Моделирование температурных режимов в термочувствительных микроэлектронных устройствах со сквозными инородными включениями
Рассмотрена нелинейная граничная осесимметрическая задача теплопроводности для термочувствительного слоя с инородным сквозным цилиндрическим тепловыделяющим включением. С помощью введенной функции проведена частичная линеаризация исходной задачи. С использованием предложенной кусочно-линейной аппрок...
Gespeichert in:
| Datum: | 2012 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
2012
|
| Schriftenreihe: | Электронное моделирование |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/61839 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Моделирование температурных режимов в термочувствительных микроэлектронных устройствах со сквозными инородными включениями / В.И. Гаврыш // Электронное моделирование. — 2012 — Т. 34, № 4. — С. 99-107. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-61839 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-618392025-02-09T10:06:28Z Моделирование температурных режимов в термочувствительных микроэлектронных устройствах со сквозными инородными включениями Гаврыш, В.И. Применение методов и средств моделирования Рассмотрена нелинейная граничная осесимметрическая задача теплопроводности для термочувствительного слоя с инородным сквозным цилиндрическим тепловыделяющим включением. С помощью введенной функции проведена частичная линеаризация исходной задачи. С использованием предложенной кусочно-линейной аппроксимации температуры на граничной поверхности инородного включения задача полностью линеаризована. Построено ее аналитическое решение для определения введенной функции с помощью интегрального преобразования Хенкеля. Приведены расчетные формулы для вычисления температуры и выполнен численный анализ. Розглянуто нелінійну крайову осесиметричну задачу теплопровідності для термочутливого шару з чужорідним наскрізним циліндричним включенням, що виділяє тепло. За допомогою введеної функції здійснено часткову лінеаризацію вихідної задачі. З використанням запропонованої кусково-лінійної апроксимації температури на межовій поверхні чужорідного включення задачу цілком лінеаризовано. Побудовано її аналітичний розв’язок для знаходження введеної функції за допомогою інтегрального перетворення Хенкеля. Наведено розрахункові формули для обчислення температури та виконано числовий аналіз. The nonlinear boundary axially symmetric problem of heat conduction for the heat-sensitive layer with through foreign cylindrical inclusion that generates heat, has been considered. With the help of the introduced function the partial linearization of the original problem has been carried out. Using the proposed piecewise-linear approximation of temperature on the boundary surface of the foreign inclusion the problem has been completely linearized. The analytical solution of this problem for finding the introduced function using Hankel integral transformation has been formed. The formulas for calculating the desired temperature have been shown and numerical analysis performed. 2012 Article Моделирование температурных режимов в термочувствительных микроэлектронных устройствах со сквозными инородными включениями / В.И. Гаврыш // Электронное моделирование. — 2012 — Т. 34, № 4. — С. 99-107. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. 0204-3572 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/61839 536.24 ru Электронное моделирование application/pdf Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Применение методов и средств моделирования Применение методов и средств моделирования |
| spellingShingle |
Применение методов и средств моделирования Применение методов и средств моделирования Гаврыш, В.И. Моделирование температурных режимов в термочувствительных микроэлектронных устройствах со сквозными инородными включениями Электронное моделирование |
| description |
Рассмотрена нелинейная граничная осесимметрическая задача теплопроводности для термочувствительного слоя с инородным сквозным цилиндрическим тепловыделяющим включением. С помощью введенной функции проведена частичная линеаризация исходной задачи. С использованием предложенной кусочно-линейной аппроксимации температуры на граничной поверхности инородного включения задача полностью линеаризована. Построено ее аналитическое решение для определения введенной функции с помощью интегрального преобразования Хенкеля. Приведены расчетные формулы для вычисления температуры и выполнен численный анализ. |
| format |
Article |
| author |
Гаврыш, В.И. |
| author_facet |
Гаврыш, В.И. |
| author_sort |
Гаврыш, В.И. |
| title |
Моделирование температурных режимов в термочувствительных микроэлектронных устройствах со сквозными инородными включениями |
| title_short |
Моделирование температурных режимов в термочувствительных микроэлектронных устройствах со сквозными инородными включениями |
| title_full |
Моделирование температурных режимов в термочувствительных микроэлектронных устройствах со сквозными инородными включениями |
| title_fullStr |
Моделирование температурных режимов в термочувствительных микроэлектронных устройствах со сквозными инородными включениями |
| title_full_unstemmed |
Моделирование температурных режимов в термочувствительных микроэлектронных устройствах со сквозными инородными включениями |
| title_sort |
моделирование температурных режимов в термочувствительных микроэлектронных устройствах со сквозными инородными включениями |
| publisher |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| publishDate |
2012 |
| topic_facet |
Применение методов и средств моделирования |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/61839 |
| citation_txt |
Моделирование температурных режимов в термочувствительных микроэлектронных устройствах со сквозными инородными включениями / В.И. Гаврыш // Электронное моделирование. — 2012 — Т. 34, № 4. — С. 99-107. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. |
| series |
Электронное моделирование |
| work_keys_str_mv |
AT gavryšvi modelirovanietemperaturnyhrežimovvtermočuvstvitelʹnyhmikroélektronnyhustrojstvahsoskvoznymiinorodnymivklûčeniâmi |
| first_indexed |
2025-11-25T17:32:36Z |
| last_indexed |
2025-11-25T17:32:36Z |
| _version_ |
1849784493826637824 |
| fulltext |
ÓÄÊ 536.24
Â. È. Ãàâðûø, êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê
Íàöèîíàëüíûé óíèâåðñèòåò «Ëüâîâñêàÿ ïîëèòåõíèêà»,
(Óêðàèíà, 79013, Ëüâîâ, óë. Ñ. Áàíäåðû, 12,
òåë. (032) 2582578, å-mail: ikni.pz@gmail.com)
Ìîäåëèðîâàíèå òåìïåðàòóðíûõ ðåæèìîâ
â òåðìî÷óâñòâèòåëüíûõ ìèêðîýëåêòðîííûõ
óñòðîéñòâàõ ñî ñêâîçíûìè èíîðîäíûìè âêëþ÷åíèÿìè
Ðàññìîòðåíà íåëèíåéíàÿ ãðàíè÷íàÿ îñåñèììåòðè÷åñêàÿ çàäà÷à òåïëîïðîâîäíîñòè äëÿ òåðìî-
÷óâñòâèòåëüíîãî ñëîÿ ñ èíîðîäíûì ñêâîçíûì öèëèíäðè÷åñêèì òåïëîâûäåëÿþùèì âêëþ-
÷åíèåì. Ñ ïîìîùüþ ââåäåííîé ôóíêöèè ïðîâåäåíà ÷àñòè÷íàÿ ëèíåàðèçàöèÿ èñõîäíîé çàäà÷è.
Ñ èñïîëüçîâàíèåì ïðåäëîæåííîé êóñî÷íî-ëèíåéíîé àïïðîêñèìàöèè òåìïåðàòóðû íà ãðà-
íè÷íîé ïîâåðõíîñòè èíîðîäíîãî âêëþ÷åíèÿ çàäà÷à ïîëíîñòüþ ëèíåàðèçîâàíà. Ïîñòðîåíî åå
àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå äëÿ îïðåäåëåíèÿ ââåäåííîé ôóíêöèè ñ ïîìîùüþ èíòåãðàëüíîãî
ïðåîáðàçîâàíèÿ Õåíêåëÿ. Ïðèâåäåíû ðàñ÷åòíûå ôîðìóëû äëÿ âû÷èñëåíèÿ òåìïåðàòóðû è
âûïîëíåí ÷èñëåííûé àíàëèç.
Ðîçãëÿíóòî íåë³í³éíó êðàéîâó îñåñèìåòðè÷íó çàäà÷ó òåïëîïðîâ³äíîñò³ äëÿ òåðìî÷óòëèâîãî
øàðó ç ÷óæîð³äíèì íàñêð³çíèì öèë³íäðè÷íèì âêëþ÷åííÿì, ùî âèä³ëÿº òåïëî. Çà äîïîìîãîþ
ââåäåíî¿ ôóíêö³¿ çä³éñíåíî ÷àñòêîâó ë³íåàðèçàö³þ âèõ³äíî¿ çàäà÷³. Ç âèêîðèñòàííÿì çà-
ïðîïîíîâàíî¿ êóñêîâî-ë³í³éíî¿ àïðîêñèìàö³¿ òåìïåðàòóðè íà ìåæîâ³é ïîâåðõí³ ÷óæîð³äíîãî
âêëþ÷åííÿ çàäà÷ó ö³ëêîì ë³íåàðèçîâàíî. Ïîáóäîâàíî ¿¿ àíàë³òè÷íèé ðîçâ’ÿçîê äëÿ çíàõîä-
æåííÿ ââåäåíî¿ ôóíêö³¿ çà äîïîìîãîþ ³íòåãðàëüíîãî ïåðåòâîðåííÿ Õåíêåëÿ. Íàâåäåíî ðîçðà-
õóíêîâ³ ôîðìóëè äëÿ îá÷èñëåííÿ òåìïåðàòóðè òà âèêîíàíî ÷èñëîâèé àíàë³ç.
Ê ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à: òåìïåðàòóðà, òåïëîïðîâîäíîñòü, ñòàöèîíàðíàÿ îñåñèììåòðè-
÷åñêàÿ çàäà÷à, èçîòðîïíûé òåðìî÷óâñòâèòåëüíûé ñëîé, ñêâîçíîå èíîðîäíîå âêëþ÷åíèå,
èäåàëüíûé òåïëîâîé êîíòàêò.
Îäíèì èç ôàêòîðîâ, âûçûâàþùèõ äåôîðìàöèè è íàïðÿæåíèÿ â óïðóãèõ
òåëàõ, ÿâëÿåòñÿ íåðàâíîìåðíûé íàãðåâ. Êàê ïðàâèëî, ýëåìåíòû òåëà ïðè
ïîâûøåíèè òåìïåðàòóðû ðàñøèðÿþòñÿ. Åñëè ïðè ýòîì íè÷òî íå ïðåïÿòñòâóåò
ðàñøèðåíèþ, òî òåëî äåôîðìèðóåòñÿ è íèêàêèõ íàïðÿæåíèé íå âîçíèêàåò.
Îäíàêî åñëè òåìïåðàòóðà â òåëå âîçðàñòàåò íåðàâíîìåðíî, à òåëî ÿâëÿåòñÿ
íåîäíîðîäíûì, òî ðàñøèðåíèå íå ìîæåò ïðîèñõîäèòü ñâîáîäíî. Â ýòîì
ñëó÷àå â òåëå âîçíèêàþò òåìïåðàòóðíûå íàïðÿæåíèÿ. Åñëè íå ó÷èòûâàòü
âëèÿíèÿ íàïðÿæåíèé è äåôîðìàöèé, îáóñëîâëåííûõ ñèëîâûìè ôàêòîðàìè, íà
ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû, ÷òî îêàçûâàåòñÿ ñïðàâåäëèâûì äëÿ áîëüøèíñò-
âà ïðàêòè÷åñêèõ çàäà÷, òî ïåðâûì øàãîì ïðè èññëåäîâàíèè òåìïåðàòóðíûõ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2012. Ò. 34. ¹ 4 99
íàïðÿæåíèé ÿâëÿåòñÿ îïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðíîãî ïîëÿ. Ýòî ñîñòàâëÿåò
ãëàâíóþ çàäà÷ó àíàëèòè÷åñêîé òåîðèè òåïëîïðîâîäíîñòè.
Îñîáîå çíà÷åíèå äëÿ ïðîèçâîäñòâà ìèêðîýëåêòðîííûõ óñòðîéñòâ èìåþò
êîìïîçèöèîííûå ìàòåðèàëû, ðàçðàáîòêà êîòîðûõ ÿâëÿåòñÿ îäíîé èç îñíîâ-
íûõ ïðîáëåì ñîâðåìåííîãî ìàòåðèàëîâåäåíèÿ. Ñîçäàíèå íîâûõ êîìïîçè-
öèîííûõ ìàòåðèàëîâ ñ óëó÷øåííûìè ôèçèêî-ìåõàíè÷åñêèìè ñâîéñòâàìè
ñòèìóëèðóåò ðàçðàáîòêó íîâûõ òåõíîëîãèé â ðàçëè÷íûõ îòðàñëÿõ íàðîäíîãî
õîçÿéñòâà. Ñðåäè êîìïîçèöèîííûõ ìàòåðèàëîâ âàæíîå ìåñòî çàíèìàþò
ñòðóêòóðû ñ èíîðîäíûìè âêëþ÷åíèÿìè, øèðîêî ïðèìåíÿåìûå â êîíñòðóê-
öèÿõ ìèêðîýëåêòðîííûõ óñòðîéñòâ, â ÷àñòíîñòè â èíòåãðàëüíûõ ñåíñîðàõ äëÿ
ìîíèòîðèíãà òåìïåðàòóðû è âëàæíîñòè, ñâåòîäèîäàõ, ñåëåêòèâíûõ îïòè-
÷åñêèõ ôèëüòðàõ.
Ïîñêîëüêó ðàññìàòðèâàåìûå ñòðóêòóðû èìåþò øèðîêèé äèàïàçîí
òåìïåðàòóð, èõ óëó÷øåííûå ýêñïëóàòàöèîííûå ïàðàìåòðû îáóñëîâëè-
âàþò íåîáõîäèìîñòü ñîçäàíèÿ íåëèíåéíûõ ìîäåëåé ïðîöåññà òåïëîïðî-
âîäíîñòè, òàê êàê ðàñ÷åòû òåìïåðàòóðíûõ ïîëåé, âûïîëíåííûõ íà îñíîâå
ëèíåéíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé, íå âñåãäà ïðèâîäÿò ê óäîâëåòâîðè-
òåëüíûì ðåçóëüòàòàì. Â ñâÿçè ñ ýòèì âîçíèêëà íåîáõîäèìîñòü ïîñòðîåíèÿ
íîâûõ íåëèíåéíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé ïðîöåññà òåïëîïðîâîäíîñòè
äëÿ òåðìî÷óâñòâèòåëüíûõ òåë (òåïëîôèçè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè ìàòåðèà-
ëîâ êîòîðûõ çàâèñÿò îò òåìïåðàòóðû) ñ èíîðîäíûìè âêëþ÷åíèÿìè è ðàç-
ðàáîòêè ýôôåêòèâíûõ ìåòîäîâ ðåøåíèÿ âîçíèêàþùèõ ïðè ýòîì íåëèíåé-
íûõ ãðàíè÷íûõ çàäà÷ òåïëîïðîâîäíîñòè.
 ðàáîòàõ [1, 2] ïðèâåäåíû íåêîòîðûå ìåòîäû ðåøåíèÿ íåëèíåéíûõ
ãðàíè÷íûõ çàäà÷ òåïëîïðîâîäíîñòè äëÿ îäíîðîäíûõ òåë, à â [3] ðàññìîò-
ðåíû íåëèíåéíûå ïðîöåññû òåïëîïðîâîäíîñòè äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è î
íàïðÿæåííîì ñîñòîÿíèè â íåîäíîðîäíûõ òåëàõ ñ ôèçè÷åñêîé íåëèíåé-
íîñòüþ ïðè èñïîëüçîâàíèè ìåòîäà ãðàíè÷íûõ ýëåìåíòîâ. Ñ ïîìîùüþ
âàðèàöèîííûõ ìåòîäîâ ïîñòðîåíà íåëèíåéíàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü
íåñòàöèîíàðíîé òåïëîïðîâîäíîñòè â äâóìåðíîé ñðåäå ñ òîíêèì âêëþ-
÷åíèåì. Çàäà÷à ëèíåàðèçîâàíà ìåòîäîì Íüþòîíà—Ðàôñîíà [4].  ðàáîòå
[5] ïîëó÷åíî ÷èñëåííî-àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå íåñòàöèîíàðíîé çàäà÷è
òåïëîïðîâîäíîñòè äëÿ ïîëîãî øàðà, òåïëîôèçè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè ìà-
òåðèàëà êîòîðîãî èçìåíÿþòñÿ ñ èçìåíåíèåì òåìïåðàòóðû. Â [6] ïðèâåäåíî
ïðèáëèæåííîå àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå íåëèíåéíîé çàäà÷è òåïëîïðîâîä-
íîñòè ñ èñïîëüçîâàíèåì ìåòîäà òåïëîâîãî áàëàíñà.
Ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå íåñòàöèîíàðíîé íåëèíåéíîé çàäà÷è òåïëî-
ïðîâîäíîñòè â òîëñòîñòåííîì òåëå ñëîæíîé ôîðìû ñî ñêîñíûìè ñðåçàìè
ïîñòðîåíî ìåòîäàìè êîíå÷íûõ ýëåìåíòîâ è Íüþòîíà—Ðàôñîíà [7]. Ñ èñ-
ïîëüçîâàíèåì ôóíêöèè Ãðèíà íåëèíåéíîå îäíîìåðíîå íåñòàöèîíàðíîå
Â. È. Ãàâðûø
100 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2012. V. 34. ¹ 4
óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè ñâåäåíî ê íåëèíåéíîìó èíòåãðàëüíîìó óðàâ-
íåíèþ Âîëüòåðû âòîðîãî ðîäà, êîòîðîå ðåøàåòñÿ ÷èñëåííûìè ìåòîäàìè
[8]. Ðàáîòû [9—14] ïîñâÿùåíû ðàçâèòèþ ìåòîäîâ ðåøåíèÿ ñòàöèîíàðíûõ
ëèíåéíûõ è íåëèíåéíûõ çàäà÷ òåïëîïðîâîäíîñòè ñ òåïëîîòäà÷åé äëÿ êîíñò-
ðóêöèé äâóìåðíîé êóñî÷íî-îäíîðîäíîé ñòðóêòóðû.  ðàáîòàõ [15, 16] ïðèâå-
äåíû îáùèå óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè äëÿ êóñî÷íî-îäíîðîäíûõ òåë.
Ïîñòðîèì íåëèíåéíóþ ìàòåìàòè÷åñêóþ ìîäåëü ñòàöèîíàðíîãî ïðî-
öåññà òåïëîïðîâîäíîñòè äëÿ îòäåëüíûõ óçëîâ ìèêðîýëåêòðîííûõ óñò-
ðîéñòâ, èìåþùèõ òåðìî÷óâñòâèòåëüíûé èçîòðîïíûé ñëîé ñî ñêâîçíûì
èíîðîäíûì òåïëîâûäåëÿþùèì öèëèíäðè÷åñêèì âêëþ÷åíèåì. Ïðîâåäåì
ëèíåàðèçàöèþ ðàññìàòðèâàåìîé ìîäåëè è ñôîðìóëèðóåì ìåòîäèêó ïîñò-
ðîåíèÿ àíàëèòè÷åñêîãî ðåøåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùåé íåëèíåéíîé ãðàíè÷íîé
çàäà÷è òåïëîïðîâîäíîñòè.
Ôîðìóëèðîâêà çàäà÷è. Ðàññìîòðèì èçîòðîïíûé (îòíîñèòåëüíî òåï-
ëîôèçè÷åñêèõ õàðàêòåðèñòèê) òåðìî÷óâñòâèòåëüíûé ñëîé, ñîäåðæàùèé
ñêâîçíîå èíîðîäíîå öèëèíäðè÷åñêîå âêëþ÷åíèå ðàäèóñà R, îòíåñåííûé ê
öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò Or�z.  îáëàñòè âêëþ÷åíèÿ �0 �
� � � � �{( , , ) : , , | | }r z r R z l� � �0 2 äåéñòâóþò ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííûå
âíóòðåííèå èñòî÷íèêè òåïëà ìîùíîñòüþ q0 �const. Íà ãðàíè÷íîé ïîâåðõ-
íîñòè âêëþ÷åíèÿ K R z z lR � � � �{( , , ) : , | | }� � �0 2 îñóùåñòâëÿåòñÿ èäåàëü-
íûé òåïëîâîé êîíòàêò, à íà ãðàíè÷íûõ ïîâåðõíîñòÿõ ñëîÿ�� �{( , , ) :r l� � �0
� � � �r , }0 2� � çàäàíû ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ âòîðîãî ðîäà (ðèñ. 1).
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü çàäà÷è. Ðàñïðåäåëåíèå îñåñèììåòðè÷åñêîãî
ñòàöèîíàðíîãî òåìïåðàòóðíîãî ïîëÿ t r z( , ) â ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìå
íàõîäèì â ðåçóëüòàòå ðåøåíèÿ íåëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè
[15, 16]
1
0
r r
r t r
t
r z
t r
t
z
q S R
�
�
( , ) ( , ) (�
�
�
��
� �
�
�
��
� � � �r) (1)
Ìîäåëèðîâàíèå òåìïåðàòóðíûõ ðåæèìîâ â òåðìî÷óâñòâèòåëüíûõ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2012. Ò. 34. ¹ 4 101
Ðèñ. 1. Èçîòðîïíûé òåðìî÷óâñòâèòåëüíûé ñëîé ñ èíîðîäíûì ñêâîçíûì öèëèíäðè÷åñêèì
òåïëîâûäåëÿþùèì âêëþ÷åíèåì
ñ ãðàíè÷íèìè óñëîâèÿìè
t r| � �0,
t
r r�
�0,
t
z z l�
�0 . (2)
Çäåñü � ( , )t r — êîýôôèöèåíò òåïëîïðîâîäíîñòè íåîäíîðîäíîãî òåðìî-
÷óâñòâèòåëüíîãî ñëîÿ, � � � �( , ) ( ) [ ( ) ( )] ( )t r t t t S R r� � � ��1 0 1 , ãäå �1( )t è
� 0( )t — êîýôôèöèåíòû òåïëîïðîâîäíîñòè ìàòåðèàëîâ ñëîÿ è âêëþ÷åíèÿ;
S �( )� — àñèììåòðè÷åñêàÿ åäèíè÷íàÿ ôóíêöèÿ [17],
S � �
�
�
�
�
�
( )
,
, .
�
� ��
� �
1
0
Ââåäåì ôóíêöèþ
� � � � � � � � �
�
t r z
t R z
t r z
d S R r
( , )
( , )
( , )
( ) ( ) [ ( ) ( )� �� � ��1 0 1 ]d�. (3)
Ïðîäèôôåðåíöèðîâàâ åå ïî ïåðåìåííûì r è z, ïîëó÷èì
�
�
( , )t r
t
r r
� , �
�
� �
( , ) [ ( ) ( )] ( )t r
t
z z
t t
t
z
S R r
r R
� � ��
�
�
�
!
�
�
�0 1 . (4)
Ñ ó÷åòîì âûðàæåíèé (4) èñõîäíîå óðàâíåíèå (1) ïðèìåò ñëåäóþùèé âèä:
1
0 1
r r
r
r z z
t t
t
z
�
�
� �
"
"
�
�
�
��
� � ��
�
�
�
!
[ ( ) ( )]
r R
S R r q S R r
�
� �� � � �( ) ( )0 . (5)
Ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì ñîîòíîøåíèÿ (3) çàïèøåì â
âèäå
�
z z l�
�0, �|r� �0,
�
r r�
�0 . (6)
Òàêèì îáðàçîì, ñ ïîìîùüþ ôóíêöèè (3) íåëèíåéíàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ
ìîäåëü (1), (2) ïðîöåññà òåïëîïðîâîäíîñòè ïðèâåäåíà ê ÷àñòè÷íî ëèíåàðè-
çîâàííîìó óðàâíåíèþ ñ ðàçðûâíûìè êîýôôèöèåíòàìè (5) è ïîëíîñòüþ
ëèíåàðèçîâàííûì ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì (6).
Àïïðîêñèìèðóåì ôóíêöèþ t R z( , ) â âèäå
t R z t t t S z z
i
n
i i i( , ) ( ) ( )� � � �
�
�
� �#1
1
1
1 ,
(7)
ãäå z l l z z z t i ni n i$ � � � � ��] , [; ... ; ( , )1 2 1 1 — íåèçâåñòíûå àïïðîêñèìèðóþ-
ùèå çíà÷åíèÿ òåìïåðàòóðû. Ïîäñòàâèâ âûðàæåíèå (7) â ñîîòíîøåíèå (5),
Â. È. Ãàâðûø
102 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2012. V. 34. ¹ 4
ïîëó÷èì ëèíåéíîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ
îòíîñèòåëüíî ââåäåííîé ôóíêöèè �%
&� � � '� � � � ( � �
�
�
� � � �#
i
n
i i i i it t t t z z q
1
1
1 0 1 1 1( ) [ ( ) ( )] ( ) 0
�
�
�
�
!
��S R r( ) . (8)
Çäåñü & — îïåðàòîð Ëàïëàñà â öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò,
& � )
*
+
,
-
.�
1 2
2r r
r
r z
;
' ��( ) — àñèììåòðè÷åñêàÿ äåëüòà-ôóíêöèÿ Äèðàêà [17], ' �
�
�
�
��( )
( )dS
d
.
Ðåøåíèå ãðàíè÷íîé çàäà÷è òåïëîïðîâîäíîñòè. Ïðèìåíèâ èíòå-
ãðàëüíîå ïðåîáðàçîâàíèå Õeíêåëÿ ïî êîîðäèíàòå r ê óðàâíåíèþ (8) è ãðà-
íè÷íûì óñëîâèÿì (6), ïîëó÷àåì îáûêíîâåííîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâ-
íåíèå ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè,
d
dz
t t t t
i
n
i i i i
2
2
2
1
1
1 0 1 1 1
�
/ � � � '� � � � � (
�
�
� � � �# ( ) [ ( ) ( )] ( )
( )
z z q
R J R
i� �
�
�
�
�
!
0
1 /
/
,
(9)
è ãðàíè÷íûì óñëîâèåì
d
dz z l
�
�
�0, (10)
ãäå � � / �r J r dr0
0
( )
� — òðàíñôîðìàíòà ôóíêöèè �; / — ïàðàìåòð èíòå-
ãðàëüíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Õeíêåëÿ; J v ( )� — ôóíêöèÿ Áåññåëÿ ïåðâîãî
ðîäà ïîðÿäêà v.
Îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (9) íàõîäèì ìåòîäîì âàðèàöèè ïîñòîÿí-
íûõ â ñëåäóþùåì âèäå:
� / /� � ��c e c ez z
1 2
� � � �
�
�
� � �#R
J R t t t t ch z
i
n
i i i i
/
/ � � /1
1
1
1 0 1 1 1( ) ( )[ ( ) ( )] ( z S z z
q
i i) ( )� � �
�
�
�
�
!
0
2/
,
ãäå c1, c2 — ïîñòîÿííûå èíòåãðèðîâàíèÿ. Èñïîëüçîâàâ ãðàíè÷íîå óñëîâèå
(10), ïîëó÷èì ÷àñòíîå ðåøåíèå çàäà÷è (9), (10):
� �
/
/ � �
R
J R t t t t
i
n
i i i i1
1
1
1 0 1 1 1( ) ( )[ ( ) ( )]
�
�
� � �# � � 0
�
�
�
0
�
� � � ��
�
�
��
��
ch z l
sh l
sh l z ch z z S z z
q
i i i
/
/
/ /
( )
( ) ( ) ( )
2
0
/2
�
!
. (11)
Ìîäåëèðîâàíèå òåìïåðàòóðíûõ ðåæèìîâ â òåðìî÷óâñòâèòåëüíûõ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2012. Ò. 34. ¹ 4 103
Ïðèìåíèâ îáðàòíîå èíòåãðàëüíîå ïðåîáðàçîâàíèå Õeíêåëÿ ê ñîîòíîøå-
íèþ (11), íàéäåì âûðàæåíèå äëÿ ôóíêöèè �:
� � / / � �R J r J R t t t t
i
n
i i i i0
0
1
1
1
1 0 1 1( ) ( ) ( )[ ( ) (
�
�
� � �� # � � 1 )]0
�
�
�
0
�
� � � ��
�
�
��
��
ch z l
sh l
sh l z ch z z S z z
q
i i i
/
/
/ /
( )
( ) ( ) ( )
2
0
/
/
2
�
!
d . (12)
Ïîäñòàâèâ êîíêðåòíûå çàâèñèìîñòè êîýôôèöèåíòà òåïëîïðîâîäíîñòè
îò òåìïåðàòóðû äëÿ ìàòåðèàëîâ ñëîÿ è âêëþ÷åíèÿ â ñîîòíîøåíèÿ (3), (12),
ïîñëå íåêîòîðûõ ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷èì ñèñòåìó íåëèíåéíûõ óðàâíå-
íèé äëÿ îïðåäåëåíèÿ íåèçâåñòíûõ àïïðîêñèìèðóþùèõ çíà÷åíèé òåìïåðà-
òóðû ti (i n�1, ). Èñêîìîå òåìïåðàòóðíîå ïîëå äëÿ ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòå-
ìû îïðåäåëÿåì ñ ïîìîùüþ ïîëó÷åííîãî íåëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ ïîñëå
ïîäñòàíîâêè â (3), (12) êîíêðåòíûõ âûðàæåíèé çàâèñèìîñòåé êîýôôèöèåíòà
òåïëîïðîâîäíîñòè îò òåìïåðàòóðû äëÿ ìàòåðèàëîâ ñëîÿ è âêëþ÷åíèÿ.
Ïðèìåð è àíàëèç ÷èñëåííûõ ðåçóëüòàòîâ. Ðàññìîòðèì çàâèñèìîñòü
êîýôôèöèåíòà òåïëîïðîâîäíîñòè îò òåìïåðàòóðû [18, 19],
� �( ) ( )t kt� �0 1 , (13)
èñïîëüçóåìóþ äëÿ ðåøåíèÿ ìíîãèõ ïðàêòè÷åñêèõ çàäà÷. Çäåñü �0 è k —
îïîðíûé è òåìïåðàòóðíûé êîýôôèöèåíòû òåïëîïðîâîäíîñòè. Èç âûðàæå-
íèé (3), (12) ïîëó÷èì ôîðìóëû äëÿ îïðåäåëåíèÿ òåìïåðàòóðû t â îáëàñòè
âêëþ÷åíèÿ �0,
t
k
k
�
� � �
)
*
++
,
-
..1 1
2
0
0
0 1
0
�
�
�
,
(14)
è â îáëàñòè ñëîÿ âíå âêëþ÷åíèÿ �1 0 2� 1 � � �{( , , ) : , , | | }r z r R z l� � � ,
t
k
k
�
� �1 1
2 1
1
0
1
�
�
,
(15)
ãäå
�
�
�
1 0
1
0
0
0 12 2� � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
! �
t k t k t
r R
( ) ; t
k
k
r R
r R
� �
� �
�
1 1
2 1
1
0
1
�
�
.
Â. È. Ãàâðûø
104 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2012. V. 34. ¹ 4
Ôîðìóëû (13), (14) ïîëíîñòüþ îïèñûâàþò ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóð-
íîãî ïîëÿ â òåðìî÷óâñòâèòåëüíîì ñëîå ñ èíîðîäíûì ñêâîçíûì òåïëîâûäå-
ëÿþùèì âêëþ÷åíèåì öèëèíäðè÷åñêîé ôîðìû.
×èñëåííûé àíàëèç áåçðàçìåðíîé òåìïåðàòóðû T k t� 1 â îáëàñòè âêëþ-
÷åíèÿ �0 âûïîëíåí ïî ôîðìóëå
T
k
k
k
k
KiK� � � �
)
*
++
,
-
..
�1
0
0
1
1
11 1 2( )* *
� � � , (16)
à â îáëàñòè �1 âíå âêëþ÷åíèÿ — ïî ôîðìóëå
T Ki� � �1 1 2 �* . (17)
Çäåñü Ki q R k� 0
2
1 1
0( / )� — êðèòåðèé Êèðïè÷åâà; K � � �� 0
0
1
0/ — êðèòåðèé,
õàðàêòåðèçóþùèé îòíîñèòåëüíóþ òåïëîïðîâîäíîñòü âêëþ÷åíèÿ è ñëîÿ;
� � � �
2
1 1 1
1 1 0
1
2 1* ( )� � � � �)
*
+
,
-
.
�
�
�
�
�
�
�
�
�
!
� �
�
k T K K
k
k
T
1
;
� �
�
2/ /3
�
" �
q R
J J Ki T T K
k
i
n
i i� ( ( � �
�
�
�
�� #0
0
1
1
1
1
1 1( ) ( ) ( ) 0
1
1 11
k
T Ti i� �
)
*
+
,
-
.� ��
�
�
�
� 0
�
�
�
0
( �
(
( � � ( � ��
�
��
ch Z L
sh L
sh L Z ch Z Z S Z Zi i i
/
/
/ /
( )
( ) ( ) ( ))
2
1
2(
�
�
�
�
!
(
/
/d ,
ãäå (/ � /R ; Ki �0 27, ; k0
43 96 10� � 4 �, ; k1
54 10� � 4 � .
Ìîäåëèðîâàíèå òåìïåðàòóðíûõ ðåæèìîâ â òåðìî÷óâñòâèòåëüíûõ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2012. Ò. 34. ¹ 4 105
KR ( = 1)2
T
Z
2
0 0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
0,5
0,8
0
�0,5
Ðèñ. 2. Ãðàôèê çàâèñèìîñòè áåçðàçìåðíîé òåìïåðàòóðû T îò áåçðàçìåðíûõ êîîðäèíàò 2 è Z
Ãðàôèê çàâèñèìîñòè òåìïåðàòóðû T îò áåçðàçìåðíûõ ðàäèàëüíîé2 � r R/
è àêñèàëüíîé Z z R� / êîîðäèíàò ïðåäñòàâëåí íà ðèñ. 2, èç êîòîðîãî âèäíî,
÷òî ìàêñèìàëüíûõ çíà÷åíèé òåìïåðàòóðà Ò äîñòèãàåò â îáëàñòè äåéñòâèÿ
ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííûõ ïî îáúåìó öèëèíäðè÷åñêîãî ñêâîçíîãî èíî-
ðîäíîãî âêëþ÷åíèÿ âíóòðåííèõ èñòî÷íèêîâ òåïëà, à íà ãðàíè÷íîé ïîâåðõ-
íîñòè K R ( )2 �1 âêëþ÷åíèÿ âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ èäåàëüíîãî òåïëîâîãî
êîíòàêòà (îòñóòñòâóåò ñêà÷îê òåìïåðàòóðû), ÷òî ñîîòâåòñòâóåò ðàññìàòðè-
âàåìîé ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè.
Âûâîäû
Ñ ïîìîùüþ ââåäåííîé ôóíêöèè � (3) ÷àñòè÷íî ëèíåàðèçîâàíî èñõîäíîå
íåëèíåéíîå óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè (1) è ïîëíîñòüþ ëèíåàðèçîâàíû
ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ (2). Ïðåäëîæåííàÿ êóñî÷íî-ëèíåéíàÿ àïïðîêñèìàöèÿ
òåìïåðàòóðû âûðàæåíèåì (7) íà ãðàíè÷íîé ïîâåðõíîñòè K R èíîðîäíîãî
âêëþ÷åíèÿ ïîçâîëèëà ïîëíîñòüþ ëèíåàðèçîâàòü óðàâíåíèå (5), ïîñëå ÷åãî
ñòàëî âîçìîæíûì, ïðèìåíèâ èíòåãðàëüíîå ïðåîáðàçîâàíèå Õåíêåëÿ ê ïî-
ëó÷åííîé ãðàíè÷íîé ëèíåéíîé çàäà÷å îòíîñèòåëüíî ôóíêöèè�, ïîñòðîèòü
åå àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå.
The nonlinear boundary axially symmetric problem of heat conduction for the heat-sensitive
layer with through foreign cylindrical inclusion that generates heat, has been considered. With
the help of the introduced function the partial linearization of the original problem has been car-
ried out. Using the proposed piecewise-linear approximation of temperature on the boundary sur-
face of the foreign inclusion the problem has been completely linearized. The analytical solution
of this problem for finding the introduced function using Hankel integral transformation has been
formed. The formulas for calculating the desired temperature have been shown and numerical
analysis performed.
1. Êîçäîáà Ë. À. Ìåòîäû ðåøåíèÿ íåëèíåéíûõ çàäà÷ òåïëîïðîâîäíîñòè. — Ì. : Íàóêà,
1975. — 229 ñ.
2. Áåëÿåâ Í. Â., Ðÿäíî À. À. Ìåòîäû òåîðèè òåïëîïðîâîäíîñòè. ×. II. — Ì. : Âûñø. øê.,
1982. — 304 ñ.
3. Ãðèãîðåíêî ß. Ì., Ãðèöüêî Å. Ã., Æóðàâ÷àê Ë. Ì. Ðåøåíèå çàäà÷ î íàïðÿæåííîì
ñîñòîÿíèè íåîäíîðîäíûõ òåë ñ ó÷åòîì ôèçè÷åñêîé íåëèíåéíîñòè íà îñíîâå ìåòîäà
ãðàíè÷íûõ ýëåìåíòîâ // Ïðèêë. ìåõàíèêà. — 1995. — 31, ¹ 11. — Ñ. 10 — 17.
4. Ñàâóëà ß. Ã., Äÿêîíþê Ë. Ì. Äîñë³äæåííÿ âàð³àö³éíî¿ çàäà÷³ òåïëîïðîâ³äíîñò³ ó
áàãàòîøàðîâèõ ñåðåäîâèùàõ ç òîíêèìè âêëþ÷åííÿìè // ³ñí. Ëüâ³â. óí-òó. Ñåð. ïðèêë.
ìàòåìàòèêà òà ³íôîðìàòèêà. — 2000. — Âèï. 3. — Ñ. 125—130.
5. Ïîïîâè÷ Â. Ñ., ²âàíê³â Ê. Ñ. Íåë³í³éíà çàäà÷à òåïëîïðîâ³äíîñò³ äëÿ êóë³ ç òåïëîîáì³íîì //
Òàì æå. — 2002. — ¹ 5. — Ñ. 136—144.
6. Kudinov V. A., Averin B. V., Stefanyuk E. V., Nazarenko S. A. Analysis of Nonlinear Heat
Conduction Based on Determining the Front of Temperature Perturbation // High Tempera-
ture . — 2006. — 44, ¹ 4. — Ð. 574—583.
Â. È. Ãàâðûø
106 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2012. V. 34. ¹ 4
7. Íåñïëÿê Ä. Ì., Ìóõà ². Ñ. Äîñë³äæåííÿ ïðîöåñ³â íåë³í³éíî¿ òåïëîïðîâ³äíîñò³ ó òîâñòîñò³í-
íèõ ñêëàäåíèõ ò³ëàõ // Ìàò. ìåòîäè òà ô³ç.-ìåõ. ïîëÿ. — 2007.— 50, ¹2. — Ñ. 176—182.
8. Áåëèê Â. Ä., Óðþêîâ Á. À., Ôðîëîâ Ã. À., Òêà÷åíêî Ã. Â. ×èñëåííî-àíàëèòè÷åñêèé ìåòîä
ðåøåíèÿ íåëèíåéíîãî íåñòàöèîíàðíîãî óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè // Èíæ.-ôèç.
æóðíàë. — 2008. — 81, ¹ 6. — Ñ. 1058—1062.
9. Áàðâ³íñüêèé À. Ô., Ãàâðèø Â. ². Íåë³í³éíà çàäà÷à òåïëîïðîâ³äíîñò³ äëÿ íåîäíîð³äíîãî
øàðó ç âíóòð³øí³ìè äæåðåëàìè òåïëà // Ïðîáëåìû ìàøèíîñòðîåíèÿ. — 2009. — 12,
¹ 1. — Ñ. 47—53.
10. Ãàâðèø Â. ²., Ôåäàñþê Ä. Â. Ìåòîä ðîçðàõóíêó òåìïåðàòóðíèõ ïîë³â äëÿ òåðìî÷óò-
ëèâî¿ êóñêîâî-îäíîð³äíî¿ ñìóãè ³ç ÷óæîð³äíèì âêëþ÷åííÿì // Ïðîìûøëåííàÿ òåïëî-
òåõíèêà. — 2010. — 32, ¹ 5. — Ñ. 18—25.
11. Ãàâðèø Â. ²., Ôåäàñþê Ä. Â., Êîñà÷ À. ². Ãðàíè÷íà çàäà÷à òåïëîïðîâ³äíîñò³ äëÿ øàðó ç
÷óæîð³äíèì öèë³íäðè÷íèì âêëþ÷åííÿì // Ô³ç.-õ³ì. ìåõàí³êà ìàòåð³àë³â. — 2010. —
46, ¹ 5. — Ñ. 115—120.
12. Gavrysh V. I., Fedasyuk D. V. Thermal Simulation of Heterogeneous Structural Components
in Microelectronic Devices // Semiconductor Physics, Quantum Electronics & Optoelectro-
nics. — 2010. — 13, ¹ 4. — Ð. 439—443.
13. Ãàâðûø Â. È., Êîñà÷ À. È. Ìîäåëèðîâàíèå òåìïåðàòóðíèõ ðåæèìîâ â ýëåìåíòàõ
ìèêðîýëåêòðîííûõ óñòðîéñòâ // Òåõíîëîãèÿ è êîíñòðóèðîâàíèå â ýëåêòðîííîé àïïà-
ðàòóðå. — 2011. — ¹ 1—2 (90). — Ñ. 27—30.
14. Ãàâðûø Â. È., Êîñà÷ À. È. Ìîäåëèðîâàíèå òåìïåðàòóðíûõ ðåæèìîâ â ýëåêòðîííûõ
óñòðîéñòâàõ êóñî÷íî-îäíîðîäíîé ñòðóêòóðû // Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. — 2011. — 33,
¹ 4. — Ñ. 99—113.
15. Ïîäñòðèãà÷ ß. Ñ., Ëîìàêèí Â. À., Êîëÿíî Þ. Ì. Òåðìîóïðóãîñòü òåë íåîäíîðîäíîé
ñòðóêòóðû. — Ì. : Íàóêà, 1984. — 368 ñ.
16. Êîëÿíî Þ. Ì. Ìåòîäû òåïëîïðîâîäíîñòè è òåðìîóïðóãîñòè íåîäíîðîäíîãî òåëà. —
Êèåâ : Íàóê. äóìêà, 1992. — 280 ñ.
17. Êîðí Ã., Êîðí Ò. Ñïðàâî÷íèê ïî ìàòåìàòèêå äëÿ íàó÷íûõ ðàáîòíèêîâ è èíæåíåðîâ. —
Ì. : Íàóêà, 1977. — 720 ñ.
18. Ëîìàêèí Â. À. Òåîðèÿ óïðóãîñòè íåîäíîðîäíûõ òåë. — Ì. : Èçä-âî Ìîñê. óí-òà, 1976. —
376 ñ.
19. Áåðìàí Ð. Òåïëîïðîâîäíîñòü òâåðäûõ òåë. — Ì. : Ìèð, 1979 . — 288 ñ.
Ïîñòóïèëà 18.01.12;
ïîñëå äîðàáîòêè 06.03.12
ÃÀÂÐÛØ Âàñèëèé Èâàíîâè÷, êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê, äîöåíò, äîêòîðàíò Íàöèîíàëüíîãî óíè-
âåðñèòåòà «Ëüâîâñêàÿ ïîëèòåõíèêà».  1982 ã. îêîí÷èë Ëüâîâñêèé ãîñóíèâåðñèòåò. Îáëàñòü
íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — ìîäåëèðîâàíèå ïðîöåññîâ òåïëîïðîâîäíîñòè â òåëàõ êóñî÷íî-
îäíîðîäíîé ñòðóêòóðû è ðàçðàáîòêà ìåòîäîâ ðåøåíèÿ ëèíåéíûõ è íåëèíåéíûõ ãðàíè÷íûõ
çàäà÷ òåïëîïðîâîäíîñòè.
Ìîäåëèðîâàíèå òåìïåðàòóðíûõ ðåæèìîâ â òåðìî÷óâñòâèòåëüíûõ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2012. Ò. 34. ¹ 4 107
<<
/ASCII85EncodePages false
/AllowTransparency false
/AutoPositionEPSFiles true
/AutoRotatePages /None
/Binding /Left
/CalGrayProfile (Dot Gain 20%)
/CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CalCMYKProfile (U.S. Web Coated \050SWOP\051 v2)
/sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CannotEmbedFontPolicy /Error
/CompatibilityLevel 1.4
/CompressObjects /Tags
/CompressPages true
/ConvertImagesToIndexed true
/PassThroughJPEGImages true
/CreateJDFFile false
/CreateJobTicket false
/DefaultRenderingIntent /Default
/DetectBlends true
/DetectCurves 0.0000
/ColorConversionStrategy /CMYK
/DoThumbnails false
/EmbedAllFonts true
/EmbedOpenType false
/ParseICCProfilesInComments true
/EmbedJobOptions true
/DSCReportingLevel 0
/EmitDSCWarnings false
/EndPage -1
/ImageMemory 1048576
/LockDistillerParams false
/MaxSubsetPct 100
/Optimize true
/OPM 1
/ParseDSCComments true
/ParseDSCCommentsForDocInfo true
/PreserveCopyPage true
/PreserveDICMYKValues true
/PreserveEPSInfo true
/PreserveFlatness true
/PreserveHalftoneInfo false
/PreserveOPIComments true
/PreserveOverprintSettings true
/StartPage 1
/SubsetFonts true
/TransferFunctionInfo /Apply
/UCRandBGInfo /Preserve
/UsePrologue false
/ColorSettingsFile ()
/AlwaysEmbed [ true
]
/NeverEmbed [ true
]
/AntiAliasColorImages false
/CropColorImages true
/ColorImageMinResolution 300
/ColorImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleColorImages true
/ColorImageDownsampleType /Bicubic
/ColorImageResolution 300
/ColorImageDepth -1
/ColorImageMinDownsampleDepth 1
/ColorImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeColorImages true
/ColorImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterColorImages true
/ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG
/ColorACSImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/ColorImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/JPEG2000ColorACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/JPEG2000ColorImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/AntiAliasGrayImages false
/CropGrayImages true
/GrayImageMinResolution 300
/GrayImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleGrayImages true
/GrayImageDownsampleType /Bicubic
/GrayImageResolution 300
/GrayImageDepth -1
/GrayImageMinDownsampleDepth 2
/GrayImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeGrayImages true
/GrayImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterGrayImages true
/GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG
/GrayACSImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/GrayImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/JPEG2000GrayACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/JPEG2000GrayImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/AntiAliasMonoImages false
/CropMonoImages true
/MonoImageMinResolution 1200
/MonoImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleMonoImages true
/MonoImageDownsampleType /Bicubic
/MonoImageResolution 1200
/MonoImageDepth -1
/MonoImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeMonoImages true
/MonoImageFilter /CCITTFaxEncode
/MonoImageDict <<
/K -1
>>
/AllowPSXObjects false
/CheckCompliance [
/None
]
/PDFX1aCheck false
/PDFX3Check false
/PDFXCompliantPDFOnly false
/PDFXNoTrimBoxError true
/PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXSetBleedBoxToMediaBox true
/PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXOutputIntentProfile ()
/PDFXOutputConditionIdentifier ()
/PDFXOutputCondition ()
/PDFXRegistryName ()
/PDFXTrapped /False
/Description <<
/CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e9ad88d2891cf76845370524d53705237300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002>
/CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc9ad854c18cea76845370524d5370523786557406300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002>
/DAN <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>
/DEU <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>
/ESP <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>
/FRA <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>
/ITA <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>
/JPN <FEFF9ad854c18cea306a30d730ea30d730ec30b951fa529b7528002000410064006f0062006500200050004400460020658766f8306e4f5c6210306b4f7f75283057307e305930023053306e8a2d5b9a30674f5c62103055308c305f0020005000440046002030d530a130a430eb306f3001004100630072006f0062006100740020304a30883073002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee5964d3067958b304f30533068304c3067304d307e305930023053306e8a2d5b9a306b306f30d530a930f330c8306e57cb30818fbc307f304c5fc59808306730593002>
/KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020ace0d488c9c80020c2dcd5d80020c778c1c4c5d00020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e>
/NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken die zijn geoptimaliseerd voor prepress-afdrukken van hoge kwaliteit. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.)
/NOR <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>
/PTB <FEFF005500740069006c0069007a006500200065007300730061007300200063006f006e00660069006700750072006100e700f50065007300200064006500200066006f0072006d00610020006100200063007200690061007200200064006f00630075006d0065006e0074006f0073002000410064006f0062006500200050004400460020006d00610069007300200061006400650071007500610064006f00730020007000610072006100200070007200e9002d0069006d0070007200650073007300f50065007300200064006500200061006c007400610020007100750061006c00690064006100640065002e0020004f007300200064006f00630075006d0065006e0074006f00730020005000440046002000630072006900610064006f007300200070006f00640065006d0020007300650072002000610062006500720074006f007300200063006f006d0020006f0020004100630072006f006200610074002000650020006f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002000650020007600650072007300f50065007300200070006f00730074006500720069006f007200650073002e>
/SUO <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>
/SVE <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>
/ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents best suited for high-quality prepress printing. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.)
>>
/Namespace [
(Adobe)
(Common)
(1.0)
]
/OtherNamespaces [
<<
/AsReaderSpreads false
/CropImagesToFrames true
/ErrorControl /WarnAndContinue
/FlattenerIgnoreSpreadOverrides false
/IncludeGuidesGrids false
/IncludeNonPrinting false
/IncludeSlug false
/Namespace [
(Adobe)
(InDesign)
(4.0)
]
/OmitPlacedBitmaps false
/OmitPlacedEPS false
/OmitPlacedPDF false
/SimulateOverprint /Legacy
>>
<<
/AddBleedMarks false
/AddColorBars false
/AddCropMarks false
/AddPageInfo false
/AddRegMarks false
/ConvertColors /ConvertToCMYK
/DestinationProfileName ()
/DestinationProfileSelector /DocumentCMYK
/Downsample16BitImages true
/FlattenerPreset <<
/PresetSelector /MediumResolution
>>
/FormElements false
/GenerateStructure false
/IncludeBookmarks false
/IncludeHyperlinks false
/IncludeInteractive false
/IncludeLayers false
/IncludeProfiles false
/MultimediaHandling /UseObjectSettings
/Namespace [
(Adobe)
(CreativeSuite)
(2.0)
]
/PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK
/PreserveEditing true
/UntaggedCMYKHandling /LeaveUntagged
/UntaggedRGBHandling /UseDocumentProfile
/UseDocumentBleed false
>>
]
>> setdistillerparams
<<
/HWResolution [2400 2400]
/PageSize [612.000 792.000]
>> setpagedevice
|