О локально выпуклых гиперповерхностях в пространствах Финслера–Адамара
A criterion for the harmonicity of the Grassmann map of an immersed smooth submanifold in some Lie group with left-invariant metric is given. Using the obtained expression, we obtain criteria for the harmonicity of this map in both cases of totally geodesic submanifolds in Lie groups with biinvarian...
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2008
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6218 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О локально выпуклых гиперповерхностях в пространствах Финслера–Адамара / Е.А. Олин // Доп. НАН України. — 2008. — № 11. — С. 24-28. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859619649809809408 |
|---|---|
| author | Олин, Е.А. |
| author_facet | Олин, Е.А. |
| citation_txt | О локально выпуклых гиперповерхностях в пространствах Финслера–Адамара / Е.А. Олин // Доп. НАН України. — 2008. — № 11. — С. 24-28. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | A criterion for the harmonicity of the Grassmann map of an immersed smooth submanifold in some Lie group with left-invariant metric is given. Using the obtained expression, we obtain criteria for the harmonicity of this map in both cases of totally geodesic submanifolds in Lie groups with biinvariant metric and cylindrical submanifolds in Heisenberg groups.
|
| first_indexed | 2025-11-29T01:06:11Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 514.763.624
© 2008
Е.А. Олин
О локально выпуклых гиперповерхностях
в пространствах Финслера–Адамара
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины А.А. Борисенко)
Locally convex compact immersed hypersurfaces in Finsler–Hadamard manifolds with bounded
T-curvature are considered. We prove that, under certain conditions on the normal curvatures,
such hypersurfaces are embedded as the boundary of a convex body and are homeomorphic to
a sphere.
Пусть M есть полное финслерово многообразие. Тогда:
1. Множество A называется выпуклым, если каждая кратчайшая с концами в A содер-
жится в A.
2. Множество A называется локально выпуклым, если каждая точка P ∈ A имеет
окрестность UP такую, что A
⋂
UP выпукло.
Ж. Адамар доказал следующую теорему.
Теорема [1]. Пусть ϕ — погружение компактного ориентированного n-мерного мно-
гообразия M в евклидово пространство En+1, n > 2, со всюду положительной гауссовой
кривизной. Тогда ϕ(M) есть выпуклая гиперповерхность.
Чжень и Лашоф обобщили эту теорему на случай знакоопределенной гауссовой кри-
визны [1]. Для ϕ-погружения компактного ориентированного n-мерного многообразия M
в евклидово пространство En+1 они показали эквивалентность утверждений:
1) степень сферического отображения равна ±1 и гауссова кривизна не меняет знака;
2) ϕ(M) есть выпуклая гиперповерхность.
Топологическое погружение f : Nn → Mn+1 многообразия Nn в многообразие Mn+1
называется локально выпуклым в точке x ∈ Nn, если у x есть окрестность U такая, что
f(U) является частью границы выпуклого множества в Mn+1.
С. Александер [2] (см. также А.А. Борисенко [3]) обобщила эту теорему для компактного
случая, когда объемлющим пространством является полное односвязное риманово много-
образие неположительной кривизны (многообразие Адамара).
Теорема [2–4]. Пусть f : Nn → Mn+1, n > 2, есть погружение компактного связного
многообразия Nn в полное односвязное риманово многообразие неположительной кривиз-
ны Mn+1. Если f локально выпукло, то f есть вложение, f(Nn) есть граница выпуклого
тела, гомеоморфного шару, и f(Nn) гомеоморфно сфере S
n.
Целью данной работы является обобщение этой теоремы на случай погружения ком-
пактного многообразия в полное односвязное финслерово многообразие неположительной
кривизны. Будем называть такие многообразия многообразиями Финслера–Адамара.
Теорема 1. Пусть f : Nn → Mn+1, n > 2, есть погружение компактной гиперпо-
верхности Nn в полное односвязное финслерово многообразие Mn+1. Пусть Nn и Mn+1
удовлетворяют свойствам:
1) флаговая кривизна Mn+1 K 6 −k2;
2) T-кривизна Mn+1 |T| 6 δ, где 0 6 δ < k;
24 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №11
3) нормальные кривизны гиперповерхности Nn удовлетворяют неравенству kn > 2δ.
Тогда f есть вложение, f(Nn) есть граница выпуклого тела, гомеоморфного шару, и f(Nn)
гомеоморфно сфере S
n.
Также показано, что теорема С. Александер верна в случае финслеровых пространств
с метрикой Бервальда.
Для доказательства теорем была доказана теорема сравнения для длин якобиевых полей
при экспоненциальном отображении относительно гиперповерхности и найдены условия,
при которых внешние параллельные гиперповерхности к выпуклой гиперповерхности будут
выпуклыми.
Основные теоретические сведения. Пусть Mn — n-мерное связное C∞-многообра-
зие. Обозначим через TMn =
⊔
x∈Mn
TxMn касательное расслоение Mn. Тогда финслеро-
вой метрикой на M называется функция F : TMn → [0,∞), удовлетворяющая следующим
свойствам:
1) F ∈ C∞(TMn \ {0});
2) F положительно однородна первой степени, т. е. для любой пары (x, y) ∈ TMn и лю-
бого λ > 0, F (x, λy) = λF (x, y);
3) для любой пары (x, y) ∈ TMn билинейная симметричная форма gy : TxMn×TxMn →
→ R,
gy(u, v) :=
1
2
∂2
∂t∂s
[F 2(x, y + su + tv)]
∣∣∣∣
s=t=0
положительно определена.
Пара (Mn, F ) называется финслеровым многообразием.
Если положить
gij(y) =
1
2
∂2
∂yi∂yj
[F 2(x, y)],
то форму gy(u, v) можно переписать в виде
gy(u, v) = gij(y)uivj .
Для гладкой кривой c : [a, b] → Mn на многообразии Mn с финслеровой метрикой F
длина определяется интегралом
LF (c) =
b∫
a
F (c(t), ċ(t)) dt.
Как и в римановой геометрии, в финслеровой геометии вводятся геодезические как
локально кратчайшие. Они обладают всеми необходимыми свойствами. Также обобща-
ется секционная кривизна, здесь она называется флаговой кривизной. Тогда, по анало-
гии, пространствами Финслера–Адамара называются односвязные пространства неполо-
жительной флаговой кривизны. В таких пространствах выполняется обобщение теоремы
Картана–Адамара.
В отличие от римановой геометрии, флаговая кривизна не описывает до конца все
свойства финслеровой метрики. Поэтому в рассмотрение вводятся так называемые нери-
мановы кривизны, которые для римановых метрик обращаются в ноль. Нам понадобится
одна из них — T-кривизна [5].
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №11 25
Пусть (Mn, F ) — финслерово пространство. Для вектора y ∈ TxMn \ {0} пусть Y —
его продолжение до геодезического поля в некоторой окрестности x. Пусть ∇ — связность
Черна, а ∇̃ — связность Леви-Чивита для индуцированной римановой метрики g̃ = gY .
Для вектора v ∈ TxMn определим
Ty(v) = gy(∇vV, y) − g̃(∇̃vV, y), (1)
где V — такое векторное поле, что Vx = v.
Семейство {Ty}y∈TxMn\{0} и называется T-кривизной.
Как и в [5], мы будем говорить, что T-кривизна ограничена сверху T > −δ, если
Ty(u) > −δ
[
gy(u, u) − gy(u,
y
F (y)
)2
]
F (y).
Аналогично определяется нижняя граница T-кривизны.
Заметим, что для метрик Бервальда T-кривизна обращается в ноль; верно также и обра-
тное утверждение [5].
Пусть ϕ : N → Mn это гиперповерхность в Mn. Вектор n ∈ Tϕ(x)M
n называется векто-
ром нормали к N в точке x ∈ N , если gn(y,n) = 0 для всех y ∈ TxN . Известно, что такой
вектор существует [5]. Заметим, что в общем случае, вектор −n не будет вектором норма-
ли. Таким образом, можем рассмотреть подрасслоение ν(N) касательного расслоения TMn,
состоящее из всех нормальных к N векторов с выбранной ориентацией, ν(N) называется
нормальным расслоением над N .
Экспоненциальным отображением относительно гиперповерхности N будем называть
отображение expN : ν(N) → Mn, определяемое равенством
expN (x,n) = expx(n).
Для гиперповерхности N в финслеровом многообразии Mn нормальная кривизна kn
в точке x ∈ N в направлении y ∈ TxN определяется как
kn = −gn(∇ċ(t)ċ(t)|t=0,n),
где ċ(0) = y, и c(t) является геодезической в индуцированной связности в N , n — выбранная
единичная нормаль.
Для выбранного векторного поля Y gY (u, v) превращается в риманову метрику на Mn.
Полученная риманова метрика обладает рядом полезных свойств.
Для гиперповерхности N можем определить оператор Вейнгартена следующим образом.
Пусть ρ — функция расстояния класса C∞ на открытой окрестности U ⊂ N такая, что
U = ρ−1(0). Пусть ∇̃ — связность Леви-Чивита для индуцированной римановой метрики
g̃ = g∇ρ, определенной в некоторой окрестности U . Тогда для вектора нормали n = ∇ρ|N
оператором Вейнгартена называется оператор Sn(w) : TxN → TxN , действующий по закону
Sn(w) = ∇̃wn.
Теоремы сравнения для якобиевых полей. Изначально теорема Рауха была доказа-
на для сравнения длин якобиевых полей при экспоненциальном отображении относительно
точки. Используя теорему Рауха, можно показать отсутствие сопряженных точек в мно-
гообразиях неположительной кривизны. Затем Берже обобщил эту теорему на случай фо-
кальных точек экспоненциального отображения относительно геодезической. Окончатель-
ным результатом в этом направлении можно назвать работу Варнера [6], где он доказывает
теоремы сравнения для экспоненциального отображения относительно подмногообразия.
26 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №11
Здесь мы доказываем теорему сравнения Рауха для экспоненциального отображения
относительно гиперповерхности в финслеровых пространствах.
Рассмотрим гладкую гиперповерхность N в Mn. Выпустим из точки x ∈ N геодезичес-
кую с параметризацией c(t) в направлении вектора нормали к N в x.
Рассмотрим геодезическую c : [a, b] → Mn. Тогда полем Якоби вдоль геодезической c
называется векторное поле J(t), удовлетворяющее уравнению Якоби:
∇ċ(t)∇ċ(t)J + Rċ(t)(J) = 0.
Будем называть поле Якоби J(t) вдоль геодезической c(t) N -якобиевым полем, если
∇ċ(t)J(t)|t=0 = Sċ(J(t))|t=0.
Назовем точку c(t0) фокальной точкой к N вдоль c, если существует такое нетривиаль-
ное N -якобиево поле J вдоль c, что J(t0) = 0.
Как и в римановой геометрии, фокальные точки можно рассматривать как точки нере-
гулярности экспоненциального отображения относительно гиперповерхности.
Берем два финслеровых многообразия Mn и Mn. В Mn рассматриваем гиперповерх-
ность N , нормальная геодезическая c : [0, t] → Mn такая, что c(0) ∈ N и ċ(0) — gċ(0)-ор-
тогонально N . Обозначим через J нетривиальное N -якобиево поле вдоль c. В Mn рас-
сматриваем аналогичную конструкцию, элементы которой будем отличать чертой сверху.
Предположим также, что gċ(t)(J(t), J(t))|0 = g
ċ(t)(J(t), J(t))|0 . Сделаем “пересадку” вектор-
ного поля J(t) в многообразие Mn вдоль геодезической c(t). Будем следовать [7]. Выберем
gċ(0)-ортонормированный базис в Tc(0)M
n с En = ċ(0). Разнесем этот базис до параллельно-
го вдоль c(t). Получим набор Ei(t) gċ(t)-ортонормированных полей вдоль c(t) с En(t) = ċ(t).
Проделав аналогичную конструкцию в Mn, получим набор Fi(t) g
ċ(t)-ортонормированных
полей вдоль c(t) с Fn(t) = ċ(t). Теперь разложим J(t) = ϕi(t)Ei(t) и определим новое поле
J̃(t) = ϕi(t)Fi(t).
Теорема 2. Пусть для всех t ∈ [0, s] и для всех флагов P ⊂ Tc(t)M
n и P ⊂ Tc(t)M
n вдоль
геодезических c, c таких, что флаг P — это флаг P , “пересаженный” в M , выполнено
неравенство K(ċ(t), P ) 6 K(ċ(t), P ); каждое из собственных чисел формы S не меньше
любого собственного числа S. Пусть также на c нет точек, фокальных вдоль c к N .
Тогда для всех t ∈ [0, s]
gċ(t)(J(t), J(t)) > g
ċ(t)(J(t), J(t))
и на c также нет фокальных точек.
Следствие 1. В финслеровом пространстве с неположительной флаговой кривизной
и ограниченной T-кривизной |T| 6 δ > 0 экспоненциальное отображение относительно
гиперповерхности с нормальными кривизнами kn > δ будет невырожденным. То есть
внешние параллельные гиперповерхности будут регулярными.
О выпуклости параллельных гиперповерхностей. Известным в римановой геометрии яв-
ляется факт, что в пространствах неположительной кривизны внешние, а в пространствах
неотрицательной кривизны внутренние эквидистантные гиперповерхности к выпуклой ги-
перповерхности будут выпуклыми. Мы доказываем аналогичный результат при более силь-
ных ограничениях на нормальную кривизну для пространств Финслера–Адамара.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №11 27
Теорема 3. В финслеровом многообразии с флаговой кривизной K 6 −k2 и T-кривизной
|T| 6 δ такой, что 0 6 δ 6 k, рассмотрим гиперповерхность N с нормальными кривиз-
нами kn > 2δ. Тогда все внешние эквидистантные гиперповерхности являются локально
выпуклыми.
Теперь, используя теоремы 2 и 3, становится возможным доказать теорему 1.
1. Стернберг С. Лекции по дифференциальной геометрии. – Москва: Мир, 1970. – 412 с.
2. Alexander S. Locally convex hypersurfaces of negatively curved spaces // Proc. AMS. – 1977. – 64, No 2. –
P. 321–325.
3. Борисенко A.A. О локально выпуклых гиперповерхностях в многообразиях Адамара // Мат. замет-
ки. – 2000. – 67. – С. 425–431.
4. Борисенко A.A. Внутренняя и внешняя геометрия многомерных подмногообразий. – Москва: Экза-
мен, 2003. – 672 с.
5. Shen Z. Lectures on Finsler geometry. – Singapore: World Scientific Publishing Co, 2001. – 306 p.
6. Warner F.W. Extension of the Rauch comparison theorem to submanifolds // Trans. Amer. Math. Soc. –
1966. – 122, No 2. – P. 341–356.
7. Bao D., Chern S. S., Shen Z. An introduction to Riemann–Finsler geometry. – Berlin: Springer-Verlag,
2000. – 434 с.
Поступило в редакцию 03.04.2008Харьковский национальный университет
им. В.Н. Каразина
УДК 514.764.27
© 2008
Е.В. Петров
О грассмановом отображении подмногообразий
в группах Ли
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины А.А. Борисенко)
A criterion for the harmonicity of the Grassmann map of an immersed smooth submanifold in
some Lie group with left-invariant metric is given. Using the obtained expression, we obtain
criteria for the harmonicity of this map in both cases of totally geodesic submanifolds in Lie
groups with biinvariant metric and cylindrical submanifolds in Heisenberg groups.
Постановка задачи. Пусть M — гладкое многообразие, N — группа Ли с левоинвари-
антной метрикой 〈·, ·〉, N — ее алгебра Ли со скобкой Ли [·, ·], M → N — погружение,
dimM = n, dim N = n + q.
Грассманово отображение Φ: M → G(n, q) подмногообразия M определяется как ре-
зультат переноса в TeN = N касательного пространства в соответствующей точке M диф-
ференциалом левого сдвига:
Φ(p) = dLp−1(TpM). (1)
Тут точка p отождествляется с ее образом при погружении.
28 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №11
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-6218 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-29T01:06:11Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Олин, Е.А. 2010-02-19T14:43:42Z 2010-02-19T14:43:42Z 2008 О локально выпуклых гиперповерхностях в пространствах Финслера–Адамара / Е.А. Олин // Доп. НАН України. — 2008. — № 11. — С. 24-28. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6218 514.763.624 A criterion for the harmonicity of the Grassmann map of an immersed smooth submanifold in some Lie group with left-invariant metric is given. Using the obtained expression, we obtain criteria for the harmonicity of this map in both cases of totally geodesic submanifolds in Lie groups with biinvariant metric and cylindrical submanifolds in Heisenberg groups. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Математика О локально выпуклых гиперповерхностях в пространствах Финслера–Адамара Article published earlier |
| spellingShingle | О локально выпуклых гиперповерхностях в пространствах Финслера–Адамара Олин, Е.А. Математика |
| title | О локально выпуклых гиперповерхностях в пространствах Финслера–Адамара |
| title_full | О локально выпуклых гиперповерхностях в пространствах Финслера–Адамара |
| title_fullStr | О локально выпуклых гиперповерхностях в пространствах Финслера–Адамара |
| title_full_unstemmed | О локально выпуклых гиперповерхностях в пространствах Финслера–Адамара |
| title_short | О локально выпуклых гиперповерхностях в пространствах Финслера–Адамара |
| title_sort | о локально выпуклых гиперповерхностях в пространствах финслера–адамара |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6218 |
| work_keys_str_mv | AT olinea olokalʹnovypuklyhgiperpoverhnostâhvprostranstvahfinsleraadamara |