Гармонический анализ электромагнитных величин трехфазной обмотки статора турбогенератора на основе классических и численно-полевых методов
Представлены варианты метода численно-полевого гармонического анализа электромагнитных величин, связанных с обмотками переменного тока электрических машин. На основе наиболее детерминированного метода, построенного на использовании вращающегося магнитного поля и временной функции магнитного потокосц...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Технічна електродинаміка |
|---|---|
| Datum: | 2013 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут електродинаміки НАН України
2013
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/62307 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Гармонический анализ электромагнитных величин трехфазной обмотки статора турбогенератора на основе классических и численно-полевых методов / В.И. Милых, Н.В. Полякова // Технічна електродинаміка. — 2013. — № 3. — С. 40–49. — Бібліогр.: 7 назв. — pос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-62307 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Милых, В.И. Полякова, Н.В. 2014-05-19T19:46:38Z 2014-05-19T19:46:38Z 2013 Гармонический анализ электромагнитных величин трехфазной обмотки статора турбогенератора на основе классических и численно-полевых методов / В.И. Милых, Н.В. Полякова // Технічна електродинаміка. — 2013. — № 3. — С. 40–49. — Бібліогр.: 7 назв. — pос. 1607-7970 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/62307 621.313 Представлены варианты метода численно-полевого гармонического анализа электромагнитных величин, связанных с обмотками переменного тока электрических машин. На основе наиболее детерминированного метода, построенного на использовании вращающегося магнитного поля и временной функции магнитного потокосцепления, проведено тестирование других методов, в том числе – классического метода гармонического анализа. Представлено варіанти методу чисельно-польового гармонійного аналізу електромагнітних величин, пов'язаних з обмотками змінного струму електричних машин. На основі найбільш детермінованого методу, побудованого на використанні обертового магнітного поля і часової функції магнітного потокозчеплення, виконано тестування інших методів, у тому числі - класичного методу гармонійного аналізу. The variants of method are presented the numeral-field harmonic analysis of electromagnetic sizes, related to winding of alternating current of electric machines. On the basis of the most determined method, built on the use of revolved magnetic-field and temporal function of magnetic linkage, testing of other methods is conducted, including - classic method of harmonic analysis. ru Інститут електродинаміки НАН України Технічна електродинаміка Електромеханічне перетворення енергії Гармонический анализ электромагнитных величин трехфазной обмотки статора турбогенератора на основе классических и численно-полевых методов Гармонійний аналіз електромагнітних величин трифазної обмотки статора турбогенератора на основі класичних та чисельно-польових методів Harmonious analysis of electromagnetic sizes three-phase winding of stators of turbogenerator on basis classic and numeral field methods Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Гармонический анализ электромагнитных величин трехфазной обмотки статора турбогенератора на основе классических и численно-полевых методов |
| spellingShingle |
Гармонический анализ электромагнитных величин трехфазной обмотки статора турбогенератора на основе классических и численно-полевых методов Милых, В.И. Полякова, Н.В. Електромеханічне перетворення енергії |
| title_short |
Гармонический анализ электромагнитных величин трехфазной обмотки статора турбогенератора на основе классических и численно-полевых методов |
| title_full |
Гармонический анализ электромагнитных величин трехфазной обмотки статора турбогенератора на основе классических и численно-полевых методов |
| title_fullStr |
Гармонический анализ электромагнитных величин трехфазной обмотки статора турбогенератора на основе классических и численно-полевых методов |
| title_full_unstemmed |
Гармонический анализ электромагнитных величин трехфазной обмотки статора турбогенератора на основе классических и численно-полевых методов |
| title_sort |
гармонический анализ электромагнитных величин трехфазной обмотки статора турбогенератора на основе классических и численно-полевых методов |
| author |
Милых, В.И. Полякова, Н.В. |
| author_facet |
Милых, В.И. Полякова, Н.В. |
| topic |
Електромеханічне перетворення енергії |
| topic_facet |
Електромеханічне перетворення енергії |
| publishDate |
2013 |
| language |
Russian |
| container_title |
Технічна електродинаміка |
| publisher |
Інститут електродинаміки НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Гармонійний аналіз електромагнітних величин трифазної обмотки статора турбогенератора на основі класичних та чисельно-польових методів Harmonious analysis of electromagnetic sizes three-phase winding of stators of turbogenerator on basis classic and numeral field methods |
| description |
Представлены варианты метода численно-полевого гармонического анализа электромагнитных величин, связанных с обмотками переменного тока электрических машин. На основе наиболее детерминированного метода, построенного на использовании вращающегося магнитного поля и временной функции магнитного потокосцепления, проведено тестирование других методов, в том числе – классического метода гармонического анализа.
Представлено варіанти методу чисельно-польового гармонійного аналізу електромагнітних величин, пов'язаних з обмотками змінного струму електричних машин. На основі найбільш детермінованого методу, побудованого на використанні обертового магнітного поля і часової функції магнітного потокозчеплення, виконано тестування інших методів, у тому числі - класичного методу гармонійного аналізу.
The variants of method are presented the numeral-field harmonic analysis of electromagnetic sizes, related to winding of alternating current of electric machines. On the basis of the most determined method, built on the use of revolved magnetic-field and temporal function of magnetic linkage, testing of other methods is conducted, including - classic method of harmonic analysis.
|
| issn |
1607-7970 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/62307 |
| citation_txt |
Гармонический анализ электромагнитных величин трехфазной обмотки статора турбогенератора на основе классических и численно-полевых методов / В.И. Милых, Н.В. Полякова // Технічна електродинаміка. — 2013. — № 3. — С. 40–49. — Бібліогр.: 7 назв. — pос. |
| work_keys_str_mv |
AT milyhvi garmoničeskiianalizélektromagnitnyhveličintrehfaznoiobmotkistatoraturbogeneratoranaosnoveklassičeskihičislennopolevyhmetodov AT polâkovanv garmoničeskiianalizélektromagnitnyhveličintrehfaznoiobmotkistatoraturbogeneratoranaosnoveklassičeskihičislennopolevyhmetodov AT milyhvi garmoníiniianalízelektromagnítnihveličintrifaznoíobmotkistatoraturbogeneratoranaosnovíklasičnihtačiselʹnopolʹovihmetodív AT polâkovanv garmoníiniianalízelektromagnítnihveličintrifaznoíobmotkistatoraturbogeneratoranaosnovíklasičnihtačiselʹnopolʹovihmetodív AT milyhvi harmoniousanalysisofelectromagneticsizesthreephasewindingofstatorsofturbogeneratoronbasisclassicandnumeralfieldmethods AT polâkovanv harmoniousanalysisofelectromagneticsizesthreephasewindingofstatorsofturbogeneratoronbasisclassicandnumeralfieldmethods |
| first_indexed |
2025-11-25T20:21:39Z |
| last_indexed |
2025-11-25T20:21:39Z |
| _version_ |
1850520735056920576 |
| fulltext |
40 ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2013. № 3
ЕЛЕКТРОМЕХАНІЧНЕ ПЕРЕТВОРЕННЯ ЕНЕРГІЇ
УДК 621.313
ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВЕЛИЧИН
ТРЕХФАЗНОЙ ОБМОТКИ СТАТОРА ТУРБОГЕНЕРАТОРА
НА ОСНОВЕ КЛАССИЧЕСКИХ И ЧИСЛЕННО-ПОЛЕВЫХ МЕТОДОВ
В.И. Милых, докт.техн.наук, Н.В. Полякова
Национальный технический университет ״Харьковский политехнический институт״,
ул. Фрунзе, 21, Харьков, 61002, Украина.
e-mail: mvikpi@kharkov.ua
Представлены варианты метода численно-полевого гармонического анализа электромагнитных величин, свя-
занных с обмотками переменного тока электрических машин. На основе наиболее детерминированного мето-
да, построенного на использовании вращающегося магнитного поля и временной функции магнитного пото-
косцепления, проведено тестирование других методов, в том числе – классического метода гармонического
анализа. Библ. 7, табл. 4, рис. 8.
Ключевые слова: электрические машины, гармонический анализ, классический метод, численно-полевой ме-
тод, тестирование.
В классической теории электрических машин (ЭМ) гармонический анализ ряда электромаг-
нитных величин проводится на основе построения ступенчатых координатных функций магнитодви-
жущих сил (МДС) их обмоток [1]. В учебной литературе это служит обоснованием принципа дейст-
вия машин переменного тока. Полученные на той же основе формулы гармонического состава МДС,
магнитных индукций и потоков в зазоре используют в теоретических исследованиях и для выработки
практических рекомендаций по проектированию обмоток ЭМ и для оценки их эффективности.
Классические принципы гармонического анализа построены на ряде упрощающих допуще-
ний. К ним относятся условное вынесение обмоток в зазор между сердечниками ротора и статора,
пренебрежение их зубчатостью и насыщением, а также само использование ступенчатых координат-
ных функций МДС. В этой связи возникает вопрос, а насколько классический гармонический анализ
численно адекватен реальным процессам, происходящим в электрических машинах.
С развитием компьютерной техники и численных методов расчета магнитных полей [7] уже
можно отказаться от названных допущений и более объективно оценить гармонический состав элек-
тромагнитных величин, связанных с обмотками ЭМ [3, 6].
В данной работе ставится цель представить методы численно-полевого гармонического анализа
электромагнитных величин ЭМ и на их основе оценить адекватность классического гармонического ана-
лиза, построенного на указанных выше допущениях. Это делается в числовой форме применительно к
трехфазной обмотке переменного тока и конкретно на при-
мере крупного турбогенератора (ТГ). Учитывается, что для
ЭМ как основных источников электроэнергии достоверный
гармонический анализ является особенно актуальным.
Поперечное сечение электромагнитной системы
демонстрационного ТГ показано на рис. 1, где показаны
фазные зоны обмотки статора А–А', В–В' и С–С' (выделены
разной штриховкой стержней в пазах). Номинальные дан-
ные ТГ: мощность PaN=200 МВт; фазное напряжение
UsN=9093 B и ток IsN=8625 А; коэффициент мощности
cos ϕsN=0,85; частота fs=50 Гц. Параметры конструкции:
количество фаз ms=3 и пар полюсов p=1; активная длина
la=5,286 м; немагнитный зазор δ=0,1 м; диаметр расточки
статора ds=1,275 м; обмотка статора имеет число последо-
вательных витков на фазу Ns=10 и относительное укороче-
ние βs=0,8; число пазов статора Qs=30.
© Милых В.И., Полякова Н.В., 2013
Рис. 1
ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2013. № 3 41
Классический гармонический анализ (КГА).
Исходным этапом исследований избран классический гармонический анализ на основе анали-
тических выражений МДС трехфазной обмотки переменного тока и порожденных ею электромаг-
нитных величин [1]. На рис. 2 построен график распределения МДС обмотки статора по линии развертки
его расточки (ось абсцисс размечена в долях полюсного деления τp). В пазах дано распределение и на-
правление фазных токов обмотки: их значения приняты для момента времени t=0, исходя из их симмет-
ричной системы )cos( tIi mA ω= ; )3
2cos( πω −= tIi mB ; )3
2cos( πω += tIi mC , (1)
где sm II 2= – их амплитуда; sI – действующее значение (при Is = IsN максимум МДС на рис. 2 со-
ставил Fmax=8,5Im=103683 А); ω=2πfs – угловая частота.
При симметрии токов и 3-фазной обмотке создаются только вращающиеся нечетные гармо-
ники, полные координатно-временные функции МДС, магнитной индукции и магнитного потока вы-
ражаются формулами [1]:
6 1
cos( )t m
k
F F tν
ν= ±
= ω να∑ m ;
6 1
cos( )t m
k
B B tν
ν= ±
= ω να∑ m ;
6 1
cos( )t m
k
tν
ν= ±
Φ = Φ ω να∑ m , (2)
где ν – номера гармоник; α – угло-
вая координата; верхние знаки отно-
сятся к прямым гармоникам
(k=0,1,2,3,…; 6 1 1,7,13,19...kν = + = ),
нижние – к обратным (k=1,2,3,…;
...,,k 1711516 =−=ν ); основная гар-
моника ( 1=ν ) является прямой и
вращается в направлении чередова-
ния фаз обмотки; гармоники, крат-
ные трем, в условиях трехфазной об-
мотки самоликвидировались.
В (2) входят амплитуды гар-
моник, имеющие выражения для со-
ответствующих величин [1]:
s
Wsss
m I
p
KNm
F
⋅
⋅=
νπ
ν
ν
2 ; ν
μ
ν δ
μ
m
C
m F
kK
B 0= ; a
p
mm lB
ν
τ
π
Φ νν
2
= , (3)
где μ0 – магнитная постоянная; KСWsν, KС, kμ – коэффициенты: обмоточный статора, воздушного зазо-
ра и насыщения магнитопровода [1] (при известных данных ТГ принято KС=1,04 и kμ=1,07).
Гармонический состав МДС, магнитной индукции и магнитного потока в соответствии с
формулами (3) представлен избирательно в табл. 1 (метод КГА) в о.е. (относительные единицы)
1mm
*
m FFF νν = ; 1mm
*
m BBB νν = ; 1mm
*
m ΦΦΦ νν = , (4)
где базовые значения первых гармоник Fm 1=105978 A; Bm 1=1,197 Тл; Фm 1= 8,066 Вб. В табл. 1 гармо-
ники даны для начала ряда (ν=3÷19) и для тех номеров гармоник, которые можно отнести к зубцо-
вым; гармоники, кратные 3, внесены со значениями, полученными по (3), хотя из (2) они исключены
методически [1], кратные 5 – подавлены коэффициентом укорочения.
Таблица 1
Метод ν 3 5 7 9 11 13 15
F*
mν; *mν 0,1394 0 0,0138 0,0287 0,0104 0,0051 0,0000
Ф*
mν 0,0465 0 0,002 0,0032 0,0009 0,0004 0,0000 КГА
E*
mν 0,0194 0 0,0002 0,0008 0,0001 0,0000 0,0000
a 0,000 0 0,014 0,000 0,010 0,005 0,000 КГЧА
б F*
mν 0,000 0 0,014 0,000 0,010 0,005 0,000
Метод ν 17 19 29 31 59 61
F*
mν ; *mν 0,0039 0,0060 0,0345 0,0323 0,0169 0,0164
Ф*
mν 0,0002 0,0003 0,0006 0,0010 0,0003 0,0003 КГА
E*
mν 0,0000 0,0000 0,0012 0,0010 0,0003 0,0003
a 0,004 0,0060 0,037 0,035 0,022 0,022 КГЧА б F*
mν 0,004 0,0060 0,035 0,033 0,018 0,017
Ai Ai−
Ai− AiAi
Ci Ci−
Ci
Bi− Bi
Ci− BiBi−
F
0 αpτpτ
2
1
pτ
2
3
pτ2
Ai
Рис. 2
42 ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2013. № 3
Правильность гармонического разложения подтверждена построением координатной функ-
ции МДС F(α) по (2), (3) при t=0. Она полностью повторила исходный график (рис. 2), а график маг-
нитной индукции B(α) был подобен графику F(α).
Исходя из функции Фt (2) и закона электромагнитной индукции, функция фазной ЭДС
6 1
sin ( )s m
k
e E tν
ν= ±
= ω να∑ m , (5)
где амплитудное и действующее значения для гармоник с частотой fsν
νννν π Wsmssms KNfE Ф2= ; νννν π Wsmsss KNfE Ф2= . (6)
Амплитуды гармоник ЭДС E*
m ν в о.е., аналогично (4), представлены в табл. 1 (действующее
значение первой гармоники фазной ЭДС Es1=16302 В). Формула (5) представляет собой координатно-
временную функцию ЭДС, причем для конкретной фазной обмотки надо принять фиксированную
угловую координату ее расположения. Тогда функция ЭДС (5) становится временной и оказывается
чисто синусоидальной, так как все пространственные гармоники МДС и магнитной индукции, не-
смотря на различие их периодов, при переходе к временным гармоникам получают одинаковую час-
тоту, равную частоте первой гармоники fs, что и утверждает классическая теория [1]. В условиях ли-
неаризованной модели ТГ синусоидальные токи (1) могут породить в самих фазных обмотках с этими
токами только синусоидальную ЭДС той же частоты. Поэтому координатное распределение МДС
(рис. 2) не приводит к выявлению высших временных гармоник ЭДС.
Классический гармонический численный анализ (КГЧА).
Представленная аналитическая форма гармонического анализа соответствует симметричной
системе токов (1) и МДС (рис. 2). При любой форме координатной функции МДС можно использо-
вать второй метод классического гармонического анализа. Он базируется на численном разложении
ступенчатой угловой функции МДС F(α) в гармонический ряд Фурье. Отмечая универсальность вто-
рого способа, тем не менее, в данном случае продемонстрируем его на примере той же угловой функ-
ции МДС F(α), которая показана на рис. 2.
КГЧА начинается с выделения на оси α под имеющейся угловой функцией МДС F(α) ряда
координатных точек αk c угловым шагом Δα. Два варианта распределения точек по ступенькам пока-
заны фрагментарно на рис. 2: a – пять точек на ступеньку (на зубцовый шаг), а на полпериода (на по-
люсное деление) Кτ =75 точек; b – одиннадцать точек на ступеньку, а на полпериода Кτ =165 точек (и
интервалов). При условии для МДС F(α+τp)=-F(α) для гармонического разложения достаточно сфор-
мировать числовую функцию МДС на полюсном делении, иначе – на двух таких делениях.
Для всех точек конкретного варианта по графической функции F(α) определялись на рис. 2
значения МДС и образовывалась координатная функция МДС в дискретно-численной форме
Fk(αk); αk=Δα (k−0,5); k=1,2,...,Кτ . (7)
Временная дискретная функция МДС (7) раскладывалась в единый косинусный ряд [2]
( )∑
=
+=
ν
ν
νν ζνα
N
,...,,
mFF
531
cos , (8)
где Nν – максимальный номер гармоник, который не должен быть больше Кτ .
Амплитуды и аргументы гармоник с текущим номером ν в (8)
22
ννν csFm += , )arctg( νννζ c/s−= (9)
определяются по данным (7) через коэффициенты индивидуальных синусного и косинусного рядов
∑
=
=
τ
αν
τ
ν
K
k
kkF
K
s
1
sin2 ; ∑
=
=
τ
αν
τ
ν
K
k
kkF
K
c
1
cos2 . (10)
Результаты численного гармонического разложения ступенчатой функции МДС трехфазной
обмотки статора для обозначенных на рис. 2 вариантов a и b представлены в о.е. в табл. 1 – метод
КГЧА. Видно, что гармоники, кратные 3, по расчету исчезли сами по себе, аналогично тому, что ра-
нее в (2) это обеспечено методическим исключением таких гармоник. Для вариантов a и b начала ря-
дов совпадают, а расхождения начинаются в области более высоких гармоник из-за разной детализа-
ции исходной функции (7). Сравнение методов КГА и КГЧА в целом показывает их адекватность,
несмотря на некоторые рассогласования гармоник из-за погрешностей при вычислениях.
На основе КГЧА на рис. 3 построены по (8) графики координатной функции МДС при разных
ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2013. № 3 43
сочетаниях чисел исходных точек Кτ, расчетных то-
чек для построения графика Kg и высшего номера
гармоник Nν. В целом рис. 3 соответствует вариан-
ту b на рис. 2 при Kτ=165.
При Kg =Kτ =Nν =165 график 1 на рис. 3 пол-
ностью совпал с исходной координатной функцией
МДС на рис. 2. При использовании не всех гармо-
ник, т.е. при Nν =75 получился график 2; при увели-
ченном числе точек построения, т.е. Kg =330, – гра-
фик 3. Чтобы они не сливались, графики сдвинуты
друг относительно друга по горизонтали.
Сравнение графиков 2 и 3 с графиком 1 по-
казывает, что в промежуточных точках между ис-
ходными точками Kτ высшие гармоники искажают
исходный график (рис. 1). В обоих случаях отличие
кривых очевидно, и это, в принципе, должно настраивать на понимание о допустимых сочетаниях
чисел точек формируемых дискретных функций – с одной стороны, а с другой – чисел используемых
гармоник и точек построения полученных гармонических рядов.
Численно-полевой гармонический анализ (ЧПГА). Метод численно-полевого гармониче-
ского анализа представляется в двух вариантах. Первый основывается на однопозиционном числен-
ном расчете магнитного поля, когда по его статическому распределению получаются угловые функ-
ции электромагнитных величин. В основу второго – наиболее детерминированного гармонического
анализа положено использование вращающегося магнитного поля, когда эффект вращения достига-
ется многопозиционными численными расчетами магнитного поля в разные моменты времени − так
получаются временные функции электромагнитных величин.
ЧПГА универсален, так как подходит для любого расчетного режима возбуждения магнитно-
го поля ТГ, для любой конструкции и как с учетом, так и без учета насыщения магнитопровода. Оба
упомянутые варианта имеют одинаковую численно-полевую основу, уже заложенную в [3−6], поэто-
му здесь только напомним ее суть, а затем раскроем каждый из вариантов.
Магнитное поле в поперечном сечении ЭМ описывается известным дифференциальным урав-
нением [4,7] через аксиальную составляющую векторного магнитного потенциала (ВМП) Az. Сам рас-
чет поля проводится методом конечных элементов, например, по общедоступной программе FEMM
[7]. В итоге в дискретной форме получается координатное распределение ВМП Az(r,α).
При гармоническом анализе ТГ базовой величиной является магнитное потокосцепление
(МПС) [3−6]. В частности, МПС фазной обмотки А–А' (рис. 1)
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−= ∑∑
==
'A
'
A
K
j
jj,av,z
A
K
j
jj,av,z
A
asA SA
S
SA
S
lN
11
11 ΔΔΨ , (11)
где SA, SA’ – площади сечения по всем токонесущим элементам фазных зон А и А' (выделены на рис. 1);
KA, KA’ – числа конечных элементов их дискретизации; Az,av,j – среднее значение ВМП в j–том элемен-
те площадью ΔSj. Для программы FEMM вычисление ВМП (11) не представляет труда, так как осу-
ществляется посредством использования встроенной в программу легкодоступной опции.
Численно-полевой гармонический анализ на основе однопозиционного расчета магнит-
ного поля. Основой этого – первого варианта ЧПГА − является разложение угловой функции МПС
Ψ(α) фазной обмотки статора в ряд Фурье. С этой целью после расчета магнитного поля его структу-
ра фиксируется, т.е. оказывается фиксированным координатное распределение ВМП. На рис. 4 такая
структура проиллюстрирована картиной силовых линий магнитного поля на примере режима нагруз-
ки ТГ [4]. Тогда остается «собрать» МПС фазной обмотки A–A' по формуле (11), условно располагая
ее в разных позициях, отличающихся угловым положением.
Вычисления МПС проводятся в ряде условных позиций фазных зон обмотки с ее поворотами,
как минимум, в пределах полюсного деления. Для рассматриваемого ТГ это 15 позиций, часть кото-
рых представлена на рис. 4. Исходная позиция фазной обмотки A–A' имеет угловое положение α1 и
дана на рис. 4, а. Следующие позиции отличаются поворотами фазных зон на зубцовое деление ста-
тора – угловое смещение Δα=360º/Qs. На рис. 4, б дана очередная 2-я позиция, а на рис. 4, в – по-
Рис. 3
44 ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2013. № 3
следняя 15-я. Все 15 позиций в данном ТГ отстоят друг от друга на Δα=12º в диапазоне α от 0 до
168°.
В каждой позиции по (11) определяется МПС условно смещаемой фазной обмотки и получа-
ется в численно-дискретной форме угловая функция МПС на половине ее периода
( ); ( 1) ; 1, 2, 3,... k k k k k KτΨ α α = − ⋅ Δα = , (12)
где k – номера угловых позиций фазной зоны обмотки статора; Kτ – число позиций на полупериоде,
т.е. в пределах полюсного деления τp, а в случае рассматриваемой конструкции ТГ Kτ =15.
Численная угловая функция (12) раскладывается в косинусный гармонический ряд МПС [2, 5]
( )
1,3,5,...
cos
N
m
ν
ν ν
ν=
Ψ = Ψ να + γ∑ , (13)
где амплитуды Ψmν и аргументы γν гармоник определяются аналогично тому, как было представлено
ранее для МДС формулами (8)–(10), причем условие Nν ≤ Kτ сохраняется.
Представленный вариант численно-полевого гармонического анализа угловой функции МПС
является эффективным для выявления фазовых соотношений электромагнитных величин в ТГ [5].
Использование этого варианта можно расширить, если допустить, что полученное одним расчетом
магнитное поле вращается без изменения структуры. Тогда от угловой функции МПС (13) можно пе-
рейти к ее временной трактовке, учитывая, что при вращении магнитного поля с угловой скоростью
Ω имеем tα = Ω . Но, как и в случае классического гармонического анализа, так получится лишь не-
который условный гармонический ряд фазной ЭДС обмотки статора
1,3,5...
cos( - )2
N
s m
de t
dt
ν
ν ν
ν=
Ψ π= − = νωΨ ν ω + ζ∑ , (14)
где временные начальные фазы ζν заняли место угловых начальных фаз γν (в [6] показано, что ζν=−γν).
Из (14) получаются амплитудное и действующее значения гармоник фазной ЭДС
νν Ψων mmsE = ; 2νν = mss EE . (15)
На основе изложенной методики сравнительный численно-полевой гармонический анализ
проведен для моделей электромагнитной системы ТГ, представленных на рис. 5.
Рис. 4, а, б, в
Рис. 5, а, б, в
ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2013. № 3 45
Исходной явилась идеализированная модель (рис. 5, а) с гладкими сердечниками статора и
ротора и утонченной обмоткой статора на расточке его сердечника (укрупнено даны стержни двух
условных пазов). Такая модель соответствует предшествовавшему классическому гармоническому
анализу и позволяет изначально оценить его адекватность.
На идеализированной модели (рис. 5, а) проведены следующие варианты численных расчетов
магнитного поля трехфазной обмотки статора (сразу дается условное обозначение варианта): линей-
ная модель сердечников при одинаковом равномерном распределении магнитной проницаемости с
относительным значением μr=104 (SL1) – очень слабое насыщение; μr=103 (SL2) – среднее насыщение,
μr=102 (SL3) – сильное насыщение. Кроме того рассмотрена нелинейная модель с естественным рас-
пределением магнитной проницаемости при номинальном токе IsN=8625 А (SN1) с сильно насыщен-
ным магнитопроводом, а также при токе Is=4715 А (SN2), обеспечивающем фазную ЭДС Es1, равную
номинальному напряжению UsN, т.е. фактически при номинальном насыщении.
Каждый раз после численного расчета магнитного поля (его типичная картина – на рис. 5, а) гар-
моническое разложение проводилось по представленной методике (12)–(15). Полученный гармоничес-
кий состав угловой функции МПС (13) и временной функции ЭДС (14) представлен в табл. 2 в о.е. по (4).
Сопоставление гармонического состава по КГА (табл. 1), построенного на ряде допущений и
использовании ступенчатой функции МДС (рис. 2), и вариантов более реального случая (табл. 2), по-
строенного на численном расчете магнитного поля (рис. 5, а), можно провести по магнитному потоку
и МПС, а также по ЭДС. Очевидно, что классический вариант и численно-полевой вариант дают су-
щественно отличающиеся гармонические составы этих величин. Из табл. 2 видно еще влияние насы-
щения даже беззубцового магнитопровода ТГ на гармонический состав МПС и ЭДС.
Таблица 2
Вариант ν 3 5 7 9 11 13 15
Ψ*
m ν 1,2·10-7 2,4·10-5 3,3·10-4 0,16·10-6 2,8·10-4 0,89·10-4 0,95·10-8 SL1
E*
m ν 3,6·10-7 11,8·10-5 22·10-4 1,46·10-6 30,7·10-4 11,6·10-4 1,43·10-7
Ψ*
m ν 1,0·10-7 2,4·10-5 3,2·10-4 0,16·10-6 2,8·10-4 0,9·10-4 1,0·10-8 SL2
E*
m ν 3,1·10-7 12·10-5 22,4·10-4 1,5·10-6 31,2·10-4 11,8·10-4 1,5·10-7
Ψ*
m ν 6,2·10-8 2,9·10-5 3,7·10-4 0,18 10-6 3,3·10-4 1,1·10-4 1,8·10-8 SL3
E*
m ν 1,9·10-7 14·10-5 26,2·10-4 1,6 10-6 36,6·10-4 13,8·10-4 2,8·10-7
Ψ*
m ν 5,22·10-3 2,8·10-5 3,5·10-4 11·10-6 3,1·10-4 1,1·10-4 12,3·10-8 SN1
E*
m ν 15,7·10-3 14·10-5 24,5·10-4 99·10-6 33,6·10-4 14,1·10-4 18,5·10-7
Ψ*
m ν 0,25·10-3 2,4·10-5 3,2·10-4 3,3·10-6 2,8·10-4 0,9·10-4 2,6·10-8 SN2
E*
m ν 0,75·10-3 12·10-5 22,1·10-4 29,9·10-6 30,9·10-4 11,7·10-4 18,5·10-7
Отметим, что в этой и других таблицах числа порядков 10-8 – 10-7 можно считать практически
нулевыми, так как это находится фактически на уровне чисто расчетной погрешности, связанной с
численными расчетами магнитных полей.
Расчетный анализ продолжался в направлении выявления влияния на гармонический состав
МПС и ЭДС вариантов зубчатости сердечников статора и ротора.
Исходной являлась простейшая расчетная модель ТГ, уже представленная на рис. 5, а – обо-
значим эту модель как Z1. Вторая модель (рис. 5, б) отличалась тем, что сердечник статора был ре-
альным, а ротор – гладким (обозначим как модель Z2). Третья модель (рис. 5, в) соответствовала ре-
альной конструкции ТГ, как на рис. 1 (модель Z3).
Расчеты магнитных полей трехфаз-
ной обмотки статора для всех моделей прове-
дены численно и их картины даны на рис. 6.
В обозначения моделей добавим L, что будет
указывать на то, что расчеты проведены в ли-
нейной постановке при одинаковом значе-
нии относительной магнитной проницаемос-
ти сердечников μr, которая принята равной
104, т.е. магнитопровод совсем не насыщен.
В первую очередь представленные
модели сравним по распределению радиаль-
ной составляющей магнитной индукции Br
Рис. 6
46 ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2013. № 3
на средней линии в зазоре, что сделано на рис. 6 (для восприятия отдельные графики сдвинуты по
горизонтали друг относительно друга). Для модели ZL3 (в дополнение к графику на средней линии
зазора) дан график распределения магнитной индукции вблизи расточки сердечника статора (за 10
мм) – ZL3-rs.
Гармонический состав угловой функции МПС и временной функции ЭДС по методике, пред-
ставленной формулами (12)–(15) на основе статического магнитного поля трехфазной обмотки статора
(однопозиционный расчет), представлен в табл. 3. Варианты ZL1, ZL2 и ZL3 соответствуют упомяну-
тым уже линейным моделям ТГ при ненасыщенном магнитопроводе (μr=104), варианты ZN3-Is и ZN3-
Us – модели Z3, причем первый – при номинальном фазном токе IsN с учетом реального сильного на-
сыщения магнитопровода, второй – при уменьшенном токе Is=5614 А, обеспечивающем номинальное
напряжение UsN=9093 В, а, значит, насыщение магнитопровода, как в номинальном режиме работы ТГ.
Влияние на гармонический состав зубчатости сердечников, а также их насыщение видно из
данных табл. 3. Кроме того, ясно, что наиболее реалистичный гармонический состав в вариантах
ZN3-Is и ZN3-Us оказывается весьма далек от того, что получено посредством КГА и КЧГА (табл. 1).
Таблица 3
Модель ν 3 5 7 9 11 13 15
Ψ*
m ν 1,2·10-7 2,4·10-5 3,3·10-4 0,16·10-6 2,8·10-4 0,89·10-4 0,95·10-8 ZL1
E*
m ν 3,6·10-7 11,8·10-5 22·10-4 1,46·10-6 30,7·10-4 11,6·10-4 1,43·10-7
Ψ*
m ν 1,3·10-5 4,0·10-4 1,0·10-3 0,9·10-5 1,0·10-3 0,4·10-3 5·10-8 ZL2
E*
m ν 3,8·10-5 20·10-4 7,0·10-3 8,3·10-5 11,7·10-3 5,3·10-3 7·10-7
Ψ*
m ν 1,6·10-3 4,0·10-4 1,0·10-3 0,8 10-4 1,1·10-3 4,2·10-4 1,8·10-7 ZL3
E*
m ν 4,9·10-3 20·10-4 7,1·10-3 7,3 10-4 12,0·10-3 54,9·10-4 2,7·10-6
Ψ*
m ν 22·10-3 6,4·10-4 1,1·10-3 0,9·10-4 6,9·10-4 3,3·10-4 2,3·10-5 ZN3-Is
E*
m ν 66·10-3 32·10-4 7,5·10-3 8,0·10-4 75,7·10-4 43,4·10-4 3,5·10-5
Ψ*
m ν 11,6·10-3 5,0·10-4 1,2·10-3 2,8·10-4 1,1·10-3 4,9·10-4 6,2·10-6 ZN3-Us
E*
m ν 34,8·10-3 25·10-4 8,1·10-4 24,8·10-4 12,3·10-3 63,3·10-4 9,3·10-5
Ещё один вывод можно сделать, анализируя графики радиальной составляющей магнитной
индукции на рис. 6. Ясно, что по этим кривым, которые далеки от идеальных синусоид, да еще зави-
сят от расположения окружностей в зазоре, трудно получить тот однозначный гармонический состав,
который получен через МПС и представлен в табл. 3. Поэтому ориентироваться на координатные
функции МПС и магнитной индукции в зазоре, как это делается при классическом подходе (табл. 1),
не представляется оправданным. Существенно и отличие графиков магнитной индукции в зазоре ТГ
для идеализированной модели (рис. 5, а) и графиков для реального магнитного поля (рис. 5, в).
Численно-полевой гармонический анализ на основе вращающихся магнитных полей.
Основой этого – второго варианта ЧПГА, является разложение временной функции МПС
фазной обмотки статора Ψ(t) в ряд Фурье.
Эффект вращения магнитного поля достигается его многопозиционными расчетами с вычис-
лением фазных токов по (1) с временным шагом Δt в соответствующие моменты времени
tk=(k–1)⋅Δt; k=1,2,..., Кmin , (16)
где Кmin – минимальное число шагов, которое позволяет сформировать функции МПС и ЭДС на их
полном периоде изменения Т [6].
В начальный момент времени 0=t продольная ось ротора d занимает угловое положение α1
(рис. 1). Затем на каждом новом временном шаге (16) ротор, вращаясь с угловой скоростью Ω, пово-
рачивается на угловой шаг Δα=ΩΔt синхронно c вращением магнитного поля обмотки статора.
Как показано в [6], для наиболее детерминированного анализа формы ЭДС необходимы вре-
менные функции МПС фазных обмоток статора
Ψk(tk); tk=(k−1)⋅Δt; αk=α1 + (k−1)⋅Δα, k=1,2,..., Кτ , (17)
причем эти функции (с учетом периодичности) во всех режимах можно сформировать на временном
интервале, равном половине периода Т (Кτ – это число интервалов Δt на полупериоде, т.е. на Т/2).
Мгновенные значения МПС определялись на основе (11) по получаемому каждый раз распре-
делению ВМП Az(r,α) после расчета магнитных полей для фиксированных моментов времени tk. По-
вороты ротора на заданные угловые позиции (17), изменение токов статора (1), а также сбор инфор-
ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2013. № 3 47
мации (11) проводились при работе программы FEMM [7] автоматически с использованием специ-
ально написанной подпрограммы на алгоритмическом языке Lua, встроенном в FEMM.
В данной работе принят достаточно малый угол поворота Δα=1° и на полюсном делении (т.е.
в пределах временного полупериода) получалось Кτ=180 позиций, а реально для формирования дис-
кретной функции (17) достаточно было провести расчеты в Кmin=60 позициях (16), что показано в [6].
Полученные по такой методике временные функции МПС трех фазных обмоток статора даны
на рис. 7 на полном периоде. Зрительно они близки к синусоидам, но реальная оценка их формы воз-
можна на основе гармонического анализа.
Учитывая уже принятые функции токов (1), вре-
менная дискретная функция МПС (17) Ψk(tk) расклады-
валась в единый косинусный ряд [2, 6]
( )∑
=
+=
ν
νν ζωΨΨ
N
,...,,
m t
531ν
νcos , (18)
где амплитуды Ψmν и аргументы ζν гармоник определя-
ются аналогично тому, как было представлено ранее для
МДС формулами (8)–(10); сохраняется и условие Nν ≤ Kτ.
Теперь на основании закона электромагнитной ин-
дукции можно по (18) определить гармонический ряд фаз-
ной ЭДС, амплитуды и действующие значения ее гармо-
ник, выражения которых формально повторяют (14) и (15), но теперь имеют иное численное наполнение.
Результаты гармонического разложения по (18) и (15) на основе вращающегося магнитного
поля обмотки статора (вместе с ротором) приведены в табл. 4 для уже представлявшихся моделей
ZL1, ZL2 и ZL3 (рис. 5). Как и ранее, буква L в обозначении соответствует линейным свойствам маг-
нитопровода с относительной магнитной проницаемостью, в данном случае – для всех μr=104. Кроме
того, для модели Z3 дан вариант ZN3 с учетом насыщения магнитопровода при токе Is=5857 А, обес-
печивающем такую же ЭДС Еs1=9298 В, как и в номинальном режиме [6].
Из табл. 4 видно, что в линейном варианте ZL1 при отсутствии зубчатости ротора и статора
высшие гармоники практически отсутствуют, что еще раз подтвердило истину: синусоидальный ток
при отсутствии возмущающих факторов со стороны магнитопровода может породить только синусо-
идальную ЭДС. Зубчатые структуры статора и, особенно ротора, как источники возмущающих фак-
торов, начинают порождать высшие гармоники МПС и ЭДС, что видно из табл. 4 по вариантам ZL2 и
ZL3. При наличии зубчатости обоих сердечников в нелинейном варианте ZN3 высшие гармоники
проявляются в значительно большей степени.
Таблица 4
Режим ν 3 5 7 9 11 13
Ψ*
m,ν 7·10-8 1,2·10-7 6·10-8 2·10-8 5·10-8 3,5·10-8 ZL1
E*
m,ν 2·10-7 6·10-7 4,4·10-7 2·10-7 5·10-7 4,6·10-7
Ψ*
m,ν 1,3·10-5 1·10-5 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 ZL2
E*
m,ν 3,8·10-5 4,6·10-5 3,3·10-5 3,4·10-5 4,1·10-5 3,5·10-5
Ψ*
m,ν 1,63·10-3 3·10-5 3·10-5 7·10-5 2·10-5 1·10-5 ZL3
E*
m,ν 4,89·10-3 18·10-5 21·10-5 68·10-5 22·10-5 12·10-5
Ψ*
m,ν 12,7·10-3 1·10-3 0,4·10-3 0,1·10-3 0,3·10-3 0,0000 ZN3
E*
m,ν 38,0·10-3 4,9·10-3 3,0·10-3 1,0·10-3 2,9·10-3 0,4·10-3
Ψ*
m,ν 0,0138 0,0002 0,0004 0,0003 0,0001 0,0000 ХХ
E*
m,ν 0,0415 0,0008 0,0031 0,0026 0,0009 0,0002
Ψ*
m,ν 0,0095 0,0002 0,0007 0,0006 0,0004 0,0002 НН
E*
m,ν 0,0286 0,0009 0,0052 0,0050 0,0046 0,0030
В целом числовые данные гармонического анализа, полученные на основе численных расчетов
вращающегося магнитного поля обмотки статора, существенно отличаются от данных предыдущих ва-
риантов гармонического анализа, и, в первую очередь, от классического, построенного на целом ряде
допущений. И, самое главное, численно-полевой гармонический анализ дает временные гармоники ЭДС
и других величин, тогда как классический вариант гармонического анализа ограничен фактически толь-
ко координатными гармониками.
Рис. 7
48 ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2013. № 3
В табл. 4 приведены еще данные гармонического состава МПС и ЭДС фазной обмотки рас-
сматриваемого ТГ, которые получены в [6] также на основе численных расчетов вращающихся маг-
нитных полей, но в режимах холостого хода (ХХ) и номинальной нагрузки (НН) с учетом реальной
модели (рис. 1) и насыщения магнитопровода. Естественно, что эти результаты весьма отличаются от
гармонического состава, полученного от магнитного поля только обмотки статора. Получить сколь-
ко-нибудь адекватные численные результаты гармонического анализа классическим методом в ре-
жиме ХХ и, особенно, в режиме нагрузки, практически не представляется возможным, учитывая ре-
зультаты всех рассмотренных выше вариантов такого анализа.
Таким образом, классический гармонический анализ электромагнитных величин не может яв-
ляться расчетным инструментом, пригодным для получения сколько-нибудь реальных числовых ре-
зультатов. Аналогично, не может координатное распределение магнитной индукции в зазоре ТГ да и
других электрических машин с зубчатыми структурами сердечников являться основой гармоническо-
го состава МПС и ЭДС в обмотках. Это еще раз подтверждает рис. 8, где показаны графики радиаль-
ной составляющей магнитной индукции
Br(α) на средней линии зазора для реальной
модели ТГ (рис. 1) в режимах ХХ и НН. Ес-
ли бы эти кривые были основой гармониче-
ского анализа, то для ЭДС он был бы совер-
шенно другим и намного хуже тех результа-
тов, которые приведены в табл. 4 для анало-
гичных режимов с использованием времен-
ных функций МПС.
Можно с уверенностью предполо-
жить, что результаты и выводы, полученные
на примере ТГ, можно распространить и на
другие типы ЭМ переменного тока, причем
все будет более ярко выражено в условиях
машин с относительно малым зазором, на-
пример, в асинхронных машинах.
Выводы.
1. Классический метод гармонического анализа, основанный на таких условностях, как выне-
сение обмоток в зазор между сердечниками ротора и статора, пренебрежение их зубчатостью и на-
сыщением, а также на использовании ступенчатых координатных функций МДС, не может дать чис-
ловые результаты, адекватно отображающие электромагнитные процессы в обмотках электрических
машин переменного тока.
2. Расчетный анализ на основе численно-полевого подхода показал, что учет названных до-
пущений, каждого по отдельности и, тем более, всех вместе, ведет к существенным изменениям гар-
монического состава электромагнитных величин, в том числе, и ЭДС в обмотках переменного тока.
3. Гармонический состав и форма кривых временных функций МПС и ЭДС обмоток перемен-
ного тока весьма плохо коррелируют с координатными функциями магнитной индукции в зазоре, по-
этому последние не могут быть основой гармонического состава упомянутых временных функций.
4. Адекватный гармонический анализ временных функций МПС и ЭДС может быть проведен
только на основе использования многопозиционных численных расчетов вращающегося магнитного
поля электрических машин.
1. Вольдек А.И. Электрические машины. – Л.: Энергия, 1978. – 832 с.
2. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. – М.: Наука, 1973.
– 832 с.
3. Милых В.И., Полякова Н.В. Гармонический анализ ЭДС в турбогенераторе на основе численных рас-
четов вращающихся магнитных полей в различных режимах // Електротехніка і електромеханіка. – 2004. – №4.
– С. 46–51.
4. Милых В.И., Полякова Н.В. Определение электромагнитных параметров электрических машин на ос-
нове численных расчетов магнитных полей // Електротехніка і електромеханіка. – 2006. – №2. – С. 40–46.
5. Милых В.И., Полякова Н.В. Система направлений и фазовых соотношений электромагнитных вели-
чин при численных расчетах магнитных полей в турбогенераторе // Електротехніка і електромеханіка. – 2011. –
№5. – С. 33–38.
Рис. 8
ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2013. № 3 49
6. Милых В.И., Полякова Н.В. Сравнительный численно-полевой анализ гармонического состава ЭДС в
турбогенераторах // Електротехніка і електромеханіка. – 2012. – №2. – С. 45–49.
7. Meeker D. Finite Element Method Magnetics. Version 4.2. User’s Manual, September 26, 2006 //
http://femm.berlios.de.
УДК 621.313
ГАРМОНІЙНИЙ АНАЛІЗ ЕЛЕКТРОМАГНІТНИХ ВЕЛИЧИН ТРИФАЗНОЇ ОБМОТКИ СТАТОРА
ТУРБОГЕНЕРАТОРА НА ОСНОВІ КЛАСИЧНИХ ТА ЧИСЕЛЬНО-ПОЛЬОВИХ МЕТОДІВ
В.І. Мілих, докт.техн.наук, Н.В. Полякова
Національний технічний університет ״Харківський політехнічний інститут״,
вул. Фрунзе, 21, Харків, 61002, Україна.
e-mail: mvikpi@kharkov.ua
Представлено варіанти методу чисельно-польового гармонійного аналізу електромагнітних величин, пов'яза-
них з обмотками змінного струму електричних машин. На основі найбільш детермінованого методу, побудова-
ного на використанні обертового магнітного поля і часової функції магнітного потокозчеплення, виконано
тестування інших методів, у тому числі - класичного методу гармонійного аналізу. Бібл. 7, табл. 4, рис. 8.
Ключові слова: електричні машини, гармонійний аналіз, класичний метод, чисельно-польовий метод, тестування.
HARMONIOUS ANALYSIS OF ELECTROMAGNETIC SIZES THREE-PHASE WINDING OF STATORS OF
TURBOGENERATOR ON BASIS CLASSIC AND NUMERAL FIELD METHODS
V.I. Milykh, N.V. Poliakova
National Technical University “Kharkov Polytechnic Institute”,
Frunze str., 21, Kharkiv, 61002, Ukraine.
e-mail: mvikpi@kharkov.ua
The variants of method are presented the numeral-field harmonic analysis of electromagnetic sizes, related to winding
of alternating current of electric machines. On the basis of the most determined method, built on the use of revolved
magnetic-field and temporal function of magnetic linkage, testing of other methods is conducted, including - classic
method of harmonic analysis. References 7, tables 4, figures 8.
Key words: electric machines, harmonic analysis, classic method, numeral-field method, testing.
1. Voldek А.I. Electric machines. – Leningrad: Energiia, 1978.– 832 p. (Rus)
2. Коrn G., Коrn Т. Reference book on mathematics for research workers and engineers. – Мoskva: Nauka,
1973. – 832 p. (Rus)
3. Milykh V.I., Poliakova N.V. Harmonic analysis EMF in a turbogenerator on the basis of numeral calculations
of the revolved magnetic fields in the different modes // Elektrotekhnika i Elektromekhanika. – 2004. – №4. – Pp. 46–
51. (Rus)
4. Milykh V.I., Poliakova N.V. Determination of electromagnetic parameters of electric machines on the basis
of numeral calculations of the magnetic fields // Elektrotekhnika i Elektromekhanika. – 2006. – №2. – Pp. 40–46. (Rus)
5. Milykh V.I., Poliakova N.V. System of directions and correlations of phases of electromagnetic sizes at the
numeral calculations of the magnetic fields in a turbogenerator // Elektrotekhnika i Elektromekhanika. – 2011. – №5. –
Pp. 33–38. (Rus)
6. Milykh V.I., Poliakova N.V. Comparative the numeral-field analysis of harmonic composition EMF in tur-
bogenerators // Elektrotekhnika i Elektromekhanika. – 2012. – №2. – Pp. 45–49. (Rus)
7. Meeker D. Finite Element Method Magnetics. Version 4.2. User’s Manual, September 26, 2006 //
http://femm.berlios.de.
Надійшла 27.08.2012
Received 27.08.2012
|