Обоснование точности кубатурных формул для приближенного вычисления 3D интегралов от быстроосциллирующих функций с использованием интерфлетации
Доказана оптимальность по порядку точности кубатурных формул приближенного вычисления интегралов от быстроосциллирующих функций с использованием операторов кусочнополиномиальной сплайн-интерфлетации на классе дифференцируемых функций. Доведено оптимальність за порядком точності кубатурних формул наб...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Электронное моделирование |
|---|---|
| Дата: | 2012 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
2012
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/61842 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Обоснование точности кубатурных формул для приближенного вычисления 3D интегралов от быстроосциллирующих функций с использованием интерфлетации / О.Н. Литвин, О.П. Нечуйвитер // Электронное моделирование. — 2012 — Т. 34, № 5. — С. 3-11. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860073467098955776 |
|---|---|
| author | Литвин, О.Н. Нечуйвитер, О.П. |
| author_facet | Литвин, О.Н. Нечуйвитер, О.П. |
| citation_txt | Обоснование точности кубатурных формул для приближенного вычисления 3D интегралов от быстроосциллирующих функций с использованием интерфлетации / О.Н. Литвин, О.П. Нечуйвитер // Электронное моделирование. — 2012 — Т. 34, № 5. — С. 3-11. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Электронное моделирование |
| description | Доказана оптимальность по порядку точности кубатурных формул приближенного вычисления интегралов от быстроосциллирующих функций с использованием операторов кусочнополиномиальной сплайн-интерфлетации на классе дифференцируемых функций.
Доведено оптимальність за порядком точності кубатурних формул наближеного обчислення інтегралів від швидкоосцилюючих функцій з використанням операторів кусково-поліноміальної сплайн-інтерфлетації на класі диференційовних функцій.
Cubature formulas of the calculation of 3D highly oscillatory integrals are investigated by using operators of piece-polynomial spline-interflatation. These formulas are optimal by exactness. The estimations of error of approaching of the cubature formulas are presented on the class of differentiable functions.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:11:35Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.6
Î. Í. Ëèòâèí, ä-ð ôèç.-ìàò. íàóê,
Î. Ï. Íå÷óéâèòåð, êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê
Óêðàèíñêàÿ èíæåíåðíî-ïåäàãîãè÷åñêàÿ àêàäåìèÿ
(Óêðàèíà, 61003, Õàðüêîâ, óë. Óíèâåðñèòåòñêàÿ 16,
òåë. (057) 7710545, 0501894738,
e-mail: academ@kharkov.ua, olesia_nechuiviter@mail.ru)
Îáîñíîâàíèå òî÷íîñòè êóáàòóðíûõ
ôîðìóë äëÿ ïðèáëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿ
3D èíòåãðàëîâ îò áûñòðîîñöèëëèðóþùèõ ôóíêöèé
ñ èñïîëüçîâàíèåì èíòåðôëåòàöèè
Äîêàçàíà îïòèìàëüíîñòü ïî ïîðÿäêó òî÷íîñòè êóáàòóðíûõ ôîðìóë ïðèáëèæåííîãî âû÷èñ-
ëåíèÿ èíòåãðàëîâ îò áûñòðîîñöèëëèðóþùèõ ôóíêöèé ñ èñïîëüçîâàíèåì îïåðàòîðîâ êóñî÷íî-
ïîëèíîìèàëüíîé ñïëàéí-èíòåðôëåòàöèè íà êëàññå äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèé.
Äîâåäåíî îïòèìàëüí³ñòü çà ïîðÿäêîì òî÷íîñò³ êóáàòóðíèõ ôîðìóë íàáëèæåíîãî îá÷èñëåííÿ
³íòåãðàë³â â³ä øâèäêîîñöèëþþ÷èõ ôóíêö³é ç âèêîðèñòàííÿì îïåðàòîð³â êóñêîâî-ïîë³íî-
ì³àëüíî¿ ñïëàéí-³íòåðôëåòàö³¿ íà êëàñ³ äèôåðåíö³éîâíèõ ôóíêö³é.
Ê ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à: èíòåãðàëû îò áûñòðîîñöèëëèðóþùèõ ôóíêöèé òðåõ ïåðåìåííûõ,
êóáàòóðíûå ôîðìóëû, èíòåðôëåòàöèÿ ôóíêöèé.
Ïðè ðåøåíèè çàäà÷ öèôðîâîé îáðàáîòêè ìíîãîìåðíûõ ñèãíàëîâ, ìàòåìàòè-
÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ íåïðåðûâíûõ ïðîèçâîäñòâåííûõ ïðîöåññîâ, êîì-
ïüþòåðíîé òîìîãðàôèè, êàðòîãðàôèè ïîâåðõíîñòè ïî äàííûì åå ðàäèîëî-
êàöèè, íåðàçðóøàåìîãî êîíòðîëÿ íà òàìîæíÿõ, çàùèòû èíôîðìàöèè (ïî-
âûøåíèå ïðîèçâîäèòåëüíîñòè ñèñòåì äâóêëþ÷åâîé êðèïòîãðàôèè è
êîìïüþòåðíîé ñòåãàíîãðàôèè) è äðóãèõ øèðîêî èñïîëüçóþò ïðåîáðàçî-
âàíèå Ôóðüå, èíòåãðàëû îò áûñòðîîñöèëëèðóþùèõ ôóíêöèé, áûñòðûå
îðòîãîíàëüíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ. Ïîýòîìó îäíîé èç àêòóàëüíûõ ïðîáëåì
ÿâëÿåòñÿ ïîñòðîåíèå êóáàòóðíûõ ôîðìóë âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëîâ îò áûñòðî-
îñöèëëèðóþùèõ ôóíêöèé íà îïðåäåëåííûõ êëàññàõ ïðè èñïîëüçîâàíèè
ðàçëè÷íûõ èíôîðìàöèîííûõ îïåðàòîðîâ î íåîñöèëëèðóþùåì ìíîæèòåëå
ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè.
 êà÷åñòâå äàííûõ ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû çíà÷åíèÿ ôóíêöèè â
óçëîâûõ òî÷êàõ, ñëåäû ôóíêöèè íà ñèñòåìå ëèíèé èëè ïëîñêîñòåé, èíòå-
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2012. Ò. 34. ¹ 5 3
ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÅ
ÌÅÒÎÄÛ È ÌÎÄÅËÈ
ãðàëû îò ïðèáëèæàåìîé ôóíêöèè âäîëü èçáðàííîé ñèñòåìû ëèíèé èëè
ïëîñêîñòåé, ïåðåñåêàþùèõ èññëåäóåìûé îáúåêò. Â ñâÿçè ñ ýòèì âîçíèêàåò
íåîáõîäèìîñòü îáîñíîâàíèÿ îïòèìàëüíîñòè ïî òî÷íîñòè è áëèçîñòè ê íèì
êóáàòóðíûõ ôîðìóë ïðèáëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿ, â ÷àñòíîñòè èíòåãðàëîâ
îò áûñòðîîñöèëëèðóþùèõ ôóíêöèé íà îïðåäåëåííûõ êëàññàõ ïîäûí-
òåãðàëüíûõ ôóíêöèé ïðè èñïîëüçîâàíèè ðàçëè÷íûõ èíôîðìàöèîííûõ
îïåðàòîðîâ.
Çàäà÷ó ïðèáëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëîâ îò áûñòðîîñöèëëè-
ðóþùèõ ôóíêöèé ìíîãèõ ïåðåìåííûõ ñ èñïîëüçîâàíèåì ðàçëè÷íûõ èí-
ôîðìàöèîííûõ îïåðàòîðîâ ïîçâîëÿåò ýôôåêòèâíî ðåøàòü àïïàðàò èíòåð-
ëèíàöèè è èíòåðôëåòàöèè ôóíêöèé [1]. Â ðàáîòàõ [2, 3] ïðèâåäåíû ðåøåíèÿ
çàäà÷è ïðèáëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿ 2D êîýôôèöèåíòîâ Ôóðüå ñ ïîìîùüþ
èíòåðëèíàöèè ôóíêöèé â ñëó÷àå, êîãäà íà÷àëüíàÿ èíôîðìàöèÿ çàäàíà
çíà÷åíèÿìè ôóíêöèè â òî÷êàõ, åå ñëåäàìè íà ñèñòåìå âçàèìíîïåðïåíäè-
êóëÿðíûõ ïðÿìûõ íà ðàçëè÷íûõ êëàññàõ ôóíêöèé.
 [4, 5] èçëîæåí îáùèé ïîäõîä ê ïîñòðîåíèþ îïåðàòîðîâ ôèíèòíîãî
òðåõìåðíîãî äèñêðåòíî-íåïðåðûâíîãî è äèñêðåòíîãî ïðåîáðàçîâàíèé Ôóðüå
íà îñíîâå ìåòîäà Ôàéëîíà, òðèëèíåéíûõ ñïëàéíîâ (ëèíåéíûõ ïî êàæäîé
ïåðåìåííîé) è ñïëàéí-èíòåðôëåòàöèè íà êëàññå äèôôåðåíöèðîâàííûõ
ôóíêöèé â ñëó÷àå, êîãäà çàäàíû çíà÷åíèÿ íåîñöèëëèðóþùåãî ìíîæèòåëÿ
ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè â òî÷êàõ. Ïîñòðîåíèå êóáàòóðíîé ôîðìóëû íà
îñíîâå êóñî÷íî-ïîñòîÿííîé èíòåðôëåòàöèè íà êëàññå Ëèïøèöà ïðè äàí-
íûõ — ñëåäàõ ôóíêöèè íà ïëîñêîñòÿõ ðàññìîòðåíî â [6].
Îäíà èç íåèññëåäîâàííûõ çàäà÷ — ïîñòðîåíèå êóáàòóðíûõ ôîðìóë
ïðèáëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëîâ îò áûñòðîîñöèëëèðóþùèõ ôóíê-
öèé òðåõ ïåðåìåííûõ íà ïëîñêîñòÿõ ðåêòàíãóëÿöèè (êîòîðûå ðàçäåëÿþò
îáëàñòü íà ïàðàëëåëåïèïåäû) è îáîñíîâàíèå îïòèìàëüíîñòè ïî ïîðÿäêó
òî÷íîñòè ïîñòðîåííûõ êóáàòóðíûõ ôîðìóë.
Ïîñòàíîâêà çàäà÷è. Äëÿ âû÷èñëåíèÿ 3D êîýôôèöèåíòîâ Ôóðüå âèäà
I f f x y z x y zdxdydz1
3
0
1
0
1
0
1
( , ) ( , , ) sin sin sin� � � �� � � � ,
I f f x y z x y zdxdydz2
3
0
1
0
1
0
1
( , ) ( , , ) cos cos cos� � � �� � � � ,
I p f x y z e e e dxdydzi x i y i z
3
3
0
1
0
1
0
1
( , ) ( , , )� � � �� � � �
� � �
Î. Í. Ëèòâèí, Î. Ï. Íå÷óéâèòåð
4 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2012. V. 34. ¹ 5
ïîñòðîèòü êóáàòóðíûå ôîðìóëû ñ èñïîëüçîâàíèåì îïåðàòîðîâ êóñî÷íî-
ïîëèíîìèàëüíîé ñïëàéí-èíòåðôëåòàöèè íà ïëîñêîñòÿõ ðåêòàíãóëÿöèè íà
êëàññå ôóíêöèé Lq
2 2 2, , ( )� , 1� � �q :
L f x y z Cq
s2 2 2, , ( )( ) { ( , , ) ( )� �� , s s s s� ( , , )1 2 3 , s
�0 1 2, , ,
�1 2 3, , ,
s � ( , , )2 2 2 , f Lq
( , , )
( ) }2 2 2 1� � .
Ïîëó÷èòü îöåíêè ïîãðåøíîñòè ïðèáëèæåíèÿ. Äîêàçàòü îïòèìàëüíîñòü ïî
ïîðÿäêó òî÷íîñòè êóáàòóðíûõ ôîðìóë.
Îöåíêà ñíèçó ïîãðåøíîñòè ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ íà êëàññå
äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèé. Èñïîëüçîâàíèå íîâûõ èíôîðìàöèîííûõ
îïåðàòîðîâ ïðåäïîëàãàåò ôîðìàëèçàöèþ ïîíÿòèé è ïðèìåíåíèå íîâîãî
ïîäõîäà ê ïîëó÷åíèþ îöåíîê ïîãðåøíîñòè ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ
áûñòðîîñöèëëèðóþùèõ ôóíêöèé òðåõ ïåðåìåííûõ. Äàäèì îïðåäåëåíèÿ
îïòèìàëüíûõ è áëèçêèõ ê íèì êóáàòóðíûõ ôîðìóë â ñëó÷àå, êîãäà èí-
ôîðìàöèÿ î íåîñöèëëèðóþùåì ìíîæèòåëå ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè çà-
äàíà ñëåäàìè íà ïëîñêîñòÿõ.
Äëÿ ïðèáëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëà âèäà I f I f( , ) ( , )� �� 1
3 ðàñ-
ñìîòðèì ìíîæåñòâî êóáàòóðíûõ ôîðìóë � N , â êîòîðûõ èñïîëüçîâàíà
èíôîðìàöèÿ î ôóíêöèè íå áîëåå ÷åì íà N ïëîñêîñòÿõ. Ïóñòü R f N( , , )� � —
ïîãðåøíîñòü ïðèáëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿ I f( , )� ñ ïîìîùüþ êóáàòóðíîé
ôîðìóëû
� � �N N NR f I f: ( , , ) ( , )� �� � .
Ïîãðåøíîñòüþ êóáàòóðíîé ôîðìóëû � N íà êëàññå F íàçûâàþò âåëè÷èíó
R F R fN
f x F
N( , , ) sup ( , , )
( )
� �� ��
.
Îïòèìàëüíîé ïîãðåøíîñòüþ ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ íà êëàññå ÿâ-
ëÿåòñÿ âåëè÷èíà
R F R FN L
N
N N
( , ) inf ( , , )� ��
�
� .
Êâàäðàòóðíàÿ ôîðìóëà � N
* , ñ ïîìîùüþ êîòîðîé äîñòèãàåòñÿ âåëè÷èíà
R FN ( , )� , ÿâëÿåòñÿ îïòèìàëüíîé ïî òî÷íîñòè. Åñëè R FN N( , , )� � �
� �R FN ( , )�
,
� 0, òî � N — îïòèìàëüíàÿ ïî òî÷íîñòè êóáàòóðíàÿ
ôîðìóëà ñ òî÷íîñòüþ äî
. Åñëè
�� o R FN( ( , )) èëè
��O R FN( ( , )), òî
� N — ñîîòâåòñòâåííî àñèìïòîòè÷åñêè îïòèìàëüíàÿ èëè îïòèìàëüíàÿ ïî
ïîðÿäêó òî÷íîñòè.
Îáîñíîâàíèå òî÷íîñòè êóáàòóðíûõ ôîðìóë äëÿ ïðèáëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2012. Ò. 34. ¹ 5 5
Äëÿ ïîëó÷åíèÿ îöåíîê ñíèçó âåëè÷èíû R F N( , , )� � èñïîëüçóþò ìå-
òîä «øàïî÷åê» [2]. Ñðàâíèâàÿ îöåíêó ñâåðõó è ñíèçó, äåëàþò âûâîä î òèïå
êóáàòóðíîé ôîðìóëû, ò.å. ÿâëÿåòñÿ äàííàÿ êóáàòóðíàÿ ôîðìóëà îïòè-
ìàëüíîé ïî òî÷íîñòè, îïòèìàëüíîé ïî ïîðÿäêó òî÷íîñòè èëè àñèìïòî-
òè÷åñêè îïòèìàëüíîé.
Òåîðåìà 1 [7]. Ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ îöåíêà ñíèçó íà êëàññå
Lq
r r r, , ( )� , 1� � �q , r �1 2, :
R L f
r
r
q
r r r
r r
( ( ), ( , ))
( !)
[( )!]
, , � ��� � �
� �
3
3 3 3 38 2 1
1
6
1
�
.
Òåîðåìà 1 èñïîëüçóåòñÿ äàëåå ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 3.
Ñïëàéí-èíòåðôëåòàöèÿ íà ïëîñêîñòÿõ ðåêòàíãóëÿöèè. Ïóñòü
� � [ , ]0 1 3, � �� �
i
i ,
� i i i i i i ix x y y z z� � �� � �[ , ] [ , ] [ , ]
1 1 2 2 3 31 1 1 , i i i i� ( , , )1 2 3 ,
i N1 11 1� �, , i N2 21 1� �, , i N3 31 1� �, .
Ââåäåì îïåðàòîð
E f x y z h x f x y z hi
j i
i
j j
j i
i
j( , , ) ( ) ( , , )� �
�
�
�
�
� �
1 1
1
1 1
2 2
21 1
2 2
( ) ( , , )y f x y zj �
� �
�
�
�
�
�
�
� � �
j i
i
j j
j i
i
j i
i
jh z f x y z h
3 3
3
3 3
1 1
1
2 2
2
1 1 1
( ) ( , , )
1 2 1 2
( ) ( ) ( , , )x h y f x y zj j j �
� �
�
�
�
�
�
� �
j i
i
j i
i
j j j j
j i
h x h z f x y z
1 1
1
3 3
3
1 3 1 3
2
1 1
( ) ( ) ( , , )
2
2
3 3
3
2 3 2 3
1 1i
j i
i
j j j jh y h z f x y z
�
�
�
� � �( ) ( ) ( , , )
�
�
�
�
�
�
�
� � �
j i
i
j i
i
j i
i
j j jh x h y h z f
1 1
1
2 2
2
3 3
3
1 2 3
1 1 1
( ) ( ) ( ) ( , , )x y zj j j1 2 3
,
x y z i, , �� �, i i i i� ( , , )1 2 3 ,
ãäå h x h y h zj j j1 2 3
( ), ( ), ( )— áàçèñíûå èíòåðïîëÿöèîííûå ñïëàéíû ñòåïåíåé
0, 1, 2, 3 ñî ñâîéñòâàìè
h x h y h zj x x j j y y j j y y1 1 2 2 3
( )| , ( )| , ( )|, ,� � �� � �
� � �
� � �� � �, j3
.
Î. Í. Ëèòâèí, Î. Ï. Íå÷óéâèòåð
6 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2012. V. 34. ¹ 5
Ýòîò îïåðàòîð èìååò ñâîéñòâà
f x y z C E f x y z Cm
i
m
i( , , ) ( ) ( , , ) ( ) � � � , m � 0 ,
E f x y z f x y zi x x x x( , , )| ( , , )|� ��
� �
, � � �{ , }i i1 1 1 ,
E f x y z f x y zi y y y y( , , )| ( , , )|� ��
� �
, � � �{ , }i i2 2 1 ,
E f x y z f x y zi z z z z( , , )| ( , , )|� ��
� �
, � � �{ , }i i3 3 1 .
Òîãäà îïåðàòîð
E f x y z E f x y z x y zi i� � �( , , ) ( , , ),( , , )� � ,
áóäåò óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèÿì
E f x y C� �( , ) ( ) ,
E f x y z f x y zx x x x� ( , , )| ( , , )|� ��
� �
, E f x y z f x y zy y y y� ( , , )| ( , , )|� ��
� �
,
E f x y z f x y zz z z z� ( , , )| ( , , )|� ��
� �
, 1 1� �� N , 1 2� �� N , 1 3� �� N .
Ýòîò îïåðàòîð íàçûâàåòñÿ êóñî÷íî-ïîëèíîìèàëüíûì èíòåðôëåòà-
öèîííûì îïåðàòîðîì, èëè êóñî÷íî-ïîëèíîìèàëüíûì èíòåðôëåòàíòîì. Îí
èíòåðôëåòèðóåò ôóíêöèþ f x y z( , , ) íà øåñòè âçàèìíîïåðïåíäèêóëÿðíûõ
ïëîñêîñòÿõ:
� i i i i i i ix x y y z z� � �� � �[ , ] [ , ] [ , ]
1 1 2 2 3 31 1 1 , i i i i� ( , , )1 2 3 ,
i N1 11 1� �, , i N2 21 1� �, , i N3 31 1� �, .
Ôóíêöèÿ E f x y z� ( , , ) èìååò çíà÷åíèÿ â òî÷êàõ ( , , )x y z i �� � , çàâè-
ñÿùèå îò ñëåäîâ ôóíêöèè f x y z( , , ) òîëüêî íà ãðàíèöå �� i .
Òåîðåìà 2 [1]. Ïîãðåøíîñòü êóñî÷íî-ïîëèíîìèàëüíîé èíòåðôëåòà-
öèè â êàæäîì èç ïàðàëëåëåïèïåäîâ � i óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó
| ( , , ) ( , , )| | ( , , )|f x y z E f x y z Q x y zi� �� , ( , , )x y z i �� � , i i i i� ( , , )1 2 3 ,
ãäå Q x y zi ( , , ) — «ñòàíäàðòíàÿ» ôóíêöèÿ,
Q x y z x x y yi
j i
i
j
j i
i
j
j i
( , , ) ( ) ( )� � �
�
�
�
�
�
� �1
8
1 1
1
1
2 2
2
2
3
1 1
3
3
3
1i
jz z
�
� �( ), ( , , )x y z i � .
Åñëè f x y z Lq( , , ) ( ), , 2 2 2 � , òî
| ( , , ) ( , , )| | ( , , )|f x y z E f x y z Q x y z� �� , ( , , )x y z � ,
Q x y z Q x y zi( , , ) ( , , )� , ( , , )x y z i � .
Îáîñíîâàíèå òî÷íîñòè êóáàòóðíûõ ôîðìóë äëÿ ïðèáëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2012. Ò. 34. ¹ 5 7
Îöåíêà ÿâëÿåòñÿ íàèëó÷øåé â êàæäîé òî÷êå �. Ïîýòîìó ïîãðåøíîñòü
ïðèáëèæåíèÿ ôóíêöèè f x y z Lq( , , ) ( ), , 2 2 2 � îïåðàòîðîì E f x y z� ( , , ) â êàæ-
äîé òî÷êå îöåíèâàåòñÿ â çàâèñèìîñòè îò çíà÷åíèÿ ôóíêöèè Q x y z( , , ) �
�Q x y zi ( , , ), ( , , )x y z i � .
Êóáàòóðíàÿ ôîðìóëà ïðèáëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëîâ.
Ïóñòü f x y z Lq( , , ) ( ), , 2 2 2 � , 1� � �q , è ñëåäû f x y zi( , , )
1
, f x y zi( , , )
2
,
f x y z i( , , )
3
, i i i1 2 3 1, , ,� �, çàäàíû íå áîëåå, ÷åì íà N �3� (N N N1 2 3� � � �)
ïëîñêîñòÿõ. Äëÿ âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëà I f( , )� ïðåäëàãàåòñÿ ôîðìóëà
� �( , ) ( , , ) sin sin sinf E f x y z x y zdxdydz� � � �� � � �
0
1
0
1
0
1
,
ïîäñòàâëÿÿ â êîòîðóþ âûðàæåíèå äëÿ îïåðàòîðà-èíòåðëèíàíòà, ïîëó÷àåì
� ( , )f h
i i i j i
i
j� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � � � �
1 2 3 1 1
1
1
1
1
1
1
1
1 1
0
1� � �
( ) sin ( , , ) sin sinx xdx f x y z y zdydzj� � �
0
1
0
1
1� � �
�
�
�
� � � �
j i
i
j jh y ydy f x y z x
2 2
2
2 2
1
0
1
0
1
0
1
( ) sin ( , , ) sin si� � n �zdxdz �
�
�
�
� � � �
j i
i
j jh z zdz f x y z x
3 3
3
3 3
1
0
1
0
1
0
1
( ) sin ( , , ) sin si� � n �ydxdy �
�
�
�
�
�
� � � �
j i
i
j i
i
j jh x xdx h y
1 1
1
2 2
2
1 2
1 1
0
1
0
1
( ) sin ( ) sin� �ydy f x y z zdzj j
0
1
1 2� �( , , ) sin �
�
�
�
�
�
� � � �
j i
i
j i
i
j jh x xdx h z
1 1
1
3 3
3
1 3
1 1
0
1
0
1
( ) sin ( ) sin� �zdz f x y z ydyj j
0
1
1 3� �( , , ) sin �
�
�
�
�
�
� � � �
j i
i
j i
i
j jh x ydy h z
2 2
2
3 3
3
2 3
1 1
0
1
0
1
( ) sin ( ) sin� �zdz f x y z xdxj j
0
1
2 3� �( , , ) sin �
�
�
�
�
�
�
�
� � � �
j i
i
j i
i
j i
i
j j j jf x y z h
1 1
1
2 2
2
3 3
3
1 2 3
1 1 1
0
1
( , , )
1 2 3
0
1
0
1
( ) sin ( ) sin ( ) sin .x xdx h x ydy h z zdzj j� � �� �
Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî âñå èíòåãðàëû â êóáàòóðíîé ôîðìóëå � ( , )f � çàäàíû
èëè òî÷íî âû÷èñëåíû.
Òåîðåìà 3. Êóáàòóðíàÿ ôîðìóëà � ( , )f � äëÿ âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëà
I f( , )� ÿâëÿåòñÿ îïòèìàëüíîé ïî ïîðÿäêó òî÷íîñòè ïðè � � � .
Î. Í. Ëèòâèí, Î. Ï. Íå÷óéâèòåð
8 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2012. V. 34. ¹ 5
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Íàéäåì îöåíêó ñíèçó è ñâåðõó âåëè÷èíû
R F R L fN q( , ) ( ( ), ( , )), ,�� �� �� � 2 2 2 � � è îöåíêó ñâåðõó äëÿ I f f( , ) ( , )� ��� :
I f f( , ) ( , )� �� ��
� �� � �
0
1
0
1
0
1
( ( , , ) ( , , )) sin sin sinf x y y E f x y y x y zdxdy� � � � dz �
�
�
�
�
�
�
�
� � � � �
� � �
i i i x
x
y
y
z
z
i
i
i
i
i
i
1 2 3
1
1 1
2
2 1
3
3
1
1
1
1
1
1� � � 1
� � �f x y z E f x y z dxdydz( , , ) ( , , )�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
� � � � �
�
1
8
1 2 3
1
1 1
1 1
1
1
1
1
1
1
1 1
j j j x
x
j i
i
i
i
x x
� � �
( j
y
y
j i
i
j
z
z
j i
i
i
i
i
i
y y z
1
2
2 1
2 2
2
2
3
3 1
3 3
31 1
) ( ) (
� �
� � � �
�
�
�
�
� � �z dxdydzj3
)
�
� �
�
�
�
�
�
�
� � �1
8 6
1
1728
1
17283
1
1
1
1
1
1
3 3 3 6
1 2 3j j j
� � �
! ! ! !
�
6
, ! �
1
�
.
Îöåíêà I f f( , ) ( , )� ��� ñïðàâåäëèâà äëÿ âñåõ ôóíêöèé èç êëàññà
Lq
2 2 2, , ( )� , ïîýòîìó
R L fq( ( ), ( , )), ,2 2 2
6
1
1728
� ��� � �
�
.
Ñîãëàñíî òåîðåìå 1 ïðè r �2 íàõîäèì ñëåäóþùóþ îöåíêó ñíèçó:
R L fq( ( ), ( , ))
[ !]
, ,2 2 2
3 9 6
1
5 6
1
� ��� � �
�
.
Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåì íåðàâåíñòâî
1
5 6
1
123 9 6
2 2 2
3 6[ !]
( ( ), ( , )), ,
� �
� �R L fq � ��� � ,
êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ äîêàçàòåëüñòâîì òîãî, ÷òî êóáàòóðíàÿ ôîðìóëà � ( , )f �
îïòèìàëüíà ïî ïîðÿäêó òî÷íîñòè ïðè � � � .
×èñëåííûé ýêñïåðèìåíò. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ
f x y z x y z( , , ) cos ( )� � �
1
2
2 2 2
6
.
Íàéäåì ïðèáëèæåííûå çíà÷åíèÿ èíòåãðàëîâ ïî ôîðìóëå� ( , )f � â ñëó÷àå,
Îáîñíîâàíèå òî÷íîñòè êóáàòóðíûõ ôîðìóë äëÿ ïðèáëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2012. Ò. 34. ¹ 5 9
êîãäà h x h y h zj j j1 2 3
( ), ( ), ( ) — áàçèñíûå èíòåðïîëÿöèîííûå ñïëàéíû ñòå-
ïåíè 0, à êîîðäèíàòû x y zj j j1 2 3
, , âûáèðàþòñÿ, êàê ñåðåäèíû ñîîòâåòñò-
âóþùèõ ðåáåð ïàðàëëåëåïèïåäà
� i i i i i i ix x y y z z� � �� � �[ , ] [ , ] [ , ]
1 1 2 2 3 31 1 1 ,
i i i i� ( , , )1 2 3 , iv � �1 1, � , v �1 2 3, , .
Ïðèâåäåì òî÷íûå çíà÷åíèÿ èíòåãðàëîâ:
I f1
3 52 583798430329658 10( , ) ," � � � ,
I f1
3 64 5 72023734380512 10( , ) ," � � � ,
I f1
3 66 162354228903616 10( , ) ," � � � .
Ñëåäîâàòåëüíî, # # #1 2� � , ãäå # — ìîäóëü ïîãðåøíîñòè âû÷èñëåíèÿ
èíòåãðàëà I f1
3( , )� êóáàòóðíîé ôîðìóëîé � ( , )f � ,
# � � �I f f1
3( , ) ( , )�� ; # #1 3 9 6 2 3 6
1
5 6
1
12
� �
[ !]
;
� �
.
Äàííûå, ïðåâåäåííûå â òàáëèöå, ïîäòâåðæäàþò òåîðåòè÷åñêèå ðåçóëüòàòû.
Âûâîäû
Òàêèì îáðàçîì, äîêàçàíà îïòèìàëüíîñòü ïî ïîðÿäêó òî÷íîñòè ïðåäëîæåí-
íûõ êóáàòóðíûõ ôîðìóë äëÿ âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëîâ îò áûñòðîîñöèë-
ëèðóþùèõ ôóíêöèé ñ èñïîëüçîâàíèåì îïåðàòîðîâ êóñî÷íî-ïîëèíîìèàëü-
íîé ñïëàéí-èíòåðôëåòàöèè íà ïëîñêîñòÿõ ðåêòàíãóëÿöèè äëÿ êëàññà ôóíê-
öèé Lq
2 2 2, , ( )� , 1� � �q . Ïîëó÷åíà îöåíêà ïîãðåøíîñòè ïðèáëèæåíèÿ. ×èñ-
ëåííûé ýêñïåðèìåíò ïîäòâåðäèë òåîðåòè÷åñêèå ðåçóëüòàòû.
Ñëåäóþùèì ýòàïîì èññëåäîâàíèÿ ÿâëÿåòñÿ ïîñòðîåíèå îïòèìàëüíûõ
ïî ïîðÿäêó òî÷íîñòè êóáàòóðíûõ ôîðìóë âû÷èñëåíèÿ 3D êîýôôèöèåíòîâ
Î. Í. Ëèòâèí, Î. Ï. Íå÷óéâèòåð
10 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2012. V. 34. ¹ 5
� � #1 # #2
2" 5 1 8 10 17, � 1 04 10 11, � 3 7 10 8, �
10 5 7 10 19, � 2 4 10 13, � 5 7 10 10, �
4" 10 5 7 10 19, � 1 54 10 14, � 5 7 10 10, �
17 4 0 10 20, � 9 2 10 16, � 2 3 10 11, �
6" 10 5 7 10 19, � 1 55 10 15, � 5 7 10 10, �
20 1 7 10 20, � 8 8 10 17, � 9 0 10 12, �
Ôóðüå ñ èñïîëüçîâàíèåì îïåðàòîðîâ êóñî÷íî-ïîëèíîìèàëüíîé ñïëàéí-
èíòåðôëåòàöèè íà ïëîñêîñòÿõ ðåêòàíãóëÿöèè äëÿ êëàññà ôóíêöèé
Lq
n n n2 1 2 1 2 1( ), ( ), ( ) ( )� � � � , 1� � �q .
Cubature formulas of the calculation of 3D highly oscillatory integrals are investigated by using
operators of piece-polynomial spline-interflatation. These formulas are optimal by exactness.
The estimations of error of approaching of the cubature formulas are presented on the class of
differentiable functions.
1. Ëèòâèí Î. Ì. ²íòåðë³íàö³ÿ ôóíêö³é òà äåÿê³ ¿¿ çàñòîñóâàííÿ. — Õàðê³â : Îñíîâà, 2002. —
544 ñ.
2. Ñåð㳺íêî ². Â., Çàä³ðàêà Â. Ê., Ëèòâèí Î. Ì. òà ³í. Îïòèìàëüí³ àëãîðèòìè îá÷èñëåííÿ
³íòåãðàë³â â³ä øâèäêîîñöèëþþ÷èõ ôóíêö³é òà ¿õ çàñòîñóâàííÿ. Ò. 1. Àëãîðèòìè. —
Êè¿â : Íàóê. äóìêà, 2011. — 447 ñ.
3. Lytvyn O. N., Nechuyviter O. P. Methods in the multivariate digital signal processing with
using spline-interlineation // Proc. of the IASTED International Conf. on Automation, Con-
trol, and Information Technology (ASIT 2010). June 15 — 18, 2010. — Novosibirsk. —
2010. — P. 90—96.
4. Ëèòâèí Î. Ì., Óäîâè÷åíêî Â. Ì. Îïåðàòîðè ô³í³òíîãî òðèâèì³ðíîãî ïåðåòâîðåííÿ
Ôóð’º // Ðàäiîåëåêòðîíiêà ³ ³íôîðìàòèêà. — 2004. — ¹ 4 (29). — Ñ. 130—133.
5. Ëèòâèí Î. Ì., Óäîâè÷åíêî Â. Ì. Òðèâèì³ðí³ ô³í³òí³ ïåðåòâîðåííÿ Ôóð’º òà Õàðòë³ ç
âèêîðèñòàííÿì ³íòåðôëåòàö³¿ ôóíêö³é // Âåñò. Íàöèîíàëüíîãî òåõíè÷åñêîãî óíèâåð-
ñèòåòà «ÕÏÈ». — Õàðüêîâ. — 2005. — 38. — Ñ. 90—130.
6. Ëèòâèí Î. Ì., Íå÷óéâ³òåð Î. Ï. 3D êîåô³ö³ºíòè Ôóð’º òà îïåðàòîðè êóñêîâî-ñòàëî¿
ñïëàéí-³íòåðôëåòàö³¿ // Ìàòåìàòè÷íå òà êîìï’þòåðíå ìîäåëþâàííÿ. Ñåð³ÿ: Ô³çèêî-
ìàòåìàòè÷í³ íàóêè: Çá. íàóê. ïðàöü. — Êàì’ÿíåöü-Ïîä³ëüñüê: Êàì’ÿíåöü- Ïîä³ëüñü-
êèé íàö³îíàëüíèé óí³âåðñèòåò ³ì. ²âàíà Î㳺íêà, 2011. — Âèï. 3. — Ñ. 155 — 161.
7. Ëèòâèí Î. Ì., Íå÷óéâ³òåð Î. Ï. Ïðî îö³íêó çíèçó äëÿ îïòèìàëüíî¿ ïîõèáêè ÷èñåëü-
íîãî ³íòåãðóâàííÿ íà êëàñ³ äèôåðåíö³éîâàíèõ ôóíêö³é äâîõ òà òðüîõ çì³ííèõ // Ïîñ-
òóï â íàóêó: Çá. íàóê. ïðàöü Áó÷àöüêîãî ³í-òó ìåíåäæìåíòó ³ àóäèòó. — Áó÷à÷. —
2010. — ¹ 6. — Ñ. 130—133.
Ïîñòóïèëà 10.04.12;
ïîñëå äîðàáîòêè 06.06.12
ËÈÒÂÈÍ Îëåã Íèêîëàåâè÷, ä-ð ôèç.-ìàò. íàóê, çàâ. êàôåäðîé âûñøåé è ïðèêëàäíîé ìàòå-
ìàòèêè, ïðîôåññîð Óêðàèíñêîé èíæåíåðíî-ïåäàãîãè÷åñêîé àêàäåìèè (ã. Õàðüêîâ).  1964 ã.
îêîí÷èë Áåðäÿíñêèé ãîñóäàðñòâåííûé ïåäàãîãè÷åñêèé èí-ò. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé —
âû÷èñëèòåëüíàÿ ìàòåìàòèêà, îïòèìèçàöèÿ, öèôðîâàÿ îáðàáîòêà ìíîãîìåðíûõ ñèãíàëîâ,
ìàòåìàòè÷åñêàÿ òåîðèÿ êîìïüþòåðíîé òîìîãðàôèè.
ÍÅ×ÓÉÂÈÒÅÐ Îëåñÿ Ïåòðîâíà, êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê, äîêòîðàíò Óêðàèíñêîé èíæåíåðíî-
ïåäàãîãè÷åñêîé àêàäåìèè.  1994 ã. îêîí÷èëà Õàðüêîâñêèé ãîñóíèâåðñèòåò. Îáëàñòü íàó÷íûõ
èññëåäîâàíèé — âû÷èñëèòåëüíàÿ ìàòåìàòèêà, îïòèìèçàöèÿ, öèôðîâàÿ îáðàáîòêà ìíîãî-
ìåðíûõ ñèãíàëîâ.
Îáîñíîâàíèå òî÷íîñòè êóáàòóðíûõ ôîðìóë äëÿ ïðèáëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2012. Ò. 34. ¹ 5 11
<<
/ASCII85EncodePages false
/AllowTransparency false
/AutoPositionEPSFiles true
/AutoRotatePages /None
/Binding /Left
/CalGrayProfile (Dot Gain 20%)
/CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CalCMYKProfile (U.S. Web Coated \050SWOP\051 v2)
/sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CannotEmbedFontPolicy /Error
/CompatibilityLevel 1.4
/CompressObjects /Tags
/CompressPages true
/ConvertImagesToIndexed true
/PassThroughJPEGImages true
/CreateJDFFile false
/CreateJobTicket false
/DefaultRenderingIntent /Default
/DetectBlends true
/DetectCurves 0.0000
/ColorConversionStrategy /CMYK
/DoThumbnails false
/EmbedAllFonts true
/EmbedOpenType false
/ParseICCProfilesInComments true
/EmbedJobOptions true
/DSCReportingLevel 0
/EmitDSCWarnings false
/EndPage -1
/ImageMemory 1048576
/LockDistillerParams false
/MaxSubsetPct 100
/Optimize true
/OPM 1
/ParseDSCComments true
/ParseDSCCommentsForDocInfo true
/PreserveCopyPage true
/PreserveDICMYKValues true
/PreserveEPSInfo true
/PreserveFlatness true
/PreserveHalftoneInfo false
/PreserveOPIComments true
/PreserveOverprintSettings true
/StartPage 1
/SubsetFonts true
/TransferFunctionInfo /Apply
/UCRandBGInfo /Preserve
/UsePrologue false
/ColorSettingsFile ()
/AlwaysEmbed [ true
]
/NeverEmbed [ true
]
/AntiAliasColorImages false
/CropColorImages true
/ColorImageMinResolution 300
/ColorImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleColorImages true
/ColorImageDownsampleType /Bicubic
/ColorImageResolution 300
/ColorImageDepth -1
/ColorImageMinDownsampleDepth 1
/ColorImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeColorImages true
/ColorImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterColorImages true
/ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG
/ColorACSImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/ColorImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/JPEG2000ColorACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/JPEG2000ColorImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/AntiAliasGrayImages false
/CropGrayImages true
/GrayImageMinResolution 300
/GrayImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleGrayImages true
/GrayImageDownsampleType /Bicubic
/GrayImageResolution 300
/GrayImageDepth -1
/GrayImageMinDownsampleDepth 2
/GrayImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeGrayImages true
/GrayImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterGrayImages true
/GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG
/GrayACSImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/GrayImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/JPEG2000GrayACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/JPEG2000GrayImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/AntiAliasMonoImages false
/CropMonoImages true
/MonoImageMinResolution 1200
/MonoImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleMonoImages true
/MonoImageDownsampleType /Bicubic
/MonoImageResolution 1200
/MonoImageDepth -1
/MonoImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeMonoImages true
/MonoImageFilter /CCITTFaxEncode
/MonoImageDict <<
/K -1
>>
/AllowPSXObjects false
/CheckCompliance [
/None
]
/PDFX1aCheck false
/PDFX3Check false
/PDFXCompliantPDFOnly false
/PDFXNoTrimBoxError true
/PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXSetBleedBoxToMediaBox true
/PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXOutputIntentProfile ()
/PDFXOutputConditionIdentifier ()
/PDFXOutputCondition ()
/PDFXRegistryName ()
/PDFXTrapped /False
/Description <<
/CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e9ad88d2891cf76845370524d53705237300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002>
/CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc9ad854c18cea76845370524d5370523786557406300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002>
/DAN <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>
/DEU <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>
/ESP <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>
/FRA <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>
/ITA <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>
/JPN <FEFF9ad854c18cea306a30d730ea30d730ec30b951fa529b7528002000410064006f0062006500200050004400460020658766f8306e4f5c6210306b4f7f75283057307e305930023053306e8a2d5b9a30674f5c62103055308c305f0020005000440046002030d530a130a430eb306f3001004100630072006f0062006100740020304a30883073002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee5964d3067958b304f30533068304c3067304d307e305930023053306e8a2d5b9a306b306f30d530a930f330c8306e57cb30818fbc307f304c5fc59808306730593002>
/KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020ace0d488c9c80020c2dcd5d80020c778c1c4c5d00020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e>
/NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken die zijn geoptimaliseerd voor prepress-afdrukken van hoge kwaliteit. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.)
/NOR <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>
/PTB <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>
/SUO <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>
/SVE <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>
/ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents best suited for high-quality prepress printing. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.)
>>
/Namespace [
(Adobe)
(Common)
(1.0)
]
/OtherNamespaces [
<<
/AsReaderSpreads false
/CropImagesToFrames true
/ErrorControl /WarnAndContinue
/FlattenerIgnoreSpreadOverrides false
/IncludeGuidesGrids false
/IncludeNonPrinting false
/IncludeSlug false
/Namespace [
(Adobe)
(InDesign)
(4.0)
]
/OmitPlacedBitmaps false
/OmitPlacedEPS false
/OmitPlacedPDF false
/SimulateOverprint /Legacy
>>
<<
/AddBleedMarks false
/AddColorBars false
/AddCropMarks false
/AddPageInfo false
/AddRegMarks false
/ConvertColors /ConvertToCMYK
/DestinationProfileName ()
/DestinationProfileSelector /DocumentCMYK
/Downsample16BitImages true
/FlattenerPreset <<
/PresetSelector /MediumResolution
>>
/FormElements false
/GenerateStructure false
/IncludeBookmarks false
/IncludeHyperlinks false
/IncludeInteractive false
/IncludeLayers false
/IncludeProfiles false
/MultimediaHandling /UseObjectSettings
/Namespace [
(Adobe)
(CreativeSuite)
(2.0)
]
/PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK
/PreserveEditing true
/UntaggedCMYKHandling /LeaveUntagged
/UntaggedRGBHandling /UseDocumentProfile
/UseDocumentBleed false
>>
]
>> setdistillerparams
<<
/HWResolution [2400 2400]
/PageSize [612.000 792.000]
>> setpagedevice
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-61842 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0204-3572 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:11:35Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Литвин, О.Н. Нечуйвитер, О.П. 2014-05-12T17:25:03Z 2014-05-12T17:25:03Z 2012 Обоснование точности кубатурных формул для приближенного вычисления 3D интегралов от быстроосциллирующих функций с использованием интерфлетации / О.Н. Литвин, О.П. Нечуйвитер // Электронное моделирование. — 2012 — Т. 34, № 5. — С. 3-11. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 0204-3572 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/61842 519.6 Доказана оптимальность по порядку точности кубатурных формул приближенного вычисления интегралов от быстроосциллирующих функций с использованием операторов кусочнополиномиальной сплайн-интерфлетации на классе дифференцируемых функций. Доведено оптимальність за порядком точності кубатурних формул наближеного обчислення інтегралів від швидкоосцилюючих функцій з використанням операторів кусково-поліноміальної сплайн-інтерфлетації на класі диференційовних функцій. Cubature formulas of the calculation of 3D highly oscillatory integrals are investigated by using operators of piece-polynomial spline-interflatation. These formulas are optimal by exactness. The estimations of error of approaching of the cubature formulas are presented on the class of differentiable functions. ru Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України Электронное моделирование Математические методы и модели Обоснование точности кубатурных формул для приближенного вычисления 3D интегралов от быстроосциллирующих функций с использованием интерфлетации Article published earlier |
| spellingShingle | Обоснование точности кубатурных формул для приближенного вычисления 3D интегралов от быстроосциллирующих функций с использованием интерфлетации Литвин, О.Н. Нечуйвитер, О.П. Математические методы и модели |
| title | Обоснование точности кубатурных формул для приближенного вычисления 3D интегралов от быстроосциллирующих функций с использованием интерфлетации |
| title_full | Обоснование точности кубатурных формул для приближенного вычисления 3D интегралов от быстроосциллирующих функций с использованием интерфлетации |
| title_fullStr | Обоснование точности кубатурных формул для приближенного вычисления 3D интегралов от быстроосциллирующих функций с использованием интерфлетации |
| title_full_unstemmed | Обоснование точности кубатурных формул для приближенного вычисления 3D интегралов от быстроосциллирующих функций с использованием интерфлетации |
| title_short | Обоснование точности кубатурных формул для приближенного вычисления 3D интегралов от быстроосциллирующих функций с использованием интерфлетации |
| title_sort | обоснование точности кубатурных формул для приближенного вычисления 3d интегралов от быстроосциллирующих функций с использованием интерфлетации |
| topic | Математические методы и модели |
| topic_facet | Математические методы и модели |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/61842 |
| work_keys_str_mv | AT litvinon obosnovanietočnostikubaturnyhformuldlâpribližennogovyčisleniâ3dintegralovotbystrooscilliruûŝihfunkciisispolʹzovanieminterfletacii AT nečuiviterop obosnovanietočnostikubaturnyhformuldlâpribližennogovyčisleniâ3dintegralovotbystrooscilliruûŝihfunkciisispolʹzovanieminterfletacii |