Про класифiкацiю унiтрикутних зображень скiнченних груп

Про класифiкацiю унiтрикутних зображень скiнченних груп

У цiй статтi ми розглядаємо задачу про опис зображень скiнченних груп унiтрикутними матрицями над полем.

Saved in:
Bibliographic Details
Date:2006
Main Author: Бондаренко, В.В.
Format: Article
Language:Ukrainian
Published: Інститут математики НАН України 2006
Subjects:
Геометрія, топологія та їх застосування
Online Access:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6275
Tags: Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:Про класифiкацiю унiтрикутних зображень скiнченних груп / В.В. Бондаренко // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2006. — Т. 3, № 3. — С. 7-22. — Бібліогр.: 2 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-6275
record_format dspace
spelling nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-62752025-02-23T20:21:09Z Про класифiкацiю унiтрикутних зображень скiнченних груп Бондаренко, В.В. Геометрія, топологія та їх застосування У цiй статтi ми розглядаємо задачу про опис зображень скiнченних груп унiтрикутними матрицями над полем. В этой статье мы рассматриваем задачу об описании представлений конечных групп унитреугольными матрицами над полем. In this paper we consider the problem of classifying representations of finite groups by unitriangular matrices over a field. 2006 Article Про класифiкацiю унiтрикутних зображень скiнченних груп / В.В. Бондаренко // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2006. — Т. 3, № 3. — С. 7-22. — Бібліогр.: 2 назв. — укр. 1815-2910 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6275 512.5 uk application/pdf Інститут математики НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Ukrainian
topic Геометрія, топологія та їх застосування
Геометрія, топологія та їх застосування
spellingShingle Геометрія, топологія та їх застосування
Геометрія, топологія та їх застосування
Бондаренко, В.В.
Про класифiкацiю унiтрикутних зображень скiнченних груп
description У цiй статтi ми розглядаємо задачу про опис зображень скiнченних груп унiтрикутними матрицями над полем.
format Article
author Бондаренко, В.В.
author_facet Бондаренко, В.В.
author_sort Бондаренко, В.В.
title Про класифiкацiю унiтрикутних зображень скiнченних груп
title_short Про класифiкацiю унiтрикутних зображень скiнченних груп
title_full Про класифiкацiю унiтрикутних зображень скiнченних груп
title_fullStr Про класифiкацiю унiтрикутних зображень скiнченних груп
title_full_unstemmed Про класифiкацiю унiтрикутних зображень скiнченних груп
title_sort про класифiкацiю унiтрикутних зображень скiнченних груп
publisher Інститут математики НАН України
publishDate 2006
topic_facet Геометрія, топологія та їх застосування
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6275
citation_txt Про класифiкацiю унiтрикутних зображень скiнченних груп / В.В. Бондаренко // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2006. — Т. 3, № 3. — С. 7-22. — Бібліогр.: 2 назв. — укр.
work_keys_str_mv AT bondarenkovv proklasifikaciûunitrikutnihzobraženʹskinčennihgrup
first_indexed 2025-11-25T03:42:20Z
last_indexed 2025-11-25T03:42:20Z
_version_ 1849732255499419648
fulltext Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2006, т.3, №3, 7-22 УДК 512.5 В.В.Бондаренко Київський нац. ун-т iм. Тараса Шевченка E-mail: vitaliy.bondarenko@gmail.com Про класифiкацiю унiтрикутних зображень скiнченних груп У цiй статтi ми розглядаємо задачу про опис зображень скiнченних груп унiтрикутними матрицями над полем. В этой статье мы рассматриваем задачу об описании представлений конечных групп унитреугольными матрицами над полем. In this paper we consider the problem of classifying representations of finite groups by unitriangular matrices over a field. Групу верхнiх унiтрикутних матриць розмiру n× n над поле k будемо позначати через UTUTUTn(k). унiтрикутне зоб- раження групи G над полем k — це гомоморфiзм S : G → UTUTUTn(k), де n — деяке натуральне число. Два унiтрикутнi зобра- ження S та S ′ назвемо унiтрикутно еквiвалентними, якщо iснує унiтрикутна матриця M , така, що S(g) = MS ′(g)M−1 для довiльного елементу g ∈ G. Якщо характеристика по- ля k дiлить порядок групи G, то унiтрикутне зображення назвемо модулярним. Прямою сумою унiтрикутних зображень S та S ′ групи G назвемо зображення T , таке, що T (g) = S(g)⊕S ′(g) для довiльного елементу g ∈ G. унiтрикутне зображення T на- звемо (унiтрикутно) розкладним, якщо воно унiтрикутно c© В.В.Бондаренко, 2006 8 В.В.Бондаренко еквiвалентне прямiй сумi двох унiтрикутних зображень, i нерозкладним в iншому разi. У цiй статтi ми вказуємо повну класифiкацiю модуляр- них унiтрикутних зображень циклiчної групи другого по- рядку. Окрiм того, ми покажемо, що задача про опис унi- трикутних зображень бiльшостi скiнченних груп мiстить в собi задачу про унiтрикутну подiбнiсть пари матриць (по- дiбнiсть за допомогою унiтрикутних матриць). Такi групи ми називаємо унiтрикутно дикими. 1. Модулярнi унiтрикутнi зображення циклiчної групи другого порядку. У цьому параграфi ми опишемо модулярнi унiтрикутнi зображення циклiчної групи друго- го порядку. Через k позначаємо довiльне поле характеристики 2 i покладемо k∗ = k \ 0. E(n) буде позначати одиничну мат- рицю розмiру n × n, а Iij(n) — матрицю розмiру n × n, в якiй на мiсцi (i, j) стоїть одиничний елемент, а на рештi мiсць стоять нульовi елементи. Часто замiсть E(n) будемо писати просто E. Для натуральних чисел p i q, таких, що p ≥ q, покладемо [p, q] = {p, p + 1, . . . , q}, [p, q]2 = [p, q] × [p, q] та позначимо через [p, q]2< пiдмножину всiх елементiв (i, j) iз [p, q]2, та- ких, що i < j. Нехай P — пiдмножина в [1, n]2<. Елемент x = (i, j) ∈ [1, n]2< назвемо P -iзольованим, якщо для довiльного елемента y = (p, q) ∈ P , y 6= x, множина {i, j} ∩ {p, q} порожня. Позначимо через In сукупнiсть всiх пiдмножин P ⊂ [1, n]2<, P 6= ∅, таких, що кожний елемент x ∈ P є P -iзольованим. Про класифiкацiю унiтрикутних зображень... 9 Прямою сумою X ∐ Y множин X ∈ In i Y ∈ Im на- звемо наступну множину Z ∈ In+m: Z = X ∪ Y (n), де Y (n) = {(i+n, j+n) | (i, j) ∈ Y }. Множину X ∈ In назвемо розкладною, якщо вона є прямою сумою деяких множин X ′ ∈ Ip i X ′′ ∈ Iq, де p, q— натуральнi числа. В iншому разi множину X назвемо нерозкладною. Очевидно, що X ∈ In є розкладною тодi i лише тодi, коли iснує 1 ≤ r < n, таке, що (p, q) /∈ X для будь-яких p > r i q ≤ r. Множину всiх пар (X, λ), де X ∈ In i λ — вiдображення iз X в k∗, будемо позначати через Pn; замiсть λ((i, j)) буде- мо писати λ(i, j). Для (X, λ) ∈ Pn i (Y, γ) ∈ Pm покладемо (X, λ) ∐ (Y, γ) = (X ∐ Y, λ ◦ γ), де [λ ◦ γ](i, j) = λ(i, j) для (i, j) ∈ X i [λ ◦ γ](i + n, j + n) = γ(i, j) для (i + n, j + n) ∈ Y (n). Спiвставимо кожнiй парi (X, λ) ∈ Pn матрицю M(X, λ) ∈ UTUTUTn(k) наступним чином: M(X, λ) = E(n) + ∑ (i,j)∈X λ(i, j)Iij(n). Легко бачити, що (M(X, λ))2 = E(n). Модулярне унiтрикутне зображення K циклiчної групи другого порядку G = {a | a2 = 1}, таке, що K(a) = M(X, λ), позначимо через K(X,λ). Зауважимо, що K(X1,λ1) ⊕ K(X2,λ2) = K(X1 ∐ X2,λ1◦λ2). 10 В.В.Бондаренко Модулярнi унiтрикутнi зображення циклiчної групи дру- гого порядку описуються (з точнiстю до унiтрикутної еквi- валентностi) наступною теоремою. Теорема 1. 1) Будь-яке модулярне унiтрикутне зоб- раження циклiчної групи другого порядку унiтрикутно еквiвалентне зображенню виду K(X,λ). 2) Зображення K(X,λ) i K(X′,λ′) не є унiтрикутно еквi- валентними, якщо (X, λ) 6= (X ′, λ′). 3) Зображення K(X,λ) нерозкладне тодi i лише тодi, ко- ли нерозкладною є множина X. Твердження 1) i 2) теореми 1 безпосередньо випливають iз основного результату статтi [2], в якiй описано повну систему представникiв класiв спряжених елементiв групи UTUTUTn(k), що складаються iз елементiв порядку 2. Переходимо до твердження 3). Якщо множина X розкладна, то, очевидно, що зобра- ження K(X,λ) є розкладним. Покажемо, що зображення K(X,λ) нерозкладне, якщо нерозкладним є множина X. До- пустимо, що це не так. Тодi K(X,λ) унiтрикутно еквiва- лентне прямiй сумi (унiтрикутних) зображень T1 i T2. Згiд- но твердження 1) теореми T1 = K(X1,λ1) i T2 = K(X2,λ2) для деяких X1, X2, λ1, λ2. Значить T1 ⊕ T2 = K(X1,λ1) ⊕ K(X2,λ2) = K(X1 ∐ X2,λ1◦λ2). А це протирiчить твердженню 2) теореми, тому що згiдно викладеного K(X,λ) унiтрикутно еквiвалентне K(X1 ∐ X2,λ1◦λ2) i при цьому X 6= X1 ∐ X2 (бо X нерозкладне). Теорема 1 доведена. Про класифiкацiю унiтрикутних зображень... 11 2. Означення унiтрикутно диких груп. У цьому па- раграфi матрицi розглядаються над довiльним полем. Доведемо спочатку наступне твердження (яке для скiн- ченного поля розглянуто в [1]). Твердження 1. Задача про приведення однiєї (навiть унiтрикутної) матрицi над полем за допомогою унiтри- кутних подiбних перетворень мiстить в собi задачу про приведення пари матриць за допомогою (однакових) унi- трикутних подiбних перетворень. Доведення. Наше доведення незалежне вiд доведення в [1]. Розглянемо матрицi вигляду X(A1, A2) =               E E 0 0 0 0 0 0 0 0 E 0 E 0 0 0 0 0 0 0 E 0 E 0 0 0 0 0 0 0 E 0 0 E A1 0 0 0 0 0 E 0 E A2 0 0 0 0 0 0 E E E 0 0 0 0 0 0 0 E 0 0 0 0 0 0 0 0 0 E E 0 0 0 0 0 0 0 0 E               , де A1, A2 — довiльнi матрицi (всi клiтини мають однаковий розмiр). Розглядаючи рiвнiсть X(A1, A2)C = CX(B1, B2), де C — унiтрикутна матриця з невизначеними коефiцiєнтами, покажемо, що X(A1, A2) i X(B1, B2) унiтрикутно подiб- нi тодi i лише тодi, коли унiтрикутно подiбними є пари (A1, A2) i (B1, B2). При цьому клiтини матриць X(A1, A2) i X(B1, B2) можна вважати однакового розмiру, iнакше во- ни не можуть бути подiбними як матрицi рiзного розмiру. Розiб’ємо матрицю C на блоки у вiдповiдностi з розбиттям 12 В.В.Бондаренко матриць X(A1, A2) та X(B1, B2): C =               C11 C12 C13 C14 C15 C16 C17 C18 C19 0 C22 C23 C24 C25 C26 C27 C28 C29 0 0 C33 C34 C35 C36 C37 C38 C39 0 0 0 C44 C45 C46 C47 C48 C49 0 0 0 0 C55 C56 C57 C58 C59 0 0 0 0 0 C66 C67 C68 C69 0 0 0 0 0 0 C77 C78 C79 0 0 0 0 0 0 0 C88 C89 0 0 0 0 0 0 0 0 C99               , де C11, . . . , C99 — унiтрикутнi матрицi; перемноживши по- блоково матрицi, якi стоять в лiвiй i правiй частинах рiвно- стi X(A1, A2)C = CX(B1, B2), та прирiвнявши вiдповiднi матрицi, отримаємо наступну систему лiнiйних матричних рiвнянь вiдносно ненульових клiтин матрицi C (тотожнi рiвняння ми не вказуємо): C22 = C11,(1) C23 = 0,(2) C24 = C12,(3) C25 = C13,(4) C26 = 0,(5) C27 = C14 + C15 + C16,(6) C28 = C14B1 + C15B2 + C16,(7) C29 = C18,(8) C44 = C22,(9) C45 = C23,(10) C46 = 0,(11) Про класифiкацiю унiтрикутних зображень... 13 C47 = C24 + C25 + C26,(12) C48 = C24B1 + C25B2 + C26,(13) C49 = C28,(14) C55 = C33,(15) C56 = 0,(16) C57 = C34 + C35 + C36,(17) C58 = C34B1 + C35B2 + C36,(18) C59 = C38,(19) C77 = C44 + C45 + C46,(20) C78 + A1C88 = C44B1 + C45B2 + C46,(21) C79 + A1C89 = C48,(22) C77 = C55 + C56,(23) C78 + A2C88 = C55B2 + C56,(24) C79 + A2C89 = C58,(25) C77 = C66,(26) C78 + C88 = C66,(27) C79 + C89 = C68,(28) 0 = C78,(29) C99 = C88.(30) Проаналiзуємо цю систему. Iз рiвнянь (1), (9), (15), (20), (10), (2), (11), (23), (16), (26), (30), (27), (29) випливає, що C11 = C22 = C33 = C44 = C55 = C66 = C77 = C88 = C99, а iз рiвнянь (21), (29), (10), (2), (11), (24), (16) — що A1C88 = C44B1 i A2C88 = C55B2; значить A1C88 = C88B1 i A2C88 = C88B2 або (C88) −1A1C88 = B1 i (C88) −1A2C88 = B2 (зауважимо, що матриця C88 унiтрикутна). 14 В.В.Бондаренко Отже, якщо матрицi X(A1, A2) i X(B1, B2) унiтрикутно подiбнi, тобто має мiсце рiвнiсть X(A1, A2)C = CX(B1, B2) для деякої унiтрикутної матрицi C, то матрицi A i B є унiтрикутно подiбними. Навпаки, якщо матрицi A i B є унiтрикутно подiбними, тобто AX = XB для деякої унiтрикутної матрицi X, то X(A1, A2)C = CX(B1, B2) для блоково-дiагональної мат- рицi C iз дiагональними блоками Cii = X, а значить мат- рицi X(A1, A2) та X(B1, B2) унiтрикутно подiбнi. Твердження 1 доведено. Зауважимо, що виходячи iз твердження 1 легко показа- ти, що задача про приведення однiєї унiтрикутної матрицi над полем за допомогою унiтрикутних подiбних перетво- рень мiстить в собi аналогiчну задачу не лише для пари матриць, а i для m > 2 матриць. Усе вищесказане є мотивом для наступного означення. Групу G назвемо унiтрикутно дикою над полем k, якщо задача про опис (iз точнiстю до унiтрикутної еквiвалент- ностi) її унiтрикутних зображень мiстить в собi задачу про опис квадратних матриць над k з точнiстю до унiтрикут- них подiбних перетворень. 3. Теореми про унiтрикутно дикi скiнченнi групи. Розглянемо спочатку випадок модулярних зображень p- груп. У цьому параграфi ми доведемо наступну теорему. Теорема 2. Будь-яка скiнченна p-група G порядку n > 2 є унiтрикутно дикою над полем k характеристики p. Доведення. Розглянемо спочатку випадок, коли G є цик- лiчною групою порядку n = ps > 3; у цьому випадку ви- конана одна iз таких умов: а) p = 2 i n = 2s, де s ≥ 2, Про класифiкацiю унiтрикутних зображень... 15 б) p = 3 i n = 3s, де s ≥ 2, в) p > 3 i n = ps, де s ≥ 1. Твiрний елемент групи G позначимо через a. Позначимо через TA, де A — довiльна квадратна мат- риця над полем k, унiтрикутне зображення групи G, таке, що TA(a) = X1(A) =         E E 0 0 0 0 0 E 0 E A 0 0 0 E E E 0 0 0 0 E 0 0 0 0 0 0 E E 0 0 0 0 0 E         . Матриця X(A) задає зображення групи G, оскiльки X1(A)n = [(X1(A) − E) + E]n = [(X1(A) − E) + E]p s = = (X1(A) − E)ps + Eps = = 0 + E = E, (вiдмiтимо, що (X1(A) − E)ps = 0, бо (X1(A) − E)4 = 0 i ps > 3). Покажемо, що зображення TA та TB групи G унiтри- кутно еквiвалентнi тодi i лише тодi, коли матрицi A i B унiтрикутно подiбнi (це й буде означати, що G є унiтри- кутно дикою над полем k). Для цього треба показати, що матрицi X1(A) та X1(B) унiтрикутно подiбнi тодi i лише тодi, коли унiтрикутно подiбними є матрицi A та B. При цьому можна вважати, матрицi X1(A) та X1(B) мають од- наковий розмiр (iнакше вони не можуть бути подiбними як матрицi рiзного розмiру). 16 В.В.Бондаренко Розглянемо рiвнiсть X1(A)C = CX1(B), де C — унiтри- кутна матриця з невизначеними коефiцiєнтами. Розiб’ємо матрицю C на блоки у вiдповiдностi з розбиттям матриць X1(A) та X1(B): C =         C11 C12 C13 C14 C15 C16 0 C22 C23 C24 C25 C26 0 0 C33 C34 C35 C36 0 0 0 C44 C45 C46 0 0 0 0 C55 C56 0 0 0 0 0 C66         , де C11, . . . , C66 — унiтрикутнi матрицi; перемноживши по- блоково матрицi, якi стоять в лiвiй та правiй частинах рiвностi X1(A)C = CX1(B), та прирiвнявши вiдповiднi матрицi, отримаємо наступну систему лiнiйних матричних рiвнянь вiдносно ненульових клiтин матрицi C (тотожнi рiвняння ми не вказуємо): C22 = C11,(31) C23 = 0,(32) C24 = C12 + C13,(33) C25 = C12B + C13,(34) C26 = C15,(35) C44 = C22 + C23,(36) C45 + AC55 = C22B + C23,(37) C46 + AC56 = C25,(38) C44 = C33,(39) C45 + C55 = C33,(40) C46 + C56 = C35,(41) Про класифiкацiю унiтрикутних зображень... 17 0 = C45,(42) C66 = C55.(43) Проаналiзуємо цю систему. З рiвнянь (31), (32), (36), (39), (40), (42), (43) випливає, що C11 = C22 = C33 = C44 = C55 = C66, а з рiвнянь (32), (37), (42) — що AC55 = C22B. Тому AC22 = C22B або (C22) −1AC22 = B (зауважимо, що матриця C22 унiтрикутна). I тому якщо матрицi X1(A) та X1(B) унiтрикутно подiбнi, тобто має мiсце рiвнiсть X1(A)C = CX1(B) для деякої унiтрикутної матрицi C, то матрицi A та B є унiтрикутно подiбними. Навпаки, якщо матрицi A та B є унiтрикутно подiбними, тобто AX = XB для деякої унiтрикутної матрицi X, то X1(A)C = CX1(B) для блоково-дiагональної матрицi C iз дiагональними блоками Cii = X, а значить матрицi X1(A) та X1(B) — унiтрикутно подiбнi. Отже, ми довели, що циклiчна група порядку n = ps > 3 є унiтрикутно дикою. Розглянемо тепер випадок, коли G — циклiчна група по- рядку 3: G = {a | a3 = 1} (тодi, нагадаємо, характеристика поля дорiвнює 3). Позначимо через TA, де A — довiль- на квадратна матриця (над k), унiтрикутне зображення групи G наступного вигляду: 18 В.В.Бондаренко TA(a) =             E E 0 0 0 0 0 0 0 E 0 0 E 0 0 0 0 0 E 0 E A 0 0 0 0 0 E E E E 0 0 0 0 0 E 0 0 0 0 0 0 0 0 E 0 0 0 0 0 0 0 0 E E 0 0 0 0 0 0 0 E             (всi клiтини мають однаковий розмiр). Розглядаючи рiвнiсть TA(a)C = CTB(a), де C — унiтри- кутна матриця з невизначеними коефiцiєнтами, покажемо, що TA(a) та TA(b) унiтрикутно подiбнi тодi i лише тодi, ко- ли унiтрикутно подiбними є матрицi A та B (можна вважа- ти, що клiтини матриць TA(a) та TB(a) мають однаковий розмiр, iнакше вони не можуть бути подiбними як матри- цi рiзного розмiру). Розiб’ємо матрицю C на блоки Cij у вiдповiдностi iз розбиттям матриць TA(a) та TB(a): C =             C11 C12 C13 C14 C15 C16 C17 C18 0 C22 C23 C24 C25 C26 C27 C28 0 0 C33 C34 C35 C36 C37 C38 0 0 0 C44 C45 C46 C47 C48 0 0 0 0 C55 C56 C57 C58 0 0 0 0 0 C66 C67 C68 0 0 0 0 0 0 C77 C78 0 0 0 0 0 0 0 C88             . Про класифiкацiю унiтрикутних зображень... 19 Перемноживши поблоково матрицi, якi стоять в лiвiй та правiй частинах рiвностi TA(a)C = CTB(a), та прирiвняв- ши вiдповiднi матрицi, отримаємо наступну систему лiнiй- них матричних рiвнянь вiдносно ненульових клiтин матри- цi C (тотожнi рiвняння ми не вказуємо): C22 = C11,(44) C23 = 0,(45) C24 = 0,(46) C25 = C12 + C13 + C14,(47) C26 = C13B + C14,(48) C27 = C14,(49) C28 = C17,(50) C55 = C22 + C23 + C24,(51) C56 = C23B + C24,(52) C57 = C24,(53) C58 = C27,(54) C55 = C33 + C34,(55) C56 + AC66 = C33B + C34,(56) C57 + AC67 = C34,(57) C58 + AC68 = C37,(58) C55 = C44,(59) C56 + C66 = C44,(60) C57 + C67 + C77 = C44,(61) C58 + C68 + C78 = C47,(62) 0 = C57,(63) 0 = C67,(64) C88 = C77.(65) 20 В.В.Бондаренко Проаналiзуємо цю систему. З рiвнянь (44), (45), (46), (51), (52), (55), (57), (59), (60), (61), (63), (64), (65) випливає, що C11 = C22 = C33 = C44 = C55 = C66 = C77 = C88, а з рiвнянь (45), (46), (52), (56), (57), (63), (64) — що AC66 = C33B. Тому AC33 = C33B або (C33) −1AC33 = B (зауважимо, що матриця C33 унiтрикутна). Таким чином, якщо матрицi TA(a) та TB(a) — унiтрикутно подiбнi, тобто має мiсце рiв- нiсть TA(a)C = CTB(a) для деякої унiтрикутної матрицi C, то матрицi A та B є унiтрикутно подiбними. Навпаки, якщо матрицi A та B є унiтрикутно подiбними, тобто AX = XB для деякої унiтрикутної матрицi X, то TA(a)C = CTB(a) для блоково-дiагональної матрицi C з дiагональними бло- ками Cii = X, а значить матрицi TA(a) i TB(a) — унiтри- кутно подiбнi. Отже, ми довели, що зображення TA та TB унiтрикутно еквiвалентнi тодi i лише тодi, коли унiтрикутно подiбними є матрицi A та B. А значить група G унiтрикутно дика. Таким чином, теорема 2 має мiсце, якщо група G цик- лiчна. Нехай, нарештi, група G нециклiчна. Оскiльки в цьому випадку фактор-група по комутанту H = G/G′ не може бути циклiчною групою, то H (а значить i G) має фактор- групу H0, що є прямим добутком двох циклiчних пiдгруп порядку p. Звiдси випливає, що для p > 2 група G має циклiчну фактор-групу порядку p, а значить (згiдно вже Про класифiкацiю унiтрикутних зображень... 21 доведеного) є унiтрикутно дикою. Таким чином, щоб за- вершити доведення теореми, залишилося розглянути ви- падок, коли група G є прямим добутком двох циклiчних пiдгруп порядку 2: G = {a, b | a2 = 1, b2 = 1, ab = ba}. Покладемо TA(a) = ( E E 0 E ) , TA(b) = ( E A 0 E ) . Легко бачити, що два такi зображення TA та TB унiтри- кутно еквiвалентнi тодi i лише тодi, коли матрицi A та B унiтрикутно подiбнi. Отже G — унiтрикутно дика. Теорему 2 доведено. Розглянемо тепер випадок довiльних скiнченних груп. Для скiнченної групи G та цiлого числа m ≥ 0 по- значимо через G(n) нормальний дiльник G, породжений елементами, порядки яких взаємно простi з n (зокрема, G(0) = G). Очевидно, що коли число n просте, то фактор- група G/G(n) є n-групою. Твердження 2. Нехай G — скiнченна група i k — поле характеристики p ≥ 0. Тодi будь-яке унiтрикутне зобра- ження T : G → UTUTUTn(k) iндукується зображенням фак- тор-групи G/G(p) (тобто T = φS, де S — унiтрикутне зображення G/G(p) i φ : G → G/G(p) — проекцiя G на G/G(p)). Твердження випливає iз того, що якщо Am = E для унiтрикутної матрицi A i до того ж m взаємно просте з p, то A = E. Безпосередньо з теореми 2 та твердження 2 (з урахуван- ням того факту, що G/G(p) — p-група) випливає наступна теорема. 22 Теорема 3. Нехай G — скiнченна група i k — поле ха- рактеристики p > 0. Тодi a) якщо p 6= 2 i [G : G(p)] > 1, то група G унiтрикутно дика; b) якщо p = 2 i [G : G(p)] > 2, то група G унiтрикутно дика. Зауважимо, що якщо G = G(p) (зокрема, коли p вза- ємно просте з порядком групи), то унiтрикутнi зображен- ня групи G вичерпуються одиничними зображеннями (це випливає iз твердження 2); якщо ж p = 2 i [G : G(p)] = 2, то унiтрикутнi зображення групи G описує теорема 2 ра- зом iз твердженням 2. Лiтература [1] Гудивок П. М., Капитонова Ю. В., Поляк С. С., Рудько В. П., Цит- кин А. И. Классы сопряженных элементов унитреугольной группы // Кибернетика. - 1990. - N1. - С. 40-48, 133. [2] Бондаренко В. В. Про спряженi елементи порядку 2 в групi унiтри- кутних матриць над полем характеристики 2 // Науковий вiсник Уж- городського ун-ту. - 2005. - вип. 10-11. - С. 9-21.

Similar Items