Наилучшая чебышевская аппроксимация для сжатия численной информации

Рассматривается проблема сжатия численной информации и её решение с применением наилучшей чебышевской аппроксимации. Даётся обоснование преимуществ разработанных алгоритмов аппроксимации, которые связаны с их оптимизацией по точности и быстродействию. Приводятся некоторые результаты расчётов по сжат...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2009
Hauptverfasser:	Каленчук-Порханова, А.А., Вакал, Л.П.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2009
Schlagworte:	Экспертные системы, методы индуктивного вывода
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6262
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Наилучшая чебышевская аппроксимация для сжатия численной информации / А.А. Каленчук-Порханова, Л.П. Вакал // Компьютерная математика. — 2009. — № 1. — С. 111-119. — Бібліогр.: 10 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-6262
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-62622025-02-23T17:14:17Z Наилучшая чебышевская аппроксимация для сжатия численной информации Найкраща чебишовська апроксимація для стиснення чисельної нформації Best Chebyshev approximations for numerical information compression Каленчук-Порханова, А.А. Вакал, Л.П. Экспертные системы, методы индуктивного вывода Рассматривается проблема сжатия численной информации и её решение с применением наилучшей чебышевской аппроксимации. Даётся обоснование преимуществ разработанных алгоритмов аппроксимации, которые связаны с их оптимизацией по точности и быстродействию. Приводятся некоторые результаты расчётов по сжатию числовых массивов с большими коэффициентами сжатия. Розглядається проблема стиснення чисельної інформації та її вирішення з використанням найкращої чебишовської апроксимації. Дається обґрунтування переваг розроблених алгоритмів апроксимації, пов’язаних з їх оптимізацією за точністю і швидкодією. Наводяться деякі результати розрахунків по стисненню числових масивів з великими коефіцієнтами стиснення. The problem of numerical information compression and its solution with the use of best uniform approximation are discussed. The advantages of the algorithms elaborated connected with their accuracy and performance optimization are presented. Some examples of numerical arrays compression with large values of compression coefficients are given. 2009 Article Наилучшая чебышевская аппроксимация для сжатия численной информации / А.А. Каленчук-Порханова, Л.П. Вакал // Компьютерная математика. — 2009. — № 1. — С. 111-119. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. ХХХХ-0003 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6262 519.651.2:681.3 ru application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Экспертные системы, методы индуктивного вывода Экспертные системы, методы индуктивного вывода
spellingShingle	Экспертные системы, методы индуктивного вывода Экспертные системы, методы индуктивного вывода Каленчук-Порханова, А.А. Вакал, Л.П. Наилучшая чебышевская аппроксимация для сжатия численной информации
description	Рассматривается проблема сжатия численной информации и её решение с применением наилучшей чебышевской аппроксимации. Даётся обоснование преимуществ разработанных алгоритмов аппроксимации, которые связаны с их оптимизацией по точности и быстродействию. Приводятся некоторые результаты расчётов по сжатию числовых массивов с большими коэффициентами сжатия.
format	Article
author	Каленчук-Порханова, А.А. Вакал, Л.П.
author_facet	Каленчук-Порханова, А.А. Вакал, Л.П.
author_sort	Каленчук-Порханова, А.А.
title	Наилучшая чебышевская аппроксимация для сжатия численной информации
title_short	Наилучшая чебышевская аппроксимация для сжатия численной информации
title_full	Наилучшая чебышевская аппроксимация для сжатия численной информации
title_fullStr	Наилучшая чебышевская аппроксимация для сжатия численной информации
title_full_unstemmed	Наилучшая чебышевская аппроксимация для сжатия численной информации
title_sort	наилучшая чебышевская аппроксимация для сжатия численной информации
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2009
topic_facet	Экспертные системы, методы индуктивного вывода
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6262
citation_txt	Наилучшая чебышевская аппроксимация для сжатия численной информации / А.А. Каленчук-Порханова, Л.П. Вакал // Компьютерная математика. — 2009. — № 1. — С. 111-119. — Бібліогр.: 10 назв. — рос.
work_keys_str_mv	AT kalenčukporhanovaaa nailučšaâčebyševskaâapproksimaciâdlâsžatiâčislennojinformacii AT vakallp nailučšaâčebyševskaâapproksimaciâdlâsžatiâčislennojinformacii AT kalenčukporhanovaaa najkraŝačebišovsʹkaaproksimacíâdlâstisnennâčiselʹnoínformacíí AT vakallp najkraŝačebišovsʹkaaproksimacíâdlâstisnennâčiselʹnoínformacíí AT kalenčukporhanovaaa bestchebyshevapproximationsfornumericalinformationcompression AT vakallp bestchebyshevapproximationsfornumericalinformationcompression
first_indexed	2025-11-24T03:35:13Z
last_indexed	2025-11-24T03:35:13Z
_version_	1849641207178723328
fulltext	Компьютерная математика. 2009, № 1 111 Рассматривается проблема сжа- тия численной информации и её решение с применением наилуч- шей чебышевской аппроксимации. Даётся обоснование преимуществ разработанных алгоритмов ап- проксимации, которые связаны с их оптимизацией по точности и быстродействию. Приводятся не- которые результаты расчётов по сжатию числовых массивов с боль- шими коэффициентами сжатия. © А.А. Каленчук-Порханова, Л.П. Вакал, 2009 ÓÄÊ:519.651.2:681.3 À.À. ÊÀËÅÍ×ÓÊ-ÏÎÐÕÀÍÎÂÀ, Ë.Ï. ÂÀÊÀË ÍÀÈËÓ×ØÀß ×ÅÁÛØÅÂÑÊÀß ÀÏÏÐÎÊÑÈÌÀÖÈß ÄËß ÑÆÀÒÈß ×ÈÑËÅÍÍÎÉ ÈÍÔÎÐÌÀÖÈÈ Введение. На современном этапе развития уровень информационного обеспечения стал определяющим фактором развития экономи- ки, науки, техники и общества в целом. Можно утверждать, что от количества и ка- чества полученной информации существенно зависит эффективность деятельности обще- ства и властных структур. На практике информация, как правило, за- даётся в виде массивов числовых данных, которые являются дискретным представле- нием функциональных зависимостей, харак- теризующих исследуемые объекты и процес- сы различной природы. Работа с такими мас- сивами связана с рядом серьёзных трудно- стей, возникающих, например, при − использовании в задачах математическо- го моделирования и прогнозирования; − необходимости экономного хранения больших по объёму массивов или при их скоростной передаче по каналам связи; − восстановлении значений функциональ- ной зависимости на «неосвещенных» заме- рами участках. Для преодоления перечисленных трудно- стей применяется математическая обработка массивов численной информации с исполь- зованием аппарата аппроксимации функций. При этом осуществляется приближенная за- мена массива дискретного представления функциональной зависимости f некоторым аналитическим выражением (аппроксиман- том) F с небольшим числом параметров- коэффициентов и выполняется сжатие чис- ленной информации. А.А. КАЛЕНЧУК-ПОРХАНОВА, Л.П. ВАКАЛ Компьютерная математика. 2009, № 1 112 Качественно новым подходом при выполнении такой замены является ис- пользование интеллектуализированных методов приближения функций спосо- бом наилучшей чебышевской (равномерной) аппроксимации, который значи- тельно эффективнее и универсальнее, чем интерполяционный и среднеквадра- тический способы приближения [1]. Главное преимущество чебышевского способа аппроксимации по сравне- нию с другими способами приближения – обеспечение точности приближения, полученной на некотором множестве точек интервала приближения, во всех точках этого интервала. При этом чебышевский способ наилучшего равномер- ного приближения имеет существенное преимущество ещё и потому, что даёт лучшую точность приближения, чем наилучшее среднеквадратическое прибли- жение аппроксимантом того же класса [2]. Указанные преимущества чебышевской аппроксимации позволяют решать с высокой точностью не только задачу нахождения аппроксиманта F и, как следствие, сжатие данных дискретно заданной функциональной зависимости f (прямая задача аппроксимации), но и задачу восстановления значений зависимо- сти f на «неосвещенных» замерами участках (обратная задача аппроксимации). Степень сжатия характеризуется коэффициентом С, который определяется по формуле ( ) ( ) , b f C b F = (1) где b(f), b(F) − количество бит, необходимых для хранения соответственно функции f и аппроксиманта F [3]. Аппарат наилучшей чебышевской аппроксимации. Наиболее эффектив- ным подходом приближения функций способом чебышевской аппроксимации является нахождение аппроксиманта наилучшего приближения. Для заданной функции ( )xf наилучшим чебышевским приближением с ве- сом ( ) 0≠xw на множестве точек Е ( [ ]βα= ,Е или { } [ ]1 2, , , ,N NЕ x x x= ⊂ α β… ) называется такой аппроксимант ( )A;xF* из заданного класса функций ( ){ }A;xF , ( )na,,a,aA …10= и n < N, для которого выполняется условие ( ) ( ) ( )*max ; x E w x f x F x A ∈ ⎡ ⎤ρ ≡ −⎣ ⎦ ( ) ( ) ( )min max ; A x E w x f x F x A ∈ = ⎡ − ⎤⎣ ⎦ . (2) Величина ρ называется величиной наилучшего чебышевского приближения (погрешностью аппроксимации). Наиболее известный метод решения задачи (2) – метод последовательных чебышевских интерполяций (п.ч.и.) Ремеза [1], разработанный для случая аппрок- симации алгебраическими полиномами ( ) n nn xaxaaxP +++= …10 . НАИЛУЧШАЯ ЧЕБЫШЕВСКАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ДЛЯ СЖАТИЯ ЧИСЛЕННОЙ ИНФОРМАЦИИ Компьютерная математика. 2009, № 1 113 Теоретической основой метода Ремеза служит теорема Чебышева, согласно которой полином ( )xPn наилучшего равномерного приближения характеризует- ся таким необходимым и достаточным условием: на множестве точек Е долж- ны найтись, по крайней мере, (n+2) точки β≤<<<≤α +110 nxxx … , в которых функция отклонения ( ) ( ) ( ) ( )nx w x f x P xΔ = −⎡ ⎤⎣ ⎦ достигает своего модуль- максимума ρ с чередованием знака ( ) ( ) ( ) ( ) ρ=Δ−==Δ−=Δ + + 1 1 10 1 n n xxx … . (3) Точки 110 +nx,,x,x … называются точками чебышевского альтернанса. Метод Ремеза является итерационным и основан на последовательных чебышев- ских интерполяциях, j шагов которых сводятся к построению последовательности (n+2)-точечных наборов =jS ( ) ( ) ( ){ }0 1 1, , ,j j j nx x x +… ⊂E, сходящейся к чебышевскому альтернансу. Скорость сходимости метода п.ч.и. зависит в основном от способа замены наборов jS . Возможны три варианта замены точек при переходе от jS к сле- дующему, улучшенному набору 1+jS : оптимальный, полуоптимальный и до- пустимый. На практике в оптимальном варианте замены искомый чебышевский альтернанс находится, как правило, за 1–2 итерации, в полуоптимальном число итераций может оказаться в несколько раз больше, а в допустимом – во много раз больше. В случае оптимального варианта для некоторых классов функций обес- печивается квадратическая скорость сходимости [1]. В разработанных в Институте кибернетики алгоритмах п.ч.и. наилучшего чебышевского приближения аппроксимантами разных классов замена наборов jS осуществляется в соответствии с предложенной в работе [4] процедурой, реализующей усиленный полуоптимальный вариант замены, который на прак- тике совпадает с оптимальным и обеспечивает квадратическую скорость сходи- мости итерационного процесса. Кроме оптимального варианта замены наборов jS , указанные алгоритмы имеют ряд возможностей и преимуществ по сравнению с алгоритмами п.ч.и. других авторов, в частности, обеспечивают построение полиномиального при- ближения с произвольным весом; позволяют находить либо аппроксимант за- данной фиксированной степени (вход по степени), либо аппроксимант, обеспе- чивающий заданную точность приближения (вход по точности); позволяют ап- проксимировать как дискретно, так и аналитически заданные функции. При этом дополнительно применяется процедура вычисления значений функции в точках дискретизации. Для разработанных алгоритмов были получены оценки всех видов погреш- ностей, в частности, априорные и апостериорные мажорантные детерминиро- ванные оценки полной погрешности, причём неулучшаемые для некоторых А.А. КАЛЕНЧУК-ПОРХАНОВА, Л.П. ВАКАЛ Компьютерная математика. 2009, № 1 114 классов функций [5]. Включение в вычислительные схемы алгоритмов расчетов полной погрешности приближения позволило получить более точную оценку величины наилучшего приближения ρ . Кроме вышеперечисленных, численная реализация разработанных в Инсти- туте кибернетики алгоритмов п.ч.и. имеет также дополнительные преимущества, связанные с оптимизацией алгоритмов по точности и быстродействию [4, 5]. Эти меры оптимизации позволили значительно повысить точность результатов. Алгоритмы и программные комплексы наилучшей чебышевской аппрокси- мации эффективно применялись на протяжении многих лет для решения боль- шого числа задач замены дискретного представления функциональных зависи- мостей разными классами аппроксимантов. Кроме разработанных ранее базовых алгоритмов и программ аппроксима- ции функций одной и многих переменных полиномами ( )xPn и дробно-раци- ональными выражениями ( ) ( ) ( )xP/xPxR kmmk = [6, 7], в последнее время были разработаны методы, алгоритмы и программные комплексы построения наи- лучших чебышевских приближений другими классами аппроксимантов [8]: экспоненциальными выражениями ( )n nxaxaexpa ++…10 ; логарифмическими выражениями ( )n nxaxaaln +++ …10 ; функциями, являющимися корнем из полинома l n nxaxaa +++ …10 . Для дальнейшего повышения эффективности сжатия больших массивов данных был проведен анализ сравнительных характеристик точности приближе- ния аппроксимантами разных классов. По результатам анализа определён класс обобщённых полиномов ( ) ( ) ( )xzxzxQ nnn ϕ++ϕ= …11 по системам базисных функций ( ) ( ){ }x,,x nϕϕ …1 и разработан алгоритм и программный комплекс наи- лучшего равномерного приближения этими полиномами [7]. В дальнейшем пла- нируется определить перечень наиболее подходящих систем базисных функций и выполнить аппроксимацию полиномами ( )xQn с использованием различных систем функций для того, чтобы на основе сравнения полученной точности окончательно выбрать такую систему, которая обеспечит наилучшую точность аппроксимации указанными полиномами в конкретном случае. Для повышения эффективности (точности и быстродействия) всех перечис- ленных алгоритмов был также реализован подход, основанный на применении сегментной (кусочной) аппроксимации разными классами аппроксимантов [9]. Для работы с программами сжатия и восстановления массивов числовых данных была разработана программная оболочка в системе программирования Delphi. Работа с этими программными средствами позволяет в режиме диалога задавать решение прямой (сжатие) либо обратной (восстановление) задачи, вы- бирать тот или другой вид аппроксиманта и получать параметры соответствую- щих результатов, таких, как размер сжатого файла, коэффициент сжатия и др. Работа в этой программной оболочке не требует от пользователя профес- сиональных знаний по программированию и не предусматривает необходимости изучения особенностей алгоритмов аппроксимации. Пользователь должен задать только имена файла массива данных и файла результатов сжатия и выбрать же- лаемое аппроксимирующее выражение из предложенного списка. НАИЛУЧШАЯ ЧЕБЫШЕВСКАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ДЛЯ СЖАТИЯ ЧИСЛЕННОЙ ИНФОРМАЦИИ Компьютерная математика. 2009, № 1 115 Эффективность разработанных алгоритмов сжатия алгебраическими и обобщёнными полиномами, в том числе с использованием сегментной аппрок- симации, была подтверждена на примерах сжатия больших массивов числовых данных. Далее приводятся некоторые примеры сжатия (рис. 1). РИС. 1. Вид диалогового окна программной оболочки Примеры сжатия массивов числовых данных. Пример 1. Рассмотрим применение разработанного аппарата наилучшего чебышевского приближения для сжатия массива данных измерений солёности воды (всего 1897 замеров), полученных на разных глубинах Чёрного моря, с ис- пользованием полиномиальной и кусочно-полиномиальной аппроксимации с разбиением на сегменты. Была выполнена аппроксимация без разбиения на сегменты полиномами степеней 2−15 и аппроксимация с разбиением на 2 сегмента полиномами соот- ветственно степеней 4−11 на первом сегменте и степеней 1−2 на втором сегмен- те. На рис. 2 показан график функциональной зависимости солёности воды, по- строенный по данным измерений, и график полинома 5-й степени, аппроксими- рующий эту зависимость с погрешностью не более 2.4 %. 17 18 19 20 21 22 23 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800 1900 Глубина (в м) С ол ён ос ть (в п ро м ил е) Данные измерений Аппроксимирующий полином РИС. 2. Зависимость солёности воды от глубины А.А. КАЛЕНЧУК-ПОРХАНОВА, Л.П. ВАКАЛ Компьютерная математика. 2009, № 1 116 В сводной таблице приведены значения погрешностей приближений и ко- эффициентов сжатия для полиномиальной и кусочно-полиномиальной аппрок- симации данных измерений солёности воды. Полиномиальная аппроксимация Кусочно-полиномиальная аппроксимация Степень полинома Погрешность аппроксима- ции, % Степень 1-го по- линома Степень 2-го по- линома Погрешность аппроксима- ции, % Коэффи- циент сжатия С 9 2.1 6 2 0.9 190 10 1.96 7 2 0.77 172 12 1.5 8 2 0.75 146 14 1.2 11 2 0.61 126 Сравнение соответствующих значений позволяет сделать вывод, что при одинаковых коэффициентах сжатия и количестве параметров приближения зна- чительно более эффективной по точности является кусочно-полиномиальная аппроксимация (рис. 3). 0 0,5 1 1,5 2 2,5 П ог ре ш но ст ь пр иб ли ж ен ия (% ) 126 146 172 190 Коэффициент сжатия Кусочно-полиномиальная аппроксимация (2 сегмента) Полиномиальная аппроксимация (без разбиения на сегменты) РИС. 3. Соотношение между погрешностями приближения и коэффициентами сжатия Пример 2. Рассмотрим применение аппроксимации обобщёнными полино- мами для сжатия числовой матрицы А размером 1500х1500 (всего 2 250 тыс. действительных чисел). Анализ матрицы показывает, что в размещении элемен- тов в строках наблюдается определённая периодичность. В качестве значений jy дискретно заданной функциональной зависимости ( )xfi взяты значения элементов і-й строки матрицы А ( )15001,i = , а в качестве аргумента x − поряд- ковый номер j значения jy в строке, т. е. jx j = и ( )jij xfy = ( )15001,j = . НАИЛУЧШАЯ ЧЕБЫШЕВСКАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ДЛЯ СЖАТИЯ ЧИСЛЕННОЙ ИНФОРМАЦИИ Компьютерная математика. 2009, № 1 117 Из показанного на рис. 4 графика функции ( )xf1 видно, что функция периоди- ческая. Поэтому для её аппроксимации целесообразно использовать обобщённый по- лином ( ) ( ) ( )1 1 22 cos 1Q x z z x= + − по системе двух базисных функций 1 и ( )cos 1x − . Каждая строка і матрицы А аппроксимируется своим полиномом ( )( )xQ i 2 ( )15001,i = . При этом абсолютная погрешность приближения не превышает по- ловины единицы младшего разряда числа. Например, обобщённый полином, аппроксимирующий функцию ( )xf1 , имеет вид ( ) ( ) ( )1 2 500 300 cos 1Q x x= + ⋅ − . 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 РИС. 4. Фрагмент графика функции ( )xf1 В результате аппроксимации матрицу А размером 17339 Кбайт удалось сжать до 52 Кбайт с коэффициентом сжатия 333 (рис. 5). 17400 Кбайт 52 Кбайт РИС. 5. Размеры матрицы до и после сжатия Выводы. На практике эффективность разработанных алгоритмов и про- грамм наилучшей чебышевской аппроксимации проверена на большом количе- стве численных реализаций как в Украине, так и за рубежом. Аппарат аппрок- симации на протяжении многих лет использовался в составе прикладного про- граммного обеспечения отечественных ЭВМ и применялся для сжатия массивов А.А. КАЛЕНЧУК-ПОРХАНОВА, Л.П. ВАКАЛ Компьютерная математика. 2009, № 1 118 данных при решении различных прикладных задач (в том числе, для оборонных целей), при расчётах характеристик сложных систем, например, при расчёте прочностных характеристик летательных аппаратов для НИИ им. Туполева. В процессе применения аппарата наилучшей чебышевской аппроксимации была не только подтверждена его высокая эффективность, но и проводилось дальнейшее усовершенствование этого аппарата. В результате численной реализации алгоритмов аппроксимации были разра- ботаны программные комплексы на языках программирования ФОРТРАН, Ал- гол, Паскаль, а также на С++ для отечественного суперкомпьютера с кластерной архитектурой (СКИТ). В состав прикладного программного обеспечения СКИТ включены две библиотеки программ: библиотека чебышевской аппроксимации функций одной и многих переменных и библиотека для вычисления с повышен- ной точностью значений элементарных и специальных функций. Аппарат чебышевской аппроксимации в последнее время применялся для сжатия больших одномерных массивов-векторов (с возможным количеством значений до 10 млн. чисел) с целью получения небольшого числа параметров аппроксимантов. В результате расчётов были получены большие значения ко- эффициентов сжатия (в среднем два порядка). Эти работы выполнялись в рамках создания Подсистемы аппроксимации для сжатия больших массивов числовых данных в составе Информационно-аналитической системы «Бюджетный коми- тет», а также в рамках научно-технического проекта по разработке программно- технических комплексов для решения расчётных задач АНТК «Антонов». В настоящее время для СКИТ разрабатывается пакет программ аппроксима- ции функций одной и многих переменных разными способами приближения: интерполяционным, среднеквадратичным и чебышевским [10]. Этот пакет имеет ряд существенных преимуществ по сравнению с известными аналогичными па- кетами и специализированными библиотеками, такими, например, как Mathcad, Maple, MATLAB, Mathematica, MATHLIB, NETLIB. А.О. Каленчук-Порханова, Л.П. Вакал НАЙКРАЩА ЧЕБИШОВСЬКА АПРОКСИМАЦІЯ ДЛЯ СТИСНЕННЯ ЧИСЕЛЬНОЇ НФОРМАЦІЇ Розглядається проблема стиснення чисельної інформації та її вирішення з використанням найкращої чебишовської апроксимації. Дається обґрунтування переваг розроблених алгорит- мів апроксимації, пов’язаних з їх оптимізацією за точністю і швидкодією. Наводяться деякі результати розрахунків по стисненню числових масивів з великими коефіцієнтами стиснення. A. Kalenchuk-Porkhanova, L. Vakal BEST CHEBYSHEV APPROXIMATIONS FOR NUMERICAL INFORMATION COMPRESSION The problem of numerical information compression and its solution with the use of best uniform approximation are discussed. The advantages of the algorithms elaborated connected with their ac- curacy and performance optimization are presented. Some examples of numerical arrays compres- sion with large values of compression coefficients are given. НАИЛУЧШАЯ ЧЕБЫШЕВСКАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ДЛЯ СЖАТИЯ ЧИСЛЕННОЙ ИНФОРМАЦИИ Компьютерная математика. 2009, № 1 119 1. Ремез Е.Я. Основы численных методов чебышевского приближения. – Киев: Наук. думка, 1969. – 623 с. 2. Иванов В.В., Каленчук А.А. Об эффективности алгоритмов полиномиальных и дроб- но-рациональных чебышевских приближений // Конструктивная теория функций. – София, 1983. – С. 72–77. 3. Бердышев В.И., Петрак Л.В. Аппроксимация функций, сжатие численной инфор- мации, приложения. – Екатеринбург: УрО РАН, 1999. – 297 с. 4. Каленчук-Порханова А.А. Об одном алгоритме полиномиальной чебышевской ап- проксимации // Оптимизация вычислительных методов. – Киев: Ин-т кибернетики АН УССР, 1974. – С. 45–51 5. Каленчук-Порханова А.А. Алгоритмы и анализ погрешности наилучшей чебышевской аппроксимации одной переменной // Теория приближения функций: Тр. Междунар. конф. по теории приближения функций, Калуга, 1975. – М., 1977. – С. 213–218. 6. Каленчук-Порханова А.А. Аппроксимация функций одной и многих переменных // Численные методы для многопроцессорного вычислительного комплекса ЕС. – М.: Изд-во ВВИА им. Н.Е. Жуковского, 1987. – С. 366–395. 7. Каленчук-Порханова А.О., Вакал Л.П. Побудова найкращих рівномірних наближень функцій багатьох змінних // Комп’ютерні засоби, мережі та системи. − 2007. − № 6. – С. 141−148. 8. Каленчук-Порханова А.О., Вакал Л.П. Відтворення функціональних залежностей на основі нелінійних наближень деяких видів // Abstracts of International Conf. “Problems of decision making under uncertainties” (May 21–25, 2007). – Chernivtsi, Ukraine, 2007. – P. 135–137. 9. Вакал Л.П. Рівномірне кусково-поліноміальне наближення // Комп’ютерні засоби, мережі та системи. – 2006. – № 5. – С. 53–59. 10. Каленчук-Порханова А.А., Вакал Л.П. Пакет программ аппроксимации функций // Комп’ютерні засоби, мережі та системи. − 2008. − № 7. – С. 101−107. Получено 03.12.2008 Oá àâòîðàõ : Каленчук-Порханова Анжелина Алексеевна, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Института кибернетики имени В.М. Глушкова НАН Украины, e-mail: ioanna@public.icyb.kiev.ua Вакал Лариса Петровна, научный сотрудник Института кибернетики имени В.М. Глушкова НАН Украины. e-mail: vakal@ipnet.ua

Наилучшая чебышевская аппроксимация для сжатия численной информации

Institution

Ähnliche Einträge