Синтез оптимальной магнитной системы с постоянными магнитами для адресной доставки магнитных наночастиц в заданную область биологических сред
В работе рассмотрен подход к построению оптимальной магнитной системы, создающей максимальную магнитную силу, действующую на магнитные частицы. Суть подхода состоит в том, что первоначально выбирается базовый вариант магнитной системы, строится на его основе ряд геометрически подобных систем и из эт...
Saved in:
| Published in: | Технічна електродинаміка |
|---|---|
| Date: | 2013 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут електродинаміки НАН України
2013
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/62345 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Синтез оптимальной магнитной системы с постоянными магнитами для адресной доставки магнитных наночастиц в заданную область биологических сред / А.Д. Подольцев, И.П. Кондратенко // Технічна електродинаміка. — 2013. — № 4. — С. 3–12. — Бібліогр.: 10 назв. — pос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859616977950081024 |
|---|---|
| author | Подольцев, А.Д. Кондратенко, И.П. |
| author_facet | Подольцев, А.Д. Кондратенко, И.П. |
| citation_txt | Синтез оптимальной магнитной системы с постоянными магнитами для адресной доставки магнитных наночастиц в заданную область биологических сред / А.Д. Подольцев, И.П. Кондратенко // Технічна електродинаміка. — 2013. — № 4. — С. 3–12. — Бібліогр.: 10 назв. — pос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Технічна електродинаміка |
| description | В работе рассмотрен подход к построению оптимальной магнитной системы, создающей максимальную магнитную силу, действующую на магнитные частицы. Суть подхода состоит в том, что первоначально выбирается базовый вариант магнитной системы, строится на его основе ряд геометрически подобных систем и из этого ряда выбирается система с максимальной величиной силы, действующей на частицы. Показано, что характеристики такой оптимальной магнитной системы зависят от расстояния магнитной частицы до ее поверхности и от физических свойств частицы, в частности, является ли она однодоменной или многодоменной. Рассмотрен пример построения оптимальной магнитной системы и приведены распределения в ней магнитного поля и силы, полученные путем численного расчета и эксперимента.
У роботі розглянуто підхід до побудови оптимальної магнітної системи, що створює максимальну магнітну силу на магнітні наночастинки. Суть підходу полягає в тому, що спочатку вибирається базовий варіант магнітної системи, будується на його основі ряд геометрично подібних систем і з цього ряду вибирається система з максимальною величиною сили, що діє на частинки. Показано, що характеристики такої оптимальної магнітної системи залежать від відстані магнітної частинки до її поверхні та від фізичних властивостей частинок, зокрема, чи є вони однодоменні або багатодоменні. Наведено приклад побудови оптимальної магнітної системи і показано розподіл у її активній зоні магнітного поля та сили, які отримано шляхом чисельного розрахунку та експериментально.
The approach of synthesis of the optimal magnetic system with permanent magnets, creating of maximum magnetic force on nanoparticles is proposed. This approach consists of that originally gets out base variant of the magnetic system, a row is built on his basis geometrically similar systems and from this row the system gets out with maximal in size forces, operating on particles. It is shown that parameters of optimal magnetic system depend on distance of magnetic particle to its surface and from physical properties of particle, in particular, whether are it one-domain or multi-domain . The example of construction of the optimum magnetic system is shown and results of distribution of the magnetic field and force obtained by numeral calculation and experimental method are considered.
|
| first_indexed | 2025-11-28T21:29:34Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2013. № 4 3
ТЕОРЕТИЧНА ЕЛЕКТРОТЕХНІКА ТА ЕЛЕКТРОФІЗИКА
УДК 621.3.013
СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНОЙ МАГНИТНОЙ СИСТЕМЫ С ПОСТОЯННЫМИ
МАГНИТАМИ ДЛЯ АДРЕСНОЙ ДОСТАВКИ МАГНИТНЫХ НАНОЧАСТИЦ
В ЗАДАННУЮ ОБЛАСТЬ БИОЛОГИЧЕСКИХ СРЕД
А.Д.Подольцев, докт.техн.наук, И.П.Кондратенко, докт.техн.наук
Институт электродинамики НАН Украины,
пр. Победы, 56, Киев-57, 03680, Украина.
e-mail: podol@ied.org.ua
В работе рассмотрен подход к построению оптимальной магнитной системы, создающей максимальную маг-
нитную силу, действующую на магнитные частицы. Суть подхода состоит в том, что первоначально выби-
рается базовый вариант магнитной системы, строится на его основе ряд геометрически подобных систем и
из этого ряда выбирается система с максимальной величиной силы, действующей на частицы. Показано, что
характеристики такой оптимальной магнитной системы зависят от расстояния магнитной частицы до ее
поверхности и от физических свойств частицы, в частности, является ли она однодоменной или многодомен-
ной. Рассмотрен пример построения оптимальной магнитной системы и приведены распределения в ней маг-
нитного поля и силы, полученные путем численного расчета и эксперимента. Библ. 10, рис. 9.
Ключевые слова: магнитная система, постоянные магниты, наночастицы, магнитная сила, оптимизация.
Введение. Магнитные наночастицы находят все более широкое применение в биомедицин-
ских исследованиях благодаря следующим обстоятельствам [3, 7, 9]. Во-первых, они имеют контро-
лируемые размеры 2−10 нм, которые значительно меньше размеров биологической клетки (10−100
мкм) или вируса (20−450 нм). Это позволяет им проникать внутрь клетки (или вируса) и воздейство-
вать непосредственно на внутриклеточные структуры. Во-вторых, на наночастицы из материала, об-
ладающего магнитными свойствами, можно оказывать силовое воздействие внешним неоднородным
магнитным полем. Это позволяет "бесконтактным" способом управлять движением таких частиц в
водных растворах и биологических системах и повышать их концентрацию непосредственно в задан-
ной области, в частности, в зоне новообразованной опухоли. В связи с этим в настоящее время ин-
тенсивно развивается научное направление – адресная доставка и локализация магнитных наночастиц
в биологических системах. В-третьих, магнитные частицы, находящиеся в потоке крови, при наложе-
нии внешнего магнитного поля, способствуют повышению эффективной вязкости крови и принципи-
ально могут приводить к возникновению "управляемых" тромбов в венах и капиллярах, питающих
раковые клетки, т.е. к возникновению управляемого физического эффекта блокирования кровоснаб-
жения. Основанный на таком физическом принципе способ терапии опухоли в настоящее время ин-
тенсивно изучается. В-четвертых, магнитные частицы, находящиеся во внешнем переменном маг-
нитном поле, поглощают энергию электромагнитного поля, нагреваясь при этом сами и нагревая ок-
ружающие их ткани. Такая технология магнитной гипертермии в настоящее время активно исследу-
ется для терапии опухолей (например, [9]).
Использование магнитных наночастиц для биомедицинских исследований является междис-
циплинарной задачей, для решения которой необходимо привлечение специалистов различного про-
филя − медиков, биологов, физиков, специалистов в области материаловедения и электродинамики. С
точки зрения макроскопической электродинамики отметим следующие основные задачи, от решения
которых в значительной мере зависит успешное применении магнитных наночастиц в биомедицине,
в частности, при терапии опухолей:
– определение магнитных свойств наночастиц в постоянном магнитном поле и их эффектив-
ных свойств в высокочастотном магнитном поле;
– исследование магнитофоретического движения магнитных наночастиц в живых тканях при воз-
действии внешнего неоднородного магнитного поля, как постоянного так и переменного во времени;
− разработка и создание оптимальных магнитных систем, обеспечивающих эффективное си-
ловое воздействие магнитного поля на наночастицы.
© Подольцев А.Д., Кондратенко И.П., 2013
4 ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2013. № 4
Целью данной работы является анализ некоторых подходов к решению последней из указан-
ных задач – построение оптимальной магнитной системы на основе постоянных магнитов (под опти-
мальной понимается система, которая оказывает наибольшее силовое воздействие на частицы) для
обеспечения адресной доставки и локализации магнитных наночастиц в заданную область в биологи-
ческой системе. Показано, что при построении таких магнитных систем основными исходными дан-
ными являются, во-первых, расстояние до магнитных частиц от поверхности магнитной системы или,
что эквивалентно, глубина, на которой необходимо локализовать магнитные частицы в живом орга-
низме и, во-вторых, магнитные свойства частиц – являются ли они однодоменными или многодомен-
ными. Предлагаемый подход позволяет также получить ответ на вопрос – какую магнитную систему
необходимо синтезировать для наиболее эффективного воздействия на магнитные частицы, находя-
щиеся на заданной глубине относительно поверхности биологической системы.
Построение оптимальной магнитной системы в данной работе на первом этапе применено для
случая идеализированной двумерной магнитной системы, для которой существуют аналитические
выражения для распределения магнитного поля и силы в ее активной зоне. На втором этапе рассмат-
ривается реальная трехмерная конструкция магнитной системы и определяются ее оптимальные гео-
метрические размеры при различном расстоянии магнитных наночастиц от ее поверхности.
Оптимальные характеристики идеализированной магнитной системы. Рассмотрим идеа-
лизированную двумерную магнитную
систему, состоящую из магнитного по-
лупространства с магнитной проницае-
мостью ∞=μ , на поверхности которо-
го периодически расположены постоян-
ные магниты чередующейся полярно-
сти, бесконечно протяженные вдоль
оси y (рис. 1, а). С точки зрения рас-
пределения магнитного поля такую си-
стему магнитов можно заменить систе-
мой поверхностных токов с линейной
токовой нагрузкой, расположенной на
поверхности магнитопровода (рис. 1, б)
и изменяющейся вдоль оси x по гармо-
ническому закону )cos( xJJ m α= ,
τπ=α / , где τ − полюсный шаг.
Распределение напряженности магнитного поля в такой системе описывается следующей
системой дифференциальных уравнений в частных производных [2, 6]:
2 2
2 2 0x xH H
x z
∂ ∂
+ =
∂ ∂
,
2 2
2 2 0z zH H
x z
∂ ∂
+ =
∂ ∂
(1)
с граничными условиями на поверхности магнитопровода вида
0 cos( )x mzH J xα= = ,
0 0
sin( )xz
m
z z
HH J x
z x
α α
= =
∂∂
= − = −
∂ ∂
. (2)
Полевая задача (1), (2) имеет аналитическое решение [2] следующего вида:
cos( ) z
x mH J x e αα −= , sin( ) z
z mH J x e αα −= − . (3)
Из приведенного решения видно, что характер затухания магнитного поля по мере удаления
от поверхности магнитной системы характеризуется величиной полюсного шага τ , причем, умень-
шение поля в е раз происходит на расстоянии 1 /α τ π− = . Также для геометрически подобных систем
(все размеры изменяются пропорционально) магнитное поле является неизменным – свойство гео-
метрически подобных магнитных систем.
На произвольную магнитную частицу, находящуюся в магнитном поле данной магнитной
системы, будет действовать магнитная сила, направленная перпендикулярно к поверхности магнито-
провода. Получим далее выражение для расчета этой силы.
z
∞=μτ
τπ=αα= /,cos)( xJxJ m
mF h
N
S
N
S
S
N
S
N
∞=μ
τ
z
y
x
Рис. 1, а, б
ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2013. № 4 5
Согласно общим положениям электродинамики магнитная частица, обладающая магнитным
моментом m (собственным или индуцированным) и находящаяся во внешнем неоднородном магнит-
ном поле 0B , испытывает действие магнитной силы mF , вычисляемой согласно выражению [4]
0( )m = ⋅∇F m B . (4)
При расчете величины силы (4), действующей на магнитную наночастицу, следует различать
два случая, когда: 1) частица является многодоменной и ее магнитный момент изменяется пропор-
ционально внешнему полю и 2) частица является однодоменной и величина ее магнитного момента
по модулю не зависит от величины внешнего поля. Рассмотрим далее эти два случая.
1.1. Многодоменные магнитные частицы. Магнитный момент многодоменной магнитной на-
ночастицы может быть записан как pV=m M , где pV – объем частицы; M – намагниченность материа-
ла, из которого изготовлена частица. В линейном приближении χ=M H , где χ – магнитная восприим-
чивость материала частицы; H – напряженность магнитного поля в объеме частицы.
Будем далее рассматривать только слабомагнитные частицы (их магнитная проницаемость
1≈μr или магнитная восприимчивость 1<<χ ), когда форма частицы (сфера, эллипсоид и др.) может
не приниматься во внимание. Также будем полагать, что взаимное магнитное влияние частиц друг на
друга не велико, что справедливо при малой концентрации этих частиц в жидкости. При сделанных
предположениях для магнитного поля в объеме частицы справедливо равенство 0 0/ μ=H B , а отсюда
0 0/χ μ=M B . С учетом этого равенства выражение для магнитной силы (4) запишется в виде
1
0 0 0( )m pV χμ −= ⋅∇F B B . (5)
Выполним следующие преобразования для случая постоянного магнитного поля, используя
уравнение Максвелла 0 0∇ × =B и математическое тождество из [5]:
0 0 0 0 0 0 0 0( ) 2 ( ) 2( ) 2( )∇ ⋅ = × ∇ × + ⋅∇ = ⋅∇B B B B B B B B . (6)
Тогда выражение (5) для силы, действующей на многодоменные частицы в неоднородном
магнитном поле, примет вид
2 1
0 0(2 )m pV χ μ −= ∇F B = 20
02pV μ
χ ∇ H . (7)
Используя выражения для магнитного поля (3) и выполняя простые преобразования
2 2 2 2 2
0
z
x z mH H J e α−= + =H , 2 2 2
0 ( 2 )z
mJ e αα −∇ = −H k ,
где k − единичный вектор, направленный вдоль оси z, получим окончательно выражение для маг-
нитной силы в виде
2 2 /
0
z
m p mV J e π τπχμ
τ
−= −F k . (8)
Как видно из этого выражения, магнитная сила в любой точке пространства имеет единствен-
ную z-компоненту (направлена к источникам магнитного поля – постоянным магнитам или токовому
слою) и уменьшается по мере удаления частицы от поверхности магнитной системы таким образом,
что уменьшение силы в е раз происходит на расстоянии )2/( πτ .
Из анализа выражения (8) вытекает также следующее. Магнитная система с меньшим значени-
ем τ создает большее значение силы на ее поверхности, однако по мере удаления от поверхности ве-
личина этой силы убывает быстрее. Магнитная система с большим τ характеризуется меньшим значе-
нием силы и более медленным уменьшением силы с расстоянием. Отсюда можно предположить, что
при заданном расстоянии частицы от поверхности магнитной системы существует оптимальное значе-
ние τ этой системы, при котором величина магнитной силы будет наибольшей. С учетом этого и ис-
пользуя выражение для силы (8), сформулируем следующую оптимизационную задачу:
– предположим, что магнитная частица с заданными параметрами ,pV χ расположена на фик-
сированном расстоянии от поверхности z h= . Применительно к задачам биомедицины величина h
может определяться, например, расположением зоны опухоли по отношению к поверхности живого
организма. Требуется определить, какова при этом должна быть магнитная система вида рис. 1, точ-
нее, каково должно быть значение ее полюсного шага τ , чтобы величина силы, действующая на эту
частицу, была максимальной?
6 ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2013. № 4
Рассматривая выражение для силы (8) как функцию τ , запишем выражение для модуля этой
силы в более удобном виде
2 1
0m p m FF V J h fχμ π −= , где 1 2 /( / ) h
Ff h h e π ττ τ − −= . (9)
Из анализа функции )/( hfF τ легко показать, что существует оптимальное значение
hопт π=τ=τ 2 , при котором функция )/( hfF τ принимает максимальное значение, равное
)2/(1max efF π= . Подставляя это выражение в (9), получим максимальную величину силы для опти-
мальной системы в виде
max 2 1
0 (2 )m p mF V J heχμ −= . (10)
Из этого выражения видно, что по мере удаления частицы от поверхности (при этом увеличи-
вается размер h ) величина магнитной силы для случая оптимальной системы уменьшается обратно
пропорционально расстоянию h .
Графическая зависимость функции )/( hfF τ по (9) показана на рис. 2. Из этого рисунка видно,
что эта функция имеет довольно пологий экстремум в точке
оптτ τ= и поэтому на практике с целью уменьшения веса маг-
нитных материалов на полюсный шаг можно выбирать опти-
мальное значение полюсного шага магнитной системы в диапа-
зоне hопт π÷=τ÷=τ 2)8,05,0()8,05,0( .
Из полученных данных следует важный вывод о том, что
в зависимости от глубины расположения магнитных наночастиц
в биологической системе для получения максимальной величи-
ны силы необходимо выбирать систему с оптимальным значени-
ем полюсного шага, зависящим от этой глубины. При этом, чем
глубже залегают частицы, тем больше полюсный шаг должен
быть у магнитной системы.
Для обобщения полученных результатов на магнитные системы более сложной конструкции
выполним качественный анализ выражения (8), который позволяет заключить следующее. Если рас-
смотреть ряд геометрически подобных магнитных систем вида рис. 1, т.е. систем, отличающихся ве-
личиной полюсного шага τ при неизменном значении линейной нагрузки (или неизменных свойст-
вах постоянных магнитов), то величина магнитного поля в таких системах согласно (8) принимает
одинаковые значения в безразмерных координатах /x τ и /z τ . То есть при увеличении τ величина
магнитного поля как функция этих безразмерных координат не изменяется, что является первым из
основных свойств геометрически подобных систем. В отличие от этого свойства неизменности маг-
нитного поля, величина магнитной силы, действующей на магнитную частицу в точке с одинаковым
значением /h τ , будет уменьшаться с ростом τ , так как определяется пространственной производной
от поля. Это обстоятельство назовем вторым свойством геометрически подобных систем.
Для иллюстрации влияния масштабного фактора на уровень магнитной силы на рис. 3 показа-
но построенное согласно выражению (8) семейство кривых для безразмерной силы
2 /
0/ /z
mF F e π τ τ−= , где 2
0 0p mF V Jχμ π= , в зависимости от координаты z и при различных значениях
τ . Как видно из этого рисунка, с ростом τ величина магнитной силы на поверхности магнитной сис-
темы уменьшается по закону 1τ −≈ . Также с ростом координаты z, начиная с некоторого расстояния,
величина силы будет резко уменьшаться. Пунктирная кривая на этом рисунке показывает макси-
мально возможное значение силы maxF для выбранного семейства магнитных систем, которое зави-
сит от расстояния магнитной частицы до поверхности z. Видно, что по мере удаления частицы от по-
верхности величина максимально возможной силы резко снижается и что для ее получения необхо-
дима система с бóльшим полюсным шагом.
1.2. Однодоменные магнитные частицы. Выражение (4) справедливо для силы, действующей
на многодоменные частицы. Как известно, например, из [1], частицы, диаметр которых меньше некоторо-
го критического значения, являются однодоменными. К примеру, такой критический диаметр частиц из
магнетита равен приблизительно 10 нм. Однодоменные частицы характеризуются собственным магнит-
Рис. 2
0 5 10 15
0
0.02
0.04
0.06
h/τ
),/( hfF τ о.е.
hопт π=τ 2
Рис. 2
ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2013. № 4 7
ным моментом pm . При воздействии на такие частицы внешнего неоднородного поля 0B векторная ве-
личина их магнитного момента равна
0 0/pm=m B B . (11)
Здесь полагается, что магнитный момент частицы всегда направлен по внешнему полю 0B ,
что справедливо для времени релаксации частицы t TΔ << , где T – период изменения внешнего маг-
нитного поля.
Подставляя выражение (11) в (4) и ис-
пользуя преобразования (6), получим выражение
для силы, действующей на однодоменные части-
цы в неоднородном магнитном поле,
0BF ∇= pm m . (12)
Используя выражения для магнитного
поля (3) и выполняя простые преобразования
z
meJB α−μ= 00 , )(0
z
meJB α−α−=∇ k , где k −
единичный вектор, направленный вдоль оси z,
получим окончательно выражение для магнит-
ной силы
1 /
0
z
m p mm J e π τμ πτ − −= −F k . (13)
Как видно из этого выражения, магнит-
ная сила в любой точке пространства также как
для случая многодоменных частиц имеет только
одну z-компоненту (направленную к источникам
магнитного поля – постоянным магнитам или то-
ковому слою), но снижается при удалении частицы от магнитной системы более медленно – умень-
шение силы в е раз происходит на расстоянии πτ / .
Подставляя в выражение для силы (13) z h= и рассматривая это выражение как функцию по-
люсного шага τ , легко показать, что существует максимальное значение силы, реализуемое в систе-
ме при опт hτ τ π= = . Таким образом, из проведенных расчетных исследований следует, что опти-
мальная магнитная система, предназначенная для воздействия на однодоменные магнитные частицы,
характеризуется в два раза меньшим значением полюсного шага τ , чем система для случая многодо-
менных частиц, что связано с более быстрым уменьшением силы, действующей на многодоменные
частицы при удалении от поверхности системы.
Для иллюстрации влияния масштабного фактора на уровень магнитной силы, действующей
на однодоменные частицы, на рис. 4 показано построенное согласно выражению (13) семейство кри-
вых для безразмерной силы /
0/ /z
mF F e π τ τ−= , где 0 0p mF m Jμ π= , в зависимости от координаты z при
различных значениях τ . Результаты этого рисунка качественно совпадают с результатами на рис. 3 и
отличаются только более медленным уменьше-
нием силы с ростом расстояния.
Таким образом, на первом этапе работы на
примере простой идеализированной магнитной
системы с постоянными магнитами показано, что
характеристики оптимальной магнитной системы
зависят от двух факторов − глубины локализации
магнитной частицы в биологической системе h и
от того обстоятельства, являются ли частицы од-
нодоменными или многодоменными.
На примере упрощенной магнитной сис-
темы с полюсным шагом τ также показано, что
оптимальная система характеризуется оптималь-
ным значением этого шага, равным hопт π=τ 2
Расстояние до поверхности z, м
z, м
100
10
1
0.1
10 -4 10-3 10 -2 10-1 z, м
Рис. 4
Рис. 4
100
10
1
0.1
10-4 10-3 10-2 10-1
Рис. 3
z, м
Рис. 3
8 ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2013. № 4
для случая многодоменных частиц и hопт π=τ − для случая однодоменных частиц. В магнитных
системах с оптτ<τ величина силы на ее поверхности будет больше, однако эта сила более резко за-
тухает при удалении от поверхности, и в силу этого фактора величина силы на заданной глубине h
оказывается меньше, чем у оптимальной системы. Магнитная система с оптτ τ> , хотя и характеризу-
ется малым затуханием силы, однако имеет меньшее значение силы на поверхности и в силу именно
этого фактора величина силы на глубине h оказывается также меньше, чем у оптимальной системы.
Далее обобщим полученные закономерности на трехмерные магнитные системы более слож-
ной структуры, используя при этом численный метод конечных элементов для расчета магнитного
поля в их активной зоне.
2. Синтез оптимальной магнитной системы с постоянными магнитами сложной конст-
рукции на основе численного расчета магнитного поля. На практике возникает задача создания и
применения магнитной системы более сложной конструкции, магнитное поле в которой может быть
рассчитано только численным методом. По аналогии со случаем идеализированной магнитной сис-
темы, рассмотренной выше, методика синтеза более близкой к реальности системы с постоянными
магнитами предполагает выполнение следующих этапов.
1. Задаются расстояние локализации магнитных наночастиц от поверхности магнитной сис-
темы h и их магнитные свойства.
2. Осуществляется выбор базовой конструкции магнитной системы с указанием характерного
ее размера – полюсногоτ , которая создает максимально возможное значение силы на ее поверхности
в определенном классе систем, например, заданного габаритного размера или веса.
3. Для выбранной базовой конструкции магнитной системы выполняется численный расчет
магнитного поля и силы, действующей на магнитную частицу, расположенную в ее активной зоне на
различном расстоянии от поверхности.
4. На основе базовой конструкции формируется ряд геометрически подобных магнитных сис-
тем, и для различных систем из этого ряда рассчитывает-
ся численным методом или путем пересчета величина
силы, действующая на частицу, расположенную на раз-
личном расстоянии h от поверхности этих систем. По
результатам расчета строится семейство кривых, харак-
теризующих зависимость силы от расстояния при раз-
личных значениях τ , аналогично кривым на рис. 3.
5. Выбирается из указанного ряда та магнитная
система, которая создает максимальную по величине си-
лу, действующую на частицу, находящуюся на заданном
расстоянии h . Эта система и будет считаться оптималь-
ной магнитной системой в рамках принятого подхода.
6. Рассмотрим далее более подробно реализацию
этих этапов, выбирая в качестве базовой конструкцию,
показанную на рис. 5. Здесь схематически изображена
магнитная система с постоянными магнитами и ферро-
магнитной вставкой − а), и показана фотография изготов-
ленной такой системы − б). Эта система состоит из четы-
рех плоских постоянных магнитов на основе Nd-Fe-B раз-
мерами 43×40×10 мм, намагниченных так, как показано
стрелками, и ферромагнитной вставки 5×10×25 мм, обес-
печивающей концентрацию магнитного поля в центре.
Для сопоставления данной системы с описанной выше
идеализированной, будем характеризовать систему на рис.
5 полюсным шагом τ =25 мм, выбранным как расстояние
между центрами двух полюсов из постоянных магнитов.
Распределение магнитного поля в данной системе
при отсутствии электрических токов описывается системой уравнений Максвелла в магнитостатиче-
ском приближении вида
Рис. 5
Ферромагнит-
ная вставка
Постоянные
магниты
τ
=25 мм
20 мм
40 мм
43 мм
N
S
S
N
а
б
Рис. 5, а, б
ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2013. № 4 9
0=×∇ H ⇒ mϕ−∇=H , 0=⋅∇ B , (14, 15)
где B – вектор магнитной индукции, H – вектор напряженности магнитного поля, mϕ – скалярный
магнитный потенциал.
Будем использовать уравнение состояния для постоянных магнитов вида
rr BHB +μμ= 0 , (16)
где rμ и rB – соответственно относительное значение магнитной проницаемости и остаточная маг-
нитная индукция постоянного магнита. Для используемого постоянного магнита на основе Nd-Fe-B
rμ = 1,06 и =rB 1,26 Тл.
Из выражений (14)–(16) после простых преобразований получим следующее дифференциаль-
ное уравнение для скалярного магнитного потенциала:
0)( 0 =−ϕ∇μμ⋅∇ rmr B . (17)
Численное решение этого дифференциального уравнения выполнялось в трехмерном случае с
использованием метода конечных элементов, реализованного в пакете программ Comsol [8]. В каче-
стве граничных условий на внешних границах расчетной
области задавалось условие магнитной изоляции – нормаль-
ная компонента магнитной индукции равна нулю.
После нахождения распределения скалярного потен-
циала mϕ распределение напряженности магнитного поля оп-
ределяется как mϕ−∇=H , а магнитная индукция во внешней
области HB 0μ= . Затем на основании выражений (7) и (12)
определяется величина магнитной силы, действующей на маг-
нитные частицы в неоднородном магнитном поле.
Результаты численного расчета величины магнитной
индукции в центральном сечении исследуемой магнитной
системы показаны на рис. 6, из которого видно, что благода-
ря магнитной вставке поле концентрируется на ее поверхно-
сти и достигает значения maxB =1,2 Тл.
Расчетное распределение магнитной индукции вдоль
прямой, проходящей через центр ферромагнитной вставки перпендикулярно ее поверхности, показа-
но на рис. 7. Полученная зависимость может быть с достаточной для практики точностью аппрокси-
мирована аналитическим выражением
0075,0/2,1)( zezB −= [Тл], z в [м], (18)
график которого также показан на рис. 7.
Для подтверждения достоверности полученных результатов
расчета выполнялось измерение величины магнитной индукции (z-
составляющей) на различном удалении от поверхности магнита с
помощью прибора ЭМ 4305. Результаты измерений показаны на
рис. 7 точками и иллюстрируют хорошее совпадение с расчетами.
На многодоменную частицу, находящуюся в активной зоне
исследуемой магнитной системы, будет действовать магнитная си-
ла, пропорциональная согласно выражению (7) величине 2
0∇ B , а
на однодоменную согласно (12) − величине 0∇ B . В центральной
точке магнитной системы при различном удалении от поверхности
(определяется значением z) вектор магнитной индукции 0B имеет
единственную z-компоненту, которая затухает вдоль координаты z по закону (18). Используя это вы-
ражение, величина магнитной силы, действующей на магнитную частицу вдоль координаты z, будет
изменяться вдоль координаты z пропорционально следующим функциям:
для многодоменной частицы
2 / 0,00375
, 0 224 z
z мF z e−≅ −∂ ∂ =B , (19)
для однодоменной частицы
Рис . 6
z
y x
Bmax = 1,2 Тл
Рис. 6
Рис. 7
0 5 10 3−
× 0.01 0.01
0
0.24
0.48
0.72
0.96
1.2
z, м
0B , Тл
численный расчет
B = 0,84e-z/0,0075
эксперимент
Рис. 7
10 ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2013. № 4
/ 0,0075
, 0 112 z
z оF z e−≅ −∂ ∂ =B . (20)
Для наглядности эти функции показаны на рис. 8 и
показывают, что уменьшение силы в e раз происходит на
удалении от поверхности магнитов около 4 мм для многодо-
менных частиц и 8 мм − для однодоменных частиц.
Для решения вопроса о построении оптимальной маг-
нитной системы при использовании в качестве базовой систе-
мы рис. 5 рассмотрим ряд геометрически подобных систем,
составленных на основе этой базовой конструкции путем про-
порционального изменения всех геометрических размеров.
При этом в качестве основного размера будем рассматривать
полюсный шаг τ , выбранный так, как показано на рис. 5 и
равный для базового варианта 0,025 м.
Как теоретически, так и путем численных расчетов
магнитного поля можно показать, что каждая магнитная сис-
тема из ряда геометрически подобных будет характеризоваться величиной силы, действующей на
магнитную частицу, определяемой следующим образом:
для многодоменной частицы
0,025
1 0,00375
, 320 0,025
z
z мF e ττ
−
⋅
−≅ ⋅ , (21)
для однодоменной частицы
0,025
1 0,0075
, 160 0,025
z
z оF e ττ
−
⋅
−≅ ⋅ . (22)
Эти выражения получены из (19) и (20) путем пропорционального их изменения в зависимо-
сти от τ как по амплитуде, так и по координате z .
Из приведенных выражений видно, что при пропорциональном увеличении размеров магнит-
ной системы (или с ростом τ ) величина силы уменьшается и при этом увеличивается расстояние, на
котором сила уменьшается в e раз по сравнению с ее значением на поверхности.
С использованием выражений для силы (21) и (22) на рис. 9 показано семейство силовых характе-
ристик для ряда геометрически подобных магнитных систем для случая многодоменных −а) и однодо-
менных − б) частиц. На этих рисунках также пунктирной линией показана силовая характеристика, обес-
печивающая наибольшую силу при расположении частицы на заданном расстоянии z от поверхности
магнит-ной системы. Так, например, магнитная система с полюсным шагом τ = 0,025 м (базовая магнит-
ная система, показанная на рис. 5) является оптимальной для частиц, расположенных на расстоянии
z h= ≈ 4 мм (по данным рис. 9, а для многодоменных частиц − вертикальная пунктирная прямая) и на
расстоянии z h= ≈ 8 мм (по данным рис. 9, б для однодоменных частиц − вертикальная пунктирная пря-
мая). Если взять систему с меньшим полюсным шагом, например, τ = 0,01 м, то по данным рис. 9, а эта
система в точке z =4 мм будет создавать меньшую силу из-за быстрого спада величины силы с увеличе-
нием расстояния. Если взять систему с большим полюсным шагом, например, τ = 0,05 м, то по данным
рис. 9, а эта система в точке z =4 мм будет создавать также меньшую силу из-за общего уменьшения си-
лы при переходе к более масштабным системам. Отсюда видно, что для каждого значения расстояния
магнитных частиц до поверхности магнитной системы существует оптимальная система из данного ряда
геометрически подобных, создающая максимальную величину силы, действующую на частицы. Выраже-
ния (21) и (22) имеют простой вид и их можно исследовать на наличие экстремума по переменной τ при
заданном значении z h= . Так, после дифференцирования этих выражений по τ и приравнивания полу-
ченных выражений нулю, получим оптимальное значение полюсного шага оптτ :
− для многодоменных частиц
, 0,025/ 0,00375 6,7опт м h hτ = = , (23)
− для однодоменных частиц
, 0,025/ 0,0075 3,3опт о h hτ = = . (24)
Рис. 8
ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2013. № 4 11
Для сравнения укажем, что для идеализированной магнитной системы , 2опт м hτ π= и
,опт о hτ π= , соответственно. Эти выражения позволяют выбрать оптимальную магнитную систему
при заданной глубине расположения магнитных частиц h . Так, например, при h =0,02 м получим для
случая однодоменных частиц ==τ hопт 3,3 0,066
м. Тогда параметры магнитов и ферромагнитной
вставки оптимальной магнитной системы могут
быть получены путем увеличения всех размеров
базовой конструкции (рис. 5, а) в 0,066/0,025=2,6
раза и будут следующими: размеры постоянных
магнитов − 114×106×53 мм, ферромагнитной
вставки – 13×26×66 мм.
Заключение. В работе применительно к
проблеме создания магнитных систем с постоян-
ными магнитами для адресной доставки магнит-
ных наночастиц в заданную область биологичес-
кой системы предложен подход к построению оп-
тимальной магнитной системы, создающей мак-
симальную магнитную силу, действующую на
частицы в этой области. Суть подхода, основан-
ного на свойствах геометрически подобных сис-
тем, состоит в том, что первоначально выбирается
базовый вариант магнитной системы, строится на
его основе ряд геометрически подобных систем и
из этого ряда выбирается система с максимальной
величиной силы, действующей на частицы. Пока-
зано, что характеристики такой оптимальной маг-
нитной системы зависят, в первую очередь, от
двух факторов − глубины расположения магнит-
ной частицы в биологической системе h и от фи-
зических свойств частицы − является ли она од-
нодоменной или многодоменной.
На примере идеализированной магнитной
системы, характеризующейся полюсным шагом
τ , и с использованием аналитического выраже-
ния для магнитного поля показано, что оптималь-
ная в рамках такого подхода система имеет по-
люсный шаг, равный 2опт hτ π= для случая мно-
годоменных частиц и опт hτ π= − для случая од-
нодоменных частиц. В магнитных системах с оптτ τ< величина силы на ее поверхности будет боль-
ше, однако эта сила более резко затухает с расстоянием от поверхности, и в силу этого фактора вели-
чина силы на заданной глубине h оказывается меньше, чем у оптимальной системы. Магнитные сис-
темы с оптτ τ> хотя и характеризуются более быстрым затуханием силы, однако имеют меньшее
значение силы на поверхности и в силу именно этого фактора величина силы на глубине h оказыва-
ется также меньше, чем у оптимальной системы.
На основании разработанного подхода рассмотрена трехмерная магнитная система и показа-
но, что оптимальная для нее величина полюсного шага составляет 6,7опт hτ = для случая силового
воздействия на многодоменные частицы, находящиеся на расстоянии h от поверхности этой систе-
мы, и 3,3опт hτ = − для случая воздействия на однодоменные частицы.
1. Боровик Е.С., Еременко В.В., Мильнер А.С. Лекции по магнетизму. – М.: Физ.-мат. лит-ра, 2005. – 510 с.
2. Вольдек А.И. Индукционные магнитогидродинамические машины с жидкометаллическим рабочим те-
лом. – Л.: Энергия, 1970. – 272 с.
Рис. 9
1000
100
10
1
0.1
10-4 10-3 10-2 10-1
z, м
1000
100
10
1
0.1
10-4 10-3 10-2 10-1
z, м
Рис. 9, а, б
12 ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2013. № 4
3. Горбик П.П., Чехун В.Ф., Шпак А.П. Физико-химические и медико-биологические аспекты создания
полифункциональных нанокомпозитов и нанороботов / Матеріали конф. "Нанорозмірні системи: будова, влас-
тивості, технології". – Київ, 21-23 листопада 2007. – 422 с.
4. Джексон Дж. Классическая электродинамика. – М.: Мир, 1965. – 532 c.
5. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. – М.: Наука, 1974. – 832 с.
6. Ращепкин А.П., Архипов А.В. Магнитное поле и электродинамические силы в линейной машине с по-
стоянными магнитами // Вісник КДПУ. – 2005. – Вып. 4 (33). – С. 81–84.
7. Розенфельд Л.Г., Москаленко В.Ф., Чекман И.С., Мовчан Б.А. Нанотехнологии, наномедицина: пер-
спективы научных исследований и внедрения их результатов в медицинскую практику // Український медич-
ний часопис. – 2008. – № 5. – С. 63–68.
8. Comsol Multiphysics – www.comsol.com
9. Jordan et al. Magnetic fluid hyperthermia // J. of Magnetism and Magn. Materials. – 1999. – 201 (1999). – Pp.
413–419.
10. Pankhurst Q.A. Applications of magnetic nanoparticles in biomedicine // J.Phys. D. Appl. Phys. – 2003. – 36
(2003). – Pp. 167–181.
УДК 621.3.013
СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНОЇ МАГНІТНОЇ СИСТЕМИ З ПОСТІЙНИМИ МАГНІТАМИ ДЛЯ АДРЕСНОЇ ДОСТАВКИ
МАГНІТНИХ НАНОЧАСТИНОК У ЗАДАНУ ОБЛАСТЬ БІОЛОГІЧНОГО СЕРЕДОВИЩА
О.Д.Подольцев, докт.техн.наук, І.П.Кондратенко, докт.техн.наук
Інститут електродинаміки НАН України, пр. Перемоги, 56, Київ-57, 03680, Україна.
e-mail: podol@ied.org.ua
У роботі розглянуто підхід до побудови оптимальної магнітної системи, що створює максимальну магнітну силу на маг-
нітні наночастинки. Суть підходу полягає в тому, що спочатку вибирається базовий варіант магнітної системи, будуєть-
ся на його основі ряд геометрично подібних систем і з цього ряду вибирається система з максимальною величиною сили,
що діє на частинки. Показано, що характеристики такої оптимальної магнітної системи залежать від відстані магніт-
ної частинки до її поверхні та від фізичних властивостей частинок, зокрема, чи є вони однодоменні або багатодоменні.
Наведено приклад побудови оптимальної магнітної системи і показано розподіл у її активній зоні магнітного поля та сили,
які отримано шляхом чисельного розрахунку та експериментально. Бібл. 10, рис. 9.
Ключові слова: магнітна система, постійні магніти, наночастинки, магнітна сила, оптимізація.
SYNTHESIS OF THE OPTIMAL MAGNETIC SYSTEM WITH PERMANENT MAGNETS FOR DRAG DELIVERY OF
MAGNETIC NANOPARTICLES IN BIOLOGICAL ENVIRONMENT
O.D.Podoltsev, I.P.Kondratenko
Institute of Electrodynamics National Academy Sciences of Ukraine,
pr. Peremohy, 56, Kyiv-57, 03680, Ukraine.
e-mail: podol@ied.org.ua
The approach of synthesis of the optimal magnetic system with permanent magnets, creating of maximum magnetic force on
nanoparticles is proposed. This approach consists of that originally gets out base variant of the magnetic system, a row is built on
his basis geometrically similar systems and from this row the system gets out with maximal in size forces, operating on particles. It is
shown that parameters of optimal magnetic system depend on distance of magnetic particle to its surface and from physical proper-
ties of particle, in particular, whether are it one-domain or multi-domain . The example of construction of the optimum magnetic
system is shown and results of distribution of the magnetic field and force obtained by numeral calculation and experimental
method are considered. References 10, figures 9.
Key words: magnetic systems, permanent magnets, nanoparticles, magnetic forces, optimization.
1. Borovik E.S., Eremenko V.V., Milner A.S. Lectures on magnetism. – Мoskva: Fiziko-matematicheskaia literatura, 2005. – 510 p. (Rus)
2. Voldek A.I. Induction magnetohydrodynamic machine with liquid armature. – Leningrad: Energiia, 1970. – 272 p. (Rus)
3. Gorbik P.P., Chekhun V.F., Shpak A.P. Physico-chemical and medico-biological aspects of the creation of nanocomposites //
Mezhdunarodnaia konferentciia "Nanorozmirni systemy: budova,vlastyvosti, tekhnologii". – Kyiv, 21-23 November, 2007. – 422 p. (Rus)
4. Jackson J. Classical electrodynamics. – Мoskva: Mir, 1965. – 532 p. (Rus)
5. Korn G., Korn T. Handbook on mathematics. – Мoskva: Nauka, 1974. – 832 p. (Rus)
6. Rashchepkin A.P., Arkhipov A.V. Magnetic field and electrodynamics forces in linear motor with permanent magnets //
Visnyk Kremenchutskogo Derzhavnoho Politekhnichnoho Universytetu. – 2005. – Vol. 4 (33). – Pp. 81–84. (Rus)
7. Rosenfeld L.G., Moskalenko V.F., Chekman I.S., Movchan B.A. Nanotechnology and nanomedicine // Ukrainskyi me-
dychnyi chasopys. – 2008. – № 5. – Pp. 63–68. (Rus)
8. Comsol Multiphysics. – www.comsol.com
9. Jordan et al. Magnetic fluid hyperthermia // J. of Magnetism and Magn. Materials. – 1999. – 201 (1999). – Pp. 413–419.
10. Pankhurst Q.A. Applications of magnetic nanoparticles in biomedicine // J.Phys. D. Appl. Phys. – 2003. – 36 (2003). –
Pp. 167–181.
Надійшла 02.11.2012
Received 02.11.2012
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-62345 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1607-7970 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-28T21:29:34Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інститут електродинаміки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Подольцев, А.Д. Кондратенко, И.П. 2014-05-20T07:23:51Z 2014-05-20T07:23:51Z 2013 Синтез оптимальной магнитной системы с постоянными магнитами для адресной доставки магнитных наночастиц в заданную область биологических сред / А.Д. Подольцев, И.П. Кондратенко // Технічна електродинаміка. — 2013. — № 4. — С. 3–12. — Бібліогр.: 10 назв. — pос. 1607-7970 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/62345 621.3.013 В работе рассмотрен подход к построению оптимальной магнитной системы, создающей максимальную магнитную силу, действующую на магнитные частицы. Суть подхода состоит в том, что первоначально выбирается базовый вариант магнитной системы, строится на его основе ряд геометрически подобных систем и из этого ряда выбирается система с максимальной величиной силы, действующей на частицы. Показано, что характеристики такой оптимальной магнитной системы зависят от расстояния магнитной частицы до ее поверхности и от физических свойств частицы, в частности, является ли она однодоменной или многодоменной. Рассмотрен пример построения оптимальной магнитной системы и приведены распределения в ней магнитного поля и силы, полученные путем численного расчета и эксперимента. У роботі розглянуто підхід до побудови оптимальної магнітної системи, що створює максимальну магнітну силу на магнітні наночастинки. Суть підходу полягає в тому, що спочатку вибирається базовий варіант магнітної системи, будується на його основі ряд геометрично подібних систем і з цього ряду вибирається система з максимальною величиною сили, що діє на частинки. Показано, що характеристики такої оптимальної магнітної системи залежать від відстані магнітної частинки до її поверхні та від фізичних властивостей частинок, зокрема, чи є вони однодоменні або багатодоменні. Наведено приклад побудови оптимальної магнітної системи і показано розподіл у її активній зоні магнітного поля та сили, які отримано шляхом чисельного розрахунку та експериментально. The approach of synthesis of the optimal magnetic system with permanent magnets, creating of maximum magnetic force on nanoparticles is proposed. This approach consists of that originally gets out base variant of the magnetic system, a row is built on his basis geometrically similar systems and from this row the system gets out with maximal in size forces, operating on particles. It is shown that parameters of optimal magnetic system depend on distance of magnetic particle to its surface and from physical properties of particle, in particular, whether are it one-domain or multi-domain . The example of construction of the optimum magnetic system is shown and results of distribution of the magnetic field and force obtained by numeral calculation and experimental method are considered. ru Інститут електродинаміки НАН України Технічна електродинаміка Теоретична електротехніка та електрофізика Синтез оптимальной магнитной системы с постоянными магнитами для адресной доставки магнитных наночастиц в заданную область биологических сред Синтез оптимальної магнітної системи з постійними магнітами для адресної доставки магнітних наночастинок у задану область біологічного середовища Synthesis of the optimal magnetic system with permanent magnets for drag delivery of magnetic nanoparticles in biological environment Article published earlier |
| spellingShingle | Синтез оптимальной магнитной системы с постоянными магнитами для адресной доставки магнитных наночастиц в заданную область биологических сред Подольцев, А.Д. Кондратенко, И.П. Теоретична електротехніка та електрофізика |
| title | Синтез оптимальной магнитной системы с постоянными магнитами для адресной доставки магнитных наночастиц в заданную область биологических сред |
| title_alt | Синтез оптимальної магнітної системи з постійними магнітами для адресної доставки магнітних наночастинок у задану область біологічного середовища Synthesis of the optimal magnetic system with permanent magnets for drag delivery of magnetic nanoparticles in biological environment |
| title_full | Синтез оптимальной магнитной системы с постоянными магнитами для адресной доставки магнитных наночастиц в заданную область биологических сред |
| title_fullStr | Синтез оптимальной магнитной системы с постоянными магнитами для адресной доставки магнитных наночастиц в заданную область биологических сред |
| title_full_unstemmed | Синтез оптимальной магнитной системы с постоянными магнитами для адресной доставки магнитных наночастиц в заданную область биологических сред |
| title_short | Синтез оптимальной магнитной системы с постоянными магнитами для адресной доставки магнитных наночастиц в заданную область биологических сред |
| title_sort | синтез оптимальной магнитной системы с постоянными магнитами для адресной доставки магнитных наночастиц в заданную область биологических сред |
| topic | Теоретична електротехніка та електрофізика |
| topic_facet | Теоретична електротехніка та електрофізика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/62345 |
| work_keys_str_mv | AT podolʹcevad sintezoptimalʹnoimagnitnoisistemyspostoânnymimagnitamidlâadresnoidostavkimagnitnyhnanočasticvzadannuûoblastʹbiologičeskihsred AT kondratenkoip sintezoptimalʹnoimagnitnoisistemyspostoânnymimagnitamidlâadresnoidostavkimagnitnyhnanočasticvzadannuûoblastʹbiologičeskihsred AT podolʹcevad sintezoptimalʹnoímagnítnoísistemizpostíinimimagnítamidlâadresnoídostavkimagnítnihnanočastinokuzadanuoblastʹbíologíčnogoseredoviŝa AT kondratenkoip sintezoptimalʹnoímagnítnoísistemizpostíinimimagnítamidlâadresnoídostavkimagnítnihnanočastinokuzadanuoblastʹbíologíčnogoseredoviŝa AT podolʹcevad synthesisoftheoptimalmagneticsystemwithpermanentmagnetsfordragdeliveryofmagneticnanoparticlesinbiologicalenvironment AT kondratenkoip synthesisoftheoptimalmagneticsystemwithpermanentmagnetsfordragdeliveryofmagneticnanoparticlesinbiologicalenvironment |