Топологічна еквівалентність функцій з класу F(D²)
We construct the combinatorial invariant of functions from a F(D²) class. Necessary and sufficient condition for a topological equivalence of such functions is obtained in terms of their invariants.
Saved in:
| Date: | 2006 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2006
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6276 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Топологічна еквівалентність функцій з класу F(D²) / І.А. Юрчук // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2006. — Т. 3, № 3. — С. 474-486. — Бібліогр.: 19 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860021764667473920 |
|---|---|
| author | Юрчук, І.А. |
| author_facet | Юрчук, І.А. |
| citation_txt | Топологічна еквівалентність функцій з класу F(D²) / І.А. Юрчук // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2006. — Т. 3, № 3. — С. 474-486. — Бібліогр.: 19 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| description | We construct the combinatorial invariant of functions from a F(D²) class. Necessary and sufficient condition for a topological equivalence of such functions is obtained in terms of their invariants.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:47:51Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць
Iн-ту математики НАН України
2006, т.3, №3, 474-486
I.А.Юрчук
Київський нацiональний унiверситет iм.Т.Шевченка,
Київ
E-mail: iyurch@ukr.net
Топологiчна еквiвалентнiсть
функцiй з класу F (D2)
We construct the combinatorial invariant of functions from a F (D2) class.
Necessary and sufficient condition for a topological equivalence of such
functions is obtained in terms of their invariants.
Ключовi слова: pseudoharmonic functions, a topological equivalence
Вступ
Проблемi дослiдження умов топологiчної еквiвалентно-
стi функцiй присвяченi роботи [1,2,5,6,9–13,19] та iн. Вiд-
мiтимо, що переважна бiльшiсть розв’язкiв топологiчних
задач такого типу, зводиться до дослiдження комбiнатор-
них об’єктiв. Для прикладу, у роботi [12] автори, вивчаю-
чи проблему класифiкацiї полiв Морса-Смейла на замкне-
них двовимiрних многовидах, будують спiн графи, iзомор-
фiзм яких є необхiдною та достатньою умовою топологiч-
ної еквiвалентностi полiв. У роботах Арнольда [1, 11] при
класифiкацiї M–морсифiкацiй та бiфуркацiй виникає та-
кий комбiнаторний об’єкт, як змiї (перестановки спецiаль-
ного типу).
В данiй роботi будемо розглядати неперервнi функцiї,
якi заданi на одиничному диску D2 ⊂ C i задовольняють
умовам:
c© I. А.Юрчук, 2006
Топологiчна еквiвалентнiсть функцiй з класу F (D2) 475
• звуження цих функцiй на границю диску ∂D2 є не-
перервнi функцiї з скiнченим числом локальних екс-
тремумiв (максимумiв та мiнiмумiв);
• у внутрiшностi диску цi функцiї мають скiнчене
число критичних точок, якi є сiдлами (локальне
представлення функцiї в околi сiдла з точнiстю до
неперервної замiни координат має наступний виг-
ляд f = Rezn + const, де z = x+ iy).
Позначимо цей клас функцiй через F (D2). Даний клас
функцiй спiвпадає з класом псевдогармонiчних функцiй,
що заданi на D2 [4, 7, 14–18].
Основна мета роботи – побудувати iнварiант функцiй
з класу F (D2) та знайти необхiднi та достатнi умови їх
топологiчної еквiвалентностi.
1. Основнi означення.
Нехай f деяка функцiя з класу F (D2). Надалi, ми бу-
демо розглядати орiєнтованi диски та гомеоморфiзми, що
зберiгають орiєнтацiю. Вiдомо [8, c.254], якщо E1, E2
– диски i h : ∂E1 → ∂E2– гомеоморфiзм, то iснує гомео-
морфiзм H : E1 → E2 такий, що H|∂E1
= h.
Означення 1.1. Двi неперервнi функцiї f, g : D2 → R на-
зиваються топологiчно еквiвалентними, якщо iснують
гомеоморфiзми h1 : D2 → D2 та h2 : R → R такi, що
f = h−1
2 ◦ g ◦ h1.
Нагадаємо, що точка (x0, y0) ∈ IntD2 гладкої функцiї f
називається критичною, якщо f ′
x(x0, y0) = f ′
y(x0, y0) = 0.
Число c називається критичним (регулярним) значенням
функцiї f , якщо множина рiвня f−1(c) мiстить критичнi
точки функцiї ( не мiстить критичних точок функцiї та
476 I.А.Юрчук
гомеоморфна незв’язному об’єднанню вiдрiзкiв, якi пере-
тинаються з границею ∂D2 лише по своїх кiнцях).
Вiдомо, що лiнiями рiвня критичного значення функцiї з
класу F (D2) є дерева (взагалi кажучи незв’язнi) [14, c.430].
Означення 1.2. Значення c називається квазiрегуляр-
ним значенням функцiї f , якщо воно не є нi регулярним,
нi критичним.
Зауваження 1.1. Iз означень випливає, що лiнiї рiвня
квазiрегулярного значення мiстять лише граничнi кри-
тичнi точки, а лiнiї рiвня критичного, як критичнi, так
i граничнi критичнi точки.
Згiдно Теореми 4.1 [17, c.28] для довiльної граничної
критичної точки iснує канонiчний гомеоморфiзм її околу
на напiвдиск з центром в данiй точцi i скiнченим числом
променiв, що виходять з нього. Для довiльної граничної
критичної точки x число областей, на якi розбито напiв-
диск, бiльше 2. Вiдмiтимо ту особливiсть, що у випадку,
коли число областей непарне, то областi, якi прилягають
до границi ∂D2, мають один i той самий знак. Звiдки вип-
ливає, що точка x є локальним екстремумом функцiї f |∂D2.
Зрозумiло, що у випадку мiнуса дана точка є локальним
максимумом, а у випадку плюса – мiнiмумом.
Той факт, що число граничних критичних точок скiн-
чене, випливає з рiвностi Морса [4, с.50], яка має вигляд
2 − ν = m− S − s,
де ν – число граничних кривих областi (в нашому випадку
ν = 1), m – число локальних мiнiмумiв на границi ∂D2, S
та s – числа критичних точок та граничних критичних то-
чок, кожна з яких враховується зi своїм степенем. Пiд сте-
пенем (граничної) критичної точки розумiють число m−1,
Топологiчна еквiвалентнiсть функцiй з класу F (D2) 477
Рис. 1. У випадку a) точка є регулярною, а у
випадку b) – локальним максимумом функцiї
f |∂D2 .
де m – це число секторiв зi знаком мiнус, на якi розбито її
канонiчний окiл.
Зауважимо, що у випадку, коли гранична критична точ-
ка є локальним мiнiмумом, в рiвностi Морса її враховуємо
лише раз, як граничну критичну точку з вiдповiдним їй
степенем.
2. Комбiнаторний iнварiант та умови
топологiчної еквiвалентностi функцiй з класу
F (D2).
Нагадаємо означення графу Кронрода–Рiба.
Нехай M гладкий компактний многовид. Розглянемо де-
яку гладку функцiю f : M → R iз скiнченим числом кри-
тичних точок. Далi, означимо як шар зв’язну компоненту
поверхнi рiвня f−1(a), де a ∈ R. Тодi, многовид M є об’єд-
нанням всiх шарiв функцiї f . Введемо вiдношення еквi-
валентностi, як властивiсть точки належати одному ша-
ру. Отримана фактор множина гомеоморфна скiнченому
графу, який назвемо графом Кронрода - Рiба i позначимо
через ΓK−R(f).
478 I.А.Юрчук
Зауважимо, що побудова графу Кронрода - Рiба для
многовиду з краєм є питання вiдкрите, а оскiльки функцiї
з класу F (D2) визначенi на диску, то виникає необхiднiсть
ввести iнший iнварiант.
Опишемо побудову комбiнаторної дiаграми, що вiд-
повiдає деякiй функцiї f з класу F (D2):
1) Розглянемо граф Кронрода-Рiба ΓK−R(f |∂D2), що
вiдповiдає звуженню функцiї f на границю ∂D2.
Вiн iзоморфний колу з парним числом вершин, сте-
пiнь яких рiвний 2.
2) Нехай ai – критичнi значення функцiї, а cj – ква-
зiрегулярнi. Додамо до ΓK−R(f |∂D2) тi компоненти
зв’язностi множин
f−1(a1) ∪ . . . ∪ f
−1(ak) ∪ f
−1(c1) ∪ f
−1(c2) ∪ . . . ∪ f
−1(cl),
лiнiй рiвня, якi мiстять критичнi та граничнi кри-
тичнi точки. Зрозумiло, що в цьому випадку на гра-
фi Кронрода-Рiба ΓK−R(f |∂D2) з’являться новi вер-
шини. Позначимо через
P (f) = ΓK−R(f |∂D2)
⋃
i
f̂−1(ai)
⋃
j
f̂−1(cj),
де f̂−1(ai) ⊂ f−1(ai), f̂
−1(cj) ⊂ f−1(cj) – компонен-
ти з’язностi множин рiвня, що мiстять критичнi та
граничнi критичнi точки.
3) Встановимо на вершинах комбiнаторної дiаграми
P (f) частковий порядок за правилом: v1 ≶ v2 ⇐⇒
f(x1) ≶ f(x2), де v1, v2 ∈ P (f), x1, x2 точки, що вiд-
повiдають вершинам v1, v2. Вершини, в яких функ-
цiя приймає однаковi значення, будемо вважати не-
порiвнюваними.
Топологiчна еквiвалентнiсть функцiй з класу F (D2) 479
Оскiльки, дане вiдношення часткового порядку антире-
флексивне, антисиметричне i транзитивне, то встановле-
ний частковий порядок є строгим [3, c.36].
Зауважимо, що скориставшись гомеоморфiзмом число-
вої осi, значення функцiї в локальних екстремумах функцiї
f |∂D2 будемо вважати цiлими, а критичнi та квазiрегуляр-
нi – дробовими.
Отже, конструкцiю P (f) разом iз строгим частковим по-
рядком будемо називати комбiнаторною дiаграмою функ-
цiї f з класу F (D2). I згiдно побудови, P (f) – це скiнчений
граф iз заданим строгим частковим порядком на верши-
нах, степiнь яких бiльший одиницi.
Рис. 1. Дiаграма деякої функцiї з класу F (D2).
Зауважимо, що пiд графом ми розумiємо топологiчний
граф (CW - комплекс з 0 та 1 – вимiрними клiтинами, де
0−вимiрнi клiтини – вершини дерева, а 1−вимiрнi – реб-
ра). Нагадаємо декiлька означень. Двi вершини v1 та v2
480 I.А.Юрчук
деякого графа G називаються сумiжними, якщо вони є
кiнцевими вершинами одного i того ж ребра. Вiдображен-
ня φ графа G ⊂ R3 в R2 називається вкладенням, якщо
φ(x) та φ(y) з’єднанi вiдрiзком в R2 тодi i тiльки тодi, ко-
ли x та y з’єднанi ребром в G i жоднi два вiдкритi вiдрiзки
в R
2 не мають спiльних точок.
Зауважимо, що при вкладеннi φ в околi кожної верши-
ни φ(v), де v ∈ G, виникає циклiчний порядок ребер ei
(вершин vi), що їй iнцидентнi (сумiжнi з нею).
Означення 2.1. Cr– пiдграфом дiаграми P (f) назвемо де-
який пiдграф q(f), який задовольняє умовам:
• q(f) – простий цикл;
• довiльна пара сумiжних вершин vi, vi+1 ∈ q(f) є
порiвнянною.
Нехай v деяка вершина дiаграми P (f), а {vi}, i = 1, k,
– множина сумiжних з нею вершин. Тодi, iснують точки x
та xi, що належать диску D2 i вiдповiдають вершинам v
та vi. Позначимо через Xi - множину точок, що вiдповiда-
ють ребру e(v, vi) (зрозумiло, що множиниXi гомеоморфнi
вiдрiзку) i Xi ∈ D2. Розглянемо такi випадки:
Випадок 1: x ∈ IntD2. Тодi f(x) = f(xi) = a, де i = 1, k,
a - деяке критичне значення. Тому вершини v,v1, v2, . . . , vk
є непорiвнюваними мiж собою. Оскiльки, лiнiєю рiвня кри-
тичного значення a є скiнченне дерево, то всi його вершини
є непорiвнюваними.
Випадок 2: x ∈ ∂D2. В даному випадку точка x є або ре-
гулярною, або локальним екстремумом функцiї f |∂D2, яка
є неперервною та монотонно зростаючою (спадною) мiж
сусiднiми локальними екстремумами. Тому, серед множин
Xi iснують такi, що функцiя на них монотонно зростає
Топологiчна еквiвалентнiсть функцiй з класу F (D2) 481
(спадає). Оскiльки, коло є замкненою жордановою кри-
вою, то таких множин в точностi двi Xj та Xk кiнцями
яких є точки xj та xk. Звiдки випливає, що серед вершин
{vi} iснує в точностi двi вершини vj та vk, якi є порiвнян-
ними з вершиною v. Оскiльки для кожної з вершин vj та
vk iснує в точностi двi вершини, якi є порiвнянними з нею,
то данi вершини утворять цикл. Зрозумiло, що вершина v
разом з вершинами vj та vk належить q(f)–циклу.
З того, що дiаграма P (f) побудована за деякою функ-
цiєю з класу F (f), випливає декiлька її властивостей.
Основнi властивостi дiаграми P (f):
C1) iснує Cr-пiдграф q(f) ∈ P (f);
C2) P (f) \ q(f) =
⋃
i
Ψi, Ψj
⋂
Ψi = ∅, де i 6= j, Ψi –
дерева такi, що для кожного iндексу i довiльнi двi
вершини v′, v′′ ∈ Ψi є непорiвнянними;
C3) пiдмножина q′ ⊂ q(f) така, що q′ =
⋃
i
(P (f) \ Ψi)
мiстить лише вершини степеня 2;
C4) iснує вкладення ψ : P (f) → D2 таке, що
ψ(P (f)) ⊂ D2, ψ(q(f)) = ∂D2, ψ(P (f) \ q(f)) ⊂ IntD2;
C5) множина D2 \ ψ(P (f)) складається з незв’язного
об’єднання множин θi таких, що ∂θi мiстить одну
або двi граничнi дуги ∂D2;
C6) для ∀v ∈ P (f) \ q(f) справедливо deg(v) = 2s ≥ 4.
Справедливiсть C1 та C2 випливає з наведених вище мiр-
кувань. Причому, з умов C1 та C2 слiдує єдинiсть Cr-
пiдграфу q(f).
Для доведення C3 необхiдно розглянути множину
⋃
i
(P (f) \ Ψi)
482 I.А.Юрчук
i скористатись тим, що дiаграма
P (f) = ΓK−R(f |∂D2)
⋃
i
Ψi,
де через Ψi позначено компоненти зв’язностi множин
f̂−1(ai) (f̂−1(cj)) лiнiй рiвня, якi мiстять критичнi та гра-
ничнi критичнi точки. А граф ΓK−R(f |∂D2) мiстить згiдно
побудови лише вершини валентностi 2.
Зауважимо, що C4 випливає з того, що P (f) дiаграма
функцiї f , яка задана на D2. Слiд також вiдмiтити, що C5
є наслiдком C2 i C4. Причому, ∂θi мiстить одну дугу ∂D2,
якщо iснує єдиний iндекс k такий, що ψ(Ψk)
⋂
∂θi 6= ∅, i
∂θi мiстить двi дуги ∂D2 у випадку, коли iснують iндекси
k1 та k2 такi, що
ψ(Ψk1
)
⋂
∂θi 6= ∅ i ψ(Ψk2
)
⋂
∂θi 6= ∅ .
Тодi, як iснування трьох i бiльше iндексiв виключено, ос-
кiльки у IntD2 з’являться критичнi точки, що не є сiдла-
ми, а це не можливо.
Лема 2.1. Якщо P (f) ⊂ R3 дiаграма деякої функцiї f ∈
F (D2), то вкладення ψ таке, що ψ(P (f)) ⊂ D2, ψ(q(f)) =
∂D2 i ψ(P (f) \ q(f)) ⊂ IntD2 єдине з точнiстю до гомео-
морфiзму диску D2 на себе.
Доведення. Доведемо єднiсть такого вкладення ψ методом
вiд супротивного.
Припустимо, що iснує два вкладення ψ1, ψ2 такi, що
ψ1(P (f)), ψ2(P (f)) ⊂ D2 i ψ1 6= ψ2. Позначимо через Θ
(Θ′) множину D2 \ψ1(P (f)) (D2 \ψ2(P (f)). Згiдно C5 мно-
жина Θ (Θ′) є незв’язним об’єднанням скiнченої кiлькостi
пiдмножин θi (θ′j). Не обмежуючи загальностi, розглянемо
цикл вершин {vi} дiаграми P (f) разом з ребрами, що їм
Топологiчна еквiвалентнiсть функцiй з класу F (D2) 483
iнцидентнi, образи яких при вкладеннi ψ1 обмежують де-
яку однозв’язну область θi, а при вкладеннi ψ2 — область
θ′j , яка не є однозв’язною. Припустимо, що θ′j = θ̃′1
⋃
θ̃′2,
θ̃′1
⋂
θ̃′2 = ∅. Це означає, що серед вершин {vi} iснує дея-
ка вершина V така, що циклiчний порядок вершин ψ1(Vi)
не дорiвнює циклiчному порядку ψ2(Vi), де Vi сумiжнi з
V . Нехай вершини Vk та Vj , якi є сумiжними з V та на-
лежать циклу {vi}, i такi, що ψ1(Vk) та ψ1(Vj) є сусiднiми
в циклiчному порядку ψ1(Vi), а пару вершини ψ2(Vk) та
ψ2(Vj) розбиває деяка вершина ψ2(Vr) ∈ ψ2(P (f)). Оскiль-
ки справедливе C5, то цикл {ψ2(vi)} мiстить вершини пiд-
графу ψ2(q(f)). Вершина ψ2(Vr) не може належати мно-
жинi {ψ2(vi)} \ ψ2(q(f)), оскiльки з’явиться цикл. Розгля-
немо випадок, коли ψ2(Vr) спiвпадає з однiєю з вершин
множини
ψ2({vi} \ ({vi} \ q(f))) ⊃ q′.
Проте, це суперечить C3 (дана множина мiстить лише
вершини степеня 2). Отже, ψ−1
2 (Vr) /∈ {vi}, що не мож-
ливо. �
Теорема 2.1. Двi функцiї f i g з класу F (D2) є топо-
логiчно еквiвалентними тодi i лише тодi, коли iснує iзо-
морфiзм комбiнаторних дiаграм ϕ : P (f) → P (g), який
зберiгає строгий частковий порядок, що заданий на них.
Доведення. Необхiднiсть. Нехай двi функцiї f : D2 → R i
g : D2 → R з класу F (D2) топологiчно еквiвалентнi. Тодi
iснують гомеоморфiзми h1 : D2 → D2 i h2 : R → R такi, що
f = h−1
2 ◦ g ◦ h1. Для даних функцiй iснують комбiнаторнi
дiаграми P (f) та P (g), на яких виникає строгий частковий
порядок, який вiдповiдає функцiям f та g. Згiдно Леми 2.1
для P (f) та P (g) iснують єдинi вкладення ψ1 та ψ2 такi,
що ψ1(P (f)) ⊂ D2 i ψ2(P (g)) ⊂ D2. Тодi, покладемо ϕ =
484 I.А.Юрчук
ψ−1
2 ◦ h1 ◦ ψ1. Зрозумiло, що ϕ : P (f) → P (g) є шуканий
iзоморфiзм дiаграм.
Достатнiсть. Нехай задано двi неперервнi функцiї f :
D2 → R i g : D2 → R, з класу F (D2) i P (f), P (g) вiдповiднi
їм дiаграми такi, що iснує iзоморфiзм ϕ : P (f) → P (g),
який зберiгає строгий частковий порядок (якщо v → v′,
v ∈ P (f), v′ ∈ P (g), то deg(v) = deg(v′)). Зрозумiло, що
iзоморфiзм ϕ переводить локальнi максимуми (мiнiмуми)
функцiї f |S1 в локальнi максимуми (мiнiмуми) функцiї g|S1
i зберiгає значення функцiй в них. Згiдно C1 для кожної
з дiаграм iснують пiдграфи q(f) та q(g) i ϕ : q(f) → q(g).
Використаємо iзоморфiзм ϕ для побудови гомеоморфiзму
h1 границi диску ∂D2 в себе так, щоб для функцiй f |∂D2 i
g|∂D2 було справедливо f |∂D2 = g|∂D2 ◦ h1.
Розглянемо дiаграми P (f) ∈ R
3 та P (g) ∈ R
3, згiдно Ле-
ми 2.1 для P (f) та P (g) iснують єдинi вкладення ψ1 та ψ2
такi, що ψ1(P (f)) ⊂ D2, ψ2(P (g)) ⊂ D2. Згiдно C5, мно-
жина Θ = D2 \ ψ1(P (f)) (Θ′ = D2 \ ψ2(P (g))) є незв’язним
об’єднанням скiнченої кiлькостi пiдмножин θi (θ′j), зами-
кання кожної з них гомеоморфне замкненому диску. За
побудовою гомеоморфiзм h1 = ψ2 ◦ ϕ ◦ ψ−1
1 задано на гра-
ницях цих пiдмножин θi (θ′j), тому для гомеоморфiзму h1
iснує продовження з границь множин θi (θ′j) в їх внутрiш-
нiсть, щоб мала мiсце рiвнiсть f = g ◦ h1. �
На рисунку 3 зображенi дiаграми двох функцiй з класу
F (D2), якi мають два локальних мiнiмуми та два локаль-
них максимуми на ∂D2 i одну граничну критичну точку.
Проте, цi двi функцiї не є топологiчно еквiвалентними.
Я щиро вдячна В. В. Шарку за постановку задачi, а та-
кож I. Власенку, С. Максименку, Є. Полуляху за кориснi
обговорення та iнтерес до роботи.
Топологiчна еквiвалентнiсть функцiй з класу F (D2) 485
Рис. 2. Дiаграми двох топологiчно не еквiва-
лентних функцiй з класу F (D2).
Лiтература
[1] Арнольд В.И. Исчисление змей и комбинаторика чисел Бернулли, Эй-
лера и Спрингера групп Кокстера: УМН., 1992. – Vol. 47, №1(283). –
С. 3-45.
[2] Максименко С.И. Класификация m – функций на
поверхностях//УМЖ– Т.51,№8(1999)–С.1129-1135.
[3] Мельников О.В., Ремесленников В.Н., Романьков В.А. Общая алгебра.
Т.1/ под. ред. Скорнякова Л.А.– М.:Наука, 1990 – 592c.
[4] Морс М. Топологические методы теории фукций комплексного пере-
менного/ под. ред. Маркушевич А.И.– М:1951. – 247c.
[5] Ошемков А.А. Функции Морса на двумерных поверхностях. Кодирова-
ние особеностей.// Новые результаты в теории топологической клас-
сификации интегрируемых систем.- М.:Наука, 1994, труды МИРАН,
т.205 – С.131-140
[6] Пришляк А.О. Классификация трехмерных градиентно-подобных ди-
намических систем Морса-Смейла // Тр. Инст. Мат. АНУ, Киев, 1998,-
С.35-39.
[7] Стоилов С. Лекции о топологических прнципах теории аналитических
функций.– М.: Наука, 1964. – 228 с.
[8] Цишанг Х., Фогт Э., Колдевай Х.-Д. Поверхности и разрывные груп-
пы:Пер. с англ. /Под ред. О.Я.Виро. – М.:Наука,1988. – 688с.
486
[9] Шарко В.В. Гладкая и топологическая эквивалентность функций на
поверхностях// Укр.мат.жур – 2003. –Т.55,№5 – С.687-700.
[10] Шарко В.В. Функции Морса на некомпактных поверхностях. –
Український математичний конгресс. – 2000. – С.56-64.
[11] Arnold V.I. Bernoulli – Euler updown numbers, associated with function
singularities, their combinatorics and a mathematics //Duke Math.Journ.
– 1991.– 63. №2. – Pp.537–555.
[12] Bolsinov A.V., Oshemkov A.A., Sharko V.V. On classification of flows
on manifolds.I // Methods of Functional Analysis and Topology, 1996.–
Vol.2,no.2 – Pp.51-60
[13] Bolsinov A. V., Fomenko A. T. Exact topological classification of
Hamiltonian flows on smooth two-dimensional surfaces //(Russian
summary) Zap. Nauchn. Sem. S.-Peterburg. Otdel. Mat. Inst. Steklov. –
235 (1996)
[14] Boothby W.M. The topology of regular curve families with multiple saddle
points.//Amer.J.Math. – 1951.– 73. – Pp.405–438.
[15] Jenkins J.A, Morse M. Contour equivalent pseudoharmonic functions and
pseudoconjugates//Amer.J.Math. – 1952.– 74. – Pp.23-51.
[16] Kaplan. W. Topology of level curves of harmonic functions//Transactions
of Amer.Math.Society– vol.63 №3(1948)– Pp.514-522.
[17] Morse M. The topology of pseudo-harmonic functions//Duke Math.J.–
1946.–13.– Pp.21-42.
[18] Morse.M., Jenkins.J. The existence of pseudoconjugates on Riemann
surfaces //Fund.Math. – 1952.– 39. – Pp.269–287.
[19] Prishlyak A. O. Regular functions on closed three-dimensional
manifolds.//Dopov. Nats. Akad. Nauk Ukr. Mat. Prirodozn. Tekh. Nauki
– 2003, no. 8 – Pp.21–24
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-6276 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1815-2910 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:47:51Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Юрчук, І.А. 2010-02-22T16:17:09Z 2010-02-22T16:17:09Z 2006 Топологічна еквівалентність функцій з класу F(D²) / І.А. Юрчук // Збірник праць Інституту математики НАН України. — 2006. — Т. 3, № 3. — С. 474-486. — Бібліогр.: 19 назв. — укр. 1815-2910 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6276 We construct the combinatorial invariant of functions from a F(D²) class. Necessary and sufficient condition for a topological equivalence of such functions is obtained in terms of their invariants. uk Інститут математики НАН України Геометрія, топологія та їх застосування Топологічна еквівалентність функцій з класу F(D²) Article published earlier |
| spellingShingle | Топологічна еквівалентність функцій з класу F(D²) Юрчук, І.А. Геометрія, топологія та їх застосування |
| title | Топологічна еквівалентність функцій з класу F(D²) |
| title_full | Топологічна еквівалентність функцій з класу F(D²) |
| title_fullStr | Топологічна еквівалентність функцій з класу F(D²) |
| title_full_unstemmed | Топологічна еквівалентність функцій з класу F(D²) |
| title_short | Топологічна еквівалентність функцій з класу F(D²) |
| title_sort | топологічна еквівалентність функцій з класу f(d²) |
| topic | Геометрія, топологія та їх застосування |
| topic_facet | Геометрія, топологія та їх застосування |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/6276 |
| work_keys_str_mv | AT ûrčukía topologíčnaekvívalentnístʹfunkcíizklasufd2 |