Резонансні режими поширення нелінійних хвильових полів у середовищах з коливними включеннями
Using the asymptotic methods of nonlinear mechanics, the peculiarities of unifrequency resonance regimes of the spreading of nonlinear wave fields in a bounded rod are investigated within a mathematical model of media with oscillating inclusions.
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2008
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6254 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Резонансні режими поширення нелінійних хвильових полів у середовищах з коливними включеннями / В.А. Даниленко, С. I. Скуратiвський // Доп. НАН України. — 2008. — № 11. — С. 108-112. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-6254 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Даниленко, В.А. Скуратівський, С.І. 2010-02-22T12:37:43Z 2010-02-22T12:37:43Z 2008 Резонансні режими поширення нелінійних хвильових полів у середовищах з коливними включеннями / В.А. Даниленко, С. I. Скуратiвський // Доп. НАН України. — 2008. — № 11. — С. 108-112. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6254 539.182+518.5+517.986.69 Using the asymptotic methods of nonlinear mechanics, the peculiarities of unifrequency resonance regimes of the spreading of nonlinear wave fields in a bounded rod are investigated within a mathematical model of media with oscillating inclusions. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Науки про Землю Резонансні режими поширення нелінійних хвильових полів у середовищах з коливними включеннями Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Резонансні режими поширення нелінійних хвильових полів у середовищах з коливними включеннями |
| spellingShingle |
Резонансні режими поширення нелінійних хвильових полів у середовищах з коливними включеннями Даниленко, В.А. Скуратівський, С.І. Науки про Землю |
| title_short |
Резонансні режими поширення нелінійних хвильових полів у середовищах з коливними включеннями |
| title_full |
Резонансні режими поширення нелінійних хвильових полів у середовищах з коливними включеннями |
| title_fullStr |
Резонансні режими поширення нелінійних хвильових полів у середовищах з коливними включеннями |
| title_full_unstemmed |
Резонансні режими поширення нелінійних хвильових полів у середовищах з коливними включеннями |
| title_sort |
резонансні режими поширення нелінійних хвильових полів у середовищах з коливними включеннями |
| author |
Даниленко, В.А. Скуратівський, С.І. |
| author_facet |
Даниленко, В.А. Скуратівський, С.І. |
| topic |
Науки про Землю |
| topic_facet |
Науки про Землю |
| publishDate |
2008 |
| language |
Ukrainian |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| format |
Article |
| description |
Using the asymptotic methods of nonlinear mechanics, the peculiarities of unifrequency resonance regimes of the spreading of nonlinear wave fields in a bounded rod are investigated within a mathematical model of media with oscillating inclusions.
|
| issn |
1025-6415 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6254 |
| citation_txt |
Резонансні режими поширення нелінійних хвильових полів у середовищах з коливними включеннями / В.А. Даниленко, С. I. Скуратiвський // Доп. НАН України. — 2008. — № 11. — С. 108-112. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT danilenkova rezonansnírežimipoširennânelíníinihhvilʹovihpolívuseredoviŝahzkolivnimivklûčennâmi AT skuratívsʹkiisí rezonansnírežimipoširennânelíníinihhvilʹovihpolívuseredoviŝahzkolivnimivklûčennâmi |
| first_indexed |
2025-11-24T08:01:07Z |
| last_indexed |
2025-11-24T08:01:07Z |
| _version_ |
1850843759365849088 |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
11 • 2008
НАУКИ ПРО ЗЕМЛЮ
УДК 539.182+518.5+517.986.69
© 2008
Член-кореспондент НАН України В. А. Даниленко,
С. I. Скуратiвський
Резонанснi режими поширення нелiнiйних хвильових
полiв у середовищах з коливними включеннями
Using the asymptotic methods of nonlinear mechanics, the peculiarities of unifrequency reso-
nance regimes of the spreading of nonlinear wave fields in a bounded rod are investigated within
a mathematical model of media with oscillating inclusions.
Результати експериментальних дослiджень процесiв деформування геосередовищ у широ-
кому дiапазонi швидкостей навантаження, якi проведено в останнi десятилiття, свiдчать
про те, що геосередовищам притаманнi двi основнi риси — дискретнiсть та коливний рух
дискретних елементiв [1, 2].
Для описання хвильових полiв i процесiв деформування таких геосередовищ запро-
поновано математичнi моделi середовищ [3, 4], в яких коливання внутрiшнiх осцилято-
рiв врахованi в динамiчних рiвняннях стану. Застосовуючи нелiнiйнi нелокальнi моделi
геосередовищ [4], дослiджено точнi аналiтичнi та хаотичнi iнварiантнi розв’язки рiвнянь,
що описують хвильовi поля в багатокомпонентних геосередовищах з внутрiшнiми осциля-
торами [5–7].
Необхiдно вiдзначити, що залежно вiд будови середовища та його термoдинамiчного
стану осциляцiю структурних елементiв можна врахувати також введенням у рiвняння ру-
ху середовища додаткових об’ємних сил, якi виникають в результатi коливань елементiв
структури. Так, у роботах [8, 9] запропоновано лiнiйну математичну модель середовища
зi структурою, в якiй осциляцiї структурних елементiв врахованi в об’ємних силах, а не
в рiвняннях стану, як це виконано у публiкацiях [3, 4]. У зв’язку з нелiнiйнiстю природного
геоматерiалу виникає необхiднiсть поширити цю модель на нелiнiйнi середовища.
У даному повiдомленнi наведено результати дослiдження резонансних режимiв поши-
рення нелiнiйних хвильових полiв у середовищах з коливними включеннями, математична
модель якого має такий вигляд:
∂2u
∂t2
=
∂σ
∂x
− m1
∂2W
∂t2
,
∂2W
∂t2
+ ω2
(
1 + τ
∂
∂t
)
(W − u) = 0,
108 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №11
σ = A1
∂u
∂x
+ A2
(
∂u
∂x
)2
+ A3
(
∂u
∂x
)3
, (1)
A1 =
α1
θ2ρ
, A2 =
α2h
θ3ρ
, A3 =
α3h
2
θ4ρ
,
де u та W — змiщення основного середовища та часткового осцилятора, який характери-
зується власною частотою ω та часом релаксацiї τ ; σ — механiчна напруга; ρ — густина
середовища у ненавантаженому станi; m1ρ — густина включень; коефiцiєнти αi вираже-
нi через вiдповiднi модулi пружностi або оцiнюються безпосередньо при обробцi натурних
даних; θ, h — масштабнi коефiцiєнти.
Дослiдимо резонанснi режими поширення хвильових полiв у стрижнi довжини l з ну-
льовими початковими умовами, вiльним лiвим кiнцем та гармонiчним навантаженням на
правому: α1
∂u
∂x
(x = L) =
θ
h
γ sin αt ≡ φ(t), θL = l.
Амплiтудну криву коливань стрижня побудуємо методом Боголюбова–Митропольсько-
го [10, 11]. Розглянемо випадок, коли A2,3, τ , γ є малими одного порядку ε.
Пiсля зведення крайових умов до однорiдних за допомогою замiни змiнної U(x, t) =
= u(x, t) −
x2
2Lα1
φ встановимо умови, при яких у незбуренiй системi можливi незгасаючi
коливання з частотою Ω. Пiдставляючи розв’язок вигляду
U = cos
(
πx
L
)
ϕ1 cos Ωt, W = cos
(
πx
L
)
ϕ2 cos Ωt, ϕ1,2 = const (2)
у систему (1), у нульовому наближеннi отримаємо, що Ω задовольняє таке рiвняння:
A1π
2
L2
= Ω2
(
1 +
ω2m1
ω2 − Ω2
)
, (3)
розв’язки якого визначають значення власних частот моделi (1). Аналiзуючи графiк залеж-
ностi Ω(m1) (рис. 1), у момент m1 > 0 додатково з частотою Ω0 =
√
A1π2L−2, яка вiдпо-
вiдає лiнiйнiй класичнiй моделi iдеально пружного середовища, з’являється нова частота,
що пов’язана з частковим осцилятором. При збiльшеннi параметра m1 частота min(m1,Ω0)
монотонно знижується, тодi як частота max(m1,Ω0) монотонно зростає.
При фiксованому m1 та змiнному ω (див. рис. 1) розв’язки рiвняння (3) наближаються
до асимптотичних значень
√
A1π2/L2(1 + m1) та
√
(1 + m1)ω.
Знайдемо продовження спiввiдношень (2) за малим параметром ε у резонансному випад-
ку Ω−α = δε. Тодi динамiка амплiтуди λ та фази αt+ϑ перiодичного розв’язку вигляду (2)
описується системою
λ′ = −λµ1 + µ4 cos ϑ, ϑ′ = µ2 + µ3λ
2 −
1
λ
µ4 sin ϑ, (4)
де
µ1 =
χ2ω
2Ω2τ
2∆(ω2 − Ω2)
, µ2 =
Ω2 − α2
2α
, µ3 =
9A3π
4
32α∆L4
, µ4 =
γL
π2α∆
[α2 + χ2ω
2],
∆ = 1 +
(m1 + χ2)ω
2
ω2 − Ω2
, χ2 =
m1Ω
2
ω2 − Ω2
.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №11 109
Рис. 1. Дiаграма залежностi власних частот моделi (1) вiд параметра m1 при ω = 2500 c−1
Прирiвнюючи правi частини системи (4) до нуля, знайдемо стацiонарнi значення амплi-
туди коливань:
λ6 + 2
µ2
µ3
λ4 +
µ2
1
+ µ2
2
µ2
3
λ2 −
(
µ4
µ3
)2
= 0. (5)
Виберемо за основне середовище гранiт з густиною ρ = 2,5 · 103 кг/м3, масштабнi кое-
фiцiєнти θ =
√
α1ρ−1 = 884,8277, h = 0,1. Тодi A1 = 1, A2 = 0,0599, A3 = 0,0081 [12], що
вiдповiдає припущенню про малу нелiнiйность. Iншi параметри виберемо довiльно, наприк-
лад τ = 3·10−4 c−1, L = 3·10−3 м, γ = 0,3·104 Па. Зафiксуємо m1 = 0,5 та ω = 2500 c−1 > Ω0,
що на основi формули (3) дає змогу обчислити власнi частоти середовища Ω1 = 837,5659 c−1
та Ω2 = 3125,7169 c−1. Залежнiсть амплiтуди стацiонарних коливань при змiнi α вивчалась
поблизу Ω1. Розв’язуючи рiвняння (5) чисельно залежно вiд параметра α, отримаємо гра-
фiк резонансної кривої (див. рис. 2, графiк 1 ). Аналогiчним чином отримаємо резонанснi
кривi при ω = 3500 c−1 та ω = 5000 c−1 (графiки 2 та 3 ). Графiк скелетної кривої (умова
точного резонансу) визначається спiввiдношенням µ2 + µ3λ
2 = 0 (пунктирна лiнiя), звiдки
випливає, що напрям її вiдхилення вiд вертикалi залежить вiд знака A3/∆(Ω − α). У да-
ному випадку для α > Ω0 при зростаннi частоти коливань внутрiшнiх осциляторiв спосте-
рiгається вiдхилення скелетної кривої вiд вертикалi (праворуч) з утворенням областi, яка
вiдповiдає режимам зi зривом амплiтуди коливань. Отже, положення та форма резонансної
кривої визначається двома взаємозв’язаними факторами: врахуванням коливних включень
та нелiнiйнiстю основного середовища.
Детальнi дослiдження резонансних кривих при змiнi параметра m1 виявили аналогiчнi
ефекти (рис. 3, а). Як тiльки основне середовище є нелiнiйним A3 6= 0, резонанснi кри-
вi можуть мати характерний гiстерезис вiдносно напряму змiни параметра m1. Вивчення
впливу на резонанснi режими змiни ω при фiксованих усiх iнших параметрах показує, що
в окремих випадках (див. рис. 3, б ; графiк 2 ) лiнiйна модель може давати взагалi неко-
ректну оцiнку значень стацiонарної амплiтуди. По-друге, в цьому випадку скелетна крива
вiдхиляється влiво, а на резонанснiй кривiй видiляються частини графiка, точки з яких
110 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №11
Рис. 2. Резонанснi кривi для нелiнiйної моделi з включеннями при m1 = 0,5 та ω = 2500 c−1 (1 ); ω =
= 3500 c−1 (2 ); ω = 5000 c−1 (3 )
Рис. 3. Резонанснi кривi для нелiнiйної (суцiльнi лiнiї) та лiнiйної (пунктирна лiнiя) моделi з включеннями
при змiнному m1 та фiксованому ω (а): ω = 2500 c−1 (1 ), ω = 3500 c−1 (2 ), ω = 5500 c−1 (3, 3
′); при
змiнному ω та фiксованому m1 (б ): m1 = 0,48 (1 ), m1 = 0,52 (2 ), m1 = 0,55 (3, 3
′)
вiдповiдають прихованим режимам (див. рис. 3, б ; графiк 3 ). На них не можна потрапи-
ти при повiльнiй змiнi параметра ω, якщо початковi умови не були вибранi безпосередньо
з околу цього режиму.
1. Садовский М.А. Автомодельность геодинамических процессов // Вестн. АН СССР. – 1986. – № 8. –
С. 3–11.
2. Родионов В.Н. Очерк геомеханики. – Москва: Науч. мир, 1996. – 64 с.
3. Николаевский В.Н. Вязкоупругость с внутренними осцилляторами как возможная модель сейсмо-
активной среды // Докл. АН СССР. – 1985. – 283, № 6. – С. 1321–1324.
4. Даневич Т. Б., Даниленко В.А. Нелiнiйнi нелокальнi моделi багатокомпонентних релаксуючих сере-
довищ з внутрiшнiми осциляторами // Доп. НАН України. – 2005. – № 1. – С. 106–110.
5. Даневич Т. Б., Даниленко В.А. Точнi аналiтичнi розв’язки нелiнiйних рiвнянь динамiки релаксуючих
середовищ з просторовою та часовою нелокальнiстю // Там само. – 2004. – № 3. – С. 110–114.
6. Даневич Т.Б., Даниленко В.А. Точнi аналiтичнi розв’язки нелiнiйних рiвнянь динамiки нелокальних
середовищ при врахуваннi температурних членiв та нестацiонарностi узагальненої термодинамiчної
сили // Там само. – 2004. – № 4. – С. 106–112.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №11 111
7. Даниленко В.А., Скуратiвський С. I. Хаотичнi iнварiантнi розв’язки нелiнiйних нелокальних мо-
делей багатокомпонентних середовищ з внутрiшнiми осциляторами // Там само. – 2006. – № 9. –
С. 111–115.
8. Слепян Л.И. Волна деформаций в стержне с амортизированными массами // Механика тв. тела. –
1967. – № 5. – С. 34–40.
9. Пальмов В.А. Об одной модели среды сложной структуры // Прикл. мат. и мех. – 1969. – Вып. 4. –
С. 768–773.
10. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. –
Москва: Наука, 1974. – 504 с.
11. Писаренко Г. С. Колебания механических систем с учетом несовершенной упругости материала. –
Киев: Наук. думка, 1970. – 357 с.
12. Johnson P.A., Rasolofosaon P.N. J. Manifestation of nonlinear elastiсity in rock: convincing evidence over
large frequency and strain intervals from laboratory studies // Nonlin. Processes in Geophys. – 1996. –
No 3. – P. 77–88.
Надiйшло до редакцiї 06.03.2008Вiддiлення геодинамiки вибуху Iнституту
геофiзики iм. С. I. Субботiна НАН України, Київ
УДК 532.59
© 2008
Член-корреспондент НАН Украины В.А. Иванов, В. В. Фомин,
член-корреспондент НАН Украины Л. В. Черкесов, Т. Я. Шульга
Исследование влияния стационарных течений
на динамические процессы и трансформацию примеси
в Азовском море, вызываемые прохождением циклонов
The comparative analysis of the diffusion processes of a contaminating admixture in the Sea of
Azov in the presence of hydrodynamical processes generated by a seasonal wind and disturbed by
cyclonic formations is carried out by using a 3D nonlinear σ-coordinate model. The comparison
of the results of numerical experiments with data on cyclones moving along different trajectories
in the field of the seasonal wind is performed. The character of the disturbances induced by a
moving cyclone into the stationary currents is studied.
Одной из задач современной океанологии является изучение механизмов изменчивости ди-
намических процессов, возникающих в морях и океанах, и предсказание будущих измене-
ний, связанных с потеплением климата и растущим антропогенным воздействием. Особая
роль в исследованиях отведена анализу наиболее вероятных сценариев распространения
загрязнений, на эволюцию которых заметно влияет перенос течениями. В Азовском море,
сравнительно небольшом и мелководном бассейне, течения определяются прежде всего пря-
мым воздействием ветра и рельефом дна. На основании результатов численного моделиро-
вания в работах [1, 2] показано, что прохождение циклонов над Азовским морем существен-
но влияет на динамику вод. Поэтому представляет интерес анализ влияния атмосферных
аномалий типа циклонов на циркуляцию вод и распространение загрязнений в этом бассей-
не. В статье [3] с использованием трехмерной нелинейной σ-координатной модели [4] иссле-
дуются течения и изменения уровня, вызываемые движущимися циклонами при отсутствии
112 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №11
|