Регуляризация многомерной задачи повышения разрешающей способности антенны на основе метода модельных экспериментов
Рассмотрен алгоритм решения системы линейных интегральных уравнений I рода многомерной некорректной задачи повышения разрешающей способности антенны методом модельных экспериментов. Алгоритм реализован и исследован посредством программ в среде Matlab....
Gespeichert in:
| Datum: | 2013 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
2013
|
| Schriftenreihe: | Электронное моделирование |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/61862 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Регуляризация многомерной задачи повышения разрешающей способности антенны на основе метода модельных экспериментов / А.Ф. Верлань, B.C. Сизиков, Л.В. Мосенцова // Электронное моделирование. — 2013 — Т. 35, № 1. — С. 3-13. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-61862 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-618622025-02-09T20:45:25Z Регуляризация многомерной задачи повышения разрешающей способности антенны на основе метода модельных экспериментов Верлань, А.Ф. Сизиков, B.C. Мосенцова, Л.В. Математические методы и модели Рассмотрен алгоритм решения системы линейных интегральных уравнений I рода многомерной некорректной задачи повышения разрешающей способности антенны методом модельных экспериментов. Алгоритм реализован и исследован посредством программ в среде Matlab. Розглянуто алгоритм розв’язання системи лінійних інтегральних рівнянь I роду багатовимірної некоректної задачі підвищення розв’язувальної здатності антени методом модельних експериментів. Алгоритм реалізовано і досліджено за допомогою програм в середовищі Matlab. An algorithm for solving a system of linear integral equations I kind of multidimensional ill-posed increase the resolving power the antenna by modeling experiments. The algorithm is implemented and analyzed by a program on Matlab. 2013 Article Регуляризация многомерной задачи повышения разрешающей способности антенны на основе метода модельных экспериментов / А.Ф. Верлань, B.C. Сизиков, Л.В. Мосенцова // Электронное моделирование. — 2013 — Т. 35, № 1. — С. 3-13. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 0204-3572 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/61862 519.6 ru Электронное моделирование application/pdf Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Математические методы и модели Математические методы и модели |
| spellingShingle |
Математические методы и модели Математические методы и модели Верлань, А.Ф. Сизиков, B.C. Мосенцова, Л.В. Регуляризация многомерной задачи повышения разрешающей способности антенны на основе метода модельных экспериментов Электронное моделирование |
| description |
Рассмотрен алгоритм решения системы линейных интегральных уравнений I рода многомерной некорректной задачи повышения разрешающей способности антенны методом модельных экспериментов. Алгоритм реализован и исследован посредством программ в среде Matlab. |
| format |
Article |
| author |
Верлань, А.Ф. Сизиков, B.C. Мосенцова, Л.В. |
| author_facet |
Верлань, А.Ф. Сизиков, B.C. Мосенцова, Л.В. |
| author_sort |
Верлань, А.Ф. |
| title |
Регуляризация многомерной задачи повышения разрешающей способности антенны на основе метода модельных экспериментов |
| title_short |
Регуляризация многомерной задачи повышения разрешающей способности антенны на основе метода модельных экспериментов |
| title_full |
Регуляризация многомерной задачи повышения разрешающей способности антенны на основе метода модельных экспериментов |
| title_fullStr |
Регуляризация многомерной задачи повышения разрешающей способности антенны на основе метода модельных экспериментов |
| title_full_unstemmed |
Регуляризация многомерной задачи повышения разрешающей способности антенны на основе метода модельных экспериментов |
| title_sort |
регуляризация многомерной задачи повышения разрешающей способности антенны на основе метода модельных экспериментов |
| publisher |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| publishDate |
2013 |
| topic_facet |
Математические методы и модели |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/61862 |
| citation_txt |
Регуляризация многомерной задачи повышения разрешающей способности антенны на основе метода модельных экспериментов / А.Ф. Верлань, B.C. Сизиков, Л.В. Мосенцова // Электронное моделирование. — 2013 — Т. 35, № 1. — С. 3-13. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| series |
Электронное моделирование |
| work_keys_str_mv |
AT verlanʹaf regulârizaciâmnogomernoizadačipovyšeniârazrešaûŝeisposobnostiantennynaosnovemetodamodelʹnyhéksperimentov AT sizikovbc regulârizaciâmnogomernoizadačipovyšeniârazrešaûŝeisposobnostiantennynaosnovemetodamodelʹnyhéksperimentov AT mosencovalv regulârizaciâmnogomernoizadačipovyšeniârazrešaûŝeisposobnostiantennynaosnovemetodamodelʹnyhéksperimentov |
| first_indexed |
2025-11-30T15:52:35Z |
| last_indexed |
2025-11-30T15:52:35Z |
| _version_ |
1850231180978290688 |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.6
À.Ô. Âåðëàíü
1
, Â.Ñ. Ñèçèêîâ
2
äîêòîðà òåõí. íàóê,
Ë.Â. Ìîñåíöîâà
3
1
Èí-ò ïðîáëåì ìîäåëèðîâàíèÿ
â ýíåðãåòèêå èì. Ã. Å. Ïóõîâà ÍÀÍ Óêðàèíû
(Óêðàèíà, 03164, Êèåâ, óë. Ãåíåðàëà Íàóìîâà, 15,
òåë.(044) 4243541, å-mail: a.f.verlan@gmail.com),
2
Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêèé ãîñóíèâåðñèòåò èíôîðìàöèîííûõ òåõíîëîãèé,
ìåõàíèêè è îïòèêè (ÑÏáÃÓ ÈÒÌÎ)
(Ðîññèÿ, 197101, Ñ-Ïåòåðáóðã, Êðîíâåðêñêèé ïð., ä.49,
òåë: (812) 2335952, å-mail: sizikov2000@mail.ru),
3
Ôèçèêî-òåõíîëîãè÷åñêèé èí-ò ìåòàëëîâ è ñïëàâîâ ÍÀÍ Óêðàèíû
(Óêðàèíà, 03680, Êèåâ, áóë. Àêàäåìèêà Âåðíàäñêîãî, 43/1,
òåë.(044) 453741, å-mail: mosentsovalv@mail.ru)
Ðåãóëÿðèçàöèÿ ìíîãîìåðíîé çàäà÷è
ïîâûøåíèÿ ðàçðåøàþùåé ñïîñîáíîñòè àíòåííû
íà îñíîâå ìåòîäà ìîäåëüíûõ ýêñïåðèìåíòîâ
Ðàññìîòðåí àëãîðèòì ðåøåíèÿ ñèñòåìû ëèíåéíûõ èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé I ðîäà ìíî-
ãîìåðíîé íåêîððåêòíîé çàäà÷è ïîâûøåíèÿ ðàçðåøàþùåé ñïîñîáíîñòè àíòåííû ìåòîäîì
ìîäåëüíûõ ýêñïåðèìåíòîâ. Àëãîðèòì ðåàëèçîâàí è èññëåäîâàí ïîñðåäñòâîì ïðîãðàìì â
ñðåäå Matlab.
Ðîçãëÿíóòî àëãîðèòì ðîçâ’ÿçàííÿ ñèñòåìè ë³í³éíèõ ³íòåãðàëüíèõ ð³âíÿíü I ðîäó áàãàòî-
âèì³ðíî¿ íåêîðåêòíî¿ çàäà÷³ ï³äâèùåííÿ ðîçâ’ÿçóâàëüíî¿ çäàòíîñò³ àíòåíè ìåòîäîì ìî-
äåëüíèõ åêñïåðèìåíò³â. Àëãîðèòì ðåàë³çîâàíî ³ äîñë³äæåíî çà äîïîìîãîþ ïðîãðàì â
ñåðåäîâèù³ Matlab.
Ê ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à: ñèñòåìû ëèíåéíûõ èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé, ðåãóëÿðèçàöèÿ, ìåòîä
Òèõîíîâà, ïàðàìåòð ðåãóëÿðèçàöèè.
 ñîîòâåòñòâèè ñ êðóãîì çàäà÷, ðåøàåìûõ ðàäèîòåõíè÷åñêèìè èëè àêóñòè-
÷åñêèìè ñèñòåìàìè, àíòåííû îòëè÷àþòñÿ îäíà îò äðóãîé êíñòðóêòèâíûìè
ðåøåíèÿìè, îïèñûâàþòñÿ ðàçëè÷íûìè ìàòåìàòè÷åñêèìè ìîäåëÿìè è èìåþò
ïðèíöèïèàëüíî ðàçëè÷íûå õàðàêòåðèñòèêè. Ïðè ýòîì ïðàêòè÷åñêèìè ïî-
òðåáíîñòÿìè ïîðîæäàþòñÿ íîâûå êëàññû íåêîððåêòíûõ â êëàññè÷åñêîì
ïîíèìàíèè ìíîãîêðèòåðàëüíûõ è ìíîãîýêñòðåìàëüíûõ çàäà÷, ïðè ðåøå-
íèè êîòîðûõ áîëüøîå çíà÷åíèå èìåþò ìåòîäû ðåãóëÿðèçàöèè [1—8].
Îäíàêî ýòè ìåòîäû îðèåíòèðîâàíû ãëàâíûì îáðàçîì íà ñêàëÿðíûå èíòå-
ãðàëüíûå óðàâíåíèÿ I ðîäà. Ïðèìåíèòåëüíî ê ñèñòåìàì ýòîãî âèäà èíòå-
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2013. Ò. 35. ¹ 1 3
ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÅ
ÌÅÒÎÄÛ È ÌÎÄÅËÈ
� À.Ô. Âåðëàíü, Â.Ñ. Ñèçèêîâ, Ë.Â. Ìîñåíöîâà, 2013
ãðàëüíûõ óðàâíåíèé îòìå÷åííûå ìåòîäû ñâîäÿòñÿ ëèøü ê ðåêîìåíäàöèÿì
îáùåãî âèäà.
Ðàññìîòðèì ìåòîä, â êîòîðîì èñïîëüçîâàíû ïîëîæåíèÿ ìåòîäîâ Òè-
õîíîâà è Ëàâðåíòüåâà, â ñî÷åòàíèè ñ ìåòîäîì ìîäåëüíûõ (âû÷èñëèòåëü-
íûõ) ýêñïåðèìåíòîâ äëÿ ðåøåíèÿ ñèñòåìû ëèíåéíûõ èíòåãðàëüíûõ óðàâ-
íåíèé (ÑËÈÓ) íà ïðèìåðå ðåøåíèÿ çàäà÷è ïîâûøåíèÿ ðàçðåøàþùåé ñïî-
ñîáíîñòè àíòåííû è âûäåëåíèÿ ñëàáîãî ñèãíàëà íà ôîíå àíèçîòðîïíîé
ïîìåõè.
Ïîñòàíîâêà çàäà÷è. Ïóñòü àíòåííà èìååò õàðàêòåðèñòèêó íàïðàâëåí-
íîñòè (ÕÍ) R, ïîñðåäñòâîì ïîâîðîòà êîòîðîé èçìåðåíî â ôóíêöèè íàïðàâ-
ëåíèÿ � ïîëå U — îòêëèê íà âûõîäå àíòåííû. Íåîáõîäèìî ïî èçâåñòíûì
ôóíêöèÿì R è U îïðåäåëèòü èñòèííîå ïîëå P íà âõîäå àíòåííû â ôóíêöèè �.
Îïðåäåëåíèå ïîëÿ P äàåò âîçìîæíîñòü ïîâûñèòü ðàçðåøàþùóþ ñïîñîá-
íîñòü àíòåííû ïîñðåäñòâîì ìàòåìàòè÷åñêîé îáðàáîòêè ðåçóëüòàòîâ èçìå-
ðåíèé, à ýòî, â ñâîþ î÷åðåäü, ïîçâîëÿåò âûÿâèòü òîíêóþ ñòðóêòóðó ïîëÿ
(âûäåëèòü ñëàáûé ïîëåçíûé ñèãíàë C íà ôîíå ïîìåõ, ðàçðåøèòü áëèçêî-
ðàñïîëîæåííûå èñòî÷íèêè, âûïîëíèòü àâòîìàòè÷åñêè êëàññèôèêàöèþ
êîìïîíåíò ïîëÿ P).
Ïóñòü èñòî÷íèêè ïîëÿ P ðàñïîëîæåíû ëèøü â ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñ-
êîñòè (åñëè îíè èìåþò ðàçëè÷íûå óãëû ìåñòà, òî ïðåäëàãàåìàÿ ìåòîäèêà
áóäåò äàâàòü êàðòèíó, óñðåäíåííóþ ïî óãëó ìåñòà). Ïóñòü ïîëå P åñòü
ñóììà òðåõ êîìïîíåíò: ïîëåçíîãî ñèãíàëà C, ìåøàþùåãî ñèãíàëà C ì è
øóìîâîé ïîìåõè �. Ïðè ýòîì êàæäàÿ èç êîìïîíåíò ìîæåò áûòü êàê
ïðîòÿæåííîé (ðàñïðåäåëåííîé), òàê è ëîêàëüíîé (òî÷å÷íîé).
Áóäåì ïîëàãàòü èçâåñòíûìè ñïåêòðû êîìïîíåíò: S fÑ ( ), S fÑì ( ) è
S f�( ), ãäå f — ÷àñòîòà. Âûïîëíèì ñêàíèðîâàíèå àíòåííû, ò.å. èçìåðåíèå
ïîëÿ U i ( )� â ôóíêöèè íàïðàâëåíèÿ â òðåõ ðàçëè÷íûõ (i �1 2 3, , ) ïîëîñàõ
÷àñòîò.  ðåçóëüòàòå äëÿ îïðåäåëåíèÿ àìïëèòóä PÑ ( )� , PÑì ( )� è P�( )�
ñèãíàëîâ Ñ è C ì ïîëó÷èì ñèñòåìó òðåõ ëèíåéíûõ èíòåãðàëüíûõ óðàâíå-
íèé òèïà Ôðåäãîëüìà I ðîäà:
� �
� �� � � � � �
� � � � � � � �R P d R P diÑ Ñ iÑ Ñ( , ) ( ) ( , ) ( )
ì ì
� � �
�
�
� � � � � ��R P d Ui i� �( , ) ( ) ( , c d� �� , i �1 2 3, , .
(1)
Çäåñü
R f R S f dfiÑ
f
f
f Ñ
i
i
( , ) ( ) ( , ) ( )� �
� �� � ��
1
2
;
À.Ô. Âåðëàíü, Â.Ñ. Ñèçèêîâ, Ë.Â. Ìîñåíöîâà
4 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2013. V. 35. ¹ 1
R f R S f dfiÑ
f
f
f Ñ
i
i
ì ì
( , ) ( ) ( , ) ( )� �
� �� � ��
1
2
;
R f R S f dfi
f
f
f
i
i
� �( , ) ( ) ( , ) ( )� �
� �� � ��
1
2
,
ãäå
( )f — ÷óâñòâèòåëüíîñòü ïðåîáðàçîâàòåëåé, ñîñòàâëÿþùèõ àíòåííó, â
ôóíêöèè ÷àñòîòû f f f
i i
; [ , ]1 2 , i �1 2 3, , — ðàçëè÷íûå ïîëîñû ÷àñòîò.
Íà ïðàêòèêå èñòî÷íèêè ðàñïîëîæåíû îáû÷íî â îãðàíè÷åííîé îáëàñòè
è äëÿ ñîêðàùåíèÿ ðàñ÷åòîâ áåç ñóùåñòâåííîé ïîòåðè òî÷íîñòè [9] óðàâ-
íåíèå (1) öåëåñîîáðàçíî çàïèñàòü â âèäå
a
b
iÑ Ñ
a
b
iÑ CR P d R P d� �� � � � � � ( , ) ( ) ( , ) ( )� � � � � � � �
ì ì
� � ��
a
b
i iR P d U� �( , ) ( ) (� � � � � �� , c d� �� , i �1 2 3, , , (2)
ãäå [ , ]a b — îáëàñòü ïîèñêà ðåøåíèÿ; [ , ]c d — îáëàñòü èçìåðåíèé.
Ìîäèôèêàöèÿ ìåòîäîâ ðåãóëÿðèçàöèè Ëàâðåíòüåâà è Òèõîíîâà
äëÿ ÑËÈÓ. Ê íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííûì ìåòîäàì ðåøåíèÿ íåêîððåêò-
íûõ çàäà÷ îòíîñÿòñÿ ìåòîäû ðåãóëÿðèçàöèè Òèõîíîâà è Ëàâðåíòüåâà, ìå-
òîäû êâàçèðåøåíèé Èâàíîâà è Áàêóøèíñêîãî, ìåòîäû ñòàòèñòè÷åñêîé
ðåãóëÿðèçàöèè, èòåðàöèé, èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì è äð. [1—8]. Îäíàêî
ýòè ìåòîäû ïîäðîáíî ðàññìîòðåíû ëèøü â ïðèìåíåíèè ê ñêàëÿðíûì ëè-
íåéíûì èíòåãðàëüíûì óðàâíåíèÿì I ðîäà. Äëÿ ðåøåíèÿ ñèñòåì óðàâíåíèé,
òàêèõ êàê (1) è (2), óêàçàííûå ìåòîäû ïðåäñòàâëåíû â äîñòàòî÷íî îáùåì
âèäå, êîãäà óðàâíåíèÿ (1), (2) çàïèñûâàþòñÿ â îïåðàòîðíîé ôîðìå: R Pè.î �
�U , ãäå R è.î — èíòåãðàëüíûé îïåðàòîð. Â ïðèìåíåíèè ê ðåøåíèþ ÑËÈÓ
ýòè ìåòîäû íóæäàþòñÿ â îïðåäåëåííîé ìîäèôèêàöèè.
Êîíêðåòèçèðóåì ïðåäñòàâëåíèå ìåòîäîâ ðåãóëÿðèçàöèè Ëàâðåíòüåâà
è Òèõîíîâà äëÿ ÑËÈÓ. Çàïèøåì ÑËÈÓ â âèäå
A P R P d Ui
j
N
a
b
ij j i� � � �
�
� �
1
( , ) ( ) ( )� � � � � � , c d� �� , i N�1, , (3)
ãäå N — ÷èñëî óðàâíåíèé, ðàâíîå ÷èñëó èñêîìûõ ôóíêöèé Pj ( )�� ;
Rij ( , )� �� — ÿäðà èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé; U i ( )� — ïðàâûå ÷àñòè óðàâ-
íåíèé; Ai — èíòåãðàëüíûå îïåðàòîðû.  (3) ôóíêöèè Rij ( , )� �� è U i ( )�
áóäåì ïîëàãàòü èçâåñòíûìè, à ôóíêöèè Pj ( )�� — èñêîìûìè.
Ðåãóëÿðèçàöèÿ ìíîãîìåðíîé çàäà÷è ïîâûøåíèÿ ðàçðåøàþùåé ñïîñîáíîñòè àíòåííû
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2013. Ò. 35. ¹ 1 5
Ðåøåíèå ÑËÈÓ (3) ìåòîäîì Ëàâðåíòüåâà ïðåäñòàâèì â âèäå
� � � � � � � �i i
j
N
a
b
ij j iP R P d U( ) ( , ) ( ) ( ) � � �
�
� �
1
, a b� �� , i N�1, , (4)
ãäå � i — ïàðàìåòðû ðåãóëÿðèçàöèè. Ðåøåíèå ÑËÈÓ (4) ïðè ïðàâèëüíî
âûáðàííûõ çíà÷åíèÿõ � i ÿâëÿåòñÿ óñòîé÷èâûì.
Äëÿ ïîëó÷åíèÿ óñòîé÷èâîãî ðåøåíèÿ ÑËÈÓ (3) ìåòîäîì Òèõîíîâà
ñîñòàâëÿåì ðåãóëÿðèçèðóþùèé ôóíêöèîíàë
� � � � � � �q A P U d P d
N
c
d N
a
b
�
�
� � �
�
�
� �
� � � �� � � �
1
2
1
2[ ( )] ( )
� � � � � �q R P d U
N
c
d
j
N
a
b
j j�
�
� �
� �
� � � � � � � �
�
�
�
�
�
�
�
1 1
( , ) ( ) ( )
�
� �
�
�
�
��
�
�
�
��
�
2
2d P d
a
b
� � � �
� �
( ) ,
ãäå q
�
�0 — âåñà (êîòîðûå îáû÷íî â âàðèàöèîííûõ çàäà÷àõ ïîëàãàþò
ðàâíûìè åäèíèöå, åñëè íåò óêàçàíèé íà èõ áîëåå òî÷íûå çíà÷åíèÿ). Ñîñ-
òàâëÿÿ ïåðâûå âàðèàöèè ôóíêöèîíàëà � è ïðåîáðàçóÿ èõ, ïîëó÷àåì
�� � � � � � �i i
a
b
i i iq P P d� ( ) ( )
� �
�
�
� � � � �
� �
2
1 1a
b
j
N
a
b
j
N
c
d
i jP q R R d( ) ( , ) ( , )� ! � ! � !
�
� � ��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
��
d P di� � � ��( )
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�� � �
�
2 0
1a
b N
c
d
i iq R U d P d
�
�
� �
( , ) ( ) ( )! � ! ! � � � , (5)
îòêóäà íàõîäèì
� � � ! � ! �i i i
j
N
a
b
j
N
c
d
i jq P P q R R( ) ( ) ( , ) ( , � �
� �
� � � �
1 1�
� � �
) d d! � ��
�
�
� �
�
� � �
1
N
c
d
iq R U d( , ) ( )! � ! !,
èëè
� � ! � ! � !i i i
j
N
a
b
c
d N
i jq P q R R d( ) ( , ) ( , ) �
�
�
�
� �
� � � �
1 1�
� � �
�
�
�
�
�
� �P dj ( )� � �
À.Ô. Âåðëàíü, Â.Ñ. Ñèçèêîâ, Ë.Â. Ìîñåíöîâà
6 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2013. V. 35. ¹ 1
� � �
�c
d N
iq R U d
�
� � �
1
( , ) ( )! � ! !, a b� �� , i N�1, ,
èëè îêîí÷àòåëüíî:
� � � � � � � �i i i
j
N
a
b
ij j iq P K P d w( ) ( , ) ( ) ( ) � � �
�
� �
1
, a b� �� , i N�1, , (6)
ãäå
K q R R dij
c
d N
i j( , ) ( , ) ( , )� � ! � ! � !� � �� �
��
� � �
1
, (7)
w q R U di
c
d N
i( ) ( , ) ( )� ! � ! !� � �
��
� � �
1
. (8)
Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷åíà ñèñòåìà N ëèíåéíûõ èíòåãðàëüíûõ óðàâ-
íåíèé II ðîäà îòíîñèòåëüíî ôóíêöèè Pj ( )�� , êîòîðàÿ îáëàäàåò óñòîé÷è-
âîñòüþ ïðè ïðàâèëüíî âûáðàííûõ çíà÷åíèÿõ � i . Îáúÿñíåíèå óñòîé÷è-
âîñòè óðàâíåíèé Ëàâðåíòüåâà è Òèõîíîâà äëÿ ëèíåéíûõ èíòåãðàëüíûõ
óðàâíåíèé I ðîäà äàíî, ïðèâåäåííoå â ðàáîòå â [9], ñïðàâåäëèâî è äëÿ
óðàâíåíèé (4), (6). Ýòà óñòîé÷èâîñòü îáóñëîâëåíà ñäâèãàìè ñïåêòðîâ ñîáñò-
âåííûõ çíà÷åíèé èíòåãðàëüíûõ îïåðàòîðîâ Ai íà âåëè÷èíû � i .
Ïðîãðàììû LSLIE è TSLIE äëÿ ðåøåíèÿ ÑËÈÓ ìåòîäàìè ðåãóëÿ-
ðèçàöèè. Äëÿ ðåøåíèÿ ñèñòåì ëèíåéíûõ èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé â ñðåäå
Matlab ñîñòàâëåíû ïðîãðàììû LSLIE è TSLIE â âèäå m-ôàéëîâ íà îñíîâå
îáîáùåííûõ ìåòîäîâ ðåãóëÿðèçàöèè Ëàâðåíòüåâà è Òèõîíîâà. Òåêñòû ýòèõ
ïðîãðàìì ñîñòàâëåíû ïðèìåíèòåëüíî ê óðàâíåíèÿì (3), (4) è (6)—(8),
çàïèñàííûì â íàèáîëåå óäîáíîì âèäå:
A y K x s y s ds f xi
j
N
a
b
ij j i" �
�
� �
1
( , ) ( ) ( ), c x d� � , i N�1, , (9)
ãäå K x sij ( , ) — ÿäðà; f xi ( ) — ïðàâûå ÷àñòè ôóíêöèé; y sj ( ) — èñêîìûå
ôóíêöèè,
� i i
j
N
a
b
ij j iy x K x s y s ds f x( ) ( , ) ( ) ( ) �
�
� �
1
, a x b� � , i N�1, ;
� i i i
j
N
a
b
ij j iq y x k x s y s ds w x( ) ( , ) ( ) ( ) �
�
� �
1
, a x b� � , i N�1, ;
Ðåãóëÿðèçàöèÿ ìíîãîìåðíîé çàäà÷è ïîâûøåíèÿ ðàçðåøàþùåé ñïîñîáíîñòè àíòåííû
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2013. Ò. 35. ¹ 1 7
k x s q K t x K t s dtij
c
d N
i j( , ) ( , ) ( , )� � �
��
� � �
1
; (10)
w x q K t x f t dti
c
d N
i( ) ( , ) ( )� � �
��
� � �
1
. (11)
Âû÷èñëåíèå èíòåãðàëîâ (10), (11) çàïðîãðàììèðîâàíî ïî ôîðìóëå
Ñèìïñîíà ñ øàãîì h (ïðè ÷åòíîì çíà÷åíèè ( ) /d c h� ). Ïîëó÷åííàÿ ÑËÀÓ
ðåøàåòñÿ ïîñðåäñòâîì ìîäóëÿ sistema.
Çàãîëîâêè ïðîãðàìì LSLIE è ÒSLIE èìåþò âèä: LSLIE ( , , , , ,f c h d a
b N K y, , , , )� è ÒSLIE ( , , , , , , , , , )f c h d a b N K y� . Çäåñü f N n[ , ]1 — äâóõìåð-
íûé ìàññèâ ïðàâîé ÷àñòè, ãäå n d c h1 1� � ( ) / ; c h d a b, , , , — àðèôìåòè÷åñ-
êîå âûðàæåíèå òèïà double; N — àðèôìåòè÷åñêîå âûðàæåíèå òèïà int32;
ÿäðà K x sij ( , ) ñëåäóåò îôîðìèòü â âèäå ôóíêöèè K i j x s( , , , ); � [ ]N — ìàñ-
ñèâ çíà÷åíèé� i ; y N n[ , ] — äâóõìåðíûé ìàññèâ, êîòîðîìó ïðèñâàèâàåòñÿ
ðåøåíèå y si ( ), ãäå n b a h� � ( ) / 1.
Îïðåäåëåíèå ïàðàìåòðîâ ðåãóëÿðèçàöèè, ìåòîä ìîäåëüíûõ ýêñïå-
ðèìåíòîâ. Íàèáîëåå ñëîæíûì â ìåòîäàõ ðåãóëÿðèçàöèè ÿâëÿåòñÿ îïðåäå-
ëåíèå îïòèìàëüíûõ çíà÷åíèé � iopt , ò.å. òåõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ � i , ïðè
êîòîðûõ ïîëó÷àåìîå ðåøåíèå P Pi i( ) ( )� ��� íàèáîëåå áëèçêî ê òî÷íîìó
ðåøåíèþ Pi ( )� .
Äëÿ ðåøåíèÿ ñêàëÿðíûõ èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé ðàçðàáîòàío äîñòà-
òî÷íî ìíîãî ñïîñîáîâ îïðåäåëåíèÿ� iopt [1—8, 10]. Âñå îíè, êàê ïðàâèëî,
âðåìÿçàòðàòíûå.  ñëó÷àå ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷è ÕÍ àíòåííû îñòàåòñÿ
íåèçìåííîé â òå÷åíèå âðåìåíè, íåîáõîäèìîãî äëÿ ñîñòàâëåíèÿ è ðåøåíèÿ
ìîäåëüíîãî ïðèìåðà [7—11], ýôôåêòèâíûì îêàçûâàåòñÿ ìîäåëüíûé ýêñ-
ïåðèìåíò [9], ñîãëàñíî êîòîðîìó çíà÷èòåëüíàÿ ÷àñòü âû÷èñëåíèé ìîæåò
áûòü âûïîëíåíà çàðàíåå. Ïîñëå èçìåðåíèÿ ôóíêöèèU ( )� ðåøåíèå çàäà÷è
ñîñòîèò â óìíîæåíèè íåêîòîðîé ìàòðèöû íà âåêòîð äèñêðåòíûõ çíà÷åíèé,
äëÿ ÷åãî òðåáóåòñÿ íåçíà÷èòåëüíîå âðåìÿ. Äàííûé ìåòîä îáåñïå÷èâàåò
ïðîñòîòó è îïåðàòèâíîñòü êîìïüþòåðíîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è.
Ñëó÷àé ðåøåíèÿ ÑËÈÓ (1), (2), (9) ïðàêòè÷åñêè íå èññëåäîâàí (èññëå-
äîâàíèÿ âûïîëíåíû ëèøü äëÿ îïåðàòîðíîãî óðàâíåíèÿ è íîñÿò îáùèé
õàðàêòåð), èçâåñòíûå ìåòîäû, êàê, íàïðèìåð, ìåòîä íåâÿçêè, òðåáóþò ñïå-
öèàëüíîãî ðàññìîòðåíèÿ. Äëÿ ðåøåíèÿ ÑËÈÓ òåîðåòè÷åñêè îáîñíîâàí-
íûì è ïðàêòè÷åñêè ýôôåêòèâíûì ÿâëÿåòñÿ òàêæå ìåòîä ìîäåëüíûõ ýêñïå-
ðèìåíòîâ, êîòîðûé çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì.
Çàðàíåå (äî âûïîëíåíèÿ èçìåðåíèé ôóíêöèé U i ( ))� îïðåäåëÿåì ðå-
æèì âûïîëíåíèÿ èçìåðåíèé è èõ îáðàáîòêè. Ðåæèì — ýòî íàáîð çíà÷åíèé
À.Ô. Âåðëàíü, Â.Ñ. Ñèçèêîâ, Ë.Â. Ìîñåíöîâà
8 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2013. V. 35. ¹ 1
a, b, c, d, h, R U Uij i i( , ); /� �� # — îòíîñèòåëüíûå îøèáêè (ïî íîðìå)
èçìåðåíèé, à #Rij — îøèáêè õàðàêòåðèñòèê íàïðàâëåííîñòè. Çàòåì ñîñ-
òàâëÿåì ìîäåëüíûé (ýòàëîííûé) ïðèìåð W îòíîñèòåëüíî áóäóùåãî ïðàê-
òè÷åñêîãî ïðèìåðà V.  ìîäåëüíîì ïðèìåðå W, èìåþùåì òàêîé æå ðåæèì,
êàê è ïðèìåð V, íà îñíîâàíèè àïðèîðíîé èíôîðìàöèè î ïðèìåðå V âû-
áèðàåì ðåøåíèå Pj ( )� . Çàòåì ðåøàåì ïðèìåð W ïðè ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ
� i è âûáèðàåì òàêèå � i = � iopt , ïðè êîòîðûõ íàèáîëåå òî÷íî âîññòàíàâ-
ëèâàåòñÿ çàäàííîå òî÷íîå ðåøåíèå Pjw( )� â ïðèìåðå W .
 [9, 11] äëÿ ëèíåéíûõ èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé I ðîäà ïîêàçàíî, ÷òî
çíà÷åíèå � optW áëèçêî ê � optV . Àíàëîãè÷íî ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî è äëÿ
ÑËÈÓ çíà÷åíèÿ � i Wopt áëèçêè ê � i Vopt . Ïðè ýòîì â ïðèìåðå W íå îáÿçà-
òåëüíî ïîäáèðàòü òî÷íîå ðåøåíèå, î÷åíü áëèçêîå ê òî÷íîìó ðåøåíèþ â
ïðèìåðå V (ïîêà íåèçâåñòíîìó), ïîñêîëüêó îöåíêà îòíîñèòåëüíîé îøèáêè
ðåøåíèÿ íå çàâèñèò íåïîñðåäñòâåííî îò ïðàâûõ ÷àñòåé U i ( )� (êîòîðûå, â
ñâîþ î÷åðåäü, çàâèñÿò îò èñêîìîãî ðåøåíèÿ), à çàâèñèò ëèøü îò èõ îòíî-
ñèòåëüíûõ îøèáîê #U Ui i/ . Ïîýòîìó â ïðèìåðå W äîñòàòî÷íî ó÷åñòü,
÷òî äàâëåíèÿ (èëè ìîùíîñòè) èñòî÷íèêîâ Ñ è Ñì îòëè÷àþòñÿ íà ïîðÿäîê,
çíà÷åíèÿ pC ìåíüøå ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ � íà ïîðÿäîê è Ñ è Ñì ëåæàò â
ïðåäåëàõ îñíîâíîãî ëåïåñòêà ÕÍ.
Ìîæåò áûòü çàäàíî íåñêîëüêî ðåæèìîâ è äëÿ êàæäîãî èç íèõ ïî-
ñðåäñòâîì ñîñòàâëåíèÿ è ðåøåíèÿ ìîäåëüíûõ ïðèìåðîâ äîëæíû áûòü
îïðåäåëåíû çíà÷åíèÿ � i .
Áûñòðûé àëãîðèòì ðåøåíèÿ.  ñëó÷àå, êîãäà çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ
ðåãóëÿðèçàöèè � i îïðåäåëÿþòñÿ ñïîñîáîì ìîäåëüíîãî ýêñïåðèìåíòà, äëÿ
óñêîðåíèÿ ðåøåíèÿ ÑËÈÓ (4) èëè (6) ìåòîäîì êâàäðàòóð ìîæåò áûòü èñ-
ïîëüçîâàí ñïîñîá îáðàòíîé ìàòðèöû, çàêëþ÷àþùèéñÿ â òîì, ÷òî ðåøåíèå
ñèñòåì (4) è (6) ïîñëå èõ àëãåáðàèçàöèè èìååò âèä P CU� è P DU� , ãäå C
è D — çàðàíåå ðàññ÷èòàííûå îáðàòíûå ìàòðèöû ÑËÀÓ (çàâèñÿùèå îò
ðåæèìà). Òîãäà ðåøåíèå ñâîäèòñÿ ê ïðîñòîìó óìíîæåíèþ C èëè D íà
âåêòîð U, äëÿ ÷åãî òðåáóåòñÿ ìèíèìóì ìàøèííîãî âðåìåíè.
Îöåíêà âðåìåíè ðåøåíèÿ. Êàê è â ìåòîäèêå, èçëîæåííîé â [9, 11],
îñíîâíîå âðåìÿ áóäåò çàòðà÷åíî íà îïðåäåëåíèå äëÿ êàæäîãî ðåæèìà
ïàðàìåòðà � iopt (ðåøåíèåì ìîäåëüíûõ ïðèìåðîâ) è âû÷èñëåíèå ìàòðèöû
C èëè D. Îäíàêî ýòî ìîæíî âûïîëíèòü çàðàíåå (íàïðèìåð, çà ñóòêè äî
ýêñïåðèìåíòà). Â ýêñïåðèìåíòå ïîòðåáóåòñÿ èçìåðèòüU i ( )� , âûçâàòü ìàò-
ðèöó C èëè D è óìíîæèòü C èëè D íà U i (÷òî ïîòðåáóåò çíà÷èòåëüíî
ìåíüøå âðåìåíè). Åñëè n b a h� � (( ) / ) 1 — ÷èñëî îòñ÷åòîâ ïðè ñêàíèðî-
âàíèè è N �3, òî ïîðÿäîê ìàòðèöû C èëè D áóäåò 3n è äëÿ óìíîæåíèÿ C
èëè D íà U ïîòðåáóåòñÿ ( )3 3n îïåðàöèé òèïà óìíîæåíèÿ, ñëîæåíèÿ è ïðè-
ñâîåíèÿ.
Ðåãóëÿðèçàöèÿ ìíîãîìåðíîé çàäà÷è ïîâûøåíèÿ ðàçðåøàþùåé ñïîñîáíîñòè àíòåííû
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2013. Ò. 35. ¹ 1 9
×èñëåííûå ïðèìåðû. Ðàññìîòðèì ïðèìåðû, áëèçêèå ê ïðàêòè÷åñêèì
çàäà÷àì.
Èñêîìîå ïîëå PC ( )� ïðåäñòàâëÿåì â âèäå ñóììû òðåõ êîìïîíåíò (N �3):
ïîëåçíîãî ñèãíàëà C, ìåøàþùåãî ñèãíàëà Cì è ïðîòÿæåííîé øóìîâîé
ïîìåõè �. Ïðè ýòîì C è Cì ïðåäñòàâëÿåì â âèäå �-ôóíêöèé p C1� � �( )� è
p C2� � �( )�
ì
, ãäå p1 è p2 — èõ àìïëèòóäû,�C è�Cì
— êîîðäèíàòû, à� —
ãëàäêàÿ ôóíêöèÿ,
�
�
( )
, [ , ],
, [ , ].
�
�
�
�
� $
%
�
�
�
const a b
a b0
Ýíåðãåòè÷åñêèå ñïåêòðû C, Cì è � âûáðàíû â âèäå
S f
f
C
f( )
/
� �1
10
2
3 2& ; S f
f
C
f
ì
( )
/
� �1
10
3 2& ; S� ( f ) = 1/f,
ãäå &— ÷àñòîòà, ðàâíàÿ '() êÃö.
Õàðàêòåðèñòèêè íàïðàâëåííîñòè ïðè
( )f �1èìåþò ñëåäóþùèé âèä:
R
R S f df
S f df
iC
f
f
f C
f
f
C
i
i
i
i
( )
( ) ( )
( )
� �
� �
� � �
� ��
�
1
2
1
2
2
; (12)
R
R S f df
S f df
iC
f
f
f C
f
f
C
i
i
i
iì
ì
ì
( )
( ) ( )
( )
� �
� �
� � �
� ��
�
1
2
1
2
2
; (13)
R
R S f df
S f df
i
f
f
f
f
f
i
i
i
i
�
�
�
( )
( ) ( )
( )
� �
� �
� � �
� ��
�
1
2
1
2
2
, (14)
À.Ô. Âåðëàíü, Â.Ñ. Ñèçèêîâ, Ë.Â. Ìîñåíöîâà
10 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2013. V. 35. ¹ 1
ãäå
R
df
c
df
c
f ( )
sin sin ( )
sin ( )
� �
� �
� �
� � �
� ��
��
�
��
� �
;
(15)
d = 10 ì, c = 1500 ì/ñ.
Äëÿ ïåðâîé ïîëîñû ÷àñòîò f 11 15� , , f 21 29� , (ïðèáëèçèòåëüíî îêòàâà);
äëÿ âòîðîé ïîëîñû ÷àñòîò f 12 12� , , f 22 2 4� , (îêòàâà); äëÿ òðåòüåé ïîëîñû
÷àñòîò f 13 2� , f 23 2 8� , (ïðèáëèçèòåëüíî ïîëîêòàâû).
Ïðàâûå ÷àñòè èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé èìåþò âèä
U p R p R R di iC iC
a
b
i( ) ( ) ( ) ( )� � � � � � � �� � � � � ��1 1 2 2ì
� � , i �1 2 3, , . (16)
Ðåãóëÿðèçàöèÿ ìíîãîìåðíîé çàäà÷è ïîâûøåíèÿ ðàçðåøàþùåé ñïîñîáíîñòè àíòåííû
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2013. Ò. 35. ¹ 1 11
300
100
� � 4 0 2 4
P *��
P *��
P� *��PC *��
PC *��
ì
1 02
80
� � �4 0 2 4
� � +''
a á
Ðèñ. 1. Ãðàôèêè ôóíêöèé PC ( )� , PC ì
( )� (à) è P� ( )� (á) äëÿ ìîäåëüíîãî ïðèìåðà
1200
400
800
1200
� � �4 0 2 4
P *��
P *��
PC *��
PC *��
ì
1 02
100
140
� � �4 0 2 4
� � +,'P� *��
a á
Ðèñ. 2. Ãðàôèêè ôóíêöèé PC ( )� , PC ì
(à) è ôóíêöèè P� �( ) (á) ïðàêòè÷åñêîãî ïðèìåðà
Èíòåãðàëû â (12)—(16) âû÷èñëåíû ÷èñëåííî ïî ôîðìóëå Ãàóññà ñ
òî÷íîñòüþ äî äåâÿòè öèôð.
Ìîäåëüíûé ïðèìåð W ñîñòàâëåí ïðè p1 10� , p2 15� , �1 19� � , ãðàä,
�21 21� � , ãðàä. Ðàññòîÿíèå ìåæäó C è Cì â ñðåäíåì ïî RiC è RiCì
ðàâíî
ïðèáëèçèòåëüíî # -0 7, , ò.å. C è Cì íàõîäÿòñÿ â ïðåäåëàõ îñíîâíîãî ëåïåñò-
êà ÕÍ;� �100.
 ðåçóëüòàòå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (5) ïðè ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ�1,� 2,� 3
íàéäåíû èõ îïòèìàëüíûå çíà÷åíèÿ:
�1
4 010opt �
� , , � 2
4 310opt �
� , , � 3
4 510opt �
� , . (17)
Íà ðèñ. 1 ïðåäñòàâëåíû ãðàôèêè ðåøåíèÿ óðàâíåíèé (5) ïðè� �i i� opt .
Êàê âèäèì, ÷åòêî âîññòàíàâëèâàþòñÿ êîìïîíåíòû C è Cì ( â âèäå íå î÷åíü
êðóòûõ âñïëåñêîâ), à òàêæå ïîìåõà Ï (ñ íåáîëüøèìè ôëóêòóàöèÿìè âî-
êðóã ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ ).
Ïðàêòè÷åñêèé ïðèìåð V âûïîëíåí ñ ó÷åòîì (17) ïðè p1 10� , p2 100� ,
� �130, �1 296� � , ãðàä, �2 312� , ãðàä, #U a uV � 40028, ñð, ãäå à4 — ñëó÷àé-
íîå ÷èñëî, ðàñïðåäåëåííîå ïî íîðìàëüíîìó çàêîíó ñ åäèíè÷íûì ñðåäíå-
êâàäðàòè÷åñêèì çíà÷åíèåì; èñð — ñðåäíåå çíà÷åíèå U ( )� . Èç ðèñ. 2
âèäèì, ÷òî âñå òðè êîìïîíåíòà, Ñ, Ñì è Ï, òàêæå âîññòàíàâëèâàþòñÿ.
Âûâîäû
Ïðåäëîæåííûé ìåòîä ïîçâîëÿåò ðàçðåøàòü áëèçêîðàñïîëîæåííûå èñ-
òî÷íèêè (#-0 8, äî #-0 9, ) ñ áëèçêèìè çíà÷åíèÿìè äàâëåíèé (èëè ìîù-
íîñòåé) PC è PCì
. Åñëè çíà÷åíèå PCì
ïðåâîñõîäèò PC íà ïîðÿäîê, ðàñ-
ñòîÿíèå ìåæäó èñòî÷íèêàìè ìîæåò áûòü#-0 5, ; óâåëè÷åíèå ðàññòîÿíèÿ
ìåæäó Ñ è Cì äî #-0 2, äàåò âîçìîæíîñòü ðàçðåøàòü èñòî÷íèêè ïðè
PCì
/PC . 40/60 è íàëè÷èè ïðîòÿæåííîé ïîìåõè Ï, ïðåâîñõîäÿùåé PC íà
îäèí—äâà ïîðÿäêà íà âõîäå àíòåííû (ïðè ïðèáëèçèòåëüíîì âðåìåíè
óñðåäíåíèÿ 5 ñ).
Òàêèì îáðàçîì, ÷èñëåííûå ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå ïðè ðåøåíèè ðÿäà
ïðàêòè÷åñêèõ ïðèìåðîâ, ñâèäåòåëüñòâóþò î òîì, ÷òî ðàññìîòðåííûå ðå-
ãóëÿðèçèðóþùèå ìåòîäû ÿâëÿþòñÿ ðàáîòîñïîñîáíûìè, à ïðåäëîæåííûå
ïðîãðàììû äîñòàòî÷íî ýôôåêòèâíûìè, ãèáêèìè è óäîáíûìè äëÿ èñïîëü-
çîâàíèÿ. Îíè ìîãóò áûòü ïðèìåíåíû âìåñòå ñ äðóãèìè ïàêåòàìè ïðèêëàä-
íûõ ïðîãðàìì, âõîäÿùèìè â ïðîãðàììíûé êîìïëåêñ Matlab.
An algorithm for solving a system of linear integral equations I kind of multidimensional
ill-posed increase the resolving power the antenna by modeling experiments. The algorithm is
implemented and analyzed by a program on Matlab.
À.Ô. Âåðëàíü, Â.Ñ. Ñèçèêîâ, Ë.Â. Ìîñåíöîâà
12 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2013. V. 35. ¹ 1
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Òèõîíîâ À.Í., Ãîí÷àðñêèé À.Â., Ñòåïàíîâ Â.Â., ßãîëà À.Ã. ×èñëåííûå ìåòîäû ðåøåíèÿ
íåêîððåêòíûõ çàäà÷. — Ì. : Íàóêà, 1990. — 232 ñ.
2. Ìîðîçîâ Â.À., Ãðåáåííèêîâ À.È. Ìåòîäû ðåøåíèÿ íåêîððåêòíî ïîñòàâëåííûõ çàäà÷:
àëãîðèòìè÷åñêèé àñïåêò. — Ì. : Èçä-âî ÌÃÓ, 1992. — 320 ñ.
3. Ëàâðåíòüåâ Ì.Ì. Î íåêîòîðûõ íåêîððåêòíûõ çàäà÷àõ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè.— Íî-
âîñèáèðñê: Èçä-âî ÀÍ ÑÑÑÐ, 1962. — 227 ñ.
4. Engl H.W., Hanke M., Neubauer A. Regularization of Inverse Problems. — Dordrecht :
Kluwer, 1996. — 328 p.
5. Nashed M.Z., Scherzer O. Least Squares and Bounded Variation Regularization with Non-
differentiable Functional// Numer. funct. anal. and optimiz. — 1998. — Vol. 19, ¹ 7, 8. —
P. 873—901.
6. Âàñèí B.B. Ðåãóëÿðèçàöèÿ è äèñêðåòíàÿ àïïðîêñèìàöèÿ íåêîððåêòíûõ çàäà÷ â ïðîñò-
ðàíñòâå ôóíêöèé îãðàíè÷åííîé âàðèàöèè // ÄÀÍ. — 2001. — 376, ¹ 1. — Ñ. 6 —11.
7. Antonova T.V. Recovery of Function with Finite Number of Discontinuities by Noised Data //
J. Inverse and Ø-Posed Problems. — 2002. — Vol. 10, ¹ 2. — P. 1—11.
8. Ñòàðêîâ Â.Í. Êîíñòðóêòèâíûå ìåòîäû âû÷èñëèòåëüíîé ôèçèêè â çàäà÷àõ èíòåðïðå-
òàöèè. — Êèåâ : Íàóê. äóìêà, 2002. — 264 ñ.
9. Âåðëàíü À.Ô., Ñèçèêîâ Â.Ñ. Èíòåãðàëüíûå óðàâíåíèÿ: ìåòîäû, àëãîðèòìû, ïðîãðàì-
ìû. — Ê. : Íàóê. äóìêà, 1986. — 544 ñ.
10. Kojdecki M.A. New criterion of regularisation parameter choice in Tikhonov’s method//
Biuletyn WAT (Biul. Mil. Univ. Technol.). — 2000. — Vol. 49, No. 1 (569). — P. 47—
126.
11. Ñèçèêîâ Â.Ñ. Îáðàòíûå ïðèêëàäíûå çàäà÷è è MatLab. — ÑÏá. : Ëàíü, 2011. — 256 c.
12. Ìîñåíöîâà Ë.Â. Ðåàëèçàöèÿ ìåòîäà ìîäåëèðîâàíèÿ äëÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèé Ôðåä-
ãîëüìà I ðîäà â ñèñòåìå MATLAB //Ñá. òåçèñîâ êîíô. «Èíòåãðàëüíûå óðàâíåíèÿ»,
2009. — Ê. : èçä. ÈÏÌÝ, 2009. — Ñ. 110—112.
Ïîñòóïèëà 29.10.12
ÂÅÐËÀÍÜ Àíàòîëèé Ôåäîðîâè÷, ä-ð òåõí. íàóê, çàâ. îòäåëîì Èí-òà ïðîáëåì ìîäåëèðîâàíèÿ â
ýíåðãåòèêå èì. Ã.Å. Ïóõîâà ÍÀÍ Óêðàèíû.  1956 ã. îêîí÷èë Êèåâñêèé ïîëèòåõíè÷åñêèé èí-ò.
Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — ìåòîäû ìàòåìàòè÷åñêîãî è êîìïüþòåðíîãî ìîäåëèðî-
âàíèÿ â çàäà÷àõ èññëåäîâàíèÿ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì, ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé; ÷èñëåííûå ìåòîäû
è àëãîðèòìû ðåøåíèÿ èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé.
ÑÈÇÈÊÎÂ Âàëåðèé Ñåðãååâè÷, ä-ð òåõí. íàóê, ïðîôåññîð êàôåäðû èçìåðèòåëüíûõ òåõíîëîãèé
è êîìïüþòåðíîé òîìîãðàôèè, ïðîôåññîð Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñè-
òåòà èíôîðìàöèîííûõ òåõíîëîãèé, ìåõàíèêè è îïòèêè.  1964 ã. îêîí÷èë Óðàëüñêèé ãîñóíèâåð-
ñèòåò (ã. Ñâåðäëîâñê). Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — èíòåãðàëüíûå óðàâíåíèÿ, íåêîððåêòíûå
çàäà÷è è ðåãóëÿðíûå ìåòîäû èõ ðåøåíèÿ, âîññòàíîâëåíèå ñèãíàëîâ, ïðîãðàììèðîâàíèå.
ÌÎÑÅÍÖÎÂÀ Ëþäìèëà Âèêòîðîâíà, ìë. íàó÷. ñîòð. Ôèçèêî-òåõíîëîãè÷åñêîãî èí-òà ìåòàë-
ëîâ è ñïëàâîâ ÍÀÍ Óêðàèíû.  2008 ã. îêîí÷èëà Òàâðè÷åñêèé íàöèîíàëüíûé óíèâåðñèòåò
èì. Â.È. Âåðíàäñêîãî. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — âû÷èñëèòåëüíàÿ è ïðèêëàäíàÿ ìàòå-
ìàòèêà, èíòåãðàëüíûå óðàâíåíèÿ è ïðèëîæåíèÿ, íåêîððåêòíûå çàäà÷è è ðåãóëÿðíûå ìåòîäû
èõ ðåøåíèÿ, òîìîãðàôèÿ, ðåêîíñòðóêöèÿ èçîáðàæåíèé, îáðàáîòêà ñèãíàëîâ, ãðàâèìåòðèÿ,
ïðîãðàììèðîâàíèå.
Ðåãóëÿðèçàöèÿ ìíîãîìåðíîé çàäà÷è ïîâûøåíèÿ ðàçðåøàþùåé ñïîñîáíîñòè àíòåííû
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2013. Ò. 35. ¹ 1 13
<<
/ASCII85EncodePages false
/AllowTransparency false
/AutoPositionEPSFiles true
/AutoRotatePages /None
/Binding /Left
/CalGrayProfile (Dot Gain 20%)
/CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CalCMYKProfile (U.S. Web Coated \050SWOP\051 v2)
/sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CannotEmbedFontPolicy /Error
/CompatibilityLevel 1.4
/CompressObjects /Tags
/CompressPages true
/ConvertImagesToIndexed true
/PassThroughJPEGImages true
/CreateJDFFile false
/CreateJobTicket false
/DefaultRenderingIntent /Default
/DetectBlends true
/DetectCurves 0.0000
/ColorConversionStrategy /CMYK
/DoThumbnails false
/EmbedAllFonts true
/EmbedOpenType false
/ParseICCProfilesInComments true
/EmbedJobOptions true
/DSCReportingLevel 0
/EmitDSCWarnings false
/EndPage -1
/ImageMemory 1048576
/LockDistillerParams false
/MaxSubsetPct 100
/Optimize true
/OPM 1
/ParseDSCComments true
/ParseDSCCommentsForDocInfo true
/PreserveCopyPage true
/PreserveDICMYKValues true
/PreserveEPSInfo true
/PreserveFlatness true
/PreserveHalftoneInfo false
/PreserveOPIComments true
/PreserveOverprintSettings true
/StartPage 1
/SubsetFonts true
/TransferFunctionInfo /Apply
/UCRandBGInfo /Preserve
/UsePrologue false
/ColorSettingsFile ()
/AlwaysEmbed [ true
]
/NeverEmbed [ true
]
/AntiAliasColorImages false
/CropColorImages true
/ColorImageMinResolution 300
/ColorImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleColorImages true
/ColorImageDownsampleType /Bicubic
/ColorImageResolution 300
/ColorImageDepth -1
/ColorImageMinDownsampleDepth 1
/ColorImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeColorImages true
/ColorImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterColorImages true
/ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG
/ColorACSImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/ColorImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/JPEG2000ColorACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/JPEG2000ColorImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/AntiAliasGrayImages false
/CropGrayImages true
/GrayImageMinResolution 300
/GrayImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleGrayImages true
/GrayImageDownsampleType /Bicubic
/GrayImageResolution 300
/GrayImageDepth -1
/GrayImageMinDownsampleDepth 2
/GrayImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeGrayImages true
/GrayImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterGrayImages true
/GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG
/GrayACSImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/GrayImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/JPEG2000GrayACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/JPEG2000GrayImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/AntiAliasMonoImages false
/CropMonoImages true
/MonoImageMinResolution 1200
/MonoImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleMonoImages true
/MonoImageDownsampleType /Bicubic
/MonoImageResolution 1200
/MonoImageDepth -1
/MonoImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeMonoImages true
/MonoImageFilter /CCITTFaxEncode
/MonoImageDict <<
/K -1
>>
/AllowPSXObjects false
/CheckCompliance [
/None
]
/PDFX1aCheck false
/PDFX3Check false
/PDFXCompliantPDFOnly false
/PDFXNoTrimBoxError true
/PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXSetBleedBoxToMediaBox true
/PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXOutputIntentProfile ()
/PDFXOutputConditionIdentifier ()
/PDFXOutputCondition ()
/PDFXRegistryName ()
/PDFXTrapped /False
/Description <<
/CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e9ad88d2891cf76845370524d53705237300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002>
/CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc9ad854c18cea76845370524d5370523786557406300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002>
/DAN <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>
/DEU <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>
/ESP <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>
/FRA <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>
/ITA <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>
/JPN <FEFF9ad854c18cea306a30d730ea30d730ec30b951fa529b7528002000410064006f0062006500200050004400460020658766f8306e4f5c6210306b4f7f75283057307e305930023053306e8a2d5b9a30674f5c62103055308c305f0020005000440046002030d530a130a430eb306f3001004100630072006f0062006100740020304a30883073002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee5964d3067958b304f30533068304c3067304d307e305930023053306e8a2d5b9a306b306f30d530a930f330c8306e57cb30818fbc307f304c5fc59808306730593002>
/KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020ace0d488c9c80020c2dcd5d80020c778c1c4c5d00020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e>
/NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken die zijn geoptimaliseerd voor prepress-afdrukken van hoge kwaliteit. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.)
/NOR <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>
/PTB <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>
/SUO <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>
/SVE <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>
/ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents best suited for high-quality prepress printing. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.)
>>
/Namespace [
(Adobe)
(Common)
(1.0)
]
/OtherNamespaces [
<<
/AsReaderSpreads false
/CropImagesToFrames true
/ErrorControl /WarnAndContinue
/FlattenerIgnoreSpreadOverrides false
/IncludeGuidesGrids false
/IncludeNonPrinting false
/IncludeSlug false
/Namespace [
(Adobe)
(InDesign)
(4.0)
]
/OmitPlacedBitmaps false
/OmitPlacedEPS false
/OmitPlacedPDF false
/SimulateOverprint /Legacy
>>
<<
/AddBleedMarks false
/AddColorBars false
/AddCropMarks false
/AddPageInfo false
/AddRegMarks false
/ConvertColors /ConvertToCMYK
/DestinationProfileName ()
/DestinationProfileSelector /DocumentCMYK
/Downsample16BitImages true
/FlattenerPreset <<
/PresetSelector /MediumResolution
>>
/FormElements false
/GenerateStructure false
/IncludeBookmarks false
/IncludeHyperlinks false
/IncludeInteractive false
/IncludeLayers false
/IncludeProfiles false
/MultimediaHandling /UseObjectSettings
/Namespace [
(Adobe)
(CreativeSuite)
(2.0)
]
/PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK
/PreserveEditing true
/UntaggedCMYKHandling /LeaveUntagged
/UntaggedRGBHandling /UseDocumentProfile
/UseDocumentBleed false
>>
]
>> setdistillerparams
<<
/HWResolution [2400 2400]
/PageSize [612.000 792.000]
>> setpagedevice
|