..., â 2-àäè÷åñêîì — –12 = . 111111.
Þ. Í. Ìèíàåâ, Î. Þ. Ôèëèìîíîâà, Þ. È. Ìèíàåâà
18 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2012. V. 34. ¹ 4
Ðåçóëüòàòû ýêñïåðèìåíòàëüíûõ èññëåäîâàíèé ÈÊ ÍÄ â ð-àäè-
÷åñêîì áàçèñå. Íà ðèñ. 6 ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû êëàñòåðèçàöèè ÍÏ
~
,
~
,
~
,A B C
~
,
~
,
~
D E F è èõ äåôàäçèôèöèðîâàííûõ çíà÷åíèé [12]. Âûïîëíèì êîäèðîâàíèå
äåíäðîãðàìì áèíàðíûì àëôàâèòîì è ðàññìîòðèì 2-àäè÷åñêèå ìàòðèöû
ÍÏ
~
,
~
,
~
,
~
,
~
,
~
A B C D E F, èõ äåôàäçèôèêàöèè è òåíçîðíûå ìîäåëè.
Íà ðèñ. 10 ïðåäñòàâëåíî 2-àäè÷åñêîå êîäèðîâàíèå áèíàðíûõ äåðåâüåâ è
âû÷èñëåíû 2-àäè÷åñêèå ÷èñëà, õàðàêòåðèçóþùèå äåíäðîãðàììû ÍÏ Pf è èõ
äåôàäçèôèêàöèè Pdef . Âåëè÷èíà abs ( ) / max ( , ) %P P P Pf def f def� "10 ñâè-
äåòåëüñòâóåò î ñòðóêòóðíîé áëèçîñòè áèíàðíûõ äåðåâüåâ, ÷åãî è ñëå-
äîâàëî îæèäàòü íå òîëüêî íà îñíîâàíèè äàííûõ, ïðèâåäåííûõ â [14], íî è
ïîòîìó, ÷òî ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ÍÌ â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðèíÿòîé ïàðàäèãìîé
ÿâëÿþòñÿ ÷åòêèìè.
Èåðàðõè÷åñêàÿ êëàñòåðèçàöèÿ íå÷åòêèõ äàííûõ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2012. Ò. 34. ¹ 4 19
Ðèñ. 10. 2-àäè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè äåíäðîãðàìì äëÿ ÍÏ è èõ äåôàäçèôèöèðîâàííûõ
çíà÷åíèé: à, ã — ðàçìå÷åííûå áèíàðíûå äåðåâüÿ; á, ä — 2-àäè÷åñêèå ÷èñëà, õàðàêòåðè-
çóþùèå äåðåâüÿ; â, å— 2-àäè÷åñêèå ìàòðèöû áèíàðíûõ äåðåâüåâ (òåñò ïîëíîé ñâÿçè)
A �0%21
+%%%+0%2
5
+1%2
6
B �0%2
1
+1%2
2
+0%2
3
+%%%+0%2
5
+1%26
C � 0%2
1
+1%2
2
+0%2
3
+%%%+0%2
6
D � 0%2
1
+%%%+0%2
6
E � 1%2
1
+0%2
2
+%%%+0%2
6
F � )%2
1
+0%2
2
+1%2
3
+0%2
4
+%%% + 1%2
6
Pf = A + B + C + D + E + F
a á â
A B C D E F
6 1 1 1 0 0 1
5 0 0 0 0 0 0
4 0 0 0 0 0 0
3 0 0 0 0 0 1
2 0 1 1 0 0 0
1 0 0 0 0 1 0
ÍÏ
~
,
~
,
~
,
~
,
~
,
~
A B C D E F
A � 0%2
1
+%%%+0%2
6
B � 0%2
1
+%%%+0%2
6
C � 0%2
1
+%%%+0%2
5
+1%2
6
D� 0%2
1
+1%2
2
+0%2
3
+ %%%+0%2
5
+ 1%2
6
E � 1%2
1
+1%2
2
+0%2
3
+ %%%+0%2
5
%+1%2
6
F � 0%2
1
+1%2
2
+0%2
3
+%%%+0%2
6
Pdef = A + B + C + D + E + F
ã ä å
A B C D E F
6 0 0 1 1 1 0
5 0 0 0 0 0 0
4 0 0 0 0 0 0
3 0 0 0 0 0 0
2 0 0 0 1 1 1
1 0 0 0 0 1 0
Äåôàäçèôèöèðîâàííûå ÍÏ
~
,
~
,
~
,
~
,
~
,
~
A B C D E F
Ñðàâíèâàÿ ðèñ. 7, à, á, è ðèñ. 10, à, á, âèäèì, ÷òî äåíäðîãðàììû äëÿ ÍÏ
[12] è òåíçîðíûõ ìîäåëåé ÍÏ äîñòàòî÷íî áëèçêè, åñëè áðàòü â êà÷åñòâå
êðèòåðèÿ ìàêñèìàëüíûå ðàíãè äåíäðîãðàìì è èõ âëîæåííîñòü. Ýòîò âû-
âîä ïîäòâåðæäàåòñÿ òàêæå è èõ 2-àäè÷åñêèìè ìàòðèöàìè.
Íà ðèñ. 11 ïðåäñòàâëåíû ðåçóëüòàòû êëàñòåðèçàöèè ÍÏ
~
,
~
,
~
,
~
,
~
,
~
A B C D E F,
ïðåäñòàâëåííûõ â òåíçîðíîì áàçèñå
~
A tA� ,
~
B tB� ,
~
C tC� ,
~
D tD� ,
~
E tE� ,
~
F tF� , è 2-àäè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè äåíäðîãðàìì òåíçîðíîé
ìîäåëè ÍÏ. Èç ðèñ. 11, â, âèäíî, ÷òî u* (A, B) = 2 ÿâëÿåòñÿ ïàðàìåòðîì, äëÿ
êîòîðîãî A è B ñâÿçàíû â îäíîì è òîì æå êëàñòåðå, àíàëîãè÷íî A è C
âêëþ÷åíû â îäèí è òîò æå êëàñòåð äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà u* (A,Ñ) = 6. Òàêèì
îáðàçîì, äëÿ ìèíèìàëüíîãî ÷èñëà ôàêòîðîâ, ïðèíöèïèàëüíî îïðåäåëÿþ-
ùèõ ðåçóëüòàò ÈÊ ÍÄ, â ñëó÷àå òåíçîðíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ÍÄ ìîæíî
óòâåðæäàòü ñëåäóþùåå:
• â êà÷åñòâå ñèñòåìû ïðèçíàêîâ â ñëó÷àå t-ñïîñîáà ïðåäñòàâëåíèÿ ÍÄ
ñëåäóåò âûáèðàòü ñèíãóëÿðíûå ÷èñëà ñèíãóëÿðíîãî ðàçëîæåíèÿ ÒÏ;
• â êà÷åñòâå ìåð áëèçîñòè îáúåêòîâ öåëåñîîáðàçíî èñïîëüçîâàòü âå-
ëè÷èíó ÔÍ ìåæäó ìàòðèöàìè ÒÏ;
• îñíîâíûì ñïîñîáîì ôîðìàëèçàöèè ïðåäñòàâëåíèé îá ýêâèâàëåíò-
íîñòè îáúåêòîâ, ñîñòàâëÿþùèõ îòäåëüíûé êëàñòåð èëè èõ îáúåäèíåíèå
(äåíäðîãðàììó), ìîæåò áûòü ó÷åò âíóòðè- è ìåæêëàñòåðíûõ ðàññòîÿíèé â
óëüòðàìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå.
Âûâîäû
1. Èåðàðõè÷åñêóþ êëàñòåðèçàöèþ ÍÄ, ïðåäñòàâëåííûõ â âèäå ÍÌ,
öåëåñîîáðàçíî âûïîëíÿòü ïîñðåäñòâîì ïðåäñòàâëåíèÿ îáúåêòîâ êëàñòå-
Þ. Í. Ìèíàåâ, Î. Þ. Ôèëèìîíîâà, Þ. È. Ìèíàåâà
20 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2012. V. 34. ¹ 4
Ðèñ. 11. 2-àäè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè äåíäðîãðàìì òåíçîðíîé ìîäåëè ÍÏ: à — ðàçìå÷åí-
íîå áèíàðíîå äåðåâî; á — 2-àäè÷åñêîå ÷èñëî, õàðàêòåðèçóþùåå äåðåâî (êëàñòåðèçàöèÿ ïî
ìåòîäó ÏÑ); â — u* — ìàòðèöà óëüòðàìåòðè÷åñêèõ ðàññòîÿíèé, ñâÿçàííàÿ ñ èåðàðõè÷åñ-
êîé êëàñòåðèçàöèåé
A � 0%2
1
+%%%+1%2
6
B � 1%2
1
+%%%+1%2
6
C � 0%2
1
+%%%+0%2
5
+0%2
6
D � 0%2
1
+0%2
2
+0%2
3
+%%%+0%2
5
+01%2
6
E � 0%2
1
+0%2
2
+0%2
3
+%%%+0%2
5
+0%2
6
F � 0%2
1
+1%2
2
+0%2
3
+%%%+1%2
6
P = A + B + C + D + E + F
a á â
A B C D E F
A
B
C
D
E
F
0 2 6 6 6 3
2 0 6 6 6 3
6 6 0 2 2 6
6 6 2 0 1 6
6 6 2 1 0 6
3 3 6 6 6 0
ðèçàöèè — ÍÏ — â âèäå ÒÏ T- è t-òèïîâ. Òåíçîð-ïåðåìåííàÿ T-òèïà
ôîðìèðóåòñÿ êàê ðåçóëüòàò òåíçîðíîãî (êðîíåêåðîâà) ïðîèçâåäåíèÿ «çíà-
÷åíèå ! ôóíêöèÿ ïðèíàäëåæíîñòè» ñ ìàòðèöåé n � n, ÒÏ t-òèïà ôîðìè-
ðóåòñÿ êàê ìíîãîìåðíûé ìàññèâ ñ ìàòðèöåé 2 � n (n — ÷èñëî óïîðÿ-
äî÷åííûõ ïàð ÍÌ).
2. Ïðè èñïîëüçîâàíèè òåíçîðíûõ ìîäåëåé ÍÄ äëÿ îáúåêòèâíîñòè èåðàð-
õè÷åñêîé êëàñòåðèçàöèè âîçìîæíî ôîðìèðîâàíèå òåíçîðíîé ìîäåëè äëÿ
âñåãî ÓÌ. Íåó÷åò ÓÌ ïðèâîäèò ê ÍÌ ðàçíîé ðàçìåðíîñòè, ÷òî çàòðóäíÿåò
ïðîöåäóðó îöåíêè èõ áëèçîñòè.
3.  êà÷åñòâå ìåð áëèçîñòè îáúåêòîâ (ÍÄ) öåëåñîîáðàçíî èñïîëüçîâàòü
âåëè÷èíó ôðîáåíèóñîâñêîãî ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ìàòðèöàìè ÒÏ.
The questions of clusterization (construction of binary trees-dendrograms) of the data, presented
in the form of fuzzy variables, which are in turn simulated by tensors, are considered. A
dendrogram encoded by binary alphabet is a 2-adical number, which can be used as the
dendrogram characteristic. A comparison of hierarchical clusterizations of fuzzy data and their
defuzzifications, performed at the level of 2-adical trees, allows us to draw a conclusion on the
presence (absence) of structure nearness of the objects.
1. Âîðîíöîâ Ê. Â. Ëåêöèè ïî àëãîðèòìàì êëàñòåðèçàöèè è ìíîãîìåðíîãî øêàëèðîâàíèÿ//
www.MachineLearning.ru.
2. Áèðþêîâ À. Ñ., Ðåçàíîâ Â. Â., Øìàðîâ À. Ñ. Ðåøåíèå çàäà÷ êëàñòåðíîãî àíàëèçà êîë-
ëåêòèâàìè àëãîðèòìîâ // Æ. âû÷èñë. ìàòåì. è ìàòåì. ôèç. — 2008. — 48, ¹ 1. — Ñ. 176—
192.
3. Æàìáþ Ì. Èåðàðõè÷åñêèé êëàñòåð-àíàëèç è ñîîòâåòñòâèÿ. — Ì. : Ôèíàíñû è ñòàòèñ-
òèêà, 1988. — 342 ñ.
4. Ìàíäåëü È. Ä. Êëàñòåðíûé àíàëèç. — Ì. : Ôèíàíñû è ñòàòèñòèêà, 1988. — 176 ñ.
5. Òûðòûøíèêîâ Å. Å. Òåíçîðíûå àïïðîêñèìàöèè ìàòðèö, ïîðîæäåííûõ àñèìïòîòè-
÷åñêèìè ãëàäêèìè ôóíêöèÿìè//Ìàò. ñáîðíèê. — 2003. — 194, ¹ 6. — Ñ. 147—160.
6. Zak L. Clustering of Vaguely Defined Objects// Archivum Mathematicum (Brno). — 2002. —
38. — Ð. 37—50.
7. Êîôìàí À. Ââåäåíèå â òåîðèþ íå÷åòêèõ ìíîæåñòâ: Ïåð. ñ ôðàíö. —Ì. : Ðàäèî è ñâÿçü,
1982. — 432 ñ.
8. Carlsson G. , �M emoli F. Characterization, Stability and Convergence of Hierarchical Clus-
tering Algorithms//Technical report. — 2009.— http://jmlr. csail. mit.edu/papers/volume11/
carlsson10a/carlsson10a.pdf
9. Carlsson G., �M emoli F. Characterization, Stability and Convergence of Hierarchical Clus-
tering Methods// J. of Machine Learning Research. — 2010. — ¹ 11. — Ð. 1425—1470.
10. Burago D., Burago Y., Ivanov S. A. Course in Metric Geometry // AMS Graduate Studies in
Math. American Mathematical Society. — 2001. — Vol. 33. www.math.psu.edu/petrunin/
papers/alexandrov/bbi.pdf
11. Guh Yuh-Yuan, Yang Miin-Shen, Po Rung-Wei, Lee E. S. Establishing Performance Evalua-
tion Structures by Fuzzy Relation-based Cluster Analysis // Computers and Mathematics
with Applications. — 2008. — ¹ 56. — P. 572—582.
12. Gol M. G., Yazdi H. S. A New Hierarchical Clustering Algorithm on Fuzzy Data (FHCA)// In-
tern. J. of Computer and Electrical Engineering. — 2010. — Vol. 2, ¹ 1. — Ð. 1793— 1816.
Èåðàðõè÷åñêàÿ êëàñòåðèçàöèÿ íå÷åòêèõ äàííûõ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2012. Ò. 34. ¹ 4 21
13. Delgado M., Gomez-Skarmeta A. F., Vila A. Intern. J. of Approximate Reasoning.— 1996. —
¹ 14. — Ð. 237—257.
14. Ìèíàåâ Þ. Í., Ôèëèìîíîâà Î. Þ. Íå÷åòêàÿ ìàòåìàòèêà íà îñíîâå òåíçîðíûõ ìîäåëåé
íåîïðåäåëåííîñòè. ×. I. Òåíçîð-ïåðåìåííàÿ â ñèñòåìå íå÷åòêèõ ìíîæåñòâ. ×. II.
Íå÷åòêàÿ ìàòåìàòèêà â òåíçîðíîì áàçèñå// Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. — 2008. — 30,
¹ 1. — Ñ. 43—59; ¹ 2. — Ñ. 4—21.
15. Colda T. G., Bader B. W. Tensor Decompositions and Applications // ACM Transactions on
Mathematical Software. — 2006. — Vol. 32, ¹ 4. — P. 635—653.
16. Kiyoung Yang, Cyrus Shahabi A PCA-based Similarity Measure for Multivariate Time Se-
ries —http://infolab.usc.edu/ Docs-De-mos/ mmdb04.pdf
17. Singhal D., Seborg A. Clustering of Multivariate Time-series Data// Proc. of the American
Control Conference. Anchorage, Alaska, USA, 8-10 May, 2002. — 2002. — Vol. 5. — Ð. 351—
358.
18. Murtagh F. Symmetry in Data Mining and Analysis: A Unifying View based on Hierar-
chy//arXiv: 50805. 2744v1 [stat.ML] 18 May 2008. — 33 p.
19. Murtagh F., Downs G., Contreras P. Hierarchical Clustering of Massive, High Dimensional
Data Sets by Exploiting Ultrametric Embedding// SIAM J. on Scientific Computing. — 2008. —
Vol. 30. — P. 707—730.
20. Gouvea F. Q. P-Adic Numbers: An Introduction. — Springer, 2003. — 208 p.
21. Schikhof W. H. Ultrametric Calculus. An Itroduction to p-adic Analysis. — Cambridge Uni-
versity Press, 1984. — 306 p.
Ïîñòóïèëà 12.09.11;
ïîñëå äîðàáîòêè 17.04.12
ÌÈÍÀÅÂ Þðèé Íèêîëàåâè÷, ä-ð òåõí. íàóê, ïðîôåññîð êàôåäðû êîìïüþòåðíûõ ñèñòåì è
ñåòåé Íàöèîíàëüíîãî àâèàöèîííîãî óíèâåðñèòåòà Óêðàèíû.  1959 ã. îêîí÷èë Õàðüêîâñêèé
ïîëèòåõíè÷åñêèé èí-ò. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — èíòåëëåêòóàëüíûé àíàëèç äàííûõ,
ïðèìåíåíèå èíòåëëåêòóàëüíûõ òåõíîëîãèé â ñèñòåìàõ ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé.
ÔÈËÈÌÎÍÎÂÀ Îêñàíà Þðüåâíà, êàíä. òåõí. íàóê, äîöåíò Êèåâñêîãî íàöèîíàëüíîãî óíèâåð-
ñèòåòà ñòðîèòåëüñòâà è àðõèòåêòóðû.  1989 ã. îêîí÷èëà Êèåâñêèé èíæåíåðíî-ñòðîè-
òåëüíûé èí-ò. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — èíòåëëåêòóàëüíûé àíàëèç äàííûõ.
ÌÈÍÀÅÂÀ Þëèÿ Èâàíîâíà, àñïèðàíòêà êàôåäðû îñíîâ èíôîðìàòèêè Êèåâñêîãî íàöèîíàëü-
íîãî óíèâåðñèòåòà ñòðîèòåëüñòâà è àðõèòåêòóðû, êîòîðûé îêîí÷èëà â 2008 ã. Îáëàñòü
íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — èíòåëëåêòóàëüíûé àíàëèç äàííûõ.
Þ. Í. Ìèíàåâ, Î. Þ. Ôèëèìîíîâà, Þ. È. Ìèíàåâà
22 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2012. V. 34. ¹ 4
<<
/ASCII85EncodePages false
/AllowTransparency false
/AutoPositionEPSFiles true
/AutoRotatePages /None
/Binding /Left
/CalGrayProfile (Dot Gain 20%)
/CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CalCMYKProfile (U.S. Web Coated \050SWOP\051 v2)
/sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CannotEmbedFontPolicy /Error
/CompatibilityLevel 1.4
/CompressObjects /Tags
/CompressPages true
/ConvertImagesToIndexed true
/PassThroughJPEGImages true
/CreateJDFFile false
/CreateJobTicket false
/DefaultRenderingIntent /Default
/DetectBlends true
/DetectCurves 0.0000
/ColorConversionStrategy /CMYK
/DoThumbnails false
/EmbedAllFonts true
/EmbedOpenType false
/ParseICCProfilesInComments true
/EmbedJobOptions true
/DSCReportingLevel 0
/EmitDSCWarnings false
/EndPage -1
/ImageMemory 1048576
/LockDistillerParams false
/MaxSubsetPct 100
/Optimize true
/OPM 1
/ParseDSCComments true
/ParseDSCCommentsForDocInfo true
/PreserveCopyPage true
/PreserveDICMYKValues true
/PreserveEPSInfo true
/PreserveFlatness true
/PreserveHalftoneInfo false
/PreserveOPIComments true
/PreserveOverprintSettings true
/StartPage 1
/SubsetFonts true
/TransferFunctionInfo /Apply
/UCRandBGInfo /Preserve
/UsePrologue false
/ColorSettingsFile ()
/AlwaysEmbed [ true
]
/NeverEmbed [ true
]
/AntiAliasColorImages false
/CropColorImages true
/ColorImageMinResolution 300
/ColorImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleColorImages true
/ColorImageDownsampleType /Bicubic
/ColorImageResolution 300
/ColorImageDepth -1
/ColorImageMinDownsampleDepth 1
/ColorImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeColorImages true
/ColorImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterColorImages true
/ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG
/ColorACSImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/ColorImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/JPEG2000ColorACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/JPEG2000ColorImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/AntiAliasGrayImages false
/CropGrayImages true
/GrayImageMinResolution 300
/GrayImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleGrayImages true
/GrayImageDownsampleType /Bicubic
/GrayImageResolution 300
/GrayImageDepth -1
/GrayImageMinDownsampleDepth 2
/GrayImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeGrayImages true
/GrayImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterGrayImages true
/GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG
/GrayACSImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/GrayImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/JPEG2000GrayACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/JPEG2000GrayImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/AntiAliasMonoImages false
/CropMonoImages true
/MonoImageMinResolution 1200
/MonoImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleMonoImages true
/MonoImageDownsampleType /Bicubic
/MonoImageResolution 1200
/MonoImageDepth -1
/MonoImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeMonoImages true
/MonoImageFilter /CCITTFaxEncode
/MonoImageDict <<
/K -1
>>
/AllowPSXObjects false
/CheckCompliance [
/None
]
/PDFX1aCheck false
/PDFX3Check false
/PDFXCompliantPDFOnly false
/PDFXNoTrimBoxError true
/PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXSetBleedBoxToMediaBox true
/PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXOutputIntentProfile ()
/PDFXOutputConditionIdentifier ()
/PDFXOutputCondition ()
/PDFXRegistryName ()
/PDFXTrapped /False
/Description <<
/CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e9ad88d2891cf76845370524d53705237300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002>
/CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc9ad854c18cea76845370524d5370523786557406300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002>
/DAN <FEFF004200720075006700200069006e0064007300740069006c006c0069006e006700650072006e0065002000740069006c0020006100740020006f007000720065007400740065002000410064006f006200650020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e007400650072002c0020006400650072002000620065006400730074002000650067006e006500720020007300690067002000740069006c002000700072006500700072006500730073002d007500640073006b007200690076006e0069006e00670020006100660020006800f8006a0020006b00760061006c0069007400650074002e0020004400650020006f007000720065007400740065006400650020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e0074006500720020006b0061006e002000e50062006e00650073002000690020004100630072006f00620061007400200065006c006c006500720020004100630072006f006200610074002000520065006100640065007200200035002e00300020006f00670020006e0079006500720065002e>
/DEU <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>
/ESP <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>
/FRA <FEFF005500740069006c006900730065007a00200063006500730020006f007000740069006f006e00730020006100660069006e00200064006500200063007200e900650072002000640065007300200064006f00630075006d0065006e00740073002000410064006f00620065002000500044004600200070006f0075007200200075006e00650020007100750061006c0069007400e90020006400270069006d007000720065007300730069006f006e00200070007200e9007000720065007300730065002e0020004c0065007300200064006f00630075006d0065006e00740073002000500044004600200063007200e900e90073002000700065007500760065006e0074002000ea0074007200650020006f007500760065007200740073002000640061006e00730020004100630072006f006200610074002c002000610069006e00730069002000710075002700410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002000650074002000760065007200730069006f006e007300200075006c007400e90072006900650075007200650073002e>
/ITA <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>
/JPN <FEFF9ad854c18cea306a30d730ea30d730ec30b951fa529b7528002000410064006f0062006500200050004400460020658766f8306e4f5c6210306b4f7f75283057307e305930023053306e8a2d5b9a30674f5c62103055308c305f0020005000440046002030d530a130a430eb306f3001004100630072006f0062006100740020304a30883073002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee5964d3067958b304f30533068304c3067304d307e305930023053306e8a2d5b9a306b306f30d530a930f330c8306e57cb30818fbc307f304c5fc59808306730593002>
/KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020ace0d488c9c80020c2dcd5d80020c778c1c4c5d00020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e>
/NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken die zijn geoptimaliseerd voor prepress-afdrukken van hoge kwaliteit. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.)
/NOR <FEFF004200720075006b00200064006900730073006500200069006e006e007300740069006c006c0069006e00670065006e0065002000740069006c002000e50020006f0070007000720065007400740065002000410064006f006200650020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e00740065007200200073006f006d00200065007200200062006500730074002000650067006e0065007400200066006f00720020006600f80072007400720079006b006b0073007500740073006b00720069006600740020006100760020006800f800790020006b00760061006c0069007400650074002e0020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e00740065006e00650020006b0061006e002000e50070006e00650073002000690020004100630072006f00620061007400200065006c006c00650072002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000200065006c006c00650072002000730065006e006500720065002e>
/PTB <FEFF005500740069006c0069007a006500200065007300730061007300200063006f006e00660069006700750072006100e700f50065007300200064006500200066006f0072006d00610020006100200063007200690061007200200064006f00630075006d0065006e0074006f0073002000410064006f0062006500200050004400460020006d00610069007300200061006400650071007500610064006f00730020007000610072006100200070007200e9002d0069006d0070007200650073007300f50065007300200064006500200061006c007400610020007100750061006c00690064006100640065002e0020004f007300200064006f00630075006d0065006e0074006f00730020005000440046002000630072006900610064006f007300200070006f00640065006d0020007300650072002000610062006500720074006f007300200063006f006d0020006f0020004100630072006f006200610074002000650020006f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002000650020007600650072007300f50065007300200070006f00730074006500720069006f007200650073002e>
/SUO <FEFF004b00e40079007400e40020006e00e40069007400e4002000610073006500740075006b007300690061002c0020006b0075006e0020006c0075006f00740020006c00e400680069006e006e00e4002000760061006100740069007600610061006e0020007000610069006e006100740075006b00730065006e002000760061006c006d0069007300740065006c00750074007900f6006800f6006e00200073006f00700069007600690061002000410064006f0062006500200050004400460020002d0064006f006b0075006d0065006e007400740065006a0061002e0020004c0075006f0064007500740020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e00740069007400200076006f0069006400610061006e0020006100760061007400610020004100630072006f0062006100740069006c006c00610020006a0061002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030003a006c006c00610020006a006100200075007500640065006d006d0069006c006c0061002e>
/SVE <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>
/ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents best suited for high-quality prepress printing. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.)
>>
/Namespace [
(Adobe)
(Common)
(1.0)
]
/OtherNamespaces [
<<
/AsReaderSpreads false
/CropImagesToFrames true
/ErrorControl /WarnAndContinue
/FlattenerIgnoreSpreadOverrides false
/IncludeGuidesGrids false
/IncludeNonPrinting false
/IncludeSlug false
/Namespace [
(Adobe)
(InDesign)
(4.0)
]
/OmitPlacedBitmaps false
/OmitPlacedEPS false
/OmitPlacedPDF false
/SimulateOverprint /Legacy
>>
<<
/AddBleedMarks false
/AddColorBars false
/AddCropMarks false
/AddPageInfo false
/AddRegMarks false
/ConvertColors /ConvertToCMYK
/DestinationProfileName ()
/DestinationProfileSelector /DocumentCMYK
/Downsample16BitImages true
/FlattenerPreset <<
/PresetSelector /MediumResolution
>>
/FormElements false
/GenerateStructure false
/IncludeBookmarks false
/IncludeHyperlinks false
/IncludeInteractive false
/IncludeLayers false
/IncludeProfiles false
/MultimediaHandling /UseObjectSettings
/Namespace [
(Adobe)
(CreativeSuite)
(2.0)
]
/PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK
/PreserveEditing true
/UntaggedCMYKHandling /LeaveUntagged
/UntaggedRGBHandling /UseDocumentProfile
/UseDocumentBleed false
>>
]
>> setdistillerparams
<<
/HWResolution [2400 2400]
/PageSize [612.000 792.000]
>> setpagedevice
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-61833 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0204-3572 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-01T23:32:41Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Минаев, Ю.Н. Филимонова, О.Ю. Минаева, Ю.И. 2014-05-12T15:41:02Z 2014-05-12T15:41:02Z 2012 Иерархическая кластеризация нечетких данных / Ю.Н. Минаев, О.Ю. Филимонова, Ю.И. Минаева // Электронное моделирование. — 2012 — Т. 34, № 4. — С. 3-22. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. 0204-3572 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/61833 519.5:517.1: Рассмотрена кластеризация данных (построение бинарных деревьев-дендрограмм), представленных в виде нечетких переменных, моделируемых тензорами. Закодированная бинарным алфавитом дендрограмма представляет собой 2-адическое число, которое может быть использовано как ее характеристика. Сравнение иерархических кластеризаций нечетких данных и их дефадзификаций, выполненное на уровне 2-адических деревьев, позволяет сделать вывод о наличии (отсутствии) структурной близости объектов. Розглянуто кластеризацію даних (побудову бінарних дерев-дендрограм), представлених у вигляді нечітких змінних, котрі моделюються тензорами. Закодована бінарним алфавітомдендрограма являє собою 2-адичне число, яке може бути використано як її характеристика. Порівняння ієрархічних кластеризацій нечітких даних та іхніх дефадзифікацій, виконане на рівні 2-адичних дерев, дозволяє зробити висновок про наявність (відсутність) структурної близькості об'єктів. The questions of clusterization (construction of binary trees-dendrograms) of the data, presented in the form of fuzzy variables, which are in turn simulated by tensors, are considered. A dendrogram encoded by binary alphabet is a 2-adical number, which can be used as the dendrogram characteristic. A comparison of hierarchical clusterizations of fuzzy data and their defuzzifications, performed at the level of 2-adical trees, allows us to draw a conclusion on the presence (absence) of structure nearness of the objects. ru Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України Электронное моделирование Математические методы и модели Иерархическая кластеризация нечетких данных Article published earlier |
| spellingShingle | Иерархическая кластеризация нечетких данных Минаев, Ю.Н. Филимонова, О.Ю. Минаева, Ю.И. Математические методы и модели |
| title | Иерархическая кластеризация нечетких данных |
| title_full | Иерархическая кластеризация нечетких данных |
| title_fullStr | Иерархическая кластеризация нечетких данных |
| title_full_unstemmed | Иерархическая кластеризация нечетких данных |
| title_short | Иерархическая кластеризация нечетких данных |
| title_sort | иерархическая кластеризация нечетких данных |
| topic | Математические методы и модели |
| topic_facet | Математические методы и модели |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/61833 |
| work_keys_str_mv | AT minaevûn ierarhičeskaâklasterizaciânečetkihdannyh AT filimonovaoû ierarhičeskaâklasterizaciânečetkihdannyh AT minaevaûi ierarhičeskaâklasterizaciânečetkihdannyh |