Приближенное решение для нелинейной дифференциальной модели фильтрующих грунтов
Рассмотрена начально-краевая задача для нелинейной системы одного параболического уравнения влагопереноса-фильтрации и двух гиперболических уравнений теории упругости. Построен алгоритм численного решения соответствующей обобщенной задачи, сформулированной по методу Галеркина. Представлены результат...
Збережено в:
| Дата: | 2009 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2009
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6229 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Приближенное решение для нелинейной дифференциальной модели фильтрующих грунтов / В.В. Скопецкий, О.А. Марченко, Т.А. Самойленко // Компьютерная математика. — 2009. — № 1. — С. 49-59. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859488316481601536 |
|---|---|
| author | Скопецкий, В.В. Марченко, О.А. Самойленко, Т.А. |
| author_facet | Скопецкий, В.В. Марченко, О.А. Самойленко, Т.А. |
| citation_txt | Приближенное решение для нелинейной дифференциальной модели фильтрующих грунтов / В.В. Скопецкий, О.А. Марченко, Т.А. Самойленко // Компьютерная математика. — 2009. — № 1. — С. 49-59. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | Рассмотрена начально-краевая задача для нелинейной системы одного параболического уравнения влагопереноса-фильтрации и двух гиперболических уравнений теории упругости. Построен алгоритм численного решения соответствующей обобщенной задачи, сформулированной по методу Галеркина. Представлены результаты вычислительного эксперимента.
Розглянута початково-крайова задача для нелінійної системи одного параболічного рівняння вологопереносу-фільтрації та двох гіперболічних рівнянь теорії пружності. Побудовано алгоритм чисельного розв’язання відповідної узагальненої задачі, яка сформульована за методом Гальоркіна. Наведено результати обчислювального експерименту.
The initial-boundary value problem for nonlinear system of one parabolic moisture-transfer–filtration equation and two hyperbolic elasticity equations are considered. The numerical solution algorithm for respective generalized problem based on Galerkin method is obtained. Numerical experiment results are presented.
|
| first_indexed | 2025-11-24T16:13:12Z |
| format | Article |
| fulltext |
Компьютерная математика. 2009, № 1 49
Рассмотрена начально-краевая
задача для нелинейной системы
одного параболического уравнения
влагопереноса-фильтрации и двух
гиперболических уравнений тео-
рии упругости. Построен алго-
ритм численного решения соот-
ветствующей обобщенной задачи,
сформулированной по методу
Галеркина. Представлены резуль-
таты вычислительного экспе-
римента.
© В.В. Скопецкий,
О.А. Марченко,
Т.А. Самойленко, 2009
ÓÄÊ 532.546:539.3
Â.Â. ÑÊÎÏÅÖÊÈÉ, Î.À. ÌÀÐ×ÅÍÊÎ, Ò.À. ÑÀÌÎÉËÅÍÊÎ
ÏÐÈÁËÈÆÅÍÍÎÅ ÐÅØÅÍÈÅ
ÄËß ÍÅËÈÍÅÉÍÎÉ
ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÎÉ ÌÎÄÅËÈ
ÔÈËÜÒÐÓÞÙÈÕ ÃÐÓÍÒÎÂ
Введение. Проблема математического моде-
лирования и исследования взаимосвязанных
процессов влагопереноса-фильтрации и уп-
ругой деформации в неоднородных по струк-
туре грунтовых массивах представляет собой
сложную математическую задачу, которая в
настоящее время не разрешает учитывать все
влияющие на деформацию грунта факторы,
заставляя вводить в математические модели
определенные допустимые ограничения [1–5].
В работе сформулирована дифференциальная
модель грунтового фильтрующего сооруже-
ния и предложен новый подход, при котором
рассмотрение вышеупомянутых физических
процессов сводится к решению задачи для
общего операторного уравнения; построен
алгоритм численного решения соответст-
вующей задачи. Учитывая неоднородность
структуры грунтового массива, последний
при постановке начально-краевой задачи за-
дается в виде области, являющейся объеди-
нением подобластей-пластов, в каждом из
которых рассматривается система уравнений
со своими физическими параметрами. На
участках контакта подобластей с необходимо-
стью задаются условия сопряжения, отра-
жающие реальные физические процессы на
этих участках в каждом конкретном случае.
В плоской постановке процесс описывает-
ся начально-краевой задачей для нелинейной
системы одного параболического уравнения
влагопереноса-фильтрации и двух гипербо-
лических уравнений теории упругости такого
вида:
В.В. СКОПЕЦКИЙ, О.А. МАРЧЕНКО, Т.А. САМОЙЛЕНКО
Компьютерная математика. 2009, № 1 50
( )
( )
2
2
( , ) ( , ),
( , ) ( , ), ( , ) , (0, ],
ф
T T
h div K h u grad h f x t
t
u Au h u grad h F x t x t T
t
∂⎧ − ⋅ =⎪ ∂⎪
⎨
∂⎪ρ − = − + ∈Ω Ω = Ω×
⎪ ∂⎩
(1)
где ( ) ,),(),,(),( 21
Ttxutxutxu = Txxx ),( 21= , 21 Ω∪Ω=Ω ; ),( uhKф – матри-
ца вида:
1
2
( , ) 0
( , ) ;
0 ( , )ф
k h u
K h u
k h u
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
A – оператор теории упругости:
( )
1 1 2
1 2 2
1 2
1 2
( , ) , ( , ) ;
x x x
T
x x x
τ
x x
Au h u x t
τ
x x
∂ ∂⎛ ⎞σ +⎜ ⎟∂ ∂⎜ ⎟= ∈Ω
∂ ∂⎜ ⎟+ σ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
1
1 2 1
1 2 1
( , ) 2 ( , ) ,x
u u uh u h u
x x x
⎛ ⎞∂ ∂ ∂
σ = λ + + μ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠
2
1 2 2
1 2 2
( , ) 2 ( , )x
u u u
h u h u ,
x x x
⎛ ⎞∂ ∂ ∂
σ = λ + + μ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠
1 2
1 2
2 1
( , )x x
u u
h u
x x
⎛ ⎞∂ ∂
τ = μ +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
;
компоненты матрицы ( , ),фK h u коэффициенты Ламе ( , ), ( , ),h u h uλ μ функция
),( txf и компоненты вектор-функции ( )1 2( , ) ( , ), ( , ) TF x t F x t F x t= имеют до-
статочную гладкость; const 0ρ = ≥ .
Краевые условия зададим таким образом:
3( , ) ( , ), ( , ) (0, ];h x t x t x t T= ϕ ∈Γ × (2)
1 1 2 2
1 2
cos( , ) cos( , ) 0,h hk n x k n x
x x
∂ ∂
+ =
∂ ∂
1 2 4( , ) ( ) (0, ];x t T∈ Γ Γ Γ ×∪ ∪ (3)
];,0(),(,0],,0(),(,0,0 21121 TtxuTtxuu ×Γ∈=×Γ∈== (4)
2 3 40, ( , ) (0, ], ( , ), ( , ), ( , ) ( ) (0, ],s n sx t T S x t T x t x t Tτ = ∈Γ × σ = τ = ∈ Γ Γ ×∪ (5)
ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ МОДЕЛИ…
Компьютерная математика. 2009, № 1 51
где ,n sσ τ – нормальная и касательная составляющие вектора напряжений,
4
1 2
1
Г \ ( )i
i=
= ∂Ω γ γ = Ω ∩Ω∪ .
Начальные условия:
Ω∈=
∂
∂
== xxqx
t
uxuxuxhxh ),(0)0,(),(0)0,(),(0)0,( . (6)
Неоднородные условия сопряжения неидеального контакта на участке со-
прикосновения грунтовых пластов 1 2γ = Ω ∩Ω [1, 3]:
,0),cos(),cos( 2
2
21
1
1 =⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
+
∂
∂ xn
x
hkxn
x
hk (7)
[ ],),(),cos(),cos( 2
2
21
1
1 huhrxn
x
hkxn
x
hk =
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
∂
∂
+
∂
∂
±
( , ) (0, ]x t T∈γ × ; (8)
[ ] ,0=nu (9)
[ ] 0,nσ = (10)
[ ] { } [ ]0, ( , ) , ( , ) (0, ],s s sR h u u x t T±τ = τ = ∈γ × (11)
где 0),(),,( ≥uhRuhr – параметры тонкого включения ,γ характеризующие его
водопроницаемость и прочность на сдвиг соответственно.
Здесь ϕ , S , T , 0h , 0u , 0q , r , R – заданные функции достаточной гладко-
сти; n – нормаль к отрезку γ , направленная в 2Ω .
Обозначим Z – множество вектор-функций Ttxutuhtxw )),(),,((),( = , ком-
поненты которых принадлежат пространству ],0()(1
2 TtW ∈∀Ω , а компоненты
их производных по времени )0,(],,0(),,(),,( 2
2
x
t
uTttx
t
utx
t
h
∂
∂
∈∀
∂
∂
∂
∂ вместе с ком-
понентами )0,(),0,( xuxh принадлежат )(2 ΩL .
Запишем систему (1) в операторном виде:
2
2 ( )( ) ( , ), ( , ) ,T
w wM M Lw w F x t x t
tt
∂ ∂
+ + = ∈Ω
∂∂
(12)
где
( )0 0 1 0
, , ,
0 0 0
фdiv K grad h
M M Lw
I Au grad h
−⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= = = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
10
01
I ,
( , )
( , ) .
( , )
f x t
F x t
F x t
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
Пусть множеству 0Z принадлежат вектор-функции Txqxpxz ))(),(()( = ,
))(),(()( 21 xqxqxq = , удовлетворяющие однородным главным краевым условиям
В.В. СКОПЕЦКИЙ, О.А. МАРЧЕНКО, Т.А. САМОЙЛЕНКО
Компьютерная математика. 2009, № 1 52
(2), (4), главному условию сопряжения (9), а их компоненты принадлежат про-
странству )(1
2 ΩW .
Умножив уравнение (12) скалярно в пространстве )(2 ΩL на вектор-
функцию 0Zz∈ , Tqpz ),(= , получаем:
2
0 02
, , (( )( ), ) ( , ) , ( , ) ,T
w wM z M z L w w z F z z Z x t
tt
⎛ ⎞∂ ∂⎛ ⎞+ + = ∀ ∈ ∈Ω⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠∂⎝ ⎠
(13)
где
2 22
1 2
1 22 2 2
, ,
u uwM z q q d
t t tΩ
⎛ ⎞⎛ ⎞ ∂ ∂∂
= ρ + Ω⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∫∫ ,w hM z pd
t t
Ω
⎛ ⎞∂ ∂
= Ω⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ∫∫ ,
,),(),;(),;()),)((( 210 qhFquwWphwWzwwL h++=
[ ] [ ]1 1 2
1 1 2 2
( ; , ) ( ) ( ) ( ) ,p ph hW w h p k w k w dΩ r w h p d
x x x x
Ω γ
⎛ ⎞∂ ∂∂ ∂
= + + γ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
∫∫ ∫
1 2 1 2 1 1 2 2
2
1 2 1 2 1 1 2 2
( ; , ) ( ) 2 ( )
u u q q u q u q
W w u q w w
x x x x x x x x
Ω
⎡ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= λ + + + μ + +⎢ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣
∫∫
[ ] [ ]1 2 1 2
2 1 2 1
( ) ( ) ,s s
u u q q
w d R w u q d
x x x x
γ
⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂
+μ + + Ω + γ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠⎦
∫
1 2
1 2
( , )h
h hF h q q q d
x x
Ω
⎛ ⎞∂ ∂
= + Ω⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
∫∫ ,
( )
3 4
1 1 2 2( , ) ( ) ( , ) ( , ) .n sF z fp F q F q d S x t q T x t q d
Ω Γ Γ
= + + Ω + + Γ∫∫ ∫
∪
Определение. Обобщенным решением задачи (1), (2)–(11), допускающей
разрыв в решении по пространственным переменным, называется вектор-
функция ,)),(),,((),( Ztxutxhtxw T ∈= которая удовлетворяет однородным
главным краевым условиям (2), (4), главным условиям сопряжения (9) и для лю-
бой вектор-функции 0))(),(()( Zxqxpxz T ∈= удовлетворяет равенству (13) и
следующим интегральным соотношениям:
( ) ( )0( ,0), ( ) ( ), ( ) ,w x z x w x z x= ( ) ,)(),()(),0,( 01 Zzxzxwxzx
t
w
∈∀=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂ (14)
где 0 0 0 1 0( ) ( ( ), ( )) , ( ) (0, ( ))T Tw x h x u x w x q x .= =
ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ МОДЕЛИ…
Компьютерная математика. 2009, № 1 53
Непрерывное по времени приближенное обобщенное решение будем искать
методом конечных элементов (МКЭ) в соответствующем конечно-измеримом
пространстве ZZ N ⊂ . Для этого разобъем область Ω на треугольные элементы
),1,,,,(
1
∪
I
i
jiii Ijijieeee
=
=≠∅=∩=Ω , которые удовлетворяют признаку «регу-
лярности».
Запишем произвольную функцию NN Ztxw ∈),( в виде:
1
( , ) ( ) ( ),
N
N
i i
i
w x t t x
′
=
= α Φ∑ (15)
где NN 3=′ – количество базисных функций, которые отвечают N узловым
точкам в разбиении области Ω с учетом всех узловых точек на границе облас-
ти; ( ), 1, ,i t i N ′α = – функции, интегрируемые вместе со второй производной на
[0,T]; N
ii x ′
=Φ 1)}({ – базис пространства N
tZ , который получается из NZ фикси-
рованием ],0[ Tt∈∀ . Компоненты данного базиса имеют вид
( ) ( ) ( )2 1 2, 0, 0 , 0, , 0 , 0, 0, , 1, ,T T T
i i N i i N i i i N+ − +Φ = ϕ Φ = ϕ Φ = ϕ =
где 1{ ( )}N
i ix =ϕ – совокупность линейно независимых функций, соответствующих
узловым точкам МКЭ, построенных на полных полиномах степени k (k = 1,2,3),
что допускают разрыв первого рода на γ и имеют в Ω ограниченный носитель.
Базис подпространства 00 ZZ N ⊂ аналогично состоит из N ′ вектор-
функций iΦ , соответствующих функциям ( ), 1,i x i Nϕ = , т. е. любая функция
NN Zxz 0)( ∈ может быть представлена в виде:
1
( ) ( ),
N
N
i i
i
z x x
′
=
= β Φ∑ (16)
где iβ – константы.
Приближенное обобщенное решение NN Ztxw ∈),( задачи (13), (14) удовле-
творяет следующим интегральным соотношениям:
2
02
, , (( )( ), ) ( , )
N N
N N N N N Nw wM z M z L w w z F z
tt
⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂
+ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂∂ ⎝ ⎠⎝ ⎠
],,0(,0 TtZz NN ∈∀∈∀ (17)
( ) ( )NNN zxwzxw ),(),0,( 0= , ( )1
( ,0) , ( ),
N
N Nw x z w x z
t
⎛ ⎞∂
=⎜ ⎟⎜ ⎟∂⎝ ⎠
NN Zz 0∈∀ . (18)
В.В. СКОПЕЦКИЙ, О.А. МАРЧЕНКО, Т.А. САМОЙЛЕНКО
Компьютерная математика. 2009, № 1 54
Полностью дискретное приближенное обобщенное решение задачи (13),
(14) будем искать путем приближенного решения задачи Коши (17)–(18). Пусть
T K= τ для некоторого целого 1≥K . Будем искать последовательность
{ } 0
( ) , ( ) ( , ).
Kk N k
tk
W x Z W x W x k
=
⊂ = τ
Определим следующие соотношения:
1 1/ 2 11 1( ), ( ), 0, 1.
2
k k k k k kW W W W W W k K+ + +
τ∂ = − = + = −
τ
(19)
Исходя из равенств (17)–(19), NN Zz 0∈∀ запишем интегральные соотношения
,),(),( 0
0 NN zwzW = ,),(),( 0
0 NN zqzQ = (20)
( ( ), ) ( ( ), )k N k NM Q z M W zτ τ∂ + ∂ +
1/ 2 1/ 2 1/ 2
0(( ( ))( ), ) ( , ),k k N k NL W W z F z+ + ++ = (21)
1 1/ 2 , 0, 1,k k kW W Q k K+ += + τ = − (22)
где
1 11 1
1 1
( ) ( ), ( ) ( ), 0, 1,
N N
k kk k
i i i i
i i
W x x Q x x k K
′ ′
+ ++ +
= =
= α Φ = γ Φ = −∑ ∑ (23)
{ } 0( ) N
i ix ′
=Φ – базис пространства N
tZ .
Легко показать, исходя из (15), (16), (23), что задача (20)–(22) соответству-
ет следующей схеме Кранка – Николсона:
0 0 0 0, ,W Qα = γ = (24)
2 1 2 1
1
2 4 2 2 4 2
k k k k
k kW W W WM M L M M L
+ +
+⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞τ τ + τ τ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + γ = − − γ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
( )
1
1 ,
2 2
k k
k k kW WL F F
+
+⎛ ⎞+ τ
−τ α + +⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
(25)
( )1 1 , 0, 1
2
k k k k k K+ +τ
α = α + γ + γ = − . (26)
Матрицы MM , и FRAL ++= имеют размерность NN ′×′ и структуру:
,
0
00
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
uM
M ,
00
0
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
= hM
M ,
0
0
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
h
h
A
A
A ,
0
0
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
h
h
R
R
R ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
0
00
hF
F . (27)
ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ МОДЕЛИ…
Компьютерная математика. 2009, № 1 55
Здесь
,}{ 1,
N
ji
ij
hh mM == N
ji
ij
hh aA 1,}{ == , N
ji
ij
hh rR 1,}{ == , (28)
1 2 1 2
1 1 2 2
, ( ) ( ) ,ij j jij i i
i jh hm d a k w k w dx dx
x x x x
Ω Ω
∂ϕ ∂ϕ⎡ ⎤∂ϕ ∂ϕ
= ϕ ϕ Ω = +⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦
∫∫ ∫∫
[ ]( ) , .ij
ij ij i jhr r w q d q
γ
⎡ ⎤= γ = ϕ ϕ⎣ ⎦∫
Матрицы жесткости uA )22( NN × и масс uM )22( NN × имеют следую-
щую структуру:
,}{,}{ 1,1,
N
jiiju
N
jiiju MMAA == == (29)
где ijij MA , – элементарные матрицы вида
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
=
ijij
ijij
ij
aa
aa
A
2221
1211 ,
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
=
ij
ij
ij
m
m
M
22
11
0
0
, ,,1,,1 NjNi ==
1 211
1 1 2 2
( ( ) 2 ( )) ( )j jij i ia w w w dx dx
x x x x
Ω
∂ϕ ∂ϕ⎡ ⎤∂ϕ ∂ϕ
= λ + μ + μ⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦
∫∫ ,
1 212
2 1 1 2
( ) ( )j jij i ia w w dx dx
x x x x
Ω
∂ϕ ∂ϕ⎛ ⎞∂ϕ ∂ϕ
= λ + μ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
∫∫ ,
1 221
1 2 2 1
( ) ( )j jij i ia w w dx dx
x x x x
Ω
∂ϕ ∂ϕ⎛ ⎞∂ϕ ∂ϕ
= λ + μ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
∫∫ ,
1 222
2 2 1 1
( ( ) 2 ( )) ( ) ;j jij i ia w w w dx dx
x x x x
Ω
∂ϕ ∂ϕ⎡ ⎤∂ϕ ∂ϕ
= λ + μ +μ⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦
∫∫
1 211 22
ij ij
i jm m dx dx
Ω
= = ρ ϕ ϕ∫∫ .
Матрица uR )22( NN × имеет структуру, аналогичную матрице uA , т. е.
,}{ 1,
N
jiiju RR == ,,1,,1,
2221
1211 NjNi
rr
rr
R ijij
ijij
ij ==⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
= (30)
2 2
0 0 0 011 12 21 22( ) , ( ) , ( ) ,ij ij ij ij
ij ij ijr R w m q d r r R w l m q d r R w l q d
γ γ γ
= γ = = γ = γ∫ ∫ ∫
где ),cos(),,cos( 2010 xnmxnl == , n – внешняя нормаль к участку контакта.
В.В. СКОПЕЦКИЙ, О.А. МАРЧЕНКО, Т.А. САМОЙЛЕНКО
Компьютерная математика. 2009, № 1 56
Матрица hF ( )2 NN × учета градиента напора имеет структуру:
,}{ ,1,2,1 NjNiijh FF === (31)
где ,
2
1
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
= ij
ij
ij
f
f
F 1 2
1 2
, ,ij iji i
j jf d f d
x x
Ω Ω
∂ϕ ∂ϕ
= ϕ Ω = ϕ Ω
∂ ∂∫∫ ∫∫ .,1,,1 NjNi ==
Векторы )(),(),(~ 00 NQNWNF ′′′ имеют структуру:
( )
( )
( )
1 2 1 1 2 2
1 2 1 2 1 2
1 1 2 20 0 0 1 2
0 0 0 0 0 0 0 0 01 2 1 2 1 2
1 1 2 20
0 0 0 0 0 01 2 1 2 1 2
( ) ( , ) , ,..., , , , , , , , ,
( ) ( ( ), ( )) , , , , , , , , , , ,
( ) 0,...,0, , , , , , , ,
TT N N N
TN NT N
TN N
F t f F f f f F F F F F F
W t H t U t h h h u u u u u u
Q t q q q q q q
= =
= =
=
…
… …
…
(32)
где
( , ) ( ) ,i
if f x t x d
Ω
= ϕ Ω∫∫
( )
3 4
0 0( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,i
i i iF F x t x d S x,t l x T x,t m x dν ν
Ω Γ Γ
= ϕ Ω + ϕ + ϕ Γ∫∫ ∫
∪
0 0
0 0
( ) ( ) ,
( ) ( ) , 1, 2, 1, ,
i
i
i
i
u u x x d
q q x x d i N
ν ν
Ω
ν ν
Ω
= ϕ Ω
= ϕ Ω ν = =
∫∫
∫∫
а ),,cos(),,cos( 2010 xnmxnl == n – внешняя нормаль к контуру.
Искомый вектор решения ( )N ′α задачи (24)–(26) на k -м временном слое,
,1,0 −= Kk имеет такую структуру:
( ) ( ( ), ( ))Tk h k u kt t tα = α α = 1 2( ( ), ( ),..., ( ),k k N kh t h t h t
11 21 1 212 22( ), ( ), ( ), ( ), , ( ), ( )) .N N
T
k k k k k ku t u t u t u t u t u t… (33)
Исходя из изложенной в (27)–(33) блочной структуры матриц и векторов,
схему Кранка – Николсона (24)–(26) для всей задачи (20)–(22) можем разложить
на две следующих схемы Кранка – Николсона, которые на каждом временном
шаге и на каждой итерации применяются последовательно:
0 0 ,h Hα =
1 1
1
2 2 2
k k k k
k
h h h h
W W W WM A R
+ +
+
⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞τ + +⎜ ⎟⎜ ⎟+ + α =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠
ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ МОДЕЛИ…
Компьютерная математика. 2009, № 1 57
( )
1 1
1 , 1, 1;
2 2 2 2
k k k k
k k k
h h h h
W W W WM A R f f k K
+ +
+
⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞τ + + τ⎜ ⎟⎜ ⎟= − + α + + = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠
0 0 0 0, ,u uU Qα = γ =
2 1 1
1
2 1 1
4 2 2
4 2 2
k k k k
k
u u u u
k k k k
k
u u u u
W W W WM A R
W W W WM A R
+ +
+
+ +
⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞τ + +⎜ ⎟⎜ ⎟+ + γ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠
⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞τ + +⎜ ⎟⎜ ⎟= − + γ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠
( )
11 1
1 ,
2 2 2 2
k kk k k k
k k kh h
u u u h
W W W WA R F F F
++ +
+
⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ α +α+ + τ⎜ ⎟⎜ ⎟−τ + α + τ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
( )1 1 , 1, 1.
2
k k k k
u u u u k K+ +τ
α = α + γ + γ = −
Модельный пример. В области ∈=ΩΩ=Ω ),{( 2121 xx∪
]}0.2;0.1[]0.2;0.1[ ×∈ система уравнений записывается соотношениями (1) с ко-
эффициентами фильтрации ),(,),( 21 uxkuxk , зависимыми от объемных дефор-
маций 2211 // xuxu ∂∂+∂∂=Θ , а именно:
( )1 1 2 2 2 2
1 2
1
5/(2 / / 5/ 4 ( 1) / ( 1,5))
( , ) ( , ) ;
b u x u x bx t b t x daek x u k x u
x t
∂ ∂ +∂ ∂ − − + − +
= =
+
1( ) ( ) , ;x x a a−λ = μ = ρ =
правая часть системы (1) имеет вид
( )
( )
];,(),(,1),(,0),(
,1))(5,1()5,1()5,1(),(
021
12
1
12
2
)5,1)((
2 21
k
dxtxb
tttxtxFtxF
txb
tx
txxbxaexatxf
×Ω∈==
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++
+
−+−
−−−= +−+
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
Ω∈=
Ω∈==
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
Ω∈=
Ω∈== −
+
−
+
,),(,1
,),(,2/1
,),(,/2ln
,),(,/2ln
121
221
121
221
2
xxb
xxbb
xxea
xxeaa
1 2 2 1 2 2
1 2 1 1 2 1
3ln 2, ( , ) , 2, ( , ) ,
2 ln 2, ( , ) , 1, ( , ) ;
c x x d x x
c d
c x x d x x
+ +
− −
⎧ ⎧= ∈Ω = ∈Ω⎪ ⎪= =⎨ ⎨
= ∈Ω = ∈Ω⎪ ⎪⎩ ⎩
краевые условия
1 2 1 2
2
1 1 2 1 2
( )( 1,5) , ( , , ) (0, ],
(0,1 ( 1,5) 0,5 ( 1)),
h a x t x c x x t T
u a x x x x t
= + − + ∈∂Ω×
= − + −
В.В. СКОПЕЦКИЙ, О.А. МАРЧЕНКО, Т.А. САМОЙЛЕНКО
Компьютерная математика. 2009, № 1 58
2
2 1 2 1 2 10,1 ( 1,5) , ( , , ) { \ } (0, ],u ax x x x t T= − ∈ ∂Ω Γ ×
1 2 2
2 2
1 2 1 1 2 1
0,8 ( 1,5) 0,5 ( 1),
0,1 0,1( 1,5) 0,5 ( 1), ( , , ) (0, ],
n
s
x x x t
x x x t x x t T
σ = − + −
τ = + − + − ∈Γ ×
=Γ1 )]0.2;0.2(),0.2;0.1[( ;
начальные условия
,),(,)5,1)((),,( 21201021 Ω∈+−+= xxcxtxatxxh
;,),(,0),,(,5,0),,(
,),(,)5,1(1,0),,(
,)5,05,0)5,1(1,0(),,(
021021
2
21021
1
21
2
210212
210212
2
10211
ttxxtxx
t
uxaxtxx
t
u
xxxaxtxxu
xxtxxxxatxxu
=Ω∈=
∂
∂
=
∂
∂
Ω∈−=
−+−=
условия сопряжения (7)–(11) на участке 1 2 [(1.0;1.5); (2.0;1.5)]γ = Ω ∩Ω = имеют
параметры .1
1
2,0
)1(2ln3
2,1 1
2
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
−−
==
t
x
e
eRr
Классическое решение задачи имеет вид
1 2 1 2
2
1 1 2 1 2 1 2 1 2
2
2 1 2 1 2 1 2
( , , ) ( )( 1,5) ,
( , , ) (0,1 0,5 0,5 ) ,
( , , ) 0,1 ( 1,5) , ( , , ) .T
h x x t a x t x c
u x x t a x x x x t x x
u x x t ax x x x t
= + − +
= + −
= − ∈Ω
Задача решена с шагом по времени 0, 01τ = на трех временных слоях. Ко-
личество узлов в разбиении МКЭ N=132, полуширина ленты ненулевых элемен-
тов матриц равняется 12.
Итерационный процесс на каждом временном слое заканчивался при вы-
полнении условия:
11,
max ,m m
k ki N
H H+=
− < ε , 1 ,1,
max m m
i k i ki N
U U+=
− < ε ,
где 610−ε = , i – номер компонента вектора решения; k – номер итерации на m-м
временном слое. Для достижения заданной точности на каждом временном слое
оказались необходимыми 6 итераций, максимальная относительная погрешность
не превысила 5,75 %.
Заключение. В результате представления системы, объединяющей диффе-
ренциальные уравнения различных типов, в виде одного операторного уравне-
ния, сформулирована соответствующая обобщенная задача, построен вычисли-
тельный алгоритм ее решения на основании метода конечных элементов.
ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ МОДЕЛИ…
Компьютерная математика. 2009, № 1 59
В.В. Скопецький, О.О. Марченко, Т.А. Самойленко
НАБЛИЖЕНИЙ РОЗВ’ЯЗОК ДЛЯ НЕЛІНІЙНОЇ
ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОЇ МОДЕЛІ ФІЛЬТРУЮЧИХ ГРУНТІВ
Розглянута початково-крайова задача для нелінійної системи одного параболічного рівняння
вологопереносу-фільтрації та двох гіперболічних рівнянь теорії пружності. Побудовано
алгоритм чисельного розв’язання відповідної узагальненої задачі, яка сформульована за
методом Гальоркіна. Наведено результати обчислювального експерименту.
V.V. Skopetsky, O.O. Marchenko, T.A. Samoilenko
APPROXIMATE SOLUTION FOR NONLINEAL DIFFERENTIAL MODEL OF FILTER SOILS
The initial-boundary value problem for nonlinear system of one parabolic moisture-transfer–
filtration equation and two hyperbolic elasticity equations are considered. The numerical solution
algorithm for respective generalized problem based on Galerkin method is obtained. Numerical
experiment results are presented.
1. Дейнека В.С., Сергиенко И.В., Скопецкий В.В. Модели и методы решения задач с
условиями сопряжения. – Киев: Наyк. думка, 1998. – 614 с.
2. Скопецкий В.В., Марченко О.А., Лежнина Н.А. Системный анализ объектов, нахо-
дящихся под влиянием взаимодействующих процессов // Кибернетика и системный
анализ. – 2001. – № 6. – С. 54–66.
3. Скопецкий В.В., Марченко О.А. Постановка и исследование задач для динамических
систем неоднородных двухфазных сред // Кибернетика и системный анализ. – 2005.
– № 6. – С. 87–102.
4. Скопецкий В.В., Марченко О.А., Самойленко Т.А. Приближенное решение нелиней-
ной системы уравнений для двухфазных сред // Кибернетика и системный анализ. –
2008. – № 4. – С. 524–536.
5. Марченко О.А., Благовещенская Т.Ю., Вусата Л.А. Информационная технология
расчета напряженно-деформированного состояния неоднородных водонасыщен-
ных грунтовых массивов, находящихся под нагрузкой // Компьютерная матема-
тика. – 2007. – № 2. – С. 39–50.
Получено 28.11.2008
Îá àâòîðàõ:
Скопецкий Василий Васильевич,
доктор физико-математических наук, член-корреспондент НАН Украины,
заведующий отделом Института кибернетики имени В.М. Глушкова НАН Украины,
Марченко Ольга Алексеевна,
кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник
Института кибернетики имени В.М. Глушкова НАН Украины,
Самойленко Татьяна Анатольевна,
кандидат физико-математических наук, научный сотрудник
Института кибернетики имени В.М. Глушкова НАН Украины.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-6229 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | ХХХХ-0003 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-24T16:13:12Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Скопецкий, В.В. Марченко, О.А. Самойленко, Т.А. 2010-02-19T15:00:20Z 2010-02-19T15:00:20Z 2009 Приближенное решение для нелинейной дифференциальной модели фильтрующих грунтов / В.В. Скопецкий, О.А. Марченко, Т.А. Самойленко // Компьютерная математика. — 2009. — № 1. — С. 49-59. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. ХХХХ-0003 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6229 532.546:539.3 Рассмотрена начально-краевая задача для нелинейной системы одного параболического уравнения влагопереноса-фильтрации и двух гиперболических уравнений теории упругости. Построен алгоритм численного решения соответствующей обобщенной задачи, сформулированной по методу Галеркина. Представлены результаты вычислительного эксперимента. Розглянута початково-крайова задача для нелінійної системи одного параболічного рівняння вологопереносу-фільтрації та двох гіперболічних рівнянь теорії пружності. Побудовано алгоритм чисельного розв’язання відповідної узагальненої задачі, яка сформульована за методом Гальоркіна. Наведено результати обчислювального експерименту. The initial-boundary value problem for nonlinear system of one parabolic moisture-transfer–filtration equation and two hyperbolic elasticity equations are considered. The numerical solution algorithm for respective generalized problem based on Galerkin method is obtained. Numerical experiment results are presented. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Информационные технологии в экологии Приближенное решение для нелинейной дифференциальной модели фильтрующих грунтов Наближений розв’язок для нелінійної диференціальної моделі фільтруючих грунтів Approximate solution for nonlineal differential model of filter soils Article published earlier |
| spellingShingle | Приближенное решение для нелинейной дифференциальной модели фильтрующих грунтов Скопецкий, В.В. Марченко, О.А. Самойленко, Т.А. Информационные технологии в экологии |
| title | Приближенное решение для нелинейной дифференциальной модели фильтрующих грунтов |
| title_alt | Наближений розв’язок для нелінійної диференціальної моделі фільтруючих грунтів Approximate solution for nonlineal differential model of filter soils |
| title_full | Приближенное решение для нелинейной дифференциальной модели фильтрующих грунтов |
| title_fullStr | Приближенное решение для нелинейной дифференциальной модели фильтрующих грунтов |
| title_full_unstemmed | Приближенное решение для нелинейной дифференциальной модели фильтрующих грунтов |
| title_short | Приближенное решение для нелинейной дифференциальной модели фильтрующих грунтов |
| title_sort | приближенное решение для нелинейной дифференциальной модели фильтрующих грунтов |
| topic | Информационные технологии в экологии |
| topic_facet | Информационные технологии в экологии |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6229 |
| work_keys_str_mv | AT skopeckiivv približennoerešeniedlânelineinoidifferencialʹnoimodelifilʹtruûŝihgruntov AT marčenkooa približennoerešeniedlânelineinoidifferencialʹnoimodelifilʹtruûŝihgruntov AT samoilenkota približennoerešeniedlânelineinoidifferencialʹnoimodelifilʹtruûŝihgruntov AT skopeckiivv nabliženiirozvâzokdlânelíníinoídiferencíalʹnoímodelífílʹtruûčihgruntív AT marčenkooa nabliženiirozvâzokdlânelíníinoídiferencíalʹnoímodelífílʹtruûčihgruntív AT samoilenkota nabliženiirozvâzokdlânelíníinoídiferencíalʹnoímodelífílʹtruûčihgruntív AT skopeckiivv approximatesolutionfornonlinealdifferentialmodeloffiltersoils AT marčenkooa approximatesolutionfornonlinealdifferentialmodeloffiltersoils AT samoilenkota approximatesolutionfornonlinealdifferentialmodeloffiltersoils |