Про існування розв'язків одного рівняння типу згортки
Saved in:
| Date: | 2008 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2008
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6230 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Про існування розв'язків одного рівняння типу згортки / В.М. Дiльний // Доп. НАН України. — 2008. — № 11. — С. 7-10. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859861142040477696 |
|---|---|
| author | Дільний, В.М. |
| author_facet | Дільний, В.М. |
| citation_txt | Про існування розв'язків одного рівняння типу згортки / В.М. Дiльний // Доп. НАН України. — 2008. — № 11. — С. 7-10. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| first_indexed | 2025-12-07T15:46:00Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
11 • 2008
МАТЕМАТИКА
УДК 517.968.2+517.5
© 2008
В.М. Дiльний
Про iснування розв’язкiв одного рiвняння типу згортки
(Представлено членом-кореспондентом НАН України М.Л. Горбачуком)
The complete solution of the existence problem of nontrivial solutions for the equation
∫
∂Dσ
f(w + τ)g(w) dw = 0, τ 6 0, in a class of functions f analytic in Dσ = {z : | Im z| <
< σ, Re z < 0} is obtained.
Задачу про iснування нетривiальних розв’язкiв рiвняння
0
∫
−∞
f(u + τ)g(u) dw = 0, τ 6 0, g ∈ L2(−∞; 0), (1)
у просторi L2(−∞; 0) розв’язав П. Лакс, адаптуючи один результат А. Берлiнга [1] для
круга. Цей результат можна сформулювати таким чином (див. [2]).
Теорема Берлiнга–Лакса. Нехай G ∈ H2(C+). Тодi еквiвалентними є такi тверд-
ження:
1) рiвняння (1) має лише нульовий розв’язок у просторi L2(−∞; 0);
2) функцiя G, де
G(z) =
1
i
√
2π
0
∫
−∞
g(u)euzdu,
не має нулiв у C+,
lim
x→+∞
ln |G(x)|
x
= 0
i сингулярна гранична функцiя функцiї G є тотожною сталою;
3) функцiя G є зовнiшньою для H2(C+).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №11 7
Сингулярна гранична функцiя h функцiї G ∈ Hp(C+) визначається з точнiстю до ади-
тивної сталої i значень у точках неперервностi рiвнiстю
h(t2) − h(t1) = lim
x→0+
t2
∫
t1
ln |G(x + iy)| dy −
t2
∫
t1
ln |G(iy)| dy. (2)
Функцiю G називають зовнiшньою для Hp(C+) тодi i тiльки тодi, коли
G(z) = eiα exp
{
1
π
+∞
∫
−∞
tz + i
(t + iz)(1 + t2)
ln |G(it)| dt
}
, α ∈ R, G ∈ Lp(∂C+).
Б. Винницький розглянув в [3] одне рiвняння згортки у пiвсмузi та одержав деякi ре-
зультати про iснування його розв’язкiв. Проте задача про знаходження повного аналогу
результату Берлiнга залишилася вiдкритою. У цiй роботi ми повнiстю розв’язуємо постав-
лену там задачу. Для формулювання одержаного результату введемо деякi простори.
Нехай Ep[Dσ ] i Ep
∗ [Dσ], 1 6 p < +∞, — простори функцiй, аналiтичних вiдповiдно
в Dσ = {z : | Im z| < σ, Re z < 0} та D∗
σ = C \ Dσ, для яких
sup
{
∫
γ
|f(z)|p|dz|
}1/p
< +∞,
де супремум береться за всiма вiдрiзками γ, якi лежать вiдповiдно в Dσ та D∗
σ i є паралель-
ними однiй зi сторiн ∂Dσ . Функцiї f iз цих просторiв мають [4] майже скрiзь на ∂Dσ кутовi
граничнi значення, якi позначаємо через f(z), i f ∈ Lp[∂Dσ ].
Розглянемо також простiр Hp
σ(C+), σ > 0, 1 6 p < +∞, функцiй, аналiтичних у пiв-
площинi C+, для яких
‖f‖ := sup
−π
2
<ϕ< π
2
{ +∞
∫
0
|f(reiϕ)|pe−prσ| sinϕ|dr
}1/p
< +∞.
Простiр Hp
σ(C+) вивчався в [4, 5]. Там, зокрема, показано, що функцiї f з цього простору ма-
ють майже скрiзь на ∂C+ кутовi граничнi значення, якi теж позначають через f(iy), причо-
му f(iy)e−σ|y| ∈ Lp(R). Сингулярна гранична функцiя функцiї G ∈ Hp
σ(C+) iснує [6, 7] i ви-
значається з точнiстю до адитивної сталої та значень у точках неперервностi рiвнiстю (2).
Також простори Hp
σ(C+), 1 6 p < +∞, є банаховими вiдносно вказаної норми. При цьому
у випадку σ = 0 маємо Hp
σ(C+) = Hp(C+) (див. [8]). Простiр Пелi–Вiнера цiлих функцiй
експоненцiального типу 6 σ, що належать L2(R), мiститься [9, c. 26; 10, c. 663] в Hp
σ(C+).
Вiдомо (див. [4]), що мiж просторами H2
σ(C+) i E2
∗ [Dσ ] iснує бiєкцiя, що задається кож-
ною з формул
G(z) =
1
i
√
2π
∫
∂Dσ
g(w)ezwdw
i
g(w) =
1√
2π
+∞
∫
0
G(x)e−xwdx, Rew > 0.
8 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №11
Теорема. Нехай g ∈ E2
∗ [Dσ], g 6≡ 0. Тодi еквiвалентними є такi умови:
1) рiвняння
∫
∂Dσ
f(w + τ)g(w) dw = 0, τ 6 0,
має лише нульовий розв’язок f ∈ E2[Dσ ];
2) функцiя G не має нулiв у C+, її сингулярна гранична функцiя є тотожною сталою
i виконується одна з еквiвалентних умов:
а) lim
r→+∞
(
KG(r) − σ
π
ln r
)
= −∞,
б) lim
r→+∞
(
KG(r) − σ
π
ln r
)
= −∞;
в) G(z) exp
(
2σ
π
z ln z − cz
)
6∈ Hp(C+) для кожного c ∈ R;
г) lim
x→+∞
(
ln |G(x)|
x
+
2σ
π
ln x
)
= +∞;
д) lim
x→+∞
(
ln |G(x)|
x
+
2σ
π
ln x
)
= +∞,
де
KG(r) =
1
2π
∫
1<|t|6r
(
1
t2
− 1
r2
)
ln |G(it)| dt.
Зазначимо, що еквiвалентнiсть мiж собою умов а–д встановлена в [11], а те, що з умови 1
випливає 2 при умовi a, встановлено в [12]. Доведення iнших частин проводиться шляхом
оцiнок деяких сум функцiй у просторах H2
σ(C+) та вiдповiдних їм сум у просторах g ∈
∈ E2
∗ [Dσ].
1. Beurling A. On two problems concerning linear transformations in Hilbert space // Acta Math. – 1949. –
81. – P. 79–93.
2. Никольский Н.К. Лекции об операторе сдвига. – Москва: Наука, 1980. – 383 с.
3. Винницький Б.В. Рiвняння згортки i кутовi граничнi значення аналiтичних функцiй // Доп. НАН
України. – 1995. – № 10. – С. 13–17.
4. Винницкий Б. В. О нулях функций, аналитических в полуплоскости, и полноте систем экспонент //
Укр. мат. журн. – 1994. – 46, № 5. – С. 484–500.
5. Винницький Б.В. Про нулi деяких класiв функцiй, аналiтичних у пiвплощинi // Мат. студiї. – 1996. –
№ 6. – С. 67–72.
6. Fedorov M.A., Grishin A. F. Some questions of the Nevanlinna theory for the complex half-plane // Math.
Physics, Anal. and Geom. – 1998. – 1. – P. 223–271.
7. Винницький Б. В., Дiльний В.М. Про необхiднi умови iснування розв’язкiв одного рiвняння типу
згортки // Мат. студiї. – 2001. – 16, № 1. – С. 61–70.
8. Седлецкий А.М. Эквивалентное определение пространств H
p в полуплоскости и некоторые прило-
жения // Мат. сб. – 1975. – 96, № 1. – С. 75–82.
9. Винер Н., Пели Р. Преобразование Фурье в комплексной области. – Москва: Наука, 1963. – 256 с.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №11 9
10. Левин Б.Я., Любарский Ю.И. Интерполяция целыми функциями специальных классов и связанные
с нею разложения в ряды экспонент // Изв. АН СССР. Сер. матем. – 1975. – 39, № 3. – С. 657–702.
11. Дiльний В.М. Про еквiвалентнiсть деяких умов для вагових просторiв Гардi // Укр. мат. журн. –
2006. – 58, № 9. – С. 1257–1263.
12. Винницкий Б. В., Дильный В.Н. Об обобщении теоремы Берлинга–Лакса // Мат. заметки. – 2006. –
79, № 3. – С. 362–368.
Надiйшло до редакцiї 16.04.2008Дрогобицький державний педагогiчний
унiверситет iм. Iвана Франка
УДК 517.956.4
© 2008
Н.Г. Коновенко, В.В. Лычагин
Дифференциальные инварианты нестандартных
проективных структур
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины В.В. Шарко)
We describe projective structures on a line in terms of solutions of the Schrödinger equation.
We give a detailed classification of projective geometrical quantities and find the algebras of
their differential invariants.
1. Проективные структуры и sl2-действия. Проективная структура на прямой R зада-
ется атласом, функции перехода в некотором суть проективные (=дробно-линейные) пре-
образования прямой [1]. Стандартная проективная структура индуцируется вложением R
в RP 1 как аффинной части. Алгебра Ли симметрий стандартной структуры изоморфна
sl2(R) и порождена векторными полями: A = ∂x, B = x2∂x, H = 2x∂x. C другой сторо-
ны, в силу теоремы Софуса Ли [2], любое представление ρ : sl2(R) → D(R) алгебры Ли sl2
в алгебре Ли D(R) векторных полей на R локально эквивалентно стандартному. Поэтому
проективную структуру можно рассматривать как представление ρ : sl2(R) → D(R). В даль-
нейшем мы обозначаем через A, B, H базис Шевалле в sl2(R), где [A,B] = H, [H,A] = −2A,
[H,B] = 2B, а также его образ в векторных полях при представлении ρ.
Теорема 1. Каждое представление sl2(R) в D(R) имеет вид
A = ±f2(x)∂x, B = ±g2(x)∂x, H = 2f(x)g(x)∂x, (1)
где f(x) и g(x) — фундаментальная система решений уравнения Шредингера
y′′ + W (x)y = 0
c вронскианом, равным единице, f(x)g′(x) − f ′(x)g(x) = 1.
Отметим, что представления (1), отвечающие разному выбору знаков, эквивалентны
и переводятся друг в друга преобразованием: x 7→ −x, f 7→ −f , g 7→ g.
В дальнейшем мы рассматриваем только представления (1), отвечающее +, и обозна-
чаем их через ρW
f,g, соответствующую проективную структуру мы обозначаем через ImW .
10 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №11
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-6230 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:46:00Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Дільний, В.М. 2010-02-19T15:04:07Z 2010-02-19T15:04:07Z 2008 Про існування розв'язків одного рівняння типу згортки / В.М. Дiльний // Доп. НАН України. — 2008. — № 11. — С. 7-10. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6230 517.968.2+517.5 uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Математика Про існування розв'язків одного рівняння типу згортки Article published earlier |
| spellingShingle | Про існування розв'язків одного рівняння типу згортки Дільний, В.М. Математика |
| title | Про існування розв'язків одного рівняння типу згортки |
| title_full | Про існування розв'язків одного рівняння типу згортки |
| title_fullStr | Про існування розв'язків одного рівняння типу згортки |
| title_full_unstemmed | Про існування розв'язків одного рівняння типу згортки |
| title_short | Про існування розв'язків одного рівняння типу згортки |
| title_sort | про існування розв'язків одного рівняння типу згортки |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6230 |
| work_keys_str_mv | AT dílʹniivm proísnuvannârozvâzkívodnogorívnânnâtipuzgortki |