Особенности применения мультифрактального формализма в материаловедении
The necessity to develop methods of qualitative evaluation of the characteristics of materials with the use of the multifractal formalism which enables to make algorithms of their definition is formulated.
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2008
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6255 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Особенности применения мультифрактального формализма в материаловедении / В.И. Большаков, В.Н. Волчук, Ю.И. Дубров // Доп. НАН України. — 2008. — № 11. — С. 99-107. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-6255 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Большаков, В.И. Волчук, В.Н. Дубров, Ю.И. 2010-02-22T12:39:03Z 2010-02-22T12:39:03Z 2008 Особенности применения мультифрактального формализма в материаловедении / В.И. Большаков, В.Н. Волчук, Ю.И. Дубров // Доп. НАН України. — 2008. — № 11. — С. 99-107. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6255 519.21 The necessity to develop methods of qualitative evaluation of the characteristics of materials with the use of the multifractal formalism which enables to make algorithms of their definition is formulated. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Матеріалознавство Особенности применения мультифрактального формализма в материаловедении Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Особенности применения мультифрактального формализма в материаловедении |
| spellingShingle |
Особенности применения мультифрактального формализма в материаловедении Большаков, В.И. Волчук, В.Н. Дубров, Ю.И. Матеріалознавство |
| title_short |
Особенности применения мультифрактального формализма в материаловедении |
| title_full |
Особенности применения мультифрактального формализма в материаловедении |
| title_fullStr |
Особенности применения мультифрактального формализма в материаловедении |
| title_full_unstemmed |
Особенности применения мультифрактального формализма в материаловедении |
| title_sort |
особенности применения мультифрактального формализма в материаловедении |
| author |
Большаков, В.И. Волчук, В.Н. Дубров, Ю.И. |
| author_facet |
Большаков, В.И. Волчук, В.Н. Дубров, Ю.И. |
| topic |
Матеріалознавство |
| topic_facet |
Матеріалознавство |
| publishDate |
2008 |
| language |
Russian |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| format |
Article |
| description |
The necessity to develop methods of qualitative evaluation of the characteristics of materials with the use of the multifractal formalism which enables to make algorithms of their definition is formulated.
|
| issn |
1025-6415 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6255 |
| citation_txt |
Особенности применения мультифрактального формализма в материаловедении / В.И. Большаков, В.Н. Волчук, Ю.И. Дубров // Доп. НАН України. — 2008. — № 11. — С. 99-107. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT bolʹšakovvi osobennostiprimeneniâmulʹtifraktalʹnogoformalizmavmaterialovedenii AT volčukvn osobennostiprimeneniâmulʹtifraktalʹnogoformalizmavmaterialovedenii AT dubrovûi osobennostiprimeneniâmulʹtifraktalʹnogoformalizmavmaterialovedenii |
| first_indexed |
2025-11-24T05:43:02Z |
| last_indexed |
2025-11-24T05:43:02Z |
| _version_ |
1850841905739333632 |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
11 • 2008
МАТЕРIАЛОЗНАВСТВО
УДК 519.21
© 2008
В.И. Большаков, В. Н. Волчук, Ю.И. Дубров
Особенности применения мультифрактального
формализма в материаловедении
(Представлено академиком НАН Украины М.И. Гасиком)
The necessity to develop methods of qualitative evaluation of the characteristics of materials
with the use of the multifractal formalism which enables to make algorithms of their definition
is formulated.
Большое количество исследований, встречающихся в прикладных и фундаментальных на-
уках, может интерпретироваться как поиск метрики, присущей пространству состояний
объекта идентификации. При этом существующие методы идентификации, например, ма-
тематическое программирование, часто оказываются непригодными, так как их применение
вызывает серьезные математические трудности, связанные, прежде всего, с предположени-
ем о том, что пространство состояний объекта идентификации линейное и поэтому имеет
одинаковые свойства в каждой точке и по любому направлению.
Синтез моделей, адекватных нелинейным пространствам состояний объектов иденти-
фикации, возможен с применением тензорного анализа [2]. Однако, для неэлементарно-
го многообразия, которым можно интерпретировать область переменных объекта иден-
тификации, невозможно в целом ввести координатную систему с обычными требования-
ми взаимной однозначности и непрерывности соответствия (как, например, это показано
в [3, 4]). Поэтому вся геометрия многообразия должна быть извлечена из задания в нем мно-
жества координатных систем, связанных между собой произвольными взаимно однознач-
ными преобразованиями, что для практических применений представляется чрезвычайно
сложным [4].
К задачам, близким по сложности, можно отнести многие задачи материаловедения,
формализация которых с помощью традиционного математического аппарата представля-
ется затруднительной, а иногда и невозможной [2]. К таким относится, например, задача
определения качественных характеристик материала с учетом его состава и особенностей
микроструктуры.
Напрашивается вывод, аналогичный известной гипотезе С. Уолфрема [5]. Согласно этой
гипотезе, некоторые процессы, при моделировании которых наблюдаются трудности в их
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №11 99
идентификации (хаотические турбулентные течения, вихри в атмосфере, экономические
системы, биологическая эволюция), описываются только неприводимыми алгоритмами. Ре-
зультаты применения этих алгоритмов невозможно предсказать, не выполнив их полно-
стью. Задачи, которые решаются только с помощью таких алгоритмов, естественно на-
зывать численно неприводимыми. Гипотезу о численной неприводимости задачи идентифи-
кации качественных характеристик материалов можно сформулировать следующим обра-
зом: разрешающую функцию, областью определения которой является множество растро-
вых изображений шлифов материала, а областью значений — множество векторов качест-
венных характеристик материала, можно построить лишь путем применения алгоритма
полного перебора. Вполне очевидно, что, учитывая технические и организационные труд-
ности на этом пути, на данном этапе научно-технического прогресса следует, по крайней
мере, искать новые нетрадиционные пути решения этой задачи. Одним из подходов, по-
зволяющих компенсировать невозможность формализации сложной задачи, являются ре-
зультаты, полученные в нелинейной динамике Такенсом [6], некоторые пути их решения
показаны в [6].
Проводя параллель с выводами, полученными из теоремы Такенса, естественно рас-
смотреть в качестве инструмента для решения задачи идентификации свойств материала
язык фрактальной геометрии. Попытка решения данной проблемы в области материало-
ведения привела к лавинообразному увеличению количества публикаций, в которых как
в теоретических, так и в прикладных аспектах, используется язык фрактальной геометрии,
поскольку практически все структуры материалов фрактальны [7].
В ряде работ было показано (см., например, [8, 9]), что фрактальная размерность струк-
туры может являться индикатором ее качественных характеристик. На основе этого фак-
та был разработан метод определения механических свойств металла [10]. Применимость
языка фрактальной геометрии для идентификации структуры металла приведена также
в работе [11], где показана корреляция между зеренной структурой металла и его качествен-
ными характеристиками. При фрактальном анализе всегда предполагается, что изучаемому
фрактальному объекту, независимо от масштаба его представления, присуще свойство са-
моподобия, которое заключается в том, что в любом масштабе его структуре присущи одни
и те же геометрические особенности. Конечно, для реального природного фрактала, ко-
торым, безусловно, является структура многих металлов, существует некоторый масштаб
длины l, такой, что при увеличениях, несколько меньших или больших этого масштаба,
свойство самоподобия пропадает. Поэтому свойство самоподобия природных фракталов
рассматриваются на масштабах
lmin 6 l 6 lmax. (1)
На каждом масштабном уровне выявляются новые особенности структуры материала, ха-
рактеризующие то или иное его качество. Так, например, в сталях на микроструктурном
уровне выявляются особенности зеренной структуры, параметры которой в значительной
степени влияют на прочностные свойства металла [13].
Таким образом, для выбора масштаба представления, например зеренной структуры
стали, для определения ее фрактальной размерности необходимо определить интервал (1),
в котором соблюдается ее самоподобие и на этом интервале выбрать тот единственный
масштаб, на котором вычисление фрактальной размерности даст наиболее точный ре-
зультат.
100 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №11
Рис. 1. Структура шлифа стали Ст3пс
Для этого эмпирически задается некоторый шаг ∆l изменения масштаба от lmin до lmax.
Затем в интервале (1) вычисляются оценки фрактальных размерностей в точках масштабов
lmin + (lmin + ∆l) + (lmin + 2∆l) + · · · + (lmin + n∆l), (2)
где n = (lmax − lmin)/∆l.
За оптимальный масштаб преставления структуры принимается тот, при котором, как
минимум в двух рядом стоящих точках из ряда (2), фрактальные размерности минимально
различаются между собой. Последнее объясняется тем, что при этом наилучшим образом
соблюдается свойство самоподобия структуры. Ниже приведен пример выбора масштаба
увеличения феррито-перлитной структуры малоуглеродистой стали Ст3пс на интервале
от ×100 до ×1000 с ∆l = 100.
Из рис. 1 видно, что самоподобие в указанном интервале масштабов сохраняется. За
оптимальный масштаб представления структуры был выбран масштаб ×550, поскольку
в двух рядом стоящих масштабах (×500, ×600) фрактальные размерности минимально раз-
личались между собой — 1,617, 1,651 соответственно.
Самоподобие структуры можно проверить не только визуально, но и аналитически. Для
этого достаточно выбрать одну или несколько характерных геометрических фигур на шли-
фе и проверить их геометрическое подобие. Например, на рис. 1 выбрана фигура А. Соо-
тношение размеров границ этой фигуры на всех масштабах увеличения сохраняется, что
подтверждает факт самоподобия структуры.
Вопрос, который может возникнуть при определении связи фрактальной размерности
структуры металла с его качественными характеристиками, может заключаться в сложно-
сти идентификации неоднородных фрактальных объектов, это не только композиты, но
и некоторые металлы, отличающиеся неоднородностью структуры. При исследовании по-
добных структур должен наблюдаться целый спектр фрактальных размерностей, поскольку
эти структуры, наряду с чисто геометрическими характеристиками, обладают некоторыми
статистическими свойствами. Это связано с тем, что полученные для истинных структур
оценки фрактальных размерностей выполняются лишь приближенно и поэтому в силу всту-
пает не детерминированная модель определения фрактальной размерности, а вероятност-
ная ее модель. При синтезе такой модели мультифрактал мы идентифицируем как струк-
туру, которая порождается существованием разнородных фаз, включений, каждая из кото-
рых имеет свою фрактальную размерность. Другими словами, имеется спектр фракталь-
ных размерностей, состоящий из фрактальных размерностей каждого элемента структуры
(например, феррита, перлита, бейнита, мартенсита) и т. д. [11]. Такое определение мульти-
фрактала не противоречит принятому, поскольку при мультифрактальном анализе спектр
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №11 101
Рис. 2. Феррито-перлитная структура стали Ст3пс (×100) (а); спектр обобщенных статистических размер-
ностей на интервале −50 ≺ q ≺ 50 (б )
размерностей D(q) может изменяться в зависимости от величины показателя степени q,
который может принимать значения на интервале от −∞ до +∞, и естественно, что в этом
интервале могут находиться элементы спектра любого генерирующего его объекта [14]
D(q) =
1
q − 1
lim
δ→∞
ln
N∑
i=1
pq
i
ln δ
, (3)
где δ — ячейка, являющаяся единичным элементом квадратной сетки, которой покрывают
исследуемый объект для вычисления его размерности [14]; pi представляет собой вероят-
ность попадания точки, находящейся на исследуемом объекте, в i-ю ячейку квадратной
сетки с размером δ;
N∑
i=1
pq
i — обобщенная статистическая сумма, характеризуемая показате-
лем степени q, который может принимать любые значения в диапазоне от −∞ до +∞.
Обозначив через D0, D1, D2, D∞, D−∞ фрактальные размерности, характеризующие со-
ответственно: D0 — однородный фрактал при q = 0 (размерность Хаусдорфа–Безиковича);
D1 — информационную размерность при q = 1 (информационную энтропию), характеризу-
ющую скорость роста количества информации и показывающую, как возрастает информа-
ция, необходимая для определения местоположения точки, находящейся на объекте иссле-
дования, при стремлении размера ячейки δ к нулю; D2 — корреляционную размерность, при
q = 2 характеризующую вероятность нахождения в одной и той же ячейке сетки двух то-
чек, находящихся на объекте наблюдения; D∞ — размерность, характеризующую наиболее
разреженное пространство в объекте наблюдения; D−∞ — размерность, характеризующую
наиболее концентрированное пространство, наблюдаемое в этом объекте.
Таким образом, для определения принадлежности конкретной структуры к мульти-
фракталу достаточно вычислить спектр ее размерностей по формуле (3).
Так, например, на рис. 2, а приведена феррито-перлитная структура стали Ст3пс при
ее увеличении (×100), а на рис. 2, б — спектр обобщенных статистических размерностей
этой структуры, вычисленный по формуле (3) на интервале −50 ≺ q ≺ 50 и полученный
из рис. 2, б (табл. 1).
102 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №11
Рис. 3. Границы зерен аустенита стали 4Х14Н14Д2М, полученные после закалки при температуре 1100 ◦С
(×300) [15] (а); спектр статистических размерностей в диапазоне −50 ≺ q ≺ 50 (б )
Физический смысл данного примера заключается в том, что максимальной разрежен-
ности мультифрактального множества будет соответствовать размерность структуры фер-
рита (светлые участки структуры на фотоснимке 2, а), а наиболее концентрированной —
перлита, который характеризуется повышенным содержанием углерода (темные участки
структуры на рис. 2, а).
Если мы имеем дело с однофазной структурой (фракталом), такой как, например, на
рис. 3, а, то линия спектра размерностей, вычисленного по формуле (3), как это следует из
рис. 3, б, вырождается в прямые на участках от −50 до 0 и от 0 до 50. На участке от −50
до 0 значения размерности изменяются в узком диапазоне, причиной тому могут служить
включения как по границам зерен стали (А на рис. 3, а), так и по всему объему (Б на
рис. 3, б ), которые вносят собственный вклад в размерность темных участков структуры.
На участке от 0 до 50 значения размерности практически не изменяются, что свидетельст-
вует о том, что мы имеем дело с монофракталом. Такая структура характеризуется одной
фрактальной размерностью границ зерен аустенита: D0 = 1,318, которая по определению
вычисляется как тангенс угла наклона прямой [7].
В настоящее время мультифрактальный формализм начинает широко применяться для
идентификации структуры металла и ее связи с его качественными характеристиками.
К примеру, в данной работе исследовалась связь между спектром фрактальных статис-
тических размерностей структуры и качественными характеристиками металла (конструк-
ционной стали Ст3пс). Микроструктура стали исследовалась с применением оптической
микроскопии. Спектр размерностей структуры вычислялся при ее увеличении 550. При
этом было отобрано три образца конструкционной стали Ст3пс. Структура каждого образ-
ца исследовалась в трех точках (на расстоянии R = 0; R = 0,5 и R = 1 от центра). Для
подтверждения воспроизводимости опытов проводилось по три измерения в каждой точке
структуры, т. е. в каждой намеченной точке структуры выбиралось три “поля”, с которых
были получены фотоснимки. В итоге с каждого образца было получено по девять фото-
Таблица 1
Размерность
максимальной
разреженности элементов
структуры, D50
Корреля-
ционная
размерность,
D2
Информа-
ционная
размерность,
D1
Фрактальная
размерность,
D0
Размерность
максимальной
концентрации элементов
структуры, D−50
1,695 1,732 1,734 1,741 2,110
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №11 103
Рис. 4. Чувствительность размерностей феррито-перлитной структуры стали Ст3пс к ее микротвердости:
фото 1–9 — для образца № 1; фото 10–18 — для образца № 2; фото 19–27 — для образца № 3 (фото структур
приведены в табл. 2)
снимков (см. табл. 2). Спектр статистических размерностей феррито-перлитной структуры
стали Ст3пс приведен в табл. 2, откуда видно, что уменьшение размерности D50, характе-
ризующей светлые участки структуры (на фотоснимке — феррит), связано с уменьшением
микротвердости. Физически этот факт объясняется тем, что феррит представляет структу-
ру с пониженными прочностными характеристиками и низким содержанием углерода, что
приводит к понижению твердости. Соответственно, увеличение разреженности пространст-
ва, характеризуемое увеличением светлых участков, приводит к уменьшению прочности.
Аналогично, увеличение размерности D−50, характеризующей наиболее концентрированное
пространство (темные участки структуры — перлит), связано с большей твердостью перли-
та, благодаря увеличенному процентному содержанию углерода, по сравнению с ферритом.
На основании анализа этих данных были получены гистограммы чувствительности
спектра обобщенных фрактальных размерностей к микротвердости феррита и перлита,
которая определялась из соотношения
Ki =
|Di − Di+1|
|Xi − Xi+1|
[10], (4)
где Ki — чувствительность; Di — фрактальная размерность в i-й точке шлифа; Xi — ка-
чественная характеристика в i-й точке шлифа.
В качестве примера на рисунке 4 приведены гистограммы чувствительности обобщенной
фрактальной размерности D50 и D−50 к феррито-перлитной структуре.
Поэтому при установлении связи качественных характеристик металла с фрактальными
размерностями элементов его структуры имеет смысл в самом начале исследований опре-
делять спектр статистических размерностей. Затем, определив чувствительность каждого
элемента этого спектра к конкретной характеристике качества и взяв за основу самый
чувствительный элемент этого спектра, устанавливать зависимость между фрактальной
размерностью и соответствующей качественной характеристикой.
При этом наблюдалась для феррита высокая чувствительность фрактальной размер-
ности D0 к микротвердости, вычисленной по фотоснимкам № 2, 7, 12 и 17 (табл. 2); для
104 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №11
Таблица 2
Расстояние от центра образца R, мм
Спектр размерностей
мультифрактала
D0 D1 D2 D50 D−50
1 2 3 4 5 6
Образец № 1. Сталь Ст3пс, круг ⊘24 мм. В состоянии поставки
1,672 1,672 1,67 1,65 2,491
1,668 1,668 1,665 1,64 2,425
1,670 1,671 1,66 1,638 2,22
1,698 1,691 1,69 1,683 2,465
1,678 1,672 1,671 1,657 2,155
1,677 1,675 1,669 1,654 2,57
1,697 1,688 1,687 1,674 2,24
1,684 1,68 1,679 1,661 2,99
1,679 1,670 1,67 1,656 2,45
Образец № 2. Сталь Ст3пс, круг ⊘24 мм. Режим термообработки: нагрев до 930◦С, воздух
1,595 1,581 1,58 1,56 2,67
1,605 1,588 1,585 1,57 2,86
1,586 1,565 1,562 1,54 3,29
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №11 105
Таблица 2. Продолжение
1 2 3 4 5 6
1,587 1,582 1,579 1,56 3,13
1,602 1,583 1,58 1,551 2,95
1,59 1,575 1,573 1,54 3,48
1,58 1,561 1,56 1,539 2,81
1,586 1,572 1,568 1,552 2,795
1,594 1,57 1,568 1,54 3,05
Образец № 3. Сталь Ст3пс, круг ⊘24 мм. Режим термообработки: вода: 930–650◦С, воздух
1,71 1,692 1,689 1,658 2,69
1,696 1,685 1,683 1,663 2,81
1,684 1,676 1,673 1,654 2,82
1,687 1,674 1,672 1,65 2,763
1,688 1,675 1,668 1,637 2,723
1,697 1,685 1,679 1,648 2,355
106 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №11
Таблица 2. Окончание
1 2 3 4 5 6
1,683 1,674 1,667 1,645 3,105
1,700 1,692 1,69 1,674 3,06
1,687 1,677 1,668 1,64 2,802
информационной размерности D1 — по фотоснимкам № 6, 7, 12 и 17; для корреляционной
D2 — по фотоснимкам № 13, 18, 20, 23 и т. д. Наименьшая чувствительность фракталь-
ной размерности D0 к микротвердости перлита наблюдается на фотоснимках № 2, 4, 6, 9,
11, 22 и 27. Чувствительность будет максимальной в тех точках структуры шлифа, где
наблюдается максимальное изменение свойств металла.
Приведенный пример показывает, что чувствительность спектра размерностей к элемен-
там структуры достаточно высокая и этот факт можно использовать при идентификации,
например, механических свойств металла, в частности твердости.
1. Лобачевский Н.И. Полное собрание сочинений. – Москва; Ленинград: Гостехиздат, 1949. – Т. 11. –
С. 158–159.
2. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. – Москва: Наука, 1969. – 664 с.
3. Турбин А.Ф., Працевитый Н.В. Фрактальные множества, функции, распределения. – Киев: Наук.
думка, 1992. – 207 с.
4. Працьовитий М.В. Фрактальний пiдхiд у дослiдженнях сингулярних розподiлiв – Київ.: Нац. пед.
ун-т iм. М.П. Драгоманова, 1998. – 295 с.
5. Капица С.П., Курдюмов С.П., Малинецкий Г. Г. Синергетика и прогнозы будущего. – Москва: Эди-
ториал УРСС, 2001. – 288 с.
6. Управление риском. Риск. Устойчивое развитие. Синергетика // URL:http://www.Keldysh.ru/papers
/2002/sourse/book/gmalin/gl11.htm.
7. Федер Е. Фракталы. – Москва: Мир, 1991. – 261 с.
8. Иванова В. С., Баланкин А.С., Бунин И.Ж., Оксогоев А.А. Синергетика и фракталы в материало-
ведении. – Москва: Наука, 1994. – 383 с.
9. Бунин И.Ж., Колмаков А. Г., Встовский Г. В., Терентьев В.Ф. Концепция фрактала в материалове-
дении. Сообщ. 1. Фрактальная параметризация структур материалов // Материаловедение. – 1999. –
№ 2. – С. 19–27.
10. Большаков В.И., Дубров Ю.И. Об оценке применимости языка фрактальной геометрии для описания
качественных трансформаций материалов // Доп. НАН України. – 2002. – № 4. – С. 116–121.
11. Большаков В.И., Волчук В.Н., Дубров Ю.И. Разработка и исследование метода определения ме-
ханических свойств металла на основе анализа фрактальной размерности его микроструктуры //
Металознавство та терм. обробка металiв. – 2004. – № 1. – С. 43–54.
12. Дубров Ю. Наука як система, що самоорганiзується // Вiсн. НАН України. – 2000. – № 2. – С. 16–22.
13. Большаков В.И. Упрочнение строительных сталей. – Днепропетровск: Сiч, 1992. – 332 с.
14. Фракталы в физике: Тр. 6-го междунар. симп. по фракталам в физике. – Москва: Мир, 1988. – 672 с.
15. Лозинский М.Г. Высокотемпературная металлография. – Москва: Машгиз, 1956. – 312 с.
Поступило в редакцию 15.04.2008Приднепровская государственная академия
строительства и архитектуры, Днепропетровск
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №11 107
|