Новий клас інтерполяційних інтегральних ланцюгових дробів
An interpolation integral chain fraction for a given nonlinear functional on the continual knot set is constructed. It is a natural generalization of the interpolation chain fraction.
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2008
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6265 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Новий клас інтерполяційних інтегральних ланцюгових дробів / В.Л. Макаров, I. I. Демкiв // Доп. НАН України. — 2008. — № 11. — С. 17-23. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860135521275084800 |
|---|---|
| author | Макаров, В.Л. Демків, І.І. |
| author_facet | Макаров, В.Л. Демків, І.І. |
| citation_txt | Новий клас інтерполяційних інтегральних ланцюгових дробів / В.Л. Макаров, I. I. Демкiв // Доп. НАН України. — 2008. — № 11. — С. 17-23. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| description | An interpolation integral chain fraction for a given nonlinear functional on the continual knot set is constructed. It is a natural generalization of the interpolation chain fraction.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:47:13Z |
| format | Article |
| fulltext |
iнтегрування Jρ,µ збiгаються вiдповiдно з операторами звичайного диференцiювання D та
звичайного iнтегрування J . Тому це твердження буде правильним i для операторного рiв-
няння виду TJ n = DnT . Таким чином, ми одержали узагальнення основного результату
з [11], оскiльки в [11] правильнiсть вiдповiдної формули (5) встановлено при допущеннi, що
область G є опуклою.
1. Köthe G. Dualität in der Funktionentheorie // J. reine und angew. Math. – 1953. – 191. – S. 30–49.
2. Delsartes J., Lions J. L. Transmutations d’operateurs differentieles dans le domaine complexe // Comment.
Math. Helv. – 1957. – 32, No 2. – S. 113–128.
3. Нагнибида Н.И. К вопросу об изоморфизмах аналитического пространства, перестановочных со сте-
пенью оператора дифференцирования // Докл. АН СССР. – 1966. – 167, № 6. – С. 1230–1233.
4. Гельфонд А.О., Леонтьев А.Ф. Об одном обобщении ряда Фурьє // Мат. сб. – 1951. – 29(71), № 3. –
С. 477–500.
5. Нагнибида Н.И., Фишман К.М. О базисе из обобщенных первообразных // Сиб. мат. журн. – 1965. –
6, № 4. – С. 944–946.
6. Коробейник Ю.Ф. Об операторах обобщенного дифференцирования, применимых к любой аналити-
ческой функции // Изв. АН СССР. Сер. матем. – 1964. – 28, № 4. – С. 833–854.
7. Братищев А.В. О линейных операторах, символ которых является функцией произведения своих
аргументов // Докл. АН. – 1999. – 365, № 1. – С. 9–12.
8. Моржаков А. В. Представление оператора обобщенного дифференцирования в одном классе одно-
связых областей // Вестн. ДГТУ. – 2006. – 6, № 1. – С. 10–16.
9. Кирютенко Ю.А. Об операторах обобщенного интегрирования, аналитически продолжимих из ну-
ля // Изв. высш. учеб. заведений. Матем. – 1975. – № 7(158). – С. 47–53.
10. Dimovski I.H. Convolutional calculus. Ser. Math. and appl. – 1990. – Vol. 43. – 208 p.
11. Лiнчук Ю.С. Зображення розв’язкiв одного iнтегро-диференцiального операторного рiвняння // Укр.
мат. журн. – 2007. – 59, № 1. – С. 136–139.
Надiйшло до редакцiї 16.04.2008Чернiвецький нацiональний унiверситет
iм. Юрiя Федьковича
УДК 517.988
© 2008
Член-кореспондент НАН України В. Л. Макаров, I. I. Демкiв
Новий клас iнтерполяцiйних iнтегральних ланцюгових
дробiв
An interpolation integral chain fraction for a given nonlinear functional on the continual knot
set is constructed. It is a natural generalization of the interpolation chain fraction.
Iнтегральнi iнтерполяцiйнi ланцюговi дроби (IIЛД) вперше були введенi в роботi [1]. Для
функцiоналiв F : L1(0, 1) → R1 вони мають вигляд
QI
n(x(·);F ) = F (x0(·)) +
1
∫
0
KI
1 (z1)[x(z1) − x0(z1)]dz1
1 +
1
∫
z1
KI
2 (~z 2)[x(z2)−x1(z2)]dz2
1+
. . .
, (1)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №11 17
де xi(z) ∈ L1(0, 1), i = 0, n, — вузли iнтерполяцiї, а ядра KI
i (~z i) ≡ KI
i (z1, z2, . . . , zi) визна-
чаються за формулами
KI
1 (z1) = −[x1(z1) − x0(z1)]
−1 ∂
∂z1
F (x0(·) + H(· − z)(x1(·) − x0(·)),
KI
2 (~z 2) = −[x1(z2) − x2(z2)]
−1 ∂
∂z1
F (x1(·, z1))
∂
∂z2
(
∂
∂z1
F (x2(·, ~z 2))
)
−1
,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
KI
p (~z p) = −[xp−1(zp) − xp(zp)]
−1 ×
×
∂
∂zp−1
(
∂
∂zp−2
(
· · ·
(
∂
∂z1
F (xp−1(·, ~z p−1))
)
−1
· · ·
)
−1)−1
×
×
∂
∂zp
(
∂
∂zp−1
(
· · ·
(
∂
∂z1
F (xp(·, ~z p))
)
−1
· · ·
)
−1)−1
, p = 3, 4, . . . .
(2)
У [1] доведено, що визначення ядер за формулами (2) є необхiдною умовою, щоб iнте-
гральний ланцюговий дрiб (IЛД) (1) був iнтерполяцiйним на континуальнiй множинi вузлiв
xn(z, ~ξ n) =
n
∑
i=1
H(z − ξi)[xi(z) − xi−1(z)],
~ξ n = (ξ1, ξ2, . . . , ξ
n) ∈ Ωn = {~z n : 0 6 z0 6 z1 6 · · · 6 zn 6 1}.
(3)
Достатнi умови iнтерполяцiйностi iнтегрального дробу (1) з ядрами (2) були знайденi
у роботi [2], i вони формулюються таким чином: для того щоб IЛД (1), (2) був iнтерпо-
ляцiйним на континуальнiй множинi вузлiв (3), для заданого функцiонала F (x(·)), тобто
щоб виконувалась умова
F (xn(·, ~ξ n)) = QI
n(xn(·, ~ξ n);F ), ∀ ~ξ n ∈ Ωn, (4)
достатньо, щоб виконувалось правило пiдстановки
[
∂F (x0(·) + H(· − z1)(x1(·) − x0(·)) + H(· − z2)(x2(·) − x1(·)))
∂z1
]
z2=z1
=
=
x1(z1) − x0(z1)
x2(z1) − x0(z1)
∂
∂z1
F (x0(·) + H(· − z1)(x2(·) − x0(·))). (5)
IЛД (1), (2) при виконаннi функцiоналом правила пiдстановки (5) мають властивiсть
збереження iнтегрального ланцюгового дробу. Це означає: для будь-якого IЛД
Qm(x(·)) = K0 +
1
∫
0
K1(z1)[x(z1) − x0(z1)]dz1
. . .
1+
1
∫
zm−1
Km(~z m)[x(zm)−xm−1(zm)]dzm
(6)
18 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №11
має мiсце спiввiдношення
QI
n(x(·);Qm) ≡ Qm(x(·)) ∀ x(z) ∈ L1(0, 1), якщо m 6 n. (7)
Ця властивiсть подiбна до властивостi збереження полiнома iнтерполяцiйним функцiо-
нальним многочленом
P I
n(x(·), F ) = F (x0(·)) +
1
∫
0
pI
1(z1)[x(z1) − x0(z0)]dz1 +
+ · · · +
1
∫
0
1
∫
z1
· · ·
1
∫
zn−1
pI
n(~z n)
n
∏
i=1
[x(zi) − xi−1(zi)]dzi, (8)
з ядрами
pI
k(~z
k) = (−1)k
k
∏
i=1
[xi(zi) − xi−1(zi)]
−1 ·
∂k
∂z1 · · · ∂zk
F (xk(·, ~z k)). (9)
Але IIЛД (1), (2) має, у порiвняннi з iнтерполяцiйним полiномом (8), (9), одну ваду.
Якщо у (8), (9) покласти xi(z) ≡ xi = const, i = 0, n, x(z) ≡ x = const, то полiном (8), (9)
перейде в класичний iнтерполяцiйний полiном Ньютона для функцiї однiєї змiнної. У той же
час IIЛД не перейде в iнтерполяцiйний ланцюговий дрiб для функцiї однiєї змiнної. Щоб
позбутися цiєї вади, введемо в розгляд iнший клас IЛД, у якому будемо шукати iнтерпо-
ляцiйний дрiб.
Позначимо через Qn клас n-поверхових IЛД вигляду
Qn(x(·)) = K0 +
1
∫
0
K1(z1)[x(z1) − x0(z1)]dz1
1 +
1
∫
0
1
∫
z1
K2(~z 2)
2
∏
i=1
[x(zi)−xi−1(zi)]dzi
.. .
1+
1
∫
0
1
∫
z1
···
1
∫
zn−1
Kn(~z n)
n
∏
i=1
[x(zi)−xi−1(zi)]dzi
. (10)
Ядра IЛД (10) будемо шукати з умови, щоб цей дрiб був iнтерполяцiйним на континуальнiй
множинi вузлiв (3).
Має мiсце
Теорема 1. Для того щоб IЛД (10) був iнтерполяцiйним для гладкого функцiонала
F (x(·)) : Q[0, 1] → R1 на континуальнiй множинi вузлiв (3), необхiдно, щоб його ядра ви-
значались за формулами
KI
p(~ξ k) = (−1)p
p
∏
i=1
[xi(ξi) − xi−1(ξi)]
−1 ∂p
∂ξ1 · · · ∂ξp
×
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №11 19
×
1
∫
0
1
∫
z1
· · ·
1
∫
zp−2
KI
p−1(~z
p−1)
p−1
∏
i=1
[xp(zi, ~ξ
p) − xi−1(zi)]dzi
1
∫
0
···
1
∫
zp−3
KI
p−2(~z
p−2)
p−2
∏
i−1
[xp(zi,~ξ p)−xi−1(zi)]dzi
...
1
∫
0
KI
1
(z1)[xp(z1,~ξ p)−x0(z1)]dz1
F (xp(·,~ξ p))−F (x0(·))
−1
− 1
− 1, p = 2, 3, . . . , n,
(11)
KI
1 (ξ1) = −[x1(ξ) − x0(ξ)]
−1 ∂
∂ξ1
F (x0(·) + H(· − ξ1)(x1(·) − x0(·))).
Теорема 2. Для того щоб IЛД (10) з ядрами, що визначаються формулами (11), був
iнтерполяцiйним для гладкого функцiонала F (x(·)) : Q[0, 1] → R1 на континуальнiй мно-
жинi вузлiв (3), достатньо, щоб функцiонал F (x(·)) задовольняв правило пiдстановки (5).
Умови, якi треба накласти на функцiонал F (x(·)), щоб вiн задовольняв правило пiдста-
новки (5), наводяться в нижченаведеному твердженнi.
Теорема 3. Для того щоб гладкий функцiонал F (x(·)) : Q[0, 1] → R1 задовольняв пра-
вило пiдстановки (5), необхiдно та достатньо, щоб для нього мало мiсце зображення
F (x(·)) = F (u0(·)) −
1
∫
0
∂
∂z1
F (u0(·) + H(· − z1)(u1(·) − u0(·)))
x(z1) − u0(z1)
u1(z1) − u0(z1)
dz1 +
+
1
∫
0
1
∫
z1
∂2
∂z1∂z2
F (u0(·) + H(· − z1)(u1(·) − u0(·)) + H(· − z2)(x(·) − u1(·))) ×
×
x(z1) − u0(z1)
u1(z1) − u0(z1)
dz2dz1. (12)
Доведення теорем 1–3 проводиться аналогiчно тому, як доводились вiдповiднi тверд-
ження для IIЛД вигляду (2), (3) у роботах [1, 2].
Знайдемо тепер, якого вигляду набуває IIЛД (10), (11), якщо xi(z) ≡ xi = const, i = 0, n,
x(z) ≡ x = const. Пiсля нескладних перетворень одержуємо
QI
n(x) = F (x0) +
(x − x0)q1
1 −
2
∏
i=1
x−xi−1
xi−xi−1
[
x1−x0
x2−x0
−q2
]
1−
3
∏
i=1
x−xi−1
xi−xi−1
[
2
∏
i=1
xi−xi−1
x3−xi−1
−q3
]
.. .
1−
n
∏
i=1
x−xi−1
xi−xi−1
[
n−1
∏
i=1
xi−xi−1
xn−xi−1
−qn
]
, (13)
де
q1 = F01, q2 =
x1 − x0
x2 − x0
F01
F02
, q3 =
[
x1 − x0
x2 − x0
−
F01
F02
]
1 −
F01
F03
,
20 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №11
qk =
k−2
∏
i=1
xi − xi−1
xk−1 − xi−1
− qk−1
1 −
k−2‘
∏
i=1
xk−xi−1
xi−xi−1
[
k−3
∏
i=1
xi−xi−1
xk−2−xi−1
−qk−2
]
1−
k−3
∏
i=1
xi−xi−1
xk−xi−1
[
k−4
∏
i=1
xi−xi−1
xk−3−xi−1
−qk−3
]
...
1−
2
∏
i=1
xk−xi−1
xi−xi−1
[
1
∏
i=1
xi−xi−1
xk−xi−1
−q2
]
1−
q1
F0k
, k = 4, 5, . . . , n.
(14)
Тут використано позначення F0k =
F (xk) − F (x0)
xk − x0
, k = 1, 2, . . ..
Має мiсце
Теорема 4. Ланцюговий дрiб (13), (14) є iнтерполяцiйним для функцiї F (x) : [a, b] → R1
з вузлами xi ∈ [a, b], i = 0, 1.
Доведення здiйснюється через перевiрку виконання умов iнтерполяцiї.
F (xi) = QI
n(xi), i = 0, n. (15)
Отже, поставлена на початку роботи задача про побудову IIЛД такого, щоб вiн був
природним узагальненням iнтерполяцiйного ланцюгового дробу для функцiї однiєї змiнної,
розв’язана.
На цьому шляху виникає задача побудови узагальнення iнтерполяцiї функцiї багатьох
змiнних гiллястими ланцюговими дробами на випадок iнтерполяцiї нелiнiйних функцiоналiв
вiд багатьох змiнних.
Не наводячи повний розв’язок поставленої задачi, що буде предметом наступних публi-
кацiй, вкажемо на один з можливих пiдходiв, використовуючи який можна досягти мети.
Розглянемо задачу iнтерполювання нелiнiйних функцiоналiв вiд двох змiнних
F (x(·), y(·)) : Q[0, 1] × Q[0, 1] → R1
iнтегральними гiллястими ланцюговими дробами (IГЛД) з двома гiлками, що вiдповiдає
кiлькостi змiнних у функцiоналi. При цьому залишаємо вимогу, щоб вузли iнтерполяцiї
були континуальними.
Обмежимось найпростiшим випадком, коли кiлькiсть поверхiв дорiвнює двом. Будемо
шукати iнтерполяцiйний IГЛД QI
2(x(·), y(·)) у класi дробiв вигляду
Q2(x(·), y(·)) = K0 +
1
∫
0
K1(z1)[x(z1) − x0(z1)]dz1 ×
×
{
1 +
1
∫
0
1
∫
z1
K2(~z
2)
2
∏
i=1
[x(zi) − xi−1(zi)]dzi +
+
1
∫
0
1
∫
0
K1,1(~z
2)[x(z1) − x0(z1)][y(z2) − y0(z2)]dz2dz1
}
−1
+
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №11 21
+
1
∫
0
M1(z1)[y(z1) − y0(z1)]dz1
{
1 +
1
∫
0
1
∫
z1
M2(~z
2)
2
∏
i=1
[y(zi) − yi−1(zi)]dzi +
+
1
∫
0
1
∫
0
K1,1(~z
2)[x(z1) − x0(z1)][y(z2) − y0(z2)]dz2dz1
}
−1
. (16)
Має мiсце
Теорема 5. Для того щоб IГЛД (16) був iнтерполяцiйним для функцiонала F (x(·), y(·))
на континуальнiй множинi вузлiв
(x2(z, ~ξ 2), y0), (x0, y
2(z, ~η 2)), (x1(z, ξ1), y
1(z, η1)),
0 6 ξ1 6 ξ2 6 1, 0 6 η1 6 η2 6 1,
(17)
необхiдно, а при виконаннi правила пiдстановки по кожнiй iз змiнних функцiонала
F (x(·), y(·)) достатньо, щоб ядра дробу (16) визначались за формулами
K0 = F (x0(·), y0(·)), K1(ξ1) = −
∂
∂ξ1
F (x1(·, ξ1), y0(·)),
M1(η1) = −
∂
∂η1
F (x0(·), y
1(·, η1)), K2(~ξ
2) =
2
∏
i=1
[xi(ξi) − xi−1(ξi)]
−1 ×
×
∂2
∂ξ1∂ξ2
ξ2
∫
ξ1
K1(s)[x1(s) − x0(s)]ds +
1
∫
ξ2
K1(s)[x2(s) − x0(s)]ds
F (x2(·, ~ξ 2), y0(·)) − F (x0(·), y0(·))
,
M2(~η
2) =
2
∏
i=1
[yi(ηi) − yi−1(ηi)]
−1 ∂2
∂η1∂η2
× (18)
×
η2
∫
η1
M1(s)[y1(s) − y0(s)]ds +
1
∫
η2
M1(s)[y2(s) − y0(s)]ds
F (x0(·), y2(·, ~η 2)) − F (x0(·), y0(·))
,
K1,1(ξ1, η1) = [x1(ξ1) − x0(ξ1)]
−1[y1(η1) − y0(η1)]
−1 ∂2
∂ξ1∂η1
×
×
1
∫
ξ1
K1(s)[x1(s) − x0(s)]ds +
1
∫
η2
M1(s)[y1(s) − y0(s)]ds
F (x1(·, ξ1), y1(·, η1)) − F (x0(·), y0(·))
.
Наслiдок 1. Покладемо у формулах (16), (18) x(z) ≡ x = const, xi(z) ≡ xi = const,
y(z) ≡ y = const, yi(z) ≡ yi = const, i = 0, 1, 2, тодi IГЛД (16), (18) перейде у звичайний
22 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №11
гiллястий ланцюговий дрiб, що iнтерполює функцiю вiд двох змiнних
QI
2(x, y) = F (x0, y0) −
x − x0
x1 − x0
[F (x0, y0) − F (x1, y0)] ×
×
{
1 −
(x − x0)(x − x1)
(x1 − x0)(x2 − x1)
[
x1 − x0
x2 − x0
+
F (x0, y0) − F (x1, y0)
F (x2, y0) − F (x0, y0)
]
−
−
(x − x0)(y − y0)
(x1 − x0)(y1 − y0)
[
1 +
2F (x0, y0) − F (x1, y0) − F (x0, y1)
F (x1, y0) − F (x0, y0)
]}
−1
−
−
y − y0
y1 − y0
[F (x0, y0) − F (x0, y1)] ×
×
{
1 −
(y − y0)(y − y1)
(y1 − y0)(y2 − y1)
[
y1 − y0
y2 − y0
+
F (x0, y0) − F (x0, y1)
F (x0, y2) − F (x0, y0)
]
−
−
(x − x0)(y − y0)
(x1 − x0)(y1 − y0)
[
1 +
2F (x0, y0) − F (x1, y0) − F (x0, y1)
F (x1, y1) − F (x0, y0)
]}
−1
. (19)
Слiд зауважити, що iнтерполяцiйний дрiб (19) вiдрiзняється вiд iнтерполяцiйних гiл-
лястих ланцюгових дробiв, запропонованих у [3, 4].
Зауваження 1. Iншим шляхом одержання IIЛД для функцiоналiв вiд багатьох змiнних
є використання операцiї суперпозицiї. А саме, якщо через QI
n(x(·), F ) позначено IIЛД (10),
(11) для функцiонала F (x(·)), то для функцiонала F (x(·), y(·), . . . , w(·)) IIЛД задається су-
перпозицiєю QI
n(w(·), . . . , QI
n(y(·), QI
n(x(·), F )) . . .).
Причому iнтерполяцiйнi умови виконуються на континуальнiй множинi вузлiв
xn(z, ~ξ n), yn(z, ~η n), . . . , wn(z, ~υ n), ~ξ n, ~η n, . . . , ~υ n ∈ Ω~α n .
1. Михальчук Б.Р. Iнтерполяцiя нелiнiйних функцiоналiв за допомогою iнтегральних ланцюгових дро-
бiв // Укр. мат. журн. – 1999. – 51, № 3. – С. 364–375.
2. Макаров В.Л., Хлобистов В. В., Михальчук Б.Р. Iнтерполяцiйнi iнтегральнi ланцюговi дроби // Укр.
мат. журн. – 2003. – 55, № 4. – С. 479–488.
3. Кучминская Х.И. Об интерполяционной формуле для функций двух переменных // Цепные дроби
и их приложения. – Киев: Изд. Ин-та математики АН УССР, 1976. – С. 26–29.
4. Скоробогатько В.Я. Теория ветвящихся цепных дробей и ее применение в вычислительной матема-
тике. – Москва: Наука, 1983. – 312 с.
Надiйшло до редакцiї 07.04.2008Iнститут математики НАН України, Київ
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №11 23
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-6265 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:47:13Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Макаров, В.Л. Демків, І.І. 2010-02-22T12:49:57Z 2010-02-22T12:49:57Z 2008 Новий клас інтерполяційних інтегральних ланцюгових дробів / В.Л. Макаров, I. I. Демкiв // Доп. НАН України. — 2008. — № 11. — С. 17-23. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6265 517.988 An interpolation integral chain fraction for a given nonlinear functional on the continual knot set is constructed. It is a natural generalization of the interpolation chain fraction. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Математика Новий клас інтерполяційних інтегральних ланцюгових дробів Article published earlier |
| spellingShingle | Новий клас інтерполяційних інтегральних ланцюгових дробів Макаров, В.Л. Демків, І.І. Математика |
| title | Новий клас інтерполяційних інтегральних ланцюгових дробів |
| title_full | Новий клас інтерполяційних інтегральних ланцюгових дробів |
| title_fullStr | Новий клас інтерполяційних інтегральних ланцюгових дробів |
| title_full_unstemmed | Новий клас інтерполяційних інтегральних ланцюгових дробів |
| title_short | Новий клас інтерполяційних інтегральних ланцюгових дробів |
| title_sort | новий клас інтерполяційних інтегральних ланцюгових дробів |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6265 |
| work_keys_str_mv | AT makarovvl noviiklasínterpolâcíinihíntegralʹnihlancûgovihdrobív AT demkívíí noviiklasínterpolâcíinihíntegralʹnihlancûgovihdrobív |