О грассмановом отображении подмногообразий в группах Ли
A criterion for the harmonicity of the Grassmann map of an immersed smooth submanifold in some Lie group with left-invariant metric is given. Using the obtained expression, we obtain criteria for the harmonicity of this map in both cases of totally geodesic submanifolds in Lie groups with biinvarian...
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2008
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6219 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О грассмановом отображении подмногообразий в группах Ли / Е.В. Петров // Доп. НАН України. — 2008. — № 11. — С. 28-31. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859633572615290880 |
|---|---|
| author | Петров, Е.В. |
| author_facet | Петров, Е.В. |
| citation_txt | О грассмановом отображении подмногообразий в группах Ли / Е.В. Петров // Доп. НАН України. — 2008. — № 11. — С. 28-31. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | A criterion for the harmonicity of the Grassmann map of an immersed smooth submanifold in some Lie group with left-invariant metric is given. Using the obtained expression, we obtain criteria for the harmonicity of this map in both cases of totally geodesic submanifolds in Lie groups with biinvariant metric and cylindrical submanifolds in Heisenberg groups.
|
| first_indexed | 2025-12-07T13:13:24Z |
| format | Article |
| fulltext |
Теорема 3. В финслеровом многообразии с флаговой кривизной K 6 −k2 и T-кривизной
|T| 6 δ такой, что 0 6 δ 6 k, рассмотрим гиперповерхность N с нормальными кривиз-
нами kn > 2δ. Тогда все внешние эквидистантные гиперповерхности являются локально
выпуклыми.
Теперь, используя теоремы 2 и 3, становится возможным доказать теорему 1.
1. Стернберг С. Лекции по дифференциальной геометрии. – Москва: Мир, 1970. – 412 с.
2. Alexander S. Locally convex hypersurfaces of negatively curved spaces // Proc. AMS. – 1977. – 64, No 2. –
P. 321–325.
3. Борисенко A.A. О локально выпуклых гиперповерхностях в многообразиях Адамара // Мат. замет-
ки. – 2000. – 67. – С. 425–431.
4. Борисенко A.A. Внутренняя и внешняя геометрия многомерных подмногообразий. – Москва: Экза-
мен, 2003. – 672 с.
5. Shen Z. Lectures on Finsler geometry. – Singapore: World Scientific Publishing Co, 2001. – 306 p.
6. Warner F.W. Extension of the Rauch comparison theorem to submanifolds // Trans. Amer. Math. Soc. –
1966. – 122, No 2. – P. 341–356.
7. Bao D., Chern S. S., Shen Z. An introduction to Riemann–Finsler geometry. – Berlin: Springer-Verlag,
2000. – 434 с.
Поступило в редакцию 03.04.2008Харьковский национальный университет
им. В.Н. Каразина
УДК 514.764.27
© 2008
Е.В. Петров
О грассмановом отображении подмногообразий
в группах Ли
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины А.А. Борисенко)
A criterion for the harmonicity of the Grassmann map of an immersed smooth submanifold in
some Lie group with left-invariant metric is given. Using the obtained expression, we obtain
criteria for the harmonicity of this map in both cases of totally geodesic submanifolds in Lie
groups with biinvariant metric and cylindrical submanifolds in Heisenberg groups.
Постановка задачи. Пусть M — гладкое многообразие, N — группа Ли с левоинвари-
антной метрикой 〈·, ·〉, N — ее алгебра Ли со скобкой Ли [·, ·], M → N — погружение,
dimM = n, dim N = n + q.
Грассманово отображение Φ: M → G(n, q) подмногообразия M определяется как ре-
зультат переноса в TeN = N касательного пространства в соответствующей точке M диф-
ференциалом левого сдвига:
Φ(p) = dLp−1(TpM). (1)
Тут точка p отождествляется с ее образом при погружении.
28 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №11
В [1] было доказано, что грассманово отображение подмногообразия евклидова прост-
ранства гармонично (в смысле гармонических отображений римановых многообразий,
см. [2]) тогда и только тогда, когда векторное поле средней кривизны подмногообразия
параллельно. Это утверждение обобщалось в различных постановках на пространства по-
стоянной кривизны (см. [3–6]). В работе [7] доказано, что гауссово отображение гиперпо-
верхности в группе Ли с биинвариантной метрикой гармонично тогда и только тогда, когда
гиперповерхность имеет постоянную среднюю кривизну.
Пусть p — некоторая точка M , Y1, . . . , Yn и Yn+1, . . . , Yn+q — ортонормированные ба-
зисы касательного пространства TpM ⊂ TpN и нормального пространства NpM ⊂ TpN
соответственно. Здесь и далее мы будем обозначать через Yi как векторы касательного
пространства TpN , так и соответствующие им элементы алгебры Ли N . Рассмотрим на M
индуцированную погружением риманову метрику. Скалярное произведение, индуцируемое
метрикой N на касательных пространствах, будем обозначать через 〈·, ·〉, риманову связ-
ность метрики N — через ∇, нормальную связность погружения M в N — через ∇⊥, тензор
кривизны связности ∇ — через R(·, ·)·.
Продолжим векторы Y1, . . . , Yn+q в некоторую окрестность U точки p полями E1, . . . ,
En+q так, что E1, . . . , En в каждой точке U составляют ортонормированный базис каса-
тельного пространства к M , а En+1, . . . , En+q — ортонормированный базис нормального
пространства. Для 1 6 i, j 6 n, n+1 6 α 6 n+q обозначим через bα
ij = 〈∇Ei
Ej , Eα〉 коэффи-
циенты второй фундаментальной формы подмногообразия M в окрестности U . Векторное
поле H средней кривизны погружения определяется на U выражением
H =
1
n
∑
16i6n
(∇Ei
Ei)
⊥. (2)
Через (·)T и (·)⊥ обозначается проектирование на касательное расслоение TM и нормальное
расслоение NM соответственно. Говорят, что векторное поле средней кривизны параллель-
но, если ∇⊥
XH = 0 для любого касательного X.
Критерий гармоничности. Отображение Φ в точке p гармонично тогда и только
тогда, когда
∑
16i6n
〈R(Yj , Yi)Yi, Yα〉 −
∑
16i6n
〈∇(∇Yi
Yi)Yj, Yα〉 + 〈[nH, Yj ], Yα〉 + 2
∑
16i,
k6n
bα
ik〈∇Yi
Yk, Yj〉 +
+ 2
∑
16i6n,
n+16γ6n+q
bγ
ij〈∇Yi
Yγ , Yα〉−
∑
16i6n
〈(∇Yi
Yj)
T , (∇Yi
Yα)T 〉 +
∑
16i6n
〈(∇Yi
Yj)
⊥, (∇Yi
Yα)⊥〉=0 (3)
для всех 1 6 j 6 n, n + 1 6 α 6 n + q.
Отметим, что грассманово отображение подгруппы Ли постоянно и, следовательно, гар-
монично.
Пусть N — группа Ли с биинвариантной метрикой. Алгебра Ли N компактна, т. е. N =
= Z ⊕N ′, где прямая сумма ортогональна, Z абелева и N ′ = [N ,N ] полупростая, причем
форма Киллинга N ′ отрицательно определена (см. [8]).
Пусть M — вполне геодезическое подмногообразие N , Ψ: M → N — соответствующее
погружение, p — некоторая точка M . Рассмотрим погружение Ψ′ = LΨ(p)−1 ◦ Ψ: M → N .
Образ Ψ′(p) совпадает с единичным элементом e группы Ли N . Грассманово отображе-
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №11 29
ние этого погружения отображает каждую точку r ∈ M на подпространство Φ′(r) =
= dLΨ′(p)−1◦dΨ′(TrM) = dLΨ(p)−1◦dΨ(TrM) = Φ(r), таким образом, грассмановы отображе-
ния двух погружений совпадают. Левые сдвиги являются изометриями N , следовательно,
Ψ′ также вполне геодезично. Таким образом, без ограничения общности можно предполо-
жить, что Ψ(p) = e. Касательное пространство TeM является тройной системой Ли в N (см.,
напр., [9]). Подпространство N = TeM +[TeM,TeM ] — компактная подалгебра Ли, следова-
тельно, имеет ортогональное прямое разложение N = Z ⊕N
′
, где Z абелева, а N
′
= [N ,N ]
полупроста. Рассмотрим разложение Ya = Xa + Za для 1 6 a 6 n + q1, где Xa ∈ N
′
, Za ∈ Z,
dimN = n + q1. Тогда для 1 6 a, b 6 n + q1 скобка Ли [Ya, Yb] = [Xa,Xb]. Обозначим через
W подпространство, натянутое на X1, . . . ,Xn (т. е. ортогональную проекцию TeM на N
′
).
Это тройная система Ли в N
′
, и N
′
= W + [W,W]. Пересечение W = W
⋂
[W,W] явля-
ется идеалом (здесь и далее под идеалами мы подразумеваем идеалы в N ). Алгебра Ли
N
′
полупроста, следовательно, ортогональное дополнение V к W также является идеалом
и равняется ортогональной прямой сумме
⊕
16l6m
Sl простых идеалов Sl.
Теорема 2. Пусть M — гладкое погруженное вполне геодезическое подмногообразие
в группе Ли N с биинвариантной метрикой. Тогда:
1) если ограничение метрики на V является отрицательным кратным формы Кил-
линга (в частности, если V проста), то грассманово отображение M в этой метрике
гармонично;
2) если W
⋂
V =
⊕
16l6m
Wl, где Wl ⊂ Sl — собственная тройная система Ли в Sl,
т. е. Wl 6= 0 и Wl 6= Sl для каждого 1 6 l 6 m (в частности, если V = 0), тогда грассма-
ново отображение M гармонично в любой биинвариантной метрике на N ;
3) если условие утверждения 2 не выполняется, то на N существует биинвариантная
метрика такая, что грассманово отображение M негармонично.
Рассмотрим пример. Пусть N — алгебра Ли so(3) ⊕ so(3) с ортогональным базисом,
состоящим из векторов e1, e2, e3, f1, f2, f3 с ненулевыми скобками Ли
[e1, e2] = −[e2, e1] = e3, [e2, e3] = −[e3, e2] = e1, [e3, e1] = −[e1, e3] = e2,
[f1, f2] = −[f2, f1] = f3, [f2, f3] = −[f3, f2] = f1, [f3, f1] = −[f1, f3] = f2.
Выберем метрику так, что 〈ei, ej〉 = δij и 〈fi, fj〉 = δija
2, где 0 < a 6= 1. Пусть W —
подпространство, порожденное e1+f1, e2−f2 и e3+f3. Пусть M = exp(W), тогда TeM = W.
Предложение 1. Подмногообразие M в связной односвязной группе Ли N с алгеброй
Ли N и выбранной указанным способом биинвариантной метрикой является вполне гео-
дезическим и имеет негармоническое грассманово отображение.
Группы Гейзенберга. Пусть теперь N — (2m + 1)-мерная группа Гейзенберга. Она
представляет собой пространство R
2m+1 с глобальными координатами x1, . . . , xm, y1, . . . ,
ym, z и ортонормированным базисом левоинвариантных векторных полей
K1 =
∂
∂x1
, . . . , Km =
∂
∂xm
,
L1 =
∂
∂y1
+ x1 ∂
∂z
, . . . , Lm =
∂
∂ym
+ xm ∂
∂z
, Z =
∂
∂z
,
(4)
элементы которого связаны структурными соотношениями
[Ki, Lj ] = δijZ, [Ki,Kj ] = [Li, Lj ] = [Ki, Z] = [Li, Z] = 0 (5)
30 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №11
для 1 6 i, j 6 m. Пусть M — цилиндрическое подмногообразие, т. е. пусть в касательном
пространстве каждой его точки присутствует вектор Z. Интегральные траектории поля Z
имеют вид z = t, поэтому M = M1 × R, где M1 — гладкое подмногообразие в подпрост-
ранстве z = 0. Рассмотрим на этом (2m)-мерном подпространстве естественную евклидову
метрику с ортонормированным базисом, состоящим из полей ∂/∂xi и ∂/∂yj для 1 6 i, j 6 m.
Предложение 2. Пусть в каждой точке p подмногообразия M вектор Z является
касательным. Тогда:
1) M = M1 × R минимально в N тогда и только тогда, когда M1 минимально в E2m;
2) векторное поле H средней кривизны M параллельно тогда и только тогда, когда
векторное поле H1 средней кривизны M1 как подмногообразия евклидова пространства E2m
параллельно и выполняется условие (J(Z)H)⊥ = 0;
3) грассманово отображение M гармонично тогда и только тогда, когда H1 парал-
лельно.
Следствие 1. Пусть M — гиперповерхность, в каждой точке которой вектор Z яв-
ляется касательным. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1) гауссово отображение M гармонично;
2) M имеет постоянную среднюю кривизну;
3) M является произведением гиперповерхности постоянной средней кривизны E2m
на R.
Для трехмерной группы Гейзенберга в [10] доказано:
Теорема 3. Пусть M — гладкая ориентируемая поверхность постоянной средней кри-
визны в трехмерной группе Гейзенберга, гауссово отображение которой гармонично. Тог-
да M является цилиндрическим.
Аналогичный результат для другого определения гауссова отображения (не совпадаю-
щего с гауссовым отображением поверхности в трехмерной группе Ли) получен в [11].
1. Ruh E.A., Vilms J. The tension field of the Gauss map // Trans. Amer. Math. Soc. – 1970. – 149. –
P. 569–573.
2. Eells J. J., Sampson H. Harmonic mappings of Riemannian manifolds // Amer. J. Math. – 1964. – 86,
No 1. – P. 109–160.
3. Ishihara T. The harmonic Gauss map in a generalized sense // J. London Math. Soc. – 1982. – 26, No 1. –
P. 104–112.
4. Rigoli M. The harmonicity of the spherical Gauss map // Bull. London Math. Soc. – 1986. – 18, No 6. –
P. 609–612.
5. Масальцев Л.А. Вариант теоремы Ру–Вильмса для поверхностей постоянной средней кривизны в
S
3 // Мат. заметки. – 2003. – 73, вып. 1. – С. 92–105.
6. Масальцев Л.А. Гармонические свойства гауссовых отображений в H
3 // Укр. мат. журн. – 2003. –
55, № 4. – С. 489–499.
7. do Espirito-Santo N., Fornari S., Frensel K., Ripoll J. Constant mean curvature hypersurfaces in a Lie
group with a bi-invariant metric // Manuscr. math. – 2003. – 111. – P. 459–470.
8. Milnor J. Curvatures of left invariant metrics on Lie groups // Adv. Math. – 1976. – 21. – P. 293–329.
9. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии: В 2 т. – Москва: Мир, 1981. – Т. 2. –
416 с.
10. Petrov Ye. V. The Gauss map of hypersurfaces in 2-step nilpotent Lie groups // Math. Phys., An., Geom. –
2006. – 2, No 2. – P. 186–206.
11. Sanini A. Gauss map of a surface of the Heisenberg group // Boll. Unione mat. ital. – 1997. – 11-B(7),
Suppl. Fasc. 2. – P. 79–93.
Поступило в редакцию 23.04.2008Харьковский национальный университет
им. В.Н. Каразина
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №11 31
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-6219 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T13:13:24Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Петров, Е.В. 2010-02-19T14:47:41Z 2010-02-19T14:47:41Z 2008 О грассмановом отображении подмногообразий в группах Ли / Е.В. Петров // Доп. НАН України. — 2008. — № 11. — С. 28-31. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6219 514.764.27 A criterion for the harmonicity of the Grassmann map of an immersed smooth submanifold in some Lie group with left-invariant metric is given. Using the obtained expression, we obtain criteria for the harmonicity of this map in both cases of totally geodesic submanifolds in Lie groups with biinvariant metric and cylindrical submanifolds in Heisenberg groups. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Математика О грассмановом отображении подмногообразий в группах Ли Article published earlier |
| spellingShingle | О грассмановом отображении подмногообразий в группах Ли Петров, Е.В. Математика |
| title | О грассмановом отображении подмногообразий в группах Ли |
| title_full | О грассмановом отображении подмногообразий в группах Ли |
| title_fullStr | О грассмановом отображении подмногообразий в группах Ли |
| title_full_unstemmed | О грассмановом отображении подмногообразий в группах Ли |
| title_short | О грассмановом отображении подмногообразий в группах Ли |
| title_sort | о грассмановом отображении подмногообразий в группах ли |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6219 |
| work_keys_str_mv | AT petrovev ograssmanovomotobraženiipodmnogoobraziivgruppahli |