Моделирование динамических процессов в неоднородных вязкоупругих системах
Приведены математическая модель, методы и алгоритмы решения задачи о нелинейных вынужденных колебаниях трехмерных неоднородных вязкоупругих систем. Рассматриваемая задача с использованием метода конечных элементов сведена к системе большого порядка нелинейных интегро-дифференциальных уравнений, реша...
Saved in:
| Published in: | Электронное моделирование |
|---|---|
| Date: | 2012 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
2012
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/61854 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Моделирование динамических процессов в неоднородных вязкоупругих системах / М.М. Мирсаидов, Т.3. Султанов, Д.А. Ходжаев // Электронное моделирование. — 2012 — Т. 34, № 6. — С. 41-54. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859482613319729152 |
|---|---|
| author | Мирсаидов, М.М. Султанов, Т.3. Ходжаев, Д.А. |
| author_facet | Мирсаидов, М.М. Султанов, Т.3. Ходжаев, Д.А. |
| citation_txt | Моделирование динамических процессов в неоднородных вязкоупругих системах / М.М. Мирсаидов, Т.3. Султанов, Д.А. Ходжаев // Электронное моделирование. — 2012 — Т. 34, № 6. — С. 41-54. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Электронное моделирование |
| description | Приведены математическая модель, методы и алгоритмы решения задачи о нелинейных вынужденных колебаниях трехмерных неоднородных вязкоупругих систем. Рассматриваемая задача с использованием метода конечных элементов сведена к системе большого порядка нелинейных интегро-дифференциальных уравнений, решаемой методом Ньюмарка. Рассмотрен пример расчета грунтовой плотины с учетом нелинейных, вязкоупругих свойств материала и конструктивных особенностей сооружения. Выявлен ряд новых механических эффектов.
Наведено математичну модель, методи та алгоритми розв’язування задачі про нелінійні вимушені коливання тривимірних неоднорідних в’язкопружних систем. Розглянуту задачу з використанням методу кінцевих елементів зведено до системи великого порядку нелінійних інтегро-диференціальних рівнянь, яка розв’язується методом Ньюмарка. Розглянуто приклад розрахунку грунтової греблі з врахуванням нелінійних, в’язкопружних властивостей матеріалу та конструктивних особливостей споруди. Виявлено ряд нових механічних ефектів.
Mathematical model, methods and algorithms for the decision of a problem on nonlinear forced vibrations of three-dimensional heterogeneous viscoelastic systems are presented. The considered problem with use of themethod of finite elements is reduced to the high order system of nonlinear integro-differential equations which is solved by Newmark’s method. The example of calculation of soil dam taking into account nonlinear, viscoelastic properties of the material and design features of the structure is considered. A number of new mechanical effects have been revealed.
|
| first_indexed | 2025-11-24T15:12:53Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.6.539.3:534.1.699.841
Ì. Ì. Ìèðñàèäîâ *, ä-ð òåõí. íàóê, Ò. Ç. Ñóëòàíîâ **, êàíä. òåõí. íàóê,
Ä. À. Õîäæàåâ ***, êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê
Òàøêåíòñêèé èí-ò èððèãàöèè è ìåëèîðàöèè
(Ðåñïóáëèêà Óçáåêèñòàí, 100000, Òàøêåíò, óë. Êàðû Íèÿçîâà, 39,
òåë. (99871) 2370981, å-mail: theormir@mail.ru *, z-tohir@mail.ru **,
(99871) 2371948, dhodjaev@mail.ru***)
Ìîäåëèðîâàíèå äèíàìè÷åñêèõ ïðîöåññîâ
â íåîäíîðîäíûõ âÿçêîóïðóãèõ ñèñòåìàõ
Ïðèâåäåíû ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü, ìåòîäû è àëãîðèòìû ðåøåíèÿ çàäà÷è î íåëèíåéíûõ
âûíóæäåííûõ êîëåáàíèÿõ òðåõìåðíûõ íåîäíîðîäíûõ âÿçêîóïðóãèõ ñèñòåì. Ðàññìàòðè-
âàåìàÿ çàäà÷à ñ èñïîëüçîâàíèåì ìåòîäà êîíå÷íûõ ýëåìåíòîâ ñâåäåíà ê ñèñòåìå áîëüøîãî
ïîðÿäêà íåëèíåéíûõ èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, ðåøàåìîé ìåòîäîì Íüþ-
ìàðêà. Ðàññìîòðåí ïðèìåð ðàñ÷åòà ãðóíòîâîé ïëîòèíû ñ ó÷åòîì íåëèíåéíûõ, âÿçêî-
óïðóãèõ ñâîéñòâ ìàòåðèàëà è êîíñòðóêòèâíûõ îñîáåííîñòåé ñîîðóæåíèÿ. Âûÿâëåí ðÿä
íîâûõ ìåõàíè÷åñêèõ ýôôåêòîâ.
Íàâåäåíî ìàòåìàòè÷íó ìîäåëü, ìåòîäè òà àëãîðèòìè ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷³ ïðî íåë³í³éí³
âèìóøåí³ êîëèâàííÿ òðèâèì³ðíèõ íåîäíîð³äíèõ â’ÿçêîïðóæíèõ ñèñòåì. Ðîçãëÿíóòó çàäà-
÷ó ç âèêîðèñòàííÿì ìåòîäó ê³íöåâèõ åëåìåíò³â çâåäåíî äî ñèñòåìè âåëèêîãî ïîðÿäêó
íåë³í³éíèõ ³íòåãðî-äèôåðåíö³àëüíèõ ð³âíÿíü, ÿêà ðîçâ’ÿçóºòüñÿ ìåòîäîì Íüþìàðêà. Ðîç-
ãëÿíóòî ïðèêëàä ðîçðàõóíêó ãðóíòîâî¿ ãðåáë³ ç âðàõóâàííÿì íåë³í³éíèõ, â’ÿçêîïðóæíèõ
âëàñòèâîñòåé ìàòåð³àëó òà êîíñòðóêòèâíèõ îñîáëèâîñòåé ñïîðóäè. Âèÿâëåíî ðÿä íîâèõ
ìåõàí³÷íèõ åôåêò³â.
Ê ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à: ãðóíòîâàÿ ïëîòèíà, íåîäíîðîäíàÿ ñèñòåìà, íåëèíåéíûå êîëåáàíèÿ,
íàïðÿæåííî-äåôîðìèðîâàííîå ñîñòîÿíèå, âÿçêîóïðóãîñòü.
 êà÷åñòâå íåîäíîðîäíîé âÿçêîóïðóãîé ñèñòåìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü
ãðóíòîâîå ñîîðóæåíèå, ìàòåðèàë êàæäîé îòäåëüíîé ÷àñòè êîòîðîãî îáëà-
äàåò ëèíåéíûìè è íåëèíåéíûìè óïðóãèìè èëè âÿçêîóïðóãèìè ñâîéñòâà-
ìè. Ïðè îöåíêå íàïðÿæåííî-äåôîðìèðîâàííîãî ñîñòîÿíèÿ (ÍÄÑ) òàêèõ
ñîîðóæåíèé âîçíèêàåò ðÿä âîïðîñîâ, ñâÿçàííûõ ñ ó÷åòîì íåîäíîðîäíîñòè
êîíñòðóêöèé è ðåàëüíûõ ñâîéñòâ èñïîëüçîâàííîãî ìàòåðèàëà, ïðàâèëüíûé
ó÷åò êîòîðûõ ñïîñîáñòâóåò áîëåå òî÷íîé îöåíêå ïðî÷íîñòè ñîîðóæåíèé
ïðè ðàçëè÷íûõ äèíàìè÷åñêèõ âîçäåéñòâèÿõ.
Óâåëè÷åíèå äèññèïàòèâíûõ ñïîñîáíîñòåé êàê ìàòåðèàëà, òàê è êîíñò-
ðóêöèè ïðèâîäèò ê óìåíüøåíèþ àìïëèòóäû êîëåáàíèé. Íàïðèìåð, êîíñòðóê-
öèÿ ãðóíòîâîé ïëîòèíû, âûïîëíåííàÿ èç îðèåíòèðîâàííûõ ïåðïåíäèêóëÿðíî
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2012. Ò. 34. ¹ 6 41
ÂÛ×ÈÑËÈÒÅËÜÍÛÅ
ÏÐÎÖÅÑÑÛ È ÑÈÑÒÅÌÛ
åå ïðîäîëüíîé îñè âåðòèêàëüíûõ ñëîåâ (íàïîäîáèå ïèðîãà) îáëàäàåò íàè-
áîëüøåé äèññèïàòèâíîé ñïîñîáíîñòüþ [1], òàê êàê êàæäûé ñëîé êîëåá-
ëåòñÿ ñ ðàçëè÷íûìè ÷àñòîòàìè è àìïëèòóäàìè, ïðåïÿòñòâóÿ âîçíèêíîâå-
íèþ ðåçîíàíñíîãî ðåæèìà êîëåáàíèé â öåëîì [2]. Òàêîå êîíñòðóêòèâíîå
ðåøåíèå ïîçâîëÿåò èçìåíèòü äèíàìè÷åñêóþ õàðàêòåðèñòèêó ñîîðóæåíèÿ
[3]. Ïðè ýòîì ìàòåìàòè÷åñêèå è âû÷èñëèòåëüíûå ïðîáëåìû åùå áîëåå
óñëîæíÿþòñÿ, òàê êàê ñîîðóæåíèå ïðåâðàùàåòñÿ â íåîäíîðîäíóþ ñèñòåìó
ñ ðàçëè÷íûìè óïðóãèìè èëè âÿçêîóïðóãèìè õàðàêòåðèñòèêàìè ñîñòàâ-
ëÿþùèõ åå ÷àñòåé.
Äðóãîé ñïîñîá èçìåíåíèÿ äèíàìè÷åñêîé õàðàêòåðèñòèêè êîíñòðóê-
öèè — ïîäáîð ìàòåðèàëîâ, èìåþùèõ íàèáîëüøèå äèññèïàòèâíûå ñâîéñò-
âà. Èññëåäîâàíèå äèññèïàòèâíûõ ñâîéñòâ äëÿ ñîîðóæåíèÿ â öåëîì ÿâëÿåòñÿ
äîñòàòî÷íî òðóäíîé ïðîáëåìîé äàæå äëÿ ïðîñòûõ ìåõàíè÷åñêèõ ñèñòåì,
òàê êàê äëÿ ïîëíîé îöåíêè äèññèïàòèâíûõ ñâîéñòâ êîíñòðóêöèè íåîáõî-
äèìî èññëåäîâàíèå ñîáñòâåííûõ, óñòàíîâèâøèõñÿ è íåóñòàíîâèâøèõñÿ,
êîëåáàíèé êîíñòðóêöèè ñ ó÷åòîì âíóòðåííåãî òðåíèÿ â ìàòåðèàëå [2].
Òðóäíîñòü ðåøåíèÿ ýòîé ïðîáëåìû, âî-ïåðâûõ, ñâÿçàíà ñ îòñóòñòâèåì
ìîäåëåé, áîëåå èëè ìåíåå ðåàëüíî îïèñûâàþùèõ ôåíîìåí âíóòðåííåãî
òðåíèÿ â ìàòåðèàëå; âî-âòîðûõ, ðåøåíèå çàäà÷è íà îñíîâå èçâåñòíûõ ìî-
äåëåé ïðèâîäèò ê ðÿäó ïðîáëåì, òðóäíî ðåàëèçóåìûõ äàæå íà ñîâðåìåí-
íûõ ÝÂÌ âñëåäñòâèå îòñóòñòâèÿ âû÷èñëèòåëüíûõ ìåòîäîâ è àëãîðèòìîâ,
îòâå÷àþùèõ òðåáîâàíèÿì, ïðåäúÿâëÿåìûì ê ïîñòàâëåííûì çàäà÷àì. Ïî-
ýòîìó ïî÷òè âñå èçâåñòíûå ðàáîòû ïîñâÿùåíû ðàñ÷åòó êîëåáàíèé ãðóí-
òîâûõ ñîîðóæåíèé ñ èñïîëüçîâàíèåì ïðîñòûõ ìîäåëåé, ó÷èòûâàþùèõ
äèññèïàöèþ ýíåðãèè, à ïîâåäåíèå ìàòåðèàëà ñîîðóæåíèé ñ èñïîëüçîâà-
íèåì ëèíåéíûõ èëè íåëèíåéíûõ âÿçêîóïðóãèõ ìîäåëåé â óñëîâèÿõ äèíà-
ìè÷åñêèõ íàãðóæåíèé èññëåäîâàíî íåäîñòàòî÷íî [4].
Èçâåñòíî, ÷òî äëÿ ãðóíòîâûõ ñîîðóæåíèé íàèáîëåå âàæåí ó÷åò íåëè-
íåéíûõ âÿçêîóïðóãèõ ñâîéñòâ ìàòåðèàëà. Ìíîãèå ìàòåðèàëû, ê êîòîðûì
îòíîñÿòñÿ ãðóíòû íà òåððèòîðèè Óçáåêèñòàíà, îáëàäàþò ðåîëîãè÷åñêèìè
ñâîéñòâàìè, ò.å. çàâèñÿùåé îò âðåìåíè ñâÿçüþ ìåæäó íàïðÿæåíèÿìè è
äåôîðìàöèÿìè [4, 5]. Âÿçêîóïðóãèå ñâîéñòâà ãðóíòà (ïîëçó÷åñòü è ðåëàê-
ñàöèÿ) â ðàçëè÷íîé ñòåïåíè ïðîÿâëÿþòñÿ ïðè äèíàìè÷åñêèõ âîçäåéñòâèÿõ.
Ïðåäñòàâëÿåò èíòåðåñ ó÷åò âÿçêîóïðóãèõ ñâîéñòâ ãðóíòà ïðè îöåíêå ïðî÷-
íîñòè ãðóíòîâûõ ñîîðóæåíèé, â ÷àñòíîñòè ãðóíòîâûõ ïëîòèí, íàõîäÿ-
ùèõñÿ â çîíå ïîâûøåííîé ñåéñìè÷íîñòè, ãäå ñîîðóæåíèå ïîäâåðãàåòñÿ
èíòåíñèâíûì äèíàìè÷åñêèì íàãðóçêàì.
Ðåçóëüòàòû ýêñïåðèìåíòîâ [6, 7] ïîäòâåðæäàþò òîò ôàêò, ÷òî ïðè çà-
êîí÷èâøåìñÿ ïðîöåññå êîíñîëèäàöèè äåôîðìèðóåìîñòü äèñïåðñíûõ ãðóíòîâ
äîñòàòî÷íî òî÷íî îïèñûâàåòñÿ ëèíåéíîé òåîðèåé íàñëåäñòâåííîé ïîëçó-
Ì. Ì. Ìèðñàèäîâ, Ò. Ç. Ñóëòàíîâ, Ä. À. Õîäæàåâ
42 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2012. V. 34. ¹ 6
÷åñòè Áîëüöìàíà—Âîëüòåððû [8, 9]. Âñëåäñòâèå îòíîñèòåëüíîé ñëîæ-
íîñòè óðàâíåíèé íàñëåäñòâåííîé òåîðèè âÿçêîóïðóãîñòè íåêîòîðûå èñ-
ñëåäîâàòåëè èçáåãàþò åå ïðèìåíåíèÿ â ìåõàíèêå ãðóíòîâ. Îäíàêî ñîâðå-
ìåííûé óðîâåíü ðàçâèòèÿ ìåòîäîâ ðåøåíèÿ çàäà÷ íàñëåäñòâåííîé âÿçêî-
óïðóãîñòè [8—14] ïîçâîëÿåò èñïîëüçîâàòü èõ äëÿ îïèñàíèÿ äèíàìè÷åñêèõ
ïðîöåññîâ â ãðóíòå.
 ñâÿçè ñ ýòèì öåëåñîîáðàçíà ðàçðàáîòêà àäåêâàòíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ
ìîäåëåé, ìåòîäîâ è àëãîðèòìîâ, ó÷èòûâàþùèõ êàê êîíñòðóêòèâíûå îñî-
áåííîñòè, òàê è íåîäíîðîäíîñòü ñîîðóæåíèé, ðåàëüíûå ñâîéñòâà èõ ìàòå-
ðèàëîâ ïðè äèíàìè÷åñêèõ âîçäåéñòâèÿõ, à òàêæå íåîáõîäèìî èññëåäî-
âàíèå äèíàìè÷åñêîãî ïîâåäåíèÿ êîíêðåòíûõ ñîîðóæåíèé ñ ó÷åòîì óêàçàí-
íûõ âûøå ôàêòîðîâ.
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ïîñòàíîâêà, ìåòîäû è àëãîðèòìû ðåøåíèÿ çàäà-
÷è. Äëÿ ïðîãíîçà ÍÄÑ è äèíàìè÷åñêîãî ïîâåäåíèÿ ãðóíòîâîé ïëîòèíû â
òðåõìåðíîé ïîñòàíîâêå ðàññìîòðèì ïðîñòðàíñòâåííóþ ìîäåëü ñîîðóæå-
íèÿ, ïðåäñòàâëåííóþ â âèäå íåîäíîðîäíîé ñèñòåìû (ðèñ. 1). Ïðè ýòîì
îñíîâàíèå ñèñòåìû � 0 ïîäâåðãàåòñÿ ïðîèçâîëüíîìó êèíåìàòè÷åñêîìó âîç-
äåéñòâèþ u x0( , )t . Íà ïîâåðõíîñòè S p (âåðõîâîãî îòêîñà �1) ïðèëîæåíî
ãèäðîñòàòè÷åñêîå äàâëåíèå âîäû p xc ( ). Ñèñòåìà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìàñ-
ñèâíîå òåëî, ïîýòîìó ïðè ðàñ÷åòå ó÷èòûâàåòñÿ âåêòîð ìàññîâûõ ñèë f.
Ïîâåðõíîñòè îñíîâàíèÿ � 0 è áåðåãîâûõ ñêëîíîâ � 4,� 5 æåñòêî çàùåìëåíû,
ïîâåðõíîñòü ãðåáíÿ è íèçîâîãî îòêîñà � 2, � 3 ñâîáîäíû îò íàïðÿæåíèÿ.
Îáúåì òåëà ïëîòèíû V ñîñòîèò èç îáúåìà âåðõíåé V1 è íèæíåé V3 óïîðíûõ
ïðèçì è îáúåìà ÿäðà V2.
Ìàòåðèàë ðàçëè÷íûõ ÷àñòåé ñèñòåìû (V1, V2, V3) ñ÷èòàåòñÿ ëèíåéíî-
èëè íåëèíåéíî-óïðóãèì è âÿçêîóïðóãèì. Íà ãðàíèöàõ ðàçäåëà îáëàñòåé
Ìîäåëèðîâàíèå äèíàìè÷åñêèõ ïðîöåññîâ â íåîäíîðîäíûõ âÿçêîóïðóãèõ ñèñòåìàõ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2012. Ò. 34. ¹ 6 43
h
x x1( )
x z3( )
x x2( )
u u1( )
u w3( )u v2( )
V1
V2
V3
Sp�1
�0
�3
��
�2
�0
0
V2
0
Ðèñ. 1. Ìîäåëü íåîäíîðîäíîé òðåõìåðíîé ñèñòåìû
ñèñòåìû êîìïîíåíòû âåêòîðîâ ïåðåìåùåíèé è òåíçîðîâ íàïðÿæåíèé íå-
ïðåðûâíû.
Çàäà÷à ñîñòîèò â îïðåäåëåíèè ïîëåé ïåðåìåùåíèé è íàïðÿæåíèé â
ñèñòåìå (ñì. ðèñ. 1) ñ ó÷åòîì ìàññîâûõ ñèë f, äàâëåíèÿ âîäû p xc ( ) è êèíå-
ìàòè÷åñêîãî âîçäåéñòâèÿ íà îñíîâàíèe u x0( , )t .
Äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ ïðîöåññà äåôîðìèðîâàíèÿ è äèíàìè÷åñêîãî ïî-
âåäåíèÿ ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìû â òðåõìåðíîé ïîñòàíîâêå èñïîëüçóåì
âàðèàöèîííîå óðàâíåíèå Ëàãðàíæà, îñíîâàííîå íà ïðèíöèïå Äàëàìáåðà
äëÿ íåîäíîðîäíûõ äåôîðìèðóåìûõ òåë:
� � � �� � � �
V
ij ij
V
ij ij
V
ij ij
V
dV dV dV
1 2 3 1
1� �� � �� � �� ���u udV dV
V
� ��
2
2 ���u u
�
�� � �
V V S
ñdV dV dS
p3
3 0 � � ���u u f u p u , i, j = 1, 2, 3. (1)
Çäåñü u, � ij è � ij — êîìïîíåíòû âåêòîðà ïåðåìåùåíèé, òåíçîðîâ äåôîð-
ìàöèé è íàïðÿæåíèé; �u è �� ij — èçîõðîííûå âàðèàöèè ïåðåìåùåíèé è
äåôîðìàöèé; n — ïëîòíîñòü ìàòåðèàëà ýëåìåíòîâ ðàññìàòðèâàåìîé ñèñ-
òåìû (n = 1, 2, 3, ÷òî îçíà÷àåò ÷àñòü ñèñòåìû, ê êîòîðîé îòíîñèòñÿ äàííàÿ
âåëè÷èíà);
pc g h x� � 0 ( )2 . (2)
Ñâÿçü ìåæäó êîìïîíåíòàìè òåíçîðà äåôîðìàöèé è âåêòîðîì ïåðåìåùå-
íèé îïèñûâàåòñÿ ëèíåéíûìè ñîîòíîøåíèÿìè Êîøè
�
�
�
�
�
ij
i
j
j
i
u
x
u
x
�
�
��
�
�
��
1
2
, i, j = 1, 2, 3.
(3)
Äëÿ îïèñàíèÿ ñâÿçè ìåæäó òåíçîðîì íàïðÿæåíèÿ è äåôîðìàöèåé
èñïîëüçóåòñÿ íåëèíåéíàÿ êóáè÷åñêàÿ òåîðèÿ âÿçêîóïðóãîñòè Èëþøèíà—
Îãèáàëîâà [9] äëÿ òðåõìåðíîãî òåëà, ñîãëàñíî êîòîðîé îáúåìíîå äåôîð-
ìèðîâàíèå ïðîèñõîäèò ñ ó÷åòîì óïðóãîñòè, à ñäâèãîâûå ñîñòàâëÿþùèå
îïðåäåëÿþòñÿ ñ ó÷åòîì âÿçêîóïðóãîñòè:
� � � � � � �ij n ij ij n ij
t
ijK t G e t t e d( ) ( ) ( ) ( )
� �
�
�
�
�
�
��2
0
1�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�! � � � �e t e t t e e dij
t
ij( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0
3� . (4)
Ì. Ì. Ìèðñàèäîâ, Ò. Ç. Ñóëòàíîâ, Ä. À. Õîäæàåâ
44 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2012. V. 34. ¹ 6
Êèíåìàòè÷åñêèå óñëîâèÿ â îñíîâàíèè èìåþò âèä
x"� 0 : u x0 1( , ) ( )t t�# , (5)
à íà÷àëüíûå óñëîâèÿ ïðè t = 0 —
x"V : u x x( , ) ( )0 2�# , � ( , ) ( )u x x0 3�# . (6)
Âî âñåõ ðàññìàòðèâàåìûõ çàäà÷àõ âåêòîð ïåðåìåùåíèé èìååò òðè
êîìïîíåíòû u � �{ , , } { , , }u u u u v w1 2 3 â ïðîñòðàíñòâåííîé ñèñòåìå êîîðäè-
íàò x � �{ , , } { , , }x x x x y z1 2 3 , ãäå eij ij ij� �� $�( / )1 3 ;$ �� ii ; e e ekl lk� ; i, j, k, l=
= 1, 2, 3; #1 — çàäàííàÿ ôóíêöèÿ âðåìåíè; #2 , #3 — çàäàííûå ôóíêöèè
êîîðäèíàò; K n — îáúåìíûé ìîäóëü óïðóãîñòè; Gn — ìãíîâåííûé ìîäóëü
ñäâèãà;�1,�3 — ÿäðà ðåëàêñàöèè; � ij — ñèìâîë Êðîíåêêåðà; ! — êîýôôè-
öèåíò íåëèíåéíîñòè; 0 — ïëîòíîñòü âîäû; ( )h x� 2 — ãëóáèíà òî÷êè íà
íàïîðíîé ãðàíè ïëîòèíû; h — âûñîòà çàïîëíåíèÿ âîäîõðàíèëèùà; t —
âðåìÿ; g = 9,81 ì/ñ2.
Îáùóþ âàðèàöèîííóþ çàäà÷ó î âûíóæäåííûõ êîëåáàíèÿõ íåîäíîðîä-
íûõ âÿçêîóïðóãèõ ñèñòåì ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü òàê: íåîáõîäèìî îïðå-
äåëèòü ïîëÿ ïåðåìåùåíèé u x( , )t è íàïðÿæåíèé � ij t( , )x äàííîé ñèñòåìû,
óäîâëåòâîðÿþùèå óðàâíåíèÿì (1), (3)—(4) ñ ó÷åòîì ìàññîâûõ ñèë f, ãèäðî-
ñòàòè÷åñêîãî äàâëåíèÿ âîäû (2), êèíåìàòè÷åñêèõ è íà÷àëüíûõ óñëîâèé (5)
è (6) ïðè ëþáîì âîçìîæíîì ïåðåìåùåíèè �u.
Óñòàíîâèâøèåñÿ âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ ëèíåéíûõ íåîäíîðîä-
íûõ âÿçêîóïðóãèõ ñèñòåì ïðîèñõîäÿò ïðè âëèÿíèè íà ñèñòåìó âíåøíèõ
ïåðèîäè÷åñêèõ âîçäåéñòâèé. Ïîñêîëüêó ðåçóëüòàòû ðåøåíèÿ ðàññìàòðè-
âàåìîé çàäà÷è íå çàâèñÿò îò íà÷àëüíûõ óñëîâèé, èõ ó÷èòûâàòü íå áóäåì è
íèæíèé ïðåäåë èíòåãðàëà â (4) ïðèìåì ðàâíûì (– %).
Ðåçóëüòàòû èññëåäîâàíèé äàííîãî ïðîöåññà ïîçâîëÿþò ïðîãíîçèðî-
âàòü èçìåíåíèå âåëè÷èíû ïåðåìåøåíèé è íàïðÿæåíèé â ëþáûõ òî÷êàõ
ñèñòåìû ïðè ðàçëè÷íûõ ÷àñòîòàõ âíåøíåãî ïåðèîäè÷åñêîãî âîçäåéñòâèÿ,
âêëþ÷àÿ ðåçîíàíñíûå ðåæèìû êîëåáàíèé. Ïîñòðîåíèå àìïëèòóäíî-÷àñ-
òîòíûõ õàðàêòåðèñòèê (À×Õ) ïåðåìåùåíèé è íàïðÿæåíèé äëÿ ðàçëè÷íûõ
òî÷åê ñîîðóæåíèÿ äàåò âîçìîæíîñòü îöåíèòü îòêëèê íà ñèãíàëû ðàçëè÷-
íîé ÷àñòîòû. Ïðè ýòîì ðåøåíèå âàðèàöèîííîé çàäà÷è (1)—(5) îá óñòàíî-
âèâøèõñÿ âûíóæäåííûõ êîëåáàíèÿõ íåîäíîðîäíûõ âÿçêîóïðóãèõ ñèñòåì
(ïðè ! �0) íàõîäèì â âèäå
u x u x u x( , ) ( , ) ( ) exp( )*t t i t�
�0 & , (7)
ãäå & — çàäàííàÿ ÷àñòîòà âíåøíèõ âîçäåéñòâèé; u x
* ( ) — âåêòîðû èñêîìûõ
àìïëèòóä ïåðåìåùåíèé; u x0( , )t — çàäàííîå êèíåìàòè÷åñêîå âîçäåéñòâèå.
Ïîñëå ïîäñòàíîâêè âûðàæåíèÿ (7) â (1) ïîëó÷åííîå âàðèàöèîííîå
óðàâíåíèå ñ èñïîëüçîâàíèåì ìåòîäà êîíå÷íûõ ýëåìåíòîâ (ÌÊÝ) [4, 15]
Ìîäåëèðîâàíèå äèíàìè÷åñêèõ ïðîöåññîâ â íåîäíîðîäíûõ âÿçêîóïðóãèõ ñèñòåìàõ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2012. Ò. 34. ¹ 6 45
ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ êîìïëåêñíîé ñèñòåìû íåîäíîðîäíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ
óðàâíåíèé
([ ] [ ]){ } { } { }K M� �
& &2 2
u F f , (8)
ãäå [ ]K — ïåðåìåííàÿ êîìïëåêñíàÿ ìàòðèöà æåñòêîñòè; [ ]M — ìàòðèöà
ìàññ ñèñòåìû (ñì. ðèñ.1); { }u — âåêòîð èñêîìûõ êîìïëåêñíûõ àìïëèòóä
ïåðåìåùåíèé; { }f — âåêòîð âíåøíåé íàãðóçêè îò êèíåìàòè÷åñêîãî âîç-
äåéñòâèÿ; { }F — ñóììàðíûé âåêòîð âíåøíèõ íàãðóçîê (ìàññîâûõ ñèë,
ãèäðîñòàòè÷åñêîãî äàâëåíèÿ âîäû è äð.).
Ýëåìåíòû ìàòðèöû [ ]K , ò.å. kij ( )& , çàâèñÿò îò ÷àñòîòû âíåøíåãî âîç-
äåéñòâèÿ &. Èíòåãðàëüíûé îïåðàòîð Âîëüòåððû
~
( ) ( ) ( )G G t t t dn n
t
Gn
' ' � ' �� � �
�
�
�
�
�
�
�%
� � ,
(9)
çàìåíÿåì ñëåäóþùèì êîìïëåêñíûì ñîîòíîøåíèåì:
� �
~
( ) ( )cos sinG G in n G Gn n
' '� � �1 � & � & . (10)
Çäåñü �Gn
sin , �Gn
cos — ñèíóñû è êîñèíóñû âèäà Ôóðüå ÿäðà ðåëàêñàöèè �Gn
,
� & � &�G Gn n
dcos( ) ( ) cos�
%
�
0
� � , � & � &�G Gn n
dsin ( ) ( ) sin�
%
�
0
� �, (11)
ãäå ' — ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ âðåìåíè.
 ëèíåéíîé ñèñòåìå àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé (8) ñ êîìïëåêñíûìè
êîýôôèöåíòàìè ïîðÿäîê óðàâíåíèé äîñòèãàåò íåñêîëüêèõ òûñÿ÷ è îíè
ðåøàþòñÿ ìåòîäîì êâàäðàòíîãî êîðíÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì êîìïëåêñíîé
àðèôìåòèêè [16]. Ïîýòîìó ïðè èññëåäîâàíèè óñòàíîâèâøèõñÿ âûíóæ-
äåííûõ êîëåáàíèé íåîäíîðîäíûõ âÿçêîóïðóãèõ ñèñòåì íåîáõîäèìî âû-
ïîëíèòü ñëåäóþùèå îïåðàöèè:
1. Ïðè ôèêñèðîâàííûõ çíà÷åíèÿõ & âû÷èñëèòü êîìïëåêñíûå âåëè÷è-
íû (10), (11).
2. Ñ ïîìîùüþ ðàçðàáîòàííîãî àëãîðèòìà [4], îñíîâàííîãî íà ÌÊÝ
[16], ñîñòàâèòü óðàâíåíèå (8) ñ ó÷åòîì êîìïëåêñíûõ âåëè÷èí (10), (11).
3. Ïîëó÷åííóþ ïðè äàííîì çíà÷åíèè & êîìïëåêñíóþ àëãåáðàè÷åñêóþ
ñèñòåìó óðàâíåíèé òèïà (8) ðåøèòü ìåòîäîì êâàäðàòíîãî êîðíÿ ñ èñïîëü-
çîâàíèåì êîìïëåêñíîé àðèôìåòèêè.
4. Ïîëó÷åííîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (8) ïðåñòàâëÿåò ñîáîé êîìïîíåíòû
ïåðåìåùåíèÿ ( , , )u u u1 2 3 è òåíçîðà íàïðÿæåíèé (� ij ) â êàæäîé äèñêðåòíîé
òî÷êå ñîîðóæåíèÿ ïðè äàííîì çíà÷åíèè &.
Ì. Ì. Ìèðñàèäîâ, Ò. Ç. Ñóëòàíîâ, Ä. À. Õîäæàåâ
46 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2012. V. 34. ¹ 6
5. Âñå óêàçàííûå îïåðàöèè ïîâòîðèòü äëÿ äðóãèõ çíà÷åíèé &, ïî
ïîëó÷åííûì ðåçóëüòàòàì ïîñòðîèòü À×Õ äëÿ êîìïîíåíòîâ ïåðåìåùåíèÿ
( , , )u u u1 2 3 è òåíçîðà íàïðÿæåíèé (� ij ) â ðàçëè÷íûõ òî÷êàõ ñîîðóæåíèÿ.
Ýòî ïîçâîëÿåò ïðîãíîçèðîâàòü ñîñòîÿíèå êàæäîé òî÷êè ñîîðóæåíèÿ ïðè
ðàçëè÷íûõ ÷àñòîòàõ âíåøíåãî âîçäåéñòâèÿ.
Íåóñòàíîâèâøèåñÿ âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ íåëèíåéíûõ íåîäíî-
ðîäíûõ âÿçêîóïðóãèõ ñèñòåì. Ïðè èññëåäîâàíèè íåëèíåéíûõ íåóñòàíî-
âèâøèõñÿ âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé íåîäíîðîäíûõ ñèñòåì, âîçíèêàþùèõ
ïðè êðàòêîâðåìåííîì èìïóëüñå, ñèíòåçèðîâàííàÿ èëè ðåàëüíàÿ çàïèñü
àêñåëåðîãðàììû çåìëåòðÿñåíèÿ ïîçâîëÿåò ïðîãíîçèðîâàòü ìàêñèìàëüíûå
çíà÷åíèÿ ïåðåìåùåíèé, äåôîðìàöèé è íàïðÿæåíèé â ëþáûõ òî÷êàõ ñîîðó-
æåíèÿ è âûÿâëÿòü îïàñíûå (íàèáîëåå íàïðÿæåííûå) ó÷àñòêè ñ ó÷åòîì
êîíñòðóêòèâíîé îñîáåííîñòè ñîîðóæåíèÿ è ïàðàìåòðîâ ìàòåðèàëà ïðè
äèíàìè÷åñêèõ âîçäåéñòâèÿõ.
Ðåøåíèå âàðèàöèîííîé çàäà÷è (1)—(4) ñ ó÷åòîì ãðàíè÷íûõ (5) è íà-
÷àëüíûõ (6) óñëîâèé íàõîäèì â âèäå [2, 4]
u x u x u x( , ) ( , ) ( , )*t t t�
0 . (12)
Ïîñëå ïîäñòàíîâêè âûðàæåíèÿ (12) â (1)—(5) è â ðåçóëüòàòå êîíå÷íî-ýëå-
ìåíòíîé äèñêðåòèçàöèè ðàññìàòðèâàåìàÿ âàðèàöèîííàÿ çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê
ðåøåíèþ ñèñòåìû íåëèíåéíûõ èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé
N-ãî ïîðÿäêà
[ ]{��( )} [ ]{ � ( )} [ ]{ ( )} { } { ( )}M u t C u t K t F t
�
u f
�
� �
� �
0
1
0
3
t t
t K u d t t V d� �( )[ ]{ )} { ( )} ( ){ )}� (� � ! � (� �V
�
�
�
�
�
�
�
(13)
ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè
{ ( )} { }u u0 0� , { � ( )} { }u v0 0� , (14)
ãäå [ ]M , [ ]K — ìàòðèöû ìàññû è æåñòêîñòè ñèñòåìû; [ ]C — ìàòðèöà äèñ-
ñèïàòèâíûõ ñèë ïðè äîïîëíèòåëüíîì ó÷åòå äðóãèõ âèäîâ äèññèïàöèè;
{ ( )}f t — âåêòîð âíåøíåé íàãðóçêè îò êèíåìàòè÷åñêîãî âîçäåéñòâèÿ;
! �const — êîýôôèöèåíò íåëèíåéíîñòè, çàâèñÿùèé îò ñâîéñòâà ìàòåðèàëà
ñîîðóæåíèÿ; { ( )}u t — âåêòîð èñêîìûõ óçëîâûõ ïåðåìåùåíèé; { ( )}V t —
âåêòîð, âêëþ÷àþùèé íåëèíåéíûå ôèçèêî-ìåõàíè÷åñêèå ïàðàìåòðû ìàòå-
ðèàëà è íåëèíåéíûå óçëîâûå ïåðåìåùåíèÿ ñîîðóæåíèé.
Èñïîëüçóÿ ïðîöåäóðó ìåòîäà Íüþìàðêà [16], ñèñòåìó (13) ñ íà÷àëü-
íûìè óñëîâèÿìè (14) íà êàæäîì øàãå ïî âðåìåíè )t ñâîäèì ê ðåøåíèþ
àëãåáðàè÷åñêîé ñèñòåìû
[ ]{ } { }A u Ri i
�1 1 , (15)
Ìîäåëèðîâàíèå äèíàìè÷åñêèõ ïðîöåññîâ â íåîäíîðîäíûõ âÿçêîóïðóãèõ ñèñòåìàõ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2012. Ò. 34. ¹ 6 47
[ ] [ ] [ ] [ ]A K
t
M
t
C�
1
2*
+
*
. (16)
Ïðè ýòîì ïðàâàÿ ÷àñòü (15) áóäåò èìåòü âèä
{ } { } { } [ ] { } { � }R F f M
t
u
t
ui i i i
�
�
�
� �
1 1 2
1 1 1
2
1
* * *) ) �
��
�
�
�
�
{�� }ui
�
�
� �
�
�
�
�
� �
�
��[ ] { } {�� } {�� }C
t
u u
t
ui i i
+
*
+
*
+
*)
)
1
2
2�
�
�
�
!{ } { }V Wi i1 1 , (17)
{ } ( )[ ( )]{ } ( ){W t K u u d t Vi
t
i i
ti i
� � � �
� �1
0
1
0
3
1 1
� �� � ! � i d} �. (18)
Òàêèì îáðàçîì, ðåøåíèå íåëèíåéíîé ñèñòåìû èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëü-
íûõ óðàâíåíèé (13) ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè (14) ñîñòîèò èç äâóõ ýòàïîâ.
1. Çàäàåì íà÷àëüíûå çíà÷åíèÿ:{ }u0 , { � }u0 , {�� }u0 0� .
2. Ôîðìèðóåì ñèñòåìó àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé (15) è (16). Ïðàâûå
÷àñòè (17) è (18) ñîäåðæàò íåëèíåéíûå ñëàãàåìûå, êîòîðûå îïèñûâàþò
íåëèíåéíûå óïðóãèå è âÿçêèå ñâîéñòâà ìàòåðèàëà, çàâèñÿùèå îò äîñòèã-
íóòîãî äåôîðìèðîâàííîãî ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû.  çàâèñèìîñòè îò ó÷åòà èëè
íå ó÷åòà òåõ èëè èíûõ ñâîéñòâ ìàòåðèàëà â ïðàâóþ ÷àñòü (17), (18) âêëþ-
÷àþòñÿ ñîîòâåòñòâóþùèå ñëàãàåìûå.
Îñîáåííîñòüþ àëãîðèòìà ðåøåíèÿ çàäà÷è î íåëèíåéíûõ íåóñòàíî-
âèâøèõñÿ âûíóæäåííûõ êîëåáàíèÿõ íåîäíîðîäíûõ âÿçêîóïðóãèõ ñèñòåì
[4] ÿâëÿåòñÿ òîò ôàêò, ÷òî èíòåãðàëû, âõîäÿùèå â (18), âû÷èñëÿþòñÿ îò
íà÷àëà ïðîöåññà, ò.å. îò t �0 äî t ti�
1. Ïðè ýòîì ïîëíîå çíà÷åíèå { }wi
1 â
ìîìåíò âðåìåíè ti
1 ïîëó÷àåòñÿ â ðåçóëüòàòå ñóììèðîâàíèÿ ñîõðàíåííîãî
íà ïðåäûäóùåì øàãå çíà÷åíèÿ{ }wi ñ èíòåãðàëîì, ïîëó÷åííûì íà ïîñëåä-
íåì ýòàïå ñ ïðåäåëàìè èíòåãðèðîâàíèÿ îò íóëÿ äî ti .
Ðåçóëüòàòîì ðåøåíèÿ óðàâíåíèé (13) ïðè íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ (14)
ÿâëÿþòñÿ êîìïîíåíòû âåêòîðà ïåðåìåùåíèé ( , , )u u u1 2 3 è òåíçîðà íàïðÿ-
æåíèé (� ij ) â êàæäîé òî÷êå äèñêðåòíîé ìîäåëè ñîîðóæåíèÿ â ôèêñèðîâàí-
íûé ìîìåíò âðåìåíè t.
Ðåçóëüòàòû èññëåäîâàíèé. Áûëè èññëåäîâàíû óñòàíîâèâøèåñÿ è
íåóñòàíîâèâøèåñÿ âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ ìîäåëè âûñîêîé Íóðåêñêîé
ãðóíòîâîé ïëîòèíû, íàõîäÿùåéñÿ â óñëîâèÿõ ïëîñêîé äåôîðìàöèè, ñîâåð-
øàþùåé êîëåáàíèÿ ïîä âëèÿíèåì êèíåìàòè÷åñêîãî âîçäåéñòâèÿ u t0( ) â
îñíîâàíèè ñîîðóæåíèÿ.
Íóðåêñêàÿ ïëîòèíà — ñàìàÿ âûñîêàÿ èç ãðóíòîâûõ ñîîðóæåíèé, ñòðîÿ-
ùèõñÿ â ðàéîíàõ ñ ñåéñìè÷íîñòüþ 9 áàëëîâ. Ïëîòèíà èìååò ïî÷òè ñèì-
Ì. Ì. Ìèðñàèäîâ, Ò. Ç. Ñóëòàíîâ, Ä. À. Õîäæàåâ
48 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2012. V. 34. ¹ 6
ìåòðè÷íûé ïðîôèëü è î÷åíü êðóòûå îòêîñû. Êîýôôèöèåíòû çàëîæåíèÿ
îòêîñîâ: âåðõîâîé — m1 = 2,25 è íèçîâîé — m2 = 2,2; âûñîòà ïëîòèíû
Í=296 ì. Ìåõàíè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè ìàòåðèàëà: äëÿ óïîðíûõ ïðèçì —
E = 3060 ÌÏà, , = 0,3, - = 2200 êãñ/ì3; äëÿ ÿäðà — E = 2400 ÌÏà, , = 0,25,
- = 2330 êãñ/ì3.
Ñîáñòâåííûå ÷àñòîòû ýòîé ïëîòèíû, ïîëó÷åííûå ñ ó÷åòîì íåîä-
íîðîäíûõ óïðóãèõ ñâîéñòâ ñîîðóæåíèÿ, èìåþò ñëåäóþùèå çíà÷åíèÿ:.1 =
= 4,90 ðàä/ñ;.2 = 7,39 ðàä/ñ;.3 = 8,91ðàä/ñ;.4 = 9,93 ðàä/ñ;.5 =10,97 ðàä/ñ;
.6 = 11,67 ðàä/ñ; .7 = 13,07 ðàä/ñ; .8 = 13,94 ðàä/ñ; .9 = 15,48 ðàä/ñ; .10 =
= 15,74 ðàä/ñ.
Äëÿ îïèñàíèÿ âÿçêîóïðóãèõ ñâîéñòâ ãðóíòà ïëîòèíû èñïîëüçîâàíî
òðåõïàðàìåòðè÷åñêîå ÿäðî [17] R t Ae tt( ) � � �+ * 1, ïàðàìåòðû (A = 0,0674,* =
= 0,25, + = 0,00243) êîòîðîãî îïðåäåëåíû íà îñíîâàíèè êðèâûõ ïîëçó÷åñòè
[6, 7] ïî ìåòîäèêå, îïèñàííîé â ðàáîòå [8].
Óñòàíîâèâøèåñÿ êîëåáàíèÿ. Ïðè ïåðèîäè÷åñêèõ âîçäåéñòâèÿõ ìà-
òåðèàë ïëîòèíû áóäåì ñ÷èòàòü ëèíåéíî-âÿçêîóïðóãèì è ïðåäïîëîæèì,
÷òî ê îñíîâàíèþ ñîîðóæåíèÿ ïðèëîæåíî êèíåìàòè÷åñêîå âîçäåéñòâèå
x
u t B i t
v t C i t
"
� �
� �
�
&
&0
0
0
:
( ) exp( ),
( ) exp( ),
(19)
ãäå B è C — àìïëèòóäû; & — ÷àñòîòà êèíåìàòè÷åñêîãî âîçäåéñòâèÿ.
Äëÿ ðÿäà òî÷åê ïëîòèíû ïîñòðîåíû À×Õ ïåðåìåùåíèé u u1 2, è êîìïî-
íåíòîâ íàïðÿæåíèé �11, � 22, �12, ãëàâíûõ íàïðÿæåíèé �1, � 2 è èíòåíñèâ-
íîñòè íàïðÿæåíèé � i ïðè ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ & � /0 1 01 12 2 ðàä/ñ ïðè
B/C = 2,0 (B = 0,01 ì). Ïðè ýòîì â îêðåñòíîñòè ïðåäïîëàãàåìîãî âÿçêîóïðó-
ãîãî ðåçîíàíñà øàã äëÿ & óìåíüøàëñÿ â 2—3 ðàçà.
Íà ðèñ. 2, à, ïðèâåäåíû À×Õ ãîðèçîíòàëüíûõ u1 è âåðòèêàëüíûõ u2 ïå-
ðåìåùåíèé äëÿ òî÷êè ïëîòèíû (x1 100� � , ì, x2 = 296,0 ì), à íà ðèñ. 2, á, —
À×Õ ìàêñèìàëüíîãî êàñàòåëüíîãî íàïðÿæåíèÿ � max äëÿ òî÷êè ïëîòèíû
(x1 23 9� � , ì, x2 = 246,7 ì),
� � � �max ( )� 3 �
1
2
411 22
2
12
2 .
Íà ðèñ. 3 ïðåäñòàâëåíû èçîëèíèè ðàñïðåäåëåíèÿ ìàêñèìàëüíîãî íà-
ïðÿæåíèÿ
� �
� �
� � �1 2
11 22
11 22
2
12
2
2
1
2
4, max/ min ( )� �
3 �
â ñå÷åíèè ïëîòèíû ïðè ôèêñèðîâàííûõ çíà÷åíèÿõ & = 4,7 ðàä/ñ.
Ìîäåëèðîâàíèå äèíàìè÷åñêèõ ïðîöåññîâ â íåîäíîðîäíûõ âÿçêîóïðóãèõ ñèñòåìàõ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2012. Ò. 34. ¹ 6 49
Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ïîçâîëèëè óñòàíîâèòü, ÷òî àìïëèòóäû ãîðè-
çîíòàëüíûõ ïåðåìåùåíèé ïðè ïåðâîé ðåçîíàíñíîé ÷àñòîòå çíà÷èòåëüíî
áîëüøå âåðòèêàëüíûõ, à íà âòîðîé ðåçîíàíñíîé ÷àñòîòå — íàîáîðîò. Ýòî
îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî ïåðâàÿ ñîáñòâåííàÿ ôîðìà êîëåáàíèé ÿâëÿåòñÿ èç-
ãèáíûì êîëåáàíèåì, âòîðàÿ — âåðòèêàëüíûì, à äðóãèå ôîðìû êîëåáàíèé
õàðàêòåðèçóþò ñëîæíûå äâèæåíèÿ ñîîðóæåíèÿ. Ïðè ýòîì íà äðóãèõ ðåçî-
íàíñíûõ ÷àñòîòàõ àìïëèòóäà ãîðèçîíòàëüíûõ ïåðåìåùåíèé óáûâàåò ïî
âåëè÷èíå, çà èñêëþ÷åíèåì ðåçîíàíñà, ñîîòâåòñòâóþùåãî ïëîòíûì ñïåêò-
ðàì ñîáñòâåííûõ ÷àñòîò, òàê êàê íåñêîëüêî ñîáñòâåííûõ ôîðì êîëåáàíèé ñ
áëèçêèìè ÷àñòîòàìè (.4, .5, .6 èëè .9, .10) ñîçäàþò åäèíûé ïèê ñ äîñòà-
òî÷íî áîëüøîé àìïëèòóäîé.
Êàê âèäíî èç ðèñ. 2, á, íàèáîëüøèå àìïëèòóäû íàïðÿæåíèé íà ìíîãèõ
ó÷àñòêàõ ïëîòèíû âîçíèêàþò èìåííî ïðè ñîâïàäåíèè ÷àñòîòû êèíåìà-
òè÷åñêîãî âîçäåéñòâèÿ ñ ñîáñòâåííûìè ÷àñòîòàìè ïëîòíîãî ñïåêòðà â
äèàïàçîíå îò .4 äî .6 èëè .9, .10. Ýòèì ïîäòâåðæäàåòñÿ òîò ôàêò, ÷òî
ñîáñòâåííûå ôîðìû êîëåáàíèé ñîîðóæåíèÿ ñ áëèçêèìè ÷àñòîòàìè, âçàèìî-
Ì. Ì. Ìèðñàèäîâ, Ò. Ç. Ñóëòàíîâ, Ä. À. Õîäæàåâ
50 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2012. V. 34. ¹ 6
1,20
1,40
1,40
1,20 1,00
0,80
0,60
0,40
0,20
Ðèñ. 3. Èçîëèíèè ðàñïðåäåëåíèÿ ãëàâíûõ íàïðÿæåíèé | �1|, ÌÏà, â ñå÷åíèè ïëîòèíû ïðè
ïåðâîì ðåçîíàíñå (& .4 1)
| |, | |,u u1 2 ì
1,5
1,0
0,5
0
2 6 10 14
| |,�max ÌÏà
1,2
0,8
0,4
0
2 6 10 14 , ðàä/ñ&
a á
| |u1
| |u2
Ðèñ. 2. Àìïëèòóäíî-÷àñòîòíûå õàðàêòåðèñòèêè ãîðèçîíòàëüíûõ | |u1 è âåðòèêàëüíûõ | |u2
ïåðåìåùåíèé (à) è ìàêñèìàëüíîãî êàñàòåëüíîãî íàïðÿæåíèÿ 5�max | (á) äëÿ íåêîòîðûõ
òî÷åê ïëîòèíû
äåéñòâóÿ ìåæäó ñîáîé, ñîçäàþò åäèíûé ïèê ñ íàèáîëüøèìè àìïëèòóäàìè.
Ïîýòîìó äëÿ òàêîé ïëîòèíû îïàñíûì ÿâëÿåòñÿ çíà÷åíèå, íàõîäÿùååñÿ
ìåæäó .4 è .6.
Èç ðèñ. 3 âèäíî, ÷òî ïðè ïåðâîì ðåçîíàíñå íàèáîëåå íàïðÿæåííûå ó÷àñò-
êè âîçíèêàþò â ñåðåäèíå âåðõîâîãî îòêîñà, ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ â ãëóáü, â ñåðå-
äèíó âåðõîâîé óïîðíîé ïðèçìû, è çàêàí÷èâàþòñÿ â îñíîâàíèè ïëîòèíû.
Íåóñòàíîâèâøèåñÿ êîëåáàíèÿ. Ðàññìîòðèì íåëèíåéíûå íåóñòàíî-
âèâøèåñÿ âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ ñîîðóæåíèÿ ïîä âëèÿíèåì êèíåìàòè-
÷åñêîãî âîçäåéñòâèÿ
x"6
�
�0:
�� ( ) sin ,
�� ( ) sin ,
u t B t
t C t
0
0
&
&7
08 9t t* .
(20)
Çäåñü B, C — àìïëèòóäû óñêîðåíèÿ; t* — ïðîäîëæèòåëüíîñòü êèíåìàòè-
÷åñêîãî âîçäåéñòâèÿ. Ìàòåðèàë ïëîòèíû îáëàäàåò ëèíåéíûìè, íåëèíåéíî-
óïðóãèìè è âÿçêîóïðóãèìè ñâîéñòâàìè.
Íà÷àëüíûå óñëîâèÿ çàäà÷è ïðèíÿòû îäíîðîäíûìè, êîýôôèöèåíò íå-
ëèíåéíîñòè ! = 350000. Ïðè ïîëîæèòåëüíîì çíà÷åíèè ! äèàãðàììà äå-
ôîðìèðîâàíèÿ � ~ � äëÿ ãðóíòà ÿâëÿåòñÿ æåñòêîé, à ïðè îòðèöàòåëüíîì —
ìÿãêîé.
Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû (ïðè B = C = 0,25 ì/ñ2, & = 4 ðàä/ñ, t* = 4 ñ)
ñâèäåòåëüñòâóþò î òîì, ÷òî ïðè ó÷åòå íåëèíåéíî-óïðóãèõ è âÿçêîóïðóãèõ
ñâîéñòâ ìàòåðèàëà àìïëèòóäà ïåðåìåùåíèé òî÷åê ïëîòèíû çíà÷èòåëüíî
ìåíüøå, ÷åì ïðè ó÷åòå ëèíåéíûõ ñâîéñòâ. Ïðè ýòîì âëèÿíèå âÿçêîñòè
ìàòåðèàëà â íà÷àëüíûé ìîìåíò ïðèâîäèò ê íåçíà÷èòåëüíîìó çàòóõàíèþ
êîëåáàíèé ïî âðåìåíè. Ïîñëå ñíÿòèÿ äåéñòâèÿ íàãðóçêè êîëåáàíèÿ äëÿ ëè-
íåéíî- è íåëèíåéíî-óïðóãèõ ìàòåðèàëîâ ïðèíèìàþò ïî÷òè ãàðìîíè÷åñêèé
õàðàêòåð, à íåëèíåéíûå êîëåáàíèÿ ïðîèñõîäÿò ñ ìåíüøåé àìïëèòóäîé. Äëÿ
íåëèíåéíî-âÿçêîóïðóãèõ ìàòåðèàëîâ õàðàêòåðíî ïîñòåïåííîå çàòóõàíèå êî-
ëåáàíèé âî âðåìåíè, ò.å. âëèÿíèå âÿçêîñòè, ñî âðåìåíåì óñèëèâàåòñÿ.
 ñëó÷àå ëèíåéíî-óïðóãîãî ìàòåðèàëà ñîîðóæåíèÿ íàïðÿæåíèÿ �12,
âîçíèêàþùèå â îòäåëüíûõ òî÷êàõ ñîîðóæåíèÿ ïî àìïëèòóäå, íåñêîëüêî
ïðåâûøàþò íàïðÿæåíèÿ â ñëó÷àå íåëèíåéíî-óïðóãîãî ìàòåðèàëà. Âÿç-
êîñòü, êàê è â ïðåäûäóùèõ ñëó÷àÿõ, ïðîÿâëÿåòñÿ ÷åðåç îïðåäåëåííûé
ïðîìåæóòîê âðåìåíè.  ìîìåíò âðåìåíè, äîñòàòî÷íî îòäàëåííûé îò
íà÷àëà âîçäåéñòâèÿ, íåëèíåéíàÿ âÿçêîñòü íåñêîëüêî ñíèæàåò íàïðÿæåíèå
â îïðåäåëåííûõ òî÷êàõ ïëîòèíû â îòëè÷èå îò ñëó÷àÿ, êîãäà ìàòåðèàë
ëèíåéíî- è íåëèíåéíî-óïðóãèé.
 ñëó÷àå (B = C = 0,2 ì/ñ2, & = 7,3 ðàä/ñ, t* = 4 ñ), êîãäà ÷àñòîòà êèíå-
ìàòè÷åñêîãî âîçäåéñòâèÿ & áëèçêà ê ÷àñòîòå ñîáñòâåííûõ êîëåáàíèé ñî-
îðóæåíèÿ (.2), óñòàíîâëåíî, ÷òî àìïëèòóäà âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé ñî-
Ìîäåëèðîâàíèå äèíàìè÷åñêèõ ïðîöåññîâ â íåîäíîðîäíûõ âÿçêîóïðóãèõ ñèñòåìàõ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2012. Ò. 34. ¹ 6 51
îðóæåíèÿ ñóùåñòâåííî âîçðàñòàåò. Ïîñëå ñíÿòèÿ íàãðóçêè (t = 4 ñ), ñèñòå-
ìà ñîâåðøàåò ñâîáîäíûå êîëåáàíèÿ, êîòîðûå â ñëó÷àå ëèíåéíûõ ìàòåðèà-
ëîâ èìåþò ïî÷òè ãàðìîíè÷åñêèé õàðàêòåð. Äëÿ íåëèíåéíî-óïðóãîãî ìàòå-
ðèàëà àìïëèòóäà âîçðàñòàåò äî îïðåäåëåííîãî çíà÷åíèÿ. Ýòî îáúÿñíÿåòñÿ
íåëèíåéíîé çàâèñèìîñòüþ ìåæäó íàïðÿæåíèåì è äåôîðìàöèåé, â äàííîì
ñëó÷àå æåñòêîé äèàãðàììîé � ~ � äëÿ ãðóíòà. Äëÿ âÿçêîóïðóãîãî ìàòåðèà-
ëà õàðàêòåðíî çàòóõàíèå êîëåáàíèé ïî âðåìåíè.
Íà ðèñ. 4, à, ïðåäñòàâëåíû êðèâûå èçìåíåíèÿ ãîðèçîíòàëüíîãî ïåðå-
ìåùåíèÿ u1 (äëÿ òî÷êè ïëîòèíû x1 = 140,2 ì; x2 = 29,6 ì), à íà ðèñ. 4, á, —
êðèâûå èçìåíåíèÿ ãîðèçîíòàëüíûõ íàïðÿæåíèé �11 (äëÿ òî÷êè ïëîòèíû
x1 476 2� � , ì, x2 = 59,2 ì) ïðè êèíåìàòè÷åñêîì âîçäåéñòâèè (20), ïîëó-
÷åííûå ïðè B = C = 0,2 ì/ñ2, & 4 .2 = 7,3 ðàä/ñ, t* = 4 ñ (ðåçîíàíñíûé
ðåæèì). Óñòàíîâëåíî, ÷òî ìàêñèìàëüíûå âåëè÷èíû íàïðÿæåíèé â äàííîé
Ì. Ì. Ìèðñàèäîâ, Ò. Ç. Ñóëòàíîâ, Ä. À. Õîäæàåâ
52 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2012. V. 34. ¹ 6
0,1
0
0,1�
1 2 3 4 5 6 ,t ñ
a
u1, ì
1
0
1
2
�
�
2 4 6 ,t ñ
á
�11, ÌÏà
Ðèñ. 4. Ãðàôèêè ïåðåìåùåíèé u1(à) è íàïðÿæåíèé �11(á) â îòäåëüíûõ òî÷êàõ ãðóíòîâîé
ïëîòèíû ïðè íåëèíåéíûõ íåóñòàíîâèâøèõñÿ âûíóæäåííûõ êîëåáàíèÿõ â ðåçîíàíñ-
íîì ðåæèìå (& .4 2): —— — ëèíåéíî-óïðóãîå ðåøåíèå; - - - - — íåëèíåéíî-óïðóãîå
ðåøåíèå; � : � : � — íåëèíåéíî-âÿçêîóïðóãîå ðåøåíèå
òî÷êå ïëîòèíû âîçíèêàþò ÷åðåç íåêîòîðûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè ïîñëå
ïðåêðàùåíèÿ âîçäåéñòâèÿ. Íàïðÿæåíèÿ äëÿ ëèíåéíî- è íåëèíåéíî-óïðó-
ãîãî ñëó÷àåâ íîñÿò ãàðìîíè÷åñêèé õàðàêòåð, à äëÿ íåëèíåéíî-âÿçêîóï-
ðóãîãî ñëó÷àÿ íàïðÿæåíèÿ ïîñòåïåííî óáûâàþò, ÷òî îáúÿñíÿåòñÿ âëèÿ-
íèåì âÿçêîñòè.
Âûâîäû
Àíàëèç ïðîâåäåííûõ èññëåäîâàíèé ÍÄÑ ïëîòèíû ïîçâîëÿåò ñäåëàòü ñëå-
äóþùèå âûâîäû:
ìàêñèìàëüíûå àìïëèòóäû íàïðÿæåíèé �11, � 22, �12 ïðè äåéñòâèè
êðàòêîâðåìåííîãî èìïóëüñà äîñòèãàþòñÿ â ðàçëè÷íûõ òî÷êàõ ïëîòèíû â
ðàçíûå ìîìåíòû âðåìåíè;
íàèáîëüøèå âåëè÷èíû êàñàòåëüíûõ íàïðÿæåíèé�12 âûÿâëåíû â öåíò-
ðàëüíîé ÷àñòè ïëîòèíû, íà âåðõíåé ÷àñòè ÿäðà, ÷òî íåæåëàòåëüíî äëÿ
ãðóíòîâûõ ïëîòèí;
ïðè âëèÿíèè ïðîäîëæèòåëüíîãî êèíåìàòè÷åñêîãî âîçäåéñòâèÿ áîëü-
øèíñòâî çîí ïëîòèíû èñïûòûâàåò ðàñòÿãèâàþùèå äèíàìè÷åñêèå íàïðÿ-
æåíèÿ, íåæåëàòåëüíûå äëÿ ãðóíòîâûõ ñîîðóæåíèé;
ó÷åò íåëèíåéíî-óïðóãèõ ñâîéñòâ ìàòåðèàëà ïðèâîäèò ê óìåíüøåíèþ
ïåðèîäà êîëåáàíèé ïëîòèíû, à òàêæå ê ñóùåñòâåííîìó èçìåíåíèþ çíà-
÷åíèé íàïðÿæåíèé â çàâèñèìîñòè îò âåëè÷èíû óñêîðåíèÿ;
ó÷åò âÿçêîñòè ïðèâîäèò ê óâåëè÷åíèþ ïåðèîäà êîëåáàíèé, ê óìåíü-
øåíèþ ïåðåìåùåíèé è ïîñòåïåííîìó çàòóõàíèþ êîëåáàíèé âî âðåìåíè.
Mathematical model, methods and algorithms for the decision of a problem on nonlinear forced vibra-
tions of three-dimensional heterogeneous viscoelastic systems are presented. The considered problem
with use of the method of finite elements is reduced to the high order system of nonlinear integro-dif-
ferential equations which is solved by Newmark’s method. The example of calculation of soil dam
taking into account nonlinear, viscoelastic properties of the material and design features of the struc-
ture is considered. A number of new mechanical effects have been revealed.
1. Íàòàðèóñ ß. È. Ïîâûøåíèå ñåéñìîñòîéêîñòè ïëîòèí èç ãðóíòîâûõ ìàòåðèàëîâ. — Ì. :
Ýíåðãîàòîìèçäàò, 1984. — 88 ñ.
2. Ìèðñàèäîâ Ì. Ì., Òðîÿíîâñêèé Å. È. Äèíàìèêà íåîäíîðîäíûõ ñèñòåì ñ ó÷åòîì âíóò-
ðåííåé äèññèïàöèè è âîëíîâîãî óíîñà ýíåðãèè. — Òàøêåíò : Ôàí, 1990. — 108 ñ.
3. Ìèðñàèäîâ Ì., Ãîäîâàííèêîâ À. Ì. Ñåéñìîñòîéêîñòü ñîîðóæåíèé. — Òàøêåíò :
Óçáåêèñòàí, 2008. — 220 ñ.
4. Ìèðñàèäîâ Ì. Ì. Òåîðèÿ è ìåòîäû ðàñ÷åòà ãðóíòîâûõ ñîîðóæåíèé íà ïðî÷íîñòü è
ñåéñìîñòîéêîñòü. — Òàøêåíò : Ôàí, 2010. — 312 ñ.
5. Øèðèíêóëîâ Ò. Ø., Çàðåöêèé Þ. Ê. Ïîëçó÷åñòü è êîíñîëèäàöèÿ ãðóíòîâ. — Òàøêåíò :
Ôàí, 1986. — 302 ñ.
6. Ìåñ÷ÿí Ñ. Ð. Ìåõàíè÷åñêèå ñâîéñòâà ãðóíòîâ è ëàáîðàòîðíûå ìåòîäû èõ îïðåäåëå-
íèÿ. — Ì. : Íåäðà, 1974. — 192 ñ.
Ìîäåëèðîâàíèå äèíàìè÷åñêèõ ïðîöåññîâ â íåîäíîðîäíûõ âÿçêîóïðóãèõ ñèñòåìàõ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2012. Ò. 34. ¹ 6 53
7. Âÿëîâ Ñ. Ñ. Ðåîëîãè÷åñêèå îñíîâû ìåõàíèêè ãðóíòîâ. — Ì. : Âûñøàÿ øêîëà, 1978. —
447 ñ.
8. Êîëòóíîâ Ì. À. Ïîëçó÷åñòü è ðåëàêñàöèÿ. — Ì. : Âûñøàÿ øêîëà, 1976. — 277 ñ.
9. Èëüþøèí À. À., Ïîáåäðÿ Á. Å. Îñíîâû ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè òåðìî-âÿçêîóïðóãîñòè. —
Ì. : Íàóêà, 1970. — 280 ñ.
10. Âåðëàíü À. Ô., Ñèçèêîâ Â. Ñ. Èíòåãðàëüíûå óðàâíåíèÿ: ìåòîäû, àëãîðèòìû, ïðîãðàì-
ìû. — Ê. : Íàóê. äóìêà, 1986. — 542 ñ.
11. Ôèëàòîâ À. Í. Àñèìïòîòè÷åñêèå ìåòîäû è òåîðèÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ è èíòåãðî-
äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. — Òàøêåíò: Ôàí, 1974. — 216 ñ.
12. Ìèðñàèäîâ Ì., Òðîÿíîâñêèé È. Å., Áàëàêèðîâ À. Îá îäíîì ñïîñîáå ðåøåíèÿ çàäà÷è
Êîøè äëÿ ñèñòåìû èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé // Èçâ. ÀÍ ÐÓç. Ñåð. òåõí.
íàóê. — 1985. — ¹ 6. — Ñ. 32— 36.
13. Áàäàëîâ Ô. Á. Ìåòîäû ðåøåíèÿ èíòåãðàëüíûõ è èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíå-
íèé íàñëåäñòâåííîé òåîðèè âÿçêîóïðóãîñòè. — Òàøêåíò : Ìåõíàò, 1987. — 269 ñ.
14. Áàäàëîâ Ô. Á., Ýøìàòîâ Õ., Þñóïîâ Ì. Î íåêîòîðûõ ìåòîäàõ ðåøåíèÿ èíòåãðî-
äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, âñòðå÷àþùèõñÿ â çàäà÷àõ âÿçêîóïðóãîñòè // Ïðèê-
ëàäíàÿ ìàòåìàòèêà è ìåõàíèêà. — 1987. — 51, ¹ 5. — Ñ. 867— 871.
15. Áàòå Ê., Âèëñîí Å. ×èñëåííûå ìåòîäû àíàëèçà è ÌÊÝ. — Ì. : Ñòðîéèçäàò, 1982. —
448 ñ.
16. Ôàäååâ Ä. Ê., Ôàäååâà Â. Í. Âû÷èñëèòåëüíûå ìåòîäû ëèíåéíîé àëãåáðû. — Ì. :
Ôèçìàòãèç, 1960. — 655 ñ.
17. Ðæàíèöûí À. Ð. Òåîðèÿ ïîëçó÷åñòè. — Ì. : Ñòðîéèçäàò, 1968. — 416 ñ.
Ïîñòóïèëà 12.06.12
ÌÈÐÑÀÈÄΠÌèðçè¸ä Ìèðñàèäîâè÷, ä-ð òåõí. íàóê, ïðîôåññîð, çàâ. êàôåäðîé òåîðåòè-
÷åñêîé è ñòðîèòåëüíîé ìåõàíèêè Òàøêåíòñêîãî èí-òà èððèãàöèè è ìåëèîðàöèè.  1971 îêîí-
÷èë Òàøêåíòñêèé ïîëèòåõíè÷åñêèé èí-ò, à â 1986 ã. —Òàøêåíòñêèé ãîñóíèâåðñèòåò. Îáëàñòü
íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — ðàçðàáîòêà ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé, ìåòîäîâ è àëãîðèòìîâ äëÿ
ðåøåíèÿ çàäà÷ äèíàìèêè è ñåéñìîñòîéêîñòè ñîîðóæåíèé; ìåòîäû ðåøåíèÿ ñòàòè÷åñêèõ è
äèíàìè÷åñêèõ çàäà÷ ìåõàíèêè äåôîðìèðóåìîãî òâåðäîãî òåëà ñ ó÷åòîì íåëèíåéíûõ è âÿçêî-
óïðóãèõ ñâîéñòâ ìàòåðèàëà.
ÑÓËÒÀÍÎÂ Òàõèðæîí Çîêèðîâè÷, êàíä. òåõí. íàóê, äîöåíò, ïðîðåêòîð ïî íàóêå Òàø-
êåíòñêîãî èí-òà èððèãàöèè è ìåëèîðàöèè.  1996 ã. îêîí÷èë Íàìàíãàíñêèé èíäóñòðèàëüíî-
òåõíîëîãè÷åñêèé èí-ò. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå
çàäà÷ ñòðîèòåëüíîé ìåõàíèêè è ìåõàíèêè äåôîðìèðóåìîãî òâåðäîãî òåëà; ðàçðàáîòêà
ìåòîäîâ è àëãîðèòìîâ äëÿ îöåíêè ïðî÷íîñòè ãèäðîòåõíè÷åñêèõ ñîîðóæåíèé.
ÕÎÄÆÀÅÂ Äàäàõàí Àêìàðõàíîâè÷, êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê, äîöåíò êàôåäðû èíôîðìàöèîííûõ
òåõíîëîãèé Òàøêåíòñêîãî èí-òà èððèãàöèè è ìåëèîðàöèè.  1996 ã. îêîí÷èë Òàøêåíòñêèé
ãîñóíèâåðñèòåò. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå çàäà÷
ìåõàíèêè äåôîðìèðóåìîãî òâåðäîãî òåëà; ðàçðàáîòêà ìåòîäîâ è àëãîðèòìîâ äëÿ îöåíêè
íàïðÿæåííî-äåôîðìèðîâàííîãî ñîñòîÿíèÿ è äèíàìè÷åñêîãî ïîâåäåíèÿ ãèäðîòåõíè÷åñêèõ
ñîîðóæåíèé.
Ì. Ì. Ìèðñàèäîâ, Ò. Ç. Ñóëòàíîâ, Ä. À. Õîäæàåâ
54 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2012. V. 34. ¹ 6
<<
/ASCII85EncodePages false
/AllowTransparency false
/AutoPositionEPSFiles true
/AutoRotatePages /None
/Binding /Left
/CalGrayProfile (Dot Gain 20%)
/CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CalCMYKProfile (U.S. Web Coated \050SWOP\051 v2)
/sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CannotEmbedFontPolicy /Error
/CompatibilityLevel 1.4
/CompressObjects /Tags
/CompressPages true
/ConvertImagesToIndexed true
/PassThroughJPEGImages true
/CreateJDFFile false
/CreateJobTicket false
/DefaultRenderingIntent /Default
/DetectBlends true
/DetectCurves 0.0000
/ColorConversionStrategy /CMYK
/DoThumbnails false
/EmbedAllFonts true
/EmbedOpenType false
/ParseICCProfilesInComments true
/EmbedJobOptions true
/DSCReportingLevel 0
/EmitDSCWarnings false
/EndPage -1
/ImageMemory 1048576
/LockDistillerParams false
/MaxSubsetPct 100
/Optimize true
/OPM 1
/ParseDSCComments true
/ParseDSCCommentsForDocInfo true
/PreserveCopyPage true
/PreserveDICMYKValues true
/PreserveEPSInfo true
/PreserveFlatness true
/PreserveHalftoneInfo false
/PreserveOPIComments true
/PreserveOverprintSettings true
/StartPage 1
/SubsetFonts true
/TransferFunctionInfo /Apply
/UCRandBGInfo /Preserve
/UsePrologue false
/ColorSettingsFile ()
/AlwaysEmbed [ true
]
/NeverEmbed [ true
]
/AntiAliasColorImages false
/CropColorImages true
/ColorImageMinResolution 300
/ColorImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleColorImages true
/ColorImageDownsampleType /Bicubic
/ColorImageResolution 300
/ColorImageDepth -1
/ColorImageMinDownsampleDepth 1
/ColorImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeColorImages true
/ColorImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterColorImages true
/ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG
/ColorACSImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/ColorImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/JPEG2000ColorACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/JPEG2000ColorImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/AntiAliasGrayImages false
/CropGrayImages true
/GrayImageMinResolution 300
/GrayImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleGrayImages true
/GrayImageDownsampleType /Bicubic
/GrayImageResolution 300
/GrayImageDepth -1
/GrayImageMinDownsampleDepth 2
/GrayImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeGrayImages true
/GrayImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterGrayImages true
/GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG
/GrayACSImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/GrayImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/JPEG2000GrayACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/JPEG2000GrayImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/AntiAliasMonoImages false
/CropMonoImages true
/MonoImageMinResolution 1200
/MonoImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleMonoImages true
/MonoImageDownsampleType /Bicubic
/MonoImageResolution 1200
/MonoImageDepth -1
/MonoImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeMonoImages true
/MonoImageFilter /CCITTFaxEncode
/MonoImageDict <<
/K -1
>>
/AllowPSXObjects false
/CheckCompliance [
/None
]
/PDFX1aCheck false
/PDFX3Check false
/PDFXCompliantPDFOnly false
/PDFXNoTrimBoxError true
/PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXSetBleedBoxToMediaBox true
/PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXOutputIntentProfile ()
/PDFXOutputConditionIdentifier ()
/PDFXOutputCondition ()
/PDFXRegistryName ()
/PDFXTrapped /False
/Description <<
/CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e9ad88d2891cf76845370524d53705237300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002>
/CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc9ad854c18cea76845370524d5370523786557406300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002>
/DAN <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>
/DEU <FEFF00560065007200770065006e00640065006e0020005300690065002000640069006500730065002000450069006e007300740065006c006c0075006e00670065006e0020007a0075006d002000450072007300740065006c006c0065006e00200076006f006e002000410064006f006200650020005000440046002d0044006f006b0075006d0065006e00740065006e002c00200076006f006e002000640065006e0065006e002000530069006500200068006f006300680077006500720074006900670065002000500072006500700072006500730073002d0044007200750063006b0065002000650072007a0065007500670065006e0020006d00f60063006800740065006e002e002000450072007300740065006c006c007400650020005000440046002d0044006f006b0075006d0065006e007400650020006b00f6006e006e0065006e0020006d006900740020004100630072006f00620061007400200075006e0064002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020006f0064006500720020006800f600680065007200200067006500f600660066006e00650074002000770065007200640065006e002e>
/ESP <FEFF005500740069006c0069006300650020006500730074006100200063006f006e0066006900670075007200610063006900f3006e0020007000610072006100200063007200650061007200200064006f00630075006d0065006e0074006f00730020005000440046002000640065002000410064006f0062006500200061006400650063007500610064006f00730020007000610072006100200069006d0070007200650073006900f3006e0020007000720065002d0065006400690074006f007200690061006c00200064006500200061006c00740061002000630061006c0069006400610064002e002000530065002000700075006500640065006e00200061006200720069007200200064006f00630075006d0065006e0074006f00730020005000440046002000630072006500610064006f007300200063006f006e0020004100630072006f006200610074002c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000200079002000760065007200730069006f006e0065007300200070006f00730074006500720069006f007200650073002e>
/FRA <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>
/ITA <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>
/JPN <FEFF9ad854c18cea306a30d730ea30d730ec30b951fa529b7528002000410064006f0062006500200050004400460020658766f8306e4f5c6210306b4f7f75283057307e305930023053306e8a2d5b9a30674f5c62103055308c305f0020005000440046002030d530a130a430eb306f3001004100630072006f0062006100740020304a30883073002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee5964d3067958b304f30533068304c3067304d307e305930023053306e8a2d5b9a306b306f30d530a930f330c8306e57cb30818fbc307f304c5fc59808306730593002>
/KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020ace0d488c9c80020c2dcd5d80020c778c1c4c5d00020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e>
/NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken die zijn geoptimaliseerd voor prepress-afdrukken van hoge kwaliteit. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.)
/NOR <FEFF004200720075006b00200064006900730073006500200069006e006e007300740069006c006c0069006e00670065006e0065002000740069006c002000e50020006f0070007000720065007400740065002000410064006f006200650020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e00740065007200200073006f006d00200065007200200062006500730074002000650067006e0065007400200066006f00720020006600f80072007400720079006b006b0073007500740073006b00720069006600740020006100760020006800f800790020006b00760061006c0069007400650074002e0020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e00740065006e00650020006b0061006e002000e50070006e00650073002000690020004100630072006f00620061007400200065006c006c00650072002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000200065006c006c00650072002000730065006e006500720065002e>
/PTB <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>
/SUO <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>
/SVE <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>
/ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents best suited for high-quality prepress printing. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.)
>>
/Namespace [
(Adobe)
(Common)
(1.0)
]
/OtherNamespaces [
<<
/AsReaderSpreads false
/CropImagesToFrames true
/ErrorControl /WarnAndContinue
/FlattenerIgnoreSpreadOverrides false
/IncludeGuidesGrids false
/IncludeNonPrinting false
/IncludeSlug false
/Namespace [
(Adobe)
(InDesign)
(4.0)
]
/OmitPlacedBitmaps false
/OmitPlacedEPS false
/OmitPlacedPDF false
/SimulateOverprint /Legacy
>>
<<
/AddBleedMarks false
/AddColorBars false
/AddCropMarks false
/AddPageInfo false
/AddRegMarks false
/ConvertColors /ConvertToCMYK
/DestinationProfileName ()
/DestinationProfileSelector /DocumentCMYK
/Downsample16BitImages true
/FlattenerPreset <<
/PresetSelector /MediumResolution
>>
/FormElements false
/GenerateStructure false
/IncludeBookmarks false
/IncludeHyperlinks false
/IncludeInteractive false
/IncludeLayers false
/IncludeProfiles false
/MultimediaHandling /UseObjectSettings
/Namespace [
(Adobe)
(CreativeSuite)
(2.0)
]
/PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK
/PreserveEditing true
/UntaggedCMYKHandling /LeaveUntagged
/UntaggedRGBHandling /UseDocumentProfile
/UseDocumentBleed false
>>
]
>> setdistillerparams
<<
/HWResolution [2400 2400]
/PageSize [612.000 792.000]
>> setpagedevice
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-61854 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0204-3572 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-24T15:12:53Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Мирсаидов, М.М. Султанов, Т.3. Ходжаев, Д.А. 2014-05-13T04:25:36Z 2014-05-13T04:25:36Z 2012 Моделирование динамических процессов в неоднородных вязкоупругих системах / М.М. Мирсаидов, Т.3. Султанов, Д.А. Ходжаев // Электронное моделирование. — 2012 — Т. 34, № 6. — С. 41-54. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. 0204-3572 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/61854 519.6.539.3:534.1.699.841 Приведены математическая модель, методы и алгоритмы решения задачи о нелинейных вынужденных колебаниях трехмерных неоднородных вязкоупругих систем. Рассматриваемая задача с использованием метода конечных элементов сведена к системе большого порядка нелинейных интегро-дифференциальных уравнений, решаемой методом Ньюмарка. Рассмотрен пример расчета грунтовой плотины с учетом нелинейных, вязкоупругих свойств материала и конструктивных особенностей сооружения. Выявлен ряд новых механических эффектов. Наведено математичну модель, методи та алгоритми розв’язування задачі про нелінійні вимушені коливання тривимірних неоднорідних в’язкопружних систем. Розглянуту задачу з використанням методу кінцевих елементів зведено до системи великого порядку нелінійних інтегро-диференціальних рівнянь, яка розв’язується методом Ньюмарка. Розглянуто приклад розрахунку грунтової греблі з врахуванням нелінійних, в’язкопружних властивостей матеріалу та конструктивних особливостей споруди. Виявлено ряд нових механічних ефектів. Mathematical model, methods and algorithms for the decision of a problem on nonlinear forced vibrations of three-dimensional heterogeneous viscoelastic systems are presented. The considered problem with use of themethod of finite elements is reduced to the high order system of nonlinear integro-differential equations which is solved by Newmark’s method. The example of calculation of soil dam taking into account nonlinear, viscoelastic properties of the material and design features of the structure is considered. A number of new mechanical effects have been revealed. ru Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України Электронное моделирование Вычислительные процессы и системы Моделирование динамических процессов в неоднородных вязкоупругих системах Article published earlier |
| spellingShingle | Моделирование динамических процессов в неоднородных вязкоупругих системах Мирсаидов, М.М. Султанов, Т.3. Ходжаев, Д.А. Вычислительные процессы и системы |
| title | Моделирование динамических процессов в неоднородных вязкоупругих системах |
| title_full | Моделирование динамических процессов в неоднородных вязкоупругих системах |
| title_fullStr | Моделирование динамических процессов в неоднородных вязкоупругих системах |
| title_full_unstemmed | Моделирование динамических процессов в неоднородных вязкоупругих системах |
| title_short | Моделирование динамических процессов в неоднородных вязкоупругих системах |
| title_sort | моделирование динамических процессов в неоднородных вязкоупругих системах |
| topic | Вычислительные процессы и системы |
| topic_facet | Вычислительные процессы и системы |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/61854 |
| work_keys_str_mv | AT mirsaidovmm modelirovaniedinamičeskihprocessovvneodnorodnyhvâzkouprugihsistemah AT sultanovt3 modelirovaniedinamičeskihprocessovvneodnorodnyhvâzkouprugihsistemah AT hodžaevda modelirovaniedinamičeskihprocessovvneodnorodnyhvâzkouprugihsistemah |