Нелинейные нормальные формы параметрических колебаний
An iterative procedure combining the Rausher approach and nonlinear modes is suggested to analyze nonlinear systems with parametric terms. The example of the application of this method to the analysis of beam parametric vibrations interacting with a discrete oscillator is considered.
Saved in:
| Date: | 2008 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2008
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6233 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Нелинейные нормальные формы параметрических колебаний / К.В. Аврамов // Доп. НАН України. — 2008. — № 11. — С. 53-58. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-6233 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Аврамов, К.В. 2010-02-19T15:07:23Z 2010-02-19T15:07:23Z 2008 Нелинейные нормальные формы параметрических колебаний / К.В. Аврамов // Доп. НАН України. — 2008. — № 11. — С. 53-58. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6233 539.3 An iterative procedure combining the Rausher approach and nonlinear modes is suggested to analyze nonlinear systems with parametric terms. The example of the application of this method to the analysis of beam parametric vibrations interacting with a discrete oscillator is considered. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Механіка Нелинейные нормальные формы параметрических колебаний Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Нелинейные нормальные формы параметрических колебаний |
| spellingShingle |
Нелинейные нормальные формы параметрических колебаний Аврамов, К.В. Механіка |
| title_short |
Нелинейные нормальные формы параметрических колебаний |
| title_full |
Нелинейные нормальные формы параметрических колебаний |
| title_fullStr |
Нелинейные нормальные формы параметрических колебаний |
| title_full_unstemmed |
Нелинейные нормальные формы параметрических колебаний |
| title_sort |
нелинейные нормальные формы параметрических колебаний |
| author |
Аврамов, К.В. |
| author_facet |
Аврамов, К.В. |
| topic |
Механіка |
| topic_facet |
Механіка |
| publishDate |
2008 |
| language |
Russian |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| format |
Article |
| description |
An iterative procedure combining the Rausher approach and nonlinear modes is suggested to analyze nonlinear systems with parametric terms. The example of the application of this method to the analysis of beam parametric vibrations interacting with a discrete oscillator is considered.
|
| issn |
1025-6415 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6233 |
| citation_txt |
Нелинейные нормальные формы параметрических колебаний / К.В. Аврамов // Доп. НАН України. — 2008. — № 11. — С. 53-58. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT avramovkv nelineinyenormalʹnyeformyparametričeskihkolebanii |
| first_indexed |
2025-11-25T00:49:40Z |
| last_indexed |
2025-11-25T00:49:40Z |
| _version_ |
1850499873210630144 |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
11 • 2008
МЕХАНIКА
УДК 539.3
© 2008
К.В. Аврамов
Нелинейные нормальные формы параметрических
колебаний
(Представлено академиком НАН Украины В.Д. Кубенко)
An iterative procedure combining the Rausher approach and nonlinear modes is suggested to
analyze nonlinear systems with parametric terms. The example of the application of this method
to the analysis of beam parametric vibrations interacting with a discrete oscillator is considered.
Существует много методов анализа параметрических колебаний дискретных систем. Для
исследования таких систем с малым параметром применяются методы Ван дер Поля, мно-
гих масштабов, Мельникова [1, 2]. Подходы к анализу параметрических колебаний в су-
щественно нелинейных системах излагаются в [3, 4]. В данной работе для анализа парамет-
рических колебаний предлагается итерационная процедура, сочетающая метод Раушера
и нелинейных нормальных форм колебаний [4, 5]. Этот подход является эффективным при
анализе систем с большим числом степеней свободы. Например, он является эффектив-
ным при исследовании параметрических колебаний в нелинейных системах с десятками
степеней свободы. Ранее метод Раушера применялся для анализа вынужденных колебаний
нелинейных систем [6–9].
В общем случае нелинейную систему, совершающую параметрические колебания, запи-
шем таким образом:
ξ̈j + ω2
j ξj + Fj(ξ1, . . . , ξn, ξ̇1, . . . , ξ̇n) +
n∑
i=1
ajiξi cos(2Ωt) = 0, j = 1, n. (1)
Рассмотрим движение динамической системы (1) около нелинейных нормальных форм,
которые представим так:
ξν = ξν(ξl, vl) = a
(ν)
1 ξ2
l + a
(ν)
2 ξlvl + · · · ;
vν = vν(ξl, vl) = b
(ν)
1 ξ2
l + b
(ν)
2 ξlvl + · · · ; ν = 1, . . . ,m; ν 6= l.
(2)
Для определения таких движений построим итерационный процесс. Аналогичная про-
цедура для расчета вынужденных колебаний описана в работе [10]. На первой итерации
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №11 53
предположим, что ξl 6= 0; vl 6= 0 и ξν = vν = 0. Тогда динамическая система (1) сводится
к уравнению
ξ̈l + ω2
l ξl + F̃l(ξl, ξ̇l, ξ̈l) + allξl cos(2Ωt) = 0. (3)
Для исследования динамики системы (3) воспользуемся методом гармонического ба-
ланса. Тогда движения представим так:
ξl = A0 + A1 cos(Ωt) + B1 sin(Ωt) + A2 cos(2Ωt) + B2 sin(2Ωt). (4)
Величины (A0, A1, B1, A2, B2,Ω) удовлетворяют системе пяти нелинейных алгебраических
уравнений: Φµ(A0, A1, B1, A2, B2,Ω) = 0; µ = 1, 5.
Целью анализа системы (1) является получение амплитудно-частотной характеристики.
Тогда параметр A2 задается с некоторым шагом и для каждого значения A2 решается
система нелинейных уравнений относительно (A0, A1, B1, B2,Ω).
Из уравнения (4) получим:
ξl = A0 + A1z2 + B1z1 + A2(z
2
2 − z2
1) + 2B2z1z2;
ξ̇l = −A1Ωz1 + B1Ωz2 − 4ΩA2z1z2 + 2ΩB2(z
2
2 − z2
1),
(5)
где z1 = sin Ωt; z2 = cos Ωt. Уравнения (5) могут быть перестроены таким образом:
z1 = α0 + α1ξl + α2ξ̇l + α3ξ
2
l + α4ξ̇
2
l + · · · ;
z2 = β0 + β1ξl + β2ξ̇l + β3ξ
2
l + β4ξ̇
2
l + · · · ,
(6)
где α0, α1, . . . , β0, β1, . . . — неизвестные коэффициенты. Уравнения (5) вводятся в (6) и при-
равниваются коэффициенты при ξ
j1
l ξ
j2
l ; j1 = 0, 1, . . . ; j2 = 0, 1, . . .. В результате получаем
две системы линейных алгебраических уравнений:
[M ]A = R1; [M ]B = R2, RT
1 = [0, 0, 1, 0, 0, 0]; RT
2 = [0, 0, 0, 0, 1, 0];
AT = [α0, α1, α2, α3, α4, α5]; BT = [β0, β1, β2, β3, β4, β5];
M =
0 −A2 −2B2Ω B2
1 − 2A0A2 A2
1Ω
2 −B1A1Ω − 2A0B2Ω
0 2B2 −4A2Ω 4A0B2 + 2A1B1 −2B1Ω
2A1 B2
1Ω − 4A0A2Ω − A2
1Ω
0 B1 −A1Ω 2A0B1 0 −A0A1Ω
0 A2 2B2Ω 2A0A2 + A2
1 B2
1Ω2 B1A1Ω + 2A0B2Ω
0 A1 B1Ω 2A0A1 0 A0B1Ω
1 A0 0 A2
0 0 0
.
(7)
Решая системы линейных алгебраических уравнений (7), получаем ряд (6). Тогда из (6)
могут быть получены следующие соотношения:
sin(Ωt) = S(ξl, ξ̇l); cos(Ωt) = C(ξl, ξ̇l). (8)
Теперь соотношения (8) введем в систему (3) и получим псевдоавтономную динамичес-
кую систему [11]:
ξ̈j + ω2
j ξj + Rj(ξ1, . . . , ξn, ξ̇1, . . . , ξ̇n, ξ̈1, . . . , ξ̈n) = 0; j = 1, n. (9)
54 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №11
Решение системы (9) представим в виде нелинейной нормальной формы (2). Тогда функ-
ции ξν(ξl, vl); vν(ξl, vl) удовлетворяют следующей системе уравнений в частных производ-
ных, которая получена в [5]:
vν(ξl, vl) =
= vl
∂ξν
∂ξl
−
∂ξν
∂vl
[ω2
l ξl+Rl(ξ1, . . . , ξn, v1(ξl, vl), . . . , vn(ξl, vl);−ω2
1ξ1; . . . ;−ω2
nξn)];
ω2
νξν(ξl, vl) + Rν(ξ1, . . . , ξn, v1(ξl, vl), . . . , vn(ξl, vl);−ω2
1ξ1; . . . ;−ω2
nξn) =
=−vl
∂vν
∂ξl
+
∂vν
∂vl
[ω2
l ξl+Rl(ξ1, . . . , ξn, v1(ξl, vl), . . . , vn(ξl, vl);−ω2
1ξ1; . . . ;−ω2
nξn)].
(10)
Ряды (2) вводятся в систему (10) и приравниваются коэффициенты при ξ
j1
l v
j2
l ; j1 =
= 0, 1, . . .; j2 = 0, 1, . . .. В результате получим систему линейных алгебраических уравнений
относительно a
(ν)
1 , a
(ν)
2 , . . . , b
(ν)
1 , b
(ν)
2 , . . .. Решая эту систему, найдем функцию (2). На этом
заканчивается первая итерация.
Рассмотрим вторую итерацию. Функция (2) вводится в l уравнение системы (1). В ре-
зультате получим одно неавтономное уравнение второго порядка, которое в общем случае
можно представить так:
ξ̈l + ω2
l ξl + Fl[ξ1(ξl, vl), . . . , ξn(ξl, vl); v1(ξl, vl), . . . , vn(ξl, vl);−ω2
1ξ1(ξl, vl); . . .
. . . ;−ω2
nξn(ξl, vl)] + allξl cos(2Ωt) +
n∑
i=1
i6=l
aliξi(ξl, vl) cos(2Ωt) = 0. (11)
Решение системы (11) представим в виде (4). После построения решения (4) методом
гармонического баланса определяется функция (8) и нелинейная нормальная форма псев-
доавтономной системы (9). Вторая итерация заканчивается определением нелинейной нор-
мальной формы (2). Если коэффициенты a
(ν)
1 , a
(ν)
2 , . . . двух соседних итераций близки, то
периодические движения для заданного значения A2 считаются найденными. Для расче-
та всей амплитудно-частотной характеристики периодических колебаний задаются значе-
ния A2 с некоторым шагом. Для каждой величины A2 производится расчет периодических
движений.
В качестве примера применения представленного выше метода рассмотрим взаимодейст-
вие стержня, совершающего параметрические колебания, с осциллятором с одной степенью
свободы (рис. 1). Относительно безразмерных переменных и параметров такая динамичес-
кая система принимает вид
w∗
(IV ) +
χ
2
(w′′
∗w
′
∗
2)′′ + w′′
∗
{
f cos(Ωt) − 0,5mχ
1∫
0
(w′
∗
2)′′ττdξ
}
+ ẅ∗ − χ(Nw′
∗)
′ =
= cδ(ξ − 0,5){q∗ − w∗(0,5; t)};
m1q̈∗ = −c[q∗ − w∗(0,5; t)]; N = 0,5
1∫
ξ
dξ1
ξ1∫
0
(w′
∗
2)′′ττdξ2.
(12)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №11 55
Рис. 1
В системе (12) учтена нелинейная инерционность и нелинейная кривизна. Такая мо-
дель параметрических колебаний стержня представлена в работе [12]. Предположим, что
стержень совершает колебания по первой форме: w(ξ, t) = θ(t) sin(πξ). Применяя метод
Бубнова–Галеркина, континуально-дискретную систему (12) сведем к системе с двумя сте-
пенями свободы, которая принимает вид:
θ̈ + π4θ +
χ
8
π6θ3 − θπ2[f cos(2Ωt) − 0,25mχπ2(θ2)··] + χπ2
(
π2
12
−
3
32
)
θ(θ2)·· −
− 2c(q∗ − θ) = 0;
m1q̈∗ + c(q∗ − θ).
(13)
Систему (13) представим относительно нормальных координат линейной части. Для этого
введем замену переменных:
[ξ1ξ2]
T = U−1[θq∗]
T ,
где U — матрица, которая получается из проблемы собственных значений. Тогда систе-
му (13) можно представить так:
ξ̈1 + p2
1ξ1 + ςF1(ξ1, ξ2, ξ̇1, ξ̇2, ξ̈1, ξ̈2, t) = 0;
ξ̈2 + p2
2ξ2 + ςF1(ξ1, ξ2, ξ̇1, ξ̇2, ξ̈1, ξ̈2, t) = 0;
F1(ξ1, ξ2, ξ̇1, ξ̇2, ξ̈1, ξ̈2, t) = γ1P2(ξ1, ξ2) + 2γ3P1(ξ1, ξ2, ξ̇1, ξ̇2) + 2γ3P1(ξ̈1, ξ̈2, ξ1, ξ2) −
− (f11ξ1 + f12ξ2) cos(2Ωt),
(14)
где P2(ξ1, ξ2); P1(ξ1, ξ2, ξ̇1, ξ̇2) — полиномы третьих степеней. Параметры a1, a2 не приводятся
вследствие их громоздкости.
Теперь для анализа динамической системы (14) применим метод, предложенный выше.
На первой итерации предположим, что ξ2 = 0. Тогда система (14) преобразуется к виду
ξ̈1 + p2
1ξ1 + ς[γ1a
3
1ξ
3
1 + 2γ3a
3
1(ξ̇
2
1ξ1 + ξ2
1 ξ̈1) − f11ξ1 cos(2Ωt)] = 0. (15)
56 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №11
Колебания системы (15) представим так:
ξ1 = A1 cos Ωt + B1 sin Ωt. (16)
Используя метод гармонического баланса, получим следующие движения системы (15):
состояния равновесия A1 = B1 = 0 и два вида периодических режимов с амплитудами
(A1, B1) =
(√
Ω2 − p2
1 − 0,5f11
0,75γ1 − 0,5γ3Ω2
; 0
)
;
(A1, B1) =
(
0;
√
Ω2 − p2
1 + 0,5f11
0,75γ1 − 0,5γ3Ω2
)
.
(17)
Функция cos(2Ωt) может быть получена из уравнений (17), (5)–(7) в следующем виде:
cos(2Ωt) = α1q
2
1 + α2q̇
2
1 + α3q1q̇1,
где α1, α2, α3 зависят от A1, B1. Введем эту функцию в динамическую систему (14). В ре-
зультате прийдем к следующей псевдоавтономной динамической системе:
ξ̈i+p2
i ξi+riς[P2(ξ1, ξ2)+P1(ξ1, ξ2, ξ̇1, ξ̇2)+P1(ξ̈1, ξ̈2, ξ1, ξ2)−β1ξ
2
1 ξ̇1−β2ξ1ξ̇1ξ2] = 0, (18)
где P2(ξ1, ξ2); P1(ξ1, ξ2, ξ̇1, ξ̇2) — полиномы третьих степеней. В системе (18) определим не-
линейные нормальные формы [5]
ξ2 = π4ξ
3
1 + π5ξ
2
1v1 + π6ξ1v
2
1 + π7v
3
1 + · · · ;
v2 = ρ4ξ
3
1 + ρ5ξ
2
1v1 + ρ6ξ1v
2
1 + ρ7v
3
1 + · · · .
(19)
Для нахождения нормальных форм (19) воспользуемся уравнением типа (10). Используя
это уравнение и процедуру его решения в степенных рядах, получим коэффициенты π4,
π5, . . . , ρ4, ρ5, . . .. На этом заканчивается первая итерация метода.
Теперь нелинейную нормальную форму (19) введем в первое уравнение системы (18).
В результате получим следующее уравнение:
ξ̈1 + p2
1ξ1 + ς{γ1a
3
1ξ
3
1 + 2γ3a
3
1ξ̇
2
1ξ1 + 2γ3a
3
1ξ
2
1 ξ̈1 − f11ξ1 cos(2Ωt) −
− f12(π4ξ
3
1 + π5ξ
2
1v1 + π6ξ1v
2
1 + π7v
3
1) cos(2Ωt)}.
(20)
Уравнение (20) более точно описывает параметрические колебания на нелинейной нор-
мальной форме по сравнению с уравнением (15). Решение динамической системы (20) пред-
ставим в виде (16). Применяя метод гармонического баланса, приходим к системе двух не-
линейных алгебраических уравнений относительно (A1, B1). На этом заканчивается первая
итерация.
Теперь рассмотрим систему (см. рис. 1) со следующими параметрами: f = 1; r =
= 0,289 · 10−3 м; M1 = 0,0521 кг; c = 70. Результаты численных расчетов представлены на
амплитудно-частотной характеристике (рис. 2), где показана зависимость A1, B1 от Ω. Как
следует из рис. 2, в системе (см. рис. 1) существует состояние равновесия, которое в области
основного параметрического резонанса становится неустойчивым, и от этого равновесного
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №11 57
Рис. 2
состояния ответвляются устойчивые периодические колебания, которые описываются вет-
кой A1.
Работа частично поддержана Фондом фундаментальных исследований Украины в рамках про-
екта Ф25.1/042.
1. Найфэ А.Х. Методы возмущений. – Москва: Мир, 1976. – 456 с.
2. Морозов А.Д. Глобальный анализ в теории нелинейных колебаний. – Нижний Новгород: Изд-во
Нижегород. ун-та, 1995. – 288 с.
3. Parker T. S., Chua L.O. Practical numerical algorithms for chaotic systems. – New York: Springer, 1989. –
650 p.
4. Маневич Л.И., Михлин Ю.В., Пилипчук В.Н. Метод нормальных форм для существенно нелиней-
ных систем. – Москва: Наука, 1989. – 215 с.
5. Аврамов К.В., Пьерр К., Ширяева Н.С. Нелинейные нормальные формы колебаний систем с гиро-
скопическими силами // Доп. НАН України. – 2006. – № 11. – С. 7–10.
6. Rauscher M. Steady oscillations of system with nonlinear and unsymmetrical elasticity // J. Appl. Mech. –
1938. – A-169, No 5. – P. 24–28.
7. Стокер Дж. Нелинейные колебания в механических и электрических системах. – Москва: Изд-во
иностр. лит., 1953. – 256 с.
8. Каудерер Г. Нелинейная механика. – Москва: Изд-во иностр. лит., 1961. – 765 с.
9. Rosenberg R.M. Steady-state forced vibrations // Internat. J. of Non-linear Mech. – 1966. – No 1. –
P. 95–108.
10. Товажнянский Л.Л., Аврамов К.В., Александров Е. Е. и др. Академик Александр Михайлович Ля-
пунов. К 150-летию со дня рождения. – Харьков: НТУ “ХПИ”, 2007. – 285 с.
11. Vakakis A. F., Manevitch L. I., Mikhlin Yu. et al. Nonlinear modes and localization in nonlinear systems. –
New York: Wiley, 1998. – 800 p.
12. Болотин В.В. Динамическая устойчивость упругих систем. – Москва: Гостехиздат, 1956. – 500 с.
Поступило в редакцию 29.02.2008Институт проблем машиностроения
им. А.Н. Подгорного НАН Украины, Харьков
58 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №11
|