Развитие метода разностных уравнений для анализа переходных процессов в цепях электроразрядных установок при стохастическом изменении сопротивления нагрузки
Целью работы являлось развитие метода разностных уравнений для расчета переходных процессов в цепях электроразрядных установок, электрическое сопротивление которых изменяется случайным образом. Метою роботи був розвиток методу різницевих рівнянь для розрахунку перехідних процесів у колах електророзр...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Технічна електродинаміка |
|---|---|
| Дата: | 2013 |
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут електродинаміки НАН України
2013
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/62302 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Развитие метода разностных уравнений для анализа переходных процессов в цепях электроразрядных установок при стохастическом изменении сопротивления нагрузки / А.А. Щерба, Д.С. Иващенко, Н.И. Супруновская // Технічна електродинаміка. — 2013. — № 3. — С. 3-11 . — Бібліогр.: 11 назв. — pос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859682154602037248 |
|---|---|
| author | Щерба, А.А. Иващенко, Д.С. Супруновская, Н.И. |
| author_facet | Щерба, А.А. Иващенко, Д.С. Супруновская, Н.И. |
| citation_txt | Развитие метода разностных уравнений для анализа переходных процессов в цепях электроразрядных установок при стохастическом изменении сопротивления нагрузки / А.А. Щерба, Д.С. Иващенко, Н.И. Супруновская // Технічна електродинаміка. — 2013. — № 3. — С. 3-11 . — Бібліогр.: 11 назв. — pос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Технічна електродинаміка |
| description | Целью работы являлось развитие метода разностных уравнений для расчета переходных процессов в цепях электроразрядных установок, электрическое сопротивление которых изменяется случайным образом.
Метою роботи був розвиток методу різницевих рівнянь для розрахунку перехідних процесів у колах електророзрядних установок, електричний опір яких змінюється випадковим чином.
The objective of work was the development of the method of difference equations for the calculation of transients in circuits of electro-discharging systems with stochastically changing electrical resistance
|
| first_indexed | 2025-11-30T20:28:36Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2013. № 3 3
ТЕОРЕТИЧНА ЕЛЕКТРОТЕХНІКА ТА ЕЛЕКТРОФІЗИКА
УДК 621.3.011
РАЗВИТИЕ МЕТОДА РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ АНАЛИЗА
ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЦЕПЯХ ЭЛЕКТРОРАЗРЯДНЫХ УСТАНОВОК
ПРИ СТОХАСТИЧЕСКОМ ИЗМЕНЕНИИ СОПРОТИВЛЕНИЯ НАГРУЗКИ
А.А.Щерба, чл.-корр. НАН Украины, Д.С.Иващенко, Супруновская Н.И., канд.техн.наук
Институт электродинамики НАН Украины,
пр. Победы, 56, Киев-57, 03680, Украина.
e-mail: sh1ch@ied.org.ua
Целью работы являлось развитие метода разностных уравнений для расчета переходных процессов в цепях
электроразрядных установок, электрическое сопротивление которых изменяется случайным образом. Для дос-
тижения цели изменение состояния цепи представлено в виде дискретного случайного процесса; исследованы
случайные изменения структуры цепи; характеристики случайных изменений структуры цепи представлены в
виде параметров динамической системы; проведен анализ цепи методом разностных уравнений с применением
вероятностных оценок электрических характеристик цепи. В качестве примера исследованы переходные про-
цессы в цепях формирователя разрядных импульсов установки электроискрового диспергирования. Выполнен
анализ повторяющихся взаимосвязанных переходных процессов заряда накопительного конденсатора и его раз-
ряда на искровую нагрузку, сопротивление которой изменяется случайным образом. В работе принято допуще-
ние, что все элементы цепи линейны, а изменение ее структуры описывается вероятностным законом. В ре-
зультате исследований предложен подход к анализу взаимосвязанных переходных процессов, протекающих в це-
пях со стохастически изменяющимися параметрами. Подход ориентирован на анализ режимов, которые могут
возникать при стохастических изменениях структуры кусочно-линейной цепи. Библ. 10, рис. 4.
Ключевые слова: метод разностных уравнений, цепи с изменяющейся структурой, случайный процесс.
Введение. Одной из важных научных задач, возникающих при анализе электрических цепей,
является расчет сложных переходных процессов, состоящих из циклически повторяющихся последо-
вательностей взаимосвязанных переходных процессов. Взаимосвязь процессов состоит в том, что
электрические параметры цепи в момент завершения текущего процесса определяют начальные ус-
ловия следующего переходного процесса. Под цикличностью подразумевается такое повторение по-
следовательности процессов, при котором последний процесс оказывает влияние на начальные усло-
вия первого процесса последовательности. Подобные процессы могут наблюдаться в электрических
схемах с периодически изменяемой структурой. Причем на практике могут возникать задачи, требу-
ющие анализа переходных процессов в электрических цепях, изменение структуры которых проис-
ходит случайным образом [8, 9].
Анализ подобных процессов возникает при исследовании нестабильности режимов работы
электроразрядных установок [7, 9], аккумулятора и суперконденсатора в электромобилях [11] и дру-
гих электроимпульсных системах [8].
При определенных условиях существующие методы позволяют аналитически рассчитать от-
дельные переходные процессы из последовательности взаимосвязанных переходных процессов.
Анализ отдельных переходных процессов не позволяет в общем виде описать закон измене-
ния состояния рассматриваемой системы связанных процессов, он лишь дает возможность последо-
вательного расчета одного процесса за другим. Для расчета всей последовательности взаимосвязан-
ных переходных процессов как единого сложного процесса может быть использован метод разност-
ных уравнений, особенности применения которого в электротехнике описаны в работах [1, 3, 6].
В основе данного метода лежит представление электрической цепи в виде динамической сис-
темы, состояние которой определенным образом меняется при переходе от одного переходного про-
цесса к другому. Суть метода состоит в составлении и решении разностного уравнения, которое
строится путем получения аналитического выражения, связывающего значение функции состояния
(т.е. начальных условий одного из процессов) на текущем цикле повторения переходных процессов
со значением этой же функции на следующем или предыдущем цикле [1, 3].
© Щерба А.А., Иващенко Д.С., Супруновская Н.И., 2013
4 ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2013. № 3
Метод разностных уравнений позволяет анализировать переходные процессы, возникающие в
линейных цепях с изменяющейся структурой. Но в общем случае такой метод применим только при
детерминированном и циклически повторяющемся изменении структуры цепи. Он не позволяет ана-
лизировать процессы, протекающие при стохастическом изменении параметров цепи. В то же время в
основе этого метода лежит использование аппарата динамических систем [3, 6]: представление элек-
трической цепи в виде динамической системы, состояние которой определенным образом меняется
при переходе от одного переходного процесса к другому. В таких науках, как математическое моде-
лирование, теория вероятностей, теория автоматического управления и теория надежности были по-
лучены результаты, позволяющие анализировать динамические системы со стохастическими свойст-
вами [2, 4]. Полученные результаты могут быть использованы для расширения области применения
метода разностных уравнений в теоретической электротехнике по сравнению с той, которая уже име-
ется [1, 3, 6].
Поэтому целью данной работы являлось развитие метода разностных уравнений для расчета
переходных процессов в цепях электроразрядных установок, электрическое сопротивление которых
может изменяться случайным образом.
Постановка задачи. Для достижения поставленной цели были приняты допущения: процесс
изменения состояния цепи представлен в виде дискретного случайного процесса; характеристики
случайного процесса изменения структуры цепи представлены в качестве параметров динамической
системы; для получения вероятностных оценок электрических характеристик цепи ее анализ прово-
дился классическим методом разностных уравнений.
В данной работе рассмотрен частный случай: в последовательности изменений структуры це-
пи существует лишь одно ее изменение, подчиненное вероятностному закону, и оно может происхо-
дить по одному из двух альтернативных вариантов с вероятностями p и q = 1 – p (рис. 1).
После проведения анализа этого частного
случая полученный результат может быть обобщен
на случай, в котором присутствует более чем одно
стохастическое изменение структуры цепи с более
чем двумя альтернативами за один цикл повторения
переходных процессов.
Основная идея предлагаемого подхода состо-
ит в том, что стохастическое изменение структуры ли-
нейной цепи представляется в виде случайного про-
цесса, проводится оценка характеристик данного слу-
чайного процесса (определяется математическое ожи-
дание и наиболее вероятный диапазон изменения
мгновенных значений процесса), и затем выполняются
вероятностные оценки электрических характеристик
цепи с помощью метода разностных уравнений.
Предлагаемый подход состоит из следующих этапов.
1. Представление стохастического изменения структуры цепи как стационарного дискретного
случайного процесса, мгновенными значениями которого являются геометрически распределенные
случайные величины – "количество наступлений более вероятных изменений структуры цепи между
двумя соседними наступлениями менее вероятного изменения структуры цепи".
2. Определение математического ожидания случайного процесса изменения структуры цепи, а так-
же оценки с заданной долей вероятности диапазона изменения мгновенных значений случайного процесса.
3. Использование метода разностных уравнений для анализа переходных процессов на промежутке
времени, соответствующему конкретному значению дискретного случайного процесса. В качестве парамет-
ра полученных выражений выступает величина мгновенного значения случайного процесса.
4. Повторного использования метода разностных уравнений для "сшивки" результатов, полу-
ченных для отдельных мгновенных значений случайного процесса изменения структуры цепи и ана-
лиза переходных процессов на всей длительности случайного процесса.
5. Использование полученных ранее значений математического ожидания случайного процес-
са и границ диапазонов наиболее вероятных изменений мгновенных значений случайного процесса в
качестве параметра в выражении для электрических характеристик с целью получения их вероятност-
ных оценок.
Переходной
процесс А
Переходной
процесс B
Переходной
процесс C
Рис. 1
ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2013. № 3 5
Выполнение указанных этапов позволяет получить аналитические выражения для наиболее
вероятных значений электрических характеристик, а также выражения для диапазона их варьирова-
ния с заданной вероятностью.
Представление стохастического изменения структуры цепи в виде дискретного случай-
ного процесса. Пусть в рассматриваемой последовательности изменений структуры цепи один из
переходов является стохастическим с двумя альтернативными вариантами. Например, на рис. 1 пока-
зан переход от процесса А к процессу В с вероятностью p и переход от процесса А к процессу С с ве-
роятностью q =1 – p.
Не нарушая общности, можно считать, что q ≥ p, т.е. цепочка процессов А–С (после процесса
А следует процесс С без процесса В) протекает с большей либо равной вероятностью, чем цепочка
процессов А–В. Далее для удобства будем рассматривать цепочку из двух последовательных процес-
сов как один элементарный процесс, т.е. будем говорить о процессах А–В и А–С.
Введем в рассмотрение случайный процесс NA–C (n), где n – номер цикла изменения структуры
цепи. В качестве мгновенного значения рассматриваемого случайного процесса изменения структуры
цепи примем случайную величину NA–C – "количество процессов А–С до очередного наступления
процесса А–В". Представление последовательности изменений структуры цепи в виде случайного
процесса показано на рис. 2.
Как только наступит процесс А–В,
необходимо перейти к рассмотрению
следующей случайной величины – "ко-
личеству процессов А–С до наступления
следующего процесса А–В". Данная слу-
чайная величина будет следующим
мгновенным значением случайного про-
цесса изменения структуры цепи.
Определение характеристик
случайного процесса изменения струк-
туры цепи. Циклический процесс изме-
нения структуры цепи можно представить
в ви-де последовательности испытаний
Бернулли, где в результате каждого из ис-
пытаний возникает одно из двух несов-
местных событий: либо процесс А–В с ве-
роятностью p, либо процесс А–С с вероят-
ностью q=1–p [2]. Рассмотрим бесконеч-
ную последовательность независимых случайных величин с распределением Бернулли X1, … , Xn, ... :
1, , если на -м испытании наступил процесс -
1,2,...
0, 1- , если на -м испытании наступил процесс - ,
⎧
= =⎨ ≡⎩
i
p i A B
X i
q p i А С
(1)
Количество подряд идущих процессов А–С до наступления очередного процесса А–В опреде-
ляется следующим выражением:
{ } 11 −==− iCA X,iminN . (2)
Исходя из выражения (2), случайная величина NA–C ("количество процессов А–С до наступле-
ния очередного процесса А–В") по определению имеет геометрическое распределение с параметрами
p и q. Тогда функция распределения случайной величины NA–C
n
N q)n(F
CA
−=
−
1 . (3)
Математическое ожидание ( ср
CAn − )
[ ]ср
A C A Cn M N q p− −= = . (4)
Построим доверительный интервал min max;A C A Cn n− −⎡ ⎤⎣ ⎦ , в который реализации случайной величины
NA–C попадают с заданной вероятностью δ. Определив данный доверительный интервал и воспользо-
вавшись методом разностных уравнений, можно получить доверительные интервалы для электриче-
ских характеристик. Целесообразно строить доверительный интервал min max;A C A Cn n− −⎡ ⎤⎣ ⎦ для величины NA–C
П
ро
це
сс
А
-B
1 2 3 4 1 2 3 4 5
Процессы А-C Процессы А-C
Вероятность
П
ро
це
сс
А
-B
П
ро
це
сс
А
-B
Время(1)A CN − (2)A CN −
n
5
4
2
( )A CN n−
1
Рис. 2
6 ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2013. № 3
"симметричным" относительно математического ожидания, т.е. вероятность попадания реализации
случайной величины NA–C в участок интервала, превышающий [ ]CANM − , должна быть равной вероят-
ности попадания в участок интервала не превышающий [ ]CANM −
[ ] [ ]min max( ) ( ) 2A C A C A C A C A C A CP n N M N P M N N n− − − − − −< ≤ = < ≤ = δ . (5)
Используя соотношения (3) и (5), можно получить выражения для расчета границ довери-
тельного интервала случайной величины NA–C (обозначенных квадратными скобками ⎡ ⎤ и ⎣ ⎦ соот-
ветствующими округлению до ближайшего большего целого и ближайшего меньшего целого, так как
они по определению могут принимать только целые значения)
( )⎡ ⎤pq
qCA qn +=− 2logmin δ , (6)
( )⎣ ⎦2logmax δ−=−
pq
qCA qn . (7)
Анализ последовательности переходных процессов с помощью метода разностных урав-
нений. Метод разностных уравнений позволяет анализировать последовательности циклически по-
вторяющихся взаимосвязанных переходных процессов с ненулевыми начальными условиями на ос-
нове использования математической абстракции динамических систем и аппарата разностных урав-
нений. В наиболее общем приближении метод разностных уравнений состоит из выполнения сле-
дующей последовательности шагов.
1. Представление каждого переходного процесса в виде динамической системы.
2. Описание поведения полученных динамических систем с помощью аппарата разностных
уравнений, решение полученных уравнений.
3. Решение полученных разностных уравнений.
Полученные уравнения состояния общей системы переходных процессов, как правило, явля-
ются линейными неоднородными. Их решение возможно с помощью известных методов [4].
В основе применения метода разностных уравнений для решения задачи вероятностного ана-
лиза последовательности переходных процессов лежит следующая идея: необходимо получить ана-
литические зависимости для электрических характеристик цепи от параметра NA–C – "количества про-
цессов A C− между двумя соседними наступлениями процесса A B− ". Затем, подставив в получен-
ную зависимость вместо параметра NA–C вероятностные оценки ср
CAn − (4), min
CAn − (6) и max
CAn − (7), полу-
чить вероятностные оценки электрических характеристик цепи.
Применение данного подхода к анализу переходных процессов в цепях электроразряд-
ных установок при стохастическом изменении сопротивления нагрузки. На рис. 3 показана элек-
трическая схема замещения одной из таких установок, в которой напряжения зарядки и разрядки кон-
денсатора C зависят от ненулевых начальных условий по напряжению.
1. Колебательный заряд конденсатора (тиристорный ключ VT1 замкнут, а VT2 − разомкнут) [5]
aзар e)UE(E)U(U −⋅−+= 0
зар
0
зар , (8)
где зарU – напряжение зарядки конденса-
тора, зар
0U – начальное ненулевое напря-
жение на конденсаторе при его зарядке, Е –
напряжение на выходе формирователя по-
стоянного напряжения (ФПН),
24 1зарa Q= π − , 1
1 1зарQ R L C−= –
добротность зарядной цепи, L1, R1 – значе-
ния соответственно индуктивности и активного сопротивления зарядной цепи, С – величина емкости
конденсатора.
2. Разряд конденсатора в искровом режиме (ключи VT2 и К1 замкнуты, ключи VT1 и К2 ра-
зомкнуты) [7, 9, 10]
beU)U(U −⋅−= ир
0
ир
0
ир , (9)
Рис. 3
ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2013. № 3 7
где ир
0U и ирU – соответственно напряжение на конденсаторе до и после его разряда в искровом ре-
жиме, 2
и р4 1b Q= π − , ( ) ( )ир
1
ир ш ир ш 2Q R R R R L C
−
= + ⋅ ⋅ – добротность разрядной цепи в
искровом режиме разряда, L2, Rир, Rш – соответственно значения индуктивности разрядной цепи, ак-
тивного сопротивления нагрузки в искровом режиме и активного сопротивления, шунтирующего эту
нагрузку.
3. Холостой разряд (слаботочный длительный разряд без искрений в нагрузке [8]) конденса-
тора (ключи VT2 и К2 замкнуты, ключи VT1 и К1 разомкнуты) [7, 9, 10]
сeU)U(U −⋅−= хр
0
хр
0
хр , (10)
где хр
0U и хрU – соответственно напряжение на конденсаторе до и после его разряда в холостом ре-
жиме, 2
х р4 1c Q= π − , ( ) ( ) 1
хр хр ш хр ш 2Q R R R R L C−= + ⋅ ⋅ – добротность разрядного контура в
режиме холостого разряда, Rхр – сопротивление нагрузки в холостом режиме.
Определим наиболее вероятное значение напряжения на конденсаторе в квазиустановившем-
ся режиме работы установки, а также диапазон, в котором может изменяться напряжение на конден-
саторе с заданной вероятностью.
Переходные процессы заряда и разряда конденсатора С в схеме, представленной на рис. 3, по-
вторяются следующим образом: при включении тиристорного вентиля VT1 от источника постоянного
напряжения Е начинается колебательный заряд конденсатора C через зарядный дроссель L1 и рези-
стор R1. При появлении максимального напряжения на конденсаторе ток в контуре станет равным
нулю и тиристор VT1 выключится. Через некоторое время включается тиристор VT2, и начинается ко-
лебательный разряд конденсатора через зарядный дроссель L2 на нагрузку, представленную сопро-
тивлениями Rир (Rхр), и шунт Rш.
Разряд конденсатора может протекать в одном из двух режимов: режиме искрового разряда
(сопротивление нагрузки равно Rир) и режиме холостого разряда (сопротивление нагрузки равно Rхр).
После перезаряда конденсатора тиристор VT2 выключится. Затем процессы циклически повторяются.
В рамках данной работы приняты следующие допущения: сопротивление нагрузки Rн являет-
ся линейным в пределах каждого процесса разряда конденсатора, однако от одного разрядного цикла
к другому Rн может скачкообразно меняться по заданному вероятностному закону
хр
н
ир
, с вероятностью
, с вероятностью 1
R p
R
R q p
⎧⎪= ⎨ = −⎪⎩
. (11)
Для данного примера будут получены общие аналитические выражения для исследуемых ха-
рактеристик цепи, однако для определенности будут рассмотрены также конкретные значения для
вероятностного распределения сопротивления нагрузки: p=0,1, q=0,9, Rир=0,2 Ом, Rхр=3 Ом,
Е =100 В, L1=100 мкГн, R1=0,5 Ом, С=100 мкФ, L2 =2,5 мкГн, Rш =0,33 Ом.
При решении такой задачи будем пошагово применять предложенный подход.
1. Представим изменение структуры цепи в виде дискретного случайного процесса.
Для удобства обозначим процесс заряда конденсатора как процесс А, процесс холостого раз-
ряда конденсатора – В, процесс искрового разряда конденсатора – С (рис. 1). Рассмотрим случайный
процесс )n(N CA− , в котором мгновенными значениями являются случайные величины NA–C –"ко-
личество процессов А–С между двумя соседними во времени наступлениями процесса А–В".
2. Определим математическое ожидание случайного процесса изменения структуры цепи и с
заданной долей вероятности диапазон изменения мгновенных значений случайного процесса.
Для определения данных вероятностных характеристик могут быть использованы выражения
(4), (6) и (7).
3. Используем метод разностных уравнений для анализа переходных процессов на промежут-
ке времени, соответствующем конкретному значению дискретного случайного процесса.
Составим разностное уравнение относительно напряжения разряда конденсатора, подставив в
формулу напряжения разряда (9) выражение для напряжения заряда (8) вместо ир
0U ,
)e(eEeUU ab)ba(
nn
−−+−
+ +⋅⋅−⋅= 1ирир
1 , ∞= ,n 0 . (12)
8 ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2013. № 3
Пусть начальное напряжение на конденсаторе U0. Тогда, решив разностное уравнение, полу-
чим выражение для напряжения на конденсаторе после последнего разряда в последовательности
процессов А–С (заряды конденсатора с последующими искровыми разрядами) [9]
11 ирир
0ир0
ир
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −⋅
−
+
⋅−⋅= +−
−
−
+− n)ba(
ab
an)ba( e
ee
eEeU)n,U(U , (13)
где nир – количество подряд идущих процессов заряда конденсатора с последующими искровыми
разрядами.
На данном этапе были проанализированы переходные процессы в рамках одного мгновенного
значения стохастического процесса изменения структуры цепи.
4. Повторно используя метод разностных уравнений, произвести "сшивку" результатов, полу-
ченных для отдельных мгновенных значений случайного процесса изменения структуры цепи, с це-
лью получения результата анализа переходных процессов по всей длительности случайного процесса.
Общая последовательность процессов, протекающих в цепи, состоит из следующих этапов:
колебательный заряд конденсатора, холостой разряд конденсатора, последовательность процессов
заряда конденсатора с последующим разрядом на искровую нагрузку.
Зависимость напряжения разряда конденсатора в режиме холостого разряда от начального
напряжения в цепи ФРИ с шунтированием была описана ранее (3).
Составим разностное уравнение относительно напряжения разряда конденсатора по окончании
последовательности искровых разрядов, выполнив рекурсивную подстановку формул (1), (3) и (13)
)n(f)n(dUU nn ирир
ирир
1 +⋅=+ , (14)
где ир( ) ( )
ир( ) na c a bd n e e− + − += , ( ) ( ) ( )( )ир ир( ) ( )
ир( ) 1 1 n na c a b a b b af n E e e e e e e− − − + − + −= − + + − − .
Решение разностного уравнения
( ) ( )( )хрхр
ир
ир
ир
ир0ирхр0
ир 1
1
nn )n(d
)n(d
)n(f
)n(dU)n,n,U(U −⋅
−
+⋅= , (15)
где nхр – количество рассматриваемых циклов переходных процессов (под циклом подразумевается по-
следовательность искровых процессов (заряды и искровые разряды) + один заряд с холостым разрядом).
Выражение (15) отражает зависимость напряжения на конденсаторе Uир в момент завершения
последнего искрового разряда конденсатора в цепочке взаимосвязанных переходных процессов.
На основе выражений (8), (10) и (15) может быть получено соотношение для напряжения на
конденсаторе в момент завершения холостого разряда конденсатора Uхр после nхр цепочек рассмот-
ренных переходных процессов
( ) ( ) ( )( ) 1
1
1 хрхр
ир
ир
ир
ир0ирхр0
хр
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−⋅
−
+⋅⋅+⋅+⋅−= +−−− nn)ca(ca )n(d
)n(d
)n(f
)n(dUeeeE)n,n,U(U . (16)
В случае, когда количество повторений цепочки переходных процессов nхр стремится к бес-
конечности, наступает квазиустановившийся режим. Выражение для напряжения в момент заверше-
ния последнего искрового разряда конденсатора в цепочке взаимосвязанных переходных процессов в
квазиустановившемся режиме может быть получено, исходя из соотношения (15)
( ) ( ) ( )( )
)n(d
)n(f
)n(d
)n(d
)n(f
)n(dUlimnU nn
nlim
ир
ир
ир
ир
ир
ир0ир
ир
1
1
1
хрхр
хр −
=⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−⋅
−
+⋅=
∞→
. (17)
Аналогичным образом соотношение для напряжения на конденсаторе в момент завершения
холостого разряда конденсатора в квазиустановившемся режиме
( )
)n(d
)n(f
eeE)n(U aa
lim
ир
ир
ир
хр
1
1
−
⋅−+⋅= −− . (18)
5. Подставляя полученные значения математического ожидания случайного процесса и гра-
ницы диапазона наиболее вероятного изменения мгновенных значений случайного процесса в каче-
стве параметров в выражения для электрических характеристик, получить их вероятностные оценки.
Для того чтобы оценить среднее напряжение на конденсаторе на момент завершения искро-
вых разрядов в квазиустановившемся режиме, необходимо в качестве параметра nир в выражение (17)
ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2013. № 3 9
для ир
ирlim ( )U n подставить целую часть от оценки математического ожидания случайной величины
NA–C (4)
[ ] [ ] [ ]( )ир ир
lim ( ) ( ) 1 ( ) . срU U q p f q p d q p= = − (19)
Среднее напряжение на конденсаторе на момент завершения холостого разряда в квазиуста-
новившемся режиме после аналогичной подстановки целой части от (4) в выражение (18) определит-
ся как
[ ] ( ) [ ] [ ]( )хр ср хр a a
limU U ( q p ) E 1 e e f ( q p ) 1 d( q p ) .− −= = ⋅ + − ⋅ − (20)
Зная математические ожидания напряжения конденсатора в моменты завершения искровых и
холостых разрядов, можно приближенно определить математическое ожидание напряжения разряда
конденсатора в целом по всему циклу взаимосвязанных переходных процессов в квазиустановив-
шемся режиме
( ) ( )ир хр
ир ир 1 .ср срсрU U n U n≈ ⋅ + + (21)
Далее оценим диапазон изменения напряжения разряда на конденсаторе.
Проведенные исследования показали, что напряжение разряда конденсатора тем больше по
модулю, чем реже встречаются холостые разряды конденсатора. Уменьшение количества холостых
разрядов конденсатора можно представить как увеличение параметра nир – количества искровых раз-
рядов между двумя соседними холостыми разрядами конденсатора.
Для определения максимального по модулю напряжения разряда конденсатора maxU необхо-
димо в выражение (17) для ир
ирlim ( )U n вместо параметра nир подставить max
A Cn − – верхнюю границу дове-
рительного интервала случайной величины NA–C с заданной вероятностью δ из формулы (7)
( ) ( )( )max log ( 2) 1 log ( 2)q p q p
q qU f q d q⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − δ − − δ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ . (22)
Аналогично определяется минимальное по модулю напряжение разряда конденсатора minU
(подстановкой (6) в (17))
( ) ( )( )min log ( 2 ) 1 log ( 2 )q p q p
q qU f q d qδ δ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ . (23)
Подставив в выведенные соотношения (21−23) численные значения параметров цепи и прини-
мая δ = 0,9, получим: minU = – 0,0281 В, срU = – 38,2795 В, maxU = – 42,5325 В.
Из рис. 4 видно, что полученные ана-
литически оценки напряжения на конденса-
торе соответствуют результатам, получен-
ным в результате численного эксперимента.
Заключение. 1. В работе развит ме-
тод разностных уравнений для анализа цик-
лических взаимосвязанных переходных про-
цессов, протекающих в цепях со стохастиче-
ски изменяющимся сопротивлением нагруз-
ки. Стохастическое изменение параметров
цепи представлено как аналогичное измене-
ние структуры кусочно-линейной цепи (т.е.
предполагается, что при неизменной струк-
туре цепь является линейной, но структура в
определенные моменты времени может из-
меняться случайным образом). Условием
применимости метода разностных уравнений является возможность аналитически выразить зависи-
мость конечных условий каждого переходного процесса от его начальных условий.
2. Основная идея развития метода разностных уравнений заключается в возможности предста-
вить стохастический процесс изменения структуры электрической цепи в виде случайного процесса,
мгновенными значениями которого являются геометрически распределенные случайные величины.
3. Применение основной идеи предполагает последовательное решение задач:
maxU
срU
minU
,t c
, разрU В
45−
40−
35−
30−
25−
20−
15−
10−
5−
0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.80
Рис. 4
10 ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2013. № 3
– представления изменения состояния цепи как дискретного случайного процесса, мгновен-
ными значениями которого являются геометрически распределенные случайные величины;
– определения математического ожидания процесса изменения структуры цепи и с заданной
долей вероятности диапазона изменения мгновенных значений случайного процесса;
– применения метода разностных уравнений для анализа переходных процессов на промежут-
ке времени, соответствующему отдельному значению дискретного случайного процесса;
– повторного использования метода разностных уравнений для "сшивки" результатов, полу-
ченных для отдельных мгновенных значений процесса изменения структуры цепи, и анализа пере-
ходных процессов на всей длительности случайного процесса;
– подстановки значений математического ожидания случайного процесса и границ диапазона
наиболее вероятного изменения мгновенных значений случайного процесса в качестве параметра в
выражения для электрических характеристик с целью расчета их вероятностных оценок.
4. Выполнен анализ переходных процессов в цепях электроразрядных установок при стохас-
тическом изменении сопротивления их нагрузки. Получены оценки для напряжения на конденсаторе:
минимальное по модулю напряжение minU = – 0,0281 В, среднее напряжение срU = – 38,2795 В,
максимальное по модулю напряжение maxU = – 42,5325 В. Полученные оценки хорошо коррелируют
с результатами аналитических расчетов отдельных зарядных и разрядных переходных процессов [7–
9] и анализа на численных моделях циклически изменяющихся таких процессов [9–11].
1. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. – Москва: Высшая школа, 1978. – 638 с.
2. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. – Москва: Высшая
школа, 2000. – 480 с.
3. Демирчан К.С., Нейман Л.Р., Коровкин Н.В., Чечурин В.Л. Теоретические основы электротехники. –
С-Пб.: Питер, 2003. – 576 с.
4. Романко В.К. Разностные уравнения. – Москва: Бином, 2006. – 112 с.
5. Супруновская Н.И. Энергетические характеристики при изменении начальных условий колебательного
заряда конденсатора от источника постоянного напряжения // Техн. електродинаміка. – 2008. – №4. – С. 27–33.
6. Тонкаль В.Е., Руденко В.С., Жуйков В.Я., Сучик В.Е., Денисюк С.П., Новосельцев А.В. Вентильные
преобразователи переменной структуры. – Киев: Наукова думка, 1989. – 336 с.
7. Шидловский А.К., Супруновская Н.И. Энергетические процессы в электрических цепях разрядноим-
пульсных установок с емкостным накопителем энергии при ограничении длительности его разряда на электро-
искровую нагрузку и ненулевых условиях его заряда // Техн. електродинаміка. – 2010. – №1. – С. 42–48.
8. Шидловский А.К., Щерба А.А., Супруновская Н.И. Энергетические процессы в цепях заряда и разряда
конденсаторов электроимпульсных установок. – Киев: Интерконтиненталь-Украина, 2009. – 208 с.
9. Щерба А.А., Супруновская Н.И., Иващенко Д.С. Анализ условий стабилизации напряжения электро-
разрядных установок при колебательной разрядке их емкостного накопителя энергии на нагрузку с изменяю-
щимся сопротивлением // Техн. електродинаміка. Тем. випуск "Силова електроніка та енергоефективність". –
2009. – Ч. 1. – С. 61–65.
10. Щерба А.А., Супруновская Н.И., Синицин В.К., Иващенко Д.С. Апериодические и колебательные
процессы разряда конденсатора при принудительном ограничении длительности токов в нагрузке // Техн. елек-
тродинаміка. – 2012. – № 3. – С. 9 – 10.
11. Щерба А.А., Третяк М.В., Иващенко Д.С. Анализ переходных и установившихся электрических режи-
мов аккумуляторной батареи и суперконденсаторов, включенных параллельно в систему питания электромобилей
// Техн. електродинаміка. Тем. випуск "Силова електроніка та енергоефективність". – 2011. – Ч. 2. – С. 93–98.
УДК 621.3.011
РОЗВИТОК МЕТОДУ РІЗНИЦЕВИХ РІВНЯНЬ ДЛЯ АНАЛІЗУ ПЕРЕХІДНИХ ПРОЦЕСІВ У КОЛАХ
ЕЛЕКТРОРОЗРЯДНИХ УСТАНОВОК ПРИ СТОХАСТИЧНІЙ ЗМІНІ ОПОРУ НАВАНТАЖЕННЯ
Щерба А.А, чл.-кор. НАН України, Іващенко Д.С., Супруновська Н.І., канд.техн.наук
Інститут електродинаміки НАН України, пр. Перемоги, 56, Київ-57, 03680, Україна.
e-mail: sh1ch@ied.org.ua
Метою роботи був розвиток методу різницевих рівнянь для розрахунку перехідних процесів у колах електро-
розрядних установок, електричний опір яких змінюється випадковим чином. Для досягнення мети зміна стану
кола представлена у вигляді дискретного випадкового процесу; досліджено випадкові зміни структури кола;
характеристики випадкових змін структури кола представлено у вигляді параметрів динамічної системи;
ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2013. № 3 11
проведено аналіз кола методом різницевих рівнянь із застосуванням імовірнісних оцінок електричних характе-
ристик кола. Як приклад досліджено перехідні процеси в колах формувача розрядних імпульсів установки елек-
троіскрового диспергування. Виконано аналіз повторюваних взаємозалежних перехідних процесів заряду нако-
пичувального конденсатора і його розряду на іскрове навантаження, опір якого змінюється випадковим чином.
У роботі прийнято припущення, що всі елементи кола лінійні, а зміна його структури описується імовірнісним
законом. У результаті досліджень запропоновано підхід до аналізу взаємозалежних перехідних процесів, якi
протікають у колах з параметрами, що стохастично змінюються. Підхід орієнтовано на аналіз режимів, які
можуть виникати при стохастичних змінах структури кусочно-лінійного кола. Бібл. 10, рис. 4.
Ключові слова: метод різницевих рівнянь, електричні кола зі змінною структурою, випадковий процес.
DEVELOPMENT OF DIFFERENCE EQUATIONS METHOD FOR ANALYSIS OF TRANSIENT PROCESSES IN THE
CIRCUITS OF ELECTRO-DISCHARGE SYSTEMS AT STOCHASTIC CHANGING OF LOAD RESISTANCE
Shcherba А.А., Ivashchenko D.S., Suprunovska N.I.
Institute of Electrodynamics National Academy of Science of Ukraine,
Pr. Peremogy, 56, Kyiv-57, 03680, Ukraine.
e-mail: sh1ch@ied.org.ua
The objective of work was the development of the method of difference equations for the calculation of transients in cir-
cuits of electro-discharging systems with stochastically changing electrical resistance. The following tasks were performed
in order to achieve the objective: circuit state changes were presented in the form of a discrete random process; random
changes in the structure of the circuit were studied; characteristics of random structure changes were presented in the
form of parameters of the dynamical system; analysis of the circuit was performed with method of difference equations
using probability estimates. Transients in circuits of electric-discharge pulse shaper for electro-spark dispersion system
were analyzed as an example. Sequence of related capacitor charges and discharges transients in circuits with stochasti-
cally changing electrical resistance were analyzed. It was assumed that all the circuit elements are linear, and changes in
circuit structure are described by the probability law. As a result of research was suggested an approach to the analysis of
related transient processes in circuits with stochastically varying parameters. Approach focuses on the analysis of proc-
esses related to stochastic changes in the structure of piecewise-linear circuit. References 10, figures 4.
Key words: method of difference equations, electrical circuits with variable structure, stochastic process.
1. Bessonov L.A. Electrical engineering theory. – Moskva: Vysshaya shkola, 1978. – 638 p. (Rus)
2. Ventsel E.S., Ovcharov L.A. Probability theory and its engineering applications. – Moskva: Vysshaia shkola,
2000. – 480 p. (Rus)
3. Demirchan K.S., Neiman L.R., Korovkin N.V., Chechurin V.L. Electrical engineering theory. – Sainkt-
Petersburg: Piter, 2003. – 576 p. (Rus)
4. Romanko V.K. Difference equations. – Moskva: Binom, 2006. – 112 p. (Rus)
5. Suprunovskaia N.I. Energy characteristics at initial conditions changing during capacitor oscillatory charge
from direct-voltage source // Tekhnichna elektrodynamika. – 2008. – №4. – Pp. 27–33. (Rus)
6. Tonkal V.E., Rudenko V.S., Zhuikov V.Ya, Suchik V.E., Denisyuk S.P., Novoseltsev A.V. Valve inverters with
graded structure. – Kiev: Naukova dumka, 1989. – 336 p. (Rus)
7. Shidlovkii A.K., Suprunovskaia N.I. Energy processes in electric circuits of discharge-pulse systems with ca-
pacitive energy storage at limitation of its discharge duration through electrical spark load and non-zero conditions its
charging // Tekhnichna elektrodynamika. – 2010. – №1. – Pp. 42–48. (Rus)
8. Shidlovkii A.K., Shcherba A.A., Suprunovskaia N.I. Energy processes in charge and discharge circuits of
capacitors of electro-pulse systems. – Kiev: Interkontinental-Ukraina, 2009. – 208 p. (Rus)
9. Shcherba A.A., Suprunovskaia N.I., Ivashchenko D.S. Analysis of conditions of voltage stabilization of elec-
tro-discharge systems during oscillatory discharge its capacitive energy storage through load with changing resistance //
Tekhnichna elektrodynamika. Tematychnyi vypusk "Sylova elektronika ta enerhoefektyvnist". – 2009. – Vol.1. – Pp.
61–65. (Rus)
10. Shcherba A.A., Suprunovskaia N.I., Sinitsyn V.K., Ivashchenko D.S. Aperiodic and oscillatory discharge
processes of capacitor at forced limitation of current duration in load // Tekhnichna elektrodynamika. – 2012. – № 3. –
Pp. 9–10. (Rus)
11. Shcherba A.A., Tretiak M.V., Ivashchenko D.S. Analysis transient and steady state modes of accumulator
battery and supercapacitors connecting in-parallel to power system of electric vehicles // Tekhnichna elektrodynamika.
Tematychnyi vypusk "Sylova elektronika ta enerhoefektyvnist". – 2011. – Vol.2. – Pp. 93–98. (Rus)
Надійшла 01.11.2012
Received 01.11.2012
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-62302 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1607-7970 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-30T20:28:36Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інститут електродинаміки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Щерба, А.А. Иващенко, Д.С. Супруновская, Н.И. 2014-05-19T19:32:41Z 2014-05-19T19:32:41Z 2013 Развитие метода разностных уравнений для анализа переходных процессов в цепях электроразрядных установок при стохастическом изменении сопротивления нагрузки / А.А. Щерба, Д.С. Иващенко, Н.И. Супруновская // Технічна електродинаміка. — 2013. — № 3. — С. 3-11 . — Бібліогр.: 11 назв. — pос. 1607-7970 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/62302 621.3.011 Целью работы являлось развитие метода разностных уравнений для расчета переходных процессов в цепях электроразрядных установок, электрическое сопротивление которых изменяется случайным образом. Метою роботи був розвиток методу різницевих рівнянь для розрахунку перехідних процесів у колах електророзрядних установок, електричний опір яких змінюється випадковим чином. The objective of work was the development of the method of difference equations for the calculation of transients in circuits of electro-discharging systems with stochastically changing electrical resistance ru Інститут електродинаміки НАН України Технічна електродинаміка Теоретична електротехніка та електрофізика Развитие метода разностных уравнений для анализа переходных процессов в цепях электроразрядных установок при стохастическом изменении сопротивления нагрузки Розвиток методу різницевих рівнянь для аналізу перехідних процесів у колах електророзрядних установок при стохастичній зміні опору навантаження Development of difference equations method for analysis of transient processes in the circuits of electro-discharge systems at stochastic changing of load resistance Article published earlier |
| spellingShingle | Развитие метода разностных уравнений для анализа переходных процессов в цепях электроразрядных установок при стохастическом изменении сопротивления нагрузки Щерба, А.А. Иващенко, Д.С. Супруновская, Н.И. Теоретична електротехніка та електрофізика |
| title | Развитие метода разностных уравнений для анализа переходных процессов в цепях электроразрядных установок при стохастическом изменении сопротивления нагрузки |
| title_alt | Розвиток методу різницевих рівнянь для аналізу перехідних процесів у колах електророзрядних установок при стохастичній зміні опору навантаження Development of difference equations method for analysis of transient processes in the circuits of electro-discharge systems at stochastic changing of load resistance |
| title_full | Развитие метода разностных уравнений для анализа переходных процессов в цепях электроразрядных установок при стохастическом изменении сопротивления нагрузки |
| title_fullStr | Развитие метода разностных уравнений для анализа переходных процессов в цепях электроразрядных установок при стохастическом изменении сопротивления нагрузки |
| title_full_unstemmed | Развитие метода разностных уравнений для анализа переходных процессов в цепях электроразрядных установок при стохастическом изменении сопротивления нагрузки |
| title_short | Развитие метода разностных уравнений для анализа переходных процессов в цепях электроразрядных установок при стохастическом изменении сопротивления нагрузки |
| title_sort | развитие метода разностных уравнений для анализа переходных процессов в цепях электроразрядных установок при стохастическом изменении сопротивления нагрузки |
| topic | Теоретична електротехніка та електрофізика |
| topic_facet | Теоретична електротехніка та електрофізика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/62302 |
| work_keys_str_mv | AT ŝerbaaa razvitiemetodaraznostnyhuravneniidlâanalizaperehodnyhprocessovvcepâhélektrorazrâdnyhustanovokpristohastičeskomizmeneniisoprotivleniânagruzki AT ivaŝenkods razvitiemetodaraznostnyhuravneniidlâanalizaperehodnyhprocessovvcepâhélektrorazrâdnyhustanovokpristohastičeskomizmeneniisoprotivleniânagruzki AT suprunovskaâni razvitiemetodaraznostnyhuravneniidlâanalizaperehodnyhprocessovvcepâhélektrorazrâdnyhustanovokpristohastičeskomizmeneniisoprotivleniânagruzki AT ŝerbaaa rozvitokmetoduríznicevihrívnânʹdlâanalízuperehídnihprocesívukolahelektrorozrâdnihustanovokpristohastičníizmíníoporunavantažennâ AT ivaŝenkods rozvitokmetoduríznicevihrívnânʹdlâanalízuperehídnihprocesívukolahelektrorozrâdnihustanovokpristohastičníizmíníoporunavantažennâ AT suprunovskaâni rozvitokmetoduríznicevihrívnânʹdlâanalízuperehídnihprocesívukolahelektrorozrâdnihustanovokpristohastičníizmíníoporunavantažennâ AT ŝerbaaa developmentofdifferenceequationsmethodforanalysisoftransientprocessesinthecircuitsofelectrodischargesystemsatstochasticchangingofloadresistance AT ivaŝenkods developmentofdifferenceequationsmethodforanalysisoftransientprocessesinthecircuitsofelectrodischargesystemsatstochasticchangingofloadresistance AT suprunovskaâni developmentofdifferenceequationsmethodforanalysisoftransientprocessesinthecircuitsofelectrodischargesystemsatstochasticchangingofloadresistance |